第一章数值计算方法与误差分析

在实际计算中, 由于ε(x)与x都不能准
确地求得,因此相对误差 εr(x)也不可能准确
地得到, 我们只能估计它的大小范围。即指 定一个适当小的正数η，使
|εr(x)|= |ε(x)|/| x* | ≤η
称η为近似值x*的相对误差限。
当|εr(x)|较小时，可以用下式来计算η：
η=ξ/|x*|
有效数字
数值计算中的误差
1、误差的种类和来源
① 模型误差
② 观测误差
③ 截断误差
④ 舍入误差
真
2、误差的有关概念：
值
近似值
① 绝对误差： (x) x x
② 绝对误差限： (x) x x* 1
③ 相对误差：
r (x)
(x)
x
x x x
x x x
④ 相对误差限： r (x) 2
相对误差限的概念
确度，相对误差(限)与有效数字的位数有关。
有效数字与相对误差关系举例
注意从
ε| r(x)| ≤1/(2×a1) ×10-(n-1)
并不能保证x*一定具有n位有效数字。
如 x=sin29020´=0.4900
设其近似值 x*=0.484 , 其相对误差为
0.4900 0.484 0.012397 0.0125 1 101 1 10(21)
有效数字和绝对误差的关系
定义3换一种说法就是：设x的近似值
若其绝对误差
x*= ±0.a1a2… an … ×10p
|ε(x)|=|x－x*| ≤0.5 ×10p-n
则称近似数x*具有n 位有效数字。这里p为整数，a1 , a2 , … , an 是0 到9中的一个数字且a1≠0 。
例如，若x*=0.23156×10-2是x 的具有五位有效数字的近似
In=
xn
ex-1|
1 0
–∫01
ex-1dxn
=1– n∫01 xn-1 ex-1dx
=1– nIn-1
从而有递推公式
I0=
∫01
ex-1dx=
ex-1
|
1 0
=
1-e-1
≈0.6321
In= 1– nIn-1 （n=0, 1, 2, … , 9）
计算积分In=∫01 xn ex-1dx的过程
如果直接应用递推公式
解的相对误差
εr(y) ≈dy/y =Σ∂f (x1,x2 )/∂xi*xi/ f (x1,x2 )*εr(xi) (i=1,2)
利用这两式可得到两数和、差、积、商的误差估 计。
算法的数值稳定性
一、算法的数值稳定性概念
所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序
进行的运算序列。在实际计算中，对于同一问题我 们选用不同的算法, 所得结果的精度往往大不相同。 这是因为初始数据的误差或计算中的舍入误差在计 算过程中的传播，因算法不同而异，于是就产生了 算法的数值稳定性问题。一个算法, 如果计算结果
6 .做出算法的误差分析
从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂，典型的有： 1、数据点的插值 2 、曲线拟和 3、复杂函数的微积分运算 4、非线性方程f(x)=0的根的求解
5、当n很大时线性方程组AX=B的求解 6、常微分方程的求解
min f (x) xX
参考书籍的几种名称： 1、数值分析 2、数值计算原理 3、计算方法 4、算法设计 5、计算机数值计算方法与程序设计
• 为了既能表示近似数的大小，又能 表示近似数的精确程度，我们下面介绍 有效数字的概念（注意：有效数字既能 表示近似数的大小，又能表示近似数的 精确程度）。
半个单位的概念
•
我们知道，当x有很多位数字时，常常按照
“四舍五入”原则取前几位数字作为x的近似值x*。
• 例1 设 x = π = 3.1415926 …
法。 如改用下式计算 (((0.062 5x+0.425)x+1.215)x+1.912)x+2.129 6
则只需做四次乘法和四次加法。
简化计算步骤、减少运算次数、避免误差积累的例子
又如计算
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(1000*1001)
的值。 若一项一项进行计算，不仅计算次数多，而
（三）注意简化计算步骤、减少运算次数、避免误差积累
• 同一个计算问题，如果能减少运算 次数，不但可以提高计算速度，而且能 减少误差的积累。
简化计算步骤、减少运算次数、避免误差积累的例子
例6 计算多项式 P4(x)=0.0625x4+0.425x3+1.215x2+1.912x+2.1296
的值。 如果先计算各项然后相加，需做十次乘法和四次加
• 定义3 若近似值x*的绝对误差限是 某一位上的半个单位，该位到x*的第一 位非零数字一共有n位，则称近似值x*有 n位有效数字，或说x*精确到该位。
• 准确数本身有无穷多位有效数字， 即从第一位非零数字以后的所有数字都 是有效数字。
有效数字举例
• 如例1中的x*1，x*2 ,x*3,分别有1,3,5位有效数字。 • 实际上，用四舍五入法取准确值x 的前n位（不
取x1*=3作为π的近似值,则|ε1(x)|=0.1415 … ≤0.5×100； 取x2*=3.14，则|ε2(x)|=0.00159 … ≤0.5×10-2； 取x3*=3.1416, 则|ε3(x)|=0.0000074 … ≤0.5×10-4 。
它们的误差都不超过末位数字的半个单位。
有效数字的概念
x2=q/x1来求解方程 X2+2pX+q=0 是数值稳定的。 从而可知，算法数值稳定性的讨论甚为重要。
二、设计算法的若干原则
为防止误差使计算结果失真(失常）现 象发生，要选用数值稳定的计算公式，以 保证算法的数值稳定性。下面我们给出设 计算法的若干原则，并给出改善算法的例 子，这些原则有助于鉴别算法的可靠性并 防止误差危害的现象产生。
且误差积累也很大。若简化成 1－1/1001 进行计 算，则整个计算只要一次求倒数和一次减法。
（四）要避免绝对值小的数作除数
由式 ε(x1/x2)≈d(x1/x2)≈[x2ε(x1)－x1ε(x2)]/ x22 , (x2≠0) 可知，当除数x2接近于零时，商的绝对误差就可能很大。因此 , 在数值计算中要尽量避免绝对值小的数作除数, 避免的方法是把 算式变形或改变计算顺序。 例8 当x接近于0时
一元二次方程 X2+2pX +q=0的求解方法
根据根与系数的关系可知
所以
x1x2=q=1
x2=1/x1 因此，如果仍用上述方法算出x1，然后用
x2=1/x1 计算x2，可得
x1=100000.00，x2=0.00001000 该结果是非常好的。这就说明这种算法有较好的数值稳
定性。
一般说来，当|p|>>|q|时，用公式x1= –p–sign(p)•(p2–q)0.5 ,
数值计算方法：研究怎样利用计算
工具求出数学问题的数值解，并对算 法的收敛性、稳定性和误差进行分析 计算的全过程。
构建一个完整的数值算法，包含着以下环节： 1. 提出数值问题（即对对象建立数学模型） 2 .构思处理数值问题的基本思想（即提出理论） 3 .列出计算公式 4 .设计程序框图
5 .编制源程序并调试
由此看到I8为负值、 I9 >1，显然与一切0<In<1
（由于 e-1/(n+1)= min(ex-1)∫01xndx<In (0≤x≤1)
<max (ex-1)∫01xndx=1/(n+1)
0.484
24
24
我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为
x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005
即可知近似值x*并不具有两位有效数字。
实际上, x*只有一位有效数字。
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数值运算中误差的影响
要分析数值运算中误差的传播，首先就要估 计数值运算中的误差。数值运算的误差估计情况 较复杂, 通常利用微分来估计误差。
值，则绝对误差是
|x－x*| ≤0.5 ×10-2-5 = 0.5 ×10-7
定义3或式
|ε(x)|=|x－x*| ≤0.5 ×10p-n
建立了绝对误差(限)和有效数字之间的关系。由于n 越大，10p-n
的值越小，所以有效数字位越多，则绝对误差(限)越小。
有效数字与相对误差的关系
定理1 若近似数x*具有n位有效数字，则 其相对误差为
受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳 定性。否则，就称这个算法的数值稳定性不好。
算法的数值稳定性概念举例
例1 一元二次方程
X2+2pX +q=0 的两个根分别是：
x1= –p+(p2–q)0.5，x2= –p–(p2–q)0.5 当p= –0.5×105,q=1时，方程的两个根取11位有效数字为：
（一）要避免相近两数相减
下面再举几个例说明改善算法的方法。 例２ x充分大时 1/x – 1/(x+1)=1/[x(x+1)] (1+x)1/2 – x1/2=1/[(1+x) 1/2+x1/2] 例３ 对于小的正数ε sin(x+ε) – sinx=2cos(x+ε/2)sin(ε/2) (注： sin(x) – sin(y)=2 cos [(x+y)/2] sin [(x-y)/2] )
ε| r(x)| ≤1/(2×a1) ×10-(n-1)
其中a1≠0是x*的第一位有效数字。
定理1说明有效数字位越多,相对误差(限)越小。
定理2 形式如x*= ±0.a1a2… an … ×10p的近似数 x*，若其相对误差满足
ε| r(x)| ≤1/[2×(a1+1)] ×10-(n-1)
则x* 至少有n位有效数字。 由此可知，有效数字位数可刻画近似数的精
二元函数 设数学问题的解y与变量x1 , x2有关, y=f(x1,x2)。若
x1,x2的近似值为x1*, x2*,相应解为y*,则当数据误差较 小时解的绝对误差
ε(y)=y－y*=f(x1,x2 )－f(x1*,x2* ) ≈dy=∂f (x1,x2 )/∂x1*ε(x1)+∂f (x1,x2 )/∂x2*ε(x2)
如果按从左到右的顺序进行加法运算，后三个数都在对阶过 程中被当作零，得出含有较大绝对误差的结果y=54321。要避免 这种大数“吃掉”小数的现象，可以调整计算顺序，采用先小数
后 大数的计算次序，即先将0.4,0.3,0.4加起来，然后再加上54321， 结果等于54322。
一般情况下，若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，
I0=
∫01
ex-1dx=
ex-1|
1 0
=
1-e-1
≈0.6321
In= 1– nIn-1 （n=1, 2, … , 9）
用四位小数计算依次得到：
0.6321, 0.3679, 0.2642, 0.2074, 0.1704
0.1480, 0.1120, 0.2160, -0.7280, 7.5520
例４ 对于绝对值小的 x，可利用泰勒级数 ex–1= x+x2/2+x3/6+…
取前n项来计算。
（二）要防止大数“吃掉“小数，注意保护重要数据
在数值运算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算 机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的
现 象，影响计算结果的可靠性。
例5 在五位浮点十进制计算机上，计算 y=54321+0.4+0.3+0.4
x1=99999.999990 , x2=0.000010000000001 在高精度的计算机(进制β=10,字长t=8,浮点阶码下限L= –50, 浮点阶码上限U=50)上直接用上述公式计算的结果为：
x1=100000.00, x2=0 可见，结果x1很好，而x2很不理想，这说明直接用上述公式 计算第二个根是不稳定的，其原因在于在计算x2时造成相近两数 相减，从而使有效数字严重损失。请看下面的求解方法。
(1-cosx)/sinx 的分子、分母都接近0，为避免绝对值小的数作除数，可将原式 化为
(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx) 例9 当x 很大时，可化
x/[(x+1)0.5－x0.5]=x[(x+1)0.5 + x0.5]
控制误差传播的例子
例10 计算积分
In=∫01 xn ex-1dx，n=0,1, 2, … , 9 利用分部积分法，可得
包括第一位非零数字前面的零）作为它的近似 值x*时，x*有n位有效数字。 • 例2 设 x = 4.26972，则按四舍五入法，取2位， x1*=4.3有效数字为2位,取3位，x2*=4.27,有效数 字为3位，取4位，x3*=4.270，有效数字为4位。
特别注意
近似值后面的零不能随便省去， 如 例2中4.27和4.270，前者精确到4.27,有效 数字为3位，取4位，x3*=4.270,有效数字 为4位。可见,它们的近似程度完全不同, 与准确值的最大误差也完全不同。