2017年南京高等数学下考试题库(附答案)

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2016-2017学年江苏省南京市高一下期末数学试卷(含答案解析)

2016-2017学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）直线y=x﹣2的倾斜角大小为．2．（5分）若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为．3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为．4．（5分）在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为．5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是．6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为．7．（5分）若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为．8．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为．10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．11．（5分）设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为．12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为．14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知sinα=，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？20．（16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．2016-2017学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）直线y=x﹣2的倾斜角大小为60°．【解答】解：由题意得：直线的斜率是：k=，设倾斜角等于α，则0°≤α＜180°，且tanα=，∴α=60°，故答案为60°．2．（5分）若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为32．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6=1×25=32．故答案为：32．3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为1．【解答】解：直线3x﹣4y﹣12=0化为截距式：=1，∴直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和=4﹣3=1．故答案为：1．4．（5分）在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为45°．【解答】解：∵a=，b=，A=120°，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜a，B为锐角，∴B=45°．故答案为：45°．5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1）．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为1、﹣2，又函数y=（x﹣1）（x+2）的图象开口向上，∴（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx===．∴函数y=sinx﹣cosx的最大值为．故答案为：7．（5分）若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为4．【解答】解：∵x∈（﹣2，+∞），∴x+2＞0∴y=x+=x+2+﹣2≥2﹣2=6﹣2=4，当且仅当x=1时取等号，故该函数的最小值为4，故答案为：48．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，则有PO=，正四棱锥的体积为V==2，故答案为：．9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则c osθ的值为．【解答】解：sin（θ+）=，利用和与差构造即可求解．∵θ∈（，），∴θ+∈（，π）∴cos（θ+）=﹣．那么：cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）cos+sin sin（θ+）==．故答案为：．10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为③④．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故③正确；在④中，若a⊥α，α⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故④正确．故答案为：③④．11．（5分）设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为﹣2．【解答】解：∵S3，S2，S4成等差数列，∴2S2=S3+S4，∴2a3+a4=0，可得q=﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，①2a≥1时，A=（﹣∞，1）∪（2a，+∞），∵B⊆A，∴2a≤2，联立，解得．②2a＜1时，A=（﹣∞，2a）∪（1，+∞），满足B⊆A，由2a＜1，解得a．综上可得：a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8] ．【解答】解：∵a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，即n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1==2n﹣1．∵+19≤3n，化为：λ≤=f（n）．+19≤3n对任意n∈N*都成立，⇔λ≤f（n）min．由f（n）≤0，可得n≤，因此n≤6时，f（n）＜0；n≥7时，f（n）＞0．f（n+1）﹣f（n）=﹣=≤0，解得n≤．∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），可得f（n）min=f（5）=﹣8．则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8]．故答案为：（﹣∞，﹣8]．14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y===≥=．当且仅当y=，x=时取等号．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知sinα=，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π）．∴cosα==．可得：tanα=．（1）sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=×=．（2）tan2α==．16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．【解答】证明：（1）连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点∵MP∥AC，MP=，又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1且N是A1C1的中点，∴MP∥C1N，MP=C1N∴四边形MPC1N是平行四边形，∴C1P∥MN∵C1P⊄面MNC，MN⊂面MNC，∴C1P∥平面MNC；（2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥面ABC．∵CM⊂面ABC，∴BB1⊥CM由因为BB1∩AB=B，BB1，AB⊂平面面ABB1A1又CM⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0），∴BC的斜率为=1，故直线BC的方程为y﹣0=1•（x﹣1），即x﹣y﹣1=0，故BC边上高的长度即点A到直线BC的距离，即=．（2）∵直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，∴直线l垂直于线段AB，故直线l的斜率为==4，故直线l的方程为y﹣0=4•（x﹣1），即4x﹣y﹣4=0．18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosB．由正弦定理，可得sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB．得sinB=2sinBcosB．∵0＜B＜π，sinB≠0，∴cosB=，即B=．（2）在△ABC中，AB=3，BC=2，B=．由余弦定理，cos=，可得：AC=．在△ADC中，AC=，AD=1，ABCD在圆上，∵B=．∴∠ADC=．由余弦定理，cos==．解得：DC=2四边形ABCD的面积S=S△ABC +S△ADC=AD•DC•sin+AB•BC•sin=2．19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？【解答】解：（1）由题意可知MG=CH=x，由△CHN∽△CAB可得，即，∴NH=，∴M到地面的距离MH=MN+NH=．（2）DG=CD﹣CG=CD﹣MH=，同理EG=9﹣，∴tan∠DMG===，tan∠EMG==，∴tanθ=tan（∠EMG﹣∠DMG）===，∵0＜x≤8，∴5x+≥2=30，当且仅当5x=即x=3时取等号，∴当x=3时，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．20．（16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．【解答】解：（1）设{a n}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．∴，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴b1=1，b2=3，公比q=3．∴b n=3n﹣1．（2）S n==n2．∴=．∵数列{}为等差数列，∴=+，t2﹣2t=0．解得t=2或0，经过验证满足题意．（3）由（1）可得：S n=n2，数列{b n}的前n项和A n==．数列{A n}的前n项和U n=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，∴该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），∵37=2187，38=6561．∴取k=8，可得前=36项的和为：=1700，令T n=1821=1700+，解得m=5．∴n=36+5=41．。

高等数学下考试题库（附答案）

p p 122222-+--y x y x )11)1)1¶¶4,p y z2222p nA.x -11B.x -22C.x -12D.x-21 10.微分方程0ln =-¢y y y x 的通解为（的通解为（）. A.x ce y =B.x e y =C.x cxe y =D.cxe y =二.填空题（4分´5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设13323+--=xy xy y x z ，则=¶¶¶yx z 2_____________________________. 4.x +21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+¢+¢¢y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分´6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ¶¶¶¶ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ¶¶¶¶ 3.计算s d y x D òò+22sin ，其中22224:p p £+£y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-¢在00==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分´2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，的有盖长方体水箱，问长、问长、宽、高各取怎样的尺寸时，高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？才能使用料最省？才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点÷øöçèæ31,1，求此曲线方程求此曲线方程. 试卷1参考答案一.选择题选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题填空题1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.19622--y y x . 4. ()n n n nx å¥=+-0121. 5.()x ex C C y 221-+= . 三.计算题计算题1.()()[]y x y x y e xz xy +++=¶¶cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=¶¶cos sin . 2.12,12+=¶¶+-=¶¶z y y z z x x z . 3.òò=×p p p p r r r j 202sin d d 26p -. 4.3316R . 5.xx e e y 23-=. 四.应用题应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省. 2..312x y =M 12131415p p p p ))0)0p)0p1¶¶xzr4nA.cx e y =B.x ce y =C.x e y =D.xcxe y =二填空题（4分´5） 1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线ïîïíì-==+=tz t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________. 2.函数xye z =的全微分为___________________________. 3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________. 三.计算题（5分´6）1.设k j b k j i a 32,2+=-+=，求.b a ´2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ¶¶¶¶ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,y z x z ¶¶¶¶ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a）所围的几何体的体积. 5.求微分方程023=+¢+¢¢y y y 的通解. 四.应用题（10分´2）1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积. 2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dt x d -=22.当0=tdt yx ¶¶,、二阶行列式 2 -3 4 4p 22,22222222222222y x z z z z z z z zA 、å¥=-0)1(n n)!2(2n x n B 、å¥=-1)1(n n )!2(2n x n C 、å¥=-0)1(n n )!2(2n x n D 、å¥=-0)1(n n )!12(12--n x n 9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（的阶数是（）A 、一阶、一阶B 、二阶、二阶C 、三阶、三阶D 、四阶、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（的特征根为（）A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = ，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件．【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-．【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32．【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=．【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin α=cos α=易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥．又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++ ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --．因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=．又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0077x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为．【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列．【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减．因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，．【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证：（1）PAC CAB ∠=∠；（2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩．因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4．【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值．试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ．因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ．因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）111,AB AC =-= ，则1111111,1cos ,77||||A B AC A B AC A B AC ⋅-⋅===-．因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=．因为[0,]θ∈π，所以sin θ==．因此二面角B -A 1D -A．【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n + 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+ ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析．试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m nn p m n -+-+==+．（2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑．所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++- 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++- 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++- 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-，即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)

2x
ex
1 ex ，其中 e 是自然对数的底数．若 f ( a 1)
f (2a2) ≤ 0 ，则实数 a 的取值
范围是 ▲ ．
1 【答案】 [ 1, ]
2
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为 f ( g( x)) f (h(x)) 的形式，然后
( 是点集、数集或其他
情形 ) 和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（ 2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能
会因为不满足“互异性”而导致错误．
（ 3）防范空集．在解决有关 A B , A B 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考
虑时是否成立，以防漏解．
【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（转化为证明线线平行；（ 2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（证明线面垂直． 16．（本小题满分 14 分）已知向量 a (cos x, sin x), b (3, 3), x [0, π].
5
【答案】
9
▲．
【考点】几何概型【名师点睛】（ 1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．（ 2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（ 3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，
p
p
lg x Q ，
因此 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等，

2017高等数学考试题及答案

2017高等数学考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义是：A. 数列的极限B. 函数的极限C. 无穷小的极限D. 无穷大的极限答案：B2. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 + xD. f(x) = x^2 - x答案：A3. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B4. 以下哪个函数的导数为0？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^0D. f(x) = x^(-1)答案：C5. 以下哪个函数的不定积分为ln|x|？A. f(x) = xB. f(x) = 1/xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x^2答案：B6. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用？A. 0/0 形式B. ∞/∞ 形式C. 0×∞ 形式D. ∞-∞ 形式答案：A7. 以下哪个选项是正确的二重积分的性质？A. 可交换积分顺序B. 可交换积分顺序，但需满足Fubini定理C. 不可交换积分顺序D. 可交换积分顺序，但需满足Lebesgue定理答案：B8. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数的定义？A. ∂f/∂x = lim(h->0) [(f(x+h, y) - f(x, y))/h]B. ∂f/∂x = lim(h->0) [(f(x, y+h) - f(x, y))/h]C. ∂f/∂y = lim(h->0) [(f(x+h, y) - f(x, y))/h]D. ∂f/∂y = lim(h->0) [(f(x, y+h) - f(x, y))/h]答案：D9. 以下哪个选项是正确的线性代数中矩阵的性质？A. 矩阵的行列式总是正数B. 矩阵的行列式可以是0C. 矩阵的行列式总是负数D. 矩阵的行列式总是1答案：B10. 以下哪个选项是正确的特征值和特征向量的定义？A. 特征值是矩阵的对角线元素B. 特征向量是矩阵的列向量C. 特征值是矩阵的非零行列式D. 特征值是满足Av=λv的λ，其中A是矩阵，v是特征向量答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是______。

2017届南京市高三数学综合题及答案

南京市2017届高三数学综合题一、填空题1．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．【答案】{13，23，1}．【提示】由题意知，⎩⎨⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎨⎧0＜ω≤1 ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23 或k ＝1．【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等． 2．如图：梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →²BD →＝－12，则AD →²BC →＝．【答案】0．【提示】以AB→，AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →则AC →²BD →＝AD →2－23AB →²AD →－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD ＝60o ，则AD →²BC →＝AD →²(AC →－AB →)＝AD →²(AD →－23AB →)＝AD →2－23AB →²AD →＝4－4＝0．【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．其中正确的是___________．（填写正确命题序号）【答案】①④．【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______．【答案】π．【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πrl＝3π，且12²2πr²l＝23π，解得l＝2，r＝3，所以圆锥高h＝1，则体积V＝13πr2h＝π．【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．【答案】x＋y－2＝0．【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．【答案】x24－y212＝1．【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝k log2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD 为矩形，则k的值是___________．【答案】12．【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2k log2t)，则有log2t＝2k log2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝12．【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a－2b 2c的取值范围是_________．【答案】[－14，5－172]．【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b －c)≤1，于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤2a－c22(b－c)≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0，2a－2b2c＝y－x．在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t ．如图，当直线y －x ＝t 与曲线y ＝x 2相切时，t 最小．此时令y ′＝2x ＝1，解得x ＝12，于是y ＝14，所以t min ＝14－12＝－14．当直线过点A 时，t 最大．由⎩⎨⎧y ＝2x 2，x ＋y ＝2，解得A (－1＋174，9－174)，所以t max ＝9－174－－1＋174＝5－172．因此2a －2b 2c 的取值范围是[－14，5－172]．【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．9．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q 的取值集合是．【答案】{－1＋ 52，1＋52}．【提示】因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则① 若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2q 2＝1＋q 3，整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得 q 2＝q ＋1，又q ＞0解得q ＝1＋52；② 若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得 q＝－1＋52．综上所述，q＝±1＋52．【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．*10．数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n＝a n a n＋1a n＋2(n∈N*)，设S n为{b n}的前n项和．若a12＝38a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于___________．【答案】16．【提示】设{a n}的公差为d，由a12＝38a5＞0得a1＝－765d，d＞0，所以a n＝(n－815)d，从而可知1≤n≤16时，a n＞0，n≥17时，a n＜0．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为a15＝－65d＞0，a18＝95d＜0，所以a15＋a18＝－65d＋95d＝45d＜0，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故S n中S16最大．【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．二、解答题11．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且2sin B＝3cos B．(1)若cos A＝13，求sin C的值；(2)若b＝7，sin A＝3sin C，求三角形ABC的面积．解 (1)由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝ 32cos A ＋12sin A ＝3＋226．(2)解法一因为sin A ＝3sin C ，由正弦定理可得a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．解法二由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35．又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．由正弦定理知bsin B ＝csin C，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334．【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性．12．三角形ABC 中，三内角为A 、B 、C ，a ＝(3cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，3sin B )，AE DC Bc ＝(1，－1)．(1)若a ²c ＝1，求角A 的大小；(2)若a //b ，求当A －B 取最大时，A 的值．解 (1)a ²c ＝3cos A －sin A ＝2cos(A ＋π6)＝1，则cos(A ＋π6)＝12．因为A ∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，则A ＋π6＝π3，则A ＝π6．(2)因为a //b ，所以3cos A ²3sin B ＝sin A ²cos B ，则tan A ＝3tan B ．由于A 、B 为三角形内角，则A 、B 只能均为锐角，即tan A ＞0，tan B ＞0． tan(A －B ) ＝ tan A －tan B 1＋tan A ²tan B ＝2tan B1＋3tan 2B＝21tan B＋ 3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B 时，B ＝π6取“＝”号．又A －B ∈(－π2，π2)，则A －B 的最大值为π6，此时A ＝π3．所以，当A －B 的最大时，A ＝π3．【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．13．如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE //面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO 面DBC ，所以DO ⊥面ABC ．BA1B1C1 MNA又AE⊥面ABC，则AE//DO．又AE⊂/面DBC，DO⊂面DBC，故AE // 面DBC．(2)由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC ＝60o．在面ABC中，AB＝23，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．(1)求证：N为AC中点；(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．解 (1)由题意，平面ABC//平面A1B1C1，平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN//A1B1．因为AB// A1B1，所以MN//AB，所以CNAN＝CMBM．因为M为AB的中点，所以CNAN＝1，所以N为AC中点．(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在三角形A1AN中，AN＝1，AA1＝2，由余弦定理得A1N＝3，故A1A2＝AN2＋A1N2，从而可得∠A1NA＝90o，即A1N⊥AC．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝23，BC＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o ，即AB ⊥AC ．又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ，所以AC ⊥平面A 1B 1MN ．又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．15．某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1]，其中m 是常数．若x ＝a2时，y ＝a 3．(1)求产品增加值y 关于x 的表达式；(2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，因为当x ＝a2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f (x )＝8(a －x )x 2，x ∈(0，2am2m ＋1]．(2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a3．①当2am 2m ＋1≥2a3，即m ≥1时，当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a3)上是增函数，当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am2m ＋1)上是减函数，所以y max ＝f (2a 3)＝3227a 3；②当2am 2m ＋1＜2a3，即0＜m ＜1时，当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am2m ＋1)上是增函数，所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3a 3，综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3．当0＜m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3a 3．【说明】适当关注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论．16．如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6．设S 的眼睛距地面的距离按3米．(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解 (1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°．又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝3．因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米. (2) 方法一：连结SM ，SN ，设ON ＝a ，OM ＝b ．在△SON 和△SOM 中，(23)2＋1－b 22²23²1＝－(23)2＋1－a 22²23²1，得a 2＋b 2＝26．cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12．又∠MSN ∈(0，π)，则∠MSN ＜π3．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．方法二提示:设∠MOS ＝θ，建立cos ∠MSN 关于θ的关系式，求出cos ∠MSN 最小值为1113，从而得到∠MSN ＜π3．方法三提示:假设∠MSN ＝π3，设ON ＝a ，OM ＝b ，联立a 2＋b 2＝26和a 2＋b 2－ab ＝4消元，判断方程是否有解．方法四提示：计算过S 点作圆O (1为半径)的两切线夹角大于60o ．也可合理建系．【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择．另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三．17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程； (2)若路宽为10米，求灯柱的高．解：(1)由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A (2，2)．设点A 处的切线方程为y －2＝k (x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0．则△＝4－4k (4－4k )＝0，解得k ＝12．故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6．（2）由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5．又CF ＝1，则CD ＝6．答：灯柱的高为6米.【说明】本题改编自必修2(P92)例5，考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力．解析几何应用题不需重点训练，但也需要学生适当了解和关注．18．如图，在Rt ΔABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M (2，0)． (1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与Rt ΔABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．解 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB垂直，所以直线AC 的斜率为－3．故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)．点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C (－45，25)．所以BC 所在直线方程为：x ＋7y －2＝0．(2)因为Rt ΔABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为Rt ΔABC 外接圆的圆心．又AM ＝22，从而Rt ΔABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝(a ＋2)2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线的方程m 为：(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0．因为公共弦长为4，r ＝22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2(4－2a )＋a 2＋b 2－r 2＋4|2(2－a )2＋b2＝2，化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝(a ＋2)2＋b 2＝4a 2＋4．当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4．【说明】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．19．如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(1)求点A ，B 所在的曲线L 方程；(2) 过 L 上点C (－2，0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l //OA ．求证：CD ²CE OA2为定值．解 (1)因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8 所以两点A ，B 到M ，N 的距离之和均为4>23由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1．曲线L 方程为x 24＋y 2＝1（y ≠0）． (2)由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2，0)，设直线l 的方程为y 代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为点C (－2，0)在曲线上，则D (－8k 2＋21＋4k 2，4k1＋4k 2)，E (0，2k )，所以CD ＝41＋k 2 1＋4k 2，CE ＝21＋k 2．因为OA //l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4．所以x 2A ＝4 1＋4k 2，y A 2＝4k ２ 1＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k ２1＋4k 2，化简得CD ²CE OA 2＝2，所以CD ²CE OA2为定值．【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M ．(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值； *(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.解：(1)由题意得2c ＝2 ，所以c ＝1，又2a 2＋32b2＝1消去a 可得2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2，则k 1k 2＝4y212(x 21－4)．因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)，则k 1k 2＝4y212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)方法一：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，即y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1(x －2)＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1[(x －2)＋4y 124－x 12]＝2－x 1y 1[(x －2)＋12－3x 124－x 12]＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1，0)．方法二：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1(x －2)，若P 为(0，3)，则m 的方程为y ＝233x ＋233，若P 为(0，－3)，则m 的方程为y ＝－233x －233，两直线方程联立解得Q (－1，0)．因为k MQ ²k 2＝4y 13(x 1＋2)²y 1x 1－2＝4y 123(x 12－4)＝12－3x 123(x 12－4)＝－1，所以Q 在过M 且与BP 垂直的直线上，所以直线m 过定点(－1，0)．【说明】考查椭圆方程的求法及直线与椭圆中的一些定值、定点问题．其中定点问题可以考虑先从特殊情况入手，找到定点再证明． 21．已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b (a ，b ，λ为实常数)．(1)若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点( 2，f (2))处的切线方程； ②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．* (2)若λ＝1，b ＜a ，求证：不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值．解 (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x(x 2－1)2，可得f ′(2)＝－42，又f ( 2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－4 2(x － 2)，即42x ＋y －10＝0．②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b，则 f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b； (Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧ 4b －1，－13＜b ＜0， 9b －92－6b ，b ≤－13．(2) f(x)≥1即1x－a＋1x－b≥1．……………………(*)①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．②当a＞x＞b时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，设g (x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，因为△＝(a－b)2＋4＞0，所以g(x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，又g (a)＝b－a＜0，g (b)＝a－b＞0，且b＜a，因此b＜x1＜a＜x2，所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x ≤x1．③当x＞a时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．故不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度D为定值2．【说明】本题考查了导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式．其中第(2)问涉及不常考的解一元二次不等式分类讨论问题，注意比较a、b与两根的大小．22．已知函数f (x)＝ln x(x＞0)．(1)求函数g (x)＝f (x)－x＋1的极值；*(2)求函数h(x)＝f (x)＋|x－a|(a为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ln x －x ＋1，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0，可得g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )有极大值为g (1)＝0，无极小值． (2)h (x )＝ln x ＋|x －a |．当a ≤0时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，h (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋x －a ，x ≥a ，ln x －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(a ，＋∞)上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h (x )＝ln x －x ＋a ，h ′(x )＝1x －1＝1－xx．当0＜a ≤1时，h ′(x )＞0恒成立，此时h (x )在(0，a )上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h ′(x )＞0，当1≤x ＜a 时h ′(x )≤0，所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，a )上单调递减．综上，当a ≤1时，h (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞1时，h (x )增区间为(0，1)，(a ，＋∞)；减区间为(1，a )． (3)不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，即(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立．当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；ln x ＜0，则(x 2－1)ln x ＞0；当x≥1时，x2－1≥0；ln x≥0，则(x2－1)ln x≥0．因此当x＞0时，(x2－1)ln x≥0恒成立．又当k≤0时，k(x－1)2≤0，故当k≤0时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2恒成立．下面讨论k＞0的情形．当x＞0且x≠1时，(x2－1)ln x－k(x－1)2＝(x2－1)[ln x－k(x－1)x＋1]．设h(x)＝ln x－k(x－1)x＋1(x＞0且x≠1)，h′(x)＝1x－2k(x＋1)2＝x2＋2(1－k)x＋1x(x＋1)2．记△＝4(1－k)2－4＝4(k2－2k)．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′(x)≥0恒成立，故h(x)在(0，1)及(1，＋∞)上单调递增．于是当0＜x＜1时，h(x)＜h(1)＝0，又x2－1＜0，故(x2－1) h(x)＞0，即(x2－1)ln x＞k(x－1)2．当x＞1时，h(x)＞h(1)＝0，又x2－1＞0，故(x2－1)h(x)＞0，即(x2－1)ln x ＞k(x－1)2．又当x＝1时，(x2－1)ln x＝k(x－1)2．因此当0＜k≤2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2(1－k)x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2(x1＜x2)．函数φ(x)＝x2＋2(1－k)x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ(1)＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈(1，k－1)时，φ(x)＜0，即h′(x)＜0，从而h(x)在(1，k－1)在单调递减；而当x∈(1，k－1)时，h(x)＜h(1)＝0，此时x2－1＞0，于是(x2－1) h(x)＜0，即(x2－1)ln x＜k(x－1)2，因此当k＞2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x不恒成立．综上，当(x2－1)f (x)≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．【说明】本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想．第三问比较难，两个注意：①适当变形后研究函数h(x)；②当k＞2时，区间(1，k－1)是如何找到的．23．已知函数f (x)＝sin x－x cos x的导函数为f ′(x)．(1)求证：f (x)在(0，π)上为增函数；(2)若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞12x2＋λx成立，求实数λ的取值范围；*(3)设F(x)＝f′(x)＋2cos x，曲线y＝F(x)上存在不同的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，x1＜x2＜x3，且x1，x2，x3∈(0，π)，比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明．解 (1)证明：f′(x)＝x sin x，当x∈(0，π)时，sin x＞0，所以f′(x)＞0恒成立，所以f (x) 在(0，π)上单调递增．(2)因为f′(x)＞12x2＋λx，所以x sin x＞12x2＋λx．当0＜x＜π时，λ＜sin x－12 x．设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6．(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F ′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G ′(x )＝F ′(x )－F ′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G ′(x )＜0．则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F ′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)得证．同理可以证明：F ′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．【说明】本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F′(x2)，难度稍大．24．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}(0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2，n∈N*)具有性质P： i，j(1≤i≤j≤n)，a i＋a j与a j－a i两数中至少有一个属于A．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝0；*(3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．证明 (1)由于4＋4与4－4均不属于数集{1，2，3，4}，所以该数集不具有性质P．(2)因为A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，所以a n＋a n与a n－a n中至少有一个属于A，又a n＋a n＞a n，所以a n＋a n∈∕A，所以a n－a n∈A，即0∈A，又a1≥0，a2＞0，所以a1＝0；(3)当n＝5时，取j＝5，当i≥2时，a i＋a5＞a5，由A具有性质P，a5－a i∈A，又i＝1时，a5－a1∈A，所以a5－a i∈A，i＝1，2，3，4，5．因为0＝a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以a5－a1＞a5－a2＞a5－a3＞a5－a4＞a5－a5＝0，则a5－a1＝a5，a5－a2＝a4, a5－a3＝a3，从而可得a2＋a4＝a5，a5＝2a3，故a2＋a4＝2a3，即0＜a4－a3＝a3－a2＜a3，又因为a3＋a4＞a2＋a4＝a5，所以a3＋a4∈∕A，则a4－a3∈A，则有a4－a3＝a2＝a2－a1．又因为a5－a4＝a2＝a2－a1，所以a5－a4＝a4－a3＝a3－a2＝a2－a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，本题是数列与不等式的综合题．对于复杂的数列问题，我们往往可以从特殊情况入手，找到解题的突破口．25．设M⊂≠N*，正项数列{a n}的前项积为T n，且∀k∈M，当n＞k 时，T n＋k T n－k＝T n T k都成立．(1)若M＝{1}，a1＝3，a2＝33，求数列{a n}的前n项和；(2)若M＝{3，4}，a1＝2，求数列{a n}的通项公式．解：(1)当n≥2时，因为M＝{1}，所以T n＋1T n－1＝T n T1，可得a n＋1＝a n a12，故a n＋1 a n＝a12＝3(n≥2)．又a1＝3，a2＝33，则{a n}是公比为3的等比数列，故{a n}的前n项和为3(1－3n)1－3＝32²3n－32．(2)当n＞k时，因为T n＋k T n－k＝T n T k，所以T n＋1＋k T n＋1－k＝T n＋1T k，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T k T n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1，因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12；取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12．由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………………①由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………………②数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，…………………③数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…………④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列．因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42，所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝2 2．又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1² 2．【说明】本题主要考查等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．*26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1= S t 1，当n ≥2时，M n = S t n －S t n －1，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若不存在，说明理由．解：（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n2，①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3，此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12，此时S t n ＝3n －12(1＋3n －12)2，S t n －1＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2，则M n ＝S t n －S t n －1＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2，所以M n 为一整数平方．因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方．（3）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以S t n＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12，因为q 为正有理数，所以设q ＝rs(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)．因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数．若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12sn －1为正整数相矛盾．于是s ＝1，即q 为正整数．注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12(1＋q ＋q 2)，于是t 32t 12＝1＋q＋q2．因为1＋q＋q2∈N*，所以t32t12∈N*．又t3t1为有理数，从而t3t1必为整数，即1＋q＋q2为一整数的平方．但q2＜1＋q＋q2＜(q＋1) 2，即1＋q＋q2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n}．【说明】本题主要考查等差、等比数列的性质，考查阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力．对于新构造的函数，可以尝试列举，了解构造的过程和含义，从中观察发现规律或寻找突破口．对于存在性问题，也可以考虑先从特殊情况入手寻找突破口．*27．已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n．(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；(2)求1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n的值．解 (1)令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．(2)a k＝C k2n，k＝1，2，3，…，2n，首先考虑1C k2n＋1＋1C k＋12n＋1＝k!(2n+1－k)!(2n＋1)!＋(k＋1)!(2n－k)!(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋1－k＋k＋1)(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋2)(2n＋1)!＝2n＋2(2n＋1) C k2n，则1C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1)，因此1C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)．故1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1C 2n －12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1) ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1)＝－nn ＋1．【说明】本题考查二项式定理、赋值法、组合恒等变换．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下．。

高等数学下考试题库(附答案)

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。

南京市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)

南京市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)2017-2018学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

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1.2sin15°cos15°= sin30°=0.52.经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为y=2x-13.在等差数列{an}中，已知a1=3，a4=5，则a7=74.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x-2y+m-1=0在y 轴上的截距为2，则实数m的值为55.不等式 3x-2>0 的解集是 x>2/36.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y-1=k(x-2)不经过第四象限，则实数k的取值范围是 k17.如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE=90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为8π/38.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinA=tanC，则角C的大小是 60°9.记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有Sn=2an-3，则数列{an}的第6项a6=1110.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，高为3，点P 为侧棱BB1上一点，则三棱锥ACPC1的体积是 311.在下列命题中，正确的是①、②、③12.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f(x)=x^2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（2，0）两点，则关于x的不等式x^2+bx+c<4的解集是 (-∞。

-2)∪(0.2)13.在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y-1=0上，则a+b的最小值是 1/214.已知等差数列{an}是有穷数列，且a1∈R，公差d=2，记{an}的所有项之和为S，若a1^2+S≤96，则数列{an}至多有9 项。

高等数学下考试题库(附答案)(1)

《高等数学》试卷1（下）一 .选择题（ 3 分10）1.点M12,3,1到点 M 2 2,7,4的距离 M1M 2（） .A.3B.4C.5D.62.向量a i 2 j k ,b2i j ，则有（） .A. a∥bB. a⊥bC. a,b3D. a, b43.函数y2x2y 21的定义域是（） .x2y21A.x, y 1 x2y 22B.x, y 1 x 2y22C. x, y 1 x2y 22 D x, y 1 x2y224.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05.函数z x3y33xy的极小值是（） .A.2B.2C.1D.16.设z xsin y ，则z＝（） . y 1,4A.2B.2C.2D.2 227.若p级数1收敛，则（） .n 1 n pA. p 1B. p1C. p1D. p18.幂级数x n的收敛域为（） .n 1 nA.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1x n9.幂级数在收敛域内的和函数是（） .n 021 B.2 C.2 D.1A.1212x x x x10.微分方程 xy y ln y0 的通解为（）.A.y ce xB. y e xC. y cxe xD. y e cx二 .填空题（ 4 分5）1.一平面过点A 0,0,3且垂直于直线AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为______________________.2.函数z sin xy的全微分是 ______________________________.3.设z x3 y 23xy3xy 1 ，则 2 z_____________________________.x y1的麦克劳林级数是 ___________________________.4.2x5.微分方程y 4 y 4 y 0 的通解为_________________________________.三 .计算题（ 5 分6）1.设z e u sin v ，而 u xy, v x y ，求z , z.x y2.已知隐函数z z x, y由方程 x 2 2 y2z24x2z 5 0 确定，求z ,z .x y3.计算sin x2y 2 d，其中 D:2x 2y242.D4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程y 3 y e2 x在 y x 00 条件下的特解.四 .应用题（ 10 分2）1.要用铁板做一个体积为 2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？1 2..曲线y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2 倍，且曲线过点1,，3求此曲线方程.试卷 1 参考答案一 .选择题 CBCAD ACCBD 二 .填空题 1. 2xy 2 z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3. 6x2y 9 y 2 1 .4.1 nxn.n 1n 025. y C 1 C 2 x e 2 x.三 .计算题1.z e xyy sin xycos x y ，z e xy x sin x y cos x y .xy2.z 2 x , z 2 y . xz 1 yz 122sind 6 2.3.d4. 16R 3 .35. y e 3 x e 2x .四 .应用题1.长、宽、高均为 3 2m 时，用料最省 .2. y1 x2 .3《高数》试卷 2（下）一 .选择题（ 3 分 10）1.点 M 1 4,3,1 ， M 2 7,1,2 的距离 M 1 M 2 （） .A. 12B. 13C. 14D. 152.设两平面方程分别为x 2y 2z 1 0和 x y 5 0 ，则两平面的夹角为（）.A. B. C.3D.6423.函数z arcsin x 2y 2的定义域为（） .A.x, y 0 x 2y21B.x, y 0 x 2y21C. x, y 0 x2y 2D. x, y 0 x2y2224.点P1,2,1 到平面x 2 y2z50 的距离为（）.A.3B.4C.5D.65.函数z2xy3x2 2 y 2的极大值为（） .A.0B.1C.11 D. 26.设z x23xy y 2，则z1,2（） .xA.6B.7C.8D.97.若几何级数ar n是收敛的，则（） .n 0A. r1B. r1C. r1D. r18.幂级数n 1 x n的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19.级数sin na是（） .n 1n4A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程xy y ln y0的通解为（）.A. y e cxB.y ce xC. y e xD. y cxe x二 .填空题（ 4 分5）x3t1.直线l过点A 2,2, 1 且与直线y t平行，则直线 l的方程为 __________________________.z12t2.函数z e xy的全微分为___________________________.3.曲面z2x 2 4 y 2在点 2,1,4 处的切平面方程为_____________________________________.1的麦克劳林级数是 ______________________.4.1 x25.微分方程xdy 3 ydx0 在y x 11条件下的特解为 ______________________________.三 .计算题（ 5 分6）1.设a i 2 j k , b 2 j 3k ，求 a b.2.设z u2 v uv2，而 u x cos y,v x sin y ，求z ,z .x y3.已知隐函数z z x, y由 x33xyz 2 确定，求z ,z .x y4.如图，求球面x 2y 2z24a 2与圆柱面 x 2y 22ax （a0 ）所围的几何体的体积.5.求微分方程y3y 2y 0 的通解.四 .应用题（ 10 分2）1.试用二重积分计算由yx , y 2 x 和x 4 所围图形的面积.2.如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律x x t .d 2 xg .（提示：当 t 0dt 2时，有 x x0，dxv0）dt试卷 2 参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二 .填空题x 2y 2 z11..1122.e xy ydx xdy .3. 8x8 y z 4 .4. 1 n x2n.n 05.y x3.三 .计算题1. 8i 3 j2k .2.z3x2sin ycos y cosy sin y ,z2x3sin ycosy sin y cosy x3sin3y cos3y.x yz yz z xz3.x xy z2,y xy z2.4.32 a32.3 2 35.y C1 e 2 x C2 e x.四 .应用题161..31 gt22. x v0t x0.2《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1、二阶行列式2-3的值为（）45A 、10B、20C、 24D、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a 与 b 的向量积为（）A 、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、点 P（ -1、 -2、 1）到平面x+2y-2z-5=0 的距离为（）A 、2B、 3C、 4D、 54、函数 z=xsiny 在点（ 1，）处的两个偏导数分别为（）4A 、 2 ,2,B、 2 ,2C、22225、设 x2+y 2+z2 =2Rx ，则z ,z分别为（）x y 22 D 、2 2 , 2222A 、x R,y B 、x R ,y C、x R , y D、x R,y z z z z z z z z6、设圆心在原点，半径为R，面密度为x2y2的薄板的质量为（）（面积 A=R 2）2B、2212A、R A2R A C、3R A D、R A27、级数(1)n x n）n的收敛半径为（n 1A 、2B、1C、 1D、 3 28、 cosx 的麦克劳林级数为（）A 、( 1)nx 2nB、( 1)n x 2n C、( 1)n x 2 n D、( 1)nx2n 1 ( 2n)!(2n)!(2n)!( 2n 1)!n0n1n 0n 09、微分方程 (y``) 4+(y`) 5+y`+2=0 的阶数是（）A 、一阶B 、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程 y``+3y`+2y=0的特征根为（）A 、-2， -1B、 2，1C、-2， 1 D 、 1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）1、直线 L1： x=y=z 与直线 L ：x1y3z的夹角为___________。

20172018学年江苏省南京市高一下期末数学试卷参考答案与试题解析

2017--2018学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．不等式＜0的解集为．2．数列{an }是等比数列，若a3=1，a5=4，则a7的值为．3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a2+b2﹣ab=c2，则角C的大小为．4．点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离为．5．函数y=x+（x＞﹣1）的最小值为．6．过点P（﹣，1），倾斜角为120°的直线方程为．7．若等差数列{an }的前n项和为Sn，a8=2a3，则的值是．8．若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0和2x﹣y=0相交于一点，则实数a的值为．9．下列命题：①如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直．其中正确的命题的序号为．10．已知经过A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数a的值为．11．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcosC+ccosB=csinA，则的最大值为．12．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为cm3．13．已知x＞0，y＞0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为．14．已知an =3n，bn=3n，n∈N*，对于每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入bk个3得到一个数列{cn }．设Tn是数列{cn}的前n项和，则所有满足Tm=3cm+1的正整数m的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2015春•南京期末）已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．16．（14分）（2015春•南京期末）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD 折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．（2015春•南京期末）如图，在平面四边形ABCD中，AD=，CD=，17．（14分）∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠ADC=120°．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．18．（16分）（2015春•南京期末）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120°，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？19．（16分）（2015春•南京期末）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn ，满足S3=a4+4，且a2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设cn =，若{cn}为等差数列，求实数t的值．20．（16分）（2015春•南京期末）设等比数列{an }的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项．数列{bn}的前n项和Sn=n2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若不等式λbn ≤Sn+6对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若cn =从数列{cn}中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．不等式＜0的解集为（﹣1，0）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式＜0，即 x（x+1）＜0，由此求得它的解集．解答：解：不等式＜0，即 x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．2．数列{an }是等比数列，若a3=1，a5=4，则a7的值为16 ．考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质进行求解即可．解答：解：在等比数列中，a 3a7=（a5）2，即a7=16，故答案为：16点评：本题主要考查等比数列性质的应用，利用等比中项的性质是解决本题的关键．比较基础．3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a2+b2﹣ab=c2，则角C的大小为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理即可得出．解答：解：由余弦定理可得：cosC===，∵C∈（0，π），∴C=．故答案为：．点评：本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离为 5 ．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：把已知条件代入点到直线的距离公式，化简可得．解答：解：由题意结合点到直线的距离公式可得：点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离d===5．故答案为：5点评：本题考查点到直线的距离公式，属基础题．5．函数y=x+（x＞﹣1）的最小值为7 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0．∴函数y=x+=（x+1）+﹣1﹣1=7，当且仅当x=3时取等号．故答案为：7．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．过点P（﹣，1），倾斜角为120°的直线方程为x+y+2=0 ．考点：直线的点斜式方程．专题：直线与圆．分析：由直线的倾斜角求出斜率，用点斜式写出直线方程即可．解答：解：∵直线l的倾斜角为120°，∴直线的斜率为k=tan120°=﹣，又∵直线l过点（﹣3，1），∴直线l的方程为：y﹣1=﹣（x+3），即x+y+2=0，故答案为：x+y+2=0点评：本题考查了求直线方程的问题，由直线的倾斜角可以得斜率，由斜率与一点可以写出直线方程，是基础题．7．若等差数列{an }的前n项和为Sn，a8=2a3，则的值是 6 ．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a8=2a3，得出a1=3d，再利用等差数列的前n项和的公式，即可得出结论．解答：解：由{an }为等差数列，且a8=2a3，得到a1+7d=2（a1+2d），∴a=3d，1∴==6，故答案为：6．点评：本题考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，是一道中档题．8．若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0和2x﹣y=0相交于一点，则实数a的值为﹣12 ．考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：联立4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0，解得（x，y），由于三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0相交于一点，把点代入ax+2y+8=0，即可解得a．解答：解：联立4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0，得，解得，∵三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0相交于一点，∴把点（1，2）代入ax+2y+8=0，可得a+4+8=0，解得a=﹣12．故答案为：﹣12．点评：本题考查了直线的交点、方程组的解法，属于基础题9．下列命题：①如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直．其中正确的命题的序号为②④．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：对四个选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：①如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行，故不正确；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行，根据面面平行的判定定理可知正确；③平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直，利用平面与平面垂直度判定定理可知正确．故答案为：②④．点评：本题主要考查了直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定．考查了基础知识的综合运用．10．已知经过A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数a的值为 2 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由题设条件知，两直线平行故两直线的斜率相等，由此方程求a的值即可．解答：解：直线2x﹣y+1=0的斜率为1，由平行直线斜率相等得：2=，∴a=2故答案为：2点评：本题考查两直线平行的条件，由斜率相等建立方程求参数，属于直线中的基本题型．11．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcosC+ccosB=csinA，则的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinC的值进而求得C，利用正弦定理将所求转化为sin（A+）即可求其最大值．解答：解：∵bcosC+ccosB=csinA，∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sinCsinA，∵sinA≠0，∴sinC=1，C=，∴利用正弦定理可得：==sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），∴则=sin（A+）的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．12．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为πcm3．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．解答：解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2cm的半圆，所以圆锥的底面周长为：2πcm，底面半径为：1cm，圆锥的高为：cm；圆锥的体积：V=π•12×=π．故答案为：π．点评：本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．13．已知x＞0，y＞0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为3+2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析： x＞0，y＞0，且xy=x+2y，可得y=＞0，解得x＞2．变形x+y=x+ =（x﹣2）++3，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞0，y＞0，且xy=x+2y，∴y=＞0，解得x＞2．则x+y=x+=（x﹣2）++3+3=3+2，当且仅当x=2+，y==1时取等号．∴x+y的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．14．已知an =3n，bn=3n，n∈N*，对于每一个k∈N*，在ak与ak+1之间插入bk个3得到一个数列{cn }．设Tn是数列{cn}的前n项和，则所有满足Tm=3cm+1的正整数m的值为 3 ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意确定数列{cn }的项，然后分类求解满足Tm=3cm+1的正整数m的值．解答：解：an =3n，bn=3n，由题意知，c1=a1=3，c2=c3=c4=3，c5=a2=9，c6=c7=c8=c9=c10=c11=3，c12=a3=27，…，则当m=1时，T1=3≠3c2=9，不合题意；当m=2时，T2=6≠3c3=9，不合题意；当m=3时，T3=9=3c4=9，适合题意．当m≥4时，若cm+1=3，则Tm≥12≠3cm+1，不适合题意，从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，则Tm =a1+3+3+3+a2+3+3+3+3+3+3+a3+3+…+3+a4+3+…+a5+3+…+a6+…+ak﹣1+3+…+ak，=（3+32+33+…+3k）+3[1+2+…+（k﹣1）]==，又3cm+1=3ak+1=3×3k+1，∴=3×3k+1，即5×3k=k2﹣k﹣1，上式显然无解．即当m≥4时，Tm ≠3cm+1，综上知，满足题意的正整数m的值为3．故答案为：3．点评：本题考查等差、等比数列的前n项和公式，考查数列的分组求和，同时考查逻辑推理能力，关键是对题意的理解，属有一定难度题目．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2015春•南京期末）已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的截距式方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（1）由直线l：x﹣2y+2m﹣2=0的斜率为，可得所求直线的斜率为﹣2，代入点斜式方程，可得答案；（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（﹣2m+2，0），（0，m﹣1），则所围成的三角形的面积为×|﹣2m+2|×|m﹣1|，根据直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，构造不等式，解得答案．解答：解：（1）∵直线l：x﹣2y+2m﹣2=0的斜率为，∴与直线l垂直的直线的斜率为﹣2，…（2分）因为点（2，3）在该直线上，所以所求直线方程为y﹣3=﹣2（x﹣2），故所求的直线方程为2x+y﹣7=0．…（6分）（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（﹣2m+2，0），（0，m﹣1），…（8分）则所围成的三角形的面积为×|﹣2m+2|×|m﹣1|．…（10分）由题意可知×|﹣2m+2|×|m﹣1|＞4，化简得（m﹣1）2＞4，…（12分）解得m＞3或m＜﹣1，所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．…（14分）点评：本题考查的知识点是直线的点斜式方程，直线与直线的交点，解不等式，是直线与不等式的综合应用，难度中档．16．（14分）（2015春•南京期末）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得EF∥AC，即可证明EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABC，CD⊥AB，因为AB⊥AC，所以AB⊥平面ACD，即可证明：平面ABD⊥平面ACD．解答：证明：（1）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC．…（2分）又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，所以EF∥平面ACD．…（6分）（2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，CD⊂平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC．…（8分）因为AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB．…（10分）又因为AB⊥AC，AC∩CD=C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD．…（12分）又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD．…（14分）点评：本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．（2015春•南京期末）如图，在平面四边形ABCD中，AD=，CD=，17．（14分）∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠ADC=120°．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．考点：解三角形．专题：应用题；解三角形．分析：（1）求出，∠ABD=60°，∠BAD=180°﹣60°﹣75°=45°，利用正弦定理，求BD的长；（2）利用△ABD的面积+△BCD的面积﹣△ACD的面积，即可求△ABC的面积．解答：解：（1）在△ABD中，AD=，∠ABD=60°，∠BAD=180°﹣60°﹣75°=45°，由正弦定理得=，所以BD=2．…（4分）（2）在△ABD中，AD=，BD=2，∠ADB=75°，所以△ABD的面积S1=AD•BD•sin∠ADB=．…（8分）又△ACD的面积S2=AD•DC•sin∠ADC=，…（10分）△BCD的面积S3=1．…（12分）所以△ABC的面积S=S1+S3﹣S2=．…（14分）点评：本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）（2015春•南京期末）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120°，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：方法一、设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，由体积公式可得V=xysin•2=xy．再由余弦定理，结合重要不等式，可得xy的最大值，进而得到体积的最大值；方法二、设∠ABC=θ，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米．运用正弦定理，以及体积公式，运用三角函数的化简，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．解答：解法一：设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，所以V=xysin•2=xy．由题意得42=x2+y2﹣2xycos，即x2+y2+xy=16，因为x2+y2≥2xy，所以16≥2xy+xy，即xy≤，当且仅当x=y=时，不等式取等号．所以V≤•=．答：当AB=AC=米时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米．解法二：设∠ABC=θ，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米．由正弦定理得==，则AC=sinθ，AB=sin（﹣θ），所以V=AB•AC•sin•BE=×sinθ•sin（﹣θ）××2=sinθ•sin（﹣θ）=sinθ×（cosθ﹣sinθ）=×[sin2θ﹣（1﹣cos2θ）]=sin（2θ+）﹣．因为0＜θ＜，即＜2θ+＜，所以当且仅当2θ+=，即θ=时，V取得最大值．答：当∠ABC=时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米．点评：本题考查基本不等式在最值问题中的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（16分）（2015春•南京期末）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn ，满足S3=a4+4，且a2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设cn =，若{cn}为等差数列，求实数t的值．考点：等差关系的确定；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）求出首项与公差，可求求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设cn =，若{cn}为等差数列，则2c2=c1+c3，即可求实数t的值．解答：解：（1）设等差数列{an }的公差为d（d≠0），由S3=a4+4，得3a1+3d=a1+3d+4，即a1=2．又a2，a6，a18成等比数列，∴（a1+5d）2=（a1+d）（a1+17d），整理得：d=2，∴an=2+2（n﹣1）=2n；（2）bn==，∴Tn=1+++…+，∴Tn=++…++两式相减，整理可得Tn=4﹣；（3）Sn=2n+=n2+n．c n =，若{cn}为等差数列，则2c2=c1+c3，即2=+，∴t=．点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（16分）（2015春•南京期末）设等比数列{an }的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项．数列{bn}的前n项和Sn=n2，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若不等式λbn ≤Sn+6对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若cn =从数列{cn}中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．考点：数列的应用．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过2×3a3=8a1+a5，进而计算即得结论；（2）通过Sn =n2可知b1=S1=1，bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），进而已知条件转化为λ≤对一切n∈N*恒成立，利用基本不等式计算即得结论；（3）通过（1）、（2）可知cn=，易知取出的数列中相邻的项必定一个是奇数、一个是偶数，进而讨论即得结论．解答：解：（1）由题意得，2×3a3=8a1+a5，则6q2=8+q4，…（2分）解得q2=4或q2=2．因为q为正整数，则q=2．…（3分）又a1=2，则an=2n，即数列{an}的通项公式为an=2n．…（4分）（2）当n=1时，b1=S1=1；当n≥2时，bn =Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时也符合，故bn=2n﹣1．…（6分）不等式λbn ≤Sn+6对一切n∈N*恒成立，转化为λ≤对一切n∈N*恒成立．记T=，令2n﹣1=t（t＞0），则n=，T==（t++2）≥（2+2）=（2×5+2）=3，…（8分）当且仅当t=，即t=5，n=3时等号成立，故λ≤3，即实数λ的取值范围是（﹣∞，3]．…（10分）（3）由（1），（2）可知cn=，设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，k∈N*，s≥2，k≥2．因为数列{cn}的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．…（12分）假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数．设抽出的三个偶数从小到大依次为2i，2j，2p（1≤i＜j＜p），则=2i﹣1+2j﹣1为奇数，而i≥1，j≥2，则2j﹣1为偶数，2i﹣1为奇数，所以i=1．又=2j﹣1+2p﹣1为奇数，而j≥2，p≥3，则2j﹣1与2p﹣1均为偶数，矛盾．又因为k≥2，所以k=2，即偶数只有两项，则奇数最多有3项，即s+k的最大值为5．…（14分）设此等差数列为d1，d2，d3，d4，d5，则d1，d3，d5为奇数，d2，d4为偶数，且d2=2．由d1+d3=2d2=4，得d1=1，d3=3，此数列为1，2，3，4，5．同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1．…（16分）点评：本题考查数列的应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

2017-2018学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．不等式＜0的解集为．2．数列{a n}是等比数列，若a3=1，a5=4，则a7的值为．3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a2+b2﹣ab=c2，则角C的大小为．4．点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离为．5．函数y=x+（x＞﹣1）的最小值为．6．过点P（﹣，1），倾斜角为120°的直线方程为．7．若等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=2a3，则的值是．8．若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0和2x﹣y=0相交于一点，则实数a的值为．9．下列：①如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直．其中正确的的序号为．10．已知经过A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数a的值为．11．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcosC+ccosB=csinA，则的最大值为．12．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为cm3．13．已知x＞0，y＞0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为．14．已知a n=3n，b n=3n，n∈N*，对于每一个k∈N*，在a k与a k+1之间插入b k个3得到一个数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，则所有满足T m=3c m+1的正整数m的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2015春•南京期末）已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．16．（14分）（2015春•南京期末）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．17．（14分）（2015春•南京期末）如图，在平面四边形ABCD中，AD=，CD=，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠ADC=120°．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．18．（16分）（2015春•南京期末）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120°，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？19．（16分）（2015春•南京期末）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S3=a4+4，且a2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=，若{c n}为等差数列，求实数t的值．20．（16分）（2015春•南京期末）设等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项．数列{b n}的前n项和S n=n2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若不等式λb n≤S n+6对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若c n=从数列{c n}中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．不等式＜0的解集为（﹣1，0）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式＜0，即x（x+1）＜0，由此求得它的解集．解答：解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．2．数列{a n}是等比数列，若a3=1，a5=4，则a7的值为16．考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的性质进行求解即可．解答：解：在等比数列中，a3a7=（a5）2，即a7=16，故答案为：16点评：本题主要考查等比数列性质的应用，利用等比中项的性质是解决本题的关键．比较基础．3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a2+b2﹣ab=c2，则角C的大小为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理即可得出．解答：解：由余弦定理可得：cosC===，∵C∈（0，π），∴C=．故答案为：．点评：本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离为5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：把已知条件代入点到直线的距离公式，化简可得．解答：解：由题意结合点到直线的距离公式可得：点P（3，﹣2）到直线l：3x+4y﹣26=0的距离d===5．故答案为：5点评：本题考查点到直线的距离公式，属基础题．5．函数y=x+（x＞﹣1）的最小值为7．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0．∴函数y=x+=（x+1）+﹣1﹣1=7，当且仅当x=3时取等号．故答案为：7．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．过点P（﹣，1），倾斜角为120°的直线方程为x+y+2=0．考点：直线的点斜式方程．专题：直线与圆．分析：由直线的倾斜角求出斜率，用点斜式写出直线方程即可．解答：解：∵直线l的倾斜角为120°，∴直线的斜率为k=tan120°=﹣，又∵直线l过点（﹣3，1），∴直线l的方程为：y﹣1=﹣（x+3），即x+y+2=0，故答案为：x+y+2=0点评：本题考查了求直线方程的问题，由直线的倾斜角可以得斜率，由斜率与一点可以写出直线方程，是基础题．7．若等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=2a3，则的值是6．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a8=2a3，得出a1=3d，再利用等差数列的前n项和的公式，即可得出结论．解答：解：由{a n}为等差数列，且a8=2a3，得到a1+7d=2（a1+2d），∴a1=3d，∴==6，故答案为：6．点评：本题考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，是一道中档题．8．若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0和2x﹣y=0相交于一点，则实数a的值为﹣12．考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：联立4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0，解得（x，y），由于三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0相交于一点，把点代入ax+2y+8=0，即可解得a．解答：解：联立4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0，得，解得，∵三条直线ax+2y+8=0，4x+3y﹣10=0，2x﹣y=0相交于一点，∴把点（1，2）代入ax+2y+8=0，可得a+4+8=0，解得a=﹣12．故答案为：﹣12．点评：本题考查了直线的交点、方程组的解法，属于基础题9．下列：①如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直．其中正确的的序号为②④．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：对四个选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：①如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行，故不正确；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行，根据面面平行的判定定理可知正确；③平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；④如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直，利用平面与平面垂直度判定定理可知正确．故答案为：②④．点评：本题主要考查了直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定．考查了基础知识的综合运用．10．已知经过A（﹣1，a），B（a，8）两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行，则实数a的值为2．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由题设条件知，两直线平行故两直线的斜率相等，由此方程求a的值即可．解答：解：直线2x﹣y+1=0的斜率为1，由平行直线斜率相等得：2=，∴a=2故答案为：2点评：本题考查两直线平行的条件，由斜率相等建立方程求参数，属于直线中的基本题型．11．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcosC+ccosB=csinA，则的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinC的值进而求得C，利用正弦定理将所求转化为sin（A+）即可求其最大值．解答：解：∵bcosC+ccosB=csinA，∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sinCsinA，∵sinA≠0，∴sinC=1，C=，∴利用正弦定理可得：==sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），∴则=sin（A+）的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．12．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为πcm3．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．解答：解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2cm的半圆，所以圆锥的底面周长为：2πcm，底面半径为：1cm，圆锥的高为：cm；圆锥的体积：V=π•12×=π．故答案为：π．点评：本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．13．已知x＞0，y＞0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为3+2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：x＞0，y＞0，且xy=x+2y，可得y=＞0，解得x＞2．变形x+y=x+=（x﹣2）++3，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞0，y＞0，且xy=x+2y，∴y=＞0，解得x＞2．则x+y=x+=（x﹣2）++3+3=3+2，当且仅当x=2+，y==1时取等号．∴x+y的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．14．已知a n=3n，b n=3n，n∈N*，对于每一个k∈N*，在a k与a k+1之间插入b k个3得到一个数列{c n}．设T n是数列{c n}的前n项和，则所有满足T m=3c m+1的正整数m的值为3．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意确定数列{c n}的项，然后分类求解满足T m=3c m+1的正整数m的值．解答：解：a n=3n，b n=3n，由题意知，c1=a1=3，c2=c3=c4=3，c5=a2=9，c6=c7=c8=c9=c10=c11=3，c12=a3=27，…，则当m=1时，T1=3≠3c2=9，不合题意；当m=2时，T2=6≠3c3=9，不合题意；当m=3时，T3=9=3c4=9，适合题意．当m≥4时，若c m+1=3，则T m≥12≠3c m+1，不适合题意，从而c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1，则T m=a1+3+3+3+a2+3+3+3+3+3+3+a3+3+…+3+a4+3+…+a5+3+…+a6+…+a k﹣1+3+…+a k，=（3+32+33+…+3k）+3[1+2+…+（k﹣1）]==，又3c m+1=3a k+1=3×3k+1，∴=3×3k+1，即5×3k=k2﹣k﹣1，上式显然无解．即当m≥4时，T m≠3c m+1，综上知，满足题意的正整数m的值为3．故答案为：3．点评：本题考查等差、等比数列的前n项和公式，考查数列的分组求和，同时考查逻辑推理能力，关键是对题意的理解，属有一定难度题目．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2015春•南京期末）已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的截距式方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（1）由直线l：x﹣2y+2m﹣2=0的斜率为，可得所求直线的斜率为﹣2，代入点斜式方程，可得答案；（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（﹣2m+2，0），（0，m﹣1），则所围成的三角形的面积为×|﹣2m+2|×|m﹣1|，根据直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，构造不等式，解得答案．解答：解：（1）∵直线l：x﹣2y+2m﹣2=0的斜率为，∴与直线l垂直的直线的斜率为﹣2，…（2分）因为点（2，3）在该直线上，所以所求直线方程为y﹣3=﹣2（x﹣2），故所求的直线方程为2x+y﹣7=0．…（6分）（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（﹣2m+2，0），（0，m﹣1），…（8分）则所围成的三角形的面积为×|﹣2m+2|×|m﹣1|．…（10分）由题意可知×|﹣2m+2|×|m﹣1|＞4，化简得（m﹣1）2＞4，…（12分）解得m＞3或m＜﹣1，所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．…（14分）点评：本题考查的知识点是直线的点斜式方程，直线与直线的交点，解不等式，是直线与不等式的综合应用，难度中档．16．（14分）（2015春•南京期末）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得EF∥AC，即可证明EF∥平面ACD；（2）若平面ABC⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABC，CD⊥AB，因为AB⊥AC，所以AB⊥平面ACD，即可证明：平面ABD⊥平面ACD．解答：证明：（1）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC．…（2分）又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，所以EF∥平面ACD．…（6分）（2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，CD⊂平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC．…（8分）因为AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB．…（10分）又因为AB⊥AC，AC∩CD=C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD．…（12分）又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD．…（14分）点评：本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）（2015春•南京期末）如图，在平面四边形ABCD中，AD=，CD=，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠ADC=120°．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．考点：解三角形．专题：应用题；解三角形．分析：（1）求出，∠ABD=60°，∠BAD=180°﹣60°﹣75°=45°，利用正弦定理，求BD的长；（2）利用△ABD的面积+△BCD的面积﹣△ACD的面积，即可求△ABC的面积．解答：解：（1）在△ABD中，AD=，∠ABD=60°，∠BAD=180°﹣60°﹣75°=45°，由正弦定理得=，所以BD=2．…（4分）（2）在△ABD中，AD=，BD=2，∠ADB=75°，所以△ABD的面积S1=AD•BD•sin∠ADB=．…（8分）又△ACD的面积S2=AD•DC•sin∠ADC=，…（10分）△BCD的面积S3=1．…（12分）所以△ABC的面积S=S1+S3﹣S2=．…（14分）点评：本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）（2015春•南京期末）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物．已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120°，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：方法一、设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，由体积公式可得V=xysin•2=xy．再由余弦定理，结合重要不等式，可得xy的最大值，进而得到体积的最大值；方法二、设∠ABC=θ，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米．运用正弦定理，以及体积公式，运用三角函数的化简，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．解答：解法一：设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，所以V=xysin•2=xy．由题意得42=x2+y2﹣2xycos，即x2+y2+xy=16，因为x2+y2≥2xy，所以16≥2xy+xy，即xy≤，当且仅当x=y=时，不等式取等号．所以V≤•=．答：当AB=AC=米时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米．解法二：设∠ABC=θ，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米．由正弦定理得==，则AC=sinθ，AB=sin（﹣θ），所以V=AB•AC•sin•BE=×sinθ•sin（﹣θ）××2=sinθ•sin（﹣θ）=sinθ×（cosθ﹣sinθ）=×[sin2θ﹣（1﹣cos2θ）]=sin（2θ+）﹣．因为0＜θ＜，即＜2θ+＜，所以当且仅当2θ+=，即θ=时，V取得最大值．答：当∠ABC=时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米．点评：本题考查基本不等式在最值问题中的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（16分）（2015春•南京期末）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S3=a4+4，且a2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=，若{c n}为等差数列，求实数t的值．考点：等差关系的确定；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）求出首项与公差，可求求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，利用错位相减法求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=，若{c n}为等差数列，则2c2=c1+c3，即可求实数t的值．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由S3=a4+4，得3a1+3d=a1+3d+4，即a1=2．又a2，a6，a18成等比数列，∴（a1+5d）2=（a1+d）（a1+17d），整理得：d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n；（2）b n==，∴T n=1+++…+，∴T n=++…++两式相减，整理可得T n=4﹣；（3）S n=2n+=n2+n．c n=，若{c n}为等差数列，则2c2=c1+c3，即2=+，∴t=．点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（16分）（2015春•南京期末）设等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项．数列{b n}的前n项和S n=n2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若不等式λb n≤S n+6对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若c n=从数列{c n}中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．考点：数列的应用．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过2×3a3=8a1+a5，进而计算即得结论；（2）通过S n=n2可知b1=S1=1，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），进而已知条件转化为λ≤对一切n∈N*恒成立，利用基本不等式计算即得结论；（3）通过（1）、（2）可知c n=，易知取出的数列中相邻的项必定一个是奇数、一个是偶数，进而讨论即得结论．解答：解：（1）由题意得，2×3a3=8a1+a5，则6q2=8+q4，…（2分）解得q2=4或q2=2．因为q为正整数，则q=2．…（3分）又a1=2，则a n=2n，即数列{a n}的通项公式为a n=2n．…（4分）（2）当n=1时，b1=S1=1；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时也符合，故b n=2n﹣1．…（6分）不等式λb n≤S n+6对一切n∈N*恒成立，转化为λ≤对一切n∈N*恒成立．记T=，令2n﹣1=t（t＞0），则n=，T==（t++2）≥（2+2）=（2×5+2）=3，…（8分）当且仅当t=，即t=5，n=3时等号成立，故λ≤3，即实数λ的取值范围是（﹣∞，3]．…（10分）（3）由（1），（2）可知c n=，设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，k∈N*，s≥2，k≥2．因为数列{c n}的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．…（12分）假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数．设抽出的三个偶数从小到大依次为2i，2j，2p（1≤i＜j＜p），则=2i﹣1+2j﹣1为奇数，而i≥1，j≥2，则2j﹣1为偶数，2i﹣1为奇数，所以i=1．又=2j﹣1+2p﹣1为奇数，而j≥2，p≥3，则2j﹣1与2p﹣1均为偶数，矛盾．又因为k≥2，所以k=2，即偶数只有两项，则奇数最多有3项，即s+k的最大值为5．…（14分）设此等差数列为d1，d2，d3，d4，d5，则d1，d3，d5为奇数，d2，d4为偶数，且d2=2．由d1+d3=2d2=4，得d1=1，d3=3，此数列为1，2，3，4，5．同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1．…（16分）点评：本题考查数列的应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

江苏省南京市2017-2018学年高一下学期期末统考数学试题(含精品解析)

1．.【解析】分析：由直线方程可得直线的斜率，由斜率可得倾斜角的值.详解：由直线方程，可得，由，可得，故答案为.点睛：本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.点睛：本题主要考查等比数列的性质，属于基本题.在等比数列中，若，则.3．.【解析】分析：利用斜率公式可得，由点斜式可得结果.详解：因为直线经过点,所以直线斜率为，由点斜式可得直线方程为，故答案为.点睛：本题主要考查已知两点求斜率，以及直线的点斜式方程，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于简单题.4．.【解析】分析：利用平方关系求出的值，利用二倍角的正弦公式可得结果.详解：由为锐角，可得，则，故答案为.点睛：本题考查平方关系以及二倍角的正弦公式，属于中档题.“给值求值”问题，给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.6．.【解析】分析：等价于，利用一元二次不等式的解法可得结果.详解：等价于，解得，故答案为.点睛：本题主要考查分式不等式的解法、一元二次不等式的解法，意在考查计算能力以及转化与划归思想的应用，属于简单题.7．.【解析】分析：由圆锥的底面半径为,母线长为，根据勾股定理求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式可得结果.详解：因为圆锥的底面半径为,母线长为,所以，由勾股定理可得，体积，故答案为.点睛：本题主要考查圆锥的性质及圆锥的体积公式，意在空间想象能力以及考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.8．.【解析】分析：利用正弦定理求出，再利用正弦定理求出，从而可得结果.点睛：本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 9．.【解析】分析：因为，所以即为，利用余弦定理可得结果.详解：因为，所以即为，设，则三角形中，，由余弦定理可得，故答案为.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.10．.【解析】分析：设，由列方程组求出，利用截距式可得结果.详解：设，由，可得，则，由截距式可得直线方程为，即，故答案为.点睛：本题主要考查向量相等的性质以及直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.点睛：本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.12．.【解析】分析：由，根据正弦定理可得，结合，利用余弦定理可得，由的面积为可得，利用换元法与基本不等式即可得结果.详解：由，由正弦定理，由，可得，则，，则，周长，令，则，在时递增，则最小值为，故答案为.点睛：本题考查正弦定理边角互化，余弦定理与基本不等式的应用，属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.13．.【解析】分析：,利用裂项相消法即可得结果点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.14．.【解析】分析：由得，可判定，利用基本不等式可得结果.详解：由得，由，可得，，当且仅当时等号成立，故答案为.点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.15．(1)；(2) ；【解析】分析：(1) 化为，由可得结果；(2)求得直线在坐标轴上的截距，由可得结果.详解： (1)化为，所以斜率为,则；(2) 由，时,；时,；则围成的三角形面积为,由面积为可得.点睛：本题主要考查直线的方程与性质，以及直线方程与斜率的关系，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.16．详见解析；【解析】分析：(1)由三角形中位线定理可得，根据线面平行的判定定理可得平面；(2)先证明平面,则，由菱形的性质,可得，根据线面垂直的判定定理可得平面.(2) 由四边形为矩形,可得，又因为,平面，平面，，可得平面,则，由四边形是菱形,可得，因为,,平面,平面，，可得平面.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17．(1) ； (2) 或；【解析】分析：(1) 时,，由,可得，则，利用两角和的正切公式可得结果；(2)三角形内由余弦定理可得或，再分别利用余弦定理求得或.(2) 三角形内由余弦定理，则，即，解得或，时,，三角形内由余弦定理；时,,三角形内由余弦定理则或.点睛：本题主要考查两角和的正切公式、利用余弦定理解三角形，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件. 18．(1) ；(2) 时；时；时；(3)；【解析】分析：(1)由可得结果；(2)时, ，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)时恒成立,当且仅当,即,即,由，可得，则,解不等式即可的结果.详解：(1) 时,，由函数有零点,可得,即或；(3)二次函数开口响上,对称轴,由可得在单调递增,时恒成立,当且仅当,即,即,由，可得，则,由可得,即,则,此时，则.点睛：本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.19．(1) ，定义域为；(2)；【解析】分析：(1)隔栏与四周总面积为平方米,底部面积为平方米,结合不同位置的价格即可的结果；(2)，由可得,从而可得结果.详解： (1)网箱的高为米,由三块区域面积相同可得隔栏与左右两边交点为三等分点,隔栏与四周总面积为平方米,底部面积为平方米,则，定义域为；点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题题意的关键是：求出与之间的函数关系，进而利用基本不等式求解.20．(1)，.(2) .(3).【解析】分析：(1)根据,,列出关于首项、,公差与公比的方程组，解方程组可得、,公差与公比的值，从而可得数列，的通项公式；(2)由(1)可得，利用错位相减法求和即可的结果；(3) 不等式可化为，先判断的增减性，可得则时, 中最大的三项值为，由时满足的共有两个,可得，由解得，则正整数.详解： (1)设的公差为, 的公比为，，；，；由，可得，，由可得，则，，则，；(2) ，作差可得，则；即满足的共有两个,令，，，则时,时,，，，，，则时,中最大的三项值为，由时满足的共有两个,可得，由解得，则正整数.点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.。

高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1（下）（一）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xex C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（）.A.1≤rB.1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn x n ∑∞=+01的收敛域为（）. A.[]1,1- B.[)1,1- C.(]1,1- D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=. 《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（） A 、,22,22 B 、,2222- C 、22-22- D 、22-,22 5、设x2+y2+z2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R2AB 、2R2AC 、3R2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L1：x=y=z 与直线L2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

(完整)高等数学考试题库(附答案)

高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。

2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。

3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。

6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。

7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。

8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。

9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。

10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。

11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。

12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。

13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。

18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。

20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

2017高等数学试题及答案

2017高等数学试题及答案一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1. 函数y=x^2+1的导数是（）。

A. 2x+1B. 2xC. x^2D. 1答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是（）。

A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 定积分∫(0,1) x^2 dx 的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A4. 微分方程dy/dx = x的通解是（）。

A. y = x^2 + CB. y = e^x + CC. y = ln(x) + CD. y = sin(x) + C答案：A5. 函数y=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * ln(x) + CD. e^x / x + C答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6. 函数y=ln(x)的二阶导数是________。

答案：1/x^27. 极限lim(x→∞) (1/x) 的值是________。

答案：08. 定积分∫(0,π) sin(x) dx 的值是________。

答案：29. 微分方程dy/dx = y/x的通解是________。

答案：y = Cx10. 函数y=x^3的不定积分是________。

答案：1/4 * x^4 + C三、计算题（本题共4小题，每小题10分，共40分）11. 求函数y=x^3-3x+2的一阶导数和二阶导数。

答案：一阶导数：y' = 3x^2 - 3二阶导数：y'' = 6x12. 计算极限lim(x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)]。

答案：lim(x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)] = 413. 计算定积分∫(1,e) (1/x) dx。

答案：∫(1,e) (1/x) dx = ln(e) - ln(1) = 114. 求解微分方程dy/dx = 2x + 3，且y|_(x=0) = 1。

高等数学下册试题题库及参考答案

高等数学下册试题库一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量AB 的模是：（ A ）A ）5B ） 3C ） 6D ）9解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=5)1(20222=-++.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和52=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4π C ）3π D ）π 解由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221c o s 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z轴，因此可设这平面的方程为因为平面过1M 、2M 两点，所以有解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

大学高等数学下考试题库(附答案)

一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2.则有（）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =.则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n pn收敛.则（）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB .其中点()1,1,2-B .则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z .则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =.而y x v xy u +==,.求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定.求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin .其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱.问长、宽、高各取怎样的尺寸时.才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍.且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1.求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin .()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时.用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M .()2,1,72M 的距离=21M M （）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x .则两平面的夹角为（）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=.则()=∂∂2,1xz （）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的.则（）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行.则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=.求.b a ⨯2.设22uv v u z -=.而y x v y x u sin ,cos ==.求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定.求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图.求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 四.应用题 1.316.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题.每题3分.共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k.则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1.4π）处的两个偏导数分别为（）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx.则yzx z ∂∂∂∂,分别为（） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点.半径为R.面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2A D 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（） A 、-2.-1 B 、2.1 C 、-2.1 D 、1.-2 二、填空题（本题共5小题.每题4分.共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

2017-2018年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）在平面直角坐标系xOy中，记直线y＝x﹣2的倾斜角是θ，则θ的值为．2．（5分）在等比数列{a n}中，己知，则a6的值为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点（﹣1，0），（1，4），则直线l的方程是．4．（5分）已知α为锐角，且，则sin2α的值为．5．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，则四个侧面△P AB，△PBC，△PCD，△P AD中，有个直角三角形．6．（5分）不等式的解集为．7．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则此圆锥的体积为．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为．9．（5分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，．记异面直线AB1，与BD所成的角为θ，则cosθ的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，经过点P（1，1）的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B．若，则直线l的方程是．11．（5分）α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是．（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若m⊥α，m∥n，则n⊥α；④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β．12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2﹣b2＝（a cos B+b cos A）2，且△ABC的面积为50，则△ABC周长的最小值为．13．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}前15项和为S15的值为．14．（5分）已知正实数x，y满足x2+xy﹣2y2＝1，则5x﹣2y的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（15分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l的方程为x+my﹣2m＝0（m≠0）．（1）若直线l的斜率为﹣1，求实数m的值；（2）若直线l与坐标轴为成的三角形的面积为2，求实数m的值．16．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形，侧面BCC1B1是菱形，M是AB1的中点．N是BC1与B1C的交点，AC⊥B1C，求证：（1）MN∥平面ACC1A1；（2）BC1⊥平面AB1C．17．（15分）在△ABC中，已知点D在BC边上，且2BD＝DC，AB＝2，．（1）若AD⊥BC，求tan∠BAC的值；（2）若，求线段AC的长．18．（15分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣b（a，b∈R）．（1）若b＝﹣1，且函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（2）当b＝1﹣a时，解关于x的不等式f（x）≤0；（3）若正数a，b满足，且对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a，b的值．19．（15分）某水产养殖户制作一体积为1200立方米的养殖网箱（无盖），网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域（如图），网箱．上底面的一边长为20米，网箱的四周与隔栏的制作价格是200元/平方米，网箱底部的制作价格为90元/平方米．设网箱上底面的另一边长为x米，网箱的制作总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系，并指出定义域；（2）当网箱上底面的另一边长x为多少米时，制作网箱的总费用最少．20．（15分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，{b n}是等比数列，且a2＝b2＝1，a3﹣1＝b3，a4﹣1＝b4．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n；（3）若满足不等式成立的n恰有3个，求正整数m的值．2017-2018学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）在平面直角坐标系xOy中，记直线y＝x﹣2的倾斜角是θ，则θ的值为．【解答】解：直线y＝x﹣2的倾斜角是θ，则tanθ＝1，即θ＝，故答案为：2．（5分）在等比数列{a n}中，己知，则a6的值为3．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，己知，∴＝＝，∴a6＝＝＝3．故答案为：3．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点（﹣1，0），（1，4），则直线l的方程是y＝2x+2．【解答】解：根据两点式方程可得＝，即y＝2x+2，故答案为：y＝2x+24．（5分）已知α为锐角，且，则sin2α的值为．【解答】解：∵α锐角，且，∴sin＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×＝．故答案为：．5．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，则四个侧面△P AB，△PBC，△PCD，△P AD中，有4个直角三角形．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD∴P A⊥AB，P A⊥AD∴△P AB，△P AD为直角三角形事实上，BC⊥P A，BC⊥AB∴BC⊥平面P AB∴BC⊥PB∴△PBC为直角三角形同理△PDC为直角三角形∴四个侧面三角形均为直角三角形．6．（5分）不等式的解集为[0，2）．【解答】解：不等式，等价于x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2，∵x≠2．∴不等式的解集为：[0，2）故答案为：[0，2）7．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则此圆锥的体积为．【解答】解：如图，OA＝1，P A＝3，则OP＝．∴圆锥的底面积S＝π×12＝π，体积V＝．故答案为：．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为．【解答】解：∵，，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，∵b＜c，B为锐角，∴B＝．∴A＝π﹣C﹣B＝．故答案为：．9．（5分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，．记异面直线AB1，与BD所成的角为θ，则cosθ的值为．【解答】解：∵在直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，．∴BD∥B1D1，∴∠AB1D1是异面直线AB1，与BD所成的角（或所成的角的补角），设＝，∴AD1＝AB1＝＝2，B1D1＝，记异面直线AB1异面直线AB1，与BD所成的角为θ，则cosθ＝＝．故答案为：．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，经过点P（1，1）的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B．若，则直线l的方程是x+2y﹣3＝0．【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），（k≠0），可得A（1﹣，0），B（0，1﹣k）．∵，∴（1﹣﹣1，﹣1）＝﹣2（﹣1，1﹣k﹣1），即（﹣，﹣1）＝（2，2k）．∴﹣＝2，﹣1＝2k．解得k＝﹣．∴直线l的方程为：y﹣1＝﹣（x﹣1），化为：x+2y﹣3＝0．故答案为：x+2y﹣3＝0．11．（5分）α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是①③．（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若m⊥α，m∥n，则n⊥α；④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β．【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故②错误；在③中，若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故③正确；在④中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故④错误．故答案为：①③．12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2﹣b2＝（a cos B+b cos A）2，且△ABC的面积为50，则△ABC周长的最小值为．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a cos B+b cos A）2＝（a•+b•）2＝c2，∴可得：a2＝b2+c2，可得：A＝，∵△ABC的面积为50，即：bc＝50，可得：bc＝100，∴可得a2＝b2+c2≥2bc＝200，可得：a≥10，当且仅当b＝c时等号成立，∵b+c＝＝≥＝20，∴△ABC周长l＝a+b+c≥，当且仅当b＝c时等号成立．故答案为：20+10．13．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}前15项和为S15的值为．【解答】解：数列{a n}的通项公式为，由＝（﹣），可得S15＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）+（2+4+6+…+14）﹣7×7＝×+×7×16﹣49＝．故答案为：．14．（5分）已知正实数x，y满足x2+xy﹣2y2＝1，则5x﹣2y的最小值为4．【解答】解：∵x2+xy﹣2y2＝1，∴（x+2y）（x﹣y）＝1，令m＝x+2y，n＝x﹣y，∴mn＝1，∵x，y都是正实数，∴m＞0，则n＝＞0，∴5x﹣2y＝（x+2y）+4（x﹣y）＝m+4n．当且仅当m＝4n，即m＝2，n＝，也就是x＝1，y＝时，5x﹣2y有最小值为4．故答案为：4．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（15分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l的方程为x+my﹣2m＝0（m≠0）．（1）若直线l的斜率为﹣1，求实数m的值；（2）若直线l与坐标轴为成的三角形的面积为2，求实数m的值．【解答】解：（1）由题意可得：＝﹣1，解得m＝1．（2）由m≠0，x＝0时，y＝2；y＝0时，x＝2m；则围成的三角形面积为＝2，解得m＝±1．16．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形，侧面BCC1B1是菱形，M是AB1的中点．N是BC1与B1C的交点，AC⊥B1C，求证：（1）MN∥平面ACC1A1；（2）BC1⊥平面AB1C．【解答】证明：（1）由四边形BCC1B1是菱形，可得N为B1C中点，又因为M为AB1，中点，可得MN∥AC，又因为MN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，故MN∥平面ACC1A1；（2）由四边形ACC1A1为矩形，可得AC⊥CC1，又因为AC⊥B1C，CC1⊂平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C＝C，可得AC⊥平面BCC1B1，则AC⊥BC1，由四边形BCC1B1是菱形，可得B1C⊥BC1，因为AC⊥B1C，B1C⊥BC1，AC⊂平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，AC∩B1C＝C，故BC1⊥平面AB1C．17．（15分）在△ABC中，已知点D在BC边上，且2BD＝DC，AB＝2，．（1）若AD⊥BC，求tan∠BAC的值；（2）若，求线段AC的长．【解答】解：（1）AD⊥BC时，，由DC＝2BD，可得，则tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，可得：tan∠BAC＝tan（∠BAD＝＝＝﹣3；（2）三角形ABD内由余弦定理，则，即BD2﹣3BD+2＝0，解得BD＝1或2，当BD＝1时，BC＝3，三角形ABC内，由余弦定理＝；当BD＝2时，BC＝6，三角形ABC内由余弦定理＝则AC＝2，或．18．（15分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣b（a，b∈R）．（1）若b＝﹣1，且函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（2）当b＝1﹣a时，解关于x的不等式f（x）≤0；（3）若正数a，b满足，且对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a，b的值．【解答】解：（1）b＝﹣1时，f（x）＝x2+ax+1，由函数f（x）有零点，可得△＝a2﹣4≥0，即a≤﹣2或a≥2；（2）b＝1﹣a时，f（x）＝x2+ax+a﹣1＝（x+1）（x+a﹣1），当﹣1＜1﹣a即a＜2时，f（x）≤0的解集为[﹣1，1﹣a]，当﹣1＝1﹣a即a＝2时，f（x）≤0的解集为{﹣1}，当﹣1＞1﹣a即a＞2时，f（x）≤0的解集为[1﹣a，﹣1]；（3）二次函数f（x）开口响上，对称轴，由a＞2可得f（x）在[1，+∞）单调递增，x∈[1，+∞）时f（x）≥0恒成立，当且仅当f（1）≥0，即1+a﹣b≥0，即a≥b﹣1，由，可得，则，由＞0可得b2﹣4b+4≤0，即（b﹣2）2≤0，则b＝2，此时1≤a≤1，则a＝1．19．（15分）某水产养殖户制作一体积为1200立方米的养殖网箱（无盖），网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域（如图），网箱．上底面的一边长为20米，网箱的四周与隔栏的制作价格是200元/平方米，网箱底部的制作价格为90元/平方米．设网箱上底面的另一边长为x米，网箱的制作总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系，并指出定义域；（2）当网箱上底面的另一边长x为多少米时，制作网箱的总费用最少．【解答】解：（1）网箱的高为米，由三块区域面积相同可得隔栏与左右两边交点为三等分点，隔栏与四周总面积为平方米，底部面积为20x平方米，则×，定义域为（0，+∞）；（2），由x＞0可得，当且仅当即x＝20时等号成立，答：，定义域为（0，+∞）；网箱上底面的另一边长x为20米时，制作网箱的总费用最少．20．（15分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，{b n}是等比数列，且a2＝b2＝1，a3﹣1＝b3，a4﹣1＝b4．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n；（3）若满足不等式成立的n恰有3个，求正整数m的值．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，a3＝a2+d＝1+d，b3＝b2q＝q；a4＝a2+2d＝1+2d，；由a3﹣1＝b3，a4﹣1＝b4可得1+d﹣1＝q，1+2d﹣1＝q2，由d≠0，q≠0可得d＝q＝2，则a1﹣a2﹣d＝﹣1，，则a n＝2n﹣3，；（2），×21+…+（2n﹣3）×2n﹣2（2n﹣5）×2n﹣2+（2n﹣3）×2n﹣1作差可得2×21﹣…﹣2×2n﹣2+（2n﹣3）×2n﹣1，则×；（3）不等式可化为，即，即，n＝1，m∈N*时一定成立，则n≥2时，满足的n共有两个，此时2n﹣3＞0，m+8＞0，即满足的n共有两个，令，n≥2，＝，则n＝2时，c3＜c2n≥3时，c n+1＜c n，，，，，则n≥2时，{c n}中最大的三项值为，由n≥2时满足的n共有两个，可得，由m＞0解得，则正整数m＝3．。

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《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分10）1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量ai2jk,b2ij，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC. a,bD.3 a,b43.函数122y2xy的定义域是（）.22xy12y2y22A.x,y1x2B.x,y1x22y2y22C.x,y1x2Dx,y1x24.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0335.函数zxy3xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设zxsiny，则zy 1, 4＝（）.A.22B.22C.2D.27.若p级数n1 1 pn收敛，则（）.A.p1B.p1C.p1D.p18.幂级数n1nxn的收敛域为（）.A.1,1B1,1C.1,1D.1,19.幂级数nx02n在收敛域内的和函数是（）.1221A.B.C.D.1x2x1x2x 10.微分方程xyylny0的通解为（）.A. xyceB.xyeC.xycxeD. ycxe二.填空题（4分5）1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.2.函数zsinxy的全微分是______________________________.3yxy3xy2 3.设zx31，则2zxy_____________________________.1的麦克劳林级数是___________________________.4.2x三.计算题（5分6）zzu sin，而uxy,vxy，求,.1.设zevxyzz2yzxz222.已知隐函数zzx,y由方程x24250确定，求,.xy22 3.计算sinxyd，其中24222 D:xy.D4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为23m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？.试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.2xy2z60.2.cosxyydxxdy.2yy23.6x91.4.n0n1n12nx.11.y2x CCxe1.2三.计算题zxyzxy4.eysinxycosxy，exsinxycosxy.xy5.zx2zx1,zy2zy1.6.22dsind26.7.1633R.8.y3xe2ex.四.应用题5.长、宽、高均为m32时，用料最省.126.yx.3《高数》试卷2（下）一.选择题（3分10）2.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.153.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.64324.函数22zarcsinxy的定义域为（）.2y2y22A.x,y0x1B.x,y0x1C. 2y2x,y0xD.2 x,y0x 2y225.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.66.函数222z2xy3xy的极大值为（）.A.0B.1C.1D. 1 212.设z 23xyy2zx，则1,2x（）.A.6B.7C.8D.913.若几何级数nar是收敛的，则（）. n0A.r1B.r1C.r1D.r114.幂级数nn1x的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,115.级数sinnn1n a4 是（）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二.填空题（4分5）x3t9.直线l过点A2,2,1且与直线yt 平行，则直线l的方程为__________________________.z12t10.函数xyze的全微分为___________________________.11.曲面242z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分6）7.设ai2jk,b2j3k，求ab.8.设zz 2zu，而uxcosy,vxsiny，求,.2vuvxyzz3xyz9.已知隐函数zzx,y由x32确定，求,.xy10.如图，求球面2y2z24a22 2x与圆柱面xy2ax（a0）所围的几何体的体积.四.应用题（10分2）16.试用二重积分计算由yx ,y2x 和x4所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA. 二.填空题 12.x 2y2z 112 1 . xy13.eydxxdy.14.8x8y z4.15.1n0nx 2n. 16.3 yx. 三.计算题11.8i3j2k.z 2z 333312.3xsinycosycosysiny,2xsinycosysinycosyxsinycosy .xy zyzzxz 13.2,2xxyzyxyz. 14. 3232 a.323 15. 2xxCeyCe21.四.应用题17. 16 3.12xgtvtx.2.002《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（） 42A 、,22 2,2 B 、,22 2C 、2 22 2D 、2 22 2, 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则2+y 2+z 2=2Rx ，则z x z,分别为（）yA 、x R z yx ,B 、 z z R yxRy ,C 、,D 、 zzzx z R , y z 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为2y 2 x 的薄板的质量为（）（面积A= 2 R ）1A 、R2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、RA22n xn7、级数(1)的收敛半径为（）nn1A 、2B 、1 2C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、 ( n0 n 1) ( 2n x 2n)!B 、 (1) n1n 2n x (2n)! C 、 n 0 ( 1) n 2n x (2n)!D 、 n 0 ( 1) n ( 2n x 2n 1 1)!二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）___________。

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