分析的严谨性

分析的严谨性

数学大家对极限的理解与解释：

柯西（1821）

达朗贝尔（1754）牛顿（1687）莱布尼茨（1684）

柯西：如果赋予统一变量的连续不断的一系列数值使其无限地趋向于一个固定的值，使得最终它们与固定值的差按人们所希望的那样小，则后者称为所有其特殊之的极限。达朗贝尔：比值[a:2y+z]总是小于a:2y,但是z越小，这个比值就越大，并且由于人

们可选取任意小的z，比值a:2y+z就可按我们希望的那样靠近比值a：2y。因此a:2y是a:2y+z的极限。牛顿：逐渐变小的量之间的最终比值…（是）极限，即数量比值无限减小却总是收敛于它；它们比任何事先给定的插枝更接近敌趋向于它，但永远不超过也不达到它，直到这些量减到无穷小。莱布尼茨：如果任何一个连续变迁以一个极限为终结，那么就能够形成一种普遍的推理，他也能适用于最终的极限。

恰好生于对微积分新的理论基础怀疑的时代的柯西—－这位毕业于法国多科工艺学校的杰出数学家，在１８２１年，〈〈分析教程〉〉中首次提出微积分新的理论基

础。接着，又发表与微积分基础概念严格化密切相关的著作〈〈无穷小分析原理概要〉〉（１８２３），〈〈分析的几何应用原理〉〉（１８２６～１８２８）。这三部

著作集数学分析之大成就，奠定了以极限理论为基础的现代数学分析体系，在数学分析的发展史上建树了一座有划时代意义的里程碑。

柯西抛弃了物理和几何直观，通过交量来定义极限的概念：“如果代表某变量的

一串数值无限地趋向某一固定值时，其差可以任意小，那么这个固定值就叫做这一串数值的极限。”这个当时最清晰的定义，是数学分析算术化伊始的信号。接着，他又

定义了无穷小：“一变量的值无限大减小，以至收敛于零，则称此变量为无穷小。”

对无穷大，柯西认为是它的值可以无限地变大，以至能够超过任何给定的常量的变量。在这里，柯西让趋于极限的，特别是趋于极限零的变量概念扮演着中心角色，从而把极限原理和无穷小量原理综合起来，并以此为基础定义了函数的连续性，导数和微分，积分。

柯西是这样来定义函数的连续性的：如果在两个界限之间（即某一区间内）变量x的无穷小增量a总史函数f(x)产生一个无穷小增量f(x+a)-f(x),则称函数f(x)在这

两个界限之间连续。柯西关于一区间上连续函数的定义，使用了定义于极限概念基础上的无穷小，因而较之旧的定义既有更规格逻辑依据又有精确的数字形式。令人不解的是，柯西只定义了变量的极限，而没有定义函数的极限。联系他把具有性质的函数f（α）当作无穷小量来处理，意味着函数也被认为是变量。

柯西在《无穷小分析原理概要》（以下简称《概要》）和《分析的几何应用原理

》中，给出了字句完好相同的导数定义，定义中Δy/Δx的分子和分母都作为无穷小

量，并且Δy/和Δx“同时无限的趋于零极限”，面Δx可能是正或负地趋于零。这与1799年捷克的意大利数学家波尔察诺所给出的导数定义完全一致。在导数基础上，他又定义了微分：设立独立变量x的微分dx为一有限常数，则函数y=f(x)的微分或。导数可称为微分系数，他把y=f(x)的n阶段分定义为。他还把一个变量的函数的微分定

义推广到任何有限个变量的情形，即得出了通过偏导数来定义多无函数的微分（全微分）。柯西关于微分的定义确实具有独创精神，它彻底颠倒了以往把微分作为第一性

概念通过微分定义导数的传统方法。

柯西（还有拉克鲁阿）的工作把导数和莱不尼兹的微分统一起来，把求微分的问

题归结为求导数的问题。虽然柯西已经把连续性导数的概念严密化提高到了相当的程度，但是他和同时代的几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微性的区别，最早明

确地给出区别连续性与可微性的例子，出现在德国大科学家黎曼1854的论文《用三

角级数来表示函数的可表示性》之中。

通过求微元之和来求积的（自古希腊以来就萌芽的）传统思想，虽为莱布尼兹所

强调，但从牛顿开始的视求积问题为求切线的逆问题的思想占了主导地位（当然，这

也是本质的方法）。柯西又使这种情况发生了逆转，他强调把积分定义为和的极限来

取代把分看作是微分的逆运算，从而使积分作为微元和的思想得到继承和发展。在《

概要》中，柯西对定积分作了系统的描述。他首先从极限概念出发定义了连续函数的

定积分：设f(x)在区间上连接，且用分点Ｘ1,Ｘ2 ，…, Ｘn-1，Ｘn = Ｘ将区

间分割，则当最大子区间的长度趋于零时，积分为接着柯西定义了,且证明了F(x

)在区间上连接。他还用积分中植定理第一个证明了微积分学定理：。柯西强调指出

，在使用定积分和函数之前，要注意确定定积分以及间接地确定反导数或原函数的存

在性是首要的问题。他证明了f(x)的全体原函数彼此相差一个常数，进而给出了不定

积分的定义：他还定义了具有跳跃间断或为无穷时的被记函数的积分。

柯西在《分析教程》中对级数收敛性第一个作了广泛的论述：“令是所研究的无

穷级数前n表示自然数。如果对于不断增加的n的值，和Ｓn无限趋近某一极限Ｓ，则级数叫收敛的，而这个极限值叫做该级数的和。反之，如果当n无限增加时，Ｓn不趋于一个固定的极限，该级数就叫发散的，而且级数没有和。”在此基础上，柯西给出

了著名的关于无穷级数的“柯西收敛判别准则”和比值判法、根式判别法、比较判别

法和对数判别法；证明了两个收敛级数之和收敛到各自极限的和对于乘积也有类似

结果；对于带有负项的级数，证明了由项的绝对值构成的级数收敛时原级数收敛，并

推导了交错级数的莱布尼兹判别法；研究了项是复变函数的级数。这样，柯西首次建

立了泰勒级数收敛的精确条件，引进了收敛半径概念，从而给出ξｉ了收敛级数理论

的明确构造，发展了无穷级数收敛学说。它将18世纪混淆在一起的连续性、可微性、可微性、泰勒级数展式等从函数的一般概念中分离出来。

不足的是，在对数学分析的探讨中，柯西不愿意把函数概念作为变量概念的基础

，而用含有变量概念的语言来定义函数。因而他仍未得到函数概念的现代定义。一般

的函数定义，首先由德国数学家狄里克雷在1829年提出；现代数学分析的函数定义是由黎曼给出的。柯西极限概念的严密化还是不够的，还常用“想要多么小就多么小”

、“无限趋近”“无穷小增量的最终比”等含义不甚明确的语言。他一方面排除了无

穷小的形而上学的绝对存在而在某些情况下又把无穷小量当做某种独立的量使用而参