数学基础拉氏变换

解：该式可以分解为如下形式
其中
F (s) c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)( s
1
2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)( s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
14
1
1
c3
[ (s
1)( s
2)(s
3)
(s
3)]s3
10
所以 F(s) 1 1 1 1 1 1 6 s 1 15 s 2 10 s 3
A A
F (s) Ae st dt est
0
s 0s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2) 求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
1 est dt
1 est
0
0 0
0 s
0
lim lim
1 (1 e s )
2
F (s) Fx jFy
jω
幅值： A F 2 F 2
x
y
Fy
F(s)Hale Waihona Puke Baidu
相角：
tan 1
Fy Fx
角度从实轴开始，沿逆时针计算
0
Fx
Re
如果在某一域内，复变函数F(s)及其所有阶导 数都存在，则称该复变函数F(s)在该域内是解析的。
3
在s平面上，使函数F(s)解析的点称为正常点， 使F(s)为非解析的点称为奇点
11
4. 拉普拉斯反变换
4.1 求拉普拉斯变换的展开式
拉氏变换常以如下形式出现 F (s) B(s)
A(s)
如果F(s)被分解成下列分量
F (s) F1(s) F2 (s) Fn (s)
并且F1(s),F2(s),…,Fn(s)的拉普拉斯反变换可以容易 得到，则 f (t) L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[F2 (s)] L1[Fn (s)]
(s
1 1)2
f (t) 1 et tet
16
4.3 包含多重极点的F(s)部分展开
通过例子说明
(s2 2 )
1(t)
1/s
cos(t)
s
(s2 2 )
t
1 s2
eat sint
(s a)2 2
eat
1/(s+a) eat cost
sa
(s a)2 2
7
3. 拉氏变换性质
设 f (t) 的拉氏变换为 F (s)
3.1 线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的
拉氏变换之和
F (s)
L(
f
(t))
0
f
(t )e st dt
由拉氏变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程 称为拉普拉斯反变换，定义为
f
(t)
L1 (F (s))
1
2j
c j
c j
F
(
s)e
st
dt
其中常数c选择的比F(s)的所有奇点的实部都大。
5
1.3 常用函数的拉氏变换
(1) 求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) B(s) a1 a2 an
A(s) s p1 s p2
s pn
系数ak叫做极点s=-pk上的留数，留数ak可由下式决定
ak
lim [(s
s pk
pk )
B(s)] A(s)
[(s
pk )
B(s) A(s) ]s pk
13
例1：求函数F(s)的拉氏逆变换
F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
自动控制原理
数学基础－－ 拉普拉斯变换
刘宝 liubao@hdpu.edu.cn
1
1. 拉普拉斯变换的定义
1.1 复变量和复变函数
一个复数包括实部和虚部，如果实部和虚部 都是变量，则称其为复变量。在拉氏变换中， 复变量用符号s表示，表示
s j
一个复变函数F(s)是s的函数，它具有实部和虚
部
F (s) Fx jFy
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f(0) dt 2
L[
dn dt n
f (t)]
sn F (s) sn1 f (0) sn2 f(0) sf (n2) (0) f (n1) (0)
9
3.4 初值定理
原函数的初值等于其象函数乘以s的自变 量s趋向无穷大时的极限值。
f1(t) f2 (t) fn (t)
12
4.2 只包含不同极点的部分分式展开
考虑下列因式形式的F(s)
F(s)
B(s ) A(s )
K(s z1)(s z2)...(s zm ) (s p1)(s p2)...(s pn )
如果F(s)只包含不同的极点，则F(s)可展开成为下列 简单的部分分式之和：
L[af (t) bf (t)] aF (s) bF (s)
1
2
1
2
3.2 积分定理
不定积分 定积分
L[
f (t)dt]
F(s) s
f 1 (0) ,
s
f 1 (0)
f (t)dt t0
t
F (s)
L[0 f (t)dt] s
8
3.3 微分定理
L[ d f (t)] sF (s) f (0) dt
其对应的拉氏逆变换为
f (t) 1 et 1 e2t 1 e3t 6 15 10
15
例 2
求F (s)
1 s(s 1)2
的逆变换
解：F (s)
a s
b s 1
(s
c 1)2
则a(s 1)2 bs(s 1) cs 1
对应项系数相等得a 1, b 1, c 1
F (s)
1 s
1 s 1
f (0) lim f (t) lim sF (s)
t0
s
3.5 终值定理
若 f () 存在 f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
10
3.6 延迟定理
L[ f (t )] es F (s), a 0
3.7 与 eat 相乘
L[eat f (t)] F (s a)
1
s 2s2
(11 L ) 1
0 s
0 s
1! 2!
6
（3）求指数函数f(t)= eat 的拉氏变换
F (s) eat est dt e dt (as)t
1
e (sa)t
1
0
0
sa 0 sa
几个重要函数的拉氏变换
f(t)
F(s)
f(t)
F(s)
δ(t)
1
sin( t)
使F(s)及其导数趋于无穷大的奇点称为极点 使F(s)=0的点叫做零点
例如
F (s)
(s
s2 3)2 (s 2
3
j)
零点为 极点为
z1 2
p1 3, p2 2 3 j
且p1为2阶极点
4
1.2拉普拉斯变换的定义
若f(t)是时间t的函数，且t<0时，f(t)=0; s是复 变量, 则f(t)的拉氏变换F(s)定义为