概率论习题集(有答案)
概率习题集详细答案
第一章 随机事件及其概率 习题1-1 随机事件及其运算1.写出下列随机试验的样本空间.(1)同时抛两枚硬币，观察正面朝上的次数； 解 {}10,1,2Ω=(2)同时掷两枚骰子，观察两枚骰子出现的点数之和； 解 {}22,3,,12Ω=(3)生产产品直到得到10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 {}310,11,Ω=(4)在某十字路口上，一小时内通过的机动车辆数. 解 {}40,1,2,Ω=2.设,,A B C 为3个随机事件，试用,,A B C 的运算表示下列事件. (1) ,A B 都发生而C 不发生；ABC(2),A B 至少有一个发生而C 不发生；()A B C (3),,A B C 都发生或都不发生； ()()ABC ABC (4) ,,A B C 恰有两个发生； ABC ABC ABC (5) ,,A B C 至少有两个发生. AB AC BC 3.请用语言描述下列事件的对立事件： (1)A 表示“抛两枚硬币，都出现正面”； 解 A 表示“抛两枚硬币，至少出现一个反面”； (2)B 表示“生产4个零件，至少有一个合格”； 解 B 表示“生产4个零件，全都不合格”.4.从一批灯泡中任取4个进行检验，设i A 表示“第i 个灯泡的使用寿命在800小时（含800小时）以上”.试用语言描述下列随机事件： (1) 1234A A A A ； (2) 1234A A A A ；解 (1)表示4个灯泡中至少有一个灯泡的使用寿命在800小时以上.（2）表示第1、第4两个灯泡的使用寿命在800小时以上，而第2、第4两个灯泡的使用寿命不足800小时.5设Ω为随机试验的样本空间，,A B 为随机事件，且{}05x x Ω=≤≤，{}12A x x =≤≤，{}02B x x =≤≤.试求：,,,A B AB B A A - .解 利用集合的运算性质可得{}02A B x x =≤≤ ； {}12AB x x =≤≤{}01B A x x -=≤<； {}0125A x x x =≤<<≤或习题1-2 随机事件的频率与概率古典概型与几何概型1.设()()()0.7,0.6,0.3P A P B P A B ==-=，求()()(),,P AB P A B P AB . 解 由于()()()0.3P A B P A P AB -=-=，而()0.7P A =，则()0.4P AB =所以 ()()10.6P AB P AB =-= ； ()()()()0.9P A B P A P B P AB =+-=()()()10.1P AB P A B P A B ==-=2.设事件,A B 及和事件A B 的概率分别为0.4,0.3和0.6，试求()P AB 解()()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B P A B =-=-+-⎡⎤⎣⎦()()0.60.30.3P A B P B =-=-=3.已知()()()()()()11,,14,112,036P A P B P C P AC P BC P AB ======，求:(1),,A B C 至少有一个发生的概率；(2),,A B C 全不发生的概率.解 因为AB ABC ⊂，所以有()()0=≤AB P ABC P ， 所以,,A B C 至少有一个发生的概率()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+12701211210416131=+---++=. ,,A B C 全不发生的概率()()()75111212P ABC P A B C P A B C ==-=-=4.将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率：(1)A 表示“任取3个盒子中各有一个球”； (2)B 表示“任取1个盒子中有3个球”.解 (1)基本事件总数3464n ==,A 包含的基本事件数343!24A r C =⋅=，()243648A r P A n ===. (2) 基本事件总数3464n ==,B 包含的基本事件数144B r C ==，()416416B r P B n===5.从0,1,…,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：(1)3个数字中不含0与5的概率；(2)3个数字中不含0或5的概率.解 设A 表示“3个数字中不含0与5”; B 表示“3个数字中不含0或5”.基本事件总数310n C =,其中A 包含的基本事件数38A r C =,则()38310715C P A C ==;B 包含的基本事件数333998B r C C C =+-,()339831021415C C P A C -==6.袋中有7个球，其中红球5个，白球2个，从袋中取球两次，每次随机地取一个球，取后不放回，求：(1)第一次取到白球、第二次取到红球的概率； (2)两次取得一红球一白球的概率.解 设A 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”， 设B 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”.(1)基本事件总数7642n =⨯=,A 包含的基本事件数2510A r =⨯=， 于是 ()1054221A r P A n ===. (2)基本事件总数7642n =⨯=,“两次取得一红球一白球”有两种情形：其一，第一次取得红球第二次取得白球，有52⨯种取法；其二，第一次取得白球，第二次 取得红球，有25⨯种取法，于是B 包含的基本事件数522520B r =⨯+⨯=， 故 ()20104221B r P B n === 7.10把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，求能打开门的概率.解 设A 表示“任取2把能打开门”，基本事件总数210n C =，A 包含的基本的事件数为112373A r C C C =+，则()122373210815A C C C r P A n C +===习题1-3 条件概率1.设()0.5P A =，()0.3P AB =，求()P B A .解 由()()10.5P A P A =-=，()()()0.3P AB P A P AB =-=，得()0.2P AB =，则()()()0.20.40.5P AB P B A P A ===2.设()13P A =，()14P B A =，()13P A B =，求()()()()()()()()B A P B P AB P AB P 43,2,1. 解 ()()()1113412P AB P A P B A ==⨯=，()()121112111=-=-=AB P AB P由 ()()()13P AB P A B P B ==，得()14P B =，则()()()()()()()()[]()3241112141311111=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-=--+-=-⋃==B P AB P B P A P B P B A P B P B A P B A P 3.100件同类型产品中有85件一等品，10件二等品和5件次品，求从中任取一件非次品的条件下，产品为一等品的概率.解 设A 表示“任取一件为非次品”，B 表示“任取一件为一等品” 由题意得：()()0.95,0.85,P A P B B A ==⊂， ()()()()()0.85170.9519P AB P B P B A P A P A ====4.用3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95，求全部产品中的合格率.解 设i A 表示“从全部产品中任取一件为第台i 机床生产”（1,2,3i =），B 表示“从全部产品中任取一件是合格品”，则()()()1230.5,0.3,0.2P A P A P A ===，()10.94P B A =，()20.9P B A =，()30.95P B A =，由全概率公式得，()()()30.50.940.30.90.20.950.93i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑5.某工厂中，三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%，它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的次品，将这些产品混在一起，现随机地取一产品，问它是次品的概率是多少？又问这一次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大？解设1A 表示“任取一件产品为第i 台机器生产”（1,2,3i =），B 表示“任取一件产品，它是次品”，则()()()12325%,35%,40%P A P A P A ===，()15%P B A =，()24%P B A =，()32%P B A =，由全概率公式得()()()325%5%35%4%40%2%0.0345i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑再由贝叶斯公式得 ()()()()11125%5%0.36230.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈()()()()22235%4%0.40580.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈，()()()()33340%2%0.23190.0345P A P B A P A B p B ⨯==≈所以这一次品是由第二台机器生产的概率最大.习题1-4 事件的独立性 1.设()()0.4,0.7P A P A B == ，在下列条件下分别求()P B . (1)A 与B 互不相容；(2)A 与B 相互独立；(3)A B ⊂. 解 (1)由于A 与B 互不相容，所以()()()P A B P A P B =+ ， 则()()()0.3P B P A B P A =-= .（2）设A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()()0.7P A P B P A P B =+-=，又()0.4P A =，即得()0.5P B =.（3）由于A B ⊂， A B B = ，即()()0.7P B P A B ==2.甲、乙两人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，求目标被击中的概率.若已知目标被击中，求它是甲射中的概率.解 设1A 表示“甲命中目标”，2A 表示“乙命中目标”，B 表示“目标被命中”，所求概率为()P B 和()1P A B .已知()()120.6,0.7P A P A ==，1A 与2A 相互独立，12B A A = ，则()()()()()()2212120.60.70.420.88P B P A A P A P A P A P A ==+-=+-= .()()()()()111150.681822P A B P A P A B P B P B ===≈ 3.设事件A 与B 相互独立，且事件A 发生B 不发生与事件B 发生A 不发生的概率都为41， 求()A P解 由题意，()()B A P B A P = 因为A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B 也相互独立()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()B P A P B P A P B P B P A P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P =⇒-=--=-==11()()()()()()()()()21412=⇒=-=-==A P A P A P B P A P A P B P A P B A P 4.有一题，甲、乙、丙三人独立解出的概率分别为111,,534，问解出此题的概率是多少？解 设1A 表示“甲独立解出此题”，2A 表示“乙独立解出此题”，3A 表示“丙独立解出此题”，B 表示“此题被解出”. ()()()()12312312311P B P A A A P A A A P A A A ==-=-()()()1234233115345P A P A P A =-=-⋅⋅=.5.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，求：（1）第k 次才成功的概率；（2）n次试验中恰有k 次成功的概率.（1）{}()()()()()()11211211k k k k k P k P A A A A P A P A P A P A p p ---===- 第次才成功. (2) {}()()1n kk k n n P n k P k C p p -==-次试验恰有次成功习题1-5 第一章习题课1. 设41)(=A P ，52)(=B P ，在下列情况下，求概率)(B A P . （1）A 、B 互不相容 （2）B A ⊂ （3）A 与B 独立 （4）81)(=AB P 解：由分析知（1）52)()(==B P B A P (2) 2034152)()()(=-=-=A P B P B A P(3)1035243)()()(=⨯==B P A P B A P (4) 40118152)()()(=-=-=AB P B P B A P2.设()()P AB P AB =，且()P A p =，求()P B .解 ()()()()()()11P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=-+-⎡⎤⎣⎦ 又因为()()P AB P AB =，所以有()()11P B P A p =-=- 3.从4双不同的手套中任取4只，求下列事件的概率，(1)4只没有成对； (2)4只恰好为2双.解 从4双(8只)中任取4只,共有4870n C ==种,设A 表示“取到的4只没有成对”,则B 表示“取到的4只恰好为2双”,则A 的基本事件数为1111222216C C C C ⋅⋅⋅=,B 的基本事件数为624=C()11112222481687035C C C C P A C ===. ()3534824==C C B P4.有10件产品，其中8件正品，2件次品，现从中无放回地任取两次，求在第二次取得是正品条件下，第一次取得也是正品的概率.解：用A 表示“第一次取得是正品”，A 表示“第一次取到是次品”，用B 表示“第二次取得正品”所求问题为()B A P由题意知 ()()()98,97,541918191711018======C C A B P C C A B P C C A P由全概率公式()()()()()()()5498519754=⨯+⨯=+=+=B A P A P B A P A P B A P AB P B P由贝叶斯公式()()()()()()97549754=⨯===B P A B P A P B P AB P B A P5.有两批相同的产品，第一批产品共14件，其中2件次品，装在第一个箱中，第二批产品共有10件，其中1件次品，装在第二个箱子，从第一个箱中任取一件放入第二箱中，求再 从第二箱中任取一件为次品的概率.解 设1A 表示“从第一箱放入第二箱是次品”，2A 表示“从第一箱放入第二箱是正品”B 表示“从第二箱任取一件为次品”，由题意知：()()76,711141122114121====C C A P C C A P()(),111,112111112111121====C C A B P C C A B P由全概率公式()()()()()77811176112712211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P6.从学校乘汽车到火车站的途中有5个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，求从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯的概率. 解：在各交通岗遇到红灯是独立的，故可以看成5重贝努里试验，4.0=p 用A 表示“从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯”()()()3456.04.014.03225=-=C A P第二章 随机变量及其分布 习题2-1 随机变量及其分布函数 离散型随机变量的概率分布1. 已知随机变量X 只能取-1, 0, 1, 2这四个值，相应的概率依次为1357,,,24816c c c c ，确定常数c ，解由归1167854321=+++c c c c ，1637=c . 2.已知离散型随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤≤≤<≤--<=3,131,8.010,6.001,3.01,0x x x x x x F ，求X 的概率分布.解 ()x F 的跳跃点分别为3,1,0,1-，对应的跳跃高度分别为2.0,2.0,3.0,3.0 故X 的概率分布为10130.30.30.20.2X p -3．已知随机变量X 的概率分布为且()432=≥X P ，求未知参数θ及X 的分布函数. 解：由归一性知，()(),111222=-+-+θθθθ且()012≥-θθ{}{}{}()()431123222=-+-==+==≥θθθX P X P X P ， 解得 21,21-==θθ（舍去) X 的分布函为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=3,132,4321,411,0x x x x x F 4. 5件同类型的产品中有2件次品，3件正品，有放回的每次取一个，共取2次，求2次中取到次品的次数X 的概率分布. 解：X 的所有可能取值为2,1,0339{0}5525P X ==⨯=，233212{1}555525P X ==⨯+⨯=，224{2}5525P X ==⨯=，列表如下，0129124252525PX()()22123211X P --θθθθ5. 某电话交换台的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数超过10次的概率.解 设X 表示每分钟收到的呼唤次数，则~(4)X P ，（1）448944{8}{8}{9}0.298!!∞∞--====≥-≥=-=∑∑k k k k P X P X P X e e k k （2）4114{10}0.0028!k k P X e k ∞-=>==∑ 习题2-2 连续型随机变量及其概率分布1．设随机变量X 的概率密度为cos ,,()20,k x x f x π⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它.求（1）系数k ；（2）{0}P x π<<；（3）X 的分布函数()F x .解（1）由()cos 1ππ+∞2-∞-2==⎰⎰f x dx k x dx ，得12k =； （2）2011{0}cos 22P x x dx ππ<<==⎰； （3）0,,21()=(sin 1),,2221,.2x F x x x x ππππ⎧<⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩2. 设随机变量X 的分布函数为0,0,(),01,1, 1.x F x k x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求（1）系数k ；（2）{00.25}P X ≤≤；（3）X 的概率密度()f x .解 （1）连续型随机变量的分布函数是处处连续的，(),lim lim 11k x k x F x x ==++→→(),1lim 1=-→x F x 即()()1lim lim 11===-+→→k x F x F x x ；（2）()()1{00.25}0.2500.2502P X F F ≤≤=-=-=；（3）()()1,01,()20,x f x F x x⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其它.3. 设随机变量~[2,5]X U ，求（1）{23}P X <≤；（2）{4}P X ≥；（3）{13}P X <≤.解 （1）321{23}523P X -<≤==-；（2）541{4}523P X -≥==-；（3）321{13}523P X -<≤==-. 4. 设~(1,16)X N -，求（1）{ 2.44}P X <；（2）{ 1.5}P X >-；（3）{4}P X <； （4）{52}P X -<<.（1） 2.441{ 2.44}()(0.86)0.80514P X +<=Φ=Φ=； （2）()1.51{ 1.5}1( 1.5)1()10.125(0.125)0.54784P X P X -+>-=-≤-=-Φ=-Φ-=Φ=；（3）{4}{44}(1.25)(0.75)(1.25)(0.75)10.6678P X P X <=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=； （4）2151{52}(0.75)(1)0.614744P X +-+⎛⎫⎛⎫-<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：min ）具有概率密度51,0,()50,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开.（1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率；（2）若该顾客一个月内要去银行5次，用Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，求{1}P Y ≥.解（1）251{10}510x p P X e dx e -+∞-=>==⎰； （2）2~(5,)Y B e -，20255{1}1{0}1()(1)0.5167P Y Y C e e --≥=-==--≈.习题2-3 随机变量函数的分布1.设随机变量X 的分布律为210111116434X P--求 2YX =+及21Z X =-的分布律.012311116434Y P；301111623Z P-2. 设随机变量X 的分布律为02111244X Pππ求 cos Y X =的分布律.101111244Y P-3. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，求3Y X =的概率密度.解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≥=-0,00,22x x e x f x ，3Y X =在[)+∞,0内单调函数，反函数为()3y y h =在[)+∞,0内单调函数，导数()3231-='y y h ，值域为[)+∞,0()()132232,0,0,()30,00,0.y X Y f h y h y y y e y f y y y --⎧⎧'⋅≥⎡⎤≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨<⎪⎪⎩<⎩4. 设随机变量~[0,1]X U ，求XY e =及ln Z X =-的概率密度.解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=others x x f ,010,1x e y =在[]1,0是单调函数，反函数为()y y h ln =在[]e ,1是单调函数，导数为()yy h 1='，值域为[]e ,1，则Y 的密度函数为()()1,1,,1()0,0,.X Y y e f h y h y y e y f y ⎧⎧'≤≤⋅≤≤⎡⎤⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他其它xz ln -=在()1,0是单调函数，反函数为()z e z h -=在[)+∞,0是单调函数，导数为()z e z h --='，()(),0,0,,0,()0,0.0,00,0.z z X Z f h z h z z e z e z f z z --⎧⎧'≥-≥⎡⎤⎧≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎨<<<⎪⎩⎪⎩⎩z z =5. 设随机变量()~0,1X N ，求Y X =的概率密度. 解：X 的概率密度函数为()()+∞<<∞-=-x e x f x X 2221π,0≥=X Y先求Y 的分布函数()y F Y ，当0≤y 时，(){}0=≤=y Y P y F Y ；当0>y 时，(){}{}{}()()y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=， 于是Y X =的概率密度为()()()()222222111,0,0()220,00,02,0,0,0.y y X X Y Y y f y f y y e e y f y F y y y e y y ---⎧--⋅->⎧+>⎪⎪'===⎨⎨≤⎪⎩⎪≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩πππ习题2-4 第二章习题课1.选择题（1）设()x f 1为()1,0N 的概率密度，()x f 2为[]3,1-U 的概率密度，若()()()⎩⎨⎧>≤=0,0,21x x bf x x af x f 为概率密度()0,0>>b a ，则b a ,满足___. （A ） (A) 432=+b a (B) 324a b += (C) 1=+b a (D) 2=+b a（2）设随机变量()~2,X B p ，随机变量()p B Y ,3~，若()951=≥X P ，则()=≥1Y P .（A ） (A)1927 (B) 89 (C) 1627(D)19（3）设随机变量~[2,4]X U ，则{34}___P X <<=.（A ）(A) {2.25 3.25}P X << (B) {1.5 2.5}P X << (C) {3.5 4.5}P X << (D) {4.5 5.5}P X <<（4）设随机变量X 的概率密度为2(1)81()22x f x e π+-=，则~___X .（B ）(A) (1,2)N - (B) (1,4)N - (C) (1,8)N - (D)(1,16)N -2.填空题 2λ=（1）设X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且1{0}{2}2P X P X ===，则__λ=. 解：{} ,2,1,0,!===-k e k k X P k λλ1{0}{2}2P X P X ===2281!221!0220=⇒=⇒⨯=⇒--λλλλλλe e（2）设随机变量X 的概率密度为2,10,()0,10.ax f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 则常数__.a =10a =解：由归一性，()11010lim 10102==⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+∞→+∞∞+∞+∞-⎰⎰a a x a x a dx x a dx x f x 10=a（3）设随机变量~(2,4)X N ，则{2}___.P X ≤=0.5 解：{}()5.00222222=Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤X P X P（4）设随机变量X 的分布函数为()x F ，则随机变量13+=X Y 的分布函数()=y G . 解：(){}{}⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤=≤+=≤=313113y F y X P y X P y Y P y G 3.袋中有2个白球3个黑球，现从袋中随机地抽取2个球，以X 表示取到的白球个数，求X 的分布律.解：X的所有取值为2,1,0{}{}{}1013,1061,103025222513122523=========C C X P C C C X P C C X P012361101010XP4. 设连续型随机变量X 的分布函数为(1),0,(),01,1, 1.x x Ae x F x B x Ae x --⎧<⎪=≤<⎨⎪-≥⎩（习题B 第十题）求：（1）,A B 的值；（2）X 的概率密度；（3）1{}3P X >.解 （1）由于连续型随机变量的分布函数()F x 为连续函数，因此考查()F x 在0,1x x ==两点的连续性，有0lim ()lim xx x F x Ae A --→→==，00lim ()lim x x F x B B ++→→==，得A B =； 又11lim ()lim x x F x B B --→→==,(1)11lim ()lim(1)1x x x F x Ae A ++--→→=-=-,得1B A =-；则12A B ==于是(1)1,0,21(),01,211, 1.2xx e x F x x ex --⎧<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩（2）(1)1,0,2()()0,01,1, 1.2xx e x f x F x x e x --⎧<⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪≥⎩ （3）11111{}1{}1()133322P X P X F >=-≤=-=-= 或(1)113111{}()322x P X f x dx e dx +∞+∞-->===⎰⎰. 5. 设随机变量[]6,0~U X ，求方程04522=-++X Xt t 有实根的概率.解：X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=othersx x f ,060,61使方程04522=-++X Xt t 有实根，0≥∆()()()()(),0414454454222≥--=+-=--=∆X X X X X X即4≥X 或1≤X方程有实根的概率为{}{}216161141064=+=≤+≥⎰⎰dx dx X P X P第三章 多维随机变量及其分布 习题3-1 二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量1. 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中去两次，每次取一球以Y X ,分别表示从袋中两次取球所得的红、黑球个数，(1)求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律；(2)求{}1,2≤≤Y X P .解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1,2{}{}{}9162622,0,31263621,0,4163630,0=⨯====⨯⨯====⨯===Y X P Y X P Y x P{}{}{}02,1,91262611,1,61263610,1====⨯⨯====⨯⨯===Y X P Y X P Y X P .{}{}{}02,2,01,2,36161610,2=======⨯===Y X P Y X P Y X P联合分布律为{}{}{}{}{}{}{}984161361319100,00,10,21,01,11,21,2=+++++===+==+==+==+==+===≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X PXX012111046361110391292. 2. 盒中有2个红球，1个白球和2个黑球，从中取2个，设,X Y 分别为取出的红球数和白球数，求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及边缘分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1{}{}{},520,1,511,0,1011,02512122512112522============C C C Y X P C C C Y X P C C Y X P{}{}{}01,2,1010,2,511,12512251112===========Y X P C C Y X P C C C Y X P0131101051032115551120101032155i jp p ⋅⋅3. 已知{}{}2121====X P X P ，当事件{}k X =发生时()2,1=k ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=31,~k B k X Y ，求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律.解 当1=k 时，{}{}31323111,3232311001112001=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P则有{}{}{}3132211010,1=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}6131211111,1=⨯=======X Y P X P Y X P当2=k 时{}{}94323121,9432312011122002=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P{}913122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P 则有{}{}{}9294212020,2=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}9294212121,2=⨯=======X Y P X P Y X P{}{}{}18191212222,2=⨯=======X Y P X P Y X PYX()Y X ,的联合分布律为18192922061311210习题3-2 二维连续型随机变量的分布1. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为()()⎩⎨⎧≤≤≤≤--=其它,042,20,6,y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P ；（3）求{4}P X Y +≤；(4)求{}5.1≤X P . 解：(1)由归一性()()dx y xy y k dxdy y x k dx dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--==∞+∞-∞+∞-242242202166,1 ()[]81862620220=⇒=-=-=⎰k k x x k dx x k （2）{}()()836816813.1103213=--=--=<<⎰⎰⎰⎰∞-∞-dxdy y x dxdy y x Y X P （3）{}()()⎰⎰⎰⎰=--=--=≤∞-+∞∞-5.10425.132276816815.1dy y x dx dxdy y x X P2. 设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由2,1y x x ==及0y =所围成的区域，求：（1）(,)X Y 的联合概率密度；（2）1{0,01}2P X Y <<<<. 解 （1）1,01,02(,)0,.x y x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它；（2）1114{0,01}214P X Y <<<<==.3. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为21,01,02,(,)30,x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求：（1）关于X 和Y 的边缘概率密度；（2）{1}P X Y +≥.XY解 当01x ≤≤时，222012()(,)()233X f x f x y dy x xy dy x x +∞-∞==+=+⎰⎰；当0x <或1x >时，()(,)00X f x f x y dy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，则 222,01,()30X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.， 同理，11,02,()360+Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它.（2）12201165{1}()372xP X Y dx x xy dy -+≥=+=⎰⎰. 习题3-3 随机变量的独立性1. 设随机变量(,)X Y 的联合分布律为23111191821139αβ问：当,αβ取何值时，X 和Y 相互独立.解 若X 和Y 相互独立，则 {1,3}{1}{3}P X Y P X P Y ====⋅=，即 11111=()()18918189α+++，16=α.由概率的规范性，得 1111191839+++++=αβ，则29=β.2. 已知二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为已知随机事件{}0=X 与{}1=+Y X 相互独立，求常数b a ,. 解：由归一性得 5.011.04.0=+⇒=+++b a b a （1）{}{}{}a Y X P Y X P X P +===+====4.01,00,00， {}{}{},0,11,01b a Y X P Y X P Y X P +===+====+ {}{}{}{},1,010a y X P Y X X P =====+⋂=X Y XY0100.410.1a b根据题意得{}{}{}{}{}1010=+⨯===+⋂=Y X P X P Y X X P 即 ()()b a a a +⨯+=4.0 （2） 由(1),(2)两式解得 1.0,4.0==b a 3. 二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为8,01,(,)0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其它.判断X 和Y 是否相互独立. 解 当01x <<时，13()(,)844X xf x f x y dy xydy x x +∞-∞===-⎰⎰，则 344,01,()0.X x x x f x ⎧-<<=⎨⎩，其它，当01y <<时，20()(,)84yY f y f x y dx xydx y +∞-∞===⎰⎰，则 24,01,()0,.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它，(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅ ，∴X 和Y 不相互独立4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.求{1}P X Y +≤.解 由题意得()Y X ,的联合密度函为()()()⎩⎨⎧≤≤==其他,010,4,x xy y f x f y x f Y X11011{1}(,)46xx y P XY f x y dxdy dx xydy -+≤+≤===⎰⎰⎰⎰.习题3-4 两个随机变量的函数的分布1. 设随机变量X 和Y 相互独立，分布律分别为010.60.4X P1010.20.30.5Y P-求1Z X Y =+，2Z XY =和3min(,)Z X Y =的分布律.Y解 (,)X Y 的边缘分布和联合分布表为10100.120.180.30.610.080.120.20.40.20.30.51-，从而 110120.120.260.420.2Z P-21010.080.720.2Z P - 31010.20.60.2Z P-2. 二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为0100.10.310.30.3求 X Y +和XY 的分布律.解0120.10.60.3X YP+ 010.70.3XY P3. 设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，求1{}2P X Y +≤.解 因为X 和Y 相互独立，则()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧≤≤≤≤==其他,000,10,1,y x y f x f y x f Y X 111222000111{}1228x P X Y dx dy x dx -⎛⎫+≤==-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它.求{1}P X Y +≤.解：X 和Y 相互独立，则Y X +也服从正态分布，则()34,1~N Y X Z +={}()2101341134111=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-+-=≥+Y X P Y X P XYX习题3-5 第三章习题课1.填空题（1）设~(1,2),~(1,3)X N Y N -，且X 与Y 相互独立，则2~___X Y +.（2）已知二维随机变量(,)X Y 服从区域:01,02G x y ≤≤≤≤上的均匀分布，则{1,P X ≤1}___Y ≤=.122. 设(,)X Y 的概率密度为1124,0,0,(,)230,.xy x y f x y ⎧≤≤≥≤⎪=⎨⎪⎩其它 判断X 与Y 是否相互独立？解 当102x ≤≤时，1123300()24124X f x xy dy xy x ===⎰当0x <或12x >时，()0X f x = 则X 的概率密度为 14,0,()20,.X x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它；当103y ≤≤时，1122200()24126Y f y xy dx yxy ===⎰当0y <或13y >时，()0Y f y =， 则Y 的概率密度为 16,0,()30,.Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它显然，(,)()()X Y f x y f x f y =，X 与Y 相互独立.3. 盒中有2个红球3个白球，从中每次取一球，连续取两次，有放回，记,X Y 分别表示第一次与第二次取出的红球个数，求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律. 解 339{0,0}5525P X Y ===⋅=，326{0,1}5525P X Y ===⋅=，236{1,0}5525P X Y ===⋅=，224{1,1}5525P X Y ===⋅=， 则(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律为196302525564212525532155i jp p ⋅⋅4. 设(,)X Y 的分布律为35111155131510q p-1- 问,p q 为何值时X 与Y 相互独立？解：要使X 与Y 相互独立，则需{}{}{}515,1=-===-=Y P X P Y X P⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒103515115151q 152=⇒q ，{}{}{}515,1=====Y P X P Y X P 1011035110351103=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒p p 容易验证当152.101==q p 时，对Y X ,的所有取值都有..j i ij p p p ⋅=成立。
概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。
概率论·课后答案(绝对详解)
i习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。
3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。
答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。
,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。
概率论_习题集(含答案)
《概率论》课程习题集一、计算题1. 10只产品中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只是正品，一只是次品；（3）第二次取出的是次品。
2. 一个学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为.2/p 求 （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率； （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率3. 用某种方法普查肝癌，设：A ={ 检验反映呈阳性 }，C ={ 被检查者确实患有肝癌 }，已知()()5.C A P ,.C A P 90950==()5.C P 000=且现有一人用此法检验呈阳性，求此人真正患有肝癌的概率．4. 两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是0.03, 第二台出现次品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台的多一倍。
（1）求随意取出的零件是合格品的概率（2）如果随意取出的零件经检验是次品，求它是由第二台机床加工的概率5. 某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,现逐把试开,求∶(1) 恰好第三次打开房门锁的概率(2) 三次内打开房门锁的概率(3) 如5把钥匙内有2把是开房门的,三次内打开房门锁的概率6. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为()()⎩⎨⎧<<-=其它020242x x x c x f求：（1）；常数c （2）{}．1>X P7. 设X ～⎩⎨⎧≤≤=其他，02,)(x o cx x f 求（1）常数c ；（2）分布函数)(x F ；8. 一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从参数为σμ,160= 的正态分布。
若要求,80.0)200120(≥≤<X P 允许σ最大为多少？9. 证明：指数分布有无记忆性（或称无后效性），即证：如果)(~λE X ，则有)()|(t X P s X t s X P >=>+>，0,0≥≥t s10. 对球的直径作测量，设测量值均匀地分布在],[b a 内，求球的体积的概率密度.11. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021),11(2)(2x xx f ,求X 的分布函数。
概率论试题及答案
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论习题集答案
概率论习题集答案概率论是数学的一个分支，它研究随机事件的规律性。
在概率论习题集中，我们通常会解决一些与随机变量、概率分布、期望值、方差等概念相关的问题。
以下是一些概率论习题的答案示例：1. 随机变量的期望值：如果X是一个离散随机变量，其概率质量函数为P(X=x_i)=p_i，那么X的期望值E(X)可以通过以下公式计算：\[ E(X) = \sum_{i} x_i p_i \]2. 二项分布的概率：设随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n, p)，那么X等于k的概率可以通过以下公式计算：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]其中，\(\binom{n}{k}\) 是组合数，表示从n个不同元素中选取k 个元素的组合方式数。
3. 正态分布的性质：如果随机变量X服从标准正态分布，即X~N(0,1)，那么X的取值在-1到1之间的概率可以通过标准正态分布表来查找。
4. 联合分布函数：如果有两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数P(X≤x, Y≤y)可以通过它们的边缘分布和条件分布来计算。
5. 大数定律：根据大数定律，随着试验次数的增加，样本均值会趋近于总体均值。
6. 中心极限定理：中心极限定理指出，即使原始随机变量的分布不是正态分布，它们的和或平均值的分布随着样本量的增加会趋近于正态分布。
7. 协方差与相关系数：两个随机变量X和Y的协方差度量了它们之间线性关系的强度和方向，计算公式为：\[ \text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] \] 相关系数是协方差的标准化形式，计算公式为：\[ \rho_{X, Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}} \]8. 泊松分布的应用：泊松分布常用于描述在固定时间或空间内随机发生的事件数量，其概率质量函数为：\[ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 其中，λ是单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
(完整word版)概率论与数理统计习题集及答案(word文档良心出品)
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论试题(附含答案)详细
事件表达式A B 的意思是事件A 与事件B 至少有一件发生假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B 是不可能事件. 这是因为对立事件的积事件是不可能事件。
已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从自由度为2的χ2分布. 因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。
已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则X +Y ~N (0,5). 因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。
样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有1233X X X ++是μ的无偏估计. 因为样本均值是总体期望的无偏估计.随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的数学期望E (X )的值为3.5. 选C ，因为在(a ,b )区间上的均匀分布的数学期望为(a +b )/2。
已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (A B )= 0.18. 由乘法公式P (A B )=P (A )P (B |A )=0.6⨯0.3=0.18。
三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为0.784. 是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。
一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为0.25. 由古典概型计算得所求概率为31053210.254C ⨯⨯==。
已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=0.875，因P {X ≤1.5} 1.5()d 0.875f x x ==⎰假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (X +Y )= 填 4.5，因E (X )=5⨯0.5=2.5, E (Y )=2, E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2.5+2=4.5一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝0.4，因为总体X 的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。
高等数学(概率论)习题及解答
高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。
1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。
2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。
现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。
求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。
2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。
根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。
以上是高等数学（概率论）习题及解答的部分内容，如有更多问题或需要补充，请随时告知。
概率论复习题 (有答案)
选择题1.设事件A 和B 满足A B ⊂，()0P B >，则下列选项一定成立的是 ( B ) (A) ()(|)P A P A B < (B) ()(|)P A P A B ≤ (C) ()(|)P A P A B > (D) ()(|)P A P A B ≥2.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 ( B ) (A) 50 (B) 100 (C) 120 (D) 1503.随机变量X 的分布函数为()F x ，则31Y X =+的分布函数()G y =（ A ）(A) 11()33F y - (B) (31)F y + (C) 3()1F y + (D) 11()33F y - 4.设连续型随机变量X 的密度函数有()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则下列成立的有 ( C )(A) ()()F a F a -= (B) 1()()2F a F a -=(C) ()1()F a F a -=- (D) 1()()2F a F a -=- 5.设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2y x =与y x =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 A .(A)6,(,)(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它 (B)1/6,(,)(,)0,x y Gf x y ∈⎧=⎨⎩其它(C)2,(,)(,)0,x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其它 (D)1/2,(,)(,)0,x y Gf x y ∈⎧=⎨⎩其它6.设随机变量X 服从正态分布()211,N μσ,随机变量Y 服从正态分布()222,N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<, 则必有 ( C )(A)12σσ< (B) 12σσ> (C) 12μμ< (D) 12μμ>7.设随机变量12,,,n X X X 独立同分布，且方差为20σ>.令11ni i Y X n ==∑，则. ( A ) (A) 21(,)/Cov X Y n σ= (B) 21(,)Cov X Y σ=(C) 21()(2)/D X Y n n σ+=+ (D) 21()(1)/D X Y n n σ-=+8.设随机变量X 服从正态分布()211,N μσ,随机变量Y 服从正态分布()222,N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<, 则必有 ( B )(A)12σσ> (B) 12σσ< (C) 12μμ> (D) 12μμ<9设随机变量n X X X 12,,,,相互独立且同服从参数为λ的指数分布,其中()x Φ是标准正态分布的分布函数，则 AA) lim ()ni n X n P x x λ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎭∑B) lim ()ni n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑C)lim ()n i n X P x x λ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎭∑ D) 1lim ()n i i n X P x x n λλ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑ 11．已知()0.5,()0.4,()0.6,P A P B P A B ==⋃=则(|)P A B = A(A) 0.75 (B) 0.6 (C) 0.45 (D) 0.2 12、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(),01,02(,)0,a x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩其他，则常数a = D (A) 3 (B) 2 (C) 12 (D) 1313、已知(,)XB n p ，且8, 4.8EX DX ==，则n = B(A) 10 (B) 20 (C) 15 (D) 25 14、离散型随机变量X 的分布函数()F x 一定是 D(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 周期函数 (D) 有界函数15、随机变量X 的分布函数为40,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则EX = A(A)144x dx ⎰(B)133x dx ⎰(C)134x dx ⎰(D)150x dx ⎰16、设~(2,4)X N ，且~(0,1)aX b N +，则 C(A) 2,2a b ==- (B) 2,1a b =-=- (C) 0.5,1a b ==- (D) 0.5,1a b ==17、设,X Y 为两个随机变量，1,4,cov(,)1DX DY X Y ===，令122,2Z X Y Z X Y =-=-，则1Z 与2Z 的相关系数为 D(A) 0 (B) 1(C)(D)18、设随机变量~(0,1)X N ，21Y X =+，则~Y A(A) (1,4)N (B) (0,1)N (C) (1,1)N (D) (1,2)N19、．以事件A 表示“甲同学考试合格，乙同学考试不合格”，则事件 A 为 D (A) 甲、乙两同学考试均合格； (B) 甲同学考试不合格，乙同学考试合格； (C) 甲同学考试合格； (D) 甲同学考试不合格或乙同学考试合格. 20设随机变量X 和Y 的关系为32011Y X =+，若3DX =，则DY = A (A) 27 (B) 9 (C) 2020 (D) 2038 21．若事件,,A B C满足()P C =A ,B ,C 不满足 A(A) A B C ==; (B) A B C ≠≠;(C) A B ==Ω,C =∅; (D) ,()0A B P C ==Ω=. 22．设随机变量()()22,4,,5XN YN μμ,{}14P X μ=≤-，{}25P Y μ=≥+，则1P 与2P 的关系是 B(A) 12P P > (B) 12P P = (C) 12P P < (D) 与μ相关23．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙中产品滞销”则事件A 为（ D ）.A 甲种产品滞销，乙中产品畅销 .B 甲、乙两种产品均畅销.C 甲种产品滞销 .D 甲种产品滞销或乙种产品畅销24. n 张奖券中有m 张可以中奖，现有k 个人每人购买一张，其中至少有一个人中奖的概率为（ C ）.A k n k mn m C C C 11-- .B k n C m .C k n k m n C C --1 .D ∑=ki kni m C C 1 25、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量Xe Y 21--= A.A 服从)1,0(上的均匀分布 .B 仍服从指数分布.C 服从正态分布 .D 服从参数为2的泊松分布 26、设随机变量),(Y X 的概率分布为已知随机事件)0(=X 与)1(=+Y X 相互独立，则（ C ） .A 3.0,2.0==b a .B 1.0,4.0==b a .C 2.0,3.0==b a .D 4.0,1.0==b a27、设)2.0,10(~B X ，)2.0,20(~B Y 且Y X ,相互独立，则~Y X +（ C ） .A )2.0,10(B .B )4.0,30(B .C )2.0,30(B .D )4.0,10(B28、已知随机变量)4,9(~N X ，则下列随机变量中服从标准正态分布的有（B ） .A 49-X .B 29-X .C 43-X .D 23-X 29、设Y X ,为任意随机变量，若)()()(Y E X E XY E =，则下述结论中成立的是（ A ） .A )()()(Y D X D Y X D +=+ .B )()()(Y D X D XY D = .C Y X ,相互独立 .D Y X ,不独立判断题1．二维正态分布的边缘分布是正态分布； T2．设有分布律：{}1(1)2/1/2(1,2,)n n np X n n +=-==，则X 的期望存在； F3．设 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的次数为m , 则 4n 次独立重复试验中，A 出现的次数为4m ； F4．若AB =∅，则事件,A B 一定相互独立； F5．X 与Y 相互独立且都服从指数分布()E λ，则~(2)X Y E λ+。
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题集及答案概率论与数理统计习题集及答案《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= ____________ ；(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数样本空间是：S= _______________________；2.(1)丢一颗骰子.A:出现奇数点，则A_______ ; B: 数点大于2,贝U B=(2) 一枚硬币连丢2次，A :第一次出现正面，贝y A=______________ ；B:两次出现同一面，贝I」= ________ ; C : 至少有一次出现正面，则C= .§ 1 .2随机事件的运算1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A与B都发生,而C不发生表示为：_____ 」(3)A与B都不发生，而C发生表示为： ___ J4)A 、B、C中最多二个发生表示为：.(5)A、B、C中至少二个发生表示为： _______ * (6)A. B. C中不多于一个发生表示为： _______ ?贝［|2* T§iS^{xiO<x<x</x(1 ) A<jb=_________________________ ，(="" 2="" )="" ab="______________" ,="" (3)="" ___________________="" 9<="" p=""bdsfid="127">。
概率论习题与答案
概率论习题 一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、 已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、 已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P A B === 则(|).P B A B ⋃=6、 掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 若,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B =9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 .11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。
那么(|)P C AB = 。
12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,求此人是男性的概率 。
13、将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
14、把C B A ⋃⋃表示为互不相容事件的和是 。
15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。
二、选择题1、下面四个结论成立的是（ ）.()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A--=-⋃=∅⊂=∅⋃-=-⋃=若且则2、设()0,P AB =则下列说法正确的是（ ）...()0()0.()()A AB B ABC P A P BD P A B P A ==-=和不相容 是不可能事件或3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（ ）1..21211.0.5.21nn A B n n n C D n -++++ 4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（ ）.()()..()().()()A P AB P A B B AC P A P BD P AB P A ⋃=∈==5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ ）.A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ) .C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ ）.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ).D P (A ∪B )=17、已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =（ ）.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D 0.758、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ ）.A 0.125 .B 0.25 .C 0.375.D 0.509、设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =（ ）.A 0.1 .B 0.4 .C 0.9 .D 110、已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（ ）.A ()()()P A B P A P B ⋃=+ .B ()1()()P A B P A P B ⋃=- .C ()()()P A B P A P B ⋃= .D ()1P A B ⋃=11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则（ ）．.A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立.D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=（ ）．.A )()(B P A P - .B )()()(AB P B P A P +- .C )()(AB P A P -.D )()()(B A P A P A P -+13、设A 、B 是两事件，且P （A ）=0.6,P(B)=0.7则P （AB ）取到最大值时是（ ）.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D 0.4214、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 某校有100名学生，其中60名男生和40名女生。
随机抽取1名学生，该学生是女生的概率是多少？A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1.0答案：A2. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，那么连续抛掷3次硬币，得到至少两次正面朝上的概率是多少？A. 0.5B. 0.75C. 0.875D. 0.625答案：D3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，那么两个球都是红球的概率是多少？A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/5答案：D4. 如果事件A的概率是0.3，事件B的概率是0.4，且A和B互斥，那么A和B至少有一个发生的概率是多少？A. 0.7B. 0.5C. 0.6D. 0.4答案：A5. 一个骰子被抛掷，那么得到的点数是偶数的概率是多少？A. 0.5B. 0.33C. 0.25D. 0.16答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 概率论中的_______定义了事件发生的可能性大小。
答案：概率7. 如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = _______。
答案：P(A) * P(B)8. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么X的概率质量函数为：P(X=k) = _______。
答案：(λ^k / k!) * e^(-λ)9. 在连续概率分布中，随机变量X的取值范围是无限的，其概率密度函数f(x)满足________。
答案：∫f(x)dx = 110. 两个事件A和B互斥的充分必要条件是P(A∩B) = _______。
答案：0三、解答题（共25分）11. 一个工厂有3台机器生产同一种零件，每台机器在一小时内正常运转的概率分别为1/2、2/3和3/4。
假设这些机器相互独立，求至少有两台机器在一小时内正常运转的概率。
答案：首先，我们可以计算出每台机器不正常运转的概率，然后找出至少两台机器正常运转的组合情况。
概率论参考答案
一、单项选择题 1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。
A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y) C．X与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。
A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。
A ．1)(=+∞F B ．0)(=-∞FC ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)=( B )。
A ．nk k m q p CB．kn k k n qp C -C ．k n pq -D ．k n k q p -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= CA ．8B ．16C ．20D ．24 6．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。
A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭B．1a n n μσ-⎛⎫-Φ ⎪⎝⎭C ．a n n μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭D ．a n n μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭7．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为Y X0 1 2-1 0 10.2 0 0.10 0.4 0 0.1 0 0.2则(0,1)F = C 。
A ．0.2B ．0.4C ．0.68．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F分布 D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。
概率论习题集与答案
概率论习题一、填空题1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .4、()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB =5、()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|).P B A B ⋃=6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..7、设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 假设,A B 独立，则().P B =8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B = 9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 .11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面〞，事件B =“第二次掷出反面〞，事件C =“正面最多掷出一次〞。
那么(|)P C AB = 。
12、男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的表示为互不相容事件的和是 。
15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。
二、选择题1、下面四个结论成立的是〔 〕2、设()0,P AB =则以下说法正确的选项是〔 〕3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为〔 〕4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有〔 〕5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则以下等式成立的是〔 〕.A P (AB )=0.B P (A -B )=P (A )P (B ).C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=06、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有〔 〕.A P (AB )=l.B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ) .D P (A ∪B )=17、()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =〔 〕.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D8、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为〔 〕.A 0.125 .B 0.25.C 0.375 .D 0.509、设事件,A B 互不相容，()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =〔 〕.A .B .C .D 110、事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则以下等式成立的是〔 〕11、设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)|()|(=+B A P B A P ，则〔 〕．.A 事件A 与B 互不相容.B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立12、对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=〔 〕．13、设A 、B 是两事件，且P 〔A 〕=0.6,P(B)=0.7则P 〔AB 〕取到最大值时是〔 〕.A 0.6 .B 0.7 .C 1 .D14、某人忘记了 号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。
概率论部分习题及答案
7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率． 解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y yyyyyXYY π，即)( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π． ８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞+=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2y x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 xxxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dye e dy y xf x f xy x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(636271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有 ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx2713)322(92922132102=-++=x x x x ．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率； （2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率． 解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ξ．808.0100=⨯=ξE ． 16)8.01(8.0100=-⨯⨯=ξD ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0-Φ-Φ=-Φ--Φ≈<<ξP 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0=-+=Φ--Φ=（2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0-Φ--Φ-≈<<-=≥ξξP P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0Φ-Φ-=-Φ+Φ-=5.015.02=--=．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000=⨯=EX ． 84.59)006.01(006.010000=-⨯⨯=DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000(-≤-≤--≈≤≤-=⨯>ξP X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0=-=---≈ΦΦΦ．即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(≤-≤-=≤≤=≥-⨯X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1(≈-Φ+Φ=-Φ-Φ≈． 即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．。
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《概率论与数理统计》作业集及答案概率论的基本概念第1章随机试验及随机事件§1 .11. S= ；T 出现的情形. 样本空间是： (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面S= ；次，观察出现正面的次数. 样本空间是：(2) 一枚硬币连丢3B= . 2，则；B：数点大于2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A=A= ；次， A：第一次出现正面，则 (2) 一枚硬币连丢2C= .：至少有一次出现正面，则= ； CB：两次出现同一面，则随机事件的运算§1 .2C的运算关系表示下列各事件：、B、、B、C为三事件，用A1. 设A . 不发生表示为：,而CC都不发生表示为： .(2)A与B都发生(1)A、B、 . 中最多二个发生表示为：B、C,而C发生表示为： .(4)A、(3)A与B都不发生 . 中不多于一个发生表示为：B、C、C中至少二个发生表示为： .(6)A、(5)A、B}42??B?{x:{A?x:1?x?3},S?{x:0?x?5}, 2. 设：则?BA?AB??BA）（，2），（1），（3AB B?A= （4 ）= ，（5）。
§1 .3 概率的定义和性质P(A?B)?0.8,P(A)?0.5,P(B)?0.6，则1.已知P(A?(AB)B)P?(AB)P= . )= , (2)( , (3) (1)P(AB),.30?.7,P(AB)?0P(A)= .2. 已知则§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率..,求有三个盒子各一球的概率个不同的球随机地投入到4个盒子中2. 将3§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。
P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2,P(A?B)? 2. 已知则。
概率论习题及答案
（ 2） B 出现的概率；
（ 3）在 B 出现的情况下， A 出现一次的概率。
记 X 为 4 次独立试验中 A 出现的次数，
（1） P( X
i)
C
i 4
0.3i 0.7 4
i
,
i
0,1,2,3,4; （ 4 分）
（2） P( B)
4
P(X
i0
i)P(B | X
i ) （ 1 分）
C
1 4
0.3 0.7 3
一．填空题
1．已知 P( A)
1 , P( B A) 4
1 , P(A B) 3
1 2
,则
P(A
B)
1
。
3
2．有零件 8 件，其中 5 件为正品， 3 件为次品。从中任取 4 件，取出的零件中有 2 件正品
2 件次品的概率为
C
2 5
C32
C
4 8
37；
3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数 X 的概率分布为
0 1250
（ 2）设至少发射 n 枚炮弹，则
1 e n 0.95 ，（ 3 分）
n 3 （ 2 分）
3．（ 6 3 18 ）设二维随机向量 ( X ,Y ) 的联合密度函数为
p(x, y)
C , 0 x 1, x2 y x
0, 其他
，
试求：（1）常数 C ；
（ 2）边际密度函数 p X (x), pY ( y) ，并讨论 X 和 Y 的独立性； （ 3） P (2Y X ) 。
10
t
c(t
x) 1 dx
30
k(x
t ) 1 dx
(c
k )t 2
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A和B是互斥的，那么下列哪个说法是正确的？A. P(A∪B) = P(A) + P(B)B. P(A∩B) = 0C. P(A∪B) = P(A) - P(B)D. P(A∩B) = P(A) + P(B)答案：B2. 如果随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么以下哪个是正确的？A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案：C3. 以下哪个是条件概率的定义？A. P(A|B) = P(A) / P(B)B. P(A|B) = P(A∩B) / P(B)C. P(A|B) = P(B) / P(A)D. P(A|B) = P(A∪B) / P(B)答案：B4. 如果随机变量X和Y是独立的，那么以下哪个是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) - P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)答案：A5. 以下哪个是大数定律的表述？A. 样本均值收敛于总体均值B. 样本方差收敛于总体方差C. 样本中值收敛于总体中值D. 样本众数收敛于总体众数答案：A6. 以下哪个是中心极限定理的表述？A. 样本均值的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布B. 样本方差的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布C. 样本中值的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布D. 样本众数的分布随着样本量的增加而趋近于正态分布答案：A7. 以下哪个是二项分布的参数？A. n和pB. n和σC. μ和pD. μ和σ答案：A8. 如果随机变量X服从泊松分布，那么其期望值E(X)等于？A. λB. 2λC. λ^2D. 1/λ答案：A9. 以下哪个是随机变量X的方差的定义？A. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2B. Var(X) = E(X) - [E(X)]^2C. Var(X) = E(X) - E(X^2)D. Var(X) = E(X^2) - E(X)答案：A10. 以下哪个是随机变量X的标准差的定义？A. SD(X) = √E(X^2) - [E(X)]^2B. SD(X) = √Var(X)C. SD(X) = E(X) - [E(X)]^2D. SD(X) = Var(X) - E(X^2)答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么其期望值E(X)为________。
概率论考试题及答案
概率论考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设随机变量X服从标准正态分布，则P(X > 1)等于：A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：B2. 随机变量X和Y相互独立，且都服从二项分布，其中X~B(3, 0.5)，Y~B(2, 0.5)，则P(X+Y=3)等于：A. 0.5B. 0.375C. 0.25D. 0.75答案：B3. 设随机变量X服从泊松分布，其参数λ=2，则P(X=1)等于：A. 0.2707B. 0.1353C. 0.5000D. 0.2707答案：B4. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)等于：A. 2B. 4C. 0D. 1答案：A5. 设随机变量X服从指数分布，其参数为λ=2，则D(X)等于：A. 1/4B. 1/2C. 2D. 4答案：C6. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其中μ=3，σ^2=4，则P(1<X<5)等于：A. 0.6826B. 0.9545C. 0.6830D. 0.9500答案：B7. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，则P(X≥5)等于：A. 0.5B. 0.7C. 0.3D. 0.8答案：B8. 设随机变量X服从几何分布，其成功概率为p=0.4，则P(X=3)等于：A. 0.064B. 0.256C. 0.064D. 0.256答案：A9. 设随机变量X服从超几何分布，其中总体大小为N=20，成功状态的个体数为M=5，样本大小为n=4，则P(X=2)等于：A. 0.4B. 0.6C. 0.2D. 0.8答案：C10. 设随机变量X服从t分布，自由度为10，则P(|X|<2)等于：A. 0.9500B. 0.9545C. 0.975D. 0.9800答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 设随机变量X服从二项分布B(5, 0.2)，则P(X=3)=________。
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