数学基础拉氏变换
常用的拉氏变换表
常用的拉氏变换表在工程技术和科学研究中，拉氏变换是一种非常重要的数学工具。
它能够将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使得许多问题的分析和求解变得更加简便。
而要熟练运用拉氏变换，掌握常用的拉氏变换表是必不可少的。
拉氏变换的定义为：对于一个定义在0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉氏变换 F(s)定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量。
下面我们来介绍一些常用的函数的拉氏变换：1、单位阶跃函数 u(t)单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1。
其拉氏变换为：＼Lu(t) ＝＼frac{1}｛s}＼2、单位脉冲函数δ(t)单位脉冲函数在 t ＝ 0 时，函数值为无穷大，且在整个时间轴上的积分值为 1。
其拉氏变换为：＼Lδ(t) ＝ 1\3、指数函数 e^（at) （a 为常数）其拉氏变换为：＼Le^｛at} ＝＼frac{1}｛s ＋ a}＼4、正弦函数sin(ωt)其拉氏变换为：＼Lsin(ωt) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼5、余弦函数cos(ωt)其拉氏变换为：＼Lcos(ωt) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼6、 t 的幂函数 t^n （n 为正整数）其拉氏变换为：＼Lt^n ＝＼frac{n!｝｛s^｛n ＋ 1}｝＼7、斜坡函数 t其拉氏变换为：＼Lt ＝＼frac{1}｛s^2}＼8、二次斜坡函数 t^2其拉氏变换为：＼Lt^2 ＝＼frac{2!｝｛s^3} ＝＼frac{2}｛s^3}＼掌握这些常用函数的拉氏变换，可以帮助我们在解决各种问题时快速进行变换和求解。
例如，在电路分析中，通过拉氏变换可以将时域中的电路方程转换为复频域中的方程，从而更方便地求解电路的响应。
在控制系统中，拉氏变换也有着广泛的应用。
通过对系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，从而对系统的性能进行分析和设计。
基本函数的拉氏变换
基本函数的拉氏变换引言：在探索基本函数的拉普拉斯变换之前，首先需要了解什么是拉普拉斯变换以及其在数学和工程学中的应用。
拉普拉斯变换是一种数学方法，用于解决微分方程。
它将一个函数从时间域转换到复频域，从而让我们可以更轻松地处理微分方程的操作。
它提供了一个重要的数学工具，用于求解控制系统和信号处理等应用中的许多问题。
本文将阐述基本函数的拉普拉斯变换，主要包括单位阶跃函数、单位冲击函数、指数函数和正弦函数的拉普拉斯变换表达式及其应用。
一、单位阶跃函数的拉普拉斯变换单位阶跃函数一般表示为u(t)，表示斜坡从0到1的标准阶跃，如图1所示。
阶跃函数在控制系统中具有重要的作用。
单位阶跃函数通常被用作激励输入来测试系统的性能。
拉普拉斯变换后，单位阶跃函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{u(t)\}={1\over s}$$二、单位冲击函数的拉普拉斯变换单位冲击函数一般表示为δ(t)，表示在t=0时刻的无穷大脉冲信号，如图2所示。
冲击函数在控制系统中也具有重要的作用。
在线性系统中，冲击响应又称为单位脉冲响应或简称脉冲响应。
拉普拉斯变换后，单位冲击函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{\delta(t)\}=1$$三、指数函数的拉普拉斯变换指数函数一般表示为e-at，其中a为常数，表示一个衰减的曲线，如图3所示。
指数函数在控制系统和信号处理中常常用于表示衰减或增加的信号。
拉普拉斯变换后，指数函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{e^{-at}\}={1\over s+a}$$当a>0时，指数函数随时间的增长而不断衰减。
而当a<0时，指数函数随时间的增长而不断增加。
四、正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数一般表示为sin(ωt)，其中ω为常数，描述一个振荡信号，如图4所示。
正弦函数在控制系统和信号处理领域中也广泛应用。
拉普拉斯变换后，正弦函数的表达式为：$$\mathscr{L}\{\sin\omega t\}={\omega\over s^2+\omega^2}$$这里我们用欧拉公式将正弦函数转换为指数函数的形式，即：$$\sin\omega t={e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}\over 2j}$$用欧拉公式可以对任意角频率的函数进行拉普拉斯变换。
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉氏变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换简称拉氏变换。
它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。
并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。
因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。
在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。
本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。
最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。
在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。
2.1拉氏变换2.1.1拉氏变换的定义若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作[()]f t L 或)(s F ，并定义为：[()]()()e dL stf t F s f t t +∞-==⎰（2.1） 式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。
原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。
所以拉氏变换是将原来的实变量函数()f t 转化为复变量函数()F s 的一种积分运算。
在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母所代表的函数的拉氏变换。
必e 1[1()]1e d L st stt t ss+∞-+∞-=⋅=-=⎰(2.2) 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开），加（减）负载等。
⑵单位脉冲函数单位脉冲函数如图2.2所示。
其定义为()0t t t δ∞=⎧=⎨≠⎩ 同时，()d 1t t δ+∞=⎰，即脉冲面积为1。
而且有如下特性：()()d (0)t f t t f δ+∞-∞⋅=⎰(0)f 为()f t 在0t =时刻的函数值。
拉氏变换
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
拉氏变换常用公式
常用拉普拉斯变换总结1、指数函数000)(≥<⎩⎨⎧=-t t Aet f t α,其中,A 和a 为常数; αααα+===⎰⎰∞+-∞---s A t e A t e Ae Ae L t s st t t 0)(0d d ][ 2、阶跃函数000)(><⎩⎨⎧=t t At f ,其中,A 为常数; sA t Ae A L st ==⎰∞-0d ][ 3、单位阶跃函数 0010)(><⎩⎨⎧=t t t u s t e t u L st 1d )]([0==⎰∞-4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t At t f ,其中,A 为常数;⎰⎰∞-∞-∞----==000d d ][t sAe s e At t Ate At L st st st 20d sA t e s A st ==⎰∞-A ＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 0时刻的单位斜坡函数写成rt-t 05、单位斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t t t f⎰⎰∞-∞-∞----==000d d ][t s e s e t t te t L st st st201d 1s t e s st ==⎰∞- 6、正弦函数00sin 0)(≥<⎩⎨⎧=t t tA t f ω,其中A 为常数; )(t f t 图2.3正弦函数和余弦函数)(t f t(a)(b)00根据欧拉公式：拉式变换为： 2201212d )(2]sin [ωωωωωωω+=+--=-=⎰∞--s A j s j A j s j A t e e e j A t A L st t j t j 同理余弦函数的拉式变换为：22]cos [ωω+=s As t A L 7、脉动函数 t t t t t t A t f <<<<⎪⎩⎪⎨⎧=000,000)(,其中,A 和t 0为常数;脉动函数可以看做是一个从t ＝0开始的高度为A /t 0的阶跃函数,与另一个从t ＝t 0开始的高度为A /t 0的负阶跃函数叠加而成;)()()(000t t u t A t u t A t f --= )1()()()]([00000000st st e st A e s t A s t A t t u t A L t u t A L t f L ---=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡= )(21sin t j t j e e jt ωωω--=8、脉冲函数脉冲函数是脉动函数的一种特殊极限情况;t t t A t g <∆<∆<<⎪⎩⎪⎨⎧∆=→∆,000lim )(0[]()A s As s e A e s A t g L s s ==∆∆-∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆=∆-→∆∆-→∆d d )1(d d lim )1(lim )]([00 9、单位脉冲函数当面积A =1的脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克Disac 函数,1d )(0)(-0000=-⎩⎨⎧=∞≠=-⎰∞∞t t t t t t t t t δδ量值为无穷大且持续时间为零的脉冲函数纯属数学上的一种假设,而不可能在物理系统中发生;但是,如果系统的脉动输入量值很大,而持续时间与系统的时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入;当描述脉冲输入时,脉冲的面积大小是非常重要的,而脉冲的精确形状通常并不重要;脉冲输入量在一个无限小的时间内向系统提供能量;单位脉冲函数)(0t t -δ可以看作是单位阶跃函数ut-t 0在间断点t=t 0上的导数,即)(d d )(00t t u tt t -=-δ 相反,如若对单位脉冲函数)(0t t -δ积分：)(d )(000t t u t t t tt -=-⎰δ 积分的结果就是单位阶跃函数 ut-t 0利用脉冲函数的概念,我们可以对包含不连续点的函数进行微分,从而得到一些脉冲,这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值;10、加速度函数000)(2<≥⎩⎨⎧=t t At t f ,其中,A 为常数; 拉氏变化为：300202212d 2d ][s At te e t s A t e At At L st st st =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰∞-∞-∞- 当A=21时称之为单位加速度函数,用at 表示,发生在t=t 0时刻的加速度函数通常写成)(0t t a -,图像如下： )t 00t 图单位加速度函数(a)(b) 8642123411、单位加速度函数：00210)(2≥<⎪⎩⎪⎨⎧=t t t t a30020221d 211d 21)(21s t te e t st e t t u t L st st st =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎰⎰∞-∞-∞-。
7.1拉氏变换的基本概念
存在性进行讨论．
二.例题
例1 求单位阶梯函数 的拉氏变换 .
例2 求指数函数 拉氏变换 .
（t≥0，a为常数）的
例3 求一次函数 拉氏变换 .
（t≥0，a为常数）的
例4 求正弦函数 拉氏变换 .
类似可得：
（t≥0）的
例5 求分段函数 的拉氏变换 .
小结
拉氏变换的定义 几种常见函数的拉氏变换
几种常见函数的拉氏变换
河北工业职业技术学院
高等数学
主讲人 宋从芝
第7章 拉普拉斯变换
7.1 拉氏变换的基本概念 7.2 拉氏变换的性质
7.3 拉氏变换的逆变换 7.4 拉氏变换的应用举例
7.1 拉氏变换的基本概念
本讲概要
➢拉氏变换的定 f (t)的定义域为 [0,+∞), 若广义积分
对于数 p 在某一范围内的值收敛, 在此积分就确定了一个参数为 p 的函数 , 记作
函数F(p)称为f (t)的拉普拉斯变换。这时F(p)称为f (t) 的像函数，函数f (t)称为F(p)的像原函数，以上公式 称为函数 f (t)的拉氏变换式，用记号L[f (t)]表示，即
说明：
(1)定义中 , 只要求在 t ≥上0 f (t)有定义 , 为了方便, 假定t<0时, f (t) =0;
第二节 拉氏变换公式
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-7：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-8：求如下函数的拉氏变换
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
练习2-9：求如下函数的拉氏变换
F(S) L[1(t)] est ( 1)d(st)
0
s
（2－12）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
（2－13）
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
幂函数 t n 拉氏变换（法1）
根据函数 ( ) x1exdx 0
O f ’’(t)
O
L[f(t)]= A/s- A/s ·e-sT
t
t
机械工程控制基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法
例2-9：求图所示三角波的拉氏变换 f (t) 2
从图可知，三角波左边函数斜率
T
为
k1
4 T2
，右边函数斜率为
O
k2
4 T2
，则分段函数可表示为：
T
Tt
2
f (t) f1(t) f2 (t) f11(t) f12 (t) f21(t) f22 (t)
解：（1） cos(t) 1 d sin(t) dt
L[sin(t )]
s2
2
L[cos(t )]
L
1
d
sin(t)
dt
1
s
s2
2
0
s2
s
2
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。
本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。
1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。
以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。
（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。
（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。
其中ω为正弦信号的频率。
2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。
（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。
（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。
3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。
（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。
拉氏变换
4、微分定理
若
L[ f (t )] F ( s)
且f(t)的各阶导数存在，则f(t)各阶导数的拉氏变 换为
d L[ f (t )] sF ( s ) f (0) dt
d2 L[ 2 f (t )] s 2 F ( s ) sf (0) f (0) dt
……
dn L[ n f (t )] s n F ( s) s n 1 f (0) s n 2 f (0) f ( n 1) (0) dt
F ( s ) f ' (0 ) s s
t
f ( ) d
f (t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (t )e at
F ( s a)
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim SF ( s)
s s 2
2
e at e bt
2 t
a b
1 s s
1 s
( s a)( s b)
1
t
拉氏变换的基本性质（1）
线性
微分 积分 延迟定理 时移 平移定理
k f (t)
i 1 i i
n
k .L[ f (t )]
i 1 i i
n
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
该定理说明，时间信号f(t)在时间域的指数衰减，其 拉氏变换在复数域有对应的坐标平移。 s 例：Lsin t 2 Lcos t 2 2 s s 2 at Le sin t ( s a) 2 2
第2章拉氏变换的数学方法
第2章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种非常重要的数学方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。
本章将介绍拉氏变换的定义与性质，以及常见的拉氏变换对表。
首先，我们回顾一下连续时间函数的傅里叶变换。
对于一个连续时间函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，ω是频率，j是虚数单位。
傅里叶变换将时间域函数转换为频率域函数，使得我们可以对信号进行频谱分析。
而拉氏变换是对连续时间函数的傅里叶变换的进一步延伸。
它的定义为：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量。
拉氏变换可以看作是傅里叶变换的特例，当s为纯虚数时，拉氏变换退化为傅里叶变换。
通过拉氏变换，我们可以将一个时间域的连续时间函数转换为一个复平面上的函数，使得我们可以更方便地进行信号分析和系统设计。
拉氏变换的性质也是非常重要的，以下是几个常见的拉氏变换性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意的常数a、b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。
2. 时移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(t - t0)的拉氏变换为e^(-st0) * F(s)。
3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为1/a * F(s/a)。
4. 初值定理：如果f(t)是一个因果函数，则F(s)的极限lim[s->∞] F(s)等于f(0)，即拉氏变换在无穷远处的极限等于函数的初始值。
通过这些性质，我们可以更方便地进行拉氏变换的计算和分析。
接下来，我们介绍一些常见的拉氏变换对表：1.单位脉冲函数的拉氏变换对表：δ(t)的拉氏变换为12.单位阶跃函数的拉氏变换对表：u(t)的拉氏变换为1/s。
3.正弦函数的拉氏变换对表：sin(ωt)的拉氏变换为ω / (s^2 + ω^2)。
拉氏变换.doc
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
第十一章 拉氏变换
(s p1)F ( s ) s== [ p
1
K1 K2 Kn ](s p1) s= p + + + s p1 s p 2 s pn
1
f (t ) = K 1e p1t + K 2 e p 2t + + K n e p n t
K1 = (s p1)F(s) s= p1 s=
K2 = (s p2 )F(s) s= p2
2
1
, K12 =
∴ f (t) = K12e
p1t
+ K11te
p1t
+ ∑Kie pit
i =3
n
d (s p1)2 F(s) ds
[
]
s= p1
3. D(s)有一个 重根,其余为单根 有一个l 有一个 重根, D(s) = b0 (s p1)l (s pl +1) (s pn )
KCL KVL 叠加, 叠加,戴维南 ,互易定理等
结点法, 结点法, 回路法等
4. 求解方程 并用部分分式展开法进行拉氏反变换求时域电流,电压 求解方程, 并用部分分式展开法进行拉氏反变换求时域电流,
i1 + i2 = i ↓ ↓ =↑ I1 + I 2 = I
正弦运算简化 为复数运算
相量
拉普拉斯变换定义: 拉普拉斯变换定义: 函数 f(t), t∈[0,∞) ,其拉普拉斯变换为 其
F ( s ) = ∫ f (t )e st dt
0
∞
t ━实变量(时域),s=σ+jω ━复变量(复频域) f(t) ━原函数, F(s) ━ 象函数
一. D(s)为真分式 (m<n) 为真分式 1. D(s)均为单根 均
第二章 拉氏变换
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
=∫ e
0−
∞
−(s+α)t
1 −(s+α)t ∞ 1 dt = − e = 0− s +α s +α
1 ∴ L[e ] = s +α 1 −1 −αt L[ ] =e s +α
−αt
③ (s) = L[δ (t)] = ∫ δ (t)e dt = ∫ δ (t)e dt F
−st −st 0− −∞
解 ① (s) = L[ε(t)] = ∫ ε(t)e−stdt ： F
0− ∞
1 −st ∞ 1 = ∫ e dt = − e = 0+ 0+ s s
−st
∞
1 ∴ L[ε(t)] = s −1 1 L [ ] = ε(t) s
② (s) = L[e ] = ∫ e e dt F
0−
−αt
∞
−αt −st
ε(t)
eαt
1 s 1 s −α
t e (n为正整数 为正整数) 为正整数
n −αt
(1−αt)e−atδ (t)A源自A(1−e−αt )1
A s Aα s(s +α) n! sn+1
sin( ωt +φ)
cos(ωt +φ)
《拉氏变换》课件
六、总结
拉氏变换是一种强大的工具，具有许多优点和应用。通过学习拉氏变换，我们也能培养出思考和解决问题的能 力。
1 拉氏变换的优点和缺点
总结拉氏变换的优点和限制。
ห้องสมุดไป่ตู้
2 学习拉氏变换的思考方式
分享学习拉氏变换的思考方式和技巧。
七、参考文献
提供拉氏变换相关领域的参考文献，供进一步学习和研究之用。
拉氏变换具有许多有用的性质，理解这些性质将有助于我们更好地理解和应用拉氏变换。
线性性质
探讨拉氏变换的线性 性质和叠加原则。
移位性质
解释拉氏变换中的时 移、频移和频率缩放。
放大性质
讨论拉氏变换中的放 大和缩小效应。
模拟性质
研究拉氏变换的模拟 性质和与连续时间信 号的关系。
四、拉氏变换的逆变换
逆变换是拉氏变换的逆过程，将频率域的信号还原回时间域中的信号。
1 逆变换的表达式
探讨拉氏逆变换的数学表达式和符号。
2 逆变换的性质
讨论逆变换的性质以及逆变换在实际应用中的作用。
五、拉氏变换的应用
拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统设计等领域中有广泛的应用。
信号处理
探索拉氏变换在数字信号处理中的作用。
电路分析
研究拉氏变换在电路分析和设计中的应用。
控制系统设计
探索拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统 设计等领域的重要作用。
二、拉氏变换的定义
拉氏变换将信号从时间域转换到频率域，使我们能够以频域的角度来分析和处理信号。
1 时间域和频率域
解释时间域和频率域的概念，并探索两者之 间的关系。
2 拉氏变换的表达式
第三章拉氏变化
控 制 工 程 基 础
式中， 式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。 称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控 制 工 程 基 础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控 制 工 程 基 础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续； 分段连续 满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足： 时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控 制 工 程 基 础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章 实 微 分 定 理
数学基础拉氏变换
1
所以
F (s)
s
1 1
(s
0 1) 2
(s
2 1)3
其拉氏逆变换为
f (t) et t 2et
17
练习：函数f(t)的图形如下，求其拉氏变换F(s)
f (t)
1
1
2t
f (t) f1(t) f2 (t) f (t) t 1 (t) (t 1) 1 (t 1) 1 (t 2)
18
例如
F (s)
(s
s2 3)2 (s 2
3
j)
零点为 极点为
z1 2
p1 3, p2 2 3 j
且p1为2阶极点
3
1.2拉普拉斯变换的定义
若f(t)是时间t的函数，且t<0时，f(t)=0; s是复 变量, 则f(t)的拉氏变换F(s)定义为
F (s)
L(
f
(t ))
0
f
(t )e st dt
拉氏变换常以如下形式出现 F(s) B(s)
A(s)
如果F(s)被分解成下列分量
F (s) F1(s) F2 (s) Fn (s)
并且F1(s),F2(s),…,Fn(s)的拉普拉斯反变换可以容易 得到，则 f (t) L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[F2 (s)] L1[Fn (s)]
1
2
1
2
3.2 积分定理
不定积分 定积分
L[
f (t)dt]
F(s) s
f 1 (0) ,
s
f
1 (0)
f (t)dt t0
t
F (s)
L[0 f (t)dt] s
7
3.3 微分定理
拉普拉斯变换
1 lim t0 0 t 0
1 0 s ( t0 ) s ( t0 ) 1( ) e d 1( ) e d s t0 0
单位阶跃 函数的拉 氏变换
1 1 1 st0 s s ( t0 ) d lim e e d 1( ) e t 0 s 0 0 0 t0 s 1 e st0 1 1 e st0 lim 罗彼塔法则 lim t0 0 t s s t0 0 t 0 s 0
0
e-( j )t j
0
e- t (cos t j sin t ) 1 j j 0
单边广义 傅氏变换
拉普拉斯变换
1. 由上例可知：函数不满足绝对可积条件，一般是因为当 t 趋 于无穷时， f (t ) 衰减太慢，此时可用因子 e t ( 0) 乘以 f (t ) , 则衰减会加快。 e t 称为衰减因子。 2. 衰减因子在 t 时作用会相反，为此假设 t 0 时， f (t ) =0， 对实际的物理系统，这一点比较容易做到。理由是：研究时 总可以把外作用加到系统上的瞬间选为 0 时刻， t 0 时的 而 系统行为可以在初始条件中考虑 3. 因此对 f (t ) 的研究就变为在时间 t 0 区间对函数 f (t )e 研究
数学基础
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换（拉氏变换）
工程实践中常用来简便地解线性微分方程
是建立复数域数学模型——传递函数的基础，是古典 控制理论的数学基础 其思想源自傅立叶变换，两者间关系密切。
对一个函数进行傅氏变换，需要其满足的条件较高，但
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L[
dn dபைடு நூலகம் n
f (t)]
sn F (s) sn1 f (0) sn2 f(0) sf (n2) (0) f (n1) (0)
9
3.4 初值定理
原函数的初值等于其象函数乘以s的自变 量s趋向无穷大时的极限值。
使F(s)及其导数趋于无穷大的奇点称为极点 使F(s)=0的点叫做零点
例如
F (s)
(s
s2 3)2 (s 2
3
j)
零点为 极点为
z1 2
p1 3, p2 2 3 j
且p1为2阶极点
4
1.2拉普拉斯变换的定义
若f(t)是时间t的函数，且t<0时，f(t)=0; s是复 变量, 则f(t)的拉氏变换F(s)定义为
解：该式可以分解为如下形式
其中
F (s) c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)( s
1
2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)( s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
14
1
1
c3
[ (s
1)( s
2)(s
3)
(s
3)]s3
10
所以 F(s) 1 1 1 1 1 1 6 s 1 15 s 2 10 s 3
A A
F (s) Ae st dt est
0
s 0s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2) 求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
1 est dt
1 est
0
0 0
0 s
0
lim lim
1 (1 e s )
2
F (s) Fx jFy
jω
幅值： A F 2 F 2
x
y
Fy
F(s)
相角：
tan 1
Fy Fx
角度从实轴开始，沿逆时针计算
0
Fx
Re
如果在某一域内，复变函数F(s)及其所有阶导 数都存在，则称该复变函数F(s)在该域内是解析的。
3
在s平面上，使函数F(s)解析的点称为正常点， 使F(s)为非解析的点称为奇点
f (0) lim f (t) lim sF (s)
t0
s
3.5 终值定理
若 f () 存在 f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
10
3.6 延迟定理
L[ f (t )] es F (s), a 0
3.7 与 eat 相乘
L[eat f (t)] F (s a)
1
s 2s2
(11 L ) 1
0 s
0 s
1! 2!
6
（3）求指数函数f(t)= eat 的拉氏变换
F (s) eat est dt e dt (as)t
1
e (sa)t
1
0
0
sa 0 sa
几个重要函数的拉氏变换
f(t)
F(s)
f(t)
F(s)
δ(t)
1
sin( t)
(s2 2 )
1(t)
1/s
cos(t)
s
(s2 2 )
t
1 s2
eat sint
(s a)2 2
eat
1/(s+a) eat cost
sa
(s a)2 2
7
3. 拉氏变换性质
设 f (t) 的拉氏变换为 F (s)
3.1 线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的
拉氏变换之和
F (s) B(s) a1 a2 an
A(s) s p1 s p2
s pn
系数ak叫做极点s=-pk上的留数，留数ak可由下式决定
ak
lim [(s
s pk
pk )
B(s)] A(s)
[(s
pk )
B(s) A(s) ]s pk
13
例1：求函数F(s)的拉氏逆变换
F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
其对应的拉氏逆变换为
f (t) 1 et 1 e2t 1 e3t 6 15 10
15
例 2
求F (s)
1 s(s 1)2
的逆变换
解：F (s)
a s
b s 1
(s
c 1)2
则a(s 1)2 bs(s 1) cs 1
对应项系数相等得a 1, b 1, c 1
F (s)
1 s
1 s 1
F (s)
L(
f
(t))
0
f
(t )e st dt
由拉氏变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程 称为拉普拉斯反变换，定义为
f
(t)
L1 (F (s))
1
2j
c j
c j
F
(
s)e
st
dt
其中常数c选择的比F(s)的所有奇点的实部都大。
5
1.3 常用函数的拉氏变换
(1) 求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
11
4. 拉普拉斯反变换
4.1 求拉普拉斯变换的展开式
拉氏变换常以如下形式出现 F (s) B(s)
A(s)
如果F(s)被分解成下列分量
F (s) F1(s) F2 (s) Fn (s)
并且F1(s),F2(s),…,Fn(s)的拉普拉斯反变换可以容易 得到，则 f (t) L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[F2 (s)] L1[Fn (s)]
f1(t) f2 (t) fn (t)
12
4.2 只包含不同极点的部分分式展开
考虑下列因式形式的F(s)
F(s)
B(s ) A(s )
K(s z1)(s z2)...(s zm ) (s p1)(s p2)...(s pn )
如果F(s)只包含不同的极点，则F(s)可展开成为下列 简单的部分分式之和：
(s
1 1)2
f (t) 1 et tet
16
4.3 包含多重极点的F(s)部分展开
通过例子说明
自动控制原理
数学基础－－ 拉普拉斯变换
刘宝 liubao@
1
1. 拉普拉斯变换的定义
1.1 复变量和复变函数
一个复数包括实部和虚部，如果实部和虚部 都是变量，则称其为复变量。在拉氏变换中， 复变量用符号s表示，表示
s j
一个复变函数F(s)是s的函数，它具有实部和虚
部
F (s) Fx jFy
L[af (t) bf (t)] aF (s) bF (s)
1
2
1
2
3.2 积分定理
不定积分 定积分
L[
f (t)dt]
F(s) s
f 1 (0) ,
s
f 1 (0)
f (t)dt t0
t
F (s)
L[0 f (t)dt] s
8
3.3 微分定理
L[ d f (t)] sF (s) f (0) dt