椭圆的方程及性质

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椭圆的标准方程及性质

椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。

一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。

设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。

2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。

3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。

长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。

4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。

离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。

5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。

6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。

7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。

8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。

三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。

2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。

3. 固定时间下的最短路径问题。

4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。

4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。

5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。

总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。

椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。

椭圆及其性质

A
解：如图建立直角坐标系，设所求椭圆方程为 2 2 x y 2 1 2 a b 在Rt△AF1F2中， A B
y
F1 O C
F2 x
| AF2 | | F1 A |2 | F1 F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的定义知， | F1 A | | F2 A | 2a
1 所以 a (| F1 A | | F2 A |) 2 1 2 2 (2.8 2.8 4.5 ) 2 4.1 2 2 b a c
3、椭圆的顶点
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
椭圆与 x轴的交点？令 y=0，得 x=±a
椭圆与 y轴的交点？令 x=0，得 y=±b
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 *长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
今朝花枝簇簇
共创佳绩
明日硕果累累
c e a
a2=b2+c2
例4、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形. 解：把方程化为标准方程:
x y 1 25 16
所以: a = 5 ,b = 4 c = 25 16 3
2
2
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8 ；离心率为0.6 焦点坐标为(-3,0),(3,0) 顶点坐标为 (-5,0)，(5,0)， (0,4)，(0,-4)
B2
y
(0,b)
A2
(-a,0) F1 a
A1
b
o
B1
F2 (a,0)

椭圆的标准方程及性质

一.椭圆曲线的介绍1.域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。

其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)：具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。

不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。

这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。

定义保证如下性质：随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0.这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）：P，Q不重合时：P，Q重合时：总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。

椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面：Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点：（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。

此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。

为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。

上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。

而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。

椭圆标准方程及几何性质

椭圆的离心率
离心率是描述椭圆扁平程度的量，用 $e$表示。
VS
离心率定义为$e = frac{c}{a}$，其中 $c$是焦距，$a$是长轴半径。
03
椭圆的参数方程
参数方程的定义
参数方程
通过引入参数，将椭圆上的点与一组有序数对（参数）关联起来，表示椭圆上的点的一种方法。
参数方程的一般形式
x=a*cos⁡(t)x = a cos(t)x=a∗cos(t) 和 y=b*sin⁡(t)y = b sin(t)y=b∗sin(t)，其中 (a,b) 是椭圆的长短轴长度，t是参数。
通过极坐标方程，可以方便地解决与椭圆相关的几何问题，例如求交点、判断点是否在椭圆上等。
05
椭圆的焦点三角形
焦点三角形的性质
焦点三角形是等腰三角形
01
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，因此焦点三
角形是等腰三角形。
顶角为直角
02
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之差与到另一焦点的距离
之比为常数，因此顶角为直角。
当长短轴长度一定时，顶角越大，焦点三角形面积越大。
焦点三角形的周长
01
02
03
周长公式
焦点三角形的周长公式为 (P = 2a + 2c)，其中 (a) 为长轴长度，(c) 为焦距。
周长与长短轴关系
当长短轴长度一定时，离心率越大，焦点三角形周长越大。
周长与离心率关系
当长短轴长度一定时，长短轴长度越接近，焦点三角形周长越小。
THANKS
感谢观看
参数方程的应用
简化计算
在解决与椭圆相关的数学问题时，使用参数方程可以简化计算过程，特别是涉及到三角函数的问题。

椭圆基本方程的知识点总结

椭圆基本方程的知识点总结椭圆的知识点总结如下：椭圆的定义：椭圆是一个平面曲线，其定义为距离到两个固定点（焦点）的距离之和始终为常数的所有点的轨迹。

这两个固定点称为焦点，椭圆的长轴为连接两个焦点的线段的长度。

椭圆的长轴长度为2a，其中a为椭圆的长半轴。

椭圆的基本方程：椭圆的基本方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b分别为长半轴和短半轴的长度。

这个方程表示了椭圆上所有点的坐标满足该方程。

通过基本方程，我们可以求解椭圆的焦点、离心率等重要参数。

椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是使得距离之和等于常数2a的两个固定点，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。

离心率反映了椭圆的扁平程度，当离心率为0时，椭圆退化成为一个圆。

椭圆的性质：椭圆的性质包括长轴、短轴、焦点、离心率、焦距等各种几何关系。

椭圆的焦点和离心率是椭圆性质中的关键概念，通过这些属性我们可以求解椭圆上点的坐标、椭圆的面积、周长等重要参数。

椭圆的方程和几何表示：椭圆可以通过基本方程、参数方程、极坐标方程等形式来表示。

基本方程是最常用的形式，通过基本方程我们可以得到椭圆的相关参数。

椭圆也可以通过参数方程描述椭圆上各点的坐标，或者通过极坐标方程来描述椭圆的曲线。

椭圆的图形性质：椭圆是一种闭合的曲线，它在平面上的图形可以反映椭圆的形状、大小和位置。

通过绘制椭圆的图形，我们可以直观地了解椭圆的形态和特征。

椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以描述椭圆上各点的坐标。

通过参数方程，我们可以得到椭圆上各点的坐标，并且可以通过参数方程来求解椭圆的长度、面积等参数。

椭圆的极坐标方程：椭圆的极坐标方程描述了椭圆的曲线在极坐标系下的形式。

通过极坐标方程，我们可以得到椭圆在极坐标系下的表示形式，并且可以通过极坐标方程求解椭圆的面积、周长等参数。

椭圆的应用：椭圆在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

比如在天文学中，行星绕太阳的轨道就是椭圆，椭圆还可以用来描述声波、光波等在介质中的传播等现象。

椭圆标准方程及其性质知识点大全

椭圆标准方程及其性质(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率①(01)ce e a =<< ，②21()b e a=-③222b a c -=（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 2.2. 方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B 。

A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式：122tan2PF F S b θ∆=如图：●椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan2PF F S b θ∆=。

椭圆的标准方程及几何性质

椭圆的标准⽅程及⼏何性质椭圆的标准⽅程与⼏何性质⼀、知识梳理1、椭圆定义：平⾯内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼤于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

思考：若与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼩于或等于||21F F ）的点的轨迹⼜是如何？2．标准⽅程：（1）焦点在x 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+b y a x ;（2）焦点在y 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+bx a y .3、重要关系： 222a b c =+。

（注意⼤⼩关系） 4、椭圆的⼏何性质由椭圆⽅程12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质。

（1）范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-（椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中）（2）对称性：图形关于原点对称．原点叫椭圆的对称中⼼，简称中⼼．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．长轴与短轴长分别为b a 2,2。

b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -。

【⼩秘书】（1）求椭圆⽅程的⽅法：除了定义外，常⽤待定系数法；（2）当椭圆的焦点位置不确定时，可设⽅程为221x y m n+=（,0m n >），避免讨论和繁杂的计算。

（3）要重视椭圆定义解题的重要作⽤，要注意归纳提炼，优化解题过程。

【例1】求满⾜下列各条件的椭圆的标准⽅程.：(1)焦点在坐标轴上，且经过两点)31（3）以短轴的⼀个端点和两焦点为顶点的三⾓形为正三⾓形，且焦点到椭圆的最短练兵场：1. 椭圆5x 2＋ky 2＝5的⼀个焦点是（0，2），那么k 等于（） (A)－1 (B)1 (C)5(D) －52、（08上海⽂）设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（）(A)4 (B)5 (C)8 (D) 103.已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．4.椭圆的中⼼在原点，对称轴为坐标轴，椭圆的⼀个顶点B 与两焦点F 1F 组成三⾓形的周长为4+23，且∠F 1BF 2= 23π，求该椭圆⽅程。

椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程椭圆是数学中的一个重要概念，指的是平面上一组点，到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数的点的集合。

它是圆锥曲线之一，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。

本文将介绍椭圆及其标准方程。

一、椭圆椭圆是一个常出现于生活中的几何形状，比如篮球、鸡蛋等，都是椭圆形状。

在代数学中，一个在平面内有两个固定焦点F1和F2的点P，使得PF1+PF2=2a（a>0），则称这个点P在以F1和F2为焦点、2a为长轴的椭圆上。

椭圆也可以看成一个斜着的圆，所以我们也可以称其为“斜圆”。

二、标准方程椭圆的标准方程表示为：（x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1其中，a和b分别代表长轴和短轴的长度。

这个方程的中心在坐标系原点，椭圆的形状和位置通过a和b的取值来确定。

如果a>b，那么椭圆的长轴与x轴平行；如果b>a，那么椭圆的长轴与y轴平行；如果a=b，那么椭圆就是一个圆。

三、椭圆的性质1. 椭圆中任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。

2. 椭圆中心为坐标系原点O，且椭圆的长轴与x轴夹角为α，则椭圆上任何一点P(x,y)的斜率为k=tan(α±β)或k=tan(β-α)，其中β为焦点在椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角。

3. 椭圆上任意一条弦都不超过椭圆的长轴长度2a。

4. 椭圆的离心率e满足e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。

4. 椭圆的离心率大小决定了椭圆的胖瘦。

当离心率越小，椭圆越圆；当离心率越大，椭圆越瘦长。

五、应用椭圆在数学、物理、工程中都有广泛应用。

比如说，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹就是一个椭圆；在航空、航天中，椭圆形状的轨道是探测器、卫星等航天器的常用轨道；在通讯中，椭圆抛物线天线是一种常用的天线，特点是既可以做发射天线，也可以做接收天线。

结语：椭圆是一种非常有趣的几何图形，它具有很多独特的性质和应用。

了解椭圆的标准方程和性质，对于数学和其他各个领域的学习和应用都有很大帮助。

椭圆的性质及其方程推导

椭圆的性质及其方程推导椭圆是一种常见的几何图形，其形状特征使得它在数学、物理和工程等领域中得到广泛应用。

本文将介绍椭圆的性质，并推导其方程，以便更好地理解这一几何对象。

1. 椭圆的定义椭圆是平面上一点到两个给定焦点的距离之和恒定于定值的点的轨迹。

简单来说，椭圆是以两个焦点为中心的平面上一点的轨迹。

2. 椭圆的主要性质2.1 焦点与准线椭圆上有两个焦点，记为F1和F2，它们距离椭圆中心O的距离为c。

椭圆上的任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a，而准线是椭圆上离心率和焦距之差为常数的线段。

准线的长度为2ae，其中e是椭圆的离心率。

2.2 长轴与短轴椭圆的主轴是连接两个焦点的线段，记为AA'，且AA'的长度为2a。

椭圆的次轴是与主轴垂直且通过椭圆中心O的线段，记为BB'，且BB'的长度为2b。

显然，长轴的长度2a大于短轴的长度2b。

2.3 离心率椭圆的离心率e是一个无单位的常数，计算公式为e = c/a，其中c是焦点到圆心的距离，a是主轴的长度。

离心率e衡量了椭圆形状的“瘦胖程度”，当e=0时，椭圆退化为一个圆。

3. 椭圆的方程推导为了得到椭圆的方程，我们假设椭圆的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，圆心为O(0,0)，并设椭圆上任意一点P(x,y)。

根据椭圆的定义，我们可以得到以下关系式：PF1 + PF2 = 2a√((x + c)^2 + y^2) + √((x - c)^2 + y^2) = 2a为了简化推导过程，我们将上述方程两边平方，并去掉根号：(x + c)^2 + (x - c)^2 + 2√((x + c)^2 + y^2)√((x - c)^2 + y^2) = 4a^2整理后可得：2x^2 + 2y^2 + 2c^2 - 2a^2 = 2√((x + c)^2 + y^2)√((x - c)^2 + y^2)继续整理可得：(x^2/a^2) + (y^2/(a^2 - c^2)) = 1上述方程即为椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程及性质

椭圆的标准方程一、高考考点分析与讲解： 1．椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．说明：当与两个定点21,F F 的距离之和等于||21F F 的点的轨迹是线段12F F ；与两个定点21,F F 的距离之和小于||21F F 的点的轨迹不存在． 2．根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++=又，a yc x yc x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得12222=+bya x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -其中222b c a+=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+by ax 中的y x ,调换，即可得12222=+bxa y，也是椭圆的标准方程说明：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+by ax 与12222=+bx ay 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m nymx≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+by ax 类比，如12222=+bya x中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)．3注：①是0a b >>；②是222a b c =+（要区别与习惯思维下的勾股定理222c a b =+）； ③是定方程“型”与曲线“形”．例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bya x)0(>>b a 9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a所以所求椭圆标准方程为192522=+yx．例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-；（3）焦点在x 轴上，:2:1a b =，c =（4）焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(0)；（5）焦距为b ，1a b -=；（6）椭圆经过两点35(,)22-，．解析：（1）∵椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为22221x y ab+=（0a b >>）， ∵210a =，4c =，∴2229b a c =-=，所以，椭圆的标准方程为221259xy+=．（2）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为22221y x ab+=（0a b >>），由椭圆的定义知，2a ===∴10a =，又∵2c =，∴2221046b a c =-=-=，所以，椭圆的标准方程为221106yx+=．（3）∵c =2226a b c -==，①又由:2:1a b =代入①得2246b b -=， ∴22b =，∴28a =，又∵焦点在x 轴上，所以，椭圆的标准方程为22182xy+=．（4）设椭圆方程为22221y x ab+=，∴221b=，∴22b =，又∵225a b +=，∴23a =，所以，椭圆的标准方程为22132yx+=．（5）∵焦距为6，∴3c =，∴2229a b c -==，又∵1a b -=，∴5a =，4b =，所以，椭圆的标准方程为2212516xy+=或2212516yx+=．（6）设椭圆方程为221xymn+=（,0m n >），由2235()()221351m nm n⎧-⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩得6,10m n ==，所以，椭圆方程为221106yx++=．点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系．例3 已知1F 、2F 为椭圆()012222>>=+b a by ax 的左、右焦点，过2F 做椭圆的弦AB .（1）求证AB F 1∆的周长是常数；（2）若AB F 1∆的周长为16，1AF 、21F F 、2AF 成等差数列，求椭圆的方程. 解：（1）AB F 1∆的周长a BF BF AF AF l 42111=+++= 所以AB F 1∆的周长为常数. （2） 164==a l ，得4=a .1AF 、21F F 、2AF 成等差数列，所以1AF +2AF =221F F ，得 2=c ，122=b ，所以所求椭圆方程是1121622=+yx.例4 已知椭圆C 经过原点，且一个焦点为()0,2F ，其长轴长为4，求椭圆C 的中心的轨迹方程.解：设椭圆C 的中心()y x M ,，已知焦点()0,2F ，则另一焦点()y x F2,22/-.因为原点O 在椭圆上，其长轴长为4，所以4/=+OF OF .()()4222222=+-+y x ，得中心轨迹方程为()1122=+-y x .（另解）2=OF ，所以 2/=OF .设OF 的中点()0,1/O由三角形的中位线得 1/=MO,所以中心M 的轨迹是圆．例5 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解．解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b ab+=>>，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，则22222591444a a b b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩二、配套练习巩固与提高： 1．椭圆2211625xy+=的焦点坐标为（A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0) 解：选A ． 2．在方程22110064xy+=中，下列a , b , c 全部正确的一项是（A ）a=100, b=64, c=36 （B ）a=10, b=6, c=8 （C ）a=10, b=8, c=6 （D ）a=100, c=64, b=36 解：选C ．3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是（A ）2214xy += （B ）2214yx += （C ）22116xy += （D ）22116yx +=解：选C ．4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是（A ）2213620xy+= （B ）2212036xy+= （C ）2213616xy+= （D ）2211636xy+=解：选B ．5．若椭圆22110036xy+=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）14 解：选D ．6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是（A ）椭圆（B ）直线（C ）圆（D ）线段解：选D ．7．过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是（A ）2211510xy+= （B ）221510xy+= （C ）2211015xy+= （D ）2212510xy+=解：选A ． 8．若椭圆a 2x 2－22a y =1的一个焦点是(－2, 0)，则a =（A 4（B ）4（C 4（D 4解：选C ． 9．点P 为椭圆22154xy+=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是（A）(±2, 1)（B ）(2, ±1)（C ）(2, 1) （D）(2, ±1)解：选D ．10=10为不含根式的形式是（A ）2212516xy+= （B ）221259xy+= （C ）2211625xy+= （D ）221925xy+=解：选C ． 11．椭圆22125xym m +=-+的焦点坐标是（A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7) 解：选D ． 12．若方程1162522=++-mym x表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（A ） ()25,16- （B ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛25,29（C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,16 （D ） ⎪⎭⎫⎝⎛∞+,29解：选B ． 13．过椭圆()012222>>=+b a by ax 的焦点F ，与长轴垂直的弦的长度是（A ）cb2（B ）cb 22 （C ）ab2（D ） ab 2214．两焦点坐标分别为(0, 2), (0, －2)，且经过点(－23,25)的椭圆的标准方程是解：221610xy+=．15．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是解：2213616xy+=或2213616yx+=．16．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 . 解：2214xy +=．17．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是解：221155xy+=．18．过椭圆4x 2+2y 2=1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是解：．19．点P 为椭圆22110064xy+=上的一点，F 1和F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为20．若y 2－lga ·x 2=31－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是解：11(,)103． 21．已知A B C ∆中，()0,3A ，()0,3B -，三边长AC 、AB 、BC 的长成等差数列，求顶点C 的轨迹方程．解：221(0)3627xyy +=≠．22．点P 是椭圆22154xy+=上一点，以点P 以及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标.解：(,1)2±±．23．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求这椭圆的方程．解：221259xy+=．26．如图，线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，|AB|=5.点M 是AB 上一点，且|AM|=2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程.解：22194xy+=．27． 28． 29． 30．椭圆的简单几何性质一、高考考点分析与讲解：1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y ab≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称．若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b-，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a c =-．4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a=叫椭圆的离心率.∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆．当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=． 5．椭圆的第二定义、准线：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ac e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆12222=+by ax ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是cax 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是cax 2-=．对于椭圆12222=+bx ay 的准线方程是cay 2±=．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义e dMF =∴||可得：右焦半径公式为ex a cax e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a cax e ed MF +=--==|)(|||2左．例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．解：把已知方程化为标准方程22221x y ab+=，5a =，4b =，∴3c ==，∴椭圆长轴和短轴长分别为210a =和28b =，离心率35c e a ==，焦点坐标1(3,0)F -，2(3,0)F ，顶点1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,4)B -，2(0,4)B ．1A2A2B2AO x y2F例2 过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点(3,0)P -、(0,2)Q -；（2）长轴长等于20，离心率等于35．解：（1）由题意，3a =，2b =，又∵长轴在x 轴上，所以，椭圆的标准方程为22194xy+=．（2）由已知220a =，35c e a==，∴10a =，6c =，∴22210664b =-=，所以，椭圆的标准方程为22110064xy+=或22110064yx+=．例3 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）2F 为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆右焦点（记1F 为左焦点），设椭圆标准方程为22221xya b+=（1a b >>），则22||||||63714396810a c OA OF F A -=-==+=，22||||||637123848755a c OB OF F B +=+==+=，解得：7782.5a = 972.5c =∴7722b ===≈，所以，卫星的轨道方程是2222177837722xy+=．例4 已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为5e =m 的值．解：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，2553m =⇒=．例5 （1）求椭圆1162522=+yx的右焦点和右准线；左焦点和左准线．（2）求椭圆81922=+y x 方程的准线方程．解：（1）由题意可知右焦点)0,(c F 右准线cax 2=；左焦点)0,(c F -和左准线cax 2-=（2）椭圆可化为标准方程为：198122=+xy，故其准线方程为42272±=±=cay小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出．例6 椭圆1162522=+yx上的点M 到左准线的距离是5.2，M 到左焦点的距离为，M到右焦点的距离为 .解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：edMF =||53||11===ac ed MF 5.15.253||11=⨯==∴ed MF 5.1||1=∴MF又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴==+MF a MF MF另解：点M 到左准线的距离是2.5，所以点M 到右准线的距离为685253505.222=-=-ca5.868553||||2222=⨯==∴=edMF e d MF小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用x y O ∙∙ 1F 2F A x yO A2B 1B F 图①例7 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹．解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|8|)2(22=-+-x y x 由化简得1121622=+yx，故所的轨迹是椭圆．解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以82==cax 解得4=a ，又因为21==a c e 故所求的轨迹方程为1121622=+yx例8 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线5=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹；解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|5|)2(22=-+-x y x 由化简得0946322=-+-y x x 配方得134)1(22=+-yx ，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）．解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以52==cax 解得102=a ，故所求的轨迹方程为161022=+yx．例9 （1）求出椭圆方程13422=+yx和134)1(22=+-yx 的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；（2）求出椭圆方程13422=+yx和134)1(22=+-yx 长轴顶点、焦点、准线方程．解：因为把椭圆13422=+yx向右平移一个单位即可以得到椭圆134)1(22=+-yx 所以问题1中的所有问题均不变，均为21,1,3,3=====ac e c b a ．13422=+yx长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,2(±，)0,1(±4±=x ．134)1(22=+-yx 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,12(+±，)0,11(+±14+±=x ．例10 椭圆13422=+yx上位于y 轴左侧的部分是否存在一点P ，使点P 到左准线的距离是点P 到两焦点1F 、2F 的距离的比例中项. 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：假设存在，设点()00,y x P ，左准线l ：4-=x ，所以点P 到左准线的距离40+=x d ，又212PF PF d=，01212x PF +=、02212x PF -=，得()20204144x x -=+得 451200-=-=x x 或，与20-≥x 矛盾，所以点P 不存在.二、配套练习巩固与提高： 1．椭圆192522=+yx上一点P 到左焦点的距离为8，那么点P 到右准线的距离是（A ）25 （B ） 45 （C ） 35 （D ） 425解：选A ．2．椭圆()012222>>=+b a by ax 上任意一点()00,y x P 到左焦点1F 、右焦点2F 的距离分别为1r 、2r ，椭圆的离心率为e ，则1r 、2r 分别等于（A ） a ex +0、a ex -0 （B ） a ex -0、a ex +0 （C ） 0ex a +、0ex a - （D ） 0ex a -、0ex a + 解：选C ． 3．椭圆()012222>>=+b a by ax 的两个焦点 1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，使得02190=∠PF F ，则椭圆的离心率的取值范围是（A ） ⎥⎦⎤⎝⎛22,0 （B ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 （C ） ⎥⎦⎤⎝⎛23,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 解：选B ．4．设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（A ）相切（B ）相离（C ）相交（D ）相交或相切解：选B ．设AB 的中点为M ，则M 即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F ，右准线为l ；过点A 、B 、M 分别作出准线l 的垂线，分别记为d d d ,,21由梯形的中位线可知221d d d +=又由椭圆的第二定义可知ed AF =1||e d BF =2||即)(||||21d d e BF AF +=+又22||||2||21d d e BF AF AB +⋅=+=且10<<e 2||AB d >∴故直线与圆相离．5．方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号（C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆解：选C ． 6．已知椭圆方程为221499xy+=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±210)；④ a =49, b =9, c =40，（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个解：选B ．7．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（A ）53 （B ）312 （C ）43 （D ）910解：选A ．8．若点P 到两定点F 1(－2, 0), F 2(2, 0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是（A ）椭圆（B ）直线（C ）线段（D ）两点解：选C ．9．设椭圆的标准方程为22135xyk k+=--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是（A ）k >3 （B ）3<k <5 （C ）4<k <5 （D ）3<k <4解：选C ． 10．若AB 为过椭圆12222=+by ax 中心的弦，F (c , 0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（A ）b 2（B ）bc （C ）ab （D ）ac 解：选B ． 11．已知椭圆11622=+myx，直线x y 22=，如果直线与椭圆的交点在x 轴上的射影恰为椭圆的焦点，则m 的值是（）（A ） 2 （B ） 22 （C ） 8 （D ） 32 解：选C ．12．直线l 经过点()2,0M 与椭圆2222=+y x 有两个不同的公共点，那么直线l 的倾斜角的范围是（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-26arctan,26arctanπ （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,26a r c t a n 26a r c t a n ,0（C ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛26arctan,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ,26arctan 解：选A.13．以椭圆的右焦点2F 为圆心做圆使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线1MF （1F 为椭圆的左焦点）是圆2F 的切线，则椭圆的离心率是（A ） 22 （B ）23 （C ） 13- （D ） 32-解：选C ．14．一条直线l ：022=+-y x 过椭圆12222=+by ax 的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为（A ）51 （B ）52 （C ）55 （D ）552解：选D ． 15．已知椭圆13422=+yx内一点()1,1-P ，2F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上的一个动点，则2MF MP +的最大值为（A ） 54- （B ） 54+ （C ） 53- （D ） 53+解：选B ． 16．椭圆14922=+yx的两个焦点 1F 、2F ，点P 是椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，则点P的横坐标的范围是解：填⎪⎪⎭⎫⎝⎛-553,553． 17．椭圆的两个焦点为()0,41-F 、 ()0,42F ，椭圆上一点P ，若21F PF ∆的最大面积是12，则椭圆的方程是解：192522=+yx．18．已知椭圆822=+y mx 与椭圆10025922=+y x 的焦距相等，则m 的值等于解：179．19．椭圆81922=+y x 的长轴长为，短轴长为，半焦距为，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为，准线方程为解：18，6，26，322，)26,0(±，)9,0(±)0,3(±，4227±=y ．20．短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为解：20． 21．椭圆12222=+by ax (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为1-．22．把椭圆的长轴AB 分成8等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ =解法一：53==ac e ，设i P 的横坐标为i x ，则i x i 455+-=不妨设其焦点为左焦点由53||===ac e dF P i 得i i ex a cax e F P i i i 432)455(535)(||2+=+-⋅+=+=+=35)721(4372||||||721=++++⨯=+++ F P F P F P ．解法二：由题意可知1P 和7P 关于y 轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知a F P F P 2||||71=+，同理可知a F P F P 2||||62=+，a F P F P 2||||53=+，a F P =||4故357||||||721==+++a F P F P F P ．23．直线062=+-y x 过椭圆12522=+myx的左焦点，则椭圆的右准线方程是 .解：填325=x ． 24．过椭圆192522=+yx的右焦点F ，做倾斜角为4π的直线，交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长是 .解：填1790．25．已知椭圆193622=+yx，过点()2,4P 做直线交椭圆于A 、B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线AB 的方程是 . 填：082=-+y x ．26．若方程x 2cosα－y 2sinα+2=0表示一个椭圆，则圆(x +cosα)2+(y +sinα)2=1的圆心在第象限．解：四． 27．椭圆221123xy+=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的倍．解：7．28．线段|AB |=4，|PA |+|PB |=6, M 是AB 的中点，当点P 在同一平面内运动时，PM 长度的最大值、最小值分别为解：3，29．方程|2|)1()1(222++=-+-y x y x 表示什么曲线？解：222|2|)1()1(22=++-+-y x y x 122<；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）．所以，方程表示椭圆．30．求过点P (3, 0)且与圆x 2+6x +y 2－91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程．解：2212516xy+=．31．椭圆()012222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴的下端点A 长轴的右端点B ，点M 在椭圆上，且x MF ⊥2轴，原点为O ，若AB OM // （1）求椭圆的离心率；（2）若点N 为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求21NF F ∠的范围；（3）过2F 与OM 垂直的弦CD ，若CD F 1∆的面积为320，求椭圆方程.解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M 2,，a b k ac b k AB OM ===2，得22=⇒=e c b ；（2）因为221π=∠AF F ，所以21NF F ∠的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π；（3）22c b =，222c a =，则椭圆22222c y x =+…①、直线CD ：()c x y --=2…②，②代入① 得0222522=--ccy y得 c y y 53421=-，3205342212121211=⨯⨯=-=∆c c y y F F S CD F ，得 2522==b c 、502=a ，所求椭圆方程是1255022=+yx．32．已知点M 为椭圆1162522=+yx的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值．分析：应如何把||351MF 表示出来解：左准线1l ：3252-=-=cax ，作1l MD ⊥于点D ，记||MD d = 由第二定义可知：53||1===ac e dMF ⇒ d MF 53||1=⇒ ||351MF d =故有||||||||35||1MD MA d MA MF MA +=+=+所以有当A 、M 、D 三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：3251+即||35||1MF MA +的最小值是328变式1：||5||31MF MA +的最小值；解：283283)||35||(3||5||311=⨯=+=+MF MA MF MA变式2：||||531MF MA +的最小值；解：52832853|)|35|(|53||||5311=⨯=+=+MF MA MF MA33．已知 ,A B 为椭圆2222519x y a+=上的两点，2F 是椭圆的右焦点．若228||||,5a A F B F A B +=的中点到椭圆左准线的距离是32，试确定椭圆的方程．解：由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．34．已知椭圆的中心在原点，长轴在x 轴上，，直线1=+y x 被椭圆截得的弦AB 的长为22，且弦AB 的中点M 与椭圆的中心O 的连线的斜率为22，求这个椭圆的方程.解：设椭圆方程)0(222222>>=+b a b a y a x b ，()11,y x A 、()22,y x B ，弦AB 的中点()00,y x M ，则22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+，得 ()()()()021********=-++-+y y y y a x x x x b . ()2121x x y y --=-、0212x x x =+、0212y y y =+、2200=x y ，得222b a =.()()0122212.1,22222222=-+-+⇒⎩⎨⎧+-==+bx x x y b a y a x b ，由弦长公式得 232=b ，则32=a ，所以椭圆方程为132322=+y x．35．椭圆)0(222222>>=+b a b a y a x b 的离心率32=e ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 、B 是椭圆上不同的两个点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()0,1Q .（1）求线段AB 的中点()00,y x M 的横坐标0x ；（2）若322=+BF AF ，且椭圆上一点P 满足02160=∠PF F ，求椭圆的方程及21PF F ∆的面积解：（1）设()11,y x A 、()22,y x B 弦AB 的中点()00,y x M ，则22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+，得 ()()()()02121221212=-++-+y y y y a x x x x b.0212x x x =+、0212y y y =+、11002121-=-∙--x y x x y y ，得2259b a=，得 490=x .（2）1232x a AF -=、2232x a BF -=、292021==+x x x ， 322=+BF AF ，得 53=⇒=b a ，所以椭圆方程是15922=+yx.设 11r PF =、22r PF =，则()⎩⎨⎧==-+=+16260cos 2,62021222121c r r r r r r . 得 32021=r r ，所以 33560sin 2102121==∆r r S F PF ．36．过椭圆()012222>>=+b a by ax 的一个焦点F 做弦AB ，若1d AF =、2d BF =，求证：2111d d +=22ba ．解：证明：设F 为右焦点，直线AB 的倾斜角θ为锐角，点A 在x 轴的上方A 、B 到右准线的距离分别为1m 、2m ，F到右准线的距离为p ，离心率为e ，则θθc o s c o s 2211d m p d m -==+ ①.又 ed m 11=、ed m 22=代入①得2111d d +=ep2.又 ac e =、cbp 2=所以2111d d +=22ba .37．已知椭圆C 的两个焦点()0,221-F 、()0,222F ，（1）当直线l 过1F 与椭圆交于M 、N 两点，且MN F 2∆的周长为12时，求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线m 过点()2,0P 与椭圆C 交于A 、B 两点，且以A B 为直径的圆过原点，若存在求直线m 的方程；若不存在，说明理由.解：解：（1）1922=+yx（过程略）（2）设直线m ：()存在且k k kx y ,02≠+=代人椭圆方程得 ()027369122=+++kx x k ，0>∆得 3333>-<k k 或.以A B 为直径的圆过原点，则 OB OA ⊥，设()11,y x A 、()22,y x B得()()()()04212201121221212121=++++⇒+++⇒=+x x k x x k kx kx x x y y x x 由韦达定理得()049172911272222=++-++kkkk ，解得 331±=k 使得 0>∆所以满足条件的直线m 的方程是06331=+-y x 或06331=-+y x ．椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆．θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PFθθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴bca cPF PF PF PF1222121sin sin tan21cos 2F PF bS PF PF b θθθθ∆∴===+性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点．证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF cPF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a bPF PF ca =122222--ox e a ba x a ≤≤-0 22a x o ≤∴性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得： 1222242)(2c o s 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r cr r r r r r F F r r θ .2112221)2(222222222122e ac a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证．练习：（2000年高考题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围．简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2e -≥即22121e -≥-,于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e ．,,1221βα=∠=∠F PF F PF由正弦定理得：βαβαsin sin )180sin(1221PFPF F F o==--由等比定理得：βαβαsin sin )sin(2121++=+PF PFF F而)sin(2)sin(21βαβα+=+c F F ，βαβαsin sin 2sin sin 21+=++a PF PF∴βαβαsin sin )sin(++==ac e ．练习：已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2．解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3 ∴椭圆的方程为3422yx+＝1．(2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ椭圆的离心率21=e 则)60sin(23sin )60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=oooo，整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)∴53cos 1sin =+θθ故532tan=θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝11352531532=-⋅．。

椭圆方程知识点总结

椭圆方程知识点总结椭圆方程是高等数学中的一个重要内容，它涵盖了多个学科领域，包括微积分、复变、偏微分方程等。

本文将从椭圆方程的定义、性质、求解方法等多个方面进行详细讲解和总结，以期让读者对该内容有更加深入的了解。

一、椭圆方程的定义椭圆方程是指形如$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$这样的方程，其中$a$和$b$都是正实数，且$a>b$。

这个方程描述了一个平面上的椭圆，其中$a$和$b$称为椭圆的半轴长度，椭圆的中心位于坐标原点。

在三维空间中，类似的方程也可以描述一个椭球。

椭球的半轴长度分别对应方程中$x$、$y$、$z$三个变量的系数，即$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a>b>c$。

二、椭圆方程的性质1. 椭圆方程所描述的图形为平面上的椭圆。

2. 椭圆方程满足反对称性质，即交换$x$和$y$的值，方程的解不会发生变化。

3. 在坐标系中，椭圆具有x轴和y轴的对称性，即椭圆关于x 轴和y轴对称。

4. 直线$y=kx$与椭圆相交时，只有两个交点或没有交点。

若有两个交点，则交点的$x$坐标满足$a^2k^2+b^2=x^2$，解得$x=\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2k^2+b^2}}$。

5. 椭圆方程在$(\pm a,0)$和$(0,\pm b)$四点处有拐点，即曲率半径为无穷大。

而在椭圆上任意一点的曲率半径为$\rho=\frac{ab}{\sqrt{(b^2x^2+a^2y^2)^3}}$。

6. 椭圆方程的面积为$S=\pi ab$，周长为$C=4aE(e)$，其中$E(e)$为第二类椭圆积分，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$为椭圆的离心率。

三、椭圆方程的求解方法1. 标准形式化简法将椭圆方程化为标准形式：$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$。

椭圆及其几何性质

椭圆及其几何性质主干梳理：（一）椭圆定义：a MF MF 2||||21=+（)c a >。

注：①||221F F a >轨迹为椭圆；②||221F F a =轨迹为线段21F F ；③||221F F a <轨迹不存在。

（二）椭圆标准方程：（其中222b c a +=） 12222=+by a x （0>>b a ）表示椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程；12222=+bx a y （0>>b a ）表示椭圆的焦点在y 轴上，焦点是),0(),0(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程。

（三）以椭圆12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的几何性质 1、范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，落在b y a x ±=±=,组成的矩形中；2、对称性：原点叫椭圆的对称中心，简称中心，x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴；3、顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。

长轴，短轴长分别为b a 2,2，b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率：椭圆焦距与长轴长之比。

定义式：a c e =⇒2)(1ab e -=；范围： 10<<e ；（四）焦点三角形应注意以下关系：其中),(00y x P 为椭圆上一点，θ=∠==212211,||,||PF F r PF r PF 1、a r r 221=+；2、余弦定理：2212221)2(cos 2c r r r r =-+θ；3、配方法：212222122212)(r r r r r r -+=+4、面积：2tan ||sin 21202121θθb y c r r S F PF ===∆典型例题考点题型1 椭圆的定义问题例1.下列说法正确的是（）A.已知)0,4(),0,4(21F F -。

高中数学选修2-1-椭圆的方程及其性质

椭圆的方程及其性质知识集结知识元椭圆的定义知识讲解1．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 叫椭圆的离心率．3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为（）A．2B．2C．5D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣＝，离心率e＝，再由椭圆的第二定义得＝e＝，∴点P到右准线的距离d＝5，故选C．点评：本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质．例题精讲椭圆的定义例1.'点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求M的轨迹．'例2.'已知P为⊙B：（x+2）2+y2=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．'例3.'已知△ABC 的周长等于18，B 、C 两点坐标分别为（0，4），（0，-4），求A 点的轨迹方程．'椭圆的标准方程知识讲解1．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a ＞b ＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F （±c ，0），焦距|F 1F 2|＝2c ；（2）（a ＞b ＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，±c ），焦距|F 1F 2|＝2c ．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a ＞b ＞0；a 2＝b 2+c 2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在x 轴上（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在y 轴上图形顶点A（a ，0），A ′（﹣a ，0）B （0，b ），B ′（0，﹣b ）A （b ，0），A ′（﹣b ，0）B （0，a ），B ′（0，﹣a ）对称轴x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2离心率e ＝（0＜e ＜1）e ＝（0＜e ＜1）准线x ＝±y ＝±例题精讲椭圆的标准方程例1.'已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为12，离心率为，求椭圆的标准方程．'例2.'写出适合下列条件的曲线方程：（1）求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线两个焦点分别为F 1（-5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．'例3.'若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．'椭圆的性质知识讲解1．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．例题精讲椭圆的性质例1.'求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：（1）椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A（3，2）；（2）双曲线的焦点在x轴上，右焦点为F，过F作重直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=3，离心率为．'例2.'已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，-3）．（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ，已知直线OP的斜率为，求点Q的坐标．'例3.'如图，椭圆E：+=1（a>b>0）经过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．'当堂练习解答题练习1.'已知椭圆的中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）求四边形AEBF面积的最大值．'练习2.'椭圆C：=1（a>b>0）的左焦点为F1（-1，0），点P（1，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上另一点M满足△ABM的重心为坐标原点O，求△ABM的面积．'练习3.'已知P是右焦点为F的椭圆Γ：上一动点，若|PF|的最小值为1，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）当PF⊥x轴且点P在x轴上方时，设直线l与椭圆Γ交于不同的两点M，N，若PF平分∠MPN，则直线l的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．'练习4.'己知椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为，直线y=x+m 交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设点C（1，1），当△ABC的面积为1时，求实数m的值．'练习5.'已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．'练习6.'已知曲线Γ：=1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1∙k2是定值；（2）设点C满足=λ（λ>0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．'练习7.'已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，△ABE的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为原点，圆D：（x-3）2+y2=r2（r>0）与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C 上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：|OG|∙|OH|为定值．'练习8.'已知椭圆E：=1（a>b>0）的离心率为，且过点A（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）问：是否存在过点M（0，2）的直线l，使以直线l被椭圆E所截得的弦CD为直径的圆过点N（-1，0），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．'练习9.'已知椭圆C：=1（a>b>0）的短轴长为2，离心率为，直线l：y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N，A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当△AMN的面积为时，求1的方程．'练习10.'求与双曲线-=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．'练习11.'求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．'练习12.'已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（-1），求椭圆方程．'。

椭圆标准方程知识点总结

椭圆标准方程知识点总结一、椭圆的定义椭圆可以通过几种不同的方式进行定义。

在数学上，椭圆通常被定义为平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个固定点被称为焦点，而常数2a则被称为椭圆的主轴长度。

另一种定义椭圆的方法是：椭圆是一个闭曲线，其在每个点处的切线的斜率之和等于零。

这意味着椭圆的切线对称性是椭圆的一个特征。

在笛卡尔坐标系中，椭圆的标准方程通常被表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别代表椭圆的主轴长度和副轴长度。

当a=b时，椭圆变为一个圆。

二、椭圆标准方程的性质1. 中心点：标准椭圆的中心点位于原点(0,0)。

2. 主轴和副轴：椭圆的主轴是x轴和y轴上的两个直线段，而副轴则是通过中心点的垂直于主轴的直线段。

3. 焦点和离心率：椭圆的焦点是与椭圆的轴上的两个点，它们与椭圆的性质有着密切的联系。

椭圆的离心率e定义为焦点到中心点的距离与椭圆的主轴长度之比。

4. 对称性：椭圆具有对称性，通过它的中心点可以看到一些明显的对称性质。

5. 极坐标方程：椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+e*cosθ)，其中r是极径，θ是极角，e是离心率。

三、椭圆的参数方程除了笛卡尔坐标系下的标准方程外，椭圆还可以通过参数方程来表示。

椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和短半轴。

通过参数方程，我们可以更直观地理解椭圆的形状和性质。

这种表示方法对于椭圆的运动学和动力学问题有着重要的意义。

四、椭圆的性质和相关定理1. 椭圆的面积：椭圆的面积可以通过积分的方法进行计算，或者利用椭圆的参数方程来求解。

2. 椭圆的周长：椭圆的周长也可以通过积分的方法进行计算，或者利用椭圆的参数方程来求解。

3. 椭圆的焦点性质：椭圆的焦点是进行椭圆弧长和椭圆面积计算时重要的参考点。

4. 椭圆的直径定理：椭圆的长轴和短轴的长度之和等于两个焦点之间的距离。

椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程椭圆几何学是一门古老的学科，它与圆、直线、三角形、多边形等几何图形一起构成了几何学的基础知识体系。

椭圆由于其特殊的形状和良好的几何性质，在物理学、工程学、地理学等领域都有着广泛的应用。

本文主要介绍椭圆的定义、性质及其标准方程。

一、椭圆的定义椭圆是指到两个定点F1和F2的距离之和为常数2a（a>0）的所有点P的集合。

这两个点称为椭圆的焦点，连接两点的距离称为椭圆的焦距，a称为椭圆的长半轴。

用符号E表示椭圆，P表示椭圆上任意一点，则椭圆E的定义可以表示为：E={P|PF1+PF2=2a}椭圆的另一个重要参数是其短半轴b，满足a>b>0。

椭圆的离心率e定义为：e = √(a^2 - b^2) / a根据这个定义，离心率e的取值范围是0<=e<1。

当e=0时，椭圆变成了一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状越趋近于长形；当e=1时，椭圆变成了一个双曲线。

二、椭圆的性质1. 椭圆的形状特点：椭圆是一个闭合的曲线，其形状是两个不相交的凸曲边在对称轴上拱起，且曲线上任意两点的距离之和等于定值2a。

2. 椭圆的对称性：椭圆具有中心对称和轴对称两种对称性。

椭圆的中心称为椭圆心，位于两个焦点的中垂线的交点处，椭圆关于椭圆心对称。

而以长轴和短轴为对称轴的对称性是另一种对称方式。

3. 椭圆的面积：椭圆的面积为S=πab。

4. 椭圆的周长：椭圆的周长不能用初等函数表示，一般采用级数的形式展开。

5. 椭圆的焦点性质：设椭圆E的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，则有PF1+PF2=2a。

这个性质是椭圆性质的基础之一，也是解椭圆问题的重要工具。

6. 椭圆的切线性质：过椭圆上任意一点P作椭圆的两个焦点的弦，将椭圆分成两段。

连接这两段的交点与点P的连线垂直。

三、椭圆的标准方程椭圆是以坐标系为基础进行研究的，因此可以用数学方程形式表示。

通常我们采用平面直角坐标系，以椭圆心为坐标原点，以长轴和短轴为坐标轴，建立直角坐标系。

椭圆的性质与方程

椭圆的性质与方程椭圆是数学中一个重要的概念，它具有许多独特的性质和特点。

本文将详细探讨椭圆的性质以及与之相关的方程。

在文章中，我们将从以下几个方面进行论述：椭圆的定义、椭圆的基本性质、椭圆的标准方程、椭圆的离心率以及椭圆的焦点与直径等。

一、椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常量的点的集合。

这两个固定点称为椭圆的焦点，而常量称为椭圆的长轴长度。

椭圆的形状是闭合曲线，它在长轴上取得最大值，在短轴上取得最小值。

二、椭圆的基本性质1. 椭圆是一个凸曲线，具有中心对称性。

其对称中心位于椭圆的中心点，即长轴和短轴的交点。

2. 椭圆的长轴和短轴之比称为离心率，记为e。

离心率确定了椭圆的扁平程度，范围在0和1之间。

当离心率等于0时，椭圆退化为一个点；当离心率等于1时，椭圆退化为一个线段。

3. 椭圆上的任意一点到焦点的距离之和与椭圆的长轴长度相等。

这一性质称为椭圆的焦距性质，是椭圆独特的特点之一。

三、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。

根据标准方程，我们可以确定椭圆的位置、形状以及大小。

四、椭圆的离心率椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = c/a，其中c为椭圆的焦距，a为长轴长度的一半。

离心率可以反映椭圆的扁平程度，当离心率接近于0时，椭圆趋近于一个圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于一条线段。

五、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是椭圆上所有点到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度的一半。

焦点在椭圆的中心线上，且与中心线的距离等于椭圆的离心率。

椭圆的直径是通过椭圆中心的两个焦点的直线。

综上所述，椭圆具有独特的性质与方程。

通过椭圆的定义、基本性质、标准方程、离心率以及焦点与直径的理解，我们可以更好地理解椭圆的几何特性和运用。

椭圆在数学、物理学等领域中有广泛的应用，深入研究椭圆的性质对于进一步探索这些领域的数学模型和问题具有重要意义。

椭圆的参数方程公式

椭圆的参数方程公式椭圆是高中数学中常见的几何图形之一，它具有许多独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的参数方程公式及其几何特性，帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。

一、椭圆的参数方程公式椭圆的参数方程公式为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴的长度，t为参数，取值范围为[0, 2π]。

通过这个参数方程公式，我们可以得到椭圆上的每一个点的坐标。

当参数t从0到2π变化时，点在椭圆上按顺时针方向依次遍历。

二、椭圆的几何特性1. 长轴和短轴：椭圆的长轴是通过椭圆中心并且垂直于长轴的直线段，长轴的长度为2a；短轴是通过椭圆中心并且垂直于短轴的直线段，短轴的长度为2b。

2. 焦点和离心率：椭圆有两个焦点，分别位于长轴上，与中心距离分别为c和-c，其中c满足a^2 = b^2 + c^2。

离心率e是一个描述椭圆形状的参数，计算公式为e = c/a。

当e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆形状较扁；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆形状较细长。

3. 焦点和直径：椭圆上的任意一条直径都经过两个焦点之一。

直径长的一半等于长半轴的长度。

4. 弦和弦长：椭圆上的任意一条弦都经过椭圆中心。

弦长等于长轴的长度乘以sinθ，其中θ是弦与长轴之间的夹角。

5. 切线和法线：椭圆上的任意一点处的切线是通过该点并且与椭圆曲线相切的直线；法线是通过该点并且垂直于切线的直线。

6. 面积和周长：椭圆的面积为πab，其中π是圆周率；周长没有简洁的公式，可以通过数值积分来计算。

三、椭圆的应用椭圆作为一种重要的几何图形，在数学和实际应用中都有广泛的应用。

1. 天体运动：行星、卫星等天体的轨道大多为椭圆。

通过椭圆的参数方程，可以描述和预测天体的运动轨迹。

2. 电子轨道：原子中的电子围绕原子核的轨道也呈椭圆形。

椭圆的参数方程可以用来描述电子的运动状态。

探索椭圆的方程与性质

探索椭圆的方程与性质椭圆是一种在数学几何学中常见的曲线形状，具有一些特定的方程和性质。

本文将探索椭圆的方程以及相关的性质，以帮助读者更好地理解和应用椭圆曲线。

椭圆的方程通常可以表示为：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b是正数，称为半长轴和半短轴。

这个方程描述了一个位于坐标系原点的椭圆曲线，其a决定了椭圆沿x轴的大小，而b决定了椭圆沿y轴的大小。

通过改变a和b的值，我们可以调整椭圆的形状。

当a等于b时，椭圆将退化成一个圆。

当a大于b时，椭圆在x轴上拉伸，而当a小于b时，椭圆在y轴上拉伸。

此外，椭圆还有许多重要的性质。

首先是焦点和直径的概念。

椭圆有两个焦点，记为F1和F2，它们位于长轴的两侧，距离中心点的距离为c，满足c^2 = a^2 - b^2。

直径是连接椭圆上任意两点，且通过椭圆中心的线段。

根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到F1点的距离加上其到F2点的距离等于常数2a。

其次是离心率的概念。

离心率e是一个可以衡量椭圆形状的参数，定义为e = c / a。

当离心率小于1时，椭圆是一个实椭圆；当离心率等于1时，椭圆退化成一个抛物线；当离心率大于1时，椭圆变成一个双曲线。

椭圆还有一个重要的性质是辅助角的存在。

辅助角是连接椭圆上任意一点和两个焦点的线段与短轴之间的夹角。

根据椭圆的定义，椭圆上任意一点的辅助角和与其距离焦点的距离成反比关系。

这个性质在许多椭圆的应用中非常有用。

此外，椭圆还广泛应用于众多领域。

在物理学中，椭圆用于描述行星绕太阳运动的轨迹。

在工程学中，椭圆被用于设计天线和椭圆滤波器等。

在密码学中，椭圆曲线密码学成为了一种重要的加密算法。

无论是在理论研究还是实际应用中，椭圆都发挥着重要的作用。

通过对椭圆的方程和性质的探索，我们能更好地理解和应用这一重要的数学概念。

椭圆的方程给出了椭圆曲线的几何形状，而椭圆的性质则帮助我们理解椭圆的特点和应用。