判断一个函数的单调性

判断一个函数的单调性

2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．g (x )＝－2x C ．h (x )＝－3x ＋1 D ．s (x )＝1

x

解析：函数g (x )＝－2x 在R 上是减函数，函数h (x )＝－3x ＋1在R 上是减函数，函数s (x )＝1

x 在(0，＋∞)上是减函数，故排除B 、C 、D ，选A.

答案：A

1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝x

x －1

[答案] D

[解析] y ＝1－x 2在(－∞，0)上为增函数，y ＝x 2＋x 在(－∞，0)上不单调，y ＝－－x 在(－∞，0)上为增函数，故选D.

3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1

x

D ．y ＝－|x | [答案] B

[解析] y ＝3－x ，y ＝1

x ，y ＝－|x |在(0,2)上都是减函数，y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数．

11．考察单调性，填增或减

函数y ＝1－x 在其定义域上为________函数； 函数y ＝

1

x

在其定义域上为________函数． [答案] 减 减

1．(2009·福建高考)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)”的是 ( )

A ．f (x )＝1

x

B ．f (x )＝(x －1)2

C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝

ln(x ＋1)

解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)

上为减函数．故选A.

答案：A

2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1<0”的是( )

A ．f (x )＝1

x

B ．f (x )＝(x －1)2

C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝ln(x ＋1)

答案 A

解析 满足f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A.

6．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

>0对任意两

个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确的是( )

A ．f (－5)>f (3)

B ．f (－5)

C ．f (－3)>f (－5)

D ．f (－3)

解析 由f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋

∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.

2．(2009年高考福建卷)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )

A ．f (x )＝1

x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1)

解析：选A.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，

在A 中，由f ′(x )＝－1

x 2＜0得f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；

在B 中，由f ′(x )＝2(x －1)＜0得x ＜1，所以f (x )在(－∞，1)上

为减函数．

在C中，由f′(x)＝e x＞0知f(x)在R上为增函数．

在D中，由f′(x)＝1

x＋1

且x＋1＞0知f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．

6．(2009年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则当n∈N*时，有()

A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)

B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)

C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)

D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)

解析：选 C.对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·(f(x2)－f(x1))＞0，因此x2－x1和f(x2)－f(x1)同号，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于n∈N*，且n＋1＞n＞n－1，所以－n－1＜－n＜－n ＋1≤0，即f(n＋1)＝f(－n－1)＜f(－n)＜f(－n＋1)＝f(n－1)．9．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的有________．

①f(x1)－f(x2)

x1－x2

＞0；

②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；

③f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)；

④

x1－x2

f(x1)－f(x2)

＞0.

解析：∵f(x)在[a，b]上为增函数．

∴x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同．

∴①②④均正确．

又∵不知道x1，x2的大小，

∴无法比较f(x1)与f(x2)的大小，故③错误．

答案：①②④

1.已知f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,a、b∈R,a+b≤0,则有( )

A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b)

B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)

C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)

D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 解析:a+b≤0⇒a≤-b,b≤-a⇒f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a)两式相加即得. 答案:D