三维勾股数的性质及其计算方法

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勾股数规律总结口诀

勾股数规律总结口诀勾股数，又称勾股三元组，是指三个自然数a、b、c组成的数学集合，满足勾股定理 a^2 + b^2 = c^2。

在数学上，勾股数是一个重要的概念，它们之间存在着一定的规律和特点。

为了更好地理解和记忆这些规律，我们可以总结一些口诀，便于记忆和应用。

下面就让我们来总结一下勾股数的规律和相关口诀。

首先，我们要了解什么是勾股数。

勾股数是指三个自然数a、b、c组成的数学集合，满足勾股定理a^2 + b^2 = c^2。

其中，a、b、c分别被称为勾股数的“边”。

而a、b、c三个数之间存在着一定的关系，这就是我们要总结的规律和口诀。

其次，我们来总结一下勾股数的一些基本规律和口诀。

首先，我们知道，如果a、b、c是勾股数，那么它们一定满足以下条件：1. a、b、c互质，即它们没有公因数，这是因为如果它们有公因数，那么它们就不是勾股数了。

2. a、b、c中有且仅有一个是偶数，这是因为如果a、b、c都是奇数，那么a^2、b^2、c^2都是奇数，而奇数加奇数不可能等于偶数。

3. a、b、c中有且仅有一个是偶数，且c是偶数，这是因为如果a、b、c都是奇数，那么a^2、b^2、c^2都是奇数，而奇数加奇数不可能等于偶数。

接着，我们来总结一些勾股数的口诀，以便更好地记忆和应用：1. “勾股三五七，边长互质是真理。

”这句口诀告诉我们，勾股数的边长a、b、c互质，即它们没有公因数。

2. “勾股数，边长奇偶相间。

”这句口诀告诉我们，勾股数的边长a、b、c中有且仅有一个是偶数。

3. “勾股三四五，边长成等差。

”这句口诀告诉我们，当a、b、c分别为3、4、5时，它们构成等差数列，即b-a=c-b。

4. “勾股五十二，边长成等比。

”这句口诀告诉我们，当a、b、c分别为5、12、13时，它们构成等比数列，即b/a=c/b。

最后，我们需要注意的是，勾股数的规律和口诀虽然简单，但在实际应用中却有着重要的作用。

通过总结口诀，我们可以更好地理解和记忆勾股数的规律，从而更好地应用到实际问题中去。

勾股数规律

勾股数规律
勾股数规律是一种典型的数学规律，又称勾股定理，根据该定理，任何一个正整数都可以表示成两个正整数的平方和。

即c2 = a2 + b2 (a, b, c 为正整数)，其中a、b、c称为勾股数，也称勾股三元组。

规律由希腊数学家勃拉姆斯在《几何原本》中提出，因此又称为勃拉姆斯定理。

勾股数由于其简洁又具有独特性，一直被广泛应用，比如，作为结构设计和建筑工程的尺寸经常采用勾股数来表示，这有助于更好地保持结构的稳定性和安全性。

在数学上，勾股数规律可以通过两种方式来表示：
1. 三角形定理：任意一个勾股数可以用一个直角三角形表示，其两个直角边分别是a和b，斜边则是c。

2. 数学证明：任何一个正整数都可以表示成两个正整数的平方和，即：c2=a2+b2。

具体讲解勾股数规律，其实就是要对其特性做出更加具体的解释。

首先要明确的是，勾股数的特性是不变的，也就是说任何一个正整数都可以表示成两个正整数的平方和，即：c2=a2+b2。

这其中就包含了一个很重要的特性：一定存在三个正整数a、b、c，使得它们满足c2=a2+b2，即满足勾股数等
式；而且这个勾股数也有一定的性质，也就是a、b、c三者要么全部是偶数，要么有且只有一个是奇数。

勾股数规律也可以用来求解一些复杂的问题，比如求解多边形的面积和周长等，因为多边形的各边长可以用勾股三元组来表示，所以可以用勾股数规律来计算出多边形的面积和周长。

另外，勾股数规律还可以用于解决一些实际生活中的问题，比如计算两个城市之间的距离，解决一些物理问题等。

总体而言，勾股数规律不仅是数学学习中一种有趣的研究课题，而且也是一种有效的实用工具，能够帮助我们解决实际生活中遇到的一些复杂问题。

初中数学-与勾股定理相关的计算技巧

与勾股定理相关的计算技巧一、知识回顾（1）勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.（2）勾股数：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.常见的勾股数有3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15；9、40、41.注：等腰直角三角形三边比例1：1：2；含30°直角三角形三边比例：1：3：2.二、典题精练【直角使用勾股定理，利用勾股数和比例计算】1、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝1，BC ＝3，则AB ＝__________.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝4，BC ＝16，则AB ＝__________.3、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15，BC ＝12，则AC ＝__________.【方程思想】 1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，AD 为平分∠BAC ，交BC 于D ，则线段BD 的长为__________.2、如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝7，BC ＝8，则△ABC 的面积为__________.【面积法求高，避免方程】 1、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，AD ⊥BC 于D ，则AD 、CD 的长分别为__________、__________.D CB ACB AD CB A2、在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，BD ⊥AC 于D ，则BD 的长为__________.【解三角形，利用特殊角作高构建直角三角形】 1、（锐角＋两边）已知∠A ＝60°，AB ＝6，AC ＝9，求BC 的长．2、（钝角＋两边）已知∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，求BC 的长．3、（两特殊角＋一边）已知∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝1，求AB 、AC ．4、（隐藏两特殊角＋一边）如图，△ABC 中，∠A ＝75°，∠C ＝45°，且AC ＝26，则BC 的长为__________.DCB ACB ACB ACB ACB A【网格画图】1、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．（1）画一个格点ABCAB=，BC=，CA（在图中画出）；∆：使5（2）求出（1）中ABC∆的面积．2、图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN=．（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．3、（三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形（每个小正方形的边长为1)，请在如图所示的正方形网格中：①②直接写出三角形的面积．③．。

勾股定理的公式是什么

勾股定理的公式是什么
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

下面是勾股定理的公式介绍，供大家参考。

一.勾股定理的公式
在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2=c2
二.勾股定理的定义
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

三.勾股定理的定理用途
已知直角三角形两边求解第三边，或者已知三角形的三边长度，证明该三角形为直角三角形或用来证明该三角形内两边垂直。

利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用。

四.勾股数组
勾股数组是满足勾股定理a2+b2=c2的正整数组（a，b，c），其中的a，b，c称为勾股数。

例如（3，4，5）就是一组勾股数组。

任意一组勾股数（a，b，c）可以表示为如下形式：a=k （m2+n2），b=2kmn，c=k（m2+n2），其中k，m，n均为正整数，且m>n。

常见的勾股数及公式

常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数。

二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。

其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 14532 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 626 51 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 246 54 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 785 57 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 156 60 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 225 63 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 425 66 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 795 70 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 435 72 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 724 77 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 208 80 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 205 84 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 725 87 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 150 90 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549 100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组： 102 136 170第224组： 102 280 298第225组： 102 864 870第226组： 104 153 185第227组： 104 195 221第228组： 104 330 346第229组： 104 672 680第230组： 105 140 175第231组： 105 208 233第232组： 105 252 273第233组： 105 360 375第234组： 105 608 617第235组： 105 784 791第236组： 108 144 180第237组： 108 231 255第238组： 108 315 333第239组： 108 480 492第240组： 108 725 733第241组： 108 969 975第242组： 110 264 286第243组： 110 600 610第244组： 111 148 185第245组： 111 680 689第246组： 112 180 212第252组： 114 352 370 第253组： 115 252 277 第254组： 115 276 299 第255组： 116 837 845 第256组： 117 156 195 第257组： 117 240 267 第258组： 117 520 533 第259组： 117 756 765 第260组： 119 120 169 第261组： 119 408 425 第262组： 120 126 174 第263组： 120 160 200 第264组： 120 182 218 第265组： 120 209 241 第266组： 120 225 255 第267组： 120 288 312 第268组： 120 350 370 第269组： 120 391 409 第270组： 120 442 458 第271组： 120 594 606 第272组： 120 715 725 第273组： 120 896 904 第274组： 121 660 671 第275组： 123 164 205 第276组： 123 836 845 第277组： 124 957 965 第278组： 125 300 325 第279组： 126 168 210 第280组： 126 432 450 第281组： 126 560 574 第282组： 128 240 272 第283组： 128 504 520 第284组： 129 172 215 第285组： 129 920 929 第286组： 130 144 194 第287组： 130 312 338 第288组： 130 840 850 第289组： 132 176 220 第290组： 132 224 260 第291组： 132 351 375 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380 399 551 第700组： 380 672 772 第701组： 380 912 988 第702组： 381 508 635 第703组： 384 440 584 第704组： 384 512 640 第705组： 384 720 816 第706组： 385 552 673 第707组： 387 516 645 第708组： 387 884 965 第709组： 390 432 582 第710组： 390 520 650 第711组： 390 800 890 第712组： 392 630 742 第713组： 392 735 833 第714组： 393 524 655 第715组： 396 403 565 第716组： 396 528 660 第717组： 396 672 780 第718组： 396 847 935 第719组： 399 468 615 第720组： 399 532 665 第721组： 400 420 580 第722组： 400 561 689 第723组： 400 750 850 第724组： 402 536 670 第725组： 405 540 675 第726组： 406 792 890 第727组： 407 624 745 第728组： 408 506 650 第729组： 408 544 680 第730组： 408 765 867 第731组： 408 819 915 第732组： 411 548 685 第733组： 414 448 610 第734组： 414 552 690 第735组： 416 612 740 第736组： 416 780 884第742组： 420 675 795 第743组： 420 832 932 第744组： 420 851 949 第745组： 423 564 705 第746组： 424 795 901 第747组： 425 660 785 第748组： 426 568 710 第749组： 429 460 629 第750组： 429 572 715 第751组： 429 700 821 第752组： 429 728 845 第753组： 429 880 979 第754组： 432 495 657 第755组： 432 576 720 第756组： 432 665 793 第757组： 432 810 918 第758组： 435 580 725 第759组： 438 584 730 第760组： 440 462 638 第761组： 440 525 685 第762组： 440 825 935 第763组： 441 588 735 第764组： 444 592 740 第765组： 447 596 745 第766组： 448 720 848 第767组： 448 840 952 第768组： 450 544 706 第769组： 450 600 750 第770组： 451 780 901 第771组： 453 604 755 第772组： 455 504 679 第773组： 455 528 697 第774组： 456 608 760 第775组： 456 650 794 第776组： 456 855 969 第777组： 459 612 765 第778组： 460 483 667 第779组： 462 616 770 第780组： 462 784 910 第781组： 464 777 905 第782组： 464 870 986 第783组： 465 620 775 第784组： 468 595 757 第785组： 468 624 780第791组： 476 765 901 第792组： 477 636 795 第793组： 480 504 696 第794组： 480 550 730 第795组： 480 640 800 第796组： 480 693 843 第797组： 480 728 872 第798组： 480 836 964 第799组： 481 600 769 第800组： 483 644 805 第801组： 483 720 867 第802组： 486 648 810 第803组： 489 652 815 第804组： 492 656 820 第805组： 495 660 825 第806组： 495 840 975 第807组： 498 664 830 第808组： 500 525 725 第809组： 501 668 835 第810组： 504 550 746 第811组： 504 672 840 第812组： 504 703 865 第813组： 504 810 954 第814组： 507 676 845 第815组： 510 680 850 第816组： 510 792 942 第817组： 513 684 855 第818组： 516 688 860 第819组： 519 692 865 第820组： 520 546 754 第821组： 520 576 776 第822组： 520 765 925 第823组： 522 696 870 第824组： 522 760 922 第825组： 525 700 875 第826组： 528 605 803 第827组： 528 630 822 第828组： 528 704 880 第829组： 531 708 885 第830组： 532 624 820 第831组： 533 756 925 第832组： 534 712 890 第833组： 537 716 895 第834组： 540 567 783第837组： 540 819 981 第838组： 543 724 905 第839组： 546 728 910 第840组： 549 732 915 第841组： 552 736 920 第842组： 555 572 797 第843组： 555 740 925 第844组： 558 744 930 第845组： 560 588 812 第846组： 560 684 884 第847组： 560 702 898 第848组： 561 748 935 第849组： 564 752 940 第850组： 567 756 945 第851组： 570 760 950 第852组： 573 764 955 第853组： 576 660 876 第854组： 576 768 960 第855组： 579 772 965 第856组： 580 609 841 第857组： 580 741 941 第858组： 582 776 970 第859组： 585 648 873 第860组： 585 780 975 第861组： 588 784 980 第862组： 591 788 985 第863组： 594 608 850 第864组： 594 792 990 第865组： 595 600 845 第866组： 597 796 995 第867组： 600 630 870 第868组： 600 800 1000 第869组： 612 759 975 第870组： 615 728 953 第871组： 616 663 905 第872组： 616 735 959 第873组： 620 651 899 第874组： 621 672 915 第875组： 624 715 949 第876组： 638 720 962 第877组： 640 672 928 第878组： 650 720 970 第879组： 660 693 957 第880组： 680 714 986 第881组： 696 697 985。

常见勾股数及公式

常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数。

其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 4551；24 70 74；24 143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27 120 123；27 364365；28 45 53；28 96 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480481；32 60 68；32 126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288290；35 84 91；35 120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 7585；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46528 530；48 55 73；48 64 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52675 677；54 72 90；54 240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105119；56 192 200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80100；60 91 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899901；62 960 962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510514；65 72 97；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576580；69 92 115；69 260 269；69 792 79570 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154170；72 210 222；72 320 328；72 429 43572 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560565；75 936 939；76 357 365；76 720 72477 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504510；80 84 116；80 150 170；80 192 20880 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360369；84 112 140；84 135 159；84 187 20584 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880884；85 132 157；85 204 221；85 720 72587 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234250；88 480 488；88 966 970；90 120 15090 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128160；96 180 204；96 247 265；96 280 296100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组：102 136 170第224组：102 280 298第225组：102 864 870第226组：104 153 185第227组：104 195 221第228组：104 330 346第229组：104 672 680第230组：105 140 175第231组：105 208 233第232组：105 252 273第233组：105 360 375第234组：105 608 617第235组：105 784 791第236组：108 144 180第237组：108 231 255第238组：108 315 333第239组：108 480 492第240组：108 725 733第241组：108 969 975第242组：110 264 286第243组：110 600 610第244组：111 148 185第245组：111 680 689第246组：112 180 212第247组：112 210 238第248组：112 384 400第249组：112 441 455第250组：112 780 788第251组：114 152 190第252组：114 352 370第253组：115 252 277第254组：115 276 299第255组：116 837 845第256组：117 156 195第257组：117 240 267第258组：117 520 533第259组：117 756 765第260组：119 120 169第261组：119 408 425第262组：120 126 174第263组：120 160 200第264组：120 182 218第265组：120 209 241第266组：120 225 255第267组：120 288 312第270组：120 442 458 第271组：120 594 606 第272组：120 715 725 第273组：120 896 904 第274组：121 660 671 第275组：123 164 205 第276组：123 836 845 第277组：124 957 965 第278组：125 300 325 第279组：126 168 210 第280组：126 432 450 第281组：126 560 574 第282组：128 240 272 第283组：128 504 520 第284组：129 172 215 第285组：129 920 929 第286组：130 144 194 第287组：130 312 338 第288组：130 840 850 第289组：132 176 220 第290组：132 224 260 第291组：132 351 375 第292组：132 385 407 第293组：132 475 493 第294组：132 720 732 第295组：133 156 205 第296组：133 456 475 第297组：135 180 225 第298组：135 324 351 第299组：135 352 377 第300组：135 600 615 第301组：136 255 289 第302组：136 273 305 第303组：136 570 586 第304组：138 184 230 第305组：138 520 538 第306组：140 147 203 第307组：140 171 221 第308组：140 225 265 第309组：140 336 364 第310组：140 480 500 第311组：140 693 707 第312组：140 975 985 第313组：141 188 235 第314组：143 780 793 第315组：143 924 935 第316组：144 165 219第322组：144 640 656 第323组：144 858 870 第324组：145 348 377 第325组：145 408 433 第326组：147 196 245 第327组：147 504 525 第328组：150 200 250 第329组：150 360 390 第330组：150 616 634 第331组：152 285 323 第332组：152 345 377 第333组：152 714 730 第334组：153 204 255 第335组：153 420 447 第336组：153 680 697 第337组：154 528 550 第338组：154 840 854 第339组：155 372 403 第340组：155 468 493 第341组：156 208 260 第342组：156 320 356 第343组：156 455 481 第344组：156 495 519 第345组：156 667 685 第346组：159 212 265 第347组：160 168 232 第348组：160 231 281 第349组：160 300 340 第350组：160 384 416 第351组：160 630 650 第352组：160 792 808 第353组：161 240 289 第354组：161 552 575 第355组：162 216 270 第356组：162 720 738 第357组：165 220 275 第358组：165 280 325 第359组：165 396 429 第360组：165 532 557 第361组：165 900 915 第362组：168 224 280 第363组：168 270 318 第364组：168 315 357 第365组：168 374 410第371组：170 264 314 第372组：170 408 442 第373组：171 228 285 第374组：171 528 555 第375组：171 760 779 第376组：174 232 290 第377组：174 832 850 第378组：175 288 337 第379组：175 420 455 第380组：175 600 625 第381组：176 210 274 第382组：176 330 374 第383组：176 468 500 第384组：176 693 715 第385组：176 960 976 第386组：177 236 295 第387组：180 189 261 第388组：180 240 300 第389组：180 273 327 第390组：180 299 349 第391组：180 385 425 第392组：180 432 468 第393组：180 525 555 第394组：180 663 687 第395组：180 800 820 第396组：180 891 909 第397组：182 624 650 第398组：183 244 305 第399组：184 345 391 第400组：184 513 545 第401组：185 444 481 第402组：185 672 697 第403组：186 248 310 第404组：186 952 970 第405组：189 252 315 第406组：189 340 389 第407组：189 648 675 第408组：189 840 861 第409组：190 336 386 第410组：190 456 494 第411组：192 220 292 第412组：192 256 320 第413组：192 360 408 第414组：192 494 530第420组：195 468 507 第421组：195 748 773 第422组：196 315 371 第423组：196 672 700 第424组：198 264 330 第425组：198 336 390 第426组：198 880 902 第427组：200 210 290 第428组：200 375 425 第429组：200 480 520 第430组：200 609 641 第431组：201 268 335 第432组：203 396 445 第433组：203 696 725 第434组：204 253 325 第435组：204 272 340 第436组：204 560 596 第437组：204 595 629 第438组：204 855 879 第439组：205 492 533 第440组：205 828 853 第441组：207 224 305 第442组：207 276 345 第443组：207 780 807 第444组：207 920 943 第445组：208 306 370 第446组：208 390 442 第447组：208 660 692 第448组：208 819 845 第449组：210 280 350 第450组：210 416 466 第451组：210 504 546 第452组：210 720 750 第453组：213 284 355 第454组：215 516 559 第455组：215 912 937 第456组：216 288 360 第457组：216 405 459 第458组：216 462 510 第459组：216 630 666 第460组：216 713 745 第461组：216 960 984 第462组：217 456 505 第463组：217 744 775第469组：222 296 370 第470组：224 360 424 第471组：224 420 476 第472组：224 768 800 第473组：224 882 910 第474组：225 272 353 第475组：225 300 375 第476组：225 540 585 第477组：225 924 951 第478组：228 304 380 第479组：228 325 397 第480组：228 665 703 第481组：228 704 740 第482组：230 504 554 第483组：230 552 598 第484组：231 308 385 第485组：231 392 455 第486组：231 520 569 第487组：231 792 825 第488组：232 435 493 第489组：232 825 857 第490组：234 312 390 第491组：234 480 534 第492组：235 564 611 第493组：237 316 395 第494组：238 240 338 第495组：238 816 850 第496组：240 252 348 第497组：240 275 365 第498组：240 320 400 第499组：240 364 436 第500组：240 418 482 第501组：240 450 510 第502组：240 551 601 第503组：240 576 624 第504组：240 700 740 第505组：240 782 818 第506组：240 884 916 第507组：240 945 975 第508组：243 324 405 第509组：245 588 637 第510组：245 840 875 第511组：246 328 410 第512组：248 465 527第518组：252 405 477 第519组：252 539 595 第520组：252 561 615 第521组：252 735 777 第522组：252 864 900 第523组：255 340 425 第524组：255 396 471 第525组：255 612 663 第526组：255 700 745 第527组：256 480 544 第528组：258 344 430 第529组：259 660 709 第530组：259 888 925 第531组：260 273 377 第532组：260 288 388 第533组：260 624 676 第534组：260 651 701 第535组：260 825 865 第536组：261 348 435 第537组：261 380 461 第538组：264 315 411 第539组：264 352 440 第540组：264 448 520 第541组：264 495 561 第542组：264 702 750 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684 884 第847组：560 702 898 第848组：561 748 935 第849组：564 752 940 第850组：567 756 945 第851组：570 760 950 第852组：573 764 955 第853组：576 660 876 第854组：576 768 960 第855组：579 772 965第858组：582 776 970 第859组：585 648 873 第860组：585 780 975 第861组：588 784 980 第862组：591 788 985 第863组：594 608 850 第864组：594 792 990 第865组：595 600 845 第866组：597 796 995 第867组：600 630 870 第868组：600 800 1000 第869组：612 759 975 第870组：615 728 953 第871组：616 663 905 第872组：616 735 959 第873组：620 651 899 第874组：621 672 915 第875组：624 715 949 第876组：638 720 962 第877组：640 672 928 第878组：650 720 970 第879组：660 693 957 第880组：680 714 986 第881组：696 697 985。

勾股数的规律详解

勾股数的规律详解勾股数又名毕氏三元数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。

计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。

因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。

例：已知在△abc中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠c=90°。

此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。

如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。

由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。

掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。

勾股定理知识点

勾股定理知识点一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段6、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A勾股定理的经典题型题型一：勾股定理的直接用法1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a.2、:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?题型二：勾股定理的构造应用3、如图，已知：在中，，，. 求：BC 的长.4、如图，已知：，，于P . 求证：.5、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

勾股定理

勾股定理勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）选择题1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25B.14C.7D.7或252.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A. a=7,b=24,c=25B. a=7,b=24,c=24C. a=6,b=8,c=10D. a=3,b=4,c=53.下列各组线段中⑴22nm-、mn2、22nm+),(nmnm>为正整数，且；⑵15,12,9；⑶25,24,7；⑷2225,4,3；⑸31、41、51；其中可以构成直角三角形的有（）组。

A、2B、3C、4D、54.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12 米D．14米5.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里6. 如果Rt △的两直角边长分别为n 2－1，2n （其中n >1），那么它的斜边长是（）A.2nB.n +1C.n 2－1D.n 2+17. 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a +b =14c m ，c =10c m ，则Rt △ABC 的面积（） A.24c m 2B.36c m 2C.48c m 2D.60c m8. 已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为（）. A.9B.3C.49D.29 9. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（）. A.6秒 B.5秒 C.4秒 D.3秒10. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2)(b a + 的值为（）.A.49B.25C.13D.111. 下列说法中正确的是（）A. 已知a ，b ，c 是三角形的三边，则222a b c+=B ．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，所以222a b c+=D ．在Rt △ABC 中，∠B=90°，所以222a b c+=12. 一块木板如图所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12，AD ＝13，∠B ＝90°，木板的面积为( )A ．60B ．30C ．24D ．12填空1. 如图，圆柱形玻璃杯高为12c m 、底面周长为18c m ，在杯内离杯底4c m 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4c m 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 c m ．2. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6c m ，BC=8c m ，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为． 3. 如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平方米售价20元，主楼梯宽2米。

勾股数的规律总结

勾股数的规律总结归纳
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

接下来给大家分享勾股数的规律，供参考。

勾股数的规律
1.在一组勾股数中，当最小边是奇数是，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。

2.在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。

3.在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。

勾股数规律公式
1.当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
2.当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
什么是勾股数
勾股数，又名毕氏三元数。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a²+b²=c²)。

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

勾股定理与勾股数

勾股定理与勾股数在数学中，勾股定理是一条非常重要的几何定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系。

而勾股数则是满足勾股定理的整数解。

本文将会详细介绍勾股定理的定义与应用，并通过丰富的例子解释勾股数的概念和性质。

一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

可以用数学公式来表示为：c² = a² + b²，其中c为斜边，a和b为直角边。

二、勾股定理的应用勾股定理在几何学中有着广泛的应用。

首先，它可以用来计算直角三角形的边长。

当我们已知两个边长时，可以通过勾股定理求解第三个边长，从而确定直角三角形的形状。

其次，勾股定理也可以用来解决一些几何问题。

例如，我们可以利用它来判断一个三角形是否为直角三角形。

只需计算三条边的平方和，如果满足勾股定理的等式，那么该三角形就是直角三角形。

另外，勾股定理还可以用于计算两个物体之间的距离。

例如，在平面坐标系中，我们可以通过两点的坐标差值来计算它们之间的距离。

这个距离就是勾股定理在坐标系中的应用。

三、勾股数的概念和性质勾股数是满足勾股定理的整数解。

即，当a、b、c都是正整数且满足a² + b² = c²时，我们称这个三元组(a, b, c)为勾股数。

其中，a和b为勾股数的直角边，c为斜边。

勾股数有一些重要的性质。

首先，勾股数存在无穷多个，可以通过一个勾股数乘以一个正整数得到另一个勾股数。

这是因为勾股定理是一个等式，满足变量的线性关系。

其次，勾股数有一个特别的性质，即其中两个数必定是奇偶性不同的。

例如，如果一个勾股数的直角边a和b都是偶数，那么斜边c必定是奇数。

这个性质对于验证一个数是否为勾股数很有用。

最后，勾股数还与素数有着一定的关系。

研究发现，满足勾股定理的勾股数中，直角边a、b和斜边c中至少有一个数必定是素数。

这个性质为研究素数提供了一种新的途径。

四、勾股数的例子下面以几个具体的例子来说明勾股数的概念和应用。

初中勾股数知识点总结

初中勾股数知识点总结在直角三角形中，勾股数满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2，其中a、b是直角三角形的两条短边，c是直角三角形的斜边。

最早的勾股数是3、4、5，满足3^2 + 4^2 = 5^2。

勾股数有许多性质和应用，我们来详细了解一下。

1. 勾股数的性质勾股数有一些基本的性质：a) 勾股数满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2。

b) 勾股数中，至少有一个是偶数。

c) 如果a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，并且a、b、c互质，那么这个勾股数就是一个素勾股数。

2. 勾股数的分类勾股数可以分为两类：基本勾股数和非基本勾股数。

a) 基本勾股数是指勾股定理的三元组。

例如（3,4,5）（5,12,13）等。

b) 非基本勾股数是指不满足勾股定理的三元组。

例如（4,7,8）等。

3. 勾股数的应用勾股定理是数学中非常重要的定理，它在几何学、物理学、数学竞赛等领域都有广泛的应用。

a) 在几何学中，勾股定理可以用来求解直角三角形的边长。

b) 在物理学中，勾股定理可以用来求解物体的运动轨迹、速度和加速度等。

c) 在数学竞赛中，勾股定理是常见的题目类型，很多数学题目中都会用到勾股定理。

4. 勾股数的性质勾股数满足许多有趣的性质：a) 勾股数中，有些数还可以看作是素数的平方。

例如（3,4,5）中5是素数的平方。

b) 勾股数中，可以有许多奇特的特征，如（20,21,29）中，20和21都不是素数，但它们的平方和是29。

c) 勾股数中，可以存在很多特殊的组合。

例如（9,40,41）是一个特殊的组合，因为9和40都是勾股数的平方，它们的和等于41的平方。

5. 勾股数的性质勾股数还有很多其他有趣的性质，例如：a) 勾股数可以用来构造各种形状的直角三角形。

b) 勾股数可以用来解决一些数论问题。

c) 勾股数还可以用来构造一些特殊的图形和结构。

综上所述，勾股数是数学中非常重要的概念，它有许多有趣的性质和应用。

勾股定理与勾股数

勾股定理与勾股数勾股定理作为数学中的一条重要定理，广泛应用于几何学和物理学等学科，它的核心思想是描述直角三角形的边与角之间的关系。

而与勾股定理密切相关的概念便是勾股数。

本文将围绕勾股定理和勾股数展开讨论，探究其定义、性质及应用。

一、勾股定理的定义勾股定理，又称毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem），是由古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的。

它的定义如下：“在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方之和。

”数学表达式为：a² + b² = c²其中，a和b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边（也称为斜边或斜线）。

勾股定理不仅适用于直角三角形，理论上适用于任何三角形，只要满足边长关系即可。

然而，非直角三角形的情况更复杂，我们将集中讨论直角三角形的情形。

二、勾股定理的性质勾股定理具有以下几个性质：1. 互逆性：勾股定理中的a、b可互换位置，即a² + b² = c²也可以表示为b² + a² = c²。

这是因为在直角三角形中，直角边相互交换并不会改变斜边的长度。

2. 基本勾股数：勾股定理中的（a，b，c）被称为勾股数。

最简单的勾股数是（3，4，5）、（5，12，13）、（8，15，17），它们被称为基本勾股数。

除了基本勾股数外，还存在无穷多个勾股数。

3. 扩展勾股数：勾股定理适用于各种单位下的长度，例如米、厘米、英尺等。

所以，单位长为1的直角三角形的边长也可以是勾股数，这些勾股数被称为扩展勾股数。

4. 勾股三元组：勾股数（a，b，c）也被称为勾股三元组。

它表示直角三角形的三个边长。

三、勾股定理的应用勾股定理作为一条基础定理，有广泛的应用。

以下是一些勾股定理的应用领域：1. 几何学：勾股定理被广泛应用于解决直角三角形的边长和角度问题。

通过应用勾股定理，我们可以计算与直角三角形相关的各种属性，如边长、角度、面积等。

超全勾股定理公式大全

超全勾股定理公式大全我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。

二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。

其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数). 五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c=21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：34 5；512 13；6810；72425；81517；9 1215；940 41；102426；116061；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15112 113；16 30 34；1663 6517144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27120 123；27 364 365；28 45 53；2896 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；4864 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 79570 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 43572 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 72477 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 20880 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 20584 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 72587 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 15090 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549100 105 145；100240260；100 495 505；100621629.以下是大于100的勾股数：第223组：102 136 170第224组：102 280 298第225组：102 864 870第226组：104 153 185第227组：104 195 221第228组：104 330 346第229组：104 672 680第230组：105 140 175第231组：105 208 233第232组：105 252 273第233组：105 360 375第234组：105 608 617第235组：105 784 791第236组：108 144 180第237组：108 231 255第238组：108 315 333第239组：108 480 492第240组：108 725 733第241组：108 969 975第242组：110 264 286第243组：110 600 610第244组：111 148 185第245组：111 680 689第246组：112 180 212第247组：112 210 238第248组：112 384 400第249组：112 441 455第250组：112 780 788第251组：114 152 190第252组：114 352 370第253组：115 252 277第254组：115 276 299第256组：117 156 195 第257组：117 240 267 第258组：117 520 533 第259组：117 756 765 第260组：119 120 169 第261组：119 408 425 第262组：120 126 174 第263组：120 160 200 第264组：120 182 218 第265组：120 209 241 第266组：120 225 255 第267组：120 288 312 第268组：120 350 370 第269组：120 391 409 第270组：120 442 458 第271组：120 594 606 第272组：120 715 725 第273组：120 896 904 第274组：121 660 671 第275组：123 164 205 第276组：123 836 845 第277组：124 957 965 第278组：125 300 325 第279组：126 168 210 第280组：126 432 450 第281组：126 560 574 第282组：128 240 272 第283组：128 504 520 第284组：129 172 215 第285组：129 920 929 第286组：130 144 194 第287组：130 312 338 第288组：130 840 850 第289组：132 176 220 第290组：132 224 260 第291组：132 351 375 第292组：132 385 407 第293组：132 475 493 第294组：132 720 732 第295组：133 156 205 第296组：133 456 475 第297组：135 180 225 第298组：135 324 351第300组：135 600 615 第301组：136 255 289 第302组：136 273 305 第303组：136 570 586 第304组：138 184 230 第305组：138 520 538 第306组：140 147 203 第307组：140 171 221 第308组：140 225 265 第309组：140 336 364 第310组：140 480 500 第311组：140 693 707 第312组：140 975 985 第313组：141 188 235 第314组：143 780 793 第315组：143 924 935 第316组：144 165 219 第317组：144 192 240 第318组：144 270 306 第319组：144 308 340 第320组：144 420 444 第321组：144 567 585 第322组：144 640 656 第323组：144 858 870 第324组：145 348 377 第325组：145 408 433 第326组：147 196 245 第327组：147 504 525 第328组：150 200 250 第329组：150 360 390 第330组：150 616 634 第331组：152 285 323 第332组：152 345 377 第333组：152 714 730 第334组：153 204 255 第335组：153 420 447 第336组：153 680 697 第337组：154 528 550 第338组：154 840 854 第339组：155 372 403 第340组：155 468 493 第341组：156 208 260 第342组：156 320 356第343组：156 455 481 第344组：156 495 519 第345组：156 667 685 第346组：159 212 265 第347组：160 168 232 第348组：160 231 281 第349组：160 300 340 第350组：160 384 416 第351组：160 630 650 第352组：160 792 808 第353组：161 240 289 第354组：161 552 575 第355组：162 216 270 第356组：162 720 738 第357组：165 220 275 第358组：165 280 325 第359组：165 396 429 第360组：165 532 557 第361组：165 900 915 第362组：168 224 280 第363组：168 270 318 第364组：168 315 357 第365组：168 374 410 第366组：168 425 457 第367组：168 490 518 第368组：168 576 600 第369组：168 775 793 第370组：168 874 890 第371组：170 264 314 第372组：170 408 442 第373组：171 228 285 第374组：171 528 555 第375组：171 760 779 第376组：174 232 290 第377组：174 832 850 第378组：175 288 337 第379组：175 420 455 第380组：175 600 625 第381组：176 210 274 第382组：176 330 374 第383组：176 468 500 第384组：176 693 715 第385组：176 960 976 第386组：177 236 295第388组：180 240 300 第389组：180 273 327 第390组：180 299 349 第391组：180 385 425 第392组：180 432 468 第393组：180 525 555 第394组：180 663 687 第395组：180 800 820 第396组：180 891 909 第397组：182 624 650 第398组：183 244 305 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勾股定理的计算方法利用勾股数列进行推导

勾股定理的计算方法利用勾股数列进行推导勾股定理是数学中的一条基本定理，它描述了直角三角形中三个边的关系。

在数学中，勾股数列是特殊的整数数列，可以用于推导和计算勾股定理。

本文将介绍勾股数列的由来、性质以及利用勾股数列进行勾股定理的推导和计算方法。

一、勾股数列的由来和性质勾股数列最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，其定义为满足勾股定理关系的整数数列。

即在三个自然数a、b、c中，如果满足a² + b² = c²，那么a、b、c就构成了勾股数列。

勾股数列具有以下性质：1. 互素性：勾股数列中的任意两个数a、b互质。

这是因为如果a、b有公约数d，那么d也将是c的公约数，与a、b、c构成勾股数列的条件矛盾。

2. 奇偶性：勾股数列中的两个奇数构成一组，一个偶数和一个奇数构成一组。

这是因为一个完全平方数（即n²）的奇偶性只与n的奇偶性相同，而完全平方数是勾股数列中的必要存在。

二、勾股数列的推导和计算方法根据勾股数列的定义，我们可以通过一些数学方法进行勾股定理的推导和计算。

下面将介绍几种常见的计算方法。

1. 欧几里德求法：欧几里德求法是根据勾股数列的互素性质，通过求解不定方程a² + b² = c²来计算勾股数。

这种方法适用于寻找较小的勾股数。

2. 辗转相除法求法：辗转相除法求法是利用勾股数列的奇偶性质，通过逐个遍历奇数来寻找勾股数。

这种方法适用于寻找较大的勾股数。

3. 比例法求法：比例法求法是利用已知的勾股数，通过求比例关系来计算其他勾股数。

例如已知3、4、5是勾股数列，可以利用比例关系来计算其他勾股数，如6、8、10。

三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是数学中的一条基本定理，还有广泛的应用。

以下是一些勾股定理的应用领域：1. 圆的直径和半径的关系：在圆的几何学中，根据勾股定理可以推导出直径和半径的关系，即直径等于半径的两倍。

2. 三角函数关系：由勾股定理可以得到三角函数中的正弦、余弦、正切等函数之间的关系，这是三角学中的重要内容。

常见的勾股数及公式

其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。

设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145 25 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27 120 123；27 364 365；28 45 53；28 96 100 28 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32 126 130 32 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 626 51 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 246 54 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 785 57 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 156 60 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 225 63 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 425 66 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 795 70 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 435 72 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 724 77 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 208 80 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 205 84 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 725 87 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 150 90 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549 100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组： 102 136 170第224组： 102 280 298第225组： 102 864 870第226组： 104 153 185第227组： 104 195 221第228组： 104 330 346第229组： 104 672 680第230组： 105 140 175第231组： 105 208 233第232组： 105 252 273第233组： 105 360 375第234组： 105 608 617第235组： 105 784 791第236组： 108 144 180第237组： 108 231 255第238组： 108 315 333第239组： 108 480 492第240组： 108 725 733第241组： 108 969 975第242组： 110 264 286第245组： 111 680 689 第246组： 112 180 212 第247组： 112 210 238 第248组： 112 384 400 第249组： 112 441 455 第250组： 112 780 788 第251组： 114 152 190 第252组： 114 352 370 第253组： 115 252 277 第254组： 115 276 299 第255组： 116 837 845 第256组： 117 156 195 第257组： 117 240 267 第258组： 117 520 533 第259组： 117 756 765 第260组： 119 120 169 第261组： 119 408 425 第262组： 120 126 174 第263组： 120 160 200 第264组： 120 182 218 第265组： 120 209 241 第266组： 120 225 255 第267组： 120 288 312 第268组： 120 350 370 第269组： 120 391 409 第270组： 120 442 458 第271组： 120 594 606 第272组： 120 715 725 第273组： 120 896 904 第274组： 121 660 671 第275组： 123 164 205 第276组： 123 836 845 第277组： 124 957 965 第278组： 125 300 325 第279组： 126 168 210 第280组： 126 432 450 第281组： 126 560 574 第282组： 128 240 272 第283组： 128 504 520 第284组： 129 172 215 第285组： 129 920 929 第286组： 130 144 194 第287组： 130 312 338第291组： 132 351 375 第292组： 132 385 407 第293组： 132 475 493 第294组： 132 720 732 第295组： 133 156 205 第296组： 133 456 475 第297组： 135 180 225 第298组： 135 324 351 第299组： 135 352 377 第300组： 135 600 615 第301组： 136 255 289 第302组： 136 273 305 第303组： 136 570 586 第304组： 138 184 230 第305组： 138 520 538 第306组： 140 147 203 第307组： 140 171 221 第308组： 140 225 265 第309组： 140 336 364 第310组： 140 480 500 第311组： 140 693 707 第312组： 140 975 985 第313组： 141 188 235 第314组： 143 780 793 第315组： 143 924 935 第316组： 144 165 219 第317组： 144 192 240 第318组： 144 270 306 第319组： 144 308 340 第320组： 144 420 444 第321组： 144 567 585 第322组： 144 640 656 第323组： 144 858 870 第324组： 145 348 377 第325组： 145 408 433 第326组： 147 196 245 第327组： 147 504 525 第328组： 150 200 250 第329组： 150 360 390 第330组： 150 616 634 第331组： 152 285 323 第332组： 152 345 377 第333组： 152 714 730第337组： 154 528 550 第338组： 154 840 854 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第786组： 471 628 785 第787组： 473 864 985 第788组： 474 632 790 第789组： 475 840 965 第790组： 476 480 676 第791组： 476 765 901 第792组： 477 636 795 第793组： 480 504 696第797组： 480 728 872 第798组： 480 836 964 第799组： 481 600 769 第800组： 483 644 805 第801组： 483 720 867 第802组： 486 648 810 第803组： 489 652 815 第804组： 492 656 820 第805组： 495 660 825 第806组： 495 840 975 第807组： 498 664 830 第808组： 500 525 725 第809组： 501 668 835 第810组： 504 550 746 第811组： 504 672 840 第812组： 504 703 865 第813组： 504 810 954 第814组： 507 676 845 第815组： 510 680 850 第816组： 510 792 942 第817组： 513 684 855 第818组： 516 688 860 第819组： 519 692 865 第820组： 520 546 754 第821组： 520 576 776 第822组： 520 765 925 第823组： 522 696 870 第824组： 522 760 922 第825组： 525 700 875 第826组： 528 605 803 第827组： 528 630 822 第828组： 528 704 880 第829组： 531 708 885 第830组： 532 624 820 第831组： 533 756 925 第832组： 534 712 890 第833组： 537 716 895 第834组： 540 567 783 第835组： 540 629 829 第836组： 540 720 900 第837组： 540 819 981 第838组： 543 724 905 第839组： 546 728 910第841组： 552 736 920 第842组： 555 572 797 第843组： 555 740 925 第844组： 558 744 930 第845组： 560 588 812 第846组： 560 684 884 第847组： 560 702 898 第848组： 561 748 935 第849组： 564 752 940 第850组： 567 756 945 第851组： 570 760 950 第852组： 573 764 955 第853组： 576 660 876 第854组： 576 768 960 第855组： 579 772 965 第856组： 580 609 841 第857组： 580 741 941 第858组： 582 776 970 第859组： 585 648 873 第860组： 585 780 975 第861组： 588 784 980 第862组： 591 788 985 第863组： 594 608 850 第864组： 594 792 990 第865组： 595 600 845 第866组： 597 796 995 第867组： 600 630 870 第868组： 600 800 1000 第869组： 612 759 975 第870组： 615 728 953 第871组： 616 663 905 第872组： 616 735 959 第873组： 620 651 899 第874组： 621 672 915 第875组： 624 715 949 第876组： 638 720 962 第877组： 640 672 928 第878组： 650 720 970 第879组： 660 693 957 第880组： 680 714 986 第881组： 696 697 985。

有相同偶数的三维本原勾股数求解及算法

有相同偶数的三维本原勾股数求解及算法我们把满足不定方程x2+y2+z2=w2的正整数的解a，b，c，d称之为三维勾股数．当（a，b，c，d）＝1时，又叫三维本原勾股数．三个整数a，b，c中必有一个奇数两个偶数［1］，不妨设a为奇数，b，c是偶数．在本原三维勾股数中，出现许多具有两个相同偶数的奇妙解. 如：1，2，2，3；7，4，4，9；7，6，6，11；31，8，8，33…. 人们不禁会问，是否任何一个偶数，都可构成这类解？对于每一个偶数对应的这类解共有多少个？其中，是本原三维勾股数的又有多少个？本文试就以上几个问题进行探讨．一、任何一个偶数都可以成为三维勾股数中两个相同的偶数设偶勾股数b=c=2k （k≥1），则d2-a2＝b2+c2＝8k2，由8k2=4k2×2，那么（d+a）（d-a）＝4k2×2，取d+a=4k2，d-a=2，解得d=2k2+1，a=2k2-1．显然，2k2-1，2k，2k，2k2+1是本原三维勾股数．也就是说，任何一个偶数都可以构成具有两个相同偶数的三维勾股数．显然，用以上的方法即可以得到便是．二、用已知偶数构造有两个相同偶数的三维勾股数的个数问题对于任意一个偶数，可以构造多少个具有两个相同偶数的三维勾股数呢？为证明这样的结论，我们先作如下的准备：引理1把n个相同的元素分成两组，每组至少有一个元素，那么不同的分组方法共有F（n）=［］种．（［］表示不超过的最大整数）．证把n个相同的元素排成一排，共有n-1个间隙，在任一个间隙中插入一个隔板，那么这个相同的元素就自然分成了两个组；由于两个组之间没有次序之分，所以，当n为奇数时，应有种不同分组方法；当n为偶数时，应有种不同分组方法．即不同的分组方法共有F（n）=［］种．引理2把n个相同的元素分为两组，然后分别放进两个抽屉中，其中一个可以为空，那么不同的放置结果有n+1种．证把n个相同的元素排成一排，有n-1个间隙，连同两端共有n+1个间隙位置，由于有一个抽屉可以为空，在这n+1个间隙中的任一个位置中插入一个隔板，那么这n个相同的元素也自然分成了两部分；标记两个抽屉为甲、乙，由于分组之后再放进不同的抽屉中，所以两个组有次序之别；规定把隔板某一侧的元素放入甲抽屉，隔板另一侧的元素放入乙抽屉，那么就有n+1种不同的分组和放置结果．我们已得知，对于任意一个整数都可以作素因子分解［2］．若B为偶数，则B＝2p0a1p1a2p2…atpt，其中a1，a2，…，at为互不相等的奇素数．为此，有下列结论：定理1设B是任意偶数，若B＝2p0a1p1a2p2…atpt，其中a1，a2，…，at 为互不相等的奇素数，则用B可以构造p0（2p1+1）（2p2+1）…（2pt+1）个具有两个相同偶数的三维勾股数．证由于d2-a2＝b2+c2＝2B2＝22p0+1a12p1a22p2…at2pt，若（d+a）（d-a）=22p0+1a12p1a22p2…at2pt=m×n. （m，n为偶数，且m ＞n）那么，可以解得d＝，a=．由此可知，对于2B2=22p0+1a12p1a22p2…at2pt符合以上条件的不同偶因数分解有多少种，则对应的三维勾股数就有多少个．我们按如下步骤把2B2拆分成两个偶因数之积m×n．（1）先把22p0+1拆分成两因数，每一个因数中至少有一个2，根据引理1，有=p0种拆分方法，对以上两数分别标记为甲、乙（视为甲、乙两抽屉）；（2）再把a12p1拆分成两数之积，其中一个可以是a10=1，并把这两个数分别与以上两个偶数相乘(相当于把它们放入甲、乙两个抽屉)，根据引理2，对应有（2p1+1）种不同的结果．（3）然后，依次把a22p2，a32p3，…，at2pt也作如上的分解，并作出相应的乘积，可以分别对应（2p2+1），（2p3+1），…，（2pt+1）种不同的结果．由此，应用乘法原理：对于2B2一共可以作p0（2p1+1）（2p2+1）…（2pt+1）种不同的两个偶因数分解，结论得以证明．如：B＝90＝2×32×5（这里p0＝1，p1＝2，p2＝1），可以构成1×（2×2+1）×（2×1+1）＝15个以90为相同偶数的三维勾股数．即2B2=2×902＝23×34×52=8100×2=4050×4=2700×6=1620×10=1350×12=900×18=810×20=540×30 =450×36=324×50=300×54=270×60=180×90=162×100=150×108.它们对应的三维勾股数分别是：（4049、90、90、4051）*，（2023、90、90、2027）*，（1347、90、90、1353），（805、90、90、815），（669、90、90、681），（441、90、90、459），（395、90、90、415），（255、90、90、285），（207、90、90、243），（137、90、90、187）*，（123、90、90、177），（105、90、90、165），（45、90、90、135），（31、90、90、131）*，（21、90、90、129）．其中，带*号的是本原三维勾股数，其他为导出勾股数．以上的分解过程，也展示了计算出对应的具有两个相同偶数的三维勾股数的方法．对于每一个偶数这类解的本原三维勾股数有多少个呢？三、用已知偶数构成相同偶数的本原三维勾股数的个数若（a，b，c，d）是本原三维勾股数，则（a，d）＝1；即与互素，且m，n必须为偶数．首先把22p0+1进行分割，要使得m，n为偶数，与互素，显然只能给m，n其中某一个（不妨设为n）分派一个2，并记为抽屉A；将22p0分派给另一个，并记为抽屉B．这样使得与都是整数，且它们没有公约数2．对于22p0+1的分派只有此种方式．要保持（，）=1，对ai2pi（i=1，2，3，…，t）的分派也只有两种不同的方式．即，全部分派到抽屉A中，或全部分派到抽屉B中．（若把它们拆分成两组，每组至少有一个ai，将导致与有公因数ai，这样（a，d）≠1）．当把2B2＝22p0+1a12p1a22p2…at2pt的所有素因数分派完毕，我们就得到两个偶数m，n，由于a=，d=，那么a，d不能被素数2，以及a1，a2，…，at，整除．由此解得的a，d显然是互素的，所以（a，b，c，d）是本原三维勾股数．以上的不同分派方式一共有1×2×2×…×2＝2t种，因此有以下结论：定理2设B是任意偶数，若B＝2p0a1p1a2p2…atpt，其中a1，a2，…，at 为互不相等的奇素数，则构成以B为相同偶数的三维本原勾股数恰有2t个（t 是B中的奇素数的个数）．如：B=6=2×3中有一个奇素数，用它可以构成以6为相同偶数的三维本原勾股数有21=2个，它们是：（7，6，6，11）、（17，6，6，19）；B=90=2×32×5中有两个奇素数，用它可以构成以90为相同偶数的三维本原勾股数应有22＝4个，它们是：见前面几组带*号的解．四、用充分大偶数构造的本原三维勾股数的算法问题当一个数相当大时，对应的计算量是很大的．比如B=200560490130=2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31. 有10个奇素数，按照公式计算得知，构成以200560490130为相同偶数的三维本原勾股数有1024个，如此大的计算，手工是难以完成的．下面谈一下在计算机上的算法问题．任何一个大的整数都可以作素因子分解，其算法有试除法和费马计算法［3］．假定按照以上算法我们已经得到大偶数的素因数分解式：B＝2p0a1p1a2p2…atpt，（其中a1＜a2＜…＜at为奇素数）求以B为相同偶数的三维本原勾股数的所有解的算法如下：（1）初始化，输入P0=22p0，P1=a12p1，P2=a22p2…，Pt=at2pt.（2）令：k←1；i←1；构造两个偶数A1←P0，B1←2；（3）令：T＝Pk；（4）进行素因子分配（第一种情况）Ai←Ai，Bi←Bi*T；（5）进行素因子分配（第二种情况）j←2k-1+i，Aj←Ai*T，Bj←Bi/T；（6）若i＜2k-1，那么i←i+1，执行步骤（4）；（7）进行下一个素因子的分配：k←k+1，若k＜t，i←1，执行步骤（3）；（8）最后一个素因子分配，并输出结果：i←1，T←Pt；（9）Ai←Ai，Bi←Bi*T；ai←，di←，输出ai，B，B，di；（10）j←2k-1+i，Aj←Ai*T，Bj←Bi/T；aj←，dj←，输出aj，B，B，dj；（11）若i＜2k-1，那么i←i+1，执行步骤（9）；（12）打印结果，退出．笔者在这里讨论了三维本原勾股数中具有相同偶数解的规律，发现任何一个偶数都可以构成具有相同偶数的三维勾股数，并用范例演示了其计算、构造的方法和过程．本文给出并证明了用已知偶数构造有相同偶数的三维勾股数的个数以及本原三维勾股数个数的计算公式．对于一个很大的偶数，在运用试除法和费马计算法作素因子分解的基础上，为找出这些本原三维勾股数提供了一种算法．参考文献：［1］颜有祥. 三维勾股数的性质及其计算方法［J］. 新乡学院学报（自然科学版），2010（3）.［2］闽嗣鹤，严士键. 初等数论［M］. 北京：高等教育出版社，2003.［3］颜松远. 计算数论［M］. 杨思熳等译. 北京：清华大学出版社，2008.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

3维勾股数的性质及其计算方法

3维勾股数的性质及其计算方法
颜有祥
【期刊名称】《新乡学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(027)003
【摘要】讨论了3维本原勾股数的几条性质,并根据2维勾股数与3维勾股数的关系,提出了用2维本原勾股数构造3维勾股数的方法和计算公式.从三元数的概念出发,推导出计算3维本原勾股数的公式及其计算结果.利用该方法可以类推出4维、5维甚至更高维勾股数.
【总页数】4页(P3-6)
【作者】颜有祥
【作者单位】东莞南博职业技术学院,基础部,广东,东莞,523083
【正文语种】中文
【中图分类】O119
【相关文献】
1.3维勾股数的性质及其计算方法 [J], 颜有祥
2.勾股数的性质与妙用 [J], 杨婷
3.勾股数组的一个性质公式的发现及其证明 [J], 陈敬铭
4.勾股数组的一个性质 [J], 郝琴
5.含两个质数的勾股数组的一个性质 [J], 鲁伯埙
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勾股数组公式

勾股数组公式
勾股数，也被称为毕氏三元数，指的是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

勾股定理是数学中的一个基本定理，它说明了一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

对于一个给定的正整数c，找出另外两个正整数a和b，使得a²+b²=c²是一个经典的数学问题。

下面是一个可能的寻找勾股数的方法：
1.确定c的值，并计算c²的值。

2.找到两个正整数a和b，使得a²+b²=c²。

3.如果a和b不能找到，那么c不是一个勾股数。

4.如果a和b可以找到，那么(a, b, c)是一个勾股数组。

5.需要注意的是，勾股数并不唯一，也就是说，可能存在多个不同的勾股数
组具有相同的c值。

例如，(3, 4, 5)和(5, 12, 13)都是勾股数组，因为3²+4²=5²和5²+12²=13²。

6.因此，如果我们要找到所有的勾股数，我们需要找到所有可能的勾股数组，
而不是仅仅依赖于一个公式。