西安交通大学高等代数与线性代数历年考研试题
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 矩阵和运算
B=
18150
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
引例 某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
单价 重量
数量(箱)
产品 (元/箱) (Kg/箱) A B C
甲 20 16 200 180 190
乙 50 20 100 120 100
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn
,
(2)
ym am1 x1 am2 x2 amn xn ,
表示一个从变量 x1 , x2 , ···, xn 到变量 y1 , y2 , ···,
ym 的线性变换， 其中 aij 为常数.
线性变换（2）的系数 aij 构成矩阵 A = ( aij )mn .
引例1 求解线性方程组
x1 2x2 3x3 2x1 2x2 1x3
1 0
3x1 4x2 3x3 0
1 2 3 1 2 2 1 , 0 3 4 3 0
x1
2 2x2
x2
3 5x3
x3
1 2
1x3 1
1 0
2 2
3 5 ,
1 2
0 0 1 1
am1 am2 amn
叫做一个 m n 矩阵, 这 m n 个数叫做矩阵的
元素, aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.
“矩阵 (matrix)” 这个词首先是英国数学 家西尔维斯特使用的. 他为了将数字的矩形阵 列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语。
英语 高等数学 大学物理 线性代数
甲
85
85
65
98
乙
75
西交《线性代数》在线作业(资料答案)
西交《线性代数》在线作业-0001试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 35 道试题,共 70 分)1.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )A.A^-1CB^-1B.CA^-1B^-1C.B^-1A^-1CD.CB^-1A^-1答案:A2.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)答案:A3.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的( )。
A.充分必要条件；B.必要而非充分条件；C.充分而非必要条件；D.既非充分也非必要条件答案:C4.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。
A.a1-a2,a2-a3,a3-a1B.a1,a2,a3+a1C.a1,a2,2a1-3a2D.a2,a3,2a2+a3答案:B5.设A为三阶方阵,且|A|=2,A*是其伴随矩阵,则|2A*|=是( ).A.31B.32C.33D.34答案:B6.设A,B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要条件是( ).A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA答案:D7.设A3*2,B2*3,C3*3,则下列( )运算有意义A.ACB.BCC.A+BD.AB-BC答案:B8.设二阶矩阵A与B相似,A的特征值为-1,2,则|B|=A.-1B.-2C.1D.2答案:B9.设向量组a1,a2,a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )A.a1-a2,a2-a3,a3-a1B.a1,a2,a3+a1C.a1,a2,2a1-3a2D.a2,a3,2a2+a3答案:B10.设A为三阶方阵,|A|=2,则 |2A-1| = ( )A.1B.2C.3D.4答案:D11.设某3阶行列式︱A︱的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1,则此行列式︱A︱的值为( ).A.3B.15C.-10D.8答案:C12.设a1,a2,a3,a4,a5是四维向量,则( )A.a1，a2，a3，a4，a5一定线性无关B.a1，a2，a3，a4，a5一定线性相关C.a5一定可以由a1，a2，a3，a4线性表示D.a1一定可以由a2，a3，a4，a5线性表出答案:B13.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若c1u1-c2u2是其导出组Ax=o的解, 则有( ).A.c1+c2=1B.c1= c2C.c1+ c2 = 0D.c1= 2c2答案:B14.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是( ).A.∣A∣>0B.存在n阶矩阵P，使得A=PTPC.负惯性指数为0D.各阶顺序主子式均为正数答案:D15.用一初等矩阵左乘一矩阵B,等于对B施行相应的( )变换A.行变换B.列变换C.既不是行变换也不是列变换答案:A16.若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则( )A.A与B相似B.A≠B，但|A-B|=0C.A=BD.A与B不一定相似，但|A|=|B|答案:A17.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1,2,3,它们的余子式分别为-1,1,2,D的值为( )A.-3B.-7C.3D.7答案:A18.设A为n阶方阵,r(A)<n,下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是( )A.Ax=0只有零解B.Ax=0的基础解系含r(A)个解向量C.Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量D.Ax=0没有解答案:C19.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解,若c1u1+c2u2也是方程组Ax = b的解,则( ).A.c1+c2 =1B.c1= c2C.c1+ c2 = 0D.c1= 2c2答案:A20.设三阶矩阵A的特征值为1,1,2,则2A+E的特征值为( ).A.3，5B.1，2C.1，1，2D.3，3，5答案:D21.设A,B,C均为n阶非零方阵,下列选项正确的是( ).A.若AB=AC，则B=CB.(A-C)^2 = A^2-2AC+C^2C.ABC= BCAD.|ABC| = |A| |B| |C|答案:D22.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有( )A.k≤3B.k<3C.k=3D.k>3答案:A23.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )A.A=0B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)答案:A24.设 A、B、C为同阶方阵,若由AB = AC必能推出 B = C,则A应满足( ).A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠0答案:D25.设A,B均为n阶非零方阵,下列选项正确的是( ).A.(A+B)(A-B) = A^2-B^2B.(AB)^-1 = B^-1A^-1C.若AB= O, 则A=O或B=OD.|AB| = |A| |B|答案:D26.设A,B均为n阶方阵,则( )A.若|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)^-1=B^-1A^-1答案:A27.设A为m*n矩阵,则有( )。
西交-线性代数-习题答案
第一章1.C.2.B.3.C.4. D.5. D.6.)(2b a -.7. 5.8. 1=λ或0=μ.9. 48. 10. 0. 11. (1)和(3)不正确，其余正确. 12. (1) );2()1(2+---a a λλ (2) ;)1)(3(3-+x x (3) 31; (4) 40; (5) ;142- (6) ).)((22221111c b d a c b d a --13. 3,2,4321-===x x x . 14. 1=k 或2=k . 16. 注意1D 与2D 的第4行对应元素有相同的余子式.第二章1. D.2. C.3. D.4. C.5. D.6. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3100013025. 7. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10042032121. 8. 24.9. 1-n a . 10. 2-. 11. (1)和(4)不正确，其余正确. 12. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3351371088. 13. O A A A A A A A =-=-=--)2(2,2212n n n . 14. 6. 15. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1161042211.16. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-201032126)2(1I A A B . 17. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-011321330)2(1A I A B .18. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020003. 19. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=-10111001141)2(211A IB . 20.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+=-200040002)(41I A B . 21. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++68468327322731242124213111111313. 22. 2716-. 23. 3. 25. )(51I A +-. 26. 利用：方阵P 可逆P ⇔可以写成若干个初等矩阵的乘积.第三章1. D.2. C.3. D.4. B.5. B.6. 3≠t .7. 8-=t .8. 3.9. 1. 10. 3. 11. (1)和(5)不正确，其余正确. 12. 2. 13. 32123021αααβ++-= 14. 当1≠a 时， 3211113212αααβ-++---+---=a b a b a a a b ；当1=a 且1-≠b 时，β不能由321,,ααα线性表示；当1=a 且1-=b 时，321)21()1(αααβc c c +-++-= (c 为任意常数). 15. (1)4321212432,2ααααβ--++--+=≠p pp p p ； (2) ,2=p 秩为3，321,,ααα是一个极大无关组. 16. 1-=a 时线性相关，1-≠a 时线性无关. 17. 秩为3，421,,ααα为一个极大无关组，且有2152132,3αααααα+=+=. 19.利用定义，及0A α0b A β=≠=j ,)3,2,1(=j . 20. 利用整体组与部分组线性相关性的关系.第四章1. A.2. D.3. B.4. B.5. C.6. 2.7.8. 8.415. 9. 1. 10. 0. 11. (5)不正确，其余正确. 12. (1) T T )1002(,)0,7,1,19(21，，，==ξξ,通解2211ξξx c c +=；(2) ,)0,1,6,8(1T -=ξT )1,0,5,7(2-=ξ,通解2211ξξx c c +=. 13. (1) 当8-=a 时，基础解系为T T )1,0,2,1(,)0,1,2,4(21--=-=ξξ，通解2211ξξx c c +=; 当8-≠a 时，基础解系为T )1,0,2,1(1--=ξ，通解ξx c =. (2) 当且仅当0=a 或6-=a 时有非零解，当0=a 时基础解系为T T )1,0,1(,)0,1,1(21-=-=ξξ，通解;2211ξξx c c +=当6-=a 时基础解系为T )3,2,1(=ξ，2通解ξx c =. 14. .)1,0,1,0()0,1,1,1(,121T T c c a -+-==x15. (1) T T T c c )1,0,7,5()0,1,2,1()0,0,5,2(21-+-+-=x ； (2) TTTc c )1,27,0,4()0,7,1,9()0,14,0,17(21-+-+-=x . 16.(1) 当1-≠a 且3≠a 时有唯一解：;11,11,12321+=+-=++=a x a x a a x 当1-=a 时无解；当3=a 时通解为T T c )1,3,7()0,1,3(-+-=x ；(2) 当4-≠a 时有唯一解：,151+=b x,441042++++-=a b a ab x ;433+-=a bx 当4-=a 且0≠b 时无解；当4-=a 且0=b 时，通解TTc )1,2,0()0,1,1(-+-=x . 17. TTc )2,1,0,1()4,3,2,1(--+. 19. 利用定义及齐次线性方程组向量形式与矩阵形式的转化.第五章1. B.2. A.3. B.4. C.5. C.6.43. 7. 6. 8. 2,1=-=b a . 9. 1. 10. 3-.11. (3)和(4)不正确，其余正确. 12. (1).)5,4(,2;)1,1(,721T T --==λλ(2).)0,1,1(,3;)1,2,0(,)0,1,1(,2321T T T =-==λλλ (3) ,2;)1,1,1(,121==λλT ;)3,3,2(T.)4,3,1(,33T =λ 13. (2) ;322,111231011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- (3);121,227211113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- (4).332,010100021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 14..62225020731⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---- 15..110110001,1,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-===P y x16. .3- 17..34 18. ;1,2==λk 或.41,1==λk 19. (1) ;105,122151⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- (2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--421,61213162031612131; (3) ;511,31620316121316121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- (4) .422,11011000221⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 20..11112)(,51,1111211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-A AP P P ϕ22. 首先由正交矩阵定义得1-=A A T，两端取行列式并利用0)det(>A ，得1)det(=A ，再利用**1)det(1A A A AA ===-T(*A 为A 的伴随矩阵)，比较两端对应元素.第六章1. A.2. C.3. C.4. A.5. D.6. 2.7. 22213y y +. 8. 2>a . 9. 3. 10. 32212322214252x x x x x x x -+++. 11. (3)和(4)不正确，其余正确.12. .11011000221,,52232221⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==++P Py x y y y 13. ,3,2==b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111121P . 14. .21212222131⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P 15.6||<t . 16. 证明二次型x A A x )(T T 为正定的.。
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数习题大全试题与答案解析
3. 求实数a和b, 使向量组1 1,1,0,0,2 0,1,1,0 3 0,0,1,1与向量组1 1, a, b,1, 2 2,1,1,2, 3 0,1,2,1等价.
三、证明题 (每小题8分，共24分)．
1.设A为m n矩阵, B为n m矩阵,且m n,试证明
det(AB) 0.
1 2
1 4 7 2
1 10 17 4
4
1
3 3
2．求解下列线性方程组
1
23xx112xx2263xx3345xx4423xx55
0 0
x1 5x2 6x3 8x4 6x5 0
x1 3 x2 3 x3 2 x4 x5 3
2
2 x1 6 x2 x1 3 x2 2 x3
有非零解？
四、证明(每小题8分，共24分)．
a2 b2 1. c2 d2
a 12 b 12 c 12 d 12
0;
a 22 b 22 c 22 d 22
a 32 b 32 c 32 d 32
2 cos
1
2. Dn
1
2 cos
1
sinn 1 ;
sin
1 1
1 2cos
10100 11000
5. 已知A 0 1 1 0 0则秩RA
00110 01011
6. 方程组AX 0以1 1,0,2,2 0,1,1为其基
础解系, 则该方程的系数矩阵为
7. 设
1
2,
1,2,3,
A
,则秩RA
3
8.向量组1 1,2,3,4,2 2,3,4,5,3 3,4,5,6
其余情形, 方程组无解.
通解为x
2 2
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第五部分 相似矩阵及二次型(带答案)
第五章 相似矩阵及二次型基础练习一、填空1. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为_________。
答案：02. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-α51,则=α_________。
答案：1-=α3. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为________。
答案：负定4.设3221232221321222),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型, 则t 的取值区间为答案：⎛ ⎝5．设A 是n 阶正交矩阵,1-=A ,则()=*TA答案：A -6.若A 是实对称矩阵,则属于A 的不同特征值的特征向量一定答案：正交7.设2=λ是可逆矩阵A 的一个特征值,则矩阵1231-⎪⎭⎫ ⎝⎛A 有一个特征值 等于答案：348.设A 是n 阶正定矩阵,则方程组0=AX 的解的集合是 答案：09．设 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2002121x A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--211, 则=x答案：3-10.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314120401A 对应的二次型是_______________答案：22212313232382x x x x x x x +++-11.设可逆方阵A 的特征值为λ，则k A -1的特征值为 。
答案：kλ12. 22212312312(,,)2-2f x x x x ax x x x =++为正定二次型，则a 的取值范围为答案：1a >13.与向量组α1= (12,12,12,12)T , α2= (12,12, -12, -12)T , α3= (12,-12,12, -12)T ,都正交的单位向量α4=答案：1111,,,2222T⎛⎫±-- ⎪⎝⎭14、列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第1章二阶与三阶行列式习题课
a13 a23 a33 a43
证：利用行列式性质及行列式按列展开（性
质法、展开法）
1111
1
1
1
1
D4
a1 a12
a13
a2 a22 a23
a3 a32 a33
a4 a42 a43
r4 a1r3 r3 a1r2 r2 a1r1
0 0 0
a2 a1
a2 a2 a1 a22 a2 a1
a3 a1
1
a1 a12 a n1
1
1
a2 a22 a n1
2
1
an
an2
ai a j
ห้องสมุดไป่ตู้
1 jin
a n1 n
3 利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例6 计算
1 11 2 22 2n Dn 3 32 3n . n n2 nn
z ax by y x y ay bz
x ay z y z bx a2 y az x b2 z x by
z ax y x y bz
xyz yzx a3 y z x b3 z x y
zxy xyz
xyz xyz a3 y z x b3 y z x
zxy zxy
６ 用数学归纳法
例10 证明
az bx ax by ay bz
zxy
解： ax ay bz az bx by ay bz az bx
左式 ay az bx ax by bz az bx ax by
az ax by ay bz bx ax by ay bz
x ay bz az bx y ay bz az bx a y az bx ax by b z az bx ax by
西安交大线代07年考题
线性代数与解析几何考题汇编（2007.1A ）一、填空题(每小题3分,共12分)(1). 若矩阵201030503⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则det(2)T AA = .(2). 若向量组123111,,111λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα的秩为2,则λ= .(3). 设矩阵121201 101A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,已知齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有两个向量，则a = .(4). 设矩阵10301131a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A =为正定矩阵，则a 的取值范围是 .二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1). 设两个非零矩阵,B A ,满足0B =A ，则必有(A) A 的列向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性无关.(C) B 的列向量组线性相关. (D) B 的列向量组线性无关. 【 】(2). 曲线22220x y z ⎧-=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所形成旋转面的名称是(A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C)椭圆面. (D) 抛物面. 【 】 (3). 已知3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则*A I -必相似于对角矩阵(A)012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (B)125-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (C)512-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (D)125⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 【 】 (4).设矩阵111023004A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1*12A -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(A)12A . (B) 14A . (C) 18A . (D)116A . 【 】 三、(12分) 设方阵B 满足22I =+*A B B ,其中111111111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B . 四、(12分) 已知直线11:232x y z L -==--，直线2312:212x y z L -++==-. （1）记i L 的方向向量为(1,2)i a i =，求过1L 且与12a a ⨯平行的平面π的方程. （2）求2L 与π的交点.并写出1L 与2L 的公垂线的方程. 五、(12分)a 、b 取何值时,线性方程组1234122011231011114423x x x a x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.六、(12分). 设二次型222123123121323(,,)4()f x x x x x x x x x x x x =++++-,(1) 写出二次型123(,,)f x x x =T x Ax 的矩阵A ; (2) 求一个正交矩阵P ,使AP P 1-成对角矩阵; (3) 写出f 在正交变换Py x =下化成的标准形.七、 (12分) 设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A =的全部特征值之积为24.(1) 求a 的值；(2) 讨论A 能否对角化，若能，求一个可逆矩阵P 使1P AP D -=为对角阵。
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第二部分 矩阵带答案
第二章 矩阵基础练习一． 填空1设A 为3阶方阵，且3A =，则2A -=-______________答案：-2；2当λ=_______________时，矩阵11312050λ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为奇异矩阵.答案：-33对于方阵A B 、，若AXB C =，则X ＝____________________答案：11A CB --4已知AB B A -=，其中120210002B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A ＝_____________.答案：11021102002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A ___________________答案：)(211E A A -=-6设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则=A B答案：332-7设A 为3阶方阵,*A为伴随矩阵,81=A ,则*1831A A -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=___________ 答案：答案：58设B A ,都是n 阶方阵,且3,2==B A 则=00BA .答案：61⋅-n )(9设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1101201112111111A ，则.4A = 答案：8110设,101014321121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t y x x 则=2x 答案：-1二． 计算题1设矩阵A B ，满足关系式2()AB A B =+，其中301 110014A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B .答案：1044864806--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭2设01000000200000010000000000021000053A n n ⎛⎫⎪⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭，求1A - 答案：10000010*******0021000010000310052n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3已知11111111 11111111A ---⎛⎫⎪---⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭，求n A （n 为正整数）. 答案：当2n k =时，22nkA E =；当21n k =+时，22nkA A =．4设已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=461351341,121011322,58269212163C B A ,求.))((432A A A A BC BC A +-+-+答案：解：E A E BC ==2,原式A E A E A A A A E E A +=+=+-+-+=5432))((⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=482610212162 5设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3200430000100001A , 求.16A 答案：解：令 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3243,1001C E B EC E B ==1616⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001000010000100016161616C B C B A6已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3102A ,且,BA AB =试求二阶方阵B . 答案：令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d b c a B 使⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31023102d b c a d b c a 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--d d b c c a c d a b c a32323322 即⎩⎨⎧-==ba d c 0得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b aB 0,其中b a ,是任意实数.7设,,100010001,00000089E A A A D c b a B c b a A ++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=求DB .答案：))((89E A E A A A DB -++++=E A -=10⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=100010001101010c b a DB8设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=0011002221003100A ,试用矩阵分块法求1-A . 答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=00001100222100310021A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-51515352,2131111A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-21412141,1122122A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---0051510053522141002141000011121A A A 9设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111011001A ,求.)4()2(21E A E A -+-答案：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--110011001111011001)2(11E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-321032003402101200142E E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-311031003321032003110011001)4()2(21E A E A或)2)(2()2()4()2(121E A E A E A E A E A -++=-+--)2)(2()2()4()2(121E A E A E A E A E A -++=-+-- 10设,02=++A AB A 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a c b b a c c b a A ，（c b a ,,是互不相等的正实数）求方阵B .答案：{}0)()()()(21222≠-+-+-++=a c c b b a c b a A故由0) =++E B A A 知0=++E B A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=--=a c b b a c c b aA EB 111三． 证明题1设AB ，为n 阶矩阵，且A 为对称阵，证明TB AB 也是对称矩阵.答案：提示：用对称矩阵的定义验证；2设A 为n 阶非零矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且*T A A =，证明 0A ≠.答案：提示：211nj j a A ==∑3设D C B A ,,,是n 阶矩阵，且0≠A 及.CA AC =证明：.CB AD DC B A -=答案：证明：由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛---B CA D B A D C B A E CAE1100 得BCA D B A DCB A E CA E 1100---=-即.1CB AD B CA D A DCB A -=-⋅=-自测题一、填空题1设对于三阶矩阵A 有32,2=+=E A A ,则=+A A 242___________.答案：482设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=121120131020013987654321x x x x x x x x x A ,则=A _____________________.答案：.120120120113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A3 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1A；答案：)(11bE aA cA +-=-4 设矩阵33)(⨯=j i a A ，j i A 是||A 中元素j i a 的代数余子式，j i j i A a =，13121132a a a ==，已知011>a ，则=11a 。
线性代数 20年 西交大考试题库及答案
正确 正确 正确 错误 正确 正确 正确
错误 正确 正确 正确 错误 错误 正确
错误 正确 正确 正确 正确
（）
47、设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵
有一个特征值等于（）
48、设某三阶行列式|A|的第二行元素分别为-1,2,3，对应的余子式分别为-3，-2,1，则此行列式 |A|的值为（）
49、设是对称矩阵
，则与矩阵A相似的对角阵为（）。
50、设A为m*n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是：（）
A、 B、-3 D、0 B、bde-bcf A、（x+3a）（x-a）² A、5 B、
A、 A、k≤3 C、 B、 D、 A、A与B相似 A、1
C、A1，A2都可逆 A、 B、a1.a2。a3.a4.a5一定线性相关 A、Ax=0有无穷多解 D、X1-X2，X2-X3，X3-X1 B、可逆矩阵 C、
51、下面结论正确的是（）
52、
（）
53、设A为三阶方阵且
()
54、设多项式
，则f（x）的常数项为（）
55、
（）
判断
56、已知矩阵A3*2 B2*3 C3*3,则A.B为3*3矩阵 57、已知A为3*3矩阵，且|A|=3，则|2A|=24 58、向量 59、如果向量组a1，a2....as线性相关，则每一个向量都能由其余向量线性表示。 60、若矩阵A可逆，则AB与BA相似。 61、向量组a1，a2....as线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。 62、阵A与其转置 具有相同的行列式和特征值。
63、设A为n阶方阵，k为常数，则
64、若n阶矩阵A、B、C满足ABC=E（其中E为n阶可逆阵），则BCA=E(）
其他系统西安交通大学线性代数所有答案
其他系统西安交通大学线性代数所有答案74、n阶单位矩阵的特征值都是1答案是：正确69、矩阵A是m*n矩阵，齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件是A的列向量线性相关。
答案是：正确68、如果r（A）=r，A中有秩等于零的r1阶子式答案是：错误67、如果r（A）=r，A中有秩等于零的r-1阶子式答案是：错误66、如果r（A）=r，A中有秩等于零的r阶子式答案是：正确64、若n阶矩阵A、B、C满足ABC=E（其中E为n阶可逆阵），则BCA=E）答案是：正确61、向量组a1，a2as线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。
答案是：正确60、若矩阵A可逆，则AB与BA相似。
答案是：正确59、如果向量组a1，a2as线性相关，则每一个向量都能由其余向量线性表示。
答案是：错误57、已知A为3*3矩阵，且|A|=3，则|2A|=24答案是：正确56、已知矩阵A3*2 B2*3 C3*3,则AB为3*3矩阵答案是：正确51、下面结论正确的是（）答案是：C、所有元素都是0的矩阵是零矩阵50、设A为m*n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是：（）答案是：A、A的列向量线性无关48、设某三阶行列式|A|的第二行元素分别为-1,2,3，对应的余子式分别为-3，-2,1，则此行列式|A|的值为（）答案是：C、-1038、已知矩阵满足A2=3A、则A的特征值是（）答案是：C、λ=3或λ=037、已知A2=A、则A的特征值是（）答案是：C、λ=0或λ=129、下列各式中（）的值为0答案是：D、D中有一行与另一行元素对应成比例27、若A为）则A必为方阵答案是：B、可逆矩阵32、如果有一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组（）答案是：C、只有0解33、如果矩阵A满足A2=A，则（）答案是：D、A不可逆或A-E不可逆35、设A是n阶方阵，则A能与n阶对角阵相似的充要条件是（）答案是：C、A有n个线性无关的特征向量。
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 行列式和矩阵运算
例1 设 A 1 1, B 1 2 1 2, 1 1 1 2 1 2
AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
例2
设 A 2 1
1 , 0
求A的逆阵.
解
设
B a c
b d
是 A 的逆矩阵,
则 AB 2 1 a b 1 0 1 0 c d 0 1
2a c 2b d 1 0 a b 0 1
|
1 P
|
P*
10 6
0 0 0
1 0 1
0 A11 0 A21 0 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
5 3
A12 0 A12
A22 0 A22
A32 0 A32
而
12
1 1
1 1
A12
1
1 3 , A22 1
1 0, A32 1
3, 2
于是
1 0 1
1 0
0 2n
1 2
4 1
12
1 2
11
2n1 2n2
4 1
12
1 2
4 4
2n1 2n2
2n1 2n2
2 2
2 2n 2 2n1
22nn111 .
三、矩阵多项式
1. 定义
设 (x) = a0 + a1x + ···+ amxm 为 x 的 m 次多
项式，A 为 n 阶方阵，记
(A) = a0 E + a1 A + ···+ am A m ，
0 0 1 1 2 0 0 1 0
2 0 11 0 0 1 4 3 0 0 1
1 2 0 0 1 0
2 1 0 1 3 4.
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数前三章自测带答案
线性代数前三章自测题1．=-===ij ij n a D a a D 则若,a n )1(-2. 在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为= —3. =+++=443424144,A A A A c db a ac bd a d b c d cb a D 则设四阶行列式0 4．在函数()321112x xx x x x x f 中---=的系数是=-25. 四阶行列式a b c d b ad c c da b d cb a ------=()22222d c b a +++ 6. ().21121121i i i i n n i i i i n n n n ---次对换后变为排列可经排列 7． =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=*-*A A A A n A 1541det ,31det ,,1则为其伴随矩阵阶方阵为设()31n - 8. ==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≠t O AB t B O A 则且阶方阵设,,35342531,3 49. ==-13,A E A 则已知2A 10. =+=*-A A A A 32,1,1且为三阶矩阵设12511．=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---13112522100110012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----3161343102125210010002121 12. n n ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→51001101121lim =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000013．线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=-515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x 有解的充要条件是054321=++++a a a a a14．()()==*A R A R A 则且秩阶方阵为设,3,4115．矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011102210111000A 的秩是=2 16. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解，则k 应满足的条件是53≠k ． 17． ,2,321011324B A AB A +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 求B 。