椭圆的方程及性质

椭圆的方程及性质

一、椭圆的定义

1、一动圆与已知圆1)3(:221=++y x O 及圆81)3(:222=+-y x O 相内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 变式：（1）已知圆1)2(:22=-+y x M 及圆0774:22=-++y y x N ，动圆C 与二圆

相内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 （2）方程10

)4()4(2222=+-+

++y x y x 化简后得到的曲线方程为

2、已知21,F F 为椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于B A ,两点，若1222=+B F A F ，

则AB 的长为

变式：（1）已知椭圆12

:2

2=+y x C 的两焦点为21,F F ，点),(00y x P 满足1202020<+

（2）已知21,F F 分别是椭圆1482

2=+y x 的左右焦点，P 是椭圆上的任意一点，则1

21PF PF PF -的取值范围是

3、设P 为椭圆

19

252

2=+y x 上的点，21,F F 分别为左右焦点，若∠6021=PF F °，那么Δ21PF F 的面积为

变式：（1）设21,F F 分别为椭圆14

22

=+y x 的左右焦点，P 是椭圆上的点，当Δ21PF F 的面积为1时，向量1PF 和2PF 的数量积为

（2）已知P 是椭圆

14

122

2=+y x 上的动点，21,F F 分别为左右焦点，则21PF ∙的取值范围是 二、椭圆的标准方程

1、与椭圆

19

2522=+y x 有相同的焦点，长轴与椭圆1169252

2=+y x 相等的椭圆的标准方程为 变式：过点)3,2(-且与36492

2

=+y x 有相同焦点的椭圆的标准方程为

2、与椭圆13

42

2=+y x 有相同的离心率，且过点)3,2(-的椭圆方程为 变式：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 的离心率为23，双曲线12

2=-y x 的渐近线与椭圆C 有四

个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，则椭圆C 的方程为

3、已知方程1212

2=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是

变式：（1）若椭圆

19

82

2=++y k x 的离心率21=e ，则实数k 的值为 （2）若方程1652

2=-+-k

y k x 表示的图形是椭圆，则实数k 的范围是

（3）已知),0(πα∈，方程1cos sin 22=-ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是 三、椭圆的离心率及范围

1、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点为1F ，点),0(),0,(b B a A -分别是其左顶点和上顶点，若1

F 到直线AB 的距离为

7

b ，则椭圆的离心率为

变式：（1）已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点为1F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上且1BF ⊥x 轴，

直线AB 交y 轴与点P ，若PB AP 2=，则椭圆的离心率为

（2）椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 中，A 是左顶点F 是右焦点，B 是短轴的一个端点，若∠90=ABF °，

则椭圆的离心率为

2、已知P 是椭圆

19

252

2=+y x 上不在x 轴上的点，21,F F 是其焦点，设∠α=21PF F ，∠β=21F PF ，∠γ=12F PF ,则

=+α

γ

βsin sin sin

变式：（1）设P 是以21,F F 为焦点的椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的一点，若021=∙PF ，并

且tan ∠2

1

21=

F PF ，则此椭圆的离心率为 （2）已知椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，两焦点为21,F F ，P 为椭圆上的一点，且∠1521=F PF °，

∠12F PF =75°，则椭圆的离心率为

3、设椭圆:C )0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点为F ，过F 的直线与椭圆C 交于B A ,两点，若直线AB 的

倾斜角为60°，且FB AF 2=，则椭圆的离心率为

变式：已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为22

，过其右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C

交于B A ,两点，若3=，则k 的值为

4、设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P ，使得∠21PF F =90°，

则椭圆的离心率e 的范围是

变式：（1）设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P ，使得∠

21PF F =60°，则椭圆的离心率e 的范围是

（2）设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P ，使得∠21PF F =120°，

则椭圆的离心率e 的范围是

（3）椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，∠

α=ABF ，且⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈4,12ππα，则椭圆的离心率e 的范围是

5、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在一点P ，令∠α=21F PF ，

∠β=12F PF 满足

β

αsin sin c

a =，则椭圆的离心率e 的范围是 变式：椭圆)0(12222>>=+

b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为右准线c a x l 2

:=上一点，若线段P

F 1的垂直平分线恰过点2F ，则椭圆的离心率的范围是

6、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上任意一点，且21PF PF ∙的最

大值的取值范围是[

]

2

23,c c ，其中22b a c -=

，则该椭圆的离心率的范围是

7、椭圆中心在原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆的左焦点1F 的直线交椭圆与Q P ,两点，且OP ⊥OQ ，则此椭圆的离心率的范围是

四、与椭圆相关的范围问题