偏微分方程的弱形式

Q:请教一个基础问题：将偏微分方程的强形式变为弱形式的目的是什么？是为了离散吗？
强形式和弱形式之间有什么本质的区别没有？请高人简明指点。谢谢！
A:弱形式对解的连续性要求降低了，强形式对解的连续性要求很高。
弱形式和强形式可以互相推导，差别就是解的连续性要求

Q:有一个叫：完全拉格朗日格式的弱形式，我想知道有没有其他格式的弱形式？或者是不完全拉格朗日格式的弱形式?
A:所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也就是需要满足的条件太复杂。比如不连续点的跳跃等等。
将微分方程转化为弱形式就是弱化对方程解的要求。不拘泥于个别特殊点的要求，而放松为一段有限段上需要满足的条件，使解能够以离散的形式存在。一个满足强形式微分方程的解，
一定也是弱形式方程的解，这个是保证强弱转换合理性的根本。其实在物理意义上，有限元的这个做法还存在一些争议，但是强形式到弱形式的转换是能够实施有限元这种计算方法的核心理论。
关于弱形式大概有'完全L'，'更新L'和'任意L'三种,不过我不做有限元理论的东西，具体的我不是很熟，这些楼主想了解的话借一些有限元书籍应该可以找到。

Q:多简化计算和近似计算的理论都提到了偏微分方程的弱形式。请问有哪位得道高人懂RBM，指点一下怎样进行弱形式推导...
A:弱形式一般是指对强形式方程（即微分方程）的积分方程形式，这是因为满足微分方程的解必定也满足相应的积分方程。
弱形式和'完全L'，'更新L'和'任意L'是不同的概念，弱形式和强形式对应，是对于微分（积分）方程即纯数学理论而言的，'完全L'，'更新L'和'任意L'是指拉格朗日描述的有限元方程的三种格式，全称是'完全拉格朗日格式'，'更新拉格朗日格式'和'任意欧拉－拉格朗日格式'，这是有限元方法的三种求解技术
在固体力学的变分原理出现之前，以方程的弱形式求解问题确实不保证结果的收敛性、与物理实际的合理性
近几十年来陆续推导出固体力学变分原理，而由于固体力学方程（绝大多数情况）是拉格朗日描述的，其微分方程的算子是线性自伴随的，通过变换就与变分原理等效，因此固体力学变分原理是有限元方法（求解固体力学问题）的理论基础。也就是说对于固体力学问题，如果以前这样“强形式转弱形式”是有限元方法的核心理论的话，那么现在有限元方法的核心理论是固体力学的变分原理。至于争议，则是由于目前对于“变分”理论上的一些问题尚未完全解决

但对于如流体力学等领域的微分方程，其算子往往不是线性的，很难找到一个与之等效的变分原理，因此有限元方法在求解这些领域的方程时存在收敛性问题

正在看计算固体力学，对于强形式和弱形式更加了解了
有限元方法不能直接离散动量方程。为了离散这个方程，需要一种弱形式，称为变分形式，即虚功原理或者虚功率，通过对变分项与动量方程的乘积进行积分来建立的。虚功原理或者弱形式是等价于动量方程和力边界条件的。后者称为经典强形式