线性时不变系统

2.1
线性时不变连续系统的时域解法
连续时间系统处理连续时间信号， 连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分 方程来描述系统。 方程来描述系统。
微分方程的经典解。 微分方程的经典解。 微分方程
∑a y
i =0 i
n
(i )
(t ) = ∑ b j x ( j ) (t )
j =0
m
其有无数个解；若已知初始条件： 其有无数个解；若已知初始条件：
∫
t
−∞
( x(τ ) ∗ h(τ ))dτ = ∫ x(τ )dτ ∗ h(t ) = x(t ) ∗ ∫ h(τ )dτ
−∞ −∞
t
t
应用类似的推演可以到处卷积的高阶导数或 多重积分之运算规律： 多重积分之运算规律： 则有： 设 y (t ) = x1 (t ) ∗ x2 (t ) ，则有：
y ( i ) (t ) = x1 (t ) ∗ x2
矩形信号： 矩形信号：
x(t) 1
x(t ) = u (t − t1 ) − u (t − t n )
分为一系列宽度相等 的窄矩形脉冲之和
0 x(t) t1 tn t
1
x(t) = u(t −t1) −u(t −t2 ) +⋯+u(t −tn−1) −u(t −tn )
0
t1
tn
t
若：
∆→0
n −1 i =1
h(t − τ )
1
x(τ )
（3）
− -2+t 2 1
0 1 tτ
3 1≤ t < 时 2 1 1 3 3 y (t ) = ∫ 1 (t − τ )dτ = t − − 2 4 16 2
（4）
h(t − τ )
1
x(τ )
3 ≤t <3 2
t τ
−
1 -2+t 2 0
1
1 t2 t 3 y (t ) = ∫ (t − τ )dτ = + + t −2 2 4 2 4
2.3 卷积积分
对于线性系统， 对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 那么， 那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系 统的响应。 统的响应。 一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激 一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、 函数、阶跃函数等等。 函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激 函数之和的情况。 函数之和的情况。
1
时移
1
h(t − τ )
-2
0
τ
-2+t t 0 τ
（1）
h(t − τ )
1
x(τ )
1 t < − 时，y (t ) = 0 2
-2+t
t
−
1 2
0
1 τ
h(t − τ )
1
x(τ )
（2）
-2+t
− 1 2
0 t 1
τ
1 ≤ t < 1时， 2 t 1 t2 t 1 y (t ) = ∫ 1 (t − τ )dτ = + + − 2 4 4 16 2 −
x(t ) = ∆δ (t − t1 ) + ∆δ (t − t 2 ) + ⋯ + ∆δ (t − t n −1 ) = ∆ ∑ δ (t − ti )
y (t ) = ∆h(t − t1 ) + ∆h(t − t 2 ) + ⋯ + ∆h(t − t n −1 ) = ∆ ∑ h(t − ti )
h(t ) ≡ L[{0},δ (t )] = ceλt u(t )的形式。 这里，λ＝－2。即h(t ) = ce－2t u(t )代入方程中： －2ce－2t u(t )＋cδ (t ) + 2ce－2t u(t ) = 3δ (t ) ⇒c=3 ∴ h(t ) = 3e－2t u(t )
注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。 注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。
( j)
(i − j )
(t )
此处， 取正整数时为导数的阶次， 此处，当i 、j取正整数时为导数的阶次，取负 取正整数时为导数的阶次 整数时为重积分的次数。 整数时为重积分的次数。 一个简单的例子为： 一个简单的例子为：
y (t ) = x1 ' (t ) ∗ x2
( −1)
(t ) = x1
( −1)
i =1
n −1
为无时限的信号， 设x(t)为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 ∆τ 的 为无时限的信号 窄脉冲之和。 窄脉冲之和。
x (t ) x ( k∆ τ )
0
k∆ τ
+∞
∆τ
t
当
∆τ → 0
则： x(t) ≈
k=−∞
∑x(k∆τ).∆τ.δ(t −k∆τ)
设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对应于 τ t 设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对应于 =k∆ 的 h(t), 冲激响应为
h(t) 1 1 t
x(t) 2 1 2 4 t
h(t-τ)
x(τ)
τ
t=0 t-1 t t<1
τ
1<t<2
τ
2<t<3
τ
3<t<4
τ
4<t<5
τ
如图所示， 例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t) 与 如图所示
x(t) 1
h(t) 1
−
1 2
0
1
t
0
2
t
h(−τ )
反折： 反折：
x1 (t ) = e −t 和x2 (t ) = 5e −t 求分别输入
时的输出y(t)。 。 时的输出
解：
y1 (t ) = (e −2t + e − t )u (t )
y2 (t ) = (−3e
−2 t
+ 5e )u (t )
−t
2.2 单位冲激响应
单位冲激响应： 单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信 的激励下产生的零状态响应。 表示。 号 δ (t ) 的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。 表示 即：
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
y f (t) = ∫ x(τ )h(t −τ )dτ
上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算， 上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 x(t) 之间的一种二元运算 y(t)=x(t)*h(t)表示 表示。 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
y(t) = x(t) *h(t) = ∫ x(τ )h(t −τ )dτ
−∞
∞
卷积积分的图解法 卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求 解步骤， x(t)*h(t)为例： (t)为例 解步骤，以x(t)* (t)为例： 1、将h(τ）反折，得h(-τ） 、 ）反折， ） 2、将h(-τ）沿τ轴时延 秒，得得 －τ） 、 轴时延t秒 得得h(t－ ） ） 轴时延 3、将x(τ）与 h(t－τ）相乘 ，得x(τ） h(t－τ） 、 ） － ） ） － ） 4、沿τ轴对 (τ） h(t－τ）积分 轴对x 、 轴对 ） － ）
y1 (t) 2
y2 (t ) = x1 (t ) * x2 (t )
y2 (t) 2
解：
-2 0
2
t
-3
-1
1
3
t
例：已知
x(t ) = e − at u (t )
a>0
h(t ) = u (t )
求：
y (t ) = x(t ) * h(t )
x（τ） （
1
h（ τ） （
1
t
t
例：已知
x(t ) = e u (−t ) h(t ) = u (t − 3)
i =0 n
y x (t ) = T [( y(t0 )， }] {0
−
y f (t ) = T [{0} x(t )] ，
λi t
y f (t ) = ∑ c f i e λi t + y p (t )
i =0
n
例：已知一系统的微分方程为： 已知一系统的微分方程为：
y ' (t ) + 2 y (t ) = x(t )，且y (0 − ) = 2
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient) ：
重点： 重点： 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； 掌握LTI系统的性质； 系统的性质； 掌握 系统的性质 难点： 难点： 深刻理解卷积积分与卷积和的概念； 深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
1
(5)
− 1 2
1
x(τ )
h(t − τ )
t > 3时，y (t ) = 0
0 1 -2+t t τ
y(t)
5 16
y(t)的时域波形如图所示： 的时域波形如图所示： 的时域波形如图所示
9 16
− 1 2
0
1
3 2
2
3
t
例：
x1(t) 1
x2(t) 1
-1
0
1
t
-2
0
2
t
求
y1 (t ) = x1 (t ) * x1 (t )
x(t ) ∗ [h1 (t ) + h2 (t )] = x(t ) ∗ h1 (t ) + x(t ) ∗ h2 (t )
h1(t) x(t) h2(t) y(t)
（3）卷积的结合律： 卷积的结合律：
( x(t ) ∗ h1 (t )) * h2 (t ) = x(t ) ∗ (h1 (t ) ∗ h2 (t ))
A0+A1t
B1 cos(ωt + β ) + B2 sin(ωt + β )
tp
A0+A1t+A2t2+……APtp A
系统的零输入响应与零状态响应 一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。 状态响应。即：
y (t ) = y x (t ) + y f (t )
零输入响应 零状态响应 而： y x (t ) = ∑ c xi e
h(t ) ≡ T[{0},δ (t )]
分析如下电路：已知： 分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。 ， 。
2Ω ＋ 1.5δ(t) ＋ 0.25F －
解：建立系统的微分方程： 建立系统的微分方程：
uc(t)
－
du c RC + u c = 1.5δ (t ) dt du c 即： + 2u c = 3δ (t ) dt
(t ) ∗ x2 ' (t )
4.与冲激函数或阶跃函数的卷积 4.与冲激函数或阶跃函数的卷积
x(k∆τ).∆τ.h(t −k∆τ)
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和： 则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和： x(t)的总响应为所有冲激响应之和
yf (t) ≈ ∑x(k∆τ).∆τ.h(t −k∆τ)
当：
∞
∆τ →dτ,k∆τ →τ
∞ −∞
∞
k=−∞
求和符号改为积分符号
y (0 + ), y (1) (0 + ), y ( 2 ) (0 + ) ⋯ y ( n −1) (0 + )
其解唯一。 其解唯一。
y (t ) = yh (t )＋ y p (t )
齐次解 特解
齐次解 齐次解是满足
a i y ( i ) (t ) = 0 ∑
i =0
n
的解
个特征值各不相同： 若n个特征值各不相同： yh (t ) = 个特征值各不相同
2t
求：
y (t ) = x(t ) * h(t )
2τ
x(τ ) = e u (−τ )
1
1 t
h(τ ) = u (τ − 3)
3
t
2.卷积积分运算的性质 2.卷积积分运算的性质
（1）满足交换律： 满足交换律： （2）满足分配律： 满足分配律：
x(t ) ∗ h(t ) = h(t ) ∗ x(t )
微分方程的特解形式： 微分方程的特解形式：
输入信号x(t) 输入信号x(t) 常数C 常数C
e at a ≠ λi
特解y 特解yp(t) 常数A 常数A
Ae at
j =0 L
e
at
a = λi
Ck Baidu Nhomakorabea k ∑
k =0 L
λi为σ i重根
A j t j e at ∑
σi
Aj t j ∑
j =0
t
cos(ωt + β )
由于冲激函数是在t=0时给系统注入了一定的能量，而在 由于冲激函数是在 时给系统注入了一定的能量，而在t>0 时给系统注入了一定的能量 时刻， 时，系统的激励为0。相当于在 －到0＋时刻，使系统具有了一 系统的激励为 。相当于在0 定的初始能量。因此， 定的初始能量。因此，系统的冲激响应与系统的零输入响应具 有相同的形式。这里， 表示系统的冲激响应。 有相同的形式。这里，用h(t)表示系统的冲激响应。即： 表示系统的冲激响应
x(t) h1(t) h2(t) y(t)
（4）卷积的微分： 卷积的微分： 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数 与另一函数之卷积。即： 与另一函数之卷积。
( x(t ) ∗ h(t ))' = x' (t ) ∗ h(t ) = x(t ) ∗ h' (t )
（5）卷积的积分： ）卷积的积分：
ci e λit ∑
i =0
n
若特征值中有λ1是r重根，而其余的根都为单数，则 重根， 若特征值中有λ 重根 而其余的根都为单数，
yh (t ) = ∑ ci t e +
r −i λ1t i =0
r
j = r +1
∑ c je
n
λ jt
ci、cj的值由初始条件确定。 的值由初始条件确定。 特解 特解的函数形式与激励函数形式有关。 特解的函数形式与激励函数形式有关。