线性代数 第三章 矩阵的初等变换
线性代数第三章
Am n 的各阶子式的总数:
min( m , n )
k 1
k k CmCn .
任意非零矩阵都至少有一个1阶非零子式(其每个非零元都可构成一个
1阶非零子式), 更高阶子式(如有)中还可能有非零的.
一个矩阵所具有的非零子式的最高阶数这一 数字与该矩阵的多方面性质有关, 将这一数字定
1 A 0 0 2 2 0 1 8 0 0 8 0
0
由此知A可逆, 故系数 行列式非零,于是克莱 默法则也适用本题.
3
行最简形矩阵
2
(29,16, 3)
1
x1 2 x2 x3 0 x2 4 x3 4 . 例3.4.2 求解线性方程组 4 x 5 x 8 x 9 1 2 3
由性质 5
ci c n i i 1, 2,, n
~
( A, B )
R ( A) R ( B ).
证毕.
例3.3.4 设A为n阶方阵,证明: R( A E) R( A E) n. 证明:
A E
ri ( 1) i 1, 2, , n
~
EA
练习 设A2=E,证明: R(A+E)+R(A-E)=n.
B的各非零行的首个非零元处在第1,2,3行、第1,2,4列, 分别对应于A 的第4,2,3行、第1,2,4列, 其交叉点处的元素构成的行列式
3 2 D 2 1 0 6
6 5 1
A的第2,3,4行、第1,3,4 列交叉点处的元素也可构成A 的最高阶非零子式.想想为什 么？还可以怎么取?
就是A的一个最高阶非零子式.
R( A) R( B) 3 .
例3.3.2 解:(2)求A的一个最高阶非零子式.事实上
同济大学线性代数课件__第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0
0 6 0
B4
2020/12/12
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3 3 0
B5
行最简形
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
令 x3 c
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
3x2 3x3 4x4 3, ④
2020/12/12
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2 x4
4, ① 0, ② 6, ③
x4 3.④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
④ 12③
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11
x2 3x2
x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, ④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
②③
③2①
④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
1
1
01
第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
2020/12/12
17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1
第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩
第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩３．１ 矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换：（１） 交换第i 行（列）和第j 行（列）；（２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个元素；（３） 把矩阵某一行（列）的元素的k 倍加到另一行（列）．对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂．例1 求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=042111210A 的逆矩阵．３．２ 初等矩阵单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是（１）交换第行和第i j 行（交换第列和第i j 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1101111011).(%"""###%###"""%j i E（２）用常数λ乘第行（i λ乘第i 列）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%%λλi E （３）第i 行的k 倍加到第j 行（第j 列的k 倍加到第列） i⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111))((%"%#%k k ij E显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且有),(),(1j i E j i E =−；⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−λλ1))((1i E i E ； ))(())((1k ij E k ij E −=−．初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换．例如要将矩阵的第１行和第３行交换，则左乘一个初等矩阵A )3,1(E ：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛001010100⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛131211232221333231a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换．例2 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=231322122111333231232221a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=1000100111E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0010101002E ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010103E ．则以下选项中正确的是B A E E E A =321)(；B E E AE B =321)(；B A E E EC =123)(；B E E AE D =123)(．例３ 设是３阶可逆矩阵，将的第１行和第３行对换后得到的矩阵记作．A AB （１） 证明可逆；B （２） 求． 1−AB例4 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011431321A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000110101B ，是否存在可逆矩阵P ，使得B PA =？若存在，求P ；若不存在，说明理由．例5 设是3阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得C ，A AB B 则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为(A) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛101001010 (B) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100101010 (C) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛110001010 (D) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100001110３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B 可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称矩阵和等价．A AB 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：（１） 反身性：任何矩阵和自己等价；（２） 对称性：若矩阵和矩阵等价，则矩阵和A B B矩阵也等价；A （３） 传递性：若矩阵和矩阵等价，矩阵和矩阵C 等价，则矩阵和矩阵C 等价．A B B A 形如⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵A 都与一个等价标准形⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E 等价．其中r E 是r 阶单位矩阵．这个r 是一个不变量，它就是矩阵的秩．任何矩阵总存在一系列的初等矩阵s P P P ,,,21"，和初等矩阵t Q Q Q ,,,21"使得11P P P s s "−A t Q Q Q "21＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ． 令P ＝，Q ＝11P P P s s "−t Q Q Q "21，于是对任意的矩阵，总存在m 阶可逆矩阵n m ×A P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ ＝⎟⎠⎞⎜⎝⎛000r E ．例6 设阶矩阵与等价，则必有n A B (A) 当)0(≠=a a A 时，a B =．(B) 当)0(≠=a a A 时，a B −=． (C) 当0≠A 时，0=B ． (D) 当0=A 时，0=B ．３．4 矩阵的秩在矩阵中，任取n m ×A k 行k 列，位于这k 行k 列交叉处的2k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶行列式，称为矩阵的一个A k 阶子式．若矩阵中有一个A r 阶子式不为零，而所有1+r 阶子式全为零，则称矩阵的秩为A r ．矩阵的秩记作．A )(A r 零矩阵的秩规定为零．显然有 ⇔≥r A r )(A 中有一个r 阶子式不为零；中所有A r A r ⇔≤)(1+r 阶子式全为零．若n 阶方阵，有A n A r =)(，则称是满秩方阵． A 对于n 阶方阵， A 0)(≠⇔=A n A r ．矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．例7 求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=45532511014132232211A 的秩． 例8 求阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A """""""的秩， 2≥n ．例9 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=71534321101111a b A ，已知3)(=A r ， 求．b a , 常用的矩阵的秩的性质： （１）；)()(T A r A r =（２）)()()(B r A r B A r +≤+；（３）))(),(min()(B r A r AB r ≤，（４）)()(00B r A r B A r +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛； （５）)()(0B r A r B C A r +≥⎟⎠⎞⎜⎝⎛；（６）若0=AB ，则n B r A r ≤+)()(，其中n 为矩阵的列数．A （７）若可逆，则A )()(B r AB r =（８）若列满秩，则A )()(B r AB r =（９）若行满秩，则B )()(A r AB r =例10 设B A ,都是阶方阵，满足n E AB A =−22，求=+−)(A BA AB r ？例１1 设是矩阵，A 34× ,301020201,2)(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==B A r 求．)(AB r 例１2 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=62321321t A ，是３阶非零B 矩阵，且满足0=AB ，则4)(=t A 时，的秩必为１；B 4)(=t B 时，的秩必为２；B 4)(≠tC 时，的秩必为１；B 4)(≠t D 时，的秩必为２．B 例13 设B A ,都是阶非零矩阵，且满足n 0=AB ， 则A 和的秩B)(A必有一个等于零； )(B都小于n ； )(C一个小于n ，一个等于； n )(D 都等于n ．例14 设是矩阵，B 是A n m ×m n ×矩阵，若 m n < 证明：0=AB ．例15 设是２阶方阵，已知A 05=A ，证明． 02=A３． 5 伴随矩阵设 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A """""""212222111211， 记的代数余子式为，令ij a ij A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A A """""""212221212111* 为矩阵的伴随矩阵．因此，若A ()ij a A =，则 ()T ij A A =*．伴随矩阵的基本关系式：E A A A AA ==**． *11A A A =−，或 1*−=A A A ． 1*−=n A A ．⎪⎩⎪⎨⎧−<−===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r例16 设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=122212221A ，求的伴随矩阵． A *A 例17 设⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1111,23212121A A , ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−12100A A B 则 *B =？ 例18 设是３阶矩阵，A 21=A ，求*12)3(A A −−． 例19 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A ，且E XA AXA 311+=−−，求X ．。
线性代数第三章矩阵的初等变换
⑴ 显然前两种情况都不改变矩阵的秩；
⑵ 只证明第三种初等变换且只证明行变换. 设 Amn ri ，krj仅B改mn变第i行
① 当 rank A r 时 m(则inA{中m,不n}为0子式
0
1 5
4 4
记做
H
0
行最简型
c3
1 2
c1
c4
1 4
c1
c3
3 2
c2
c4
5 4
c2
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
1 0
1 2
14
0
1
32
5 4
0 0 0 0
E2 O12
O22 O12
记做
等价标准型
命题 每一个初等变换都有逆变换，且其逆变换是同
等类型的初等变换。
例如，对矩阵 3 1 0 2
A 1 1 2 1 1 3 4 4
有有没一 二 三有阶 阶四子 子阶式 式 CC4243CC1子32233 个式148 个 个
二、矩阵的秩
定义3.2 在 m×n 阶的矩阵A中，若
⑴ 有某个r阶子式 Dr 0 ； ⑵ 所有的r+1阶子式 Dr1 0 (如果存在的话)； 则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
3. 某一行(列)的所有元素的k倍加到另一行(列)
对应元素上； 倍加 ri krj , ci kcj
称为矩阵的初等行(列)变换.
初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
Amn 经过初等变换得到 Bm,记n 做 Am.n Bmn
例1 3 1
A 1 1
线性代数习题册(第三章 矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)
(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X） （X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0
1≤i< j≤n
1
xn
x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；
1
1 0
0
0
a11 a21
a12 a22
a13 a23
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
同济大学线性代数课后答案 第三章
0 0
10⎟⎟⎠A⎜⎜⎝00
1 0
10⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝ 74
5 8
96⎟⎟⎠ ,
求 A.
解
⎜⎜⎝⎛100
1 0 0
100⎟⎟⎠⎞ 是初等矩阵 E(1, 2),
其逆矩阵就是其本身.
⎛1 0 1⎞ ⎜0 1 0⎟ 是初等矩阵 E(1, 2(1)), 其逆矩阵是 ⎜⎝0 0 1⎟⎠
⎛ 1 0 −1⎞
E(1, 2(−1))
⎜⎝0 0 0 1 4⎟⎠
⎛1 0 2 0 −2⎞
~
⎜ ⎜
0 0
1 −1 −1 00 1
−1⎟ 4⎟ (下一步: r2+r3. )
⎜ ⎝
0
0
0
0
0⎟⎠
~
⎜⎛
⎜ ⎜⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
2 −1 0 0
0 0 1 0
−32⎟⎞
4 0
⎟ ⎟⎠
.
⎛0 1 0⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎛1 2 3⎞
2.
设 ⎜⎜⎝ 10
0 0 0
0 0 3
0 1⎟
0 2
00⎟⎟⎠
~
⎜⎛
⎜ ⎜⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
3 2 0 0
2 −1 0 0
70⎟⎞ 01⎟⎟⎠
,
0 7 −5 矩阵的秩为 3, 5 8 0 =70≠0 是一个最高阶非零子式.
32 0
10. 设 A、B 都是 m×n 矩阵, 证明 A~B 的充分必要条件是
R(A)=R(B). 证明 根据定理 3, 必要性是成立的.
解
⎜1 ⎜⎝ 1
−1 3
2 −4
−1⎟ 4⎟⎠
线性代数课件第三章
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
线性代数 第三章 矩阵 第六节
1
或以数 k 0 乘单位矩阵E 的第i 列(ci k)，得
初等矩阵E (i(k )).
3. 以 k 乘单位矩阵E 的第i 行加到第 j 行上 (rj kri ), 得初等矩阵E(i(k), j)
1
E(i(k), j)
10
第i行
k
1
第j行
1
或以 k 乘 E 的第 j 列加到第i 列上 (ci kcj )得 初等矩阵E (i(k), j)
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，则
A1 Pl 1 P11, 于是有
P P 1 1 l l 1
P11 A
E,
及
Pl
1Pl
1 1
P11E
A1,
Pl
1 Pl
1 1
P11
A
E
Pl
1Pl
1 1
P11
A
Pl
1Pl
1 1
P11E
E A1
即对 n 2n 矩阵 (A E) 施行初等行变换，
由上述定理可知：
对任意矩阵A (aij )mn 及 B (bij )mn存在一系列m阶
初等方阵 P1、P2、、PS 和n阶初等方阵Q1、Q2、、Qt
使得
Ps Ps1 P2 P1 AQ1Q2 Qt1Qt B
令: P Ps Ps1 P2 P1 , Q Q1Q2 Qt
则 P、Q是可逆的，于是有: 定理 矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆 阵P 和n阶可逆阵Q，使得
a33 a32 a31
0 0 1 0
a11 AE(1,3) a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
0 1
1 0
0 0 0 0
线性代数第三章
一、 引例ຫໍສະໝຸດ 例 求解线性方程组 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2 , x + x − 2x + x = 4 , 1 2 3 4 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9.
解
(1) ①↔② ③÷2
1 2 1 0 0 0 − 1 3 0 0 0 5
1 3 0 − 2 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 3 0 0 1 3 0 1 0 0 0
2. 重要结论 定理 每一个矩阵都可以经过单纯的初等行
变换化为行阶梯形矩阵. 变换化为行阶梯形矩阵.
二、 初等变换的定义
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 初等行变换:
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri ↔ rj ); 对调两行( 两行, (ii) 以数 k ≠ 0 乘以某一行中的所有元素 (第 i 行乘以 k , 记作 ri × k ); (iii) 把某一行所有元素的 k倍加到另一行对应 的元素上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作 ri +krj). 行上,
五、行最简形矩阵和标准形矩阵
定义 一个行阶梯矩阵若满足
(1) 每个非零行的第一个非零元素为 1 ; (2) 每个非零行的第一个非零元素所在列 的其它元素全为零, 的其它元素全为零, 则称之为行最简形矩阵.
定义 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵, 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵,
其它位置的元素都为零, 其它位置的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形
如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B , 就称
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)-章节题库-第3章 矩阵的初等变换与线性方程组【圣才出
第 3 章 矩阵的初等变换与线性方程组
一、选择题
a1 1
1．设
A
a2 1
a3 1
a1 2 a2 2 a32
a1 3
a21
a 2，3
B
a11
a 3 3
a31 2a11
a22 a12 a32 2a12
a23
a13
a 2 1 a 2 1
2 4 2 2 4 2 4a 12 0
1 2 a a 1 0 a 1
知 r（A）＝3。
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由于 AB＝0，A 是 3×4 矩阵，有 r（A）＋r（B）≤4。那么当 a＝1 时，r（A）＝1， 1≤r（B）≤3，B 是 4×2 矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2；当 a≠1 时，r（A）＝3， 所以必有 r（B）＝1。
6．设 A 为四阶方阵，且满足 A2＝A，则秩 r（A）＋秩 r（A－E）＝（ ）。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】由于 A（A－E）＝A2－A＝0，故 r（A）＋r（A－E）≤4，又 E＝（E－A）＋ A，故 4＝r（E）＝r（E－A＋A）≤r（E－A）＋r（A）＝r（A－E）＋r（A），从而 r（A） ＋r（A－E）＝4。
7 8 9
1 2013 3 D． 4 8049 6
7 14085 9
【答案】B
【解析】P、Q 均为初等矩阵，因为 P－1＝P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的 1，3
两行，那么 P2012A 表示将 A 的 1，3 两行互换 2012 次，从而 (P1)2012 A P2012 A A 。
线性代数第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
✓一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 i ＋k j .
其逆变换是：
ij
i ×k i +k j
ij
i ÷k i －k j
结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变
换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2. 在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算．
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
0 0 0 0 1
以 k 乘单位阵第 i 列加到第 j 列．
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
? E5
0
0
1
0
0 c53 c53 k 0
0
1
0
k0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0k 0 1
a11 a12 a13 a14
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
知识点回顾：克拉默法则
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
设
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
结论 1 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该 线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）
✓对调两行，记作 ri rj ； ✓以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； ✓某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri krj .
其逆变换是：
ri rj ri k ri krj
ri rj ; ri k; ri krj .
(完整版)线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组
![(完整版)线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组](https://img.taocdn.com/s3/m/c1481ec7852458fb760b5623.png)
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆(2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦L2.设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则 是该方程组的解.121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组: (1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a,且在有解的情形,求出它的一般解.。
线性代数第三章知识要点
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结本 本若 若节击想请 请本容单若束内请返结本 本若 若节击想请 请本容单若束内请返结节 节已击想 想本本容单 单若回束节 节想想内请返结单单节已击想本本容单若回束节 节想想内请返结单 单节已击想本本容单若回束内 内结请返结 结堂节已击 击想按本内 内结结本容单若回束击击内结请返结堂节已击想按本内 内结结本容单若回束击 击内结请返结堂节已击想按本本容 容束单若回束 束课内结请返 返结钮堂容 容束束节已击想按本返返本容束单若回束课内结请返结钮堂容 容束束节已击想按本返 返本容束单若回束课内结请返结钮堂节已 已击想按本 本,容束单回 回束课.已 已本本内结!返结钮堂回回节已击想按本,容束单回束课.已 已本本内结!返结钮堂回 回节已击想按本,容束单回束课.内结 结!返结钮堂 堂已击按 按本,结 结堂堂容束回束课.按按内结!返结钮堂已击按本,结 结堂堂容束回束课.按 按内结!返结钮堂已击按本,容束 束回束课 课.结!返钮 钮堂束 束课课已按本,钮钮容束回束课.结!返钮堂束 束课课已按本,钮 钮容束回束课.结!返钮堂已按本,,束回课..,,结!!钮堂..已按本,!!束回课.,,结!钮堂..已按本,!!束回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,束课.!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
2. 矩阵的秩 (1) 定义 定义 8 设在矩阵 A 中有一个不等于0 的 r 阶 子式 D, 且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话)全等 于 0 , 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式, 数 r 称为矩阵A 的秩, 记作 R(A),并规定零矩阵的秩等 于0. (2) 定理 定理 3 若 A ~ B , 则 R(A) = R(B).
线性代数第三章,矩阵初等变换与线性方程组
（称 B 是该线性方程组的增广矩阵）
3
6 9
7 9
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
~r1
r2
2
r3
1 2
2
3
1 3 6
1 1 9
1 1 7
~ 2
r2 r3
r3 2 r1
0
2
r4
3r1
0
9 0
2 5 3
2 5 3
2 3 4
0
6
3
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4
A,
E
2
3
2 4
1 3
0 0
1 0
0 1
r2 r3
2 r1
~
3r1
0 0
2 5 2 2 6 3
1 0
0
1
1
r1 r2
~ r3 r2
0 0
0 2 1 1 2 5 2 1 0 1 1 1
0 1
0 1
r1 2r3
~
r2 5r3
0 0
0 0 1 3 2
2 0
3
6
5
0 1 1 1 1
2 4 4
2 4 0
4 4 0
240
故 R A 2 。
特别，当 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 ，则 R A n ；反之，当 n 阶方阵 A 的秩 R A n ，
则 A 0 。因此 n 阶方阵可逆的充分必要条件是 R A n （满秩）。
定理 若 A ~ B ，则 R A RB 。
3 2 0 5 0
x2
c
1
2
x3 1 0
一些推广：
1． 矩阵方程 AX B 有解 R A R A, B 。 2． AB C ，则 RC min{R A, RB}。 3． 矩阵方程 Amn X nl O 只有零解 R A 0 。
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x3 x3
x4 2, ② x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
2
2
3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2
2
B1
9
§1 矩阵的初等变换
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2
2
x1 x1
3
x2 x2
x3 x3
x4 2, x4 2,
② ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
3x2 3x3 4x4 3. ④
§1 矩阵的初等变换
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3. ④
② ÷2
③＋5×②
④－3×②
x1 x2 2x3 x4 4, ①
1
3
§1 矩阵的初等变换
x1
x2 2x3 x4 4, ① x2 x3 x4 0, ②
2x4 6, ③ x4 3. ④
③④
④－2×③
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 2
0
6
B3
其逆变换是：
ri rj ri k ri krj
ri rj ; ri k; ri krj .
初等变换
初等行变换 初等列变换
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
§1 矩阵的初等变换
2x1 x2 x3 x4 2,
x1 4 x1
6
x2 x2
2 2
x3 x3
2
x4 x4
②－③
③－2×① ④－3×①
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3. ④
1 1 2 1 4
2
2
1 3
1 1
1 1
2 2
B1
3
6 9
7
9
r2 r3
r3 2r1 r4 3r1
第三章 矩阵的初等变换 与线性方程组
§1 矩阵的初等变换
一、矩阵的初等变换
引例：求解线性方程组
2x1 x2 x3 x4 2, ①
x1 4 x1
6
x2 x2
2 2
x3 x3
2
x4 x4
4, 4,
② ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
§1 矩阵的初等变换
2x1 x2 x3 x4 2, ①
2 5
2 3
0 6
B2
0
3 3
4
3
② ÷2
r2 2
③＋5×② ④－3×②
r3 5r2 r4 3r2
x1 x2 2x3 x4 4, ① 1 1 2 1 4
x2 x3 x4 0, 2x4 6, x4 3.
② ③ ④
0
0
1 0
1 0
1 2
0 6
B3
0
0
0
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
x4 3. ④
§1 矩阵的初等变换
x1 x2 2x3 x4 4, ①
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
x4 3. ④
③④
④－2×③
x1 x2 2 x3 x4 4, ①
x2 x3 x4 0, ② x4 3, ③
§1 矩阵的初等变换
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2 2
x1 x1
3
x2 x2
x3 x3
x4 2, x4 2,
② ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
②－③
③－2×① ④－3×①
x1 x2 2x3 x4 4, ①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
0 0. ④
§1 矩阵的初等变换
x1 x2 2 x3 x4 4, ①
x2 x3 x4 0, ② x4 3, ③
0 0. ④
恒等式
取
x3
为自由变量，则
x1 x2
x3 x3
4, 3,
x4
3.
令 x3 = c ，则
x1 c 4
X
x2 x3
c
c
结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变
换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2. 在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算．
§1 矩阵的初等变换
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
✓对调两行，记作 ri rj ； ✓以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； ✓某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri krj .
6
x2 x2
2 x3 2 x3
2
x4 x4
4, 4,
② ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
1
4
3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 4
B
9
①②
③÷2
r1 r2 r3 2
x1 x2 2x3 x4 4, ① 1 1 2 1 4
2 2
x1 x1
3
x2 x2
4, 4,
3x1 6x2 9x3 7 x4 9.
增广矩阵
2 1 1 1 2
1
4
1 6
2 2
1 2
4 4
B
3
6 9
7
9
结论：
对原线性方程组施行的变换可以
转化为对增广矩阵的变换.
§1 矩阵的初等变换
2x1 x2 x3 x4 2, ① 2 1 1 1 2
4
x1 x1
3
x4 3
1 4
c
1
3
.
1 0
0
3
§1 矩阵的初等变换
三种变换： ✓交换方程的次序，记作 i
j；
✓以非零常数 k 乘某个方程，记作 i ×k ； ✓一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 i ＋k j .
其逆变换是：
ij
ij
i ×k
i ÷k
i +k j
i －k j
4
x1 x1
6
x2 x2
2 2
x3 x3
2
x4 x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4, 4,
② ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
①②
③÷2
x1 x2 2x3
2 2
x1 x1
3
x2 x2
x3 x3
x4 4, ① x4 2, ② x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9. ④
1 1 2 1 4
0
0
2 5
2 5
2 3
0
6
B2
0 3 3 4 3
§1 矩阵的初等变换
x1 x2 2x3 x4 4, ① 1 1 2 1 4
2x2 2x3 2x4 0, 5x2 5x3 3x4 6, 3x2 3x3 4x4 3.
② ③ ④
0
0
2 5