北师版八年级数学上册第一二章勾股定理和实数习题和知识要点

第一章 勾股定理 1.探索勾股定理

课时1

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知识要点

勾股定理:

如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么22b a +2c =，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的作用:

勾股定理是直角三角形的重要性质之一，它把直角三角形的“形”的特征转化为两直角边的平方和等于斜边的平方的“数”的关系。其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边，求第三边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；（3）证明含平方关系的问题等。有时还要构造直角三角形，以便利用勾股定理。

经典例析 例：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝ ，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长.

分析：由于△ABC 为直角三角形，就可先由勾股定理求出BC 。再根据面积求出CD 的长。 解：由勾股定理可得222AB BC AC =+,即22253=+BC ，所以4=BC 。

,2

1

21CD AB BC AC S ABC ⋅=⋅=

∴∆ ∴

,52

1

4321CD ⨯⨯=⨯⨯ ∴.

512=CD

点评：此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线。

1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_______；（2）若a=9，c=41，•则b=_____． 2已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 ． 3.直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的高为_________．

4．如图所示，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，•一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了_______m ．

5．一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边的长是（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12

6．若直角三角形的两直角边各扩大1倍，则斜边扩大（ ） A ．112

倍 B ．1倍 C ．2倍 D ．4倍

7．如图，字母A 代表的正方形面积是100，字母B 代表的正方形面积是64，则字母C 代表的正方形边长是（ ） A ．36 B ．18 C ．6 D ．以上都不对

8．如图，求下列阴影部分的面积与周长．

9．如图，是某人在岛上的寻宝图，登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向走6千米，往东一拐仅1千米找到宝藏，•问登陆点到宝藏点的直线距离是多少？

10．在池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，荷花倒在水面位置距荷花直立水平距离为2尺，如图，试问池塘深浅几何？

课时2

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知识要点

勾股定理的验证

（1）通过测量进行验证；

（2）用直角三角形和正方形通过拼图进行验证。在用拼图探索勾股定理的过程中，主要要清楚如下两点：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。②根据同一种图形面积的不同表示方法列出等式，是推导勾股定理的一种很重要的方法如图所示。

经典例析

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，∠A=30°，则AC=______cm，BC=_______cm．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b：c=3：4：5，若c=25，则a=______，b=______．

3．如图所示．

（1）在图（1）中，AB=5，AC=2，BC=_______．

（2）在图（2）中，BC边上的高为______，S△ABC=_______．

（3）在图（3）中，正方形ABCD对角线BD=_______．

(1) (2) (3)

4．一棵树被大风刮倒后，折断处离地面3m，树的顶端，离树根4m，这棵树在折断之前的高度是（）

A．5m B．6m C．7m D．8m

5.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边点F处，若AB=8cm，BC=10cm，求CE的长．

6．如图，一部云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子的底部离墙 7m．

22(``)(``)A B A C -（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑4m ，那么梯子的底部在水平方向向右边 滑动了4m 吗？•为什么？

解题方案： （1）设梯子与墙、地及墙角三点，构成三角形分别为Rt △ABC 及Rt △A ′B ′C ′，•由已知得AB=______，BC=______，由勾股定理可得，22AB BC -．

（2）由已知可得AA ′=4m ，又因为AC=______，所以A ′C=______，在Rt △A ′CB ′中，

B ′C= =_____，而BC=7m ，BB ′=B ′C-BC=_______，•显然梯子底部在水平方向上不止滑动4m ．请

与同伴交流．

2.能得到直角三角形吗名师导航预习指南

知识要点

直角三角形的判别条件．．．．（即勾股定理的逆定理） 如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，且满足22b a +2c =，那么这个三角形是直角三角形。

作用：它可应用于判断三角形是否为直角三角形，从而得到直角，两条直线垂直等信息，也可解决实际问题。 勾股数：满足22b a +2c =的三个正．整数．．

，称为勾股数。 常见的勾股数有：

3，4，5； 5，12，13； 8，15，17； 7，24，25； 20，21，29； 9，40，41；……

这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组，由这些勾股数的倍数为三边长的三角形也是直角三角形。

经典例析

例：1如图，在一次夏令营活动中，•小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了3B 点，然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C 点，求A 、C 两点间的距离．

解：过点B 作NM 垂直于正东方向，垂足为M ，则∠ABM=60°

．

因∠NBC=30°，所以∠ABC=90°

在Rt △ABC 中，2222(5003)500AB BC ++（米）．

1．（1）3a ，4a ，5a （a>0）；（2）5k ，12k ，13k ；（3）3a ，4b ，5c ，•以上各组数能组成直角三角形的是___(填序号）． 2．一个三角形的最大边是5，另一边是4，要使三角形为直角三角形，•则第三边长为_______．

3．△ABC 中，a=9，b=12，①当c 2=______时，∠C 是直角，②当c 2

=______时，∠B 是直角． 4．如图，已知S 1=81，S 2=225，S 3=144，则△ABC 是______，∠ACB=______． 5．在△ABC 中，AB=17，BC=30，BC 上的中线AD=8，则△ABC 为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 6．设a ，b ，c 为直角三角形的三边，则a ：b ：c 不可能是（ ） A ．3：5：4 B ．5：12：13 C ．2：3：4 D ．8：15：17

7．三角形的三边长分别为n 2－1，2n ，n 2

+1（n>1），则此三角形的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.无法判断 8．正方形的对角线长为1，则正方形的边长为（ ）