线性代数--第三章

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amn bm
问题： 如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
3.1 消元法
例1 求解非齐次方程组的解
x1 - x2 - x3 x4 2
x1
x2
x3
- 3x4
1
x1
- x2
- 2x3
3x4
-1 2
解
x1 - x2 - x3 x4 2
定理3.1.1 n 元非齐次线性方程组 A x b 有解的 充分必要条件是 r（A） r（B） r.
r（A） r（B） r n时, 唯一解 r（A） r（B） r n时, 无穷多解 r（A） r（B）时, 无解
定理3.1.2 n 元齐次线性方程组 A x 0
有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 r A n， 仅有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 r A n.
2x2 2x3 - 4 x4 - 1
- x3
2x4
-5 2
x1 - x2 - x3 x4 2
x2
x3
- 2x4
-1 2
x3
- 2x4
5 2
x1
- x2
x2
9 x4 2
-3
x3 - 2x4
5 2
x1
x2
3 x4 2
-3
x3 - 2x4
5 2
其余n r个作为自由未知量,
并令 n r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
定理3.1.2 n 元齐次线性方程组 Amn x 0
有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 r A n， 仅有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 r A n.
证 必要性
设r A n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
推论： 如果n元齐次线性方程组中，方程个数少于变量的个数 即m<n，则方程组必有非零解。
定理3.1.3 如果n元齐次线性方程组的系数矩阵A 是方阵，则方程组有非零解的充分必要条件为|A|=0。
定理3.1.1 n 元非齐次线性方程组 A x b 有解的
充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 B A,b 的秩.
Dn所对应的 n个方程只有零解 根据克拉默定理 ,
这与原方程组有非零解相矛盾，
即 r A n.
充分性
设 r A r n,
则 A 的行阶梯形矩阵只含 r 个非零行，
从而知其有 n r 个自由未知量 . 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，
0 0
1 2
52
0
0
1 2
52
1 1 0 1 9 / 2 0 1 0 0 3
0
0
1 2
5
2
1 0 0 1 3 / 2 0 1 0 0 3
0
0
1
2
5
2
方程组有无穷多解，且有
rA 3，rB 3,
rA rB 4
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2
a11
0
0
0
0
0
a12 a22 0 00 00
00
a 1，r a 2，r
0 0 0
0
a1，r 1 a 2，r 1
a r，r 1
0 0
0
a1n b1
a2n b1
a rn 0
br
br1
0
0
0 0
显然
非齐次线性方程组
无解 r(A) r(B ) 无穷多解 r(A) r(B ) n 唯一解 r(A) r(B ) n
a1n b1
a2n b2
amn
bm
a11
0
0 0
0
0
a12 a22 0 00 00
00
a 1，r a 2，r
0 0 0
0
a1，r 1 a 2，r 1
a r，r 1
0 0
0
a1n b1
a2n b1
a rn 0
br
br1
0
0
0 0
x2 x2
3x3 5x3
x4 3 x4
1,
2,
2x1 x2 2x3 2x4 3.
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 2 3 1 1 B 3 1 5 3 2
2 1 2 2 3
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
- x2
- 2x3
3x4
-1 2
解 对增广矩阵B进行初等行变换
1 1 1 1
B 1 1 1 3
2 1
1 0
1 2
1 2
1 4
2 1
1 1 2
3
1 2
0
0
1
2
5 2
1 1 1 1
2 1 1 1 1
2
0 1 1 2 1 / 2 0 1 1 2 1 / 2
Ax b
a11
若取A
a21 am1
a12 a22 am2
a1n
a2n amn
,
x1
X
x2
xn
b1
b
b2
bm
n 为线性方程组变量的个数
增广矩阵B（或者 A）=（A ¦B）
a11 a12
B
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n b2
第三章 线性方程组
3.1 消元法 3.2 N维向量及其线性相关性 3.3 向量组的秩 3.4 线性方程组解的结构
线性方程组的矩阵表示
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a1n xn a2n xn
b1 b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
证 必要性 设方程组 Ax b 有解,
设r A r、B,
则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾
方程０＝１，
这与方程组有解相矛盾. 因此 r A r B.
充分性
设 r A r B,
设 r A r B rr n,
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
方程组无解．
显然，r(A) 2, r(B ) 3, r(A) r(B )
非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11
B
a21
am1
a12 a22 am2
3
x1
x2
2 -3
x4
x3
5 2
2x4
方程组有无穷多解，一般解（通解）为
x4 为自由变量
其它变量为非自由变量
x1
x2
x3
3
2 -3 5
2
C 2C
C为任意常数
x4 C
例1 求解非齐次方程组的解
x1 - x2 - x3 x4 2
x1
x2
x3
- 3x4
1
x1