牛顿-莱布尼茨公式的详细证明word版本
牛顿莱布尼兹公式
极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 常用定理9.3' 证明有界函数的可积性较方便。
7
三、 可积函数类 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 定理9.4 若f在[a, b]上连续，则f在[a, b]上必可积。 证 定理9.5 若f是区间[a, b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在 [a, b]上必可积。 证 定理9.6 若f是区间[a, b]上的单调函数，，则f在[a, b]上必可积。 证
4
思路与方案: 1. 思路与方案 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ξi T , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s (T ) ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 达布和: 2. 达布和
b
∫ f ( x)dx = F (b) F (a).
a
称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： f ( x)dx = F ( x) b = F (b) F (a ). a ∫
a
b
证
1
公式使用说明：
1、 在应用公式求∫ f ( x)dx 时，f ( x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求∫ f ( x)dx失效。即f ( x)的原函数F ( x)可由∫ f ( x)dx求出。
§8.2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求
b a
∫ f ( x ) dx
a
b
，一般来说是比较困难的。是否有
较简便的方法求 ∫ f ( x ) dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。
3牛顿-莱布尼兹公式
2
,
f ( x ) 0, ( x 0)
( x t ) f ( t ) 0,
F ( x ) 0 ( x 0).
0 f ( t )dt 0,
x
x
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.
b
n
0
i 1
a
特殊和式的极限
定理1
定理2
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A b a f ( x )dx A
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
性质5 性质6 性质7 问题的提出: 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为
定积分的定义 存在定理 定积分的几何 意义 性质1 性质2 性质3 性质4
lim f ( i )xi f ( x )dx
b
n
0
i 1
a
特殊和式的极限
定理1
定理2
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A b a f ( x )dx A
则 F ( x ) a ( x ) f ( t )dt 的导数F ( x ) 为
F ( x ) d b( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) a ( x ) dx
b( x )
例1
求
微积分牛顿莱布尼茨公式
微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，也称为微积分基本定理或者牛莱公式。
该公式是微积分的重要工具，用于求解定积分和微分方程等问题。
下面我将为您详细介绍和解释这一公式。
牛顿－莱布尼茨公式可以用以下方式表述：设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导（即f'(x)存在），则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为：∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中，∫ 符号表示积分，[a to b] 表示积分的区间，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。
该公式的物理含义是：函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。
让我们来看一个具体的例子来理解牛顿－莱布尼茨公式的应用。
假设有一个函数 f(x) = 2x，在区间 [1, 3] 上。
我们可以求这个函数在该区间上的定积分，即∫[1 to 3] f'(x) dx。
首先，我们需要求出函数f'(x)，即函数f(x)的导数。
对于f(x)=2x，它的导数f'(x)=2接下来，我们将导数 f'(x) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2 dx。
将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x，得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后，我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以，函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿－莱布尼茨公式的应用。
通过求解函数的导数，并将导数代入定积分公式，可以得到函数在给定区间上的定积分值。
当对复杂函数进行定积分时，牛顿－莱布尼茨公式可以极大地简化计算。
我们可以通过求函数的导数来得到原函数，然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。
这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。
需要注意的是，牛顿－莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。
2牛顿莱布尼兹公式
lim ΔG lim f(ξ)
Δx Δx0
Δx0
x 0, x G(x) f(x).
x
sin tdt
例： 求 lim x0
0
x2
.
x
解 lim 0 sin tdt 是( 0)型不定式，用L' Hospital法则及上述定理
x0
x2
0
x
x
lim
x0
sin tdt
(
0
x2
＝lim x0
0
sin tdt)
( x2 )
＝lim x0
sin x 2x
1 2.
推论 如果f (t)连续，a( x), b( x)可导，则
F ( x) b( x) f (t)dt的导数F ( x)为 a( x)
F( x) d b(x) f (t)dt f b( x)b( x) f a( x)a( x) dx a( x)
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当a>b时, b f ( x)dx F (b) F (a)仍成立。 a
小结
1.积分上限函数
x
( x) f (t)dt
a
2.积分上限函数的导数 ( x) f ( x)
3.微积分基本公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理：设f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函数
G(x) x f(t)dt在[a, b]上可导，且 a
G(x)[ x f(t)dt] f(x)，(a x b) a y
证 G(x Δx) xΔx f(t)dt a
牛顿布莱尼公式推导
1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
牛顿-莱布尼茨公式.
i 1
n
n
F '(i )xi f (i )xi
i 1 i 1
n
（2）
首页
×
因为f在[a,b]上连续, 从而一致连续, 所以对上述
0, 存在 0, 当 x' 、 x''∈[a,b]且 x' x'' 时，有
i
i 1 i
i 1,2,
,n ). 所以 J 0
1
1 dx ln(1 x ) ln 2. 1 x 0
当然， 也可把J看作 f ( x )
J
2 1
1 同样有 x 在[1,2]上定积分，
3 dx dx 2 x1 x
ln 2.
首页
×
是要把所求的极限转化为 注 这类问题的解题思想， 然后利用 某个函数f(x)在某一区间[a,b]上的积分和的极限， 牛顿—菜布尼茨公式计算 J
n
2）
b b a e dx e e e . a a
b x x
3）
b
a
dx 1b 1 1 . 2 x xa a b
首页
×
4） （这是图9-6所示正弦曲线 一拱下的面积，其余各题也可作
此联想.）
，
0
sin xdx cos x
0
2.
5） 先用不定积分法求出 f ( x ) x 4 x 2 的任一原函数， 然后完成定积分计算：
1 ) J . 2n
解 把此极限式化为某个积分和的极限式， 并转化为计 算定积分. 为此作如下变形：
5.3牛顿-莱布尼茨公式
(2
x
3)5
dx
2
解
1 3
(2
x
3)5
dx
1 2
2
1 3
(2
x
3)5
d
(2
x
3)
2
1 2x 36
12
1 3
2
1 (1 0) = 1
12
12
例7
计算
3 arctan x 0 1 x2 dx
解
0
3
arctan 1 x2
x
dx
3 arctan xd arctan x
0
1 arctan2 x 3
在[a,b]上具有导数，且它的导数是
x
[ f (t)dt] f ( x) a
说明
x
① 由定理1得 [ f (t)dt] f ( x) a
说明
x
① 由定理1得 [a f (t)dt] f ( x)
② 其他变限积分求导:
b
[ x f (t )dt]
f (x)
g( x)
[ a f (t)dt] f [g( x)]g( x)
2
0
1 2
3
2
0
2
18
小结
1.变限积分求导公式
2.牛顿-莱布尼茨公式
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)
作业 习题5.3 1(2)(4)(6),2(1),4
解
F
(x)ຫໍສະໝຸດ 0 xcos(3t
1)dt
x 0
cos(3t
1)dt
cos(3x 1)
例3
求
d dx
x
牛顿莱布尼茨公式
牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式，也称为牛顿-莱布尼茨公式，是微积分中的一个重要公式，用于计算定积分。
该公式由英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立发现并证明。
牛顿-莱布尼茨公式为我们提供了计算曲线下面积的有效方法，对于解决许多实际问题具有重要意义。
公式描述：设函数f(x)在[a, b]上连续，F(x)是f(x)在[a, b]上任意一点的原函数，则有：∫(a->b) f(x) dx = F(x) ∣[a,b]这个公式表示了一个函数在给定区间上的定积分可以通过该函数在区间端点处的原函数值之差来表示。
解释与推导：牛顿-莱布尼茨公式的推导相对简单理解。
可以将函数f(x)对变量x进行微分，得到函数f'(x)。
如果函数f(x)具有原函数F(x)，即F'(x)=f(x)，则有dF(x)=f(x)dx。
根据微积分中的基本定理，曲线下的定积分可以用该函数的原函数在两个端点的值之差来计算。
即∫(a->b) f(x) dx = F(x) ∣[a,b]。
这个公式的直观解释是，曲线下的定积分可以通过由曲线围成的区域面积来进行计算。
通过求解曲线的原函数F(x)，我们可以获得曲线在给定区间上的每个点的切线斜率，从而计算得到曲线下的面积。
应用：牛顿-莱布尼茨公式在实际应用中非常有用。
它被广泛应用于物理学、工程学以及经济学等领域中的面积、概率和积分等计算问题。
在物理学中，我们可以使用该公式来求解质点在曲线上的运动的路径长度、速度、加速度等相关问题。
例如，通过计算曲线下的定积分，我们可以求得一个物体在给定时间内的位移。
在工程学中，牛顿-莱布尼茨公式可以用来计算复杂形状的曲线的面积，比如计算土地的面积或建筑物的体积等问题。
在经济学中，该公式可以用来计算需求曲线和供给曲线之间的面积，从而帮助我们估计市场的需求和供给。
总结：牛顿-莱布尼茨公式是微积分中非常重要的一个公式，它为我们提供了一种有效计算曲线下面积的方法。
4-3牛顿-莱布尼兹定理
x
上任意变动， 如果上限 x 在区间[a , b ]上任意变动，则对于 定积分有一个对应值， 每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以 它在[a , b ]上定义了一个函数， 上定义了一个函数，
记 Φ( x ) = ∫ f ( t )dt .
a
x
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理１ 上连续， 定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 上具有导数， 数 Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数 ， 且它的导
x
∆Φ lim = lim f (ξ ) ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0
∴ Φ′( x ) = f ( x ).
∆ x → 0, ξ → x
例1
∫cosex 求 lim
x →0
1
−t 2 2
dt
x
.
0 分析： 型不定式，应用洛必达法则. 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则 0 d 1 −t 2 d cos x − t 解 ∫cos x e dt = − dx ∫1 e dt , dx
Q Φ(a ) = ∫a f ( t )dt = 0 ⇒ F (a ) = C ,
Q F ( x ) − ∫a f ( t )dt = C , ∴
x
∫a
x
f ( t )dt = F ( x ) − F (a ),
令x (b) − F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式
2
= − e −cos x ⋅ (cos x )′ = sin x ⋅ e
2
− cos 2 x
,
∫cos x e lim
x →0
积分基本公式牛顿莱布尼茨公式推导
积分基本公式牛顿莱布尼茨公式推导
积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）推导
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。
证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）
f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)?Δx(ξ在x与
x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。
)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C 于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a), 而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F （b)-F(a)
把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿莱布尼茨公式
注意
当a
b
时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
5
例2 求 1 x2dx 0
解
原式
1 3
x
3
1 0
1 3
例3
求
1 1
1
1 x
2
dx
解 原式 [arctan x]11
arctan1 arctan(1)
2
6
例4 解
求
1 1 dx.
当
x
2
x 0时，
1
的一个原函数是ln
2.
1 1
1
e
x
e
x
dx
;
4. 2 sin x dx . 0
9
练习题解答
1.
2(x2
1
1 x2
)dx
2 x2dx
1
21 1 x2dx
[1 3
12
25 6
2.
1 1
1
e
x
e
x
dx
1 d (1 e x ) 1 1 e x
[ln(1 e x )]11
1
10
0 3x4 3x3 1
3. 1
x2 1
dx
0 (3x2
1
1 x2
)dx 1
3
0 x2dx
1
01
1
x2
dx 1
[ x3 ]01
[arctan x]01
1
4
2
2
4.0 sin x dx 0 sin x dx sin x dx
2
0 sin xdx sin xdx
微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需 先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)
9-02 牛顿-莱布尼兹公式
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注 意 当a b 时， a f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立.
b
例1 求
0 (2 cos x sin x 1)dx .
2
2
解
原式 2 sin x cos x x 0
3 . 2
例 2 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
如果据此使用N —L公式，那就有 1 1 1 1 x 2 dx arctan x 1 2 ，
1 1
咋回事呢？
1 1 1 1 x2 dx arctan x 1 2
1
1 1 x 2 1 arctan = , 2 2 x 1 1 x 1 x
1 1 1 1 lim dx ln 2 0 1 x n i 1 1 i n n n
例5
2 n 1 2 求极限 1. lim 2 2 ; n n 1 n 2 n n 2 n 1 2. lim 2 2 2 2 2 n n 1 n 2 n n2
x 1 dx ln 1 x 2 0 1 x2 2
1
1
0
1 ln 2 2
问题 2 的极限值比问题 1 的极限小一些， 与我们的感觉相吻合。
例6
0
1 dx ? 2 1 3 cos x
解：
1 sec x dx dx 2 1 3 cos2 x sec x 3 d tan x 1 tan x arctan C 2 tan x 4 2 2
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
莱布尼茨公式证明过程
莱布尼茨公式证明过程莱布尼茨公式的全称是"莱布尼茨-牛顿公式"，它是由德国数学家莱布尼茨和英国数学家牛顿独立发现的。
这个公式是微积分中的一个基本定理，可以将复杂的函数积分问题转化为简单的求导问题。
莱布尼茨公式的表达形式为：∫(a to b) f(x)dx = [F(x)](a to b) = F(b) - F(a)其中，f(x)是函数f的导函数，F(x)是函数f的原函数。
公式的含义是，如果函数f的导函数存在，那么在区间[a, b]上对函数f(x)进行积分，就等于求其原函数F(x)在区间[a, b]两端点的值之差。
为了证明莱布尼茨公式，我们首先需要理解函数的导函数和原函数的关系。
函数的导函数表示函数在每个点上的斜率，而原函数则表示函数的积分。
这两个概念是互逆的，即原函数求导得到函数本身，函数积分得到原函数。
接下来，我们将用莱布尼茨公式的证明过程来解释这个公式的由来。
我们假设函数f(x)的原函数为F(x)，即F'(x) = f(x)。
我们要证明的是∫(a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)。
根据微积分的基本思想，我们可以将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
那么整个区间[a, b]的长度就是(b-a)，并且Δx = (b-a)/n。
现在，我们来考虑在每个小区间上的积分。
根据微积分的定义，积分可以看作是对函数在一个区间上的求和。
我们用f(xi)来表示函数f在第i个小区间上的取值，其中xi是该小区间的中点。
那么，在第i个小区间上的积分可以表示为ΔF(i) = f(xi)Δx，其中ΔF(i)是函数F在第i个小区间上的增量。
将所有小区间上的积分求和，得到整个区间[a, b]上的积分：Σ(1 to n) ΔF(i) = Σ(1 to n) f(xi)Δx这里的Σ表示求和符号。
在等式的右边，我们可以将Δx提取出来，并将Σ中的f(xi)改写为f(x)。
【精品】牛顿莱布尼茨公式的详细证明(可编辑)
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明------------------------------------------作者------------------------------------------日期牛顿—莱布尼茨公式●前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。
公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。
证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。
所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！(Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)●定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n个区间[a,x1],[x1,x2]…[x n,x n-1]，其中x0=a，x n=b，第i个小区间∆x i= x i-x i-1(i=1,2…n)。
由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为∆S i=f(εi)∆x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限即：1()lim()nba nii if x dx f xε→∞==∆∑⎰性质1：证明⎰bac dx = C(b-a)，其中C 为常数.几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数.设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ∆|为半径的区间,使得K(x+x ∆)=K(x)∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即: F(x)-G(x)=C性质3：如果f(x)≤g(x),则设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0.即1021110()lim ()lim (...)lim ()()nbi i n n an n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=∆=-+-++-=-=-∑⎰0()()()()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ∆→''=='''∴=-=-=+∆-'∴==∆()()bba a f x dx g x dx≤⎰⎰1()lim ()0n bi i a n i k x dx k x ε→∞==∆≤∑⎰()[()()]()()0bbbba a a ak x dx f x g x dx f x dx g x dx =-=-≤⎰⎰⎰⎰()()b bf x dxg x dx∴≤相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x∈[a,b],取m为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m,M的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=C证明：运用零点定理:设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0 设x1,x2∈[a,b],且x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中m<C<M则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0即: g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点ε∈(x1,x2),有g(ε)=0= f(ε)-C => f(ε)=CPs: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x轴上方），一个小于0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x 轴有一个交点。
9.2牛顿-莱布尼茨公式
程记为 s(b)- s(a), 则 s(t) v(t), 于是
s
b
a
v(t )dt
s(b)
s(a).
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数,
因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下
面的牛顿—莱布尼茨公式.
定理9.1 (牛顿—莱布尼茨公式) 函数 f 在 [a, b] 上满足条件:
(i) f 在 [a, b] 上连续, (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F,
则
(1) f 在 [a, b] 上可积;
(2)
b
f
( x)dx
F(x)b
F (b)
F (a).
a
a
证 由定积分定义, 任给 0,要证存在 0,
n
当 T 时,有 f (i )xi F( b ) F( a ) .下面证 i1
J 2 dx 3 dx ln 2. 1 x 2 x1
注 这类问题的解题思想，是要把所求的极限转化为
某个函数f(x)在某一区间[a,b]上的积分和的极限，然后利用
牛顿—菜布尼茨公式计算 J
b
f ( x )dx的值.
a
思考. 用定积分表示下述极限 :
解:
I
dx x2
(
0
a
b
)；
4） sin xdx； 0
5）
2
x
4 x 2 dx .
0
解 其中1）—3）即为§1中的例题和习题，现在用 牛顿—菜布尼茨公式来计算就十分方便：
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牛顿-莱布尼茨公式的
详细证明
牛顿—莱布尼茨公式
●前言
此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。
公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。
证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。
所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！
(Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)
●定积分性质的证明
首先给出定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n个区间[a,x1],[x1,x2]…[x n,x n-1]，其中x0=a，x n=b，第i个小区间∆x i= x i-x i-1(i=1,2…n)。
由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为∆S i=f(εi)∆x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极
限即：
1
()lim()
n
b
a n
i
i i
f x dx f x
ε
→∞
=
=∆
∑
⎰
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性质1：证明⎰b
a
c dx = C(b-a)，其中C 为常数.
几何上这就是矩形的面积
性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数.
设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K
即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ∆|为半径的区间,使得K(x+x ∆)=K(x)
∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线
即: F(x)-G(x)=C
性质3：如果f(x)≤g(x),则
设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0.
即 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞
=∆=-+-++-=-=-∑⎰0()()()
()()()()()
()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ∆→''=='''∴=-=-=+∆-'∴==∆Q ()()b b a a
f x dx
g x dx ≤⎰⎰1()lim ()0n b i i a n i k x dx k x ε→∞==∆≤∑⎰
Q ()[()()]()()0b b b b a a a a k x dx f x g x dx f x dx g x dx =-=-≤⎰
⎰⎰⎰()()b b a a f x dx g x dx ∴≤⎰⎰
相关定理的证明
介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x∈[a,b],取m为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m,M的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=C
证明：
运用零点定理:
设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0 设x1,x2∈[a,b],且x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中m<C<M
则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0
即: g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点ε∈(x1,x2),有
g(ε)=0= f(ε)-C => f(ε)=C
Ps: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显
的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x轴上方），一个小于0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x 轴有一个交点。
严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查查.
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收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 积分中值定理: 若函数 f(x)在区间[a, b]上连续,，则在区间 [a, b]上至少
存在一个点ε∈(a,b),有
几何意义:曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等
设f(x)在区间[a, b]的最大值为M ，最小值为m ，即：m ≤f(x)≤M
由介值定理：在区间 [a, b]上至少存在一个点ε∈(a,b)，有
积分上限函数(变上限的定积分)的定义
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分 的值由区间[a,b]与 f(x)决定，与积分变量的记号x 无关，因此可以记为 而对于积分 ，当x ∈[a,b]时，都会有一个由积分 所确定的值与之对应，因此积分 是上限x 的函数.记为：
()()()b a
f x dx f b a ε=-⎰()()()()()b b b a a a b a b a mdx f x dx Mdx m b a f x dx M b a f x dx m M
b a ∴≤≤⇒
-≤≤-⇒≤≤-⎰⎰⎰⎰⎰()()b a f x dx f b a
ε=-⎰()b a f x dx
⎰()b a f t dt
⎰
()x a
f t dt ⎰()x a f t dt
⎰()x a
f t dt ⎰()()x
a
x f t dt ϕ=⎰
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下面证明
显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用φ(x)的定义，用到导数的定义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。
(因为有的人是在看，有的人是在观察，这明显存在很大的差别)
由积分中值定理，有：
(其中ε是在x 与x+∆x 之间)
这就是你想看到的，显然，当∆x->0时，ε->x
通往真相的最后一步
证明:
设F(x)为f(x)的原函数 ()()
x f x ϕ'=()00()()()()lim lim x x x a a x x f t dt f t dt x x x x x x
ϕϕϕ+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰Q 00()()()lim lim a x x x x x a x x x f t dt f t dt f t dt x x +∆+∆∆→∆→+==∆∆⎰⎰⎰
()()x x
x f t dt f x ε+∆=∆⎰000
()()()lim lim lim ()x x x x x x f t dt f x x f x x εϕε+∆∆→∆→∆→∆'∴===∆∆⎰0
()lim ()()x x f f x ϕε∆→'∴==()()()
b a f x dx F b F a =-⎰
()()x
a
x f t dt ϕ= ⎰Q 也是f(x)的一个原函数
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由性质2：f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数C,有
相信你以后用它的时候会更加坚定，更加自然. End.
()()F x x C ϕ=+()()()()F b b C F a a C
ϕϕ=+ =+Q ()()()()()()b a a a F b F a b a f t dt f t dt ϕϕ∴-=-=-⎰⎰()0()()()a b b b a a a a f t dt f t dt f t dt f x dx = , ⇒=⎰⎰⎰⎰与积分变量无关而()()()b a F b F a f x dx ∴-=⎰。