支持向量机(SVM)算法推导及其分类的算法实现
支持向量机算法与应用
支持向量机算法与应用支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是一种很常用的分类算法，它在分类和回归问题中表现出极高的性能，被广泛应用于机器学习和数据挖掘中。
本文将介绍支持向量机的基本概念、算法原理和应用场景。
一、基本概念1. SVM分类器SVM分类器是一种基于二分类的监督学习算法。
其主要原理是利用数据集进行训练，通过对数据的分析来建立一个模型，并用此模型来对新样本进行分类。
2. 超平面在SVM中，超平面是指将一个n维空间划分为两个部分的一个n-1维的平面。
在二维空间中，超平面就是一条直线。
在多维空间中，由于难以想象，所以通常使用非常高维度的空间来表示超平面。
3. 分类边界在SVM中，分类边界是指位于超平面两侧的两个边界。
这两个边界是可以调节的，可以根据数据点的分布来设置。
分类边界的目标是使位于不同分类的数据点最大化间隔，并尽可能地避免分类错误。
4. 支持向量在SVM中，支持向量是指与分类边界最接近的那些点。
这些点是分类边界的构成要素，也是构建分类器的关键。
二、算法原理支持向量机的核心思想是通过最大化分类边界的间隔来实现分类。
具体来说，原始的线性可分SVM问题可以表述为：在n维空间中，找到一个超平面，将不同类别的点尽可能分开。
这个超平面可以表示如下：w·x+b=0其中，w表示超平面的法向量，x表示数据点，b表示平面的截距。
当两类点都被正确分类时，超平面的分类间隔为2/‖w‖。
在这种情况下，数据点的分类可以表示为：y(w·x+b)>0其中y表示数据点的类别，+1或-1。
当数据集不能被完全分开时，就需要使用软间隔。
软间隔允许一些数据点被错误分类，并对公式进行修改。
具体来说，我们添加一个松弛变量ξi，使得y(w·x+b)≥1-ξi。
此时分类器的目标就是最小化误差的总和：min ||w||²/2+C∑ξis.t. y(w·x+b)≥1-ξi其中C是超参数，我们可以通过交叉验证等方法来确定它的值。
如何使用支持向量机进行分类(Ⅱ)
支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种常用的机器学习算法，它在数据分类和回归分析中表现出色。
它的优点之一是可以处理高维数据，并且对于非线性数据也有较好的分类效果。
本文将介绍支持向量机的基本原理和使用方法，以及如何利用支持向量机进行分类。
支持向量机的基本原理是找到一个最优的超平面来将不同类别的数据进行分隔。
在二维空间中，这个超平面就是一条直线，而在三维空间中则是一个平面。
对于高维数据，这个超平面就是一个超平面。
支持向量机的目标是找到一个最优的超平面，使得两个类别的数据点离这个超平面的距离尽可能远。
支持向量机的核心思想是最大化间隔，即最大化两个类别数据点到超平面的距离。
这样可以提高分类的准确性，降低分类错误的概率。
在支持向量机中，离超平面最近的几个数据点被称为支持向量，它们决定了最终的分类结果。
支持向量机的训练过程就是找到这个最优的超平面，并确定支持向量的位置。
在使用支持向量机进行分类时，首先需要准备好数据集。
数据集包括特征和标签，特征是用来描述数据的属性，标签是用来表示数据的类别。
然后，将数据集分为训练集和测试集，用训练集来训练支持向量机模型，用测试集来评估模型的性能。
支持向量机有多种核函数可供选择，常用的核函数包括线性核函数、多项式核函数和高斯径向基函数（Gaussian Radial Basis Function, RBF）。
不同的核函数对于不同类型的数据有不同的适用性，可以根据实际情况来选择合适的核函数。
在训练支持向量机模型时，需要调节一些参数来使模型达到最佳的性能。
这些参数包括惩罚参数C、核函数的参数和松弛变量ε。
惩罚参数C决定了分类边界的软硬程度，核函数的参数决定了超平面的形状，松弛变量ε决定了支持向量的位置。
在实际应用中，可以通过交叉验证的方法来选择最优的参数组合。
交叉验证将训练集分为若干个子集，在每一轮训练中，将其中一个子集作为验证集，其余子集作为训练集。
SVM支持向量机算法的详细推导(详细到每个步骤,值得推荐)
建立非线性可分数据的最优超平面可以采用与线性可 分情况类似的方法，即对于给定的训练样本 {(X1，d1)， (X2，d2)，…，(Xp，dp)，…(XP，dP)} ,寻找权值W和 阈值B的最优值，使其在式(8.19)的约束下，最小化关 于权值W和松弛变量 ξp 的代价函数
C是选定的正参数。 与前述方法相似，采用Laglange系数方法解决约束最 优问题。需要注意的是，在引入Lagrange函数时，使 e函数变为
WT XP+b<0
dp =-1
超平面与最近的样本点之间的间隔称为分离边缘，用ρ表示。 支持向量机的目标是找到一个分离边缘最大的超平面，即最优 超平面。也就是要确定使ρ最大时的W和b。 图8.1给出二维平面中最优超平面的示意图。可以看出，最优 超平面能提供两类之间最大可能的分离，因此确定最优超平面 的权值W0和偏置b0应是唯一的。在式(8.1)定义的一簇超平面中， 最优超平面的方程应为: WT X0+b0=0（应该是W0 X + b0 = 0吧？ ） 直接求W0和b0基本上不太可能，除了训练集无别的信息可用， 如何办？ 一种方法：使求得的预测函数 y = f(x) = sgn(W· + b)对原有 X 样本的分类错误率最小。 如何使分类错误率最小？下面慢慢分 析。
αp>0 以上为不等式约束的二次函数极值问题(Quadratic Programming，QP)。由Kuhn Tucker定理知，式 (8.14)的最优解必须满足以下最优化条件(KKT条件)
上式等号成立的两种情况：一是αp为零；另一种是 (WT XP+b) dp=1 。第二种情况仅对应于样本为支持向量。 设Q(α)的最优解为{α01, α02,......, α0p} ，可通过式(8.12) 计算最优权值向量，其中多数样本的Lagrange系数为零， 因此
svm算法公式
svm算法公式SVM算法公式支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的机器学习算法，被广泛应用于分类和回归问题的解决中。
它的核心思想是通过找到一个最优超平面来划分不同类别的数据点，从而实现分类的目标。
SVM算法的公式可以用如下方式表达：1. 数据准备假设我们有一个包含N个样本的训练集D={(x1, y1), (x2, y2), ... , (xN, yN)}，其中xi表示第i个样本的特征向量，yi表示第i个样本的类别标签。
特征向量xi具有n个维度，即xi=(x1i, x2i, ... , xni)。
2. 寻找最优超平面SVM的目标是找到一个最优超平面，使得该超平面能够最大化样本点到该超平面的间隔，并且能够正确地将不同类别的样本点分开。
最优超平面可以用如下公式表示：w·x + b = 0其中，w表示超平面的法向量，b表示超平面的截距。
w·x表示w 和x的内积。
根据这个公式，我们可以将样本点分为两类：w·x + b > 0的样本点属于一类，w·x + b < 0的样本点属于另一类。
3. 线性可分情况如果训练集D是线性可分的，即存在一个超平面完全能够将两类样本点分开，那么我们可以通过一个优化问题来求解最优超平面。
优化问题可以用如下公式表示：min 1/2 ||w||^2s.t. yi(w·xi + b) ≥ 1, i=1,2,...,N其中，||w||表示向量w的范数，yi表示第i个样本点的类别标签。
这个优化问题的目标是最小化w的范数，同时满足所有样本点的分类约束条件。
4. 线性不可分情况如果训练集D不是线性可分的，那么我们可以通过引入松弛变量(xi, ξi)来解决这个问题。
松弛变量可以将样本点分类约束条件放宽，使得一些样本点可以位于超平面的错误一侧。
此时，优化问题可以用如下公式表示：min 1/2 ||w||^2 + C Σξis.t. yi(w·xi + b) ≥ 1 - ξi, i=1,2,...,Nξi ≥ 0, i=1,2,...,N其中，C是一个正则化参数，用来平衡最小化w的范数和最小化松弛变量的重要性。
SVM算法详解范文
SVM算法详解范文SVM（支持向量机）是一种常用的监督学习算法，广泛应用于分类和回归问题。
它的基本思想是找到一个最优的超平面，能够将不同类别的样本点分开。
支持向量机具有较好的泛化能力和鲁棒性，在实际应用中取得了很好的效果。
一、SVM的基本原理1.线性可分情况下当训练样本线性可分时，SVM算法的目标是找到一个能够将正负样本完全分开的超平面。
这个超平面的选择是使得所有样本点到超平面的距离最大化，即最大化间隔。
2.线性不可分情况下当样本线性不可分时，SVM使用核函数将样本映射到高维特征空间中，使得样本可以在高维空间线性可分。
常用的核函数有线性核函数、多项式核函数和高斯核函数等。
二、SVM的数学模型SVM的数学模型可以表示为一个凸二次规划问题，即：min 1/2 ∥w∥²s.t. yi(w·xi+b)≥1 , i=1,2,...,n其中w是超平面的法向量，b是超平面的截距，(xi,yi)是训练样本点，n是样本总数。
这个问题可以通过拉格朗日函数和KKT条件等方法求解。
三、SVM的优缺点SVM具有以下优点：1.SVM能够处理高维特征空间中的分类问题。
2.SVM对于小样本数据集效果较好。
3.SVM能够处理非线性问题，通过核函数将样本映射到高维特征空间。
SVM的缺点包括：1.SVM对于大规模样本集需要较长的训练时间。
2.SVM对于噪声和缺失数据敏感。
3.SVM模型的选择和核函数的选取对结果有较大影响。
四、SVM算法的步骤1.数据预处理：对数据进行标准化和归一化处理。
2.选择核函数：根据问题的特点选择合适的核函数。
3.参数选择：确定正则化项参数和核函数的参数。
4.求解凸二次规划问题：通过优化算法求解凸二次规划问题。
5.模型评估：通过交叉验证等方法评估模型的性能。
6.预测与分类：使用训练好的SVM模型进行预测和分类。
五、SVM的改进和拓展1.核函数选择：根据问题需求和数据特点选择合适的核函数。
2.超参数调优：使用交叉验证等方法调优SVM模型的超参数。
一文解析支持向量机(附公式)
一文解析支持向量机（附公式）本文为你详细描述SVM产生的过程。
前言众所周知SVM 是非常强大的一种分类算法，有着媲美神经网络的分类效果，实现过程却简单得多。
受限于我的能力，这篇文章不会系统地介绍SVM（因为我并不是线性代数、凸优化等方面的专家），而是以一个学习者的角度描述SVM 产生的过程，由于内容较长，计划分成三到四篇一个好的分类是怎么样的图中的两组数据，显然它们是线性可分（linear separable）的，图里给出的三条分界线都可以准确区分这两类数据，它们是不是一样好？如果不是，哪一条看起来更加合适？直觉告诉我们是a。
相比之下，b 和c 离个别点太近了，我们很难拍着胸脯说“这个点在分界线下面，所以绝对是X'，因为分界线稍微挪一挪就可以改变这些点的属性，我们想要的是一个相对自信的分界线，使靠近分界线的点与分界线的距离足够大，上图中的分界线 a 就符合我们的需求。
ps. 这里所说的分界线严格来说是decision boundary，decision boundary 在二维空间是一条线，在三维空间是一个平面，更高维的空间里称作超平面，为了方便本文都用分界线来代表decision boundary。
进入向量的世界你或许已经注意到SVM 的全称是Support Vector Machine （支持向量机），在推导SVM 公式过程中，我们几乎都是在和向量打交道。
刚接触SVM 的时候我对这个名字非常诧异，SVM 很强是没错，但是名字也太「随意」了吧？希望写完这篇文章以后我能理解为什么这种算法叫做支持向量机。
如果你之前没有接触过向量，建议花一个小时左右的时间熟悉一下向量的概念和基本性质。
我们先把空间上的点用向量来表示（以原点为起点的向量）：虽然写成了向量的形式，其实并没有什么大不了的，我们可以把它和初中时候学过的直线表达式联系起来：对于SVM 来说仅仅这样是不够的，还记得吗我们要修一条路出来，我们得确保在一条足够宽的路里面没有数据点：这样前面的式子就可以写成更为简洁的形式：什么是支持向量这是一个基于KKT 条件的二次规划问题，优化原理的内容超出了这篇文章的范畴，在这里我们只要知道拉格朗日乘数法可以求得这个最优解，引入新的系数αi :令以上两式为0，我们可以得到：。
SVM算法推导及其分类的算法实现
SVM算法推导及其分类的算法实现SVM（Support Vector Machine）是一种常用的监督学习算法，被广泛应用于二分类和多分类问题中。
它的基本原理是找到一个超平面，将不同类别的数据分开。
这篇文章将介绍SVM算法的推导及其分类的算法实现。
一、推导1.数据预处理：将数据进行标准化或归一化处理，使不同特征之间具有相同的重要性。
2.确定超平面：SVM算法的目标是找到一个超平面，能够将不同类别的数据完全分开。
超平面可以表示为w*x+b=0的形式，其中w是法向量，b是偏置项。
3.确定分类边界：SVM算法中存在两个平行的超平面，它们与训练数据中的支持向量间隔相等。
这两个平面被称为分类边界。
4.样本分类：根据数据点到超平面的位置，确定其所属类别。
点在超平面之下表示负类数据，点在超平面之上表示正类数据。
5.寻找最优超平面：SVM算法的目标是寻找一个最优超平面，使分类误差最小。
通常使用最大间隔法来确定最优超平面。
6.引入松弛变量：考虑到有时数据无法完全线性分开，SVM算法允许一定程度上的分类错误。
通过引入松弛变量，可以允许部分数据点落在错误的一侧。
7.目标函数确定：根据以上步骤，可以得到SVM的目标函数，即在最大间隔的同时，使得分类误差最小。
8.优化求解：使用优化算法来求解目标函数，例如使用拉格朗日对偶问题等方法。
二、算法实现下面是SVM算法的基本实现步骤：1.数据预处理：将原始数据进行标准化或者归一化处理，使得不同特征之间的取值范围一致。
2.确定超平面：假设训练数据是线性可分的，通过训练数据找到一个超平面，将不同类别的数据完全分开。
3.最大间隔法：选择两个平行的超平面，使其与训练数据中的支持向量间隔最大。
4.构建目标函数：根据最大间隔法，构建目标函数，同时引入松弛变量。
5.目标函数求解：使用优化算法，求解目标函数，例如使用拉格朗日对偶问题等方法。
6.分类边界：根据超平面和支持向量，确定分类边界。
7.样本分类：根据数据点到超平面的位置，确定其所属类别。
20.ENVI4.3 支持向量机分类原理、操作及实例分析
ENVI4.3 支持向量机分类原理、操作及实例分析一、支持向量机算法介绍1.支持向量机算法的理论背景支持向量机分类（Support Vector Machine或SVM）是一种建立在统计学习理论（Statistical Learning Theory或SLT）基础上的机器学习方法。
与传统统计学相比，统计学习理论（SLT）是一种专门研究小样本情况下及其学习规律的理论。
该理论是建立在一套较坚实的理论基础之上的，为解决有限样本学习问题提供了一个统一的框架。
它能将许多现有方法纳入其中，有望帮助解决许多原来难以解决的问题，如神经网络结构选择问题、局部极小点问题等；同时，在这一理论基础上发展了一种新的通用学习方法——支持向量机（SVM），已初步表现出很多优于已有方法的性能。
一些学者认为，SLT和SVM正在成为继神经网络研究之后新的研究热点，并将推动机器学习理论和技术的重大发展。
支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC维（VC Dimension）理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力。
支持向量机的几个主要优点有：（1）它是专门针对有限样本情况的，其目标是得到现有信息下的最优解而不仅仅是样本数趋于无穷大时的最优值；（2）算法最终将转化成为一个二次型寻优问题，从理论上说，得到的将是全局最优点，解决了在神经网络方法中无法避免的局部极值问题；（3）算法将实际问题通过非线性变换转换到高维的特征空间(Feature Space)，在高维空间中构造线性判别函数来实现原空间中的非线性判别函数，特殊性质能保证机器有较好的推广能力，同时它巧妙地解决了维数问题，其算法复杂度与样本维数无关；2.支持向量机算法简介通过学习算法，SVM可以自动寻找那些对分类有较大区分能力的支持向量，由此构造出分类器，可以将类与类之间的间隔最大化，因而有较好的推广性和较高的分类准确率。
如何使用支持向量机进行多标签分类问题解决
如何使用支持向量机进行多标签分类问题解决支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题。
在分类问题中，SVM能够有效地解决多标签分类问题，本文将介绍如何使用支持向量机进行多标签分类问题的解决。
一、多标签分类问题简介多标签分类问题是指一个样本可能同时属于多个类别的分类问题。
例如，对于一张包含猫、狗和鸟的图片，我们需要将其同时分类为“猫”、“狗”和“鸟”。
传统的分类算法通常只能处理单标签分类问题，无法应对多标签分类问题。
二、支持向量机的基本原理支持向量机是一种二分类模型，其基本原理是通过构建一个超平面，将不同类别的样本分开。
对于多标签分类问题，我们可以采用一对多（One-vs-Rest）的方法，将每个标签作为一个二分类问题进行处理。
三、数据预处理在使用支持向量机进行多标签分类问题解决之前，我们需要对数据进行预处理。
首先，需要将数据集划分为训练集和测试集。
其次，对数据进行特征提取和特征选择，以便提取出最能表征样本的特征。
四、特征编码在多标签分类问题中，标签通常是以二进制形式表示的，每个标签对应一个二进制位。
例如，对于三个标签的问题，可以用000、001、010、011等方式表示不同的标签组合。
因此，我们需要对标签进行编码，将其转化为二进制形式。
五、训练模型在训练模型之前，我们需要选择一个合适的核函数。
核函数在支持向量机中起到了非常重要的作用，能够将低维的特征映射到高维空间，从而使得样本更容易被分开。
常用的核函数包括线性核函数、多项式核函数和高斯核函数等。
六、模型评估在训练完成后，我们需要对模型进行评估。
常用的评估指标包括准确率、精确率、召回率和F1值等。
通过这些评估指标，我们可以了解模型的性能，并对其进行调优。
七、模型调优在使用支持向量机解决多标签分类问题时，我们可以通过调整参数来提高模型的性能。
常见的参数包括正则化参数C、核函数参数gamma等。
svm算法的步骤
svm算法的步骤SVM算法的步骤：一、引言支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种常用的机器学习算法，它在分类和回归问题中具有广泛的应用。
SVM算法的核心思想是找到一个最优的超平面，将不同类别的样本分开。
本文将详细介绍SVM算法的步骤，帮助读者理解和应用该算法。
二、数据预处理在使用SVM算法之前，需要对数据进行预处理。
首先，需要对原始数据进行特征选择，选择与分类问题相关的特征。
其次，需要对数据进行标准化处理，使得不同特征的取值范围相同。
最后，需要将数据集划分为训练集和测试集，用于模型的训练和评估。
三、选择核函数核函数是SVM算法的关键部分，它用于将低维的数据映射到高维空间。
常用的核函数有线性核函数、多项式核函数和高斯核函数等。
在选择核函数时，需要考虑数据的特点和分类问题的复杂度。
四、确定超平面在SVM算法中，超平面被用于将不同类别的样本分开。
超平面的选取是通过求解一个优化问题实现的。
优化问题的目标是找到一个最优的超平面，使得不同类别的样本距离超平面的间隔最大化。
为了求解这个优化问题，可以使用凸优化算法，如序列最小优化算法（SMO）。
五、支持向量的选择在确定超平面之后，需要选择支持向量。
支持向量是离超平面最近的样本点，它们对于超平面的位置具有决定性的影响。
选择支持向量的过程可以通过计算样本点到超平面的距离来实现。
六、模型评估在选择支持向量之后，可以使用测试集对模型进行评估。
常用的评估指标包括准确率、精确率、召回率和F1-score等。
准确率表示分类正确的样本占总样本的比例，精确率表示被正确分类的正样本占所有被分类为正样本的比例，召回率表示被正确分类的正样本占所有正样本的比例，F1-score综合考虑了精确率和召回率。
七、模型调优在模型评估的基础上，可以对模型进行调优。
常用的调优方法包括参数调节和特征选择等。
参数调节可以通过网格搜索等方法来确定最优的参数组合。
特征选择可以通过相关性分析、主成分分析等方法来选择与分类问题相关的特征。
详解python支持向量机（SVM）算法
详解python⽀持向量机（SVM）算法相⽐于逻辑回归，在很多情况下，SVM算法能够对数据计算从⽽产⽣更好的精度。
⽽传统的SVM只能适⽤于⼆分类操作，不过却可以通过核技巧（核函数），使得SVM可以应⽤于多分类的任务中。
本篇⽂章只是介绍SVM的原理以及核技巧究竟是怎么⼀回事，最后会介绍sklearn svm各个参数作⽤和⼀个demo实战的内容，尽量通俗易懂。
⾄于公式推导⽅⾯，⽹上关于这⽅⾯的⽂章太多了，这⾥就不多进⾏展开了~1.SVM简介⽀持向量机，能在N维平⾯中，找到最明显得对数据进⾏分类的⼀个超平⾯！看下⾯这幅图：如上图中，在⼆维平⾯中，有红和蓝两类点。
要对这两类点进⾏分类，可以有很多种分类⽅法，就如同图中多条绿线，都可以把数据分成两部分。
但SVM做的，是找到最好的那条线（⼆维空间），或者说那个超平⾯（更⾼维度的空间），来对数据进⾏分类。
这个最好的标准，就是最⼤间距。
⾄于要怎么找到这个最⼤间距，要找到这个最⼤间距，这⾥⼤概简单说⼀下，两个类别的数据，到超平⾯的距离之和，称之为间隔。
⽽要做的就是找到最⼤的间隔。
这最终就变成了⼀个最⼤化间隔的优化问题。
2.SVM的核技巧核技巧，主要是为了解决线性SVM⽆法进⾏多分类以及SVM在某些线性不可分的情况下⽆法分类的情况。
⽐如下⾯这样的数据：这种时候就可以使⽤核函数，将数据转换⼀下，⽐如这⾥，我们⼿动定义了⼀个新的点，然后对所有的数据，计算和这个新的点的欧式距离，这样我们就得到⼀个新的数据。
⽽其中，离这个新点距离近的数据，就被归为⼀类，否则就是另⼀类。
这就是核函数。
这是最粗浅，也是⽐较直观的介绍了。
通过上⾯的介绍，是不是和Sigmoid有点像呢？都是通过将数据⽤⼀个函数进⾏转换，最终得到结果，其实啊，Sigmoid就是⼀钟核函数来着，⽽上⾯说的那种⽅式，是⾼斯核函数。
这⾥补充⼏点：1.上⾯的图中只有⼀个点，实际可以有⽆限多个点，这就是为什么说SVM可以将数据映射到多维空间中。
支持向量机课件
支持向量机（SVM ）最优分类面SVM 是从线性可分情况下的最优分类面发展而来的, 基本思想可用图中的 两维情况说明.所谓最优分类线就是要求分类线不但能将两类正确分开(训练错误率为0),而且使分类间隔最大，推广到高维空间，最优分类线就变为最优分类面。
设线性可分的样本集(),,1,,,i i x y i n ={},1,1d x R y ∈∈+-，d 维空间中的线性判别函数：()g x wx b =+，分类面方程为0wx b +=我们可以对它进行归一化，使得所有样本都满足()1g x ≥，即使离分类面最近的样本满足()1g x =，这样分类间隔就等于2w 。
因此要求分类间隔最大，就是要求w （或2w ）最小。
要求分类线对所有样本正确分类时，对于任意学习样本()n n y X ，其分布必然在直线1H 之上或直线2H 之下。
即有()()121;1, 1;1, n n n n n n n n g b y C g b y C ⎧=⋅+≥=∈⎨=⋅+≤-=-∈⎩X W X X X W X X 将以上两式合并，有1n n y b ⋅⎡⋅+⎤≥⎣⎦W X就是要求满足[]10n n y wx b +-≥，1,,,i n =图中, 方形点和圆形点代表两类样本, H 为分类线,H1, H2分别为过各类中离分类线最近的样本且平行于分类线的直线, 它们之间的距离叫做分类间隔(margin)。
所谓最优分类线就是要求分类线不但因此，满足上述公式且使2w 最小的分类面就是最优分类面。
过两类样本中离分类面最近的点且平行于最优分类面的超平面1H ，2H 上的训练样本，就是使上式等号成立的那些样本，它们叫做支持向量。
因为它们支撑了最优分类面。
下面看如何求解最优分类面，由上面的讨论，最优分类面问题可以表示成如下的约束问题，即在条件（1）的约束下，求函数：21()2w w φ= （2） 的最小值，这里目标函数中的21没有其他意义，只是为了下一步导出求解方法时方便。
svm算法公式
svm算法公式摘要：一、SVM 算法简介1.SVM 算法定义2.SVM 算法的发展历程二、SVM 算法的基本思想1.最大间隔分类2.支持向量三、SVM 算法的核心公式1.线性可分情况下的SVM 公式2.线性不可分情况下的SVM 公式四、SVM 算法的实现与优化1.SVM 算法的实现流程2.SVM 算法的参数选择与优化五、SVM 算法的应用领域1.分类问题2.回归问题3.其他应用场景正文：一、SVM 算法简介支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种经典的机器学习算法，主要用于分类和回归问题。
它通过寻找一个最优超平面，使得不同类别之间的样本点到该超平面的距离最大，从而实现分类。
SVM 算法具有良好的泛化能力，受到广泛关注。
二、SVM 算法的基本思想1.最大间隔分类SVM 算法基于最大间隔分类的思想，寻找一个最优超平面，使得不同类别之间的样本点到该超平面的距离最大。
这样，在训练样本上分类正确的样本距离超平面越远，分类错误的样本距离超平面越近，从而实现了对样本的分类。
2.支持向量支持向量是指距离超平面最近的那些样本点。
这些样本点对于确定超平面的位置至关重要。
在SVM 算法中，我们关心的是使得分类间隔最大的超平面，即支持向量。
三、SVM 算法的核心公式1.线性可分情况下的SVM 公式对于线性可分的情况，SVM 算法通过以下公式求解最优超平面：w = (α * y * x^T * x + β * I) ^ (-1) * α * yb = Σα * y其中，w 表示超平面的法向量，b 表示截距，α表示拉格朗日乘子，y 表示样本的类别，x 表示样本的特征。
2.线性不可分情况下的SVM 公式对于线性不可分的情况，SVM 算法采用核技巧，将线性问题转化为非线性问题。
具体公式如下：w = (α * y * Σ x_i * x_i^T + β * I) ^ (-1) * α * yb = Σα * y其中，x_i 表示样本的特征，Σ表示求和，y 表示样本的类别，α表示拉格朗日乘子，β表示正则化参数。
支持向量机(SVM)算法推导及其分类的算法实现
支持向量机算法推导及其分类的算法实现摘要：本文从线性分类问题开始逐步的叙述支持向量机思想的形成，并提供相应的推导过程。
简述核函数的概念，以及kernel在SVM算法中的核心地位。
介绍松弛变量引入的SVM算法原因，提出软间隔线性分类法。
概括SVM分别在一对一和一对多分类问题中应用。
基于SVM在一对多问题中的不足，提出SVM 的改进版本DAG SVM。
Abstract：This article begins with a linear classification problem, Gradually discuss formation of SVM, and their derivation. Description the concept of kernel function, and the core position in SVM algorithm. Describes the reasons for the introduction of slack variables, and propose soft-margin linear classification. Summary the application of SVM in one-to-one and one-to-many linear classification. Based on SVM shortage in one-to-many problems, an improved version which called DAG SVM was put forward.关键字：SVM、线性分类、核函数、松弛变量、DAG SVM1. SVM的简介支持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。
SVM支持向量机算法及其代码实现
支持向量机算法及其代码实现支持向量机（SVM），起初由vapnik提出时，是作为寻求最优（在一定程度上）二分类器的一种技术。
後来它又被拓展到回归和聚类应用。
SVM是一种基于核函数的方法，它通过某些核函数把特征向量映射到高维空间，然後建立一个线性判别函数（或者说是一个高维空间中的能够区分训练数据的最优超平面，参考异或那个经典例子）。
假如SVM没有明确定义核函数，高维空间中任意两点距离就需要定义。
解是最优的在某种意义上是两类中距离分割面最近的特征向量和分割面的距离最大化。
离分割面最近的特征向量被称为”支撑向量”，意即其它向量不影响分割面（决策函数）。
有很多关于SVM的参考文献，这是两篇较好的入门文献。
【Burges98】 C. Burges. "A tutorial on support vector machines for pattern recognition", Knowledge Discovery and Data Mining 2(2), 1998. (available online at [1]).LIBSVM - A Library for Support Vector Machines. By Chih-Chung Chang and Chih-Jen Lin ([2])CvSVM支撑矢量机class CvSVM : public CvStatModel //继承自基类CvStatModel{public:// SVM typeenum { C_SVC=100, NU_SVC=101, ONE_CLASS=102, EPS_SVR=103, NU_SVR=104 };//SVC是SVM分类器，SVR是SVM回归// SVM kernel typeenum { LINEAR=0, POLY=1, RBF=2, SIGMOID=3 }; //提供四种核函数，分别是线性，多项式，径向基，sigmoid型函数。
支持向量机算法的原理和应用
支持向量机算法的原理和应用支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是一种常见的机器学习算法，用于二分类和多分类问题。
它的原理基于统计学习理论和结构风险最小化原则，通过寻找一个最优的超平面来将数据集分隔开。
SVM的基本原理如下：1.数据预处理：将数据集进行归一化或标准化处理，以确保数据的均衡分布。
2.建模：将数据集分为两个类别，构建一个最优超平面，并找出能够最大程度将两个类别分开的决策边界。
3.分类：使用训练好的模型对新的数据进行分类，根据其特征将其分配到相应的类别。
在构建最优超平面时，SVM需要找到一个具有最大边际(margin)的超平面，使得数据点离该超平面的距离最远。
这个超平面被称为“判定边界”。
相关术语包括：支持向量，即距离判定边界最近的数据点；超平面，即用于将数据点分割的线性决策边界；边际，即超平面与支持向量之间的距离。
1.高准确性：在处理训练样本和测试样本时，SVM可以达到较高的准确性。
2.适用于高维数据：SVM通过特征空间的转换，将原本线性不可分的问题转化为线性可分问题，适用于高维数据的分类和回归。
3.泛化能力强：SVM通过最大化边际的概念进行分类，因此在对新样本进行分类时，具有较好的泛化能力。
1.文本和情感分析：SVM可以用于对文本进行情感分类、命名实体识别、文本摘要等任务。
2.图像识别：SVM可用于物体识别、人脸识别、手写数字识别等图像分类问题。
3.生物信息学：SVM可用于预测蛋白质结构、基因功能注释、药物分子分类等领域。
4.金融风险评估：SVM可以用于识别信用卡欺诈、预测股票市场走势、客户分群等金融领域的问题。
5.医学诊断：SVM可用于肿瘤分类、疾病预测、药物研发等医学领域的应用。
关于SVM的进一步发展，还有一些改进算法，如核支持向量机(kernel support vector machine)、多类支持向量机(multi-class support vector machine)和支持向量回归(support vector regression)。
一个简单的案例带你了解支持向量机算法
一个简单的案例带你了解支持向量机算法支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的监督学习算法，可以用于分类和回归问题。
它的基本思想是将样本映射到高维空间中，使得样本在该空间中能够被一个超平面进行有效地分类或回归。
本文以一个简单的分类问题为例，介绍如何使用Python中的sklearn库实现支持向量机算法。
首先，我们需要导入相关的库和数据集。
这里我们使用sklearn自带的一个经典数据集Iris，该数据集包含了3个分类的鸢尾花的样本。
我们将使用SVM对这些样本进行分类。
```pythonfrom sklearn import datasetsfrom sklearn.model_selection import train_test_splitfrom sklearn.svm import SVCfrom sklearn.metrics import accuracy_score# 导入Iris数据集iris = datasets.load_irisX = iris.datay = iris.target#将数据集划分为训练集和测试集X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y,test_size=0.2, random_state=42)```接下来，我们使用sklearn中的SVC类来创建一个支持向量机分类器，并进行训练。
```python#创建支持向量机分类器svm = SVC#训练分类器svm.fit(X_train, y_train)```训练完成后，我们可以使用测试集来评估模型的准确率。
```python#对测试集进行预测y_pred = svm.predict(X_test)#计算准确率accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)print("准确率:", accuracy)```运行上述代码，即可得到支持向量机分类器在该问题上的准确率。
机器学习：SVM（一）——线性可分支持向量机原理与公式推导
机器学习：SVM（⼀）——线性可分⽀持向量机原理与公式推导原理SVM基本模型是定义在特征空间上的⼆分类线性分类器（可推⼴为多分类），学习策略为间隔最⼤化，可形式化为⼀个求解凸⼆次规划问题，也等价于正则化的合页损失函数的最⼩化问题。
求解算法为序列最⼩最优化算法（SMO）当数据集线性可分时，通过硬间隔最⼤化，学习⼀个线性分类器；数据集近似线性可分时，即存在⼀⼩部分outlier，除这些点外，其他的样本线性可分，此时通过软间隔最⼤化，学习⼀个线性分类器；当数据集线性不可分时，将输⼊映射到⾼维空间使得线性可分，利⽤原本空间中的核函数表⽰特征向量映射到⾼维空间之后的内积，这种⽅法称为核技巧，此时学习到⾮线性⽀持向量机。
函数间隔与⼏何间隔⼀个点距离超平⾯远近可以表⽰分类预测的确信程度，在超平⾯w⋅x+b=0(w T x+b=0)确定的情况下，|w T x+b|能够相对表⽰距离超平⾯的远近，取正例y=+1，负例y=−1,则y(w T x+b)可以表⽰分类正确性以及确信度。
⼤⼩表⽰远近，正负表⽰分类正确与否。
超平⾯关于某个样本点(x i,y i)的函数间隔为ˆγi=y i(w⋅x i+b)超平⾯关于训练集的函数间隔为$$\hat \gamma = \mathop {\min {{\hat \gamma }i}}\limits{i = 1,2,...,N} $$在成⽐例改变w,b时，函数间隔会变⼤，但此时超平⾯并没有改变。
因此需对法向量施加约束，从⽽有了⼏何间隔。
超平⾯关于某个样本点(x i,y i)的⼏何间隔为γi=y i(w⋅x i+b ||w||)超平⾯关于训练集的⼏何间隔为$$ {\gamma } = \mathop {\min {\gamma i}}\limits{i = 1,2,..,N} $$线性可分⽀持向量机选择⼀个超平⾯将空间分成两部分，⼀部分全部为正例，⼀部分全部为负例，要求⼏何间隔最⼤。
感知机的策略是误分类数最⼩，因此满⾜条件的超平⾯不唯⼀，有⽆穷多。
spark算法实现——svm支持向量机
spark算法实现——svm⽀持向量机svm是⼀种分类算法，⼀般先分为两类，再向多类推⼴⼀⽣⼆，⼆⽣三，三⽣。
⼤致可分为：线性可分⽀持向量机硬间隔最⼤化hard margin maximization硬间隔⽀持向量机线性⽀持向量机软间隔最⼤化soft margin maximization软间隔⽀持向量机⾮线性⽀持向量机核函数kernel function基本概念：分割超平⾯设C和D为两不相交的凸集，则存在超平⾯P，P可以将C和D分离。
线性可分⽀持向量机SVM从线性可分情况下的最优分类⾯发展⽽来。
最优分类⾯就是要求分类线不但能将两类正确分开(训练错误率为0),且使分类间隔最⼤ 给定线性可分训练数据集，通过间隔最⼤化得到的分离超平⾯为相应的分类决策函数该决策函数称为线性可分⽀持向量机。
φ(x)是某个确定的特征空间转换函数，它的作⽤是将x映射到(更⾼的)维度。
线性⽀持向量机分类线能将两类分开(训练错误率⼤于0，存在个别样本点分错),且使分类间隔最⼤⾮线性⽀持向量机存在⾮线性分割超平⾯，讲样本分开sparkmllib代码实现package mllibimport org.apache.spark.mllib.classification.{SVMModel, SVMWithSGD}import beledPointimport org.apache.spark.mllib.util.MLUtilsimport org.apache.spark.rdd.RDDimport org.apache.spark.sql.SQLContextimport org.apache.spark.{SparkContext, SparkConf}//⼆分类object SVMwithSGD {def main(args: Array[String]) {val conf = new SparkConf().setAppName("test").setMaster("local")val sc = new SparkContext(conf)val sql = new SQLContext(sc);val data: RDD[LabeledPoint] = MLUtils.loadLibSVMFile(sc, "svm.txt")val splits = data.randomSplit(Array(0.6, 0.4), seed = 11L)val training = splits(0).cache()val test = splits(1)// data.foreach( x => println(x.toString()))// data.foreach( x => println(bel))data.foreach( x => println(x.features))val numIterations = 100val model: SVMModel = SVMWithSGD.train(training, numIterations)model.clearThreshold()//为了模型拿到评分不是处理过之后的分类结果val scoreAndLabels: RDD[(Double, Double)] = test.map { point => // ⼤于0 ⼩于0 两类val score = model.predict(point.features)(score, bel)}scoreAndLabels.foreach(println)}}评分>0表⽰样本点在分割⾯之上，<0表⽰在分割⾯之下。
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支持向量机算法推导及其分类的算法实现摘要：本文从线性分类问题开始逐步的叙述支持向量机思想的形成，并提供相应的推导过程。
简述核函数的概念，以及kernel在SVM算法中的核心地位。
介绍松弛变量引入的SVM算法原因，提出软间隔线性分类法。
概括SVM分别在一对一和一对多分类问题中应用。
基于SVM在一对多问题中的不足，提出SVM 的改进版本DAG SVM。
Abstract：This article begins with a linear classification problem, Gradually discuss formation of SVM, and their derivation. Description the concept of kernel function, and the core position in SVM algorithm. Describes the reasons for the introduction of slack variables, and propose soft-margin linear classification. Summary the application of SVM in one-to-one and one-to-many linear classification. Based on SVM shortage in one-to-many problems, an improved version which called DAG SVM was put forward.关键字：SVM、线性分类、核函数、松弛变量、DAG SVM1. SVM的简介支持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。
支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力。
对于SVM的基本特点，小样本，并不是样本的绝对数量少，而是与问题的复杂度比起来，SVM算法要求的样本数是相对比较少的。
非线性，是指SVM擅长处理样本数据线性不可分的情况，主要通过松弛变量和核函数实现，是SVM 的精髓。
高维模式识别是指样本维数很高，通过SVM建立的分类器却很简洁，只包含落在边界上的支持向量。
2. 线性分类器及其求解线性分类器，是最简单也很有效的分类器形式。
在一个线性分类器中，可以看到SVM 形成的思路,并接触很多SVM 的核心概念。
用一个二维空间里仅有两类样本的分类问题来举例。
如图1所示图1 两类样本分类C1和C2是要区分的两个类别，在二维平面中它们的样本如图1所示。
中间的直线就是一个分类函数，它可以将两类样本完全分开。
一般的，如果一个线性函数能够将样本完全正确的分开，就称这些数据是线性可分的，否则称为非线性可分的。
很容易看出来，图1中间那条分界线并不是唯一的，旋转一下，只要不把两类数据分错，仍然可以达到分类的效果，稍微平移一下，也可以。
对同一个问题存在多个分类函数的时候，哪一个函数更好呢？必须要先找一个指标来量化“好”的程度，通常使用分类间隔来衡量。
设平面中的直线方程为：(x)wx b g =+ （1） 设i x 是一个有某一对象抽取出的n 维向量，i y 为分类标记，则可以定义点到某一超平面的间隔：(w b)i i y x δ=+（2） 用||||w w 和||||b w 替代（2）式中的w 和b 得： 1|(x )|||||i i g w δ= （3）将（3）式得到的间隔称为几何间隔，几何间隔所表示的正是点到超平面的欧氏距离，以上是单个点到某个超平面的距离定义，同样可以定义一个点的集合（就是一组样本）到某个超平面的距离为此集合中离超平面最近的点的距离。
图2更加直观的展示出了几何间隔的含义。
图2 分割超平面图2中，H 是分类面，H1和H2是平行于H ，且过离H 最近的两类样本的直线，H1与H ，H2与H 之间的距离就是几何间隔。
几何间隔与样本的误分次数间存在关系：22()R δ≤误差分数其中的δ是样本集合到分类面的间隔，max ||x ||,i 1,...,n i R ==，即R 是所有样本中向量长度最长的值。
从上式可以看出，误分次数的上界由几何间隔决定。
因此选择几何间隔来作为评价一个解优劣的指标，几何间隔越大的解，它的误差上界越小。
因此最大化几何间隔成了我们训练阶段的目标。
从（3）式可知，几何间隔与||w||是成反比的，因此最大化几何间隔与最小化||w||等价。
通常不是固定||w||的大小而寻求最大几何间隔，而是固定间隔（例如固定为1），寻找最小的||w||。
此时变成一个最优化问题，若想寻找一个小||w||，就可以用下面的式子表示：min ||||w但实际上对于这个目标，常常使用另一个完全等价的目标函数来代替，如下：21min ||||2w如果直接来解这个求最小值问题，很容易看出当||w||=0的时候就得到了目标函数的最小值。
反映在图2中，就是1H 与2H 两条直线间的距离无限大，这个时候，所有的样本点都位于1H 和2H 中间，而我们原本的意图是，1H 右侧的被分为正类，2H 左侧的被分为负类，位于两类中间的样本则拒绝分类。
这样，所有样本点都进入了无法分类的灰色地带。
造成这种结果的原因是在描述问题的时候只考虑了目标，而没有加入约束条件，于是可以添加约束条件：[()b]1(i 1,2,...,n)i i y w x ⋅+≥=（n 是总的样本数）于是可以将两类分类转化成数学形式，如下：21min ||||2[()b]-10(i 1,2,...,n)i i w y w x ⎧⎪⎨⎪⋅+≥=⎩ （4）在这个问题中，自变量就是w ，而目标函数是w 的二次函数，所有的约束条件都是w 的线性函数，这种规划问题就是二次规划（Quadratic Programming ，QP ），由于它的可行域是一个凸集，因此它是一个凸二次规划。
样本确定了w ，用数学的语言描述，就是w 可以表示为样本的某种组合：1122n n w x x x ααα=++⋯+ （5）式子中的i α是拉格朗日乘子，而i x 是样本点，也是向量，n 就是总样本点的个数。
为了方便描述，以下开始严格区别数字与向量的乘积和向量间的乘积，我会用i i x α表示数字和向量的乘积，而用,i j x x <>表示向量,i j x x 的内积。
因此（1）式严格的形式应该是：(x ),g w x =<>+ （6）w 不仅跟样本点的位置有关，还跟样本的类别有关。
因此用下面这个式子表示w ：121122n n n w x x y x y y ααα=++⋯+ （7）其中的i y 就是第i 个样本的标签，它等于1或者-1。
其实以上式子的拉格朗日乘子12,,,n ααα⋯中，只有很少的一部分不等于0，这部分不等于0的拉格朗日乘子后面所乘的样本点，其实都落在1H 和2H 上，也正是这部分样本唯一的确定了分类函数。
这部分可以确定分类的样本点，就叫做支持向量。
因此原来的g(x)表达式可以写为：1(x),b(),n i i i i g w x y x x bα==<>+=<>+∑， （8）其中，1()n i i i i w y x α==∑上式可以变形为：1(x ),n i i i i g y x x bα==<>+∑ （9）此时消去了上式中的w ，问题从求w 变成了求α。
这样就简化了原问题的求解，以这样的形式描述问题以后，优化问题少了很大一部分不等式约束。
接下来看看 SVM 在线性分类器上所做的重大改进——核函数。
3. SVM 中的核函数根据模式识别理论，低维空间线性不可分的模式通过非线性映射到高维特征空间则可能实现线性可分，但是如果直接采用这种技术在高维空间进行分类或回归，则存在确定非线性映射函数的形式和参数、特征空间维数等问题，而最大的障碍则是在高维特征空间运算时存在的“维数灾难”。
采用核函数技术可以有效地解决这样问题。
如图3所示，当分类问题在低纬空间无法用线性分类方法解决时，可以通过φ将低纬空间的数据映射到高纬特征空间中，从而达到线性可分的目的。
图3 低纬度向高纬度空间映射从低纬度向高纬度转化关键在于寻在一个φ函数，但对目前没有一个系统的方法。
对映射过程推导如下：1212123123222211221122222211121222211222(,),(,)(,,),(,,)(,),(,)2()(,)(,)T T T T T T TTT T TTT T T T T x x x x z z z z z z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x K x x φφ<>=<>=<>=++=+=<>= （10）从上式可以得出，我们只关心高维空间里内积的值，而核函数就是接受低空间的输入，并计算出在高纬空间的内积值。
(,)T K x x ，就是我们要找的核函数。
如图4图4 在映射过程中的核函数于是上式，可以表示为1(x)(,)n i i i i g y K x x bα==+∑。
尽管给的问题是线性不可分的，但凡是要求内积的时候我们就选定的核函数来算。
这样求出来的α再和你选定的核函数一组合，就可以得到线性分类器。
但是任然存在以下两个问题：1．既然有很多的核函数，针对具体问题该怎么选择？2．如果使用核函数向高维空间映射后，问题仍然是线性不可分的，那怎么办？第一个问题：对核函数的选择，现在还缺乏指导原则！各种实验的观察结果的确表明，某些问题用某些核函数效果很好，用另一些就很差，但是一般来讲，径向基核函数是不会出太大偏差的一种，首选。
对第二个问题的解决则引出了SVM 中的另一个概念：松弛变量。
4. SVM 中的松弛变量假设有另一个训练集，只比原先这个训练集多了一个样本，映射到高维空间以后，也就多了一个样本点，但是这个样本的位置是这样的，如图5：图5 新增加了一个样本后分类的结果就是图中黄色那个点，它是方形的，因而它是负类的一个样本，这单独的一个样本，使得原本线性可分的问题变成了线性不可分的。
这样类似的问题（仅有少数点线性不可分）叫做“近似线性可分”的问题。
对于人类思维，在大量的样本基础上，可能会认为图5中的黄点是错误的，是噪声，会自动的剔除掉。