信息光学(1)02-常用函数、傅立叶变换;03-相关、卷积、线性系统、二维光场-66精讲

傅里叶变换的意义
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种 看待问题的角度：一个连续的信号可以看作是一个个 小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成 原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 时阈信号：将信号从时间角度的分割和叠加。
傅里叶变换：将信号从频率的角度叠加。
傅里叶变换的意义
傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波 （或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可 以合成任何所需要的信号。
逆变换
f x, y


F ( , ) exp j 2 ( x y)d d
把非周期函数分解为复指数函数 在整个连续频率区间上的积分和
极坐标下的傅里叶变换
G( , ) g (r , )
2 0 0 2
rg (r , ) exp[ j 2 r cos( )]drd
信 息 光 学
南京邮电大学 光电工程学院
几个常用非初等函数
矩形函数（ Rectangle function ）
x x0 1 1 x x0 1, x 1, rect( x) ) a 2 2 , 标准型 : rect( a 其它 0, 其它 0,
特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数
n
exp( j 2 nx)

comb x comb( )
原函数
缝函数
频谱函数
asinc( af )
absinc(af x )sinc(bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数
x2 y2 1 ) 圆函数 circ( a 0
1. 画出 二个 rect() 2. 将rect()折叠后不变; 3. 将一个rect(-)移位至给定的x, rect[-( -x)]= rect( - x); 4. 二者相乘;乘积曲线下 面积的值 即为g(x).
-1/2
1
rect()
1
rect()

0 1/2 1 -1/2 rect() 0 1/2
f ( x) lim f n ( x)
且： 则：
n
Fn ( ) fn ( x)
f ( x) lim f n ( x)
n
广义傅里叶变换
（2） δ函数的傅里叶变换 根据δ函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换
( x) ( x)e j 2 x dx 1
傅里叶变换与光学
在光学信息处理中，光学系统所传递和处理的 信息是随空间变化的函数。 一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布， 这种分布的特征可用空间频率表明。把图像看作 是由各种方向、各种间距的线条组成。
傅里叶变换与光学
例：振幅型透射光栅的傅里叶级数展开 光栅常数： 透射率
d 2b
--空间周期为d 的函数
2.分配律
vx wx* h( x) vx* hx wx* hx
3.结合律
傅里叶变换与光学
以一束单色平行光照射光栅，在其后的透镜焦平面上得到的 光强分布与该光栅本身的透射函数的傅里叶功率谱相同。 在焦面上的亮点代表直流成分，每一对亮点 代表光栅的一个空间频率。
x v f
卷积
f ( x) h( x) f ( )h( x )d

翻转、平移、相乘、积分 rect(x)*rect(x)
x2 y 2 circ a r 1 circ a 0 1 0 ra ra x2 y 2 a 其它
a 0
1 0
y x
特点：circ函数是不可分离变量的二元函数
用途：描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率
0

广义傅里叶变换
（2） 广义傅里叶变换举例 x 梳状函数：comb a ( x na) a n

n
exp( j 2 nx

a)
x comb acomb(a ) a
特例： comb x
用途：快门; 单缝, 矩孔,区域限定
矩形函数
x x0 rect ( ) a
y
x x0 y y0 rect ( ) rect ( ) a b
y
x0
a b y0
0
x0 a
x
0
a
Sinc 函数
x x0 sin ( x x0 ) / a 标准型：sin c ( x x0 ) / a a
法国数学家、物理学家
1807年－《热的传播》推导出热传导方程 ，提出任一函数 都可以展成三角函数的无穷级数。 1822年－《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固 体中分布传播问题
频域
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
时域：
频域：
傅里叶级数
傅里叶级数
周期为
1
1 f ( x) a0 (an cos n x bn sin n x) 2 n 1

数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换 物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数; 单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数

三角形函数
x x0 1 x , x 1 x x0 , 1 原型 : tri( x) , 标准型 : tri( ) a a 其它 0, 0, x x0 1 a 其它
广义傅里叶变换
周期函数：1. 只有有限个极值点和间断点， 2. 绝对可积 非周期函数： 延拓为周期函数，
光学中不少有用的函数，如：脉冲函数、阶跃函 数等，不能满足以上条件，因此必须把以上傅里 叶变换定义推广，才能求出其傅氏变换式
广义傅里叶变换
极限意义下的傅里叶变换和δ函数的傅里叶变换 （1）极限意义下的傅里叶变换 函数 f ( x ) 不存在狭义傅里叶变换，但有：
x0 x0 x0
-1
x
用途：代表“
”相移器、反相器
阶跃函数（ Step Function ）
1 step( x) 1 2 0 x0 x0 x0
1
0 Step(x) x
与符号函数关系:
Sgn(x)=2 Step (x)-1
用途：开关；无穷大半平面屏
圆柱（域）函数（ Circular Function ）
傅里叶变换简单理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成 由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而 成。傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信 号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂 乱无章的信号中的主要振动频率特点。
例如：减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根
据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以 快速判断哪级齿轮损伤。
δ函数
0 ( x, y ) x 0, y 0 x 0, y 0




( x)dx 1
f ( x) ( x)dx f (0)


δ函数 ----性质
筛选性质



f ( x) ( x x0 )dx f ( x0 )
函数是偶函数

的函数 f ( t )可以展开为三角级数
由正弦和余弦 函数线性组合 成的无穷级数
an bn
22源自0f ( t )cos 2 n tdt , f ( t )sin 2 n tdt

0
理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； 用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。
指数傅里叶级数
fx fy
2
2
( f ) ( f f0 ) ( f f0 )
1 2
1 2
高斯函数
g ( x) exp(ax 2 )
(x)
1
1
函数
常数
傅里叶变换的意义
数学意义: 从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射； f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F(ω)称为象函数。 应用意义: 把任意函数分解为简单周期函数之和，F(ω)的 自变量为频率，函数值为对应的振幅。 物理意义： 把一般运动分解为简谐运动的叠加； 把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。
( x) ( x )
比例变换性质
1 (ax) ( x) a
梳状函数（Comb Function）
傅里叶（1768-1830 ）
9岁父母双亡， 被教堂收养。12岁由主教送入 地方军事学校读书。17岁回乡教数学。26岁到 巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到 巴黎综合工科学校执教。30岁随拿破仑远征埃 及时任军中文书和埃及研究院秘书，33岁回国 后任伊泽尔省地方长官。51岁当选为科学院院 士，54岁任该院终身秘书，后又任法兰西学院 终身秘书和理工科大学校务委员会主席。
0 2 / d
v0 0 / 2 1 / d
空间频率：单位长度内变化的次数。
表示一个周期为d 的黑白光栅可看成由频率 0 1/ d 及3 0 , 5 0 许多正弦光栅（强度按正弦分布）组成。
令 / 0 k
k 0
d sin 2 2 sin d sin x v 2 f


-1/2
x-1/2 x x+1/2
0 1/2
1 -1 0
g(x) x 1
卷积效应
展宽：一般来说，卷积的宽度
等于被卷积函数的宽度之和。
平滑：被积函数经过卷积运算，
其微细结构在一定程度上被消除， 函数本身的起伏变得平缓圆滑。
卷 积 运算定律
1.交换律
f x * h( x) hx * f x


1 e j 2 x dx ( x)

1 0 t
F ( )

f (t ) 1
0
( ) 2
t
1 0
2

0

广义傅里叶变换
（2） 广义傅里叶变换举例
1 阶跃函数： step ( x ) 1 sgn( x) 2
u(t)
0
F ( )
1 step( x) 1 sgn( x) 2 1 j ( ) 2 t
tri(x) -1 0
1 1 x
1 -a+x0 x0 x a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
又写成：L(x)
南京邮电大学 光电工程学院 赵新彦
符号函数（ Signum ）
1 sgn( x) 0 1
1 0 Sgn(x)
f (t )
Fn
n
Fe
n

j 2 n t
1



0
f ( t )e j 2 n t dt , n 0, 1, 2,
傅里叶变换
1.傅里叶变换
正变换
F ,

f ( x, y) exp j 2 ( x y)dxdy
0 0
G( , ) exp[ j 2 r cos( )]d d
傅里叶-贝塞耳变换
G 2 rg (r ) J 0 (2 r )dr
0

——正变换
g (r ) 2 G ( ) J 0 (2 r )d
0

——逆变换
傅里叶变换
T (： x)
--空间位置 x 有确定的函数关系
T ( x)
{0
1
md x (2m 1)d / 2, m 0,1,2
其他
傅里叶变换与光学
展开为傅里叶级数
1 2 2 2 T ( x) sin( 0 x) sin(3 0 x) sin(5 0 x) 2 3 5
sinc(x) 1 -1 1 1 a+x0 x x
0
x0 -a+x0
特点: 最大值 sinc(0)=1；lim sinc(x)=0
x
曲线下面积 S=1； 0点位置 x=n (n=1, 2, 3…)等间隔； 偶函数
Sinc 函数
二维sinc函数:
sinc(x)sinc(y)
Sinc函数的重要性: