典中点解直角三角形专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用
同角三角函数的基本关系及其应用
同角三角函数的基本关系应用方法温燕红 同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件，随时可以拿来应用，这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系，能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。
我们已经知道了三角函数的定义：任意角α的终边上取点P ，设点P 的坐标为（x ，y ），OP=r ，我们定义。
，即的正切，记作叫做角；，即的正弦，记作叫做角；，即的余弦，记作叫做角x y x y r y r y r x r x ===αααααααααtan tan sin sin cos cos因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式：（1） 平方关系：1cos sin 22=+αα，即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1.（2）商数关系：αααtan cos sin =，即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切。
注意：同角三角函数的基本关系式当且仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立。
在应用平方关系时，常用到平方根，算数平方根和绝对值的概念，应注意”“±的选取。
考查题型一 已知一个三角函数值，求两外两个三角函数值。
例1：若的值。
是第三象限角，求且ααααtan ,cos ,54sin -=解析：343554cos sin tan ,53541sin 1cos ,54sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-==-=⎪⎭⎫⎝⎛---=--=∴-=ααααααα是第三象限角，分析：此类题型属于较易题型，在α角象限确定的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。
题型二 已知αtan 的值，求关于ααcos sin 、的齐次分式时，可将求值式变为关于的代数式，此方法可称为弦化切。
例题2：已知2tan =θ，则θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-=解析：由题意可得，0cos ≠θ，把θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-上下同时除以θcos ，得到116235224tan 352tan 4=⨯+-⨯=+-θθ。
互余两角的三角函数关系++课件--2025学年沪科版九年级数学上册
0.743
能力提升
5.若锐角 满足 ，且 ，则 _ __.
提示：因为 ，所以 .
6.已知 ， 为锐角，且 ， ,则 _ _.
提示：因为 ， ，所以 .
拓展延伸
图2
7.探究与证明 【特例呈现】图2中有3个直角三角形，且给出了三角形的各边长.
【初步分析】
2023
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第四课时 互余两角的三角函数关系
起航加油
Байду номын сангаас识梳理
互余两角的正（余）弦值的关系：若 是锐角，则 _________， _ _______.
课前自测
1.已知 ， 是锐角，且 ，则 的值是( ) .
D
A. B. C. D.
当堂检测
1.在 中， ， ，则 的值为( ) .
C
A. B. C. D.
2.已知 是锐角，且 ，则 的度数是( ) .
B
A. B. C. D.
3.如图1，在平面直角坐标系中，已知 ，则 ______.
0.625
图1
课后达标
基础巩固
1.若 为锐角，且 ，则 的值为( ) .
B
A. B. C. D.
2.已知 ，且 ，则 的度数是( ) .
B
A. B. C. D.
3.在 中， ，则 ___．
0
4.已知 ， ,则 ______, ______．
2.已知 是锐角，且 ，那么 __.
随堂演练
典型题析
知识点 互余两角的三角函数关系
方法指导 解此类问题的关键是掌握互余两角的三角函数关系：如果 和 是锐角，且 ，那么 ， .
人教版九下数学28.1.6 同角或互余两角的三角函数关系的应用
角，∴sin α＋cosα＞0.
∴sin
α＋cosα＝
6 2.
3．若 45°－α 和 45°＋α 均为锐角，则下列关系式正确的是( C ) A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α) B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1 C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1 D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1
人教版 九年级下
第二十八章 锐角三角函数
第1节 锐角三角函数 第6课时 同角或互余两角的三角函数的
应用
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1 见习题 2 见习题
3C 4 见习题 5 见习题
6 见习题
答案显示
1．已知
tan
A＝4，求s4isninAA－＋3ccooss
A的值． A
解法一：原式＝（（s4isninAA－＋3ccooss
解：∵sin2α＋cos2α＝1，sin α·cosα＝1225， ∴(sin α＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcosα＝1＋2×1225＝4295. ∵α 为锐角，∴sin α＋cosα＞0. ∴sin α＋cosα＝75. 又∵sin α·cosα＝1225， ∴以 sin α，cosα 为根的一元二次方程为 x2－75x＋1225＝0.
6．已知 α 为锐角且 sin α 是方程 2x2－7x＋3＝0 的一个根，求 1－2sin αcos α的值．
解：∵sin α 是方程 2x2－7x＋3＝0 的一个根， ∴由求根公式，得：sin α＝－（－7）± （2×－2 7）2－4×2×3＝7±45. ∴sin α＝12或 sin α＝3(不符合题意，舍去)．
∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－122＝34.
专项训练2 同角或互余两角的三角函数关系的应用-2020-2021学年九年级数学全册考点专项训练
专项训练2 同角或互余两角的三角函数关系的应用方法指导：1．同角的三角函数关系：sin2 α＋cos2α＝1，tan α＝sin αcos α.2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，tan α•tan(90°－α)＝1.同角间的三角函数的应用1．已知tan A ＝4，求sin A －3cos A 4sin A ＋cos A的值．2．若α为锐角，sin α－cos α＝22，求sin α＋cos α的值．余角间的三角函数的应用3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( )A ．sin (45°－α)＝sin (45°＋α)B ．sin 2(45°－α)＋cos 2(45°＋α)＝1C ．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝1D ．cos 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝14．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5．已知sin α·cos α＝1225(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.6．已知α为锐角且sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根，求1－2sin αcos α的值．参考答案1．解：方法一：原式＝（sin A －3cos A ）÷cos A （4sin A ＋cos A ）÷cos A ＝sin A cos A －34sin A cos A＋1＝tan A －34tan A ＋1. ∵tan A ＝4，∴tan A －34tan A ＋1＝4－34×4＋1＝117. 方法二：∵tan A ＝4，∴sin A cos A＝4，∴sin A ＝4cos A. ∴原式＝4cos A －3cos A 4×4cos A ＋cos A ＝cos A 17cos A ＝117. 2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．解：∵sin α－cos α＝22， ∴(sin α－cos α)2＝12， 即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝12. ∴1－2sin αcos α＝12，即2sin αcos α＝12. ∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋12＝32. 又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝62. 3．C 【解析】∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)，sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝cos 2(45°＋α)＋sin 2(45°＋α)＝1.4．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.【解析】互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.5．解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α·cos α＝1225， ∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2×1225＝4925. ∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝75. 又∵sin α·cos α＝1225， ∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x 2－75x ＋1225＝0.【解析】此题用到两方面的知识：(1)公式sin 2α＋cos 2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x 1＋x 2＝p ，x 1x 2＝q ，则以x 1，x 2为两根的一元二次方程为x 2－px ＋q ＝0.6．解：∵sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根， ∴由求根公式，得sin α＝－（－7）±（－7）2－4×2×32×2＝7±54. ∴sin α＝12或sin α＝3(不符合题意，舍去)． ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34. 又∵cos α＞0，∴cos α＝32. ∴1－2sin αcos α＝ sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝（sin α－cos α）2＝|sin α－cos α|＝⎪⎪⎪⎪12－32＝3－12.。
人教版数学九年级下册28《解直角三角形的应用(二)》课件(31张)
B
解：∠A＝90°－ 40°＝50°．
sin A sin40 0.6, sin A a a 0.6,
c8 a 4.8.
a
c
┓ Cb
A
bc2 a 28 2 4 .8 26 .4
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫
例2、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北偏西60˚.
a
c
分析：本题估计学生会出现两种不同解法，割或补，即过A作AC⊥PO，要求PO长，此时CO=AB=200，只需求出PC即可；
变形2：如图楼AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶A处测得楼顶C处的俯角为45°，测得楼底D处的俯角为60°，试求两楼高各为多
┓ 少？ A 5m，则塔高BE= _________ （根号保留）． C b ∴AD= tan600x= x
变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，
如图2，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.
2、在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，
添设辅助线时,以不破坏特殊角的完整性为准则.
16 变题2、如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解：过点A作AD⊥BC于D,
设CD=x,则BD=X+24
在Rt△ADC中，
∵ tan∠DCA=---A--DDC
∴AD= tan600x= 3 x
A
N1
N
在Rt△ADB中，
∵ tan30˚= --A--D= √---3---x--
BD X+24 X=12 AD≈12×1.732 =20.784 > 20
九年级数学人教版-8锐角三角函数第6课时同角或互余两角的三角函数关系的应用
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题型
1
同角三角函数关系的应用
sin A 3cos A 1．已知tan A＝4，求 的值． 4sin A cos A sin A 3 (sin A 3cos A) cos A cos A tan A 3 解法一：原式＝ . (4sin A cos A) cos A 4sin A 4 tan A 1 1 ∵tan A＝4， cos A tan A 3 43 1 返回 . ∴原式＝ 4 tan A 1 4 4 1 17
∵(sin α＋cos
且α为锐角，
α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin
1＋cos α＞0. 6 ∴sin α＋cos α＝ . 2
返回
题型
2
互余两角的三角函数关系的应用
3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的
是( C )
A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α)
∵α为锐角，
∴sin α＋cos α＞0. 7 ∴sin α＋cos α＝ . 5 12 又∵sin α· cos α＝ ， 25 12 7 ∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x2－ 5 x＋ 25 ＝0.
返回
6．已知α为锐角且sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，
求 1 2sin cos 的值． 解：∵sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，∴由求根 公式，得： (7) (7)2 4 2 3 7 5 sin α＝ . 2 2 4 1 ∴sin α＝ 或sin α＝3(不符合题意，舍去)． 2
专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用
专训同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：．同角三角函数关系：α＋α＝，α＝α α).．互余两角的三角函数关系：α＝(°－α)，α＝(°－α)，α·(°－α)＝.同角间的三角函数的应用．已知＝，求的值．．若α为锐角，α－α＝，求α＋α的值．余角间的三角函数的应用．若°－α和°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( )．(°－α)＝(°＋α)．(°－α)＋(°＋α)＝．(°－α)＋(°＋α)＝．(°－α)＋(°＋α)＝．计算°·°·°·…·°·°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用．已知α·α＝(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为α和α.．已知α为锐角且α是方程－＋＝的一个根，求的值．答案．解：(方法)原式＝＝＝.∵＝，∴原式＝＝.(方法)∵＝，∴＝，∴＝.∴原式＝＝＝.．分析：要求α＋α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．解：∵α－α＝，∴(α－α)＝，即α＋α－αα＝.∴－αα＝，即αα＝.∴(α＋α)＝α＋α＋αα＝＋＝.又∵α为锐角，∴α＋α＞.∴α＋α＝.．点拨：∵(°－α)＋(°＋α)＝°，∴ (°－α)＝ (°＋α)，(°－α)＋(°＋α)＝(°＋α)＋(°＋α)＝.．解：°·°·°·…·°·°＝(°·°)·(°·°)·…·(°·°)·°＝.点拨：互余的两角的正切值的积为，即若α＋β＝°，则α·β＝.．解：∵α＋α＝，α·α＝，∴(α＋α)＝α＋α＋αα＝＋×＝.∵α为锐角，∴α＋α＞.∴α＋α＝.又∵α·α＝，∴以α，α为根的一元二次方程为－＋＝.点拨：此题用到两方面的知识：()公式α＋α＝与完全平方公式的综合运用；()若＋＝，＝，则以，为两根的一元二次方程为－＋＝.．解：∵α是方程－＋＝的一个根，∴由求根公式，得α＝＝.∴α＝或α＝(不符合题意，舍去)．∵α＋α＝，∴α＝－＝.又∵α＞，∴α＝.∴＝＝＝α－α＝＝.。
中考2018数学知识点同角互余角的三角函数间的关系
中考2018数学知识点：同角互余角的三
角函数间的关系
新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《中考2018数学知识点：同角互余角的三角函数间的关系》，仅供参考！
同角互余角的三角函数间的关系
同角三角函数间的关系：
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
余切等于邻边比对边
互余角的三角函数间的关系：
sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.。
九年级数学上册第23章解直角三角形23.1第2课时互余两锐角的三角函数关系课件新版沪科版ppt
B
a
b
∵sin A = c ，cos A =c ，
c
a
b sin B =
c
，cos
B
a c=
， A
b
C
∴ sin A = cos B，cos A = sin B.
如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°. B
即 sin A = cos B
c
a
= cos（90°–∠A），
cos A = sin B
=1
A
B
c
a
b
C
随堂演练
1.
在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，sin
A
1 =1265 Nhomakorabea，则 cos B =5 ____. cos A5= _______.
2. 已知 α 为锐角，sin α = cos 40°，则 α 等于D（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
3. 计算 tan 1°tan 2°… tan 88°tan 89°.
解：原式 = （tan 1°tan 89°）（tan 2° tan 88°）…（tan 44°tan 46 °）tan 45°
= 1 ·1 ·… ·1 =1
课堂小结
任意一个锐角的正（余）弦的值，等于 它的余角的余（正）弦的值.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， sin2 A + cos2 A = 1 tan A ·tan B = 1 tanA= sin A
思考
新课导入
观察结果，你有 什么发现？
新课探究
发现 这就是说，30°，
sin 30°= cos 60° 45°，60°这三个角的正（ sin 60°= cos 30° 余）弦的值，分别等于它们 sin 45°= cos 45° 余角的余（正）弦的值.
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典中点解直角三角形专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用 ◐名师点金◑
1. 同角三角函数关系:a
a a a a cos sin tan ,1cos sin 22==+; 2.互余两角的三角函数关系:sina=cos(90°-a)，cosa=sin(90°-a)，tan a. tan(90°-a)=1. 训练角度1：同角间的三角函数的应用
1.已知
4cos sin =a a ,求a a a a cos sin 4cos 3sin +-的值.
2.若a 为锐角,sina-cosa=
2
2,求sina+cosa 的值.
训练角度2：余角间的三角函数的应用
3.若45°-a 和45°+a 均为锐角,则下列关系式正确的是( )
A.sin(45°-a)=sin(45°+a)
B.2sin (45°-a)+2cos (45°+a)=1
C.2sin (45°-a)+2sin (45°+a)=1
D.2cos (45°-a)+2sin (45°+a)=1
4.计算 89tan 88tan 3tan 2tan 1tan ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的值.
训练角度3：同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用
5. 已知sina ·cosa=
25
12(a 为锐角),求一个元二次方程,使其两根分别为sina 和cosa.
6.已知a 为锐角且sina 是方程03722=+-x x 的一个根,求a a cos sin 21⋅-的值.。