迭代法简述

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迭代法

2 迭代法2.1 迭代法的一般概念迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。

迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。

首先取一个精糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。

对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。

这里，主要看看解方程迭代式的构造。

对方程(1.1)，在区间],[b a 内，可改写成为：)(x x ϕ= (2.1)取],[0b a x ∈，用递推公式： )(1k k x x ϕ=+, ,2,1,0=k(2.2)可得到序列：∞==0210}{,,,,k k k x x x x x (2.3)当∞→k 时，序列∞=0}{k k x 有极限x ~，且)(x ϕ在x ~附近连续，则在式(2.2)两边极限，得，)~(~x x ϕ=即，x ~为方程(2.1)的根。

由于方式(1.1)和方程(2.1)等价，所以， x x ~*= 即，*lim x x k k =∞→式(2.2)称为迭代式，也称为迭代公式；)(x ϕ可称为迭代函数。

称求得的序列∞=0}{k k x为迭代序列。

2.2 程序和实例下面是基于MATLAB 的迭代法程序，用迭代格式)(1n n x g p =+，求解方程)(x g x =，其中初始值为0p 。

**************************************************************************function[p,k,err,P]=fixpt(f1021,p0,tol,max1) % f1021是给定的迭代函数。

% p0是给定的初始值。

% tol 是给定的误差界。

% max1是所允许的最大迭代次数。

% k 是所进行的迭代次数加1。

% p 是不动点的近似值。

% err 是误差。

% P = {p1,p2,…,pn}P(1) = p0;for k = 2:max1P(k) = feval('f1021', P(k-1)); k, err = abs(P(k) - P(k-1))p = P(k); if(err<tol), break;endif k == max1disp('maximum number of iterations exceeded');end end P=P;****************************************************************************例2.1 用上述程序求方程0sin 2=-x x 的一个近似解，给定初始值5.00=x ，误差界为510-。

迭代算法简析

迭代算法简析算法设计之迭代法军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A 交替出现。

但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。

也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。

像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。

它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。

迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。

不能让迭代过程无休止地重复执行下去。

迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。

对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

管理学原理迭代法

管理学原理迭代法
迭代法是一种管理学原理，它主要用于解决复杂问题。

迭代法的核心思想是通过反复试验和修改来逐步接近问题的最佳解决方案。

通过这种方法，可以逐步深入了解问题，找到最优解。

迭代法的应用范围非常广泛，可以用于各种类型的问题解决。

在软件开发中，迭代法是一种非常常见的开发方法。

开发团队会将问题分解成多个小问题，并在每个迭代中解决其中的一些小问题。

每个迭代结束后，团队会对开发过程进行评估和反馈，并根据反馈结果进行修改和优化。

迭代法还可以用于产品设计和市场营销等领域。

在产品设计中，可以通过迭代法逐步完善产品的功能和用户体验；在市场营销中，可以通过迭代法不断测试和优化广告和宣传策略，以提高转化率。

迭代法的优点在于可以逐步深入了解问题，并根据反馈结果进行修改和优化。

这种方法可以确保最终解决方案具有高度的精确性和可靠性。

另外，迭代法还可以提高团队合作和沟通能力，因为每个团队成员都需要积极参与到迭代过程中，提供反馈和建议。

尽管迭代法具有很多优点，但也存在一些缺点。

首先，迭代过程可能会比较漫长，需要耗费大量的时间和资源。

其次，迭代法需要团队成员之间的密切合作和沟通，如果团队成员之间的协作不够紧密，可能会导致迭代过程中的问题得不到很好的解决。

总的来说，迭代法是一种非常有用的管理学原理，可以帮助团队解决复杂问题。

在使用迭代法时，我们应该注意团队成员之间的协作和沟通，以确保顺利地完成迭代过程。

同时，我们也应该不断学习和改进迭代方法，以使其更加高效和精确。

迭代法(iterative method

迭代法(iterative method
迭代法是一种数学方法，通过不断地迭代逼近来求解数学问题。

这种方法通常用于求解方程、优化问题、积分问题等。

迭代法的基本思想是：给定一个初始值或初始解，然后根据一定的规则进行迭代，每次迭代都得到一个新的解，直到满足某个终止条件为止。

这个终止条件可以是精度要求、迭代次数限制等。

常见的迭代法包括：
1.牛顿迭代法：用于求解非线性方程的根，通过不断地逼近方程的根来求解。

2.梯度下降法：用于求解最优化问题，通过不断地沿着负梯度的方向搜索来找到最优
解。

3.牛顿-拉夫森方法：结合了牛顿法和二分法的优点，用于求解非线性方程的根。

4.雅可比迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。

5.高斯-赛德尔迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。

使用迭代法时需要注意初始值的选择、迭代规则的合理性、终止条件的设定等问题，以确保迭代过程的收敛性和有效性。

同时，迭代法也有一定的局限性，对于一些非线性问题或复杂问题，可能需要进行多次迭代或者采用其他方法进行求解。

迭代法

迭代法
迭代法也叫辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。

对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。

若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。

称所构造的序列为迭代序列。

求通项公式的方法（用迭代法）已知数列{An},a1=2,an=2a(n-1)-1(n>或=2）求通项公式
an=2a(n-1)-1 an-1=2(a(n-1)-1 ) n>或=2
所以an-1 为等比数列
an-1=(a1-1)*2^(n-1)
an-1=2^(n-1)
an=2^(n-1)+1
牛顿迭代法求开方
数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收
敛。

另外该方法广泛用于计算机编程中。

用迭代法求平方根
对于A>1,求其平方根可构造用如下公式迭代：
f(x)=(1/a)(x+a/x),a=A/(A-1),迭代初值x0=[√A]+1,[x]为x的取整.如想求70的平方根,可令初值x0=9.
对于A1,用如上方法求出平方根后,在成10^(-n),即得结果.。

迭代法求数列通项

迭代法求数列通项迭代法求解数列通项式可以说是高中数学中非常重要的一部分。

迭代法是一种基于数学递推公式的方法，用来求解数列的通项式。

迭代法的核心是利用数列的前一项和一定的递推关系，推导出数列的下一项，不断重复这个过程，最终得到数列的通项式。

1.迭代法的基本思想迭代法的基本思想是利用数列的递推公式，依次求出数列的每一项。

利用递推公式，先求出数列的第一项，然后根据递推公式，求出数列的第二项，再根据递推公式求出第三项，以此类推。

我们可以定义一个变量，将数列的第一项赋给它，然后利用递推公式，计算变量的值，得到数列的第二项。

再将变量的值赋给另一个变量，以此类推，直到求出数列的所有项。

2.迭代法的实现步骤(1)查找数列的递推公式：寻找数列每一项与前一项之间的关系，得到数列的通项公式。

(2)定义变量：定义一个变量来存储数列的第一项。

(3)利用递推公式求解：利用递推公式，求出数列的第二项，并将其赋给另一个变量。

(4)重复计算：将变量的值不断更新，并根据递推公式计算出数列的其他项，重复这个过程直到求出所有项。

(5)编写程序：根据上述步骤，编写迭代法的求解程序，求解数列的通项式。

3.迭代法的实例这里以斐波那契数列为例，介绍迭代法的详细实现过程。

斐波那契数列的递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0, F(1) = 1。

(1)定义变量：我们可以定义两个变量a和b，分别表示数列的前两项。

(2)利用递推公式求解：利用斐波那契数列的递推公式，可以得到数列的第三项，即F(2) = F(1) + F(0) = 1。

(3)重复计算：将变量的值更新为b和a+b，分别代表数列的前两项和前三项，继续根据递推公式计算出数列的其他项，例如F(4) = F(3) + F(2) = F(2) + F(1) + F(1) + F(0) = 5。

(4)编写程序：根据上述思路，我们可以编写出求解斐波那契数列的程序，如下所示：```def Fibonacci(n):if n == 0 or n == 1:return nelse:a = 0b = 1for i in range(2,n+1):c = a + ba = bb = creturn bprint(Fibonacci(10))```程序输出结果为：55，即斐波那契数列的第十项。

迭代法求方程的近似解

迭代法求方程的近似解在数学中，方程是一种重要的数学工具，它可以描述各种自然现象和数学问题。

解方程是数学学习中的基本内容之一，而求解方程的近似解是数值计算中的重要问题之一。

本文将介绍一种常用的方法——迭代法，用于求解方程的近似解。

一、什么是迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方式求解方程的方法。

其基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。

迭代法的优点在于简单易行，适用于各种类型的方程。

二、迭代法的基本原理迭代法的基本原理是通过不断迭代计算，逐步逼近方程的解。

具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0作为方程的近似解。

2. 根据方程的特点，构造一个递推公式xn+1=f(xn)，其中f(x)是方程的函数表达式。

3. 通过不断迭代计算，得到xn+1的值。

4. 判断xn+1与xn之间的差距是否小于给定的精度要求，如果满足要求，则停止计算，否则返回第3步继续迭代计算。

三、迭代法的实例下面通过一个实例来说明迭代法的具体应用。

假设我们要求解方程x^2 - 2 = 0的近似解。

首先选择一个初始值x0=1作为方程的近似解。

然后，根据方程的特点，构造递推公式xn+1=(xn+2/xn)/2。

通过不断迭代计算，得到如下结果：初始值x0=1，迭代1次得到x1=1.5迭代1次得到x1=1.5，迭代2次得到x2=1.4167迭代2次得到x2=1.4167，迭代3次得到x3=1.4142迭代3次得到x3=1.4142，迭代4次得到x4=1.4142通过迭代计算，我们得到了方程x^2 - 2 = 0的近似解x≈1.4142。

可以发现，随着迭代次数的增加，近似解逐渐逼近方程的真实解。

四、迭代法的注意事项在使用迭代法求解方程的过程中，需要注意以下几点：1. 初始值的选择：初始值的选择对迭代结果有很大影响，一般需要根据方程的特点和实际情况进行选择。

2. 迭代公式的构造：迭代公式的构造需要根据方程的特点进行合理设计，以确保迭代过程的收敛性和稳定性。

迭代法

第三章线性代数方程组数值解法（迭代法）迭代法是解线性方程组的另一类方法，特别是适用于解大型稀疏线性方程组，如由某些偏微分方程数值解法中转化来的高阶线性代数方程组。

事实上，迭代法是求解多种数值问题的基本方法。

迭代法作为一种求解数值问题的通用方法，其基本思想是针对求解问题预先设计好某种迭代格式，从而产生求解问题的近似解的迭代序列，在迭代序列收敛于精确解的情况下，按精度要求取某个迭代值作为问题解的近似值，这就是求解数值问题的迭代法。

在这一章，我们的求解问题是线性方程组，下一章是非线性方程和非线性方程组，在不少其他问题中还会用到。

迭代法的内容包括下述两个主要方面： ① 针对具体问题构造具体的迭代格式。

② 研究迭代格式(序列)的收敛性并作误差分析。

3.1 解线性方程组迭代法的基本概念和基本迭代公式解线性代数方程组 b Ax = （3.1.1） (nn RA ⨯∈非奇异,0),,,(21≠=T n b b b b , Tn x x x x ),,,(21 =为解向量 )的迭代法的具体做法是：把方程组(3.1.1)变形为等价形式)(x F x =我们这里只研究如上式的线性的形式 f Bx x +=(其中nn R B ⨯∈，nR f ∈ )例如把A分解为nn R M N M A ⨯∈-=,则（ b M Nx Mx b x N M 11)(--+=→=- ）如果令 N M B 1-=， b M f 1-= 这就是前面的迭代格式 f Bx x +=。

（对应的迭代公式是： ),,2,1,0()()1(n k f Bx xk k =+=+ 其中每一步迭代值仅依赖于前一步的迭代值。

称为单步迭代。

）如果{)(k x }当 ∞→k 时有极限*x 存在， *)(lim x xk k =∞→则称迭代公式是收敛的；3.2 Jacobi 迭代法/Gauss —Seidel 迭代法这是解线性方程组的两种基本的方法。

1. Jacobi 迭代公式设方程组b Ax =中 nn ij Ra A ⨯∈=)(，ni R b b ∈=且 ),,2,1(0n i a ii =≠。

迭代法

迭代方法（也称为“折返”方法）是一个过程，在该过程中，不断使用变量的旧值来递归推导新值。

与迭代方法相对应的是直接方法（或称为第一求解方法），即问题已解决一次。

迭代算法是使用计算机来解决问题的一种基本方式，它利用计算机的运行速度，适合于重复操作的特性，让计算机对一组指令（或步骤）必须每次都重复执行在执行的这组指令（或这些步骤）中，由于变量的原始值是新值，因此迭代方法分为精确迭代和近似迭代。

典型的迭代方法（例如“二分法”和“牛顿迭代”）属于近似迭代方法。

迭代方法的主要研究主题是构造收敛的迭代方案，并分析问题的收敛速度和收敛范围。

迭代方法的收敛定理可以分为以下三类：（1）局部收敛定理：假设问题的解存在，则得出结论：当初始逼近足够接近解时，迭代法收敛。

（2）半局部收敛定理：结论是，迭代方法根据迭代方法在初始逼近时所满足的条件收敛到问题的解，而不假定解的存在。

（3）大范围收敛定理：得出的结论是，迭代方法收敛到问题的解，而无需假设初始近似值足够接近解。

迭代法广泛用于求解线性和非线性方程，优化计算和特征值计算。

迭代法是一种迭代法，用于数值分析中，它从初始估计值开始寻找一系列解决问题的迭代解法（通常为迭代法），以解决问题（迭代法）。

通常，可以做出以下定义：对于给定的线性方程组（x，B和F都是矩阵，任何线性方程组都可以转换为这种形式），公式（表示通过迭代获得的x k次，并且初始时间k = 0）逐渐替换为该方法以找到近似解，这称为迭代方法（或一阶时间不变迭代方法）。

如果存在，则将其表示为x *，并称迭代方法收敛。

显然，x *是该系统的解，否则称为迭代散度。

迭代方法的对应方法是直接方法（或第一种解决方法），它是对问题的快速一次性解决方案，例如通过求平方根来求解方程x + 3 = 4。

通常，如果可能，直接解决方案始终是首选。

但是，当我们遇到复杂的问题时，尤其是当未知数很多并且方程是非线性的时，我们无法找到直接解（例如，第五和更高阶代数方程没有解析解，请参见Abelian 定理）。

常用算法(一)——迭代法

常用算法——迭代法一、迭代法迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。

设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。

上述算法用C程序的形式表示为：【算法】迭代法求方程的根{ x0=初始近似根；do {x1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程计算新的近似根*/} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；}迭代算法也常用于求方程组的根，令X=（x0，x1，…，xn-1）设方程组为：xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)则求方程组根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程组的根{ for (i=0;i<n;i++)x=初始近似根;do {for (i=0;i<n;i++)y=x;for (i=0;i<n;i++)x=gi(X);for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；} while (delta>Epsilon)；for (i=0;i<n;i++)printf(“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x)；printf(“\n”)；}具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。

22第二节迭代法

上述令p→∞, 及limxk+p=x* (p→∞)即得第一式.
L x xk xk xk 1 1 L

数学学院信息与计算科学系
3 2 f ( x ) x 4 x 10 0 在例2 用迭代法求方程
[1,2] 内的一个近似根，取初始近似值 x0 1.5
解
原方程的等价方程可以有以下不同形式
x ( x ) ( ) ( )( x ) L x
此式仅当 x 0 才能成立，因此 x 。（ 2）再证迭代格式 xk 1 ( xk ) 收敛任取 x0∈[ a, b ]，由微分中值定理，有
数学学院信息与计算科学系
10 x n 1 4 xn xn 1 3 xn 1 10 xn 2 10 xn 1 4 xn
数学学院信息与计算科学系
考察四种迭代法在根附近的收敛情况，取根的 x0 1.5。近似值为解
(1) ( x ) x x 3 4 x 2 10
( x ) 1 3 x 2 8 x (1.5) 17.75 1
e k 1 c ( k , c 0) p ek 则称迭代格式 xk 1 ( xk ) 是 p 阶收敛的.
特别地, p = 1时称为线性收敛, p = 2 时称为二阶(平方)收敛,
p>1时称为超线性收敛. 显然, 收敛阶越大, 收敛越快
利用微分中值定理及泰勒展式可得下面的定理3.
数学学院信息与计算科学系
定理 3
x x ( x ) 设x 为之根,在的邻域 U内
x x ( x ) 在[a , b]上有唯一根 ;
(2) 对任意迭代初值 x0∈[a , b],迭代序列 xk 1 ( xk ) ( k 0,1, 2,) 收敛于 x 。

迭代法

二、收敛性分析
计算方法
（全局收敛定理）
设 ( x)在[a, b] （1）当a x b时，a ( x) b;
(2) x [a, b], |'( x) | L 1 (L为常数）
则：(1)方程x ( x)在[a, b]有唯一根；
(2)x0 [a, b], xn1 ( xn）收敛到
则对于任意的初始值 x0 S ，由迭代公式
xn1 ( xn )
产生的数列 xn 收敛于方程的根。
（这时称迭代法在的S邻域具有局部收敛性。）
计算方法
例3 设 ( x) x a( x2 5)，要使迭代过程 xk1 ( xk )
局部收敛到 x* 5,求 a 的取值范围。解： ( x) x a( x2 5)
xk1 ( xk )
又 x* (x*)
根据中值定理有
x* xk1 ( x* ) ( xk ) ( )( x* xk ) ( x*, xk )
局部收敛性当隔根区间确定时,通常只需要更简单的条件
就可以保证迭代过程在根的邻域(局部)收敛。
定理2.2 设是方程 x ( x)的根，如果满足
条件：
（1）迭代函数 ( x) 在的邻域可导；（2）在的某个邻域 S {x x }，对于任
意 x S ，有
(x) L 1
计算方法
xn xn1
Ln 1－L
x1
x0
注：L越小，收敛越快。
计算方法
实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做
下去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个n满足
x x
n
n1
即可结束计算并取
x n
当然，迭代函数 ( x ) 的构造方法是多种多样的。

迭代法简介

新点
绘图游戏的重新表述
• 在纸上任意设定三个点，分别记为A，B, C，游戏
的规则是：任意取第四个点，记为 Z1 ．
• 当你投掷一次硬币之后，如果它呈正面，则在纸上
画出Z 1 和 A 的中点，记为Z 2 ；如果它呈反面，则画
出Z 1 和 B 的中点，记为Z 2；如果它呈侧立状态，则画出 Z1 和 C 的中点，记为Z 2 ; • 总之，我们画出了一个新的点
• 第一次代入得到：
F+F一一F+F一一F+F一一F+F一一F+F一一 F+F
• 第二次代入得到：
第二次代入得到
用 L 系统模拟的植物形态
4. 迭代函数系统简介
• 迭代函数系统（Iteration Function System 缩写 I F S ）。
• 迭代函数系统是由美国佐治亚工学院的数学教授巴恩斯列，于1985年发展起来的一种分形构形系统。他把这一系统用于解决实际问题，取得了巨大成功，因而创建了一个迭代公司。 • 巴恩斯列也就成为目前应用数学的理论和方法直接创造经济效益的最有影响的数学家之一。
迭代函数系统的基本思想
• 在这里，一个仿射“变换”就是一个线性“函数”， “不断重复”应用仿射变换就是一个“迭代”过程。一般说来，生成一个分形图需要一组仿射压缩变换，这就是 “迭代函数系统” 名称的由来。 • 由此可见，仿射压缩变换与分形图有着对应关系： • 即一组仿射压缩变换决定一个分形图；反之，一个分形图由一组仿射压缩变换确定。 • 这是两类问题，分别举例说明。
迭代法简介
什么是迭代法
• 它是分形理论在研究复杂系统的空间结构性质的过程中创造出来的。

迭代法

xk 1
f ( x) 3x2 3
由简化Newton法由弦截法
3 f ( xk ) xk 3 xk 1 xk xk 2 f ( x0 ) 3 x0 3
xk 1 xk
f ( xk ) ( xk xk 1 ) f ( xk ) f ( xk 1 )
(局部收敛性)
--------(6) --------(7)
牛顿迭代法的基本思想

设 X K 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在

若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线
f ( xk ) f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) ( x xk ) 2 2!
x0 1 3 1 2 2
0.7937
同样的方程不同的迭代格式有不同的结果
依此类推,得 x2 = 0.9644 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 已经收敛,故原方程的解为
迭代函数的构造有关
什么形式的迭代法
发散
Newton法的改进(III) : 牛顿下山法
一般地说，牛顿法的收敛性依赖于初值 x0 的选取，如果 * x x0偏离较远，则牛顿法可能发散。为了防止发散，通常对迭代过程再附加一项要求，即保证函数值单调下降：
f xk 1 f xk
满足这项要求的算法称为下山法。牛顿下山法采用以下迭代公式：x
xk 1 f ( xk ) xk ( xk xk 1 ) f ( xk ) f ( xk 1 )
这种格式称为弦截法
收敛阶约为1.618

迭代法

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法，它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行，在每次执行这组指令(或这些步骤)时，都从变量的原值推出它的一个新值，迭代法又分为精确迭代和近似迭代。

比较典型的迭代法如“二分法”和"牛顿迭代法”属于近似迭代法。

迭代法

太原科技大学数值分析
n 0 1 2 3
xn 1 0.359608 -0.129685 2.796711
n 4 5 6 7
xn -18.86 2.33333 -33.114
太原科技大学数值分析
控制迭代结束公式：xn − xn −1 |≤ ε |
可用来控制收敛结束
太原科技大学数值分析源自例求方程 x = e − x 在 x 0 = 0.5附近的近似根，要求精确到小数点后三位。解：设 f ( x ) = x − e − x。由于 f (0.5) < 0, f (0.6) > 0知方程在[0.5, 0.6]上有一个根。取迭代公式： xn +1 = e − xn 其迭代函数为： ϕ ( x ) = e − x 则对于任意 x ∈ [0.5, 0.6], 有：
x11 − x10 < ε =
1 × 10 −3 ,因此取 x* = 0.567 2
太原科技大学数值分析
迭代法的收敛性
定理
考虑方程 x =φ(x), 若 ( I ) 当 x∈(a, b) 时，φ(x)∈[a, b]； ∈ ∈ ； ( II ) ∃ 0 ≤ q < 1 使得 | φ’(x) | ≤ q 对 ∀ x∈(a, b) 成立。 ∈ 成立。则任取 x0∈(a, b)，由 xn+1 =φ(xn) 得到的序列 { x n }∞= 0 收敛， n 的根x* 于方程 x =φ(x)的根。的根
取初值x0=1，迭代结果如下：
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1 ln( 7 − 3 x 0 ) = 2 1 x 2 = ln( 7 − 3 x1 ) = 2 ... x1 = 1 ln( 7 − 3 x 7 ) = 2 1 x 9 = ln( 7 − 3 x8 ) = 2 x8 =

迭代法

迭代方法，也称为抛掷和翻转方法，是从变量的旧值连续递归新值的过程。

与迭代方法相对应的是直接方法（或一次性解决方案），即一次解决问题。

迭代算法是计算机解决问题的基本方法。

它利用计算机的快速运行速度并适合于重复操作，并使计算机重复执行一组指令（或某些步骤）。

每次执行这组指令（或这些步骤）时，都会从原始值中得出新的变量值。

迭代方法分为精确迭代和近似迭代。

典型的迭代方法（例如“二分法”和“牛顿迭代法”）是近似迭代方法。

迭代方法的主要研究课题是为有问题的问题构造收敛的迭代方案，并分析它们的收敛速度和收敛范围。

迭代方法的收敛定理可分为以下三类：
①局部收敛定理：假设存在问题的解，则可以得出结论，当初始逼近足够接近解时，迭代方法就会收敛；
②半局部收敛定理：在不假设解存在的前提下，得出迭代法根据迭代法在初始逼近时所满足的条件收敛到问题的解；
③大规模收敛定理：得出的结论是，替换方法收敛于问题的解，而无需假设初始近似值足够接近该解。

代换法广泛用于求解线性和非线性方程，优化计算和特征值计算。

迭代过程何时结束？这是编写迭代程序时必须考虑的问题。

迭代过程不能无休止地重复。

迭代过程的控制通常可以分为两种情况：一种是所需的迭代次数是某个值，并且可以计算；另一个是无法确定所需的
迭代次数。

在前一种情况下，可以构造固定数量的循环来控制迭代过程。

在后一种情况下，有必要进一步分析结束迭代过程的条件。

迭代法的原理

迭代法的原理
迭代法（IterativeMethods），又称顺序近似法，是求解用数学模型表示的问题的一
种有效方法。

它是建立在一组数值变量之间一种有效动态关系的基础上，使用迭代格式求
解问题的一种数学技术。

迭代法的基本原理是：将要求的接近的解的迭代过程，转换成一系列的子解，每个子
解满足某些约束条件。

然后，使用某种有效算法，将这些子解迭代直至满足所需的最终目
标值或损失函数的最小值。

迭代法的基本思想，主要是将一个解求解问题过程转化为一系列的子问题，对这些子
问题进行求解，以获得问题最优解。

可以将迭代法总结为以下几个步骤：
第一步：确定问题的初始值；
第二步：使用某种有效算法，将这些初始值迭代改变成满足所需最终目标的子解；
第三步：重复第二步，直至解的精度达到一定的要求；
第四步：求解完成，输出最终结果。

迭代法求解内容有：迭代解方程组，求函数极值和最优化等；优点是解的收敛速度较快，有较强的数值模拟能力，应用范围广，缺点是实现起来较为复杂，并且存在收敛障碍，很难得到满意解。

迭代法原理

迭代法原理
迭代法是一种常用的数值计算方法，其原理是通过反复迭代逼近解的方法来求解数学问题。

迭代法的关键在于找到一个递推关系式，使得每一次迭代的结果能够接近问题的解。

具体而言，迭代法通常从一个初始值开始，然后根据递推关系式计算出下一个近似解。

然后，将新的近似解作为初始值，再次进行迭代计算，直到满足预设的停止条件。

迭代法的核心思想是将复杂的问题拆解成一系列简单的计算步骤，并通过多次迭代逼近解。

这种方法在数学问题求解、优化问题求解等领域都有广泛应用。

迭代法的成功与否取决于所选的递推关系式、初始值以及停止条件的选择。

合理选择这些参数可以提高迭代法的效率和准确性。

另外，迭代法有时也可能存在收敛性问题，即迭代的结果可能发散而无法得到解。

因此，在使用迭代法求解问题时，还需对迭代的结果进行检验和验证。

总之，迭代法是一种通过反复迭代逼近解的方法，通过选择递推关系式、初始值和停止条件来求解数学问题。

它在实际问题求解中有着广泛的应用和理论基础。