因式分解提高培优

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因式分解超经典讲解及培优

八年级因式分解应用及巩固1、要求：因式分解除了要掌握一提二用三完全基本方法以外，需要开动脑筋做因式分解的较难题目，这类题目需要基础扎实，考试定会助你一臂之力，当然，需要你的智慧和细心。

2、目录：1基础训练2简便计算3整除类4配全公式题型5化简求值6几何相关友情提示：做会这些神题，你的因式分解差不多无敌了！3、回顾：常见题型及技巧 1、一般提数字，8x －72= 2、提单个字母 x x -23、提多项式注意变号，）a （x －y ）+b （y －x ） 32612m n n m （－）－（－）4、提指数类–2x 2n -4x n5、首位是负号，－24x 3－12x 2+28x .6、公式类，分数较难，412+-x x 416x -()()b a b a +-+43 (x ＋y )2－18(x ＋y )＋817、分组分解因式：1．m 2(p －q)－p ＋q ；2、1222-++y xy x小结一句话：一提二用三完全。

注意：提空了就剩1来补位。

1的平方还是1，注意利用。

有负号先提负号。

1、基础训练（步入江湖）（1）269x x ++；（2）2()4()4a b a b +-++．（3）221424a ab b ++；（4）8a b 2-16a 3b 3 （5）-15xy-5x 2；（6）-3a 3m -6a 2m +12am ．(7)4x 2-25y 2; 8、 3a ²-12 9、 =-x x 3 10、=++2422x x2、简便计算（暂露头角）在小学我们接触过简便计算，根据乘法的分配律及加减法的结合律，可以对算式进行简便计算。

很多计算题，我们可以把相同数字提公因式，或者根据相关公式变形，达到简便解题的目的。

请看例题。

例题1、9879879879871232644565251368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯例题2、（2+1）（22+1）(24+1)(28+1)(216+1) 练习：1、7.6199.8 4.3199.8 1.9199.8⨯+⨯-⨯2、2.186 1.237 1.237 1.186⨯-⨯3、（-2）21+（-2）20 4 、39×37-13×34=_ 5、9×10100-101016、9992＋9999、4.3×199.7+7.5×199.7-1.8×199.7 10、19981996199719972⨯-3、整除类小有名气这类题目一般是需要通过化简给出的代数式，最后看能不能得到要被整除的数的倍数。

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因式分解提高训练——添项拆项法、待定系数法及运用一、知识梳理1、添项拆项法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。

但如果它们进行适当的添项或拆项后利用分组分解法又可以分解了，那么添项和拆项有没有标准？一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。

如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。

2、待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。

然后再把积乘出来。

用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。

二、典例精讲专题一：添项拆项法例题1、分解因式：（1）x3-3x+2 （2）x4+4 (3) 2x2+x-1变式训练：（1）x4+x2+1 (2)x4+64 (3)x4-7x-2专题二：待定系数法例3、分解因式：6x 2+7xy+2y 2-8x-5y+2变式训练：用待定系数法分解 x 2+2xy-8y 2+2x+14y-3 的因式例4、已知多项式 x 4+x 3+6x 2+5x+5能被x 2+x+1整除，请分解前者的因式。

变式训练：已知x 2+2x+5是x 4+ax 2+b 的一个因式，则a+b=专题三：在实数范围内分解因式例5、在实数范围内分解因式（1）3-22 （2）3+10-6-15 （3） x 2-(3+2) x +6（4）4x 2－3 (5) x-21 x变式训练（在实数范围内分解因式）： (1)7+210 (2)9-220 (3)x 2-(2+7)x+14(4) 14-10-21+15 (5)a 4-6a 2+8课堂作业1、分解下列各式的因式①x 4+2534x 2+1 ②x 3+6x 2+11x+6 ③x 3+2x 2+2x+1④x 4+x 3-3x 2-4x-4 ⑤(1-a 2)(1-b 2)-4ab2、已知多项式x 4-3x 2+6x+8有一个因式是x 2-3x+4，把这个多项式分解因式.3、若多项式x 2-6x+5和多项式x 2+2x-k 有公因式，则k=4、如果a 、b 是整数，且是x 2-x-1是ax 3+bx 2+1的因式，则b=5、若2x 3-10x 2+mx-15能被x-5整除，则m=6、若3x 2-kx+4被3x-1除余3，则k=7、已知a 、b 、c 为实数，且多项式x 3+ax 2+bx+c 能被x 2+3x-4整除,①求4a+c ②求2a-2b-c 的值。

因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．对应练习题分解因式：2211(1)94n n x x y +-+；(2) x 10+x 5－2422332223(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2(6) (a -b )2-4(a -b -1)（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习题分解因式：1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例题3 分解因式：ay ax y x ++-22例题4 分解因式：2222c b ab a -+-对应练习题分解因式：3、y y x x 3922---4、yz z y x 2222---综合练习题分解因式：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）432234232.a a b a b ab b ++++（13）22)()(bx ay by ax -++ （14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++（15）a a x ax x -++-2242 （16）a x a x x 2)2(323-++-（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1 分解因式：652++x x例题2 分解因式：672+-x x对应练习题分解因式：(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题3 分解因式：101132+-x x对应练习题分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 －16b8b +(－16b )= －8b对应练习题分解因式：(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：22672y xy x +- 例题6 分解因式：2322+-xy y x对应练习题分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习题分解因式：（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(22222、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式. 条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221即： 1a 1c 1f2a 2c 2fB c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f y c x a f y c x a ++++例题7 分解因式：（1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x解：（1）2910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5- 2x y 2 1-xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x（2）613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2- 3x y 3 2- xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x对应练习题分解因式：（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y例题9 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---四、主元法例题分解因式：2910322-++--y x y xy x对应练习题分解因式：(1)613622-++-+y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)2737622--+--y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1 分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)－12．例题2 分解因式：22222)84(3)84(x x x x x x ++++++例题3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(-+++-x x x x分析：型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4 分解因式：56)6)(67(22+--+-x x x x .例题5 分解因式：(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3)－90．例题6 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.例题7 分解因式：272836+-x x例题8 分解因式：22244)()()(b a b a b a -+++-例题9 分解因式：272)3()1(44-+++y y例题9对应练习分解因式：444)4(4-++a a例题10 分解因式：(x 2+xy +y 2)2－4xy (x 2+y 2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x +y ，v=xy ，用换元法分解因式．例题11 分解因式：262234+---x x x x分析：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习分解因式：6x 4+7x 3－36x 2－7x +6．例题11对应练习分解因式：144234+++-x x x x对应练习题分解因式：（1）x 4+7x 3+14x 2+7x +1 （2）)(2122234x x x x x +++++（3）2005)12005(200522---x x （4）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++（5） (1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ （6）(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- （7）2(25)(9)(27)91a a a +--- （8）(x +3)(x 2－1)(x +5)－20（9）222222)3(4)5()1(+-+++a a a （10） (2x 2－3x +1)2－22x 2+33x －1（11）()()()a b c a b b c ++-+-+2333（12）21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-（13）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1 分解因式：x 3－9x +8．例题2 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3； (2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x +1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题分解因式：（1）4323+-x x （2）2223103)(2b ab a x b a x -+-++（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++（7）x 3+3x 2－4 （8）x 4－11x 2y 2+y 2 （9）x 3+9x 2+26x +24 （10）x 4－12x +323 （11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1 (14)56422-++-y x y x(15)ab b a 4)1)(1(22---七、待定系数法例题1 分解因式：613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++对应练习题分解因式：（1）2737622--+--y x y xy x （2）2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3）2910322-++--y x y xy x （4）6752322+++++y x y xy x例题2 （1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(ab f . 例如：当 f(x )=x 2+x +2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当2()967f x x x =+-除以(31)x +时，则余数=2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-.4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=abf .整系数一次因式检验法：设f(x)＝0111c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a , b为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则（1）0,c b c a n（2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f例题1 设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？(1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4例题2 把下列多项式分解因式：(1)453+-x x(2) 6423++-x x x (3) 245323-++x x x （4）1027259234++++x x x x （5）31212165234--++x x x x课后作业分解因式：（1）x 4＋4（2）4x 3－31x ＋15 （3）3x 3－7x ＋10 （4）x 3－41x ＋30 （5）x 3＋4x 2－9 （6）x 3＋5x 2－18 （7）x 3＋6x 2＋11x ＋6 （8）x 3－3x 2＋3x ＋7 （9）x 3－11x 2＋31x －21（10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11）19981999199824-+-x x x （12）19961995199624+++x x x （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3（15）23)12)(10)(6)(5(4x x x x x -++++ （16）12)4814)(86(22+++++x x x x （17）222215)4(8)4(xx x x x x ++++++（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x （19）x 4＋x 2y 2＋y 4 （20）x 4－23x 2y 2＋y 4（21）a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋3(a ＋b )＋2 （22）641233-++ab b a （23）12233+++-b a ab b a .（24）1)1()2+-+ab b a （（25）2222224)()(2b a x b a x -++-（26）))(()()(333333y x b a by ax bx ay ++-+++ （27）633621619y y x x --（28）x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz （29）810381032345++---x x x x x因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n －1和2n +1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证：139792781--能被45整除.6、求证：146+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2能被9整除． 8、已知222y xy x -+=7，求整数x 、y 的值． 9、求方程07946=--+y x xy 的整数解. 10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解． 11、求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab =99，则a =______，b =_______ . 13、计算下列各题： (1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；(2)19952199519931995199519963232－－＋－⨯．14、求积()()()()()11131124113511461198100＋＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯ ()1199101＋⨯的整数部分？15、解方程：（x 2＋4x )2－2(x 2＋4x )－15=016、已知ac ＋bd =0，则ab (c 2＋d 2)＋cd (a 2＋b 2)的值等于___________．17、已知a －b =3, a －c =326, 求(c —b )[(a －b )2+(a －c )(a －b )+(a －c )2]的值．18、已知012=++x x ，求148++x x 的值．19、若x 满足145-=++x x x ，计算200419991998x x x +++ .20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式abc c b a 3333=++，证明这个三角形是等边三角形．。

因式分解提高题（5篇）

因式分解提高题(5篇)以下是网友分享的关于因式分解提高题的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一一、填空：1. 若x 2+2(m -3) x +16是完全平方式，则m 的值等于_____。

2. x 2+x +m =(x -n ) 2则m n 若x m -y n =(x +y 2)(x -y 2)(x 2+y 4) ，则m=_______，n=_________。

x 2+(_____)x +2=(x +2)(x +_____)223. 4. 5. 若x +4x -4的值为0，则3x +12x -5的值是________。

22若x +y =4, x +y =6则xy = 6.二、选择题：1、多项式-a (a -x )(x -b ) +ab (a -x )(b -x ) 的公因式是（）A 、－a 、B 、-a (a -x )(x -b )C 、a (a -x )D 、-a (x -a ) 222、若mx +kx +9=(2x -3) ，则m ，k 的值分别是（）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=-12、3、下列名式：x -y , -x +y , -x -y , (-x ) +(-y ) , x -y 中能用平方差公式分解因式的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、计算(1-[1**********]111)(1-) (1-)(1-) 的值是（）232223910A 、11111, C . , D . ，B 、2010202三、分解因式：1 、x -2x -35x2 、3x -3x223 、x -4xy -1+4y 4、x -1 3432625、ax -bx -bx +ax +2b -2a6、x -18x +81四、代数式求值1、2、3、五、计算：22222已知a +b =2，求(a -b ) -8(a +b ) 的值2242已知2x -y =1，xy =2，求2x 4y 3-x 3y 4的值。

浙教版七年级下数学辅导七因式分解培优提高提

七年级下数学辅导七因式分解培优提高提一、填空题：〔每题 2 分，共 24 分〕1、把以下各式的公因式写在横线上：① 5x 225x 2 y =〔15y) ；②4x2 n6x 4n=23x 2n.2、填上适当的式子，使以下等式成立：〔1〕2xy 2 2y xy xy( ) ；〔〕nan 2a2nan( ) .x 2 a3、在括号前面填上“＋〞或“－〞号，使等式成立：〔1〕 ( y x)2( x y) 2；〔2〕(1x)(2 x)(x 1)( x2) 。

4、直接写出因式分解的结果：〔1〕 x2 y2y 2；〔2〕3a26a 3。

5、假设 a 2 b 22b 1 0，那么 a，b＝。

6、假设x2mx 16x 4 2，那么m=。

7、如果 x y 0, xy7 ,那么x2y xy2，x2y 2。

8、简便计算： 2 － 2. 9、已知a13 ，那么 2 1 的值是.10 、如果 2a+3a a a23-4a-6b= .11、假设x2mx n 是一个完全平方式，那么m、 n 的关12、正方形的面积是9x 2 6 xy y2〔x>0，y>0〕,利用分解因式，写出表示该的边长的代数式.二、选择题：〔每题 2 分，共 20 分〕1、以下各式从左到右的变形中，是因式分解的为〔〕A、x( a b) ax bxB、x21 y 2( x 1)( x 1)y 2C、 2 1 ( 1)( 1) 、x x x D ax bx c x(a b) c2、一个多项式分解因式的结果是(b32)( 2 b3 ) ，那么这个多项式是〔〕A、 6 4 、 6 、 6 、 6b B 4 b C b 4 D b 43、以下各式是完全平方式的是〔〕A、x2 x 1B、1 x2C、x xy 1D、x2 2x 144、把多项式m2(a 2) m(2 a) 分解因式等于〔〕A ( 2)( 2 )B ( a2m) C、m(a-2)(m-1)、a m m 2)(m D m(a-2)(m+1)5、9( a b) 212(a 2b2 ) 4( a b) 2因式分解的结果是〔〕A、(5a b) 2、 2 、、 2B (5a b)C (3a 2b)(3a 2b)D (5a 2b)6、以下多项式中，含有因式( y 1) 的多项式是〔〕A、y22xy 3x 2B、 ( y 1) 2( y 1) 2C 、( y1)2( y21) D、( y 1)22( y 1) 17、分解因式x4 1 得〔〕A、( 2 1)( 2 1) 2 2 、 2 、 3x x B、( x 1) ( x 1) C (x 1)( x 1)( x 1) D ( x 1)( x 1)8、多项式2x2bx c 分解因式为 2(x 3)( x 1) ，那么 b, c 的值为〔〕A、b3, c 1B、 b6, c 2C、b6, c4D、b4, c 69、a、b、c是△的三边，且 a2 b2 c2 ab ac bc，那么△的形状是〔〕ABC ABCA、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形10、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形〔 a>b〕。

因式分解培优题（超全面、详细分类）

因式分解培优题（超全面、详细分类）因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+?+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－?+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－?－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2例题3分解因式：a3+b3+c3－3abc．分解因式：x15+x14+x13+?+x2+x+1．对应练习题分解因式：(1)x2n x n1y21；94 (2)x10+x5－2422332232(3)x 2xy4xy 4xy y(4x y)(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2－x52222(5)9(a-b)+12(a-b)+4(a+b)(6)(a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x2y2ax ay例题4分解因式：a22ab b2c2对应练习题分解因式：3、x2x 9y23y4、x2y2z22yz综合练习题分解因式：（1）x 3x 2y xy 2 y 3 （2）ax 2 bx 2 bx ax a b（3）x 26xy 9y 2 16a 2 8a 1（4）a 26ab 12b9b 24a（5）a 42a 3 a 2 9 （6）4a 2x 4a 2y b 2x b 2y（7）x 22xy xz yz y 2（8）a 22a b 22b2ab1（9）y(y2) (m 1)(m 1) （10）(a c)(a c) b(b 2a)（11）a 2(bc) b 2(a c) c 2(ab) 2abc（12）a 4 2a 3b 3a 2b 2 2ab 3 b 4.（13）(axby)2 (ay bx)2 （14）xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3x 3 x 3y 3 （15）x 4xa2a3 22（）x3x(a2)x2a16（17）(x1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式——x 2 (pq)xpq (x p)(x q)进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1分解因式： x 25x 6例题2分解因式： x 27x 6对应练习题分解因式：14x 24(2)a 215a 36(3)x 24x 5(4)x 2x 2(5)y 22y 15(6)x 210x 24（二）二次项系数不为 1的二次三项式—— ax 2 bx c 条件：（1）aa 1a 2a 1 c 1 （2）cc 1c 2a 2 c 2 （3）ba 1c 2a 2c 1ba 1c 2a 2c 1分解结果：ax2bxc=(a 1xc 1)(a 2xc 2)例题3分解因式：3x 211x10（1）5x 27x 6（2）3x27x2（3）10 x217 x32（）6y11y104（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b1－16b8b+(－16b)=－8b对应练习题分解因式：(1)x23xy 2y2(2)m26mn 8n2(3)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x27xy6y2例题6分解因式：x2y23xy2对应练习题分解因式：（1）27xy4y2（）2215xax6ax82（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(x y)23(x y) 10（4）(a b)24a 4b3（5）x2y25x2y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n2（7）x24xy 4y22x 4y 3（8）5(a b)223(a2b2) 10(a b)2（9）4x24xy 6x 3y y210（10）12(x y)211(x2y2) 2(x y)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)x abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax2Bxy Cy2Dx Ey F型多项式的分解因式.条件：（1）A a1a2，C c1c2，F f1f2（2）a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D即：a1c1f1a2c2f2a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D则Ax2BxyCy2Dx Ey F(a1x c1y f1)(a2x c2y f2)例题7分解因式：（1）x23xy10y2x9y2（2）x2xy6y2x13y6解：（1）x23xy10y2x9y2应用双十字相乘法：x5y2x2y12xy5xy3xy，5y4y9y，x2x x∴原式=(x5y2)(x2y1)（2）x2xy6y2x13y6应用双十字相乘法：x2y3x3y23xy2xy xy，4y9y13y，2x3x x∴原式=(x2y3)(x3y2)对应练习题分解因式：（1）x2xy 2y2x 7y 6（2）6x27xy 3y2xz 7yz 2z23、十字相乘法进阶例题8分解因式：y(y 1)(x21) x(2y22y1)例题9分解因式：ab(x2y2) (a2b2)(xy 1) (a2b2)(x y)四、主元法例题分解因式：x23xy 10y2x 9y2对应练习题分解因式：(1)x2xy 6y2x 13y 6(2)x2xy 2y2x 7y6 (3)6x27xy 3y2x 7y 2(4)a2ab 6b25a 35b 36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题2分解因式：(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2例题3分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5)9分析：型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：(x27x 6)(x2x 6)56.例题5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．例题62222分解因式：4(3x x1)(x2x3)(4xx4)提示:可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4AB.例题7分解因式：x628x327例题8分解因式：(a b)4(a b)4(a2b2)2例题9分解因式：(y 1)4(y 3)4272例题9对应练习分解因式：a444(a4)4例题10分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．例题11分解因式：2x4x36x2x2分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习43－36x2－7x+6．分解因式：6x+7x例题11对应练习分解因式：x44x3x24x1对应练习题分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1（2）x42x3x2 1 2(x x2)（3）2005x2(200521)x2005（4）(x1)(x 2)(x 3)(x 6)x2（5）(x1)(x3)(x5)(x7)15（6）(a1)(a2)(a3)(a4)24（7）(2a 5)(a29)(2a 7) 91（8）(x+3)(x2－1)(x+5)－20（9）(a21)2(a25)24(a23)2（10）(2x2－3x+1)2－22x2+33x－1（11）(a 2b c)3(a b)3(b c)3（12）xy(xy1)(xy3)2(xy12)(x y1)2（13）(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1分解因式：x 3－9x+8．例题2分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3；(2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x+1)4+(x 2－1)2+(x －1)4；(4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题分解因式：（1）x 3 3x 2 4（2）x 22(a b)x 3a 2 10ab 3b 2（3）x 4 7x 2 1（4）x 4x 21a 2（5）4442 22 2 2 2 444xy(xy)（）2ab2ac2bcab c6（7）x 3+3x 2－4（8）x 4－11x 2y 2+y 2（9）x 3+9x 2+26x+24 （10）x 4－12x+323 （11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1(14)x 2y 24x6y5(15)(1a 2)(14ab七、待定系数法例题1分解因式：x2xy 6y2x 13y6分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3y m)(x2y n)对应练习题分解因式：（1）6x27xy 3y2x 7y 2（2）2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20（3）x23xy 10y2x 9y 2（4）x23xy 2y25x 7y6例题2（1）当m为何值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式.（2）如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求a b的值.（3）已知：x22xy3y26x14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.（4）k为何值时，x22xy ky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、f x 的意义：已知多项式fx ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为 fx 在x =c 的多项式值，用 fc 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式fx 除以gx 所得的商式为 qx ，余式为rx ，则：fx =gx ×qx +rxb3、余式定理：多项式 f (x)除以x b 之余式为 f(b)；多项式f(x)除以axb 之余式f( ).a例如：当 f(x)=x 2+x+2除以 (x –1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当f(x)9x26x 7除以 (3x1)时，则余数=f(1)9( 1)2 6(1)78.3334 a,bR ， a0， f(x) 为关于x 的多项式，则 xb为f(x)的因式、因式定理：设f(b)0；axb 为f(x)的因式f(b 0.)a整系数一次因式检验法：设f(x)＝c n x n c n 1x n1c 1xc 0 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a,b 为整数,a 0,且a,b 互质)，则（1）ac n ,bc 0（2）(a –b)f(1), (a b)f( 1)例题1设f(x)3x 32x 2 19x 6，试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x –1，(2)x –2，(3)3x –1，(4)4x ＋1，(5)x –1，(6)3x –4 例题2把下列多项式分解因式：(1) x 35x4(2) x 34x 2x 6(3) 3x 35x 2 4x 2（4）x 4 9x 3 25x 227x10（5）x 45x 3 1x 2 1x 16223课后作业分解因式：（1）x4＋4（2）4x3－31x＋15（3）3x3－7x＋10（4）x3－41x＋30（5）x3＋4x2－9（6）x3＋5x2－18（7）x3＋6x2＋11x＋6（8）x3－3x2＋3x＋7（9）x3－11x2＋31x－21（10）x4＋1987x2＋1986x＋1987（11）x41998x21999x1998（12）x41996x21995x1996（13）x3＋3x2y＋3xy2＋2y33223（1412）x－9ax＋27ax－26a（15）4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2（16）(x26x8)(x214x48)12（17）(x2x4)28x(x2x4)15x2（18）2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)2（19）x4＋x2y2＋y44224（20）x－23xy＋y（21）a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2（22）a3b312ab64（23）a3bab3a2b21.（24）（ab)2(ab1)1（25）x42(a2b2)x2(a2b2)2（26）(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3)（27）x619x3y3216y6（28）x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz（29）3x510x48x33x210x8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加 1是整数的平方.2、2n －1 和2n+1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8整除．3、已知2 481可以被 60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.24可被40 至50之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知7－15、求证： 817279 913能被45整除.66、求证：14+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证： 4x 2+7xy －2y 2能被9整除．8、已知x 2 xy 2y 2=7，求整数x 、y 的值．9、求方程6xy4x9y 7 0的整数解.10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解．11、求方程 4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab=99，则a=______，b=_______.13、计算下列各题：(1)23×3.14＋5.9 ×31.4＋180×0.314； 19953－219952－1993(2)．19953＋19952－1996＋ 1＋1＋ 1＋1 ＋1＋1的14、求积(11 )(14)(1)(14 )(1)(1)32 35 698 10099 101整数部分？15、解方程：（x 2＋4x)2－2(x 2＋4x)－15=02 2 2 216、已知ac ＋bd=0，则ab(c ＋d)＋cd(a ＋b)的值等于___________．17、已知a －b=3,a －c=3 26,求(c —b)[(a －b)2+(a －c)(a －b)+(a －c)2]的值．18、已知x 2x 1 0，求x 8x 41的值．19、若x 满足x 5 x 4 x1 ，计算x 1998x 1999x 2004.20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式a 3b 3c 33abc ，证明这个三角形是等边三角形．。

因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解培优题(超全面、详细分类)因式分解专题培优将一个多项式变形成几个整式的积的形式，这个变形过程称为因式分解。

初中阶段常用的因式分解方法如下：1.基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。

2.常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。

3.考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法。

一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现在可以反向使用它们来进行因式分解，例如：1) a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)2) a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^23) a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)4) a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)以下是几个常用的公式：5) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^26) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)7) an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b + an-3b^2 + … + abn-2 + bn-1)，其中n为正整数；8) an - bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … + abn-2 - bn-1)，其中n为偶数；9) an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … - abn-2 + bn-1)，其中n为奇数。

在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。

例如：例题1：分解因式：-2x^5n-1yn+4x^3n-1yn+2-2xn-1yn+4；例题2：分解因式：a^3 + b^3 + c^3 - 3abc。

初二数学培优因式分解4大培优方法

初二数学培优因式分解4大培优方法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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在初二数学学习中，因式分解是一个非常重要的知识点。

因式分解培优训练题(培优篇)+答案

章节复习之因式分解（培优篇）因式分解的方法一——基本方法知识要点：因式分解的基本方法有提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。

在对一个多项式进行因式分解时，应根据多项式的特点选择合理的分解方法。

A 卷一、填空题1、分解因式：_______________419122=+-+y x x n n . 2、（河南省竞赛题）分解因式：_______________63522=++++y y x xy x . 3、已知242--ax x 在整数范围内可以分解因式，则整数a 的可能取值为 .4、（2000年第16届“希望杯”竞赛题）分解因式：()()__________122=++-+b a b a ab . 5、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）如果x 、y 是整数，且12005200422=-+y xy x ，那么_________=x ，_________=y .二、选择题6、如果多项式9142++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（） A 、6- B 、6 C 、32或32- D 、34或34- 7、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）已知二次三项式c bx x ++22分解因式后为()()132+-x x ，则（）A 、3=b ，1-=cB 、6-=b ，2=cC 、6-=b ，4=cD 、4-=b ，6-=c8、（江苏省南通市2005年中等学校招生考试题）把多项式1222-+-b ab a 分解因式，结果为（）A 、()()11--+-b a b aB 、()()11-++-b a b aC 、()()11-+++b a b aD 、()()11--++b a b aB 卷一、填空题9、研究下列算式：252514321==+⨯⨯⨯；21112115432==+⨯⨯⨯；==+⨯⨯⨯36116543219；22984117654==+⨯⨯⨯，……用含n 的代数式表示此规律（n 为正整数）是 .二、选择题10、对于这5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③()x x 422+-；④()()m n n n m m -+-63；⑤()()b d c c b d y d c b x 222-+-----+其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）A 、①②⑤B 、②④⑤C 、③④⑤D 、①②④11、已知二次三项式10212-+ax x 可以分解成两个整系数的一次因式的积，那么（） A 、a 一定是奇数 B 、a 一定是偶数 C 、a 可为奇数也可为偶数 D 、a 一定是负数三、解答题 12、分解因式：（1）（2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题）分解因式：()()()33322y x y x -----（2）122229227131+++--n n n x x x （3）2222222ab x b b a abx bx x a ax +-+-+- （4）()222224b a abx x b a +--- （5）()()()b a c a c b c b a -+-+-222 （6）613622-++-+y x y xy xC 卷一、解答题13、n （1 n ）名运动员参加乒乓球循环赛，每两人之间正好只进行一场比赛。

因式分解精选经典拔高培优习题(含详细答案解析)

因式分解精选经典培优习题1、多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)2、把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．3、分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ．4、分解因式：22635y y x xy x ++++5、分解因式91)72)(9)(52(2---+a a a6、2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy因式分解详细答案解析1、多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)解析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．2、把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．解析： (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．3、分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ．解析：4、分解因式：22635y y x xy x ++++ 解析：5、分解因式 91)72)(9)(52(2---+a a a 解析：6、2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy 解析：。

著名机构讲义暑假12-七年级培优版-因式分解提高-学生版

教师姓名学生姓名年级初一上课时间学科数学课题名称因式分解提高知识模块Ⅰ：提取公因式法1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

注意：（1）因式分解是多项式乘法的逆运算。

（2）因式分解的最终结果是几个多项式乘积的形式。

2、提公因式法：)(c b a ac ab +=+因式分解提高提取公因式是将一个多项式中的含有公共的因式提取出来的过程，重点是找出多项式中每一项都含有的公共因式。

提取公因式一定要将公因子提取干净。

最后要化成整式乘积的形式。

3、找公因式要注意：（1）系数取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项中相同字母的最低次幂4、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

5、提公因式要注意：（1）当第一项的系数为负数时，首先要提出“-”号，多项式的各项都变号（2）多项式的每一项与公因式做除法，所得的商为这项的余因式（3）余因式中不能再有公因式，余因式的项数与原多项式的项数相等口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

【例1】 2213m m m m a x abx acx ax +++-+--【例2】a a b a b a ab b a ()()()-+---32222知识模块Ⅱ：公式法1、运用公式法：))((22b a b a b a -+=-222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-2、注意：运用公式就是借助与平方差公式和完全平方公式进行因式分解的过程，这里面要求学生对于公式能够熟练的掌握，准确的记忆是快速解决此类问题的前提。

寒假特训培优三因式分解+扩展提升

一、公因式法二、公式法三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .例5、分解因式：652++x x例6、分解因式：672+-x x练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --练习8、分解因式(1)2223y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x练习9、分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习10、（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222五、换元法。

因式分解精选经典拔高培优习题(含详细答案解析)

因式分解的能力提升训练题(培优卷)

因式分解的能力提升训练题（培优卷）1、计算()2013×1.52012×(－1)2014的结果是( )A、B、C、－D、－2、下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（）A、B、C、D、3 把代数式ax²－4ax+4a²分解因式，下列结果中正确的是（）A、a(x－2) 2B、a(x+2) 2C、a(x－4)2D、a(x－2) (x+2)4、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（）。

A、a2＋b2=(a＋b)(a－b)B、(a＋b)2=a2＋2ab＋b2C、(a－b)2=a2－2ab＋b2D、a2－b2=(a－b)25、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是：（）A．B．C．D．6 分解因式（1）(a－b)2+4ab(2) 4xy2－4x2y－y2（3）4a2bc－3a2c2＋8abc－6ac2；（4）（y2＋3y）－（2y＋6）2.（5）a(x-y)+b(y-x)+c(x-y) （6）（7）（m 2＋3m ）2－8（m 2＋3m ）－20；7．已知a +b ＝2，ab ＝2，求12a 3b +a 2b 2+12ab 3的值．8．先因式分解，然后计算求值：（1）9x 2+12xy +4y 2，其中x =43，y =−12；（2）（a+b 2）2﹣（a−b 2）2，其中a =−18，b ＝2．9．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x 2﹣2xy +y 2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x 2﹣2xy +y 2﹣16＝（x ﹣y ）2﹣16＝（x ﹣y +4）（x ﹣y ﹣4）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a 2+4b 2﹣25m 2﹣n 2+12ab +10mn ；（2）已知a 、b 、c 分别是△ABC 三边的长且2a 2+b 2+c 2﹣2a （b +c ）＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．10．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2，再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．问题：（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．11．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．12．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x 2﹣2xy +y 2﹣4＝（x 2﹣2xy +y 2）﹣4＝（x ﹣y ）2﹣22＝（x ﹣y ﹣2）（x ﹣y +2）． ②拆项法：例如：x 2+2x ﹣3＝x 2+2x +1﹣4＝（x +1）2﹣22＝（x +1﹣2）（x +1+2）＝（x ﹣1）（x +3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x 2+4x ﹣y 2+1；②（拆项法）x 2﹣6x +8；（2）已知：a 、b 、c 为△ABC 的三条边，a 2+b 2+c 2﹣4a ﹣4b ﹣6c +17＝0，求△ABC 的周长．13．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax 2+bx +c （a ≠0）的多项式变形为a （x +m ）2+n 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax 2+bx +c （a ≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如x 2+4x ﹣5＝x 2+4x +（42）2﹣（42）2﹣5＝（x +2）2﹣9＝（x +2+3）（x +2﹣3）＝（x +5）（x ﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式：x 2+2x ﹣8；（2）求多项式x 2+4x ﹣3的最小值；（3）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2+c 2+50＝6a +8b +10c ，求△ABC 的周长．14．阅读下列材料：材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）的形式，如x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3．15．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．。

初二数学培优与提高：因式分解小结

初二数学培优与提高：因式分解小结因式分解小结一、常用公式因式分解中常用的公式，如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c) /2【（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2】；(7)a3 +3a2b+3ab2 +b3 =（a+b）3；(8)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(9)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(10)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数。

二、常用方法1.提公因式法。

a.公式要提尽；b.将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正；c.因式分解的结果，单项式要写在多项式的前面，相同的因式要写成幂的形式。

2.运用公式法。

3.十字相乘法。

4.双十字相乘法。

双十字相乘法用于对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解。

双十字相乘法进行因式分解的步骤是：a.用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；b.把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

5.拆项、添项法。

例如：因式分解x３-9x+8 （四种方法）a.将常数项8拆成-1+9;b. 将一次项-9x拆成-x-8x;c. 添加两项-x2+x2;d. 将三次项x3拆成9x3-8x3;拆项、添项法的难点在于：不易想到添加项。

八年级上册数学同步培优：第12讲因式分解二--提高班

第12讲因式分解（二）⎧⎪⎨⎪⎩十字相乘法因式分解法（二）分组分解法因式分解的综合应用知识点1 十字相乘法对于像这样的二次三项式来说，如果可以把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项c 分解成两个因数的积，并使正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：．【典例】1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ．【方法总结】用十字相乘法对一个形如的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.2.因式分解：4a 2+4a ﹣15= ．【方法总结】这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.3.分解因式：3x 3﹣12x 2﹣15x= ．【方法总结】利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二2ax bx c ++a 12a a ，12c c ，1221a c a c +1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））2ax bx c ++次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.4.因式分解：（x+y ）2+5（x+y ）﹣6= ．【方法总结】如果式子可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x 既可以是一个字母，也可以是一个式子. 该题中x 就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.【随堂练习】1．（2018春•相城区期中）若x 2+mx ﹣15=（x+3）（x+n ），则m ﹣n 的值为____．2．（2017秋•临颍县期末）仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x 2﹣4x+m 有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m 的值．问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x 2+5x ﹣m 有一个因式是（3x ﹣1），求另一个因式以及m 的值． 3．（2017秋•阳泉期末）阅读与思考 x 2+（p+q ）x+pq 型式子的因式分解x 2+（p+q ）x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p ）（x+q ）=x 2+（p+q ）x+pq ，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x 2+（p+q ）x+pq=（x+p ）2ax bx c ++（x+q）．利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6=2×（﹣3），一次项系数﹣1=2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值。

苏科版七年级数学下册《多项式的因式分解》强化提优专题培优训练【含答案】

苏科版七年级数学下册《多项式的因式分解》强化提优专题培优训练（时间：60分钟满分：100分）1．选择题（共20题；共40分)1．下列多项式是完全平方式的是( )A ．x 2－4x －4B ．x 2＋x ＋C ．4a 2－10ab ＋9b 2D ．－a 2－6a ＋9142．如果x 2＋mx ＋9是一个完全平方式，则m 的值为( )A ．3B ．6C ．±3D ．±63．已知9x 2－30x ＋m 是一个完全平方式，则m 的值等于( )A ．5B ．10C ．20D ．254．把多项式x 2－6x ＋9分解因式，结果正确的是( )A ．(x －3)2B ．(x －9)2C ．(x ＋3)(x －3)D ．(x ＋9)(x －9)5．分解因式后结果是－3(x －y )2的多项式是( )A ．－3x 2＋6xy －3y 2B ．3x 2－6xy －y 2C ．3x 2－6xy ＋3y 2D ．－3x 2－6xy －3y 26 把代数式3x 3－12x 2＋12x 分解因式，结果正确的是( )A ．3x (x 2－4x ＋4)B ．3x (x －4)2C ．3x (x ＋2)(x －2)D ．3x (x －2)27．将多项式ax 2－4ax ＋4a 分解因式，下列结果中正确的是( )A ．a (x －2)2B ．a (x ＋2)2C ．a (x －4)2D ．a (x ＋2)(x －2)8．下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是 ( )A ．x 2－2xy －y 2B ．x 2－2xy ＋y 2C ．x 2＋y 2＋2xyD ．－x 2＋2xy －y 29．下列各式：①a 2－a ＋；②x 2＋xy ＋y 2；③m 2＋m ＋1；④x 2－xy ＋y 2；⑤m 2＋4n 2＋2mn ；⑥a 4141161414b 2－a 2b ＋1．其中，形如a 2±2ab ＋b 2的多项式有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如果a 2＋16与一个单项式的和可以用完全平方公式分解因式，这个单项式可以是( )A ．4aB ．±8aC ．±4aD ．－4a 11．下列因式分解中，错误的是( )A ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )B ．x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2C ．x 2＋xy ＝x (x ＋y )D ．x 2＋y 2＝(x ＋y )212．若4x 2－M xy ＋9y 2是两数和的平方，则M 的值是( )A ．36 B ．±36 C ．12D ．±1213．若m ＋n ＝3，则2m 2＋4mn ＋2n 2－6的值为( )A．12 B．6 C．3 D．014．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )A．x2+x+1B．x2+2x－1C．x2－1D．x2－6x+9 15．下列各式：①a2－a＋；②x2＋xy＋y2；③116m2＋m＋1；④x2－xy＋14y2；⑤m2＋4n2＋2mn；⑥14a4b2－a2b＋1．其中，形如a2±2ab＋b2的多项式有( ）A．2个B．3个C．4个D．5个16．把x2y－2y2x+y3分解因式正确的是( )A．y（x2－2xy+y2）B．x2y－y2（2x－y）C．y（x－y）2D．y（x+y）217．把多项式x2－4x＋4分解因式，所得结果是( )A．x(x－4)＋4 B．(x－2)(x＋2) C．(x－2)2D．(x＋2)218．如果多项式x2－kx＋16可以因式分解为(x－4)2，那么k的值是( )A．4 B．－4 C．8 D．－819．将9(a－b)2＋12(a2－b2)＋4(a＋b)2分解因式的结果是( )A．(5a－b)2B．(5a＋b)2 C．(3a－2b)(3a＋2b) D．(5a－2b)220．已知x，y为有理数，设M＝x2＋y2，N＝2xy，则M与N之间的大小关系为( ) A．M≤N B．M≥N C．M＜N D．M＞N2．填空题（共9题；共18分)21．填空：x2＋6x＋________＝(x＋________)2；x2－3x＋________＝(x－________)2. 22．分解因式：4a2－4a＋1＝________.23．已知x＝3.2，y＝6.8，则x2＋2xy＋y2＝________.24．若一个正方形的面积是9m2＋24mn＋16n2(m＞0，n＞0)，则这个正方形的边长是_______．－1002×4＋4＝(______________)2＝_______．26若100x2＋kxy＋49y2可以分解成(10x－7y)2，则k的值为_______．27.分解因式：(2a＋b)2－8ab＝_______．28.如果a2－8ab＋16b2＝0，且b＝2.5，那么a＝_______．29.因式分解：(a－b)(a－4b)＋ab＝____．3、解答题（共6题；共42分）30．(12分)因式分解：(1)(2a－x)2＋4(x－2a)＋4；(2)8(a2＋1)－16a；(3)4b2c2－(c2＋b2)2.(4)2x 3－4x 2＋2x ； (4)－x 2y ＋6xy －8y ； (6)(x 2＋y 2)2－4x 2y 2.31．(6分)利用因式分解计算：(1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92； (2) 562＋68×56＋342.32．(6分)已知a －b ＝－2，求－ab 的值．a 2＋b 2233．(6分)已知x 、y 为任意有理数，若M ＝x 2＋y 2 ，N ＝2xy ，你能确定M ．N 的大小吗？为什么？34．(6分)观察下列各式：1×2×3×4＋1＝52，2×3×4×5＋1＝112，3×4×5×6＋1＝192，……请写出一个具有普遍性的结论，并说明理由，35 (6分)阅读下列问题：分解因式：x 2＋4x ＋3.解：原式＝x 2＋4x ＋4－4＋3＝(x 2＋4x ＋4)－1＝(x ＋2)2－1＝(x ＋2＋1)(x ＋2－1)＝(x ＋3)(x ＋1)．上述分解因式的方法称为配方法．请仿照上述配方法的解题步骤将下列各式分解因式：(1)x 2－6x ＋5； (2)4x 2＋4x －15.苏科版七年级数学下册《多项式的因式分解》强化提优专题培优训练1．选择题（共20题；共40分)1．下列多项式是完全平方式的是(　B )A ．x 2－4x －4B ．x 2＋x ＋C ．4a 2－10ab ＋9b 2D ．－a 2－6a ＋9142．如果x 2＋mx ＋9是一个完全平方式，则m 的值为(　D )A ．3B ．6C ．±3D ．±63．已知9x 2－30x ＋m 是一个完全平方式，则m 的值等于(　D )A ．5B ．10C ．20D ．254．把多项式x 2－6x ＋9分解因式，结果正确的是(　A )A ．(x －3)2B ．(x －9)2C ．(x ＋3)(x －3)D ．(x ＋9)(x －9)5．分解因式后结果是－3(x －y )2的多项式是(　A )A ．－3x 2＋6xy －3y 2B ．3x 2－6xy －y 2C ．3x 2－6xy ＋3y 2D ．－3x 2－6xy －3y 26 把代数式3x 3－12x 2＋12x 分解因式，结果正确的是(　D )A ．3x (x 2－4x ＋4)B ．3x (x －4)2C ．3x (x ＋2)(x －2)D ．3x (x －2)27．将多项式ax 2－4ax ＋4a 分解因式，下列结果中正确的是(　A )A ．a (x －2)2B ．a (x ＋2)2C ．a (x －4)2D ．a (x ＋2)(x －2)8．下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是 ( A )A ．x 2－2xy －y 2B ．x 2－2xy ＋y 2C ．x 2＋y 2＋2xyD ．－x 2＋2xy －y 29．下列各式：①a 2－a ＋；②x 2＋xy ＋y 2；③m 2＋m ＋1；④x 2－xy ＋y 2；⑤m 2＋4n 2＋2mn ；⑥a 4141161414b 2－a 2b ＋1．其中，形如a 2±2ab ＋b 2的多项式有 ( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如果a 2＋16与一个单项式的和可以用完全平方公式分解因式，这个单项式可以是( B )A ．4aB ．±8aC ．±4aD ．－4a11．下列因式分解中，错误的是 ( D )A ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )B ．x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2C ．x 2＋xy ＝x (x ＋y )D ．x 2＋y 2＝(x ＋y )212．若4x 2－M xy ＋9y 2是两数和的平方，则M 的值是 ( D )A ．36B ．±36C ．12D ．±1213．若m ＋n ＝3，则2m 2＋4mn ＋2n 2－6的值为 ( A )A ．12B ．6C ．3D ．014．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )A ．x 2+x +1B ．x 2+2x －1C ．x 2－1D ．x 2－6x +915．下列各式：①a 2－a ＋14；②x 2＋xy ＋y 2；③116m 2＋m ＋1；④x 2－xy ＋14y 2；⑤m 2＋4n 2＋2mn ；⑥14a 4b 2－a 2b ＋1．其中，形如a 2±2ab ＋b 2的多项式有( B ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．把x 2y －2y 2x +y 3分解因式正确的是( C )A ．y （x 2－2xy +y 2）B ．x 2y －y 2（2x －y ）C ．y （x －y ）2D ．y （x +y ）217．把多项式x 2－4x ＋4分解因式，所得结果是 (　C )A ．x (x －4)＋4B ．(x －2)(x ＋2)C ．(x －2)2D ．(x ＋2)218．如果多项式x 2－kx ＋16可以因式分解为(x －4)2，那么k 的值是(　C )A ．4B ．－4C ．8D ．－819．将9(a －b )2＋12(a 2－b 2)＋4(a ＋b )2分解因式的结果是(　A )A ．(5a －b )2B ．(5a ＋b )2C ．(3a －2b )(3a ＋2b )D ．(5a －2b )220．已知x ，y 为有理数，设M ＝x 2＋y 2，N ＝2xy ，则M 与N 之间的大小关系为(　B )A ．M ≤NB ．M ≥NC ．M ＜ND ．M ＞N二．填空题（共9题；共18分)21．填空：x 2＋6x ＋________＝(x ＋________)2； x 2－3x ＋________＝(x －________)2.9　3 [解析] 第一项化成平方后，底数乘2得到一个积，用中间项除以这个积，9432得到另一个平方项的底数．22．分解因式：4a 2－4a ＋1＝________.(2a －1)2 [解析] 4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2.23．已知x ＝3.2，y ＝6.8，则x 2＋2xy ＋y 2＝________.100 [解析] 当x ＝3.2，y ＝6.8时，原式＝(x ＋y)2＝(3.2＋6.8)2＝100.24．若一个正方形的面积是9m 2＋24mn ＋16n 2(m ＞0，n ＞0)，则这个正方形的边长是_______．3m ＋4n [解析] 正方形的面积为9m 2＋24mn ＋16n 2＝(3m ＋4n)2，又因为m>0，n>0，所以正方形的边长为3m ＋4n.－1002×4＋4＝(______________)2＝_______．1002－26若100x 2＋kxy ＋49y 2可以分解成(10x －7y )2，则k 的值为_______．－14027.分解因式：(2a ＋b )2－8ab ＝_______．(2a －b )228.如果a 2－8ab ＋16b 2＝0，且b ＝2.5，那么a ＝_______．1029.因式分解：(a －b )(a －4b )＋ab ＝____．(a －2b )2 (a －b )(a －4b )＋ab ＝a 2－4ab －ab ＋4b 2＋ab ＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2.三．解答题（共6题；共42分）30．(12分)因式分解：(1)(2a －x )2＋4(x －2a )＋4；(2)8(a 2＋1)－16a ； (3)4b 2c 2－(c 2＋b 2)2.(4)2x 3－4x 2＋2x ； (4)－x 2y ＋6xy －8y ； (6)(x 2＋y 2)2－4x 2y 2.解：(1)原式＝(x －2a )2＋4(x －2a )＋4＝(x －2a ＋2)2；(2)原式＝8[(a 2＋1)－2a ]＝8(a －1)2；(3)原式＝[2bc －(c 2＋b 2)][2bc ＋c 2＋b 2]＝－(b ＋c )2(b －c )2.(1)2x 3－4x 2＋2x ； (2)－x 2y ＋6xy －8y ； (3)(x 2＋y 2)2－4x 2y 2.(4)原式＝2x (x 2－2x ＋1)＝2x (x －1)2；(5)原式＝－y (x 2－6x ＋8)＝－y (x －2)(x －4)；(6)原式＝(x 2＋y 2－2xy )(x 2＋y 2＋2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.31．(6分)利用因式分解计算：(1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92； (2) 562＋68×56＋342.解：(1)原式＝(38.9－48.9)2=(38.9－48.9)2 ＝(-10)2 =100(2)原式＝562＋2×34×56＋342＝(56＋34)2＝902＝8100.32．(6分)已知a －b ＝－2，求－ab 的值．a 2＋b 22解：－ab ＝＝＝＝2.a2＋b22a2＋b2－2ab 2（a －b ）22（－2）2233．(6分)已知x 、y 为任意有理数，若M ＝x 2＋y 2 ，N ＝2xy ，你能确定M ．N 的大小吗？为什么？解：M-N=x 2＋y 2 －2xy=(x －y ）2≥0 所以M ≥N 。

初二因式分解培优练习题

初二因式分解培优练习题在初二数学学习中，因式分解是一个非常重要且基础的概念。

因式分解是将一个多项式拆解成两个或多个因式的乘积。

通过练习因式分解的题目，可以提高学生的数学思维和解题能力。

本文将介绍一些初二因式分解的培优练习题。

1. 将多项式 3x + 6 因式分解解析：首先观察多项式中的公因式，可以发现3是公因式，所以因式分解为 3(x + 2)。

2. 将多项式 4x^2 - 16 因式分解解析：首先观察多项式中的公因式，可以发现4是公因式，所以可以提取4，得到 4(x^2 - 4)。

然后，我们可以再进一步分解括号中的差平方。

演算过程如下：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)因此，多项式 4x^2 - 16 的因式分解形式为 4(x + 2)(x - 2)。

3. 将多项式 6x^2 + 9x + 3 因式分解解析：首先观察多项式中的公因式，可以发现3是公因式，所以可以提取3，得到 3(2x^2 + 3x + 1)。

然后，我们需要进一步分解括号中的三项式。

由于三项式的系数均为正，我们可以尝试使用分解相加法。

演算过程如下：2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)因此，多项式 6x^2 + 9x + 3 的因式分解形式为 3(2x + 1)(x + 1)。

4. 将多项式 a^2 - 4b^2 因式分解解析：该多项式是一个二次差平方。

我们可以利用二次差平方公式进行因式分解。

二次差平方公式如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)因此，多项式 a^2 - 4b^2 的因式分解形式为 (a + 2b)(a - 2b)。

通过以上几个练习题的分析，我们可以发现因式分解需要灵活运用数学方法和技巧。

在解题过程中，我们可以观察多项式中的公因式，尝试分解差平方或其他形式的多项式，并利用分解相加法等方法进行因式分解。

通过反复练习和积累，掌握因式分解的技巧，初二学生可以提高自己的解题能力，并在进一步学习高阶的数学知识时打下良好的基础。

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