圆的解题技巧总结0608
关于圆的题型归纳和解题技巧
关于圆的题型归纳和解题技巧
一、题型归纳
1、求圆的半径和面积：
有时会给出圆的弦或者其他部分的参数，通过这些参数可以求出圆的半径和面积；有时可以使用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求出圆的半径和面积；有时候还可以使用极坐标系来求解；
2、求圆的直径和周长：
一般来说周长=直径×π，可以利用这个公式求圆的周长；有时可以利用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求圆的直径；也可以利用极坐标系来求解；
3、求圆心角：
有时给出的是圆的扇形的面积或者弧长，可以通过求出这个面积或者弧长对应的角度来求出圆心角；有时也给出的是圆弧上一点与圆心的连线，可以利用此线段及其他线段的角度来求出圆心角；
4、求圆的外接矩形或者其他图形：
有时给出的是圆的面积和某种图形的面积，可以计算出圆外接图形的面积，从而求出圆的外接矩形；有时也可以使用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求出圆的外接矩形或者其他图形。
二、解题技巧
1、多用圆的性质：
圆的性质是圆的重要组成部分，其中有很多性质都可以用来帮助
解答圆的问题，如圆的内接三角形、外接三角形等；
2、注意圆的关键参数：
在回答圆的问题时，要特别注意特殊参数，如半径、直径等，它们可以使用其他参数来求出；
3、利用极坐标系：
极坐标系是求解圆的一种重要方法，它可以帮助我们简化复杂的问题，使得计算更简单、更快捷；
4、利用其他图形的特殊参数：
有些圆的题目可以利用其他图形的特殊参数来求解，例如外接矩形的长和宽，或者外接三角形的边长等。
关于圆的题型归纳和解题技巧
关于圆的题型归纳和解题技巧
x
一、圆的主要题型
1、给定一个圆，求该圆的圆心坐标
（1）若给出圆的表达式，则此时只需要求出该表达式中的a和b即可；
（2）若给出圆的三点坐标，则此时可以先由这三点构造三角形，并求出其外接圆的圆心；
（3）若给出圆的中点坐标及半径，则此时圆心即为所给的中点坐标。
2、给定一个圆，求该圆的圆周长及面积
（1）若给出圆的表达式，则此时可以求出圆周长及面积；
（2）若给出圆的三点坐标，则此时可以先求出外接圆的圆心，再求出其圆周长及面积；
（3）若给出圆的中点坐标及半径，则此时可以求出圆周长及面积。
3、给定两个圆，求其交点的坐标
（1）若给出两个圆的表达式，则此时可以进行二次方程的求解，求出其交点；
（2）若给出两个圆的中点和半径，则此时可以先求出两个圆的表达式，再求出其交点；
（3）若给出两个圆的三点坐标，则此时可以先求出两个圆的表
达式，再求出其交点。
二、圆的解题技巧
1、把圆的表达式转换成标准圆的表达式，即x2+y2+2gx+2fy+c=0，把不符合标准圆的表达式变成符合标准圆的表达式；
2、根据题目给出的信息，把圆的参数一步步求出，把圆的中点坐标及其他参数按照题目要求结合起来；
3、要注意把圆的表达式排列整齐，给出圆的表达式后，把整理好的表达式带入到题干中，求出答案；
4、根据已知的信息，结合数学知识，把圆的参数一步步求出，然后结合起来求出圆的面积和圆周长；
5、根据已知的两个圆所在的方程，结合数学知识，构造二次曲线，然后再求出两者的共同点，即为两个圆的交点。
初三数学圆知识点总结和解题技巧
初三数学圆知识点总结和解题技巧初中数学几何中圆是比较重要的一部分,下面给大家总结了,初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧,来看看吧初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径;2、直线圆的与置位关系1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心5.垂于直径半直线必为圆的的切线6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线7.垂于直径半直线是圆的的切线8.圆切线垂的直过切于点半径3、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等;垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧三、弦、弧等与圆有关的定义1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦;如图中的AB2、直径经过圆心的弦叫做直径;如途中的CD直径等于半径的2倍;3、半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆;4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“ ”,读作“圆弧AB”或“弧AB”;大于半圆的弧叫做优弧多用三个字母表示;小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角;2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距;3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等;推论：在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等;六、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角;2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;七、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有：dd=r 点P在⊙O上;d>r 点P在⊙O外;八、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆;2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆;3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心;4、圆内接四边形性质四点共圆的判定条件圆内接四边形对角互补;九、反证法先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法;十、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系,具体如下：1相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;2相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,3相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离;如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d>r;十一、切线的判定和性质1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径;十二、切线长定理1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长;2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角;十三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种;如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种;如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交;2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距;3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么两圆外离d>R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r两圆内切d=R-rR>r两圆内含dr4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;十四、三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆;2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心;十五、与正多边形有关的概念1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心;2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径;3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距;4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角;十六、正多边形和圆1、正多边形的定义各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形;2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆;十七、正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形;一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心;2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心;3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形;十八、弧长和扇形面积1、弧长公式n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为2、扇形面积公式其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长;3、圆锥的侧面积其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径;初中数学圆解题技巧半径与弦长计算,弦心距来中间站;圆上若有一切线,切点圆心半径连;切线长度的计算,勾股定理最方便;要想证明是切线,半径垂线仔细辨;是直径,成半圆,想成直角径连弦;弧有中点圆心连,垂径定理要记全;圆周角边两条弦,直径和弦端点连;弦切角边切线弦,同弧对角等找完;要想作个外接圆,各边作出中垂线;还要作个内接圆,内角平分线梦圆;如果遇到相交圆,不要忘作公共弦;内外相切的两圆,经过切点公切线;若是添上连心线,切点肯定在上面;要作等角添个圆,证明题目少困难;辅助线,是虚线,画图注意勿改变;假如图形较分散,对称旋转去实验;基本作图很关键,平时掌握要熟练;解题还要多心眼,经常总结方法显;切勿盲目乱添线,方法灵活应多变;分析综合方法选,困难再多也会减;虚心勤学加苦练,成绩上升成直线;以上就是初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧,的详细介绍希望对您有所帮助;。
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．，水面最深地方的高度为例2如图，PQ=3方形ABCD的顶点例3如图，已知⊙O、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则2．忽视点与圆的位置关系．例6点P到⊙0的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7已知四边形ABCD是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙0的半径是5cm，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8点P在⊙0外，OP=13cm，PA切⊙0于点A，PA=12cm，以P为圆心作⊙P 与⊙0相切，则⊙P的半径是______．例9若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13cm和15cm，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，以点P为圆的侧面展开图的圆心角是()A．180°B．90°C．120°D．135°例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是()A.2:1B.2π:1C．2：1D．3：1例17如图，小红要制作一个高4cm，底面直径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是()A．15πcm2B．6π13cm2C．12π⋅13cm2D．30cm2例18下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC=CD,AB=2AD,∠ABC＝∠ADB=90°．(1)求∠C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；为圆心的与A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是()A ．π323-B ．33π-C ．332π-D ．π-323．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24如图，正方形ABCD的顶点A是正方形EFGH的中心，EF=6cm，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25如图，C、D两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R，求阴影部分的面积．5．平移法例31如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点0为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．(1)求证：BN=AB⋅⋅BMBC(2)如果CM是⊙0的切线，N为OC的中点，当AC＝3时，求AB的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED 分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33如图，⊙02与半圆Ol内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们是是的中点，的半径是1，求通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5（2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．b5E2RGbCAP垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．p1EanqFDPw 例1(2006·山东青岛>某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．DXDiTa9E3d(1>请你补全这个输水管道的圆形截面；(2>若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．RTCrpUDGiT分析：本题是一道和垂径定理应用有关的实际问题，要确定圆形截面的圆心，只要在五b上取一点E，连结AE，BE，分别作线段AE，BE的垂直平分线，它们的交点即为圆心．要求圆的半径，只要过圆心作AB的垂线，构造直角三角形即可解决．5PCzVD7HxA答案：10 cm．例2<2007·芜湖）如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=？jLBHrnAILg答案：6例3<2007·天门）如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？xHAQX74J0X答案：例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．LDAYtRyKfE1．忽视点的可能位置．例5△ABC是半径为2的圆的内接三角形，若cm，则∠A 的度数为______．解：60°或120°．2．忽视点与圆的位置关系．例6点P到⊙0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm，则⊙0的半径是______．解:4 cm或 2 cm.3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7已知四边形ABCD是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，⊙0的半径是5 cm，则梯形的面积是______．Zzz6ZB2Ltk 解:49 cm2或 7 cm2.4．忽略两圆相切的不同位置关系例8点P在⊙0外，OP=13 cm，PA切⊙0于点A，PA=12 cm，以P为圆心作⊙P与⊙0相切，则⊙P的半径是______．dvzfvkwMI1解:8 cm或18 cm．例9若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24 cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13 cm和15 cm，则圆心距0102的长为______．rqyn14ZNXI解:14 cm或4 cm．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，以点P为圆心，PD为半径画⊙P，试说明OB是⊙P的切线．EmxvxOtOco2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心<即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11<2007·泸州）如图，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙0相切于点B，过A作AD∥OC交⊙0于点D，连结CD.SixE2yXPq5(1>求证：CD是⊙0的切线；(2>若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长．四、结论巧用，妙解题例12已知：如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的切点，求证：．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：6ewMyirQFL 例13如图，⊙0为Rt△ABC的内切圆，切点D分斜边AB为两段，其中AD＝10，BD＝3，求AC和BC的长．kavU42VRUsAC=12,BC= 5.例14如图，△ABC中∠A与∠B互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E、F，AC=10，BC＝13．求AE·BF的值．y6v3ALoS89AE·BF＝65五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．M2ub6vSTnP例15若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( > 答案：CA．180° B．90° C．120° D．135°例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( > 答案：AA.2:1B.2π:1 C．：1 D．：1例17(2007·山西>如图，小红要制作一个高4 cm，底面直径是6 cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( >0YujCfmUCw答案：AA．15πcm2 B．6cm2 C．12cm2 D．30 cm2例18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm2．<不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）eUts8ZQVRd答案：300π评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD，BC=CD,AB= 2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．sQsAEJkW5T(1>求∠C的度数；(2>以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC＝a，求该圆锥的底面半径；GMsIasNXkA(3>在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，TIrRGchYzg例20如图，△ABC中，内切圆⊙I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．求证：(1>；(2>．例21如果△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆⊙I半径为r，那么△ABC的面积为( >.答案：BA． B．C． D．七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．7EqZcWLZNX1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．lzq7IGf02E例22如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积为( >答案：DzvpgeqJ1hkA．B．C．D．2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23 如图，AB和AC是⊙0的切线，B、C为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( >答案：BNrpoJac3v1A．B．C．D．3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24如图，正方形ABCD的顶点A是正方形EFGH的中心，EF=6 cm，则图中的阴影部分的面积为______．答案：9 cm21nowfTG4KI4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25如图，C、D两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26 如图，CD是半圆0的直径，半圆0的弦AB与半圆O' 相切，点O' 在CD上，且AB∥CD，AB＝4，则阴影部分的面积是<结果保留π）．答案：2πfjnFLDa5Zo6．整体法例27如图，正方形的边长为a，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( >答案：CtfnNhnE6e5A．B．C．D．7．折叠法例28<2005·河南实验区）如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点0，其直径CD，EF均和x轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是______．答案：HbmVN777sL8．聚零为整法例29<2005·山西实验区）如图所示，将半径为2 cm的⊙0分割成十个区域，其中弦AB、CD关于点0对称，EF、GH关于点0对称，连结PM，则图中阴影部分的面积是______<结果用π表示）．答案：2V7l4jRB8Hs八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：83lcPA59W91、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30<2006·南京市）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm，则EF＝______cm．答案：6mZkklkzaaP2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31<2006·济宁市）如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点0为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．AVktR43bpw(1>求证：(2>如果CM是⊙0的切线，N为OC的中点，当AC＝3时，求AB 的值．答案：63、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32<2006·黄冈市）如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．ORjBnOwcEd(1>若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2>点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33<2005·太原市）如图，⊙02与半圆Ol内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．答案：75°2MiJTy0dTTC、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．gIiSpiue7A一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．uEh0U1Yfmh例1MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．答案：IAg9qLsgBX二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．WwghWvVhPE 例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．asfpsfpi4k在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1>每一次分类要按照同一标准进行；(2>不重、不漏、最简.ooeyYZTjj1例3⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=cm，AD=cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．答案：cm2或cm2BkeGuInkxI在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．PgdO0sRlMo例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．答案：3．3cdXwckm15五、函数思想例5<2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点<P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．h8c52WOngM(1>求y与x的函数关系式；(2>试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(2006·烟台>如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.v4bdyGious(1>求证：CD∥AO；(2>设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3>若AO+CD＝11，求AB的长．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P,再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A B两点重合，即有结论AP=BP弧AC= 弧BC.其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据.例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.例2如图，PQ=3以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P,正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q,贝U AB=?例3 如图，已知OO 中，直径MN=10正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM 0P以及00上，并且/ POM=4°，贝U AB的长为多少?例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具?二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解.1.忽视点的可能位置.例5 △ ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC=2/3cm,贝卩/A的度数为 __________________2.忽视点与圆的位置关系.例6 点P到O0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm,则O 0的半径是__________________3•忽视平行弦与圆心的不同位置关系.例7 已知四边形ABCD是O0的内接梯形，AB// CD AB=8 cm, CD=6 cm O0的半径是5 cm ,则梯形的面积是_________ .4.忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P在O0外，0P=13 cm PA切O 0于点A, PA=12 cm ,以P为圆心作O P与O0 相切，贝UOP 的半径是______________________ .例9 若O O与O0 2相交，公共弦长为24 cm, O O与O0 2的半径分别为13 cm和15 cm, 则圆心距0102的长为_________________ .三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点. 判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1•圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时, 可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径.例10 如图，P是/AOB的角平分线0C上一点，PDLOA于点D,以点P为圆心，PD为半径画O P,试说明0B是OP的切线.A2•证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可.例11 如图，已知AB为OO的直径，直线BC与O0相切于点B,过A作AD// 0C交O0 于点D,连结CD.⑴求证：CD是O0的切线；⑵若AD=2直径AB=6,求线段BC的长.四、结论巧用，妙解题例12 已知：如图，OO 为Rt△ ABC的内切圆，D E、F分别为AB AC BC边上的切点，求证：s ABC = AD BD .该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积.”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13如图，O0为Rt△ ABC的内切圆，切点D分斜边AB为两段，其中AD= 10, BD= 3,求AC和BC的长.例14 如图，△ ABC 中/A 与/B 互余,且它们的角平分线相交于点 0，又0吐AC OFL BQ垂足分别为 E 、F , AC=10 BC = 13.求AE- BF 的值.五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长. 例15若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的展开图的圆心角是（）A . 180° B . 90° C例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是（）A.2:1 B.2 n :1 C . 、2 : 1 D . .. 3 : 1 例17如图，小红要制作一个高 4 cm,底面直径是若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是 （）A. 15 n cm? B . 6 JT3兀 cm i C . 12 cm 例18下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面 积为__________ cmf .（不考虑接缝等因素，计算结果用 n 表示）BIn6 cm 的圆锥形小漏斗, 2 D . 30 cm六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆， 它的圆心是三角形三条角平分线的交点， 它到 三角形三边的距离相等， 它与顶点的连线平分内角•应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明， 评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积. 例19 如图，有一块四边形形状的铁皮 ABCD BC=CD,AB= 2AD,/ ABC =Z ADB=90 .⑴求/C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧 BD 得一扇形CBD 剪下该扇形并 用它围成一圆锥的侧面，若已知 BC = a ,求该圆锥的底面半径； ⑶ 在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由.a例20 如图，△ ABC中，内切圆O I和边BC CA AB分别相切于点D E、F. 求证：(1) . FDE =90 —丄• A -2 ，A⑵BIC M例21如果△ ABC的三边长分别为a、b、c,它的内切圆O I半径为r，那么△ ABC勺面积为（）.A. (a b c)r B 12( a b C)rC. 2 (a b c) r D3 丄(a b - c) r 4七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解•但在转化过程中又有许多方法•本文精选几个题，介绍几种常用方法.1.直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算.例22 如图，在矩形ABCD中, AB=1, AD= 3，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点P,则图中阴影部分的面积为（）A. - B . 3-. C . D .—3 4 4 32.和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算.例23 如图，AB和AC是O0的切线，B C为切点，/ BAC=60 ,O0的半径为1,则阴影部分的面积是（）A.出一2二B . C . 2 3飞D.厶3-二3.割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积.例24 如图，正方形ABCD勺顶点A是正方形EFGH勺中心，EF=6 cm则图中的阴影部分的面积为_________________ .4.等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积.例25如图，C D两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R,求阴影部分的面积.A O B5.平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积.例26 如图，CD是半圆0的直径，半圆0的弦AB与半圆0相切，点0在CD上，且AB//CD AB= 4,则阴影部分的面积是（结果保留n ）.6. 整体法 例27如图，正方形的边长为 a ，分别以对角顶点为圆心， 边长为半径画弧， 则图中阴&聚零为整法例29如图所示，将半径为2 cm 的O0分割成十个区域，其中弦AB CD 关于点0对称, EF 、GH 关于点0对称，连结PM 则图中阴影部分的面积是 ______________________________ (结果用n 表示).H八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容， 是中考必考内容•关于圆的大部分题目常需作辅助线来求解•现对圆中辅助线的作法归纳总结如下： 1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的OO 交于点 G B F 、E , GB=8cm, AG= 1 cm,DE= 2 cm ，贝U EF= _____ cm.2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ ABC 中，/ C=90，以 BC 上一点0为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点M 交BC 于点N.⑴求证：AB BM =BC BN(2)如果CM 是O0的切线，N 为OC 的中点，当 AC = 3时，求 AB 的值.AB3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等 角关系 影部分的面积是 ()A. -la 2 —ra 2 B .2(a 2 -1 二 a 2) 24 4 C. 「a 21 2 .a D 2 .a - 1 2 a 2 27. 折叠法如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0,其直径CD EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点 C E 和点D F ，则图中阴影部分的面积是 ______________例28 E例32如图，AB AC分别是O0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O0 于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于P.⑴若PC= PF,求证：AB丄ED⑵点D在劣弧的什么位置时，才能使A D= DE- DF,为什么?4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，O0 2与半圆O内切于点C,与半圆的直径AB切于D,若AB=6 O0 2的半径为1,则/ ABC 的度数为__________________________ .C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂.因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用.一、数形结合思想.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合.通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体.例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，O0的半径是1，求AP+BP的最小值.二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知.例2 如图，以00的直径BC为一边作等边△ ABC AB AC交O0于D E两点，试说明BD=DE=EC在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量.所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论•分类必须遵循一定的原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）不重、不漏、最简.例3 O0的直径AB=2 cm,过点A的两条弦AC= 2 cm, AD= 3 cm,求/ CAD所夹的圆内部分的面积.在圆中有许多分类讨论的题目希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对, 对而不全”的现象.四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的.例4 如图，AB是O0的直径，点P在BA的延长线上，弦CDLAB垂足为E,且PC是OO 的切线，若OE:EA=1:2, PA= 6,求O0的半径.五、函数思想例5 (2005 •梅州市)如图，Rt△ ABC 中，/ ACB=90 , AC=4, BA=5,点P是AC上的动点(P不与A、C重合)，设PC= x,点P到AB的距离为y.(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围.例6 (2006 •烟台)如图，从O 0外一点A作O0的切线AB AC,切点分别为B、C,且O0直径BD= 6,连结CD AO.(1)求证：CD// AO(2)设CD=x AO=y,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+C B 11,求AB 的长.。
初中关于圆的解题技巧
初中关于圆的解题技巧
初中数学中，圆是一个重要的知识点，掌握一些解题技巧对于解决圆的题目非常有帮助。
以下是一些关于圆的解题技巧：
1. 熟练掌握圆的性质：包括圆的直径、半径、周长、面积等基本性质，以及圆心角、弦、弧等之间的关系。
2. 灵活运用垂径定理：垂径定理是解决圆问题的一个重要定理，掌握这个定理可以帮助我们快速找到解题思路。
3. 掌握切线的判定方法：切线的判定是解决圆问题的另一个重要知识点，通过切线的判定方法可以快速确定切线的位置。
4. 熟悉圆与圆的位置关系：包括相切、相交、相离等关系，掌握这些关系可以帮助我们解决一些综合性的题目。
5. 善于利用代数方法：对于一些较为复杂的圆问题，可以通过代数方法进行求解，例如设未知数、列方程等。
6. 学会总结归纳：对于一些常见的题目类型，可以总结归纳出一些通用的解题方法，这样可以提高解题效率。
总之，解决圆的题目需要熟练掌握圆的基本性质和定理，同时也要善于运用各种解题技巧，通过不断的练习和总结，提高自己的解题能力。
关于圆的题型归纳和解题技巧
关于圆的题型归纳和解题技巧
一、圆的题型归纳
1. 直线与圆的位置关系：直线与圆可以相切、相交、外切、内切。
2. 圆的性质：取点到圆心的距离相等；圆两点到圆心的连线，长度相等，角度相等；圆周上的点，到圆心两条连线的比值相等。
3. 圆心角：圆心角及其扇形的面积，与圆上两点的距离有关。
4. 关于圆的全等：两个半径相等的圆，它们的圆心角两端的线段的角度也相等；重心相等的圆，它们的圆心角也是相等的。
5. 关于圆的切线：圆上的点到圆心连线，为切线；圆上两点连线为切线；任一点到圆心的连线与任一点到圆上另外一点的连线的夹角为切线。
二、解题技巧
1. 图形分析法：根据题意绘制出合理的几何图形，对圆形的部分应尽量详细地描绘出来，综合分析各个部分的相互关系，以此判断圆形的计算结果。
2. 数字分析法：根据数据来分析圆形的特性，比如圆的半径是给定的，那么可以根据圆的性质和圆心角来推算其他参数的值；又如圆心角的角度是已知的，则可以推算出其它参数的值。
3. 结论法：圆周上的点，所到圆心的连线的比值都是相同的；圆心角的扇形面积和它的的圆心角的角度有关。
这些基本性质可以在解题中灵活地运用，通过比较不同扇形的面积来判断其可行的解，从
而推断出解题的具体值。
初三数学圆知识点总结和解题技巧
初三数学圆知识点总结和解题技巧初三数学：圆的基本性质1.半圆或直径所对的圆周角是直角.2.任意一个三角形一定有一个外接圆.2.在同-平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.4.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半5.同圆或等圆的半径相等.6.过三个点一定可以作一个圆.7.长度相等的两条弧是等弧.8.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.9.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。
直线与圆的位置关系直线与圆有唯-公共点时,叫做直线与圆相切.2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.垂直于半径的直线必为圆的切线、6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7.垂直于半径的直线是圆的切线.8.圆的切线垂直于过切点的半径.圆的知识点总结【集锦】1.不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。
圆的解题技巧总结
切割线定理：圆的切线上任 意一点到圆心的距离等于该 点到切点的线段与切线垂直 的线段长度的乘积
圆心坐标为(h, k)， 半径为r
方程为(xh)^2+(yk)^2=r^2
圆的标准方程是描 述圆最常用的方程 形式，包含了圆心 坐标和半径的信息
通过圆的标准方程 可以求解出圆的半 径和圆心坐标
圆的一般方程 为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
圆的外切多边形：各边到圆心的距离相等，且等于半径
圆的内接多边形：各边到圆心的距离相等，且等于半径
外切多边形和内接多边形的性质：外切多边形的周长等于圆的周长，内接多边形的面积等于 圆的面积
解题技巧：利用外切多边形和内接多边形的性质，可以解决与圆相关的几何问题
圆的面积计算公式为：S=πr²，其 中r为圆的半径
添加文档副标题
目录
01.
02.
03.
04.
05.
圆上三点确定一个圆 圆内接四边形对角互补 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对弧的圆心角的一半 直径所对的圆周角是直角
圆周角定理：圆周角等于同弧所对的圆心角的一半。 推论1：直径所对的圆周角等于直角。 推论2：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论3：同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于该弧所对圆心角的一半。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论1：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论2：两个弦切角相等，如果它们所夹的弧相等。
推论3：如果弦切角等于一个给定的角度，那么它所夹的弧所对的圆心角也等于这个角度 的两倍。
相交弦定理：圆的两条相交 弦的长度之积等于两弦之间 的弦心距的乘积
初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧
初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧圆的相关概念圆的定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
直线与圆的位置关系：当直线与圆有唯一公共点时，点叫做直线切点；三角形外接圆接触的圆叫做三心形角外心；弦切角于所等夹弧所对的圆心角；三角形内切圆接触的圆叫做三心形角内心；垂直于直径半直线必为圆的切线；过半径端点且垂直于半径的直线是圆的切线；垂直于直径半直线是圆的切线；圆的切线垂直于切点处的半径。
圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。
垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
弦、弧等与圆有关的定义弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
直径等于半径的2倍。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“⌒AB”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示），小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）。
圆的对称性圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
如果两个圆的圆心距离小于等于它们的半径之和，则这两个圆相交；如果圆心距离等于半径之和，则这两个圆相切；如果圆心距离大于半径之和，则这两个圆相离。
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2 如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD 的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=？例3 如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？例4 图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5 △ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若32 BC cm ，则∠A 的度数为______．2．忽视点与圆的位置关系．例6 点P 到⊙0的最短距离为2 cm ，最长距离为6 cm ，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7 已知四边形ABCD 是⊙0的内接梯形，AB ∥CD ，AB=8 cm ，CD=6 cm ，⊙0的半径是5 cm ，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P 在⊙0外，OP=13 cm ，PA 切⊙0于点A ，PA=12 cm ，以P 为圆心作⊙P 与⊙0相切，则⊙P 的半径是______．例9 若⊙O 1与⊙02相交，公共弦长为24 cm ，⊙O 1与⊙02的半径分别为13 cm 和15 cm ，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10 如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P ，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11 如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12 已知：如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13 如图，⊙0为Rt △ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长．例14 如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )A ．180° B ．90° C ．120° D ．135°例16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( )A.2:1 B.2π:1 C ．2：1 D ．3：1例17 如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( )A ．15πcm 2B ．6π13cm 2C ．12π⋅13cm 2D ．30 cm 2例18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．(1)求∠C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ABC 中，内切圆⊙I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190；(2)A BIC o ∠+=∠2190．例21 如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为( ).A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41 七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例22 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π- D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24 如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25 如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB ∥CD ，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法例27 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π- C ．22.21a a π+- D ．2221a a π- 7．折叠法例28 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29 如图所示，将半径为2 cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝______cm ．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点0为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．(1)求证：BN BC BM AB ⋅=⋅(2)如果CM 是⊙0的切线，N 为OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32 如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4 如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5 （2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6 (2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在形的外部且与CD切于点Q，则AB=？例3如图，已知⊙O 中，直径MN=10，形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM=45°，则AB 的长为多少？例4图为小自行车胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5△ABC 是半径为2的圆的接三角形，若32 BC cm ，则∠A 的度数为______．2．忽视点与圆的位置关系．例6点P到⊙0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7已知四边形ABCD是⊙0的接梯形，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，⊙0的半径是5 cm，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8点P在⊙0外，OP=13 cm，PA切⊙0于点A，PA=12 cm，以P为圆心作⊙P 与⊙0相切，则⊙P的半径是______．例9若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24 cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13 cm和15 cm，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，以点P为圆心，PD 为半径画⊙P，试说明OB是⊙P的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12已知：如图，⊙O 为Rt△ABC 的切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形切圆有关的问题，举例如下：例13如图，⊙0为Rt△ABC的切圆，切点D分斜边AB为两段，其中AD＝10，BD ＝3，求AC和BC的长．例14如图，△ABC中∠A与∠B互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E、F，AC=10，BC＝13．求AE·BF的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )A．° B．90° C．120° D．135°例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( )A.2:1 B.2π:1 C ．2：1 D ．3：1例17如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( )A ．15πcm 2B ．6π13cm 2C ．12π⋅13cm 2D ．30 cm 2例18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC= CD,AB=2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．(1)求∠C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形切圆问题三角形的切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分角．应用心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20如图，△ABC 中，切圆⊙I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190；(2)A BIC o ∠+=∠2190．例21如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为( ).A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21 C ．r c b a ）（++31 D ．r c b a ）（++41 七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例22如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π-D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24如图，形ABCD 的顶点A 是形EFGH 的中心，EF=6 cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB∥CD，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法例27如图，形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π- C ．22.21a a π+-D ．2221a a π- 7．折叠法例28如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29如图所示，将半径为2 cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点容，是中考必考容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝______cm ．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点0为圆心，以OB为半径的圆交AB 于点M，交BC于点N．(1)求证：BN=⋅BMAB⋅BC(2)如果CM是⊙0的切线，N为OC的中点，当AC＝3时，求AB的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33如图，⊙02与半圆O l切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN 上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆部分的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O 的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5（2005·市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值围．例6(2006·)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结(较难,不适用于中考对圆要求比较低的省份，如采用北师大版教材的地区）一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2 如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD 的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=？例3 如图，已知⊙O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM=45°，则AB 的长为多少？例4 图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5 △ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若32 BC cm ，则∠A 的度数为______．2．忽视点与圆的位置关系．例6 点P到⊙0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm，则⊙0的半径是______．3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7 已知四边形ABCD是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，⊙0的半径是5 cm，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P在⊙0外，OP=13 cm，PA切⊙0于点A，PA=12 cm，以P为圆心作⊙P 与⊙0相切，则⊙P的半径是______．例9 若⊙O1与⊙02相交，公共弦长为24 cm，⊙O1与⊙02的半径分别为13 cm和15 cm，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径．例10 如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，以点P为圆心，PD为半径画⊙P，试说明OB是⊙P的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11 如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD ∥OC 交⊙0于点D ，连结CD.(1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长．四、结论巧用，妙解题例12 已知：如图，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13 如图，⊙0为Rt△ABC的内切圆，切点D分斜边AB为两段，其中AD＝10，BD＝3，求AC和BC的长．例14 如图，△ABC中∠A与∠B互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E、F，AC=10，BC＝13．求AE·BF的值．五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )A．180°B．90°C．120°D．135°例16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( )A.2:1 B.2π:1 C ．2：1 D ．3：1例17 如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( )A ．15πcm 2B ．6π13cm 2C ．12π⋅13cm 2D ．30 cm 2例18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积．例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD，BC= CD,AB=2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．(1)求∠C的度数；(2)以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC＝a，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由．六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ABC中，内切圆⊙I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．求证：(1)A FDE ∠-︒=∠2190；(2)A BIC o ∠+=∠2190．例21 如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为( ).A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21 C ．r c b a ）（++31 D ．r c b a ）（++41 七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例22 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．例23 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π- D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24 如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6 cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25 如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB ∥CD ，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法 例27 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π- C ．22.21a a π+- D ．2221a a π- 7．折叠法例28 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29 如图所示，将半径为2 cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝______cm ．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点0为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．(1)求证：BN⋅=BCAB⋅BM(2)如果CM是⊙0的切线，N为OC的中点，当AC＝3时，求AB的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32 如图，AB、AC分别是⊙0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙0于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P．(1)若PC＝PF，求证：AB⊥ED．(2)点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，⊙02与半圆O l内切于点C，与半圆的直径AB切于D，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC的度数为______．C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用．一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN 上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4 如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．五、函数思想例5 （2005·梅州市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6 (2006·烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，我们很容易发现A 、B 两点重合，即有结论AP=BP ，弧AC=弧BC ．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径． 例2 如图，PQ=3，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ，则AB=？例3 如图，已知⊙O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM=45°，则AB 的长为多少？例4 图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？ 二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解．1．忽视点的可能位置．例5 △ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若32 BC cm ，则∠A 的度数为______． 2．忽视点与圆的位置关系．例6 点P 到⊙0的最短距离为2 cm ，最长距离为6 cm ，则⊙0的半径是______． 3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7 已知四边形ABCD 是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm ，CD=6 cm ，⊙0的半径是5 cm ，则梯形的面积是______．4．忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P 在⊙0外，OP=13 cm ，PA 切⊙0于点A ，PA=12 cm ，以P 为圆心作⊙P 与⊙0相切，则⊙P 的半径是______．例9 若⊙O 1与⊙02相交，公共弦长为24 cm ，⊙O 1与⊙02的半径分别为13 cm 和15 cm ，则圆心距0102的长为______． 三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点． 判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径： 1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径． 例10 如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD⊥OA 于点D ，以点P 为圆心，PD 为半径画⊙P，试说明OB 是⊙P 的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例11 如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线BC 与⊙0相切于点B ，过A 作AD∥OC 交⊙0于点D ，连结CD. (1)求证：CD 是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC 的长． 四、结论巧用，妙解题例12 已知：如图，⊙O 为Rt△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的切点，求证：BD AD s ABC ⋅=∆．该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积．”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13 如图，⊙0为Rt△ABC 的内切圆，切点D 分斜边AB 为两段，其中AD ＝10，BD ＝3，求AC 和BC 的长． 例14 如图，△ABC 中∠A 与∠B 互余，且它们的角平分线相交于点0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E 、F ，AC=10，BC ＝13．求AE ·BF 的值． 五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长．例15 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的3倍，则它的侧面展开图的圆心角是( )A ．180° B．90° C．120° D．135°例16 圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是( )A.2:1 B.2π:1 C ．2：1 D ．3：1例17 如图，小红要制作一个高4 cm ，底面直径是6 cm 的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是( )A ．15πcm 2B ．6π13cm 2C ．12π⋅13cm 2D ．30 cm 2例18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为______cm 2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积． 例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD ，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC ＝∠ADB=90°．(1)求∠C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD ，剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC ＝a ，求该圆锥的底面半径；(3)在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由． 六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角．应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ABC 中，内切圆⊙I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ． 求证：(1)AFDE ∠-︒=∠2190； (2)ABIC o ∠+=∠2190． 例21 如果△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆⊙I 半径为r ，那么△ABC 的面积为( ).A ．r c b a )(++B ．r c b a ）（++21C ．r c b a ）（++31D ．r c b a ）（++41七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．本文精选几个题，介绍几种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例22 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算． 例23 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π- D ．π-32 3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例24 如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6 cm ，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例25 如图，C 、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O ' 相切，点O ' 在CD 上，且AB∥CD，AB ＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法例27 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( )A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π-C ．22.21a a π+- D ．2221a a π- 7．折叠法例28 如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD ，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法例29 如图所示，将半径为2 cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点0对称，EF 、GH 关于点0对称，连结PM ，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）． 八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容，是中考必考内容．关于圆的大部分题目，常需作辅助线来求解．现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=8 cm ，AG ＝1 cm ，DE ＝2 cm ，则EF ＝______cm ．2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点0为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ． (1)求证：BN BC BM AB ⋅=⋅(2)如果CM 是⊙0的切线，N 为OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值．3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系例32 如图，AB 、AC 分别是⊙0的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙0于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于P ．(1)若PC ＝PF ，求证：AB⊥ED．(2)点D 在劣弧的什么位置时，才能使AD 2＝DE·DF，为什么？4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，⊙02与半圆O l 内切于点C ，与半圆的直径AB 切于D ，若AB=6，⊙02的半径为1，则∠ABC 的度数为______．C 、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂．因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用． 一、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．例1 MN 是半圆直径，点A 是的一个三等分点，点B 是的中点，P 是直径MN 上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP 的最小值． 二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2 如图，以0⊙的直径BC 为一边作等边△ABC ，AB 、AC 交⊙0于D 、E 两点，试说明BD=DE=EC ． 在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量． 三、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm ，过点A 的两条弦AC=2cm ，AD=3cm ，求∠CAD 所夹的圆内部分的面积． 在圆中有许多分类讨论的题目，希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对，对而不全”的现象．四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的．例4 如图，AB 是⊙0的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E ，且PC 是⊙O 的切线，若OE:EA=1:2，PA ＝6，求⊙0的半径． 五、函数思想例5 （2005·梅州市）如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合），设PC ＝x ，点P 到AB 的距离为y ．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 的取值范围．例6 (2006·烟台)如图，从⊙0外一点A 作⊙0的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，且⊙0直径BD ＝6，连结CD 、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x ，AO=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆的解题技巧总结、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB,垂足为P,再将纸片沿着直径 CD 对折，我们很容易发现 A B 两点重合，即有结论AP=BP 弧AC= 弧BC.其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的弧.垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系， 是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重 要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据.例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形 截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1) 请你补全这个输水管道的圆形截面； (2) 若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm 水面最深地方的高度为 4cm,求这个圆形截面的半径.例3 如图，已知OO 中，直径 MN=10正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM 0P 以 及OO 上，并且/POM=4°，贝U AB 的长为多少？例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具?例2如图，PQ=3以PQ 为直径的圆与一个以 5为半径的圆相切于点 P,正方形ABCD的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点Q,贝U AB=?二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解.1.忽视点的可能位置.例5 △ ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC=2庐cm,贝卩/A的度数为__________________2.忽视点与圆的位置关系.例6 点P到O0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm,则O 0的半径是__________________3•忽视平行弦与圆心的不同位置关系.例7 已知四边形ABCD是O0的内接梯形，AB// CD AB=8 cm, CD=6 cm O0的半径是5 cm ,则梯形的面积是_________ .4.忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P在O0外，0P=13 cm PA切O 0于点A, PA=12 cm ,以P为圆心作O P与O0 相切，贝UOP 的半径是______________________ .例9 若O O与O0 2相交，公共弦长为24 cm, O 0与O0 2的半径分别为13 cm和15 cm, 则圆心距0102的长为_________________ .三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点.判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1•圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径.例10 如图，P是/AOB的角平分线0C上一点，PDLOA于点D,以点P为圆心，PD为半径画O P,试说明0B是OP的切线.ALi2•证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可.例11 如图，已知AB为OO的直径，直线BC与O0相切于点B,过A作AD// 0C交O0 于点D,连结CD.⑴求证：CD是O0的切线；⑵若AD=2直径AB=6,求线段BC的长.四、结论巧用，妙解题例12 已知：如图，OO 为Rt△ ABC的内切圆，D E、F分别为AB AC BC边上的切点，求证：s ABC = AD BD .该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积.”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13如图，O0为Rt△ ABC的内切圆，切点D分斜边AB为两段，其中AD= 10, BD= 3,求AC和BC的长.例14 如图，△ ABC 中/A 与/B 互余，且它们的角平分线相交于点 0，又0吐AC OFL BQ 垂足分别为E 、F ，AC=10 BC = 13.求AE- BF 的值.五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系： 圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长. 例15若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的展开图的圆心角是（）A . 180°B . 90° C例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面 半径长的比是（）A.2:1B.2 n :1 C .、2 : 1 D . ..3 : 1例17如图，小红要制作一个高 4 cm,底面直径是 若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是（） A. 15 n cm? B . 6 JT3兀 cm i C . 12cm例18下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面 积为__________ cmf .（不考虑接缝等因素，计算结果用n 表示）BIn6 cm 的圆锥形小漏斗,2D . 30 cm20 cm评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积.例19 如图，有一块四边形形状的铁皮ABCD BC=CD,AB= 2AD,/ ABC =Z ADB=90 .⑴求/C的度数；(2)以C为圆心，CB为半径作圆弧BD得一扇形CBD剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC= a,求该圆锥的底面半径；⑶在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由.六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆，它的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，它与顶点的连线平分内角•应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明，例20 如图，△ ABC中，内切圆O I和边BC CA AB分别相切于点D E、F.求证：(1) . FDE =90 —丄• A -2 ，a A5. 平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积.例26 如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆0相切，点0在CD 上，且 AB//CD AB= 4,例21如果△ ABC 的三边长分别为 a 、b 、c ,它的内切圆O I 半径为r ，那么△ ABC 勺面积为（）.A. (a b c)r B 12( a b C )rC. 2 (a bc ) r D3丄(a b - c ) r4七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解•但在转化 过程中又有许多方法•本文精选几个题，介绍几种常用方法.1.直接法当已知图形为熟知的基本图形时， 先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算.例22 如图，在矩形 ABCD 中, AB=1, AD= 3，以BC 的中点E 为圆M 心的 与AD 相切于点P,则图中阴影部分的面积为 （）A. - B . 3-. C . D .—34432. 和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或 差来计算.例23 如图，AB 和AC 是O0的切线，B C 为切点，/ BAC=60 , O0的半径为1,则阴影部分的面积是（）A. i3 -孑鳥 B . '、3C . 2-、3D . 2」3 —3 333. 割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积.例24 如图，正方形ABCD 勺顶点A 是正方形 EFGH 勺中心，EF=6 cm 则图中的阴影部分的面积为 __________________________________ .4. 等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面 积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积. 例25如图，C D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R,求阴影部分的面积.EA O B则阴影部分的面积是（结果保留n ）.6. 整体法例27如图，正方形的边长为 a ，分别以对角顶点为圆心， 边长为半径画弧， 则图中阴 &聚零为整法例29如图所示，将半径为2 cm 的O0分割成十个区域，其中弦AB CD 关于点0对称, EF 、GH 关于点对称，连结PM 则图中阴影部分的面积是 _____________________________ (结果用n 表示).八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容， 是中考必考内容•关于圆的大部分题目 常需作辅助线来求解•现对圆中辅助线的作法归纳总结如下：1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的OO 交于点 G B F 、E , GB=8cm, AG= 1 cm,DB 2 cm ，贝U EF= ______ cm.2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ ABC 中，/ C=90，以 BC 上一点0为圆心，以 0B 为半径的圆交 AB 于点M 交BC 于点N.⑴求证：AB BM =BC BN(2)如果CM 是O0的切线，N 为0C 的中点，当 AC = 3时，求 AB 的值.3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等影部分的面积是 ()A. -la 2—ra 2B .2(a 2 -1二a 2)2 44C. 「a 21 2 .a D2.a -1 2 a227. 折叠法如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0,其直径CD EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点 C E 和点D F ,则图中阴影部分的面积是 _______________例28 E角关系例32如图，AB AC分别是O0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O0 于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于P.⑴若PC= PF,求证：AB丄ED⑵点D在劣弧的什么位置时，才能使A D= DE- DF,为什么?4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，O0 2与半圆O内切于点C,与半圆的直径AB切于D,若AB=6 O0 2的半径为1,则/ ABC 的度数为__________________________ .C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂.因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用.一、数形结合思想.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合.通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体.例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，O0的半径是1，求AP+BP的最小值.二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知.例2 如图，以00的直径BC为一边作等边△ ABC AB AC交O0于D E两点，试说明BD=DE=EC在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量.所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论•分类必须遵循一定的原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）不重、不漏、最简.例3 O0的直径AB=2 cm,过点A的两条弦AC= 2 cm, AD= 3 cm,求/ CAD所夹的圆内部分的面积.在圆中有许多分类讨论的题目希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对, 对而不全”的现象.四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的.例4 如图，AB是O0的直径，点P在BA的延长线上，弦CDLAB垂足为E,且PC是OO 的切线，若0E:EA=1:2, PA= 6,求O0的半径.五、函数思想例5 (2005 •梅州市)如图，Rt△ ABC 中，/ ACB=90 , AC=4, BA=5,点P是AC上的动点(P不与A、C重合)，设PC= x,点P到AB的距离为y.(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围.例6 (2006 •烟台)如图，从O 0外一点A作O0的切线AB AC,切点分别为B、C,且O0直径BD= 6,连结CD AO.(1)求证：CD// AO(2)设CD=x AO=y,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+C B 11,求AB 的长.。