一阶微分方程
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一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
一阶线性微分方程
积分得
u( x) Q( x)e
P( x)dx
于是非齐次线性方程的通解为
P( x)dx P( x)dx y e [ Q( x)e dx C ]
齐次线性方程的通解
齐次线性方程 yP(x )y0 的通解为 y Ce P( x)dx
非齐次线性方程的通解
d ( y 1 ) 1 1 即： y a ln x dx x
令zy1 则上述方程成为
dz 1 z a ln x dx x
这是一个线性方程 它的通解为
以y1代z 得所求方程的通解为
z x[C a (ln x)2 ] 2
yx[C a (ln x)2 ] 1 2
下列方程是什么类型方程？
(1)
dy 1 1 y (1 2 x) y 4 是伯努利方程. dx 3 3
dy (2) y xy5 是伯努利方程. dx x y (3) y 是伯努利方程. y x
(4) dy 2 xy 4 x 不是伯努利方程. dx
伯努利方程的解法 以yn除方程的两边 得
由通解公式得
2 dx y e x 1 [
5 2 dx ( x 1) 2 e x 1 dx C]
33 55 22 2 22 22 ((x x 1 1 )) [[ 2((x x 1 1 ))22 C C ]] ((x x 1 1 )) [[ ((x x 1 1 ))22((x x 1 1 )) dx dx C C ]]
齐次线性方程的通解
齐次线性方程 yP(x )y0 的通解为 y Ce P( x)dx
非齐次线性方程的通解
设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为
第三节 一阶线性微分方程
sin 2 y e cos y dy dy C
sin y
dy C
sin y
)C
e sin y [2 sin ye sin y 2 e sin y cos y dy C ]
2(sin y 1) Ce
sin y
将 x 1 , y 0 代入上式 , 得 C 3 ,
x0 P ( x )dx x x0 P ( x )dx ye dx y 0 . x0 Q ( x ) e
x x
小结
1.齐次线性微分方程
y P ( x ) y 0
y Ce P ( x )dx ;
2. 非齐次线性微分方程 (1) 公式
所求特解为 x 2(sin y 1) 3e sin y .
例6 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲 线 y f ( x ) (0 f ( x ) x 3 )与 y x 3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
解
1 1 y ln ydy C ln y
1 1 2 2 (ln y ) C ln y
( x cos y sin 2 y ) y 1 例5 求特解 y x 1 0
1 解 将方程变形 , 得 dy , dx x cos y sin 2 y
y P ( x ) y Q ( x )
y e P ( x )dx [ Q( x ) e P ( x )dx dx C ];
P ( x )dx
( 2)令 y u( x )e
用常数变易法求解.
12.4一阶线性微分方程
x 解得 z x ( C ), 故原伯努利方程的同解为 2 4 x y x ( C )2 . 2
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
2
例6: 用适当的变量代换解下列微分方程:
1.
yy xy2 xe x ;
2 2
x 1 y xy xe y , 解: 将原方程变形为
实际上, 这是一个n=–1的伯努利方程. 令 z=y2, 则 dz dy dz x2 2 y , 所以, 原方程转化为 2 xz 2 xe , dx dx dx dz x2 先求方程 2 xz 0 的通解. 得: z ce . dx 2 2 2 x x x 令 z c( x )e , 则 z c( x )e 2 xc( x )e , 代入得, 2 2 2 2 x x x x c( x )e 2 xc( x )e 2 xc( x )e 2 xe ,
( 此处 mg k v 0 )
1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln ( mg ) mg k k v k t mg 代入上式后化简, 得特解 v (1 e m ) k
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y c( x )( x 1)2 , 则 y c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1), 代入线性非齐次方程中, 得: c( x )( x 1)2 2c( x )( x 1) 5 1 2 2c( x )( x 1) ( x 1) 2 x 1 1 3 2 2 化简得: c( x ) ( x 1) , 得 c( x ) ( x 1) 2 c 3 故, 原非齐次方程的通解为: 3 2 y ( x 1)2[ ( x 1) 2 c ] 3 dy y . 例3: 求解微分方程 dx 2(ln y x ) dx 2(ln y x ) 2 2 ln y x . 解: 将方程改写为 dy y y y 这是一个关于函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程,
高数-一阶线性微分方程
(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2
一阶线性微分方程
dx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
一阶线性微分方程
y x
2
线性非齐次方程
线性齐次方程
y cos y 1
y y 2 xy 3 ,
非线性
2、一阶线性微分方程的解法 引例 考虑一阶线性微分方程
（齐次方程） （非齐次方程） ① ②
求①的通解，并验证
是②的通解. . 代入②，方程成立，
解: 由分离变量得齐次方程的通解为 将
故是解. 又因为含有一个任意常数，故是通解.
例6. 求方程 解: 令 z y
1
的通解.
, 则方程变形为
z x
1
dz dx
a ln x
其通解为
ze
x
dx
(a ln x) e
a 2 ( ln x)
2
dx
x
1
dx C
x C
将 z y 1代入, 得原方程通解:
作 业
P315 1 (3) , (6) , (9) ;2 (5) ; 6 ; 7 (5)
暂态电流
稳态电流
小结 求解一阶线性微分方程的方法:
dy dx P( x) y Q( x)
1、常数变易法求解一阶线性微分方程的步骤:
(1) 将方程化为标准形式，确定 P(x) 和 Q(x)； (2) 求对应的齐次方程的通解 y C e
P( x) d x
；
（常数变易）
(3) 设原方程的通解为 y C ( x) e P ( x ) d x ，代回原
xe
P( y)d y
P( y)d y Q( y ) e d y C ，得
xe
y
y e
y
dy C
高等数学第七章4节一阶微分线性方程
一阶齐次线性微分方程 一阶非齐次线性微分方程
2
设
dy P x y Qx dx
（1）
dy 为一阶非齐次线性微分方程， 则方程 Px y 0 dx
称为对应于（1）的齐次线性微分方程.
2. 一阶齐次线
dy P x y 0, dx dy 得 P x dx , y dy P x dx , y
u x Q x e P x dx dx C .
求得() 的通解为：
y [ Q x e P x dx dx C ]e P x dx .
7
或
y Ce P x dx e P x dx Q x e P x dx dx
第四节
一阶线性微分方程
dy P x y Qx dx
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
dy P x y Q x y n dx
n 0 ,1
1
一、一阶线性微分方程
1.定义 形如
dy 称为一阶线性微分 P x y Q x 的方程， dx
将 y u x e
P x dx
代入() ， 得
u x e
即 积分得
P x dx
u x e
P x dx
P x
P x u x e
P x dx
Q x
P x dx u x Q x e
齐次线性微分方程的通解
非齐次线性微分方程的特解
即 非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解 与非齐次线性方程的一个特解之和.
8
5 dy 2y x 1 2 的通解 . 例1 求方程 dx x 1
一阶线性微分方程
高等数学之——
8.3 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程的概念 二.一阶线性微分方程的解法
一、一阶线性微分方程的概念
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数及其导数都是一次的，则称其为
一阶线性微分方程.其标准式为：
d y P(x)y Q(x) dx
.
A.
A.是
B.否
四、小结
1.一阶线性齐次微分方程 dy P(x) y 0
dx
通解： y Ce P（x）dx
2.一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) , Q(x) 0
dx
通解：
y
e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)
dx
dx
C
只看等式右端不能下结论，要变形为标准式.
例如： 3x2 5 y 0
y 3 x2
5
是一阶线性非齐次微分方程
二、一阶线性齐次微分方程的解法
1.一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
(2) 1 dy P(x)dx y
2.解法
分离变量法
两边积分 通解
ln | y | P ( x)dx C1 | y | e P ( x )dx C1 y eC1 e P ( x )dx
则通解为
y
e 1dx
3x
e
1dx
dx
C
ex 3
xe
x
dx
C
ex 3 xd (ex ) C
8.3 一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微分方程
一.一阶线性微分方程的概念 二.一阶线性微分方程的解法
一、一阶线性微分方程的概念
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数及其导数都是一次的，则称其为
一阶线性微分方程.其标准式为：
d y P(x)y Q(x) dx
.
A.
A.是
B.否
四、小结
1.一阶线性齐次微分方程 dy P(x) y 0
dx
通解： y Ce P（x）dx
2.一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) , Q(x) 0
dx
通解：
y
e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)
dx
dx
C
只看等式右端不能下结论，要变形为标准式.
例如： 3x2 5 y 0
y 3 x2
5
是一阶线性非齐次微分方程
二、一阶线性齐次微分方程的解法
1.一般式
dy P( x) y 0 dx
分离变量
(2) 1 dy P(x)dx y
2.解法
分离变量法
两边积分 通解
ln | y | P ( x)dx C1 | y | e P ( x )dx C1 y eC1 e P ( x )dx
则通解为
y
e 1dx
3x
e
1dx
dx
C
ex 3
xe
x
dx
C
ex 3 xd (ex ) C
第四节 一阶线性微分方程
ln | x + y + 1 |= y + ln | C |,
通解为
x = Ce − y − 1.
y
小结
1.一阶线性齐次微分方程 一阶线性齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 2.一阶线性非齐次微分方程 3.伯努利方程 伯努利方程
令 y1−n = z;
思考与练习
判别下列方程类型: 判别下列方程类型 dy dy (1) x + y = xy dx dx dy (2) x =y (ln y − ln x) dx 提示: 提示 y −1 dx 可分离 dy = 变量方程 y x dy y y = ln 齐次方程 dx x x dy 1 x2 一阶线性非 − y =− dx 2x 2 齐次方程 2 dx 1 y 一阶线性非 − x = − 齐次方程 dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x
∫ P ( x ) dx + y(e ∫ P ( x )dx )′ = 0, y′e
∫ P ( x )dx )′ = 0, ( ye
故通解为
∫ P ( x ) dx = C , ye
− P( x )dx
∫ y = Ce
.
dy + P(x) y = Q(x) 2. 解非齐次方程 dx −∫ P( x) d x 常数变易法: 用常数变易法 作变换 y(x) = u(x) e ,则 −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x −∫ P( x) d x + P(x) u e = Q(x) u′ e − P(x) u e
所求通解为
ye
x y
=C
可化为一阶线性的微分方程 -------伯努利方程 伯努利方程
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程在数学的领域中，微分方程是一种描述函数关系的方程。
一阶线性微分方程是其中一种常见的微分方程类型，其具有如下的一般形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)在这个方程中，y是未知函数，x是自变量。
P(x)和Q(x)是已知函数。
解决一阶线性微分方程的方法之一是使用积分因子的方法。
通过适当选择一个积分因子来将方程转化为可积的形式，从而得到其解。
具体地，我们可以按照以下步骤来解决一阶线性微分方程：步骤1：将方程转化为标准形式需要将一阶线性微分方程转化为以下形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)通过移项，得到：dy/dx = -P(x)y + Q(x)步骤2：确定积分因子确定积分因子μ(x)的一种常用方法是将方程乘以一个因子，并使乘积的系数等于∂(μ(x)y)/∂x。
因此，我们可以通过以下公式来确定积分因子：μ(x) = e^∫P(x)dx步骤3：将方程乘以积分因子将方程乘以积分因子μ(x)：μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)得到：d[μ(x)y]/dx = μ(x)Q(x)步骤4：对方程进行积分对上述方程两边进行积分，得到：∫d[μ(x)y]/dx dx= ∫μ(x)Q(x) dx化简后得到：μ(x)y = ∫μ(x)Q(x) dx + C其中，C是常数。
步骤5：解出未知函数y解方程μ(x)y = ∫μ(x)Q(x) dx + C，求出未知函数y的表达式。
以上就是解决一阶线性微分方程的步骤。
通过选取适当的积分因子，将方程转化为可积的形式，并通过积分求解得到未知函数的表达式。
总结起来，一阶线性微分方程的求解过程可以分为五个步骤：将方程转化为标准形式、确定积分因子、将方程乘以积分因子、对方程进行积分、解出未知函数y。
这些步骤能够帮助我们解决一阶线性微分方程的问题。
通过学习和掌握一阶线性微分方程的方法，我们可以应用它们解决各种实际问题，如物理学、生物学、经济学等领域中的相关问题。
一阶线性微分方程
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3
e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x y
2 2
C
2 3
x3 (ln
x
2). 3
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x eln cos y sin 2 y eln cos y dy C
cos
设 y u( x)e p( x)dx 是方程的解，因为 y u( x)e P(x)dx u( x)[P( x)]e P(x)dx ,
将y和y代入原方程得
u( x)e P( x)dx Q( x),
即：u( x) Q( x)e P( x)dx
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P ( x )dx dx C ]e P ( x )dx
Ce
P( x)dx
e
P( x)dx
Q(
x)e
P(
x
)dx
dx
一阶线性微分方程
dx 等，都不是线性方程.
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:
1.先求 dy P(x) y 0 (2) 的通解： dx
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce P(x)dx，
dx x y3 1 x y2， 即 dy y y
dx 1 x y2 , dy y
(7)
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是
一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性
非齐次方程
dx P( y)x Q( y)
(8)
dy
的通解公式为
x e P( y)dy[ Q( y)e P( y)dydy C]
P(t
) dt dt
C
e
k dt
m[
g ge
k dt
m dt
C
k t
e m (g
kt
em dt
C)
e
kt m
(
mg
kt
em
C)
mg
kt
Ce m .
k
k
故得通解为
v
mg
kt
Ce m .
k
注意方程(10)也可分离变量为
dv = dt ， mg kv m
1 cos
x
sec
x
cos
xdx
C
1 cos
x
dx
C
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:
1.先求 dy P(x) y 0 (2) 的通解： dx
分离变量后得
dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
y Ce P(x)dx，
dx x y3 1 x y2， 即 dy y y
dx 1 x y2 , dy y
(7)
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是
一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性
非齐次方程
dx P( y)x Q( y)
(8)
dy
的通解公式为
x e P( y)dy[ Q( y)e P( y)dydy C]
P(t
) dt dt
C
e
k dt
m[
g ge
k dt
m dt
C
k t
e m (g
kt
em dt
C)
e
kt m
(
mg
kt
em
C)
mg
kt
Ce m .
k
k
故得通解为
v
mg
kt
Ce m .
k
注意方程(10)也可分离变量为
dv = dt ， mg kv m
1 cos
x
sec
x
cos
xdx
C
1 cos
x
dx
C
一阶线性微分方程
齐次方程通解
高等数学（ZYH）
非齐次方程特解
例1. 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 则 用常数变易法求特解. 令 y u ( x) ( x 1) ,
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
ln y P( x)d x ln C
故通解为
高等数学（ZYH）
y C e P ( x )d x
dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx
P( x) d x 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,
u e
即
P( x) d x
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
高等数学（ZYH）
3 2 u ( x 1) 2 C 3
d y 0 的通解 . dx 解: 注意 x, y 同号, 当 x 0 时, 2 d x , 故方程可 x 变形为 这是以 x 为因变量, y为
由一阶线性方程通解公式 , 得
§12.4 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程 dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ; 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得 若 Q(x)
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
P ( x )d x 对应齐次方程通解 y C e P( x) d x 两端积分得 u Q( x) e dx C
一阶线性微分方程
微积分Calculus一阶线性微分方程一定义一阶线性微分方程标准形式:)()(d d x Q y x P x y=+若Q (x ) ≡0, 若Q (x ) ≡0, 称为非齐次方程.称为齐次方程;0)(d d =+y x P x y 分离变量两边积分得C x x P y ln d )(ln +−=⎰故通解为xx P e C y d )(⎰−=二一阶线性齐次微分方程的解法的通解为一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解是怎样的？我们已知，那么，三一阶线性非齐次微分方程的解法是一阶线性非齐次微分方程，将方程变形为很容易看出方程的左边，正好是求导之后的结果，xy 即两边同时积分得即（原方程的通解）例我们得到一个很重要的方法：积分因子法即对于如下的微分方程，关键是找到积分因子I(x)我们来推导出这个积分因子的结构。
)()(x Q y x P dx dy=+I(x)得在方程两边同时乘上即则方程的通解可以很容易获得。
所以为了找到积分因子，我们必须研究将它展开得整理后得因为只要找到一个积分因子就行，故可令，得C=1这是一个关于的可分离变量的微分方程，I(x)所以可得用积分因子法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要在方程的两边同时乘以积分因子再两边同时积分即可得到通解为：方法总结对应齐次方程通解xx P e C y d )(⎰−=常数变易法:,)()(d )(⎰−=x x P e x u x y 则⎰−'x x P e u d )()(x P +⎰−x x P e u d )()(x Q =即作变换⎰−−x x P e u x P d )()(Cx e x Q u x x P +=⎰⎰d )(d )(两端积分得齐次方程通解非齐次方程特解⎰−x x P Ce d )(故原方程的通解xe x Q e x x P x x P d )(d )(d )(⎰⎰⎰−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰−C x e x Q e y x x P x x P d )(d)(d )(=y 即用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要先求出对应的齐次微分方程的通解，然后做常数的变易并代回到原微分方程中去，通过方法总结积分即可得到原微分方程的通解dy dx +3x2y=6x2四相关练习例二解方程解这是一阶线性非齐次方程，积分因子为I(x)=e3x2dx=e x3方程两边同时乘以，可得e x3两边同时积分，可得即通解为解: 先解,012d d =+−x y x y 即1d 2d +=x x y y 积分得即2)1(+=x C y y =23(x +1)ൗ32+C 例三解方程)1(2)1(2+⋅++⋅'='x u x u y 代入非齐次方程得解得故原方程通解为用常数变易法求特解. 令,)1()(2+⋅=x x u y 则。
一阶线性微分方程
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例1 解方程
解: 先解
dy 2y 0 ,即 dx x 1
dy 2dx y x 1
齐次方程
dx x x
dy dx
1 2x
y
x2 2
线性微分方 程
dx
1
x
y
2
线性微分方
dy 2y
2程
(5) ( y ln x 2) y dx x dy d y 2 y ln x y2 伯努利
dx x x
方程
伯努利(1654 – 1705)
( 雅各布第一 ·伯努利 )
瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 年提出了著名的伯努利方程, 1713年出 版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史 上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
dy y
P
(
x)dx,
ln y P(x)dx C1,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.非齐次线性方程
dy P( x) y Q( x). dx
讨论
dy y
Q( x) y
一阶线性微分方程
2
由 y | x = 0 = 0, 得 C = 6,
所求曲线为 y = 3( 2e
x
+ x 2 x + 2).
2
二、伯努利方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy 4 3 2 例 求方程 y = x y 的通解. dx x 2 方 程 两 边 同 除 以 y ,得 注意到 1 dy 4 1 3 =x 2 1 dy d 1 y dx x y = 2 1 y dx dx y 令z = ， 则 y
1 n
伯努利方程的一般形式： 伯努利方程的一般形式： dy n + P ( x ) y = Q ( x ) y ( n ≠ 0,1) dx 1 n n dy 解法： 解法： 形 y 变 + P ( x) y = Q( x) dx
求出通解后， 求出通解后，将 z
=y
1 n
代回即得. 代回即得.
dy 4 2 例 3 求方程 y = x y 的通解. dx x
y=0
如图所示, 平行于y轴的动直线被曲线 例2 如图所示, 平行于 轴的动直线被曲线
y = f (x)与 y = x ( x ≥ 0) 截下的线段 之长 截下的线段PQ之长 数值上等于阴影部分的面积, 数值上等于阴影部分的面积,求曲线 y = f ( x). 解 由题意，有 由题意，
3
∫0
x
f ( x )dx = ( x y ) ,
第四节 一阶线性微分方程
一、线性微分方程
一阶线性微分方程： 一阶线性微分方程： 未知函数及其导数都是一次的微分方程. 未知函数及其导数都是一次的微分方程.
dy 一般形式 + P( x) y = Q( x) dx 称为齐次线性微分方程 齐次线性微分方程. 当Q ( x ) ≡ 0, 称为齐次线性微分方程. 称为非齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程. 当Q( x) ≡ 0, 称为非齐次线性微分方程. dy 2 2 dx 线性的; = y + x , = x sin t + t 线性的; 例如 dt dx
由 y | x = 0 = 0, 得 C = 6,
所求曲线为 y = 3( 2e
x
+ x 2 x + 2).
2
二、伯努利方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy 4 3 2 例 求方程 y = x y 的通解. dx x 2 方 程 两 边 同 除 以 y ,得 注意到 1 dy 4 1 3 =x 2 1 dy d 1 y dx x y = 2 1 y dx dx y 令z = ， 则 y
1 n
伯努利方程的一般形式： 伯努利方程的一般形式： dy n + P ( x ) y = Q ( x ) y ( n ≠ 0,1) dx 1 n n dy 解法： 解法： 形 y 变 + P ( x) y = Q( x) dx
求出通解后， 求出通解后，将 z
=y
1 n
代回即得. 代回即得.
dy 4 2 例 3 求方程 y = x y 的通解. dx x
y=0
如图所示, 平行于y轴的动直线被曲线 例2 如图所示, 平行于 轴的动直线被曲线
y = f (x)与 y = x ( x ≥ 0) 截下的线段 之长 截下的线段PQ之长 数值上等于阴影部分的面积, 数值上等于阴影部分的面积,求曲线 y = f ( x). 解 由题意，有 由题意，
3
∫0
x
f ( x )dx = ( x y ) ,
第四节 一阶线性微分方程
一、线性微分方程
一阶线性微分方程： 一阶线性微分方程： 未知函数及其导数都是一次的微分方程. 未知函数及其导数都是一次的微分方程.
dy 一般形式 + P( x) y = Q( x) dx 称为齐次线性微分方程 齐次线性微分方程. 当Q ( x ) ≡ 0, 称为齐次线性微分方程. 称为非齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程. 当Q( x) ≡ 0, 称为非齐次线性微分方程. dy 2 2 dx 线性的; = y + x , = x sin t + t 线性的; 例如 dt dx
5.4__一阶线性微分方程
1 dx x
dx + C
1 = ( ∫ sin xdx + C ) x
1 = ( − cos x + C ). x
10
5.4 一阶线性微分方程
y = (ln x − ). 3 3
dy 考研数学一, 分 + P( x) y = Q( x) 考研数学一 二, 4分 dx 1 微分方程 xy′ + 2 y = x ln x 满足 y(1) = − 的解为 9 x 1
1 dy y ln y
dy + C
C 1 1 1 = ∫ ln ydy + C = ln y + ln y ln y y 2
此外, 也是原方程的解. 此外 y = 1也是原方程的解 也是原方程的解
13
5.4 一阶线性微分方程
注 解方程时, 解方程时 通常不计较哪个是自变量哪个是 因变量, 视方便而定, 因变量 视方便而定 关键在于找到两个变量间的 关系. 解可以是显函数, 也可以是隐函数, 关系 解可以是显函数 也可以是隐函数 甚至是 参数形式的. 参数形式的
12
5.4 一阶线性微分方程
y =e ∫
− P( x)dx
∫ P( x)dxdx + C] [∫ Q( x)e
y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0
解
dx 1 1 x= + dy y ln y y
P( y)
Q( y )
1 dy y ln y
x=e
−
∫
1 ∫ ∫ ye
y =e
−
∫x0
x
P(t )dt
∫x0 P(u)dudt + y ]. [∫ Q(t )e 0
一阶线性微分
一阶线性微分
一阶线性微分方程是数学中最常用的方程之一，它也被称为常微分方程，由其名称也可以
看出，它是一个一阶微分方程，它指信号处理中的线性结构，不断改变输入信号的输出信号。
一阶线性微分方程用微积分学中的微分形式描述，它通常有一个常数参数a，这个参数a
体现了系统的灵敏度，它是一个与时间相关的变量表达式，表达式的形式是：y'=ay+b。
这里的y'是y的一阶导数，a,b是常数。
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述系统的静态响应特性，它可以用来研究信
号处理系统中结构及信号变化特性。
同时，它是经过离散化后的微分方程，可以用于描述
数字系统中的抗抖动性能，从而实现一种低通滤波的效果，从而有效地抑制低频噪声。
总的来说，一阶线性微分方程有很多应用场景，它於信号处理及数学领域有着重要的作用，用于模拟信号的总体变化过程，从而为信号处理及数学提供有效的解决方案。
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两端积分, 得
du ln xlnC f (u)u
du
即
x Ce
f (u)u
再将 u 代y 入，便可得到齐次方程(10.2.4)的通解. x
若 f (u) u,有0根
, u则函数u0
, 即 u 也u0
是方程 (10.2.4) 的解.
例3 求微分方程 y2 x2 dy xy dy 的通解. dx dx
解 原方程可写成
dy
y2
( y )2 x
dx xy x 2
y 1
x
这是一个齐次方程. 令
, u则方程y可化为 x
yu x
0
u x du u2 dx u1
即 x du u dx u1
分离变量后得
(1 1 )du dx
u
x
上式两端积分得到
u ln u ln x lnC
从而
ln ux u ln C
ln y 及 ln x 写成 ln y及 ln x, 把任意常数 C 写成 lnC . 如
在上例中, 可以从
ln y ex lnC
中直接得到通解
y Ceex （C 为任意常数）.
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例 2 某公司对以往的资料分析后发现, 如果不做广告, 公
司某种商品的净利润为
0; 如果加以广告宣传, 则净利润
例如，对形如
d kdx a
ln(a ) kx ln C
于是方程的通解为
a Ce kx
将初始条件 x0 0 代如上式， 求得 C a 0 .
故所求的函数关系为
a (a 0 )ekx .
二. 齐次方程
如果一阶微分方程(10.2.1)中的函数
f ( x, y)可以写成关于
y 的函数, 即 x
将 u 代y 入上式，得通解 x
ln y y ln C x
y
即通解为
y Ce x （C 为任意常数）.
例4 已知生产某种产品的总成本为 C 由可变成本与固定 成本两部分构成. 假设可变成本 y 是产量 x 的函数，且 y 关于 x 的变化率等于产量平方与可变成本平方之和 除以产量与可变成本之积的2倍，固定成本为10. 当 x=1时， y=3，求总成本函数 C=C(x).
则称一阶微分方程
f
( x,
y)
y x
dy dx
y x
为齐次微分方程，简称齐次方程.
(10.2.4)
例如
( xy y2 )dx ( x 2 2 xy)dy 0
是齐次方程. 因为上式可化为
dy
xy y2
y ( y )2 xx
(
y)
dx x2 2xy 12( y ) x
x
在齐次方程(10.2.4)中, 只要引进新的未知函数
两边积分, 得
dy e xdx y
ln y ex C
1
（ C为1 任意常数）
从而 y eC1ee x, 也可写成 y Ceex ,其中 C eC1是
非零任意常数,
注意到 y = 0 也是方程的解. 若 C为任意常数,
则得到所给方程的通解为
y Ceex
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以后为了运算方便起见, 对于类似这样的问题, 通常把
教学目标
1. 掌握可分离变量微分方程的求解方法. 2. 掌握齐次方程的求解方法. 3. 掌握可化为齐次方程的求解方法. 4. 了解伯努利方程
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§10.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y)0
如果上式中的 可解y出，则方程可写成
y f ( x, y) 或
解 依题意，有微分方程
dy x 2 y 2
dx
2 xy
(x2 y2 )
将原方程改写
dy
x2
y2
1 ( y )2 x
dx
2 xy
2( y )
x
这是齐次方程，令
u y , 则上述方程可化为 x
u x du 1 u2 dx 2u
du 1 u2
即
x
dx 2u
分离变量后得
dx x
2udu 1 u2
而方
程(10.2.2)叫做已分离变量的微分方程 .
若 g(与y) h都(是x)连续函数，对(10.2.2)式两端积分，得
g( y)dy h( x)dx C
其中 C为任意常数.
G( y) 与 H ( x)分别是 g( y) 与 h( x)
的原函数.
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于是有
G( y) H ( x) C (10.2.3)
dy dx
f ( x, y)
（10.2.1）
有时也将一阶微分方程表示成微分的形式
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
本节我们将介绍几种常见类型的一阶微分方程及其解法.
一. 可分离变量的微分方程
如果一阶微分方程(10.2.1)可以化成
g( y)dy h( x)dx
(10.2.2)
的形式， 则称方程(10.2.1)为可分离变量的微分方程，
对广告费 x 的增长率与某个确定常数 a 和净利润之差成
比例(比例常数为 k ), 求净利润
与广告费 x 间 的函数关系.
解 设净利润 ( x), x为广告费用. d k(a )
dx
及初始条件 x0 0
依题意, 可得方程
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将方程分离变量， 上式两端积分，得
利用隐函数求导法则不难验证, 由(10.2.3)式所确定的隐函 数满足微分方程(10.2.2), 是它的通解. 我们把这种通解称为 方程(10.2.2)的隐式通解. 这种求解微分方程的方法称为分 离变量法.
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例1
求方程
dy dx
ex
y 的通解
.
解 当 y ≠ 0时，分离变量得
Hale Waihona Puke 上式两端积分得到ln x ln 1 u2 ln A
从而
x(1 u2 ) A
以 u y 代入上式，得通解 x y2 x 2 Ax
由初始条件
y
3, 代入上式，得
x 1
A 8
因此可变成本为 总成本函数为
y x2 8x
C 10 x2 8x
三. 可化为齐次的方程
利用变量代换还可以把一些非齐次微分方程转化为齐次方 程或可分离变量方程，从而达到求解的目的.
u y , 即 y ux x
(10.2.5)
齐次方程(10.2.4)就可以化为可分离变量方程.
式(10.2.5)两端对 x 求导，得
dy x du u dx dx
将上式代入方程(10.2.4)，有
即
x du (u) u
dx
x
du dx
u
(u)
若 u- f(u)≠0, 则分离变量, 得
du 1 dx f (u)u x