弹性力学第二章 应力理论

( ) ( e 1 ) (1) ( e 2 ) ( 2 ) ( e 3 ) ( 3 )
( e 1 (1) e 2 ( 2 ) e 3 ( 3 ) )
Chapter 3.2
柯西公式
( ) ( e 1 1 j e j e 2 2 j e j e 3 3 j e j )
面 力
即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼
上的空气动力、水坝所受的水压力等。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
定 义 式
体力： f lim
F V
V 0
V
f 1 lim f 2 lim f 3 lim
F
F1 V F2 V F3 V
Chapter 3.1
Chapter 3.2
柯西公式
柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面正应力
n ( ) = = ij i
斜面剪应力
j
( ) n
n
2 2
Chapter 3.2
柯西公式
柯西公式应用－给定应力边界条件
若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应 力场的力边界条件：
x3
四面体上作用力的平衡条件是：
(1) d S 1 ( 2 ) d S 2 ( 3 ) d S 3 ( ) d S f ( d h d S ) 0 3 1
( )
( )3
( )2
x2
()1
x1
图2-4
第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以 略去。可得：
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应 力
应力矢量
S


Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量：
S
( ) lim
F S


S 0
若取 S 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程 应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。 对于大变形问题，应取 S 为变形后面元的实际面积， 称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。
(2 )
由(1)和(2)式得：
x l xy m xz n
0
xy l y m yz n 0 xz l yz m z n 0
Chapter 3.3
yy
xx
o
y
x
应力分量的个数
Chapter 3.1
外力、内力与应力
x3
33
32
31
e3
23 22
13 11 12
e2
21
x2
e1 x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：
(1) 1 1 e 1 1 2 e 2 1 3 e 3 1 j e j ( 2 ) 2 1 e1 2 2 e 2 2 3 e 3 2 j e j ( 3 ) 3 1 e1 3 2 e 2 3 3 e 3 3 j e j
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力的定义
Chapter 3.1
外力、内力与应力
应力矢量的大小和方向不仅和 M 点的位置有关，而 且和面元法线方向 有关。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同， 反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方 向相同，则应力矢量也相同。
柯西公式
柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面上应力的方向
n
即
co s ( ) , e 1 co s ( ) , e 3
( )
; co s ( ) , e 2
( )1 ( ) 3
( ) 2
33
13
第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第 二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。
当i＝j时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当
i≠j 时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。
Chapter 3.1
应力理论
外力、内力与应力
柯西公式
主应力与应力不变量
最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
Chapter 3
柯西公式
斜截面上的应力
四面体OABC，由三个负
x3

面和一个法向矢量为
1 e1 2 e 2 3 e 3 i e i
的斜截面组成，其中
i cos( , e i ) e i
x2 x1
为方向的方向余弦。
Chapter 3.2
柯西公式
外力、内力与应力
应力矢量和 面力矢量的数 学定义和物理量纲都相同。
i ( ) lim
X i lim
Fi S
S 0
Pi S
S 0
区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力，
而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无 限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。
即
( ) j i ij
Chapter 3.2
柯西公式
柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面上应力的大小
( )


2
( ) 1

2
( ) 2

2
( ) 3

( ) i

( ) i

1/ 2
k k i l

li

1/ 2
Chapter 3.2
y
x
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zx
yx yy
z
zy
xx
yy
xz xy
xz
yz yx
yz
xx
y
xy
zy zx zz
o
x
应力分量的正负号规定
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zx xz
z
zy yz xy yx
X x l xy m zx n Y yx l y m zy n Z xz l yz m z n
写成指标符号
p j i ij
其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为X , Y , Z
Chapter 3.2
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式
( ij e i e j )
根据商判则，知 ij e i e j 必是一个二阶张量，于是定义 应力张量
ij e i e j
Chapter 3.2
柯西公式
( ) ( ij e i e j )
这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。
Chapter 3.2
弹性力学 Theory of Elasticity
陶嗣巍 北京吉利大学汽车学院
应力理论
外力、内力与应力
柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
Chapter 3
外力、内力与应力
外 力
Chapter 3.1
外力、内力与应力
外 力
体 力
即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为 质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。
主应力与应力不变量
最大剪应力，八面体剪应力
平衡微分方程
主应力 & 应力不变量
x3
11
( )
x2
22
2 1 12 23
13
31 33
x1
32
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
概 念
• 切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 • 主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。 • 主平面上的正应力称为主应力。
斜截面上的应力
x3
11
( ) ?
x2
22
2 1 12 23
13
31 33
x1
32
Chapter 3.2
柯西公式
A B C 的面积为dS,
则三个负面的面积分别为
d S 1 O B C 1 d S ( e 1 ) d S d S 2 O C A 2 d S ( e 2 ) d S d S 3 O A B 3 d S ( e 3 ) d S
Chapter 3.1
外力、内力与应力
正六面体微元: 外法线与 坐标轴同向的三个面称 为正面，记为dSi，它们 的单位法向矢量为i＝ei，
z
ei是沿坐标轴的单位矢量；
o
y
另三个外法线与坐标轴 反向的面元称为负面。
x
Chapter 3.1
外力、内力与应力
( )
yz

z
yy
yx
o
f i lim
Fi V
V 0
V 0
V 0
V 0
外力、内力与应力
定 义 式
面力：
P
X lim
P S
S
S 0
X i lim
Pi S
S 0
Chapter 3.1
外力、内力与应力
内 力
物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一 部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。 内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用， 是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是 为了精确描述内力而引进的。
x3
33
32
即：
31
23 22
( i ) ij e j
x1
e3
13 11
e2
12
21
x2
e1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
(1 ) 1 1 e 1 1 2 e 2 1 3 e 3 1 j e j ( 2 ) 2 1e1 2 2 e 2 2 3 e 3 2 j e j ( 3 ) 3 1e1 3 2 e 2 3 3 e 3 3 j e j
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
p nx x l xy m xz n p ny xy l y m yz n p nz xz l yz m z n
(1 )
p nx l p ny m p nz n
柯西公式
( )
把斜面应力沿坐标轴方向分解：
( ) ( )1 e1 ( ) 2 e 2 ( ) 3 e 3 ( ) j e j
则柯西公式的分量表达式为
( )1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 ( ) 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 ( ) 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
主应力和应力不变量
假设存在主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面
上的总应力 pn＝ ，亦即n方向截面上剪应力为零。
则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为
p nx l p ny m p nz n
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
对Baidu Nhomakorabea面BCD运用柯西公式，可得：
p n x x l yx m zx n p n y xy l y m zy n p n z xz l yz m z n
由剪应力互等定理可得：
p n x x l xy m xz n p n y xy l y m yz n p n z xz l yz m z n
斜截面的面元矢量为：
d S d S 1 e1 d S 2 e 2 d S 3 e 3
Chapter 3.2
柯西公式
四面体的体积为：
x3
V
( )
1 3
dhdS

( )3
( )2
dh为顶点 O 到斜面 的垂直距离
x2
()1
x1
图2-4
Chapter 3.2
柯西公式
共出现九个应力分量：
11 ( ij ) 2 1 31
12 22 32
23
33
13
Chapter 3.1
外力、内力与应力
11 ( ij ) 2 1 31
12 22 32
23