偏微分方程的弱形式
一类非线性偏微分方程弱解的存在性
一类非线性偏微分方程弱解的存在性摘要：解的存在性和正则性是偏微分方程研究的重要课题.古典解往往难以直接到达，数学上定义了可微性弱一点的强解和弱解，并发展了先求证强解或弱解的存在性，在利用先验估计提升正则性的方法.该文将证明一类非线性偏微分方程弱解的存在性.关键词：Banach不动点定理弱解存在性非线性偏微分方程取足够小，则有，故是压缩映射。
由Banach不动点定理，知存在唯一不动点。
定理得证。
3 结语由此，我们看到，形如（1）的二阶非线性偏微分方程在一定条件限制下存在唯一的弱解。
事实上，对于各种具体的情况，我们还可以利用各种正则性估计理论将这个弱解的正则性提高，从而使得这个解满足二次可微的性质。
这样的话，就得到物理和实际上需要的强解。
满足了强解的存在性的话，上述证明事实上也给出了利用迭代构造一个可以逼近这个强解的收敛函数列的方法。
在现实情况中，我们只需要取这个函数列的前面几项，就可以得到合乎足够精度要求的数字解。
这也是计算数学中常用的方法。
但是，这样一个解释存在的是可以做数值逼近的前提条件。
这就是理论数学研究的范畴。
参考文献[1] Lawrence C.Evans.Partial Differential Equations.American Mathematicat society.2010.[2] 马天.偏微分方程理论与方法[M].北京：科学出版社，2011.[3] NakhléH.Asmar.Partial Differential Equations with Fourior Series and Boundary Value Problems（Second Edition）.。
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。
数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM
数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM偏微分方程数值模拟常用的方法主要有三种：有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、有限体积方法（FVM），本文将对这三种方法进行简单的介绍和比较。
有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法包括区域剖分和差商代替导数两个过程。
具体地，首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。
其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替来进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。
对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。
目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于结构网格，网格的步长一般根据问题模型和Courant稳定条件来决定。
请输入标题有限元方法(Finite Element Methods)的基础是变分原理和分片多项式插值。
该方法的构造过程包括以下三个步骤。
首先，利用变分原理得到偏微分方程的弱形式(利用泛函分析的知识将求解空间扩大)。
其次，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元(三角形、四边形、四面体、六面体等)。
再次，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。
利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。
有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活(复杂区域)、单元类型灵活(适于结构网格和非结构网格)、程序代码通用(数值模拟软件多数基于有限元方法)等特点。
第一章偏微分方程的“弱”形式
第一章偏微分方程的“弱”形式
偏微分方程（PDE）是一类复杂的数学方程，表示物理现象或过程的基本规律，它将分析、预测复杂物理系统的行为，为许多应用领域，如工程、经济学、生物学等提供理论和技术支持。
在这其中，经典的偏微分方程可以分为“强”形式和“弱”形式。
PDE的”强“形式是指，它具有完整的结构性，可以用普通的微分方程来解决，并能够得到一个具有特征的解。
它不关心方程的空间结构，只要方程具有完整性就可以使用微分方法将其求解。
但是，在多维偏微分方程中，其复杂性会大大增加，使得其”强“形式变得不可行。
因此，对于强形式不可行的偏微分方程，人们引入了”弱“形式，将方程分解成一系列微分不完全的次方程，其中的参数是由空间结构和方程结构给定的，这样可以降低复杂性，更容易求解，也更容易获得解的特征。
”弱“形式的偏微分方程可以被称为现实生活中的”弱“性现象，这是因为它们的解并不一定拥有一个特定的解，而是一系列介于稳定态和不稳定态之间的解。
例如，水在运动中，液体是在动态变化的，但它也不会突然发生变化，而是在不同的空间分量中具有各种表现形式，总体看来是一种”弱“现象。
另外，”弱“形式的偏微分方程也有其独特的优势，尤其是当解决某些问题时，比如，在非线性边界值问题上，”弱“形式的偏微分方程具有良好的鲁棒性，更容易处理复杂的边界条件，得到更可靠的
解。
从以上可以看出，“弱”形式的偏微分方程在多种应用领域中具有极大的价值，尤其在非线性边界值问题上，其鲁棒性不同于”强“形式的偏微分方程，可以更容易获得解的特征，也能够处理复杂的边界条件。
因此，未来，”弱“形式的偏微分方程将受到越来越多的关注，它将成为解决复杂的物理问题的坚实基础，为许多应用领域提供理论和技术支持。
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究【标题】椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究【引言】椭圆型偏微分方程在科学和工程领域中具有广泛的应用。
解决这些方程的数值方法是研究和解决实际问题的重要手段之一。
其中，弱有限元方法作为一种数值解法，在椭圆型偏微分方程的研究中具有重要意义。
本文将从深度和广度的角度，探讨椭圆型偏微分方程的弱有限元方法的研究。
【主体部分】1. 弱有限元方法简介1.1 弱有限元方法的基本思想和原理弱有限元方法是有限元方法的一种变体，它通过构造一个合适的测试函数空间，将原偏微分方程通过乘以测试函数，并在局部区域上进行积分的方式，转化为求解线性代数方程组的问题。
弱有限元方法的基本思想是弱化原方程对解函数在各项导数的要求，从而得到更广泛适用的数值解法。
1.2 弱有限元方法的优势和限制弱有限元方法相对于传统有限元方法，在某些椭圆型偏微分方程的求解中具有一些优势，如处理不规则网格或复杂几何域时更加灵活，适用于非光滑解等。
然而，弱有限元方法也存在一些局限性，如对边界条件的处理较为复杂，不适用于某些高阶偏微分方程等。
2. 椭圆型偏微分方程的数值解法2.1 有限元方法与弱有限元方法的区别有限元方法是一种将连续问题转化为离散问题的数值方法，其关键是构造合适的试验函数空间。
与有限元方法相比，弱有限元方法在选择测试函数空间时更加宽松，从而得到了更广泛适用的数值解法。
2.2 弱有限元方法的数值离散化弱有限元方法在数值离散化过程中，需要选择适当的多项式空间，并基于测试函数的特性，构造离散的代数方程。
这一过程涉及到网格划分、积分计算和求解线性方程组等步骤，通过这些步骤可以得到椭圆型偏微分方程的数值解。
3. 弱有限元方法的应用3.1 泊松方程的弱有限元方法泊松方程是椭圆型偏微分方程的一个典型例子。
弱有限元方法在解决泊松方程时具有很好的适用性，并且可以灵活地处理各种边界条件和几何域。
3.2 椭圆方程组的弱有限元方法椭圆方程组是由多个椭圆型偏微分方程组成的方程组。
偏微分方程的古典解与弱解
偏微分方程的古典解与弱解偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
对于一个给定的PDE，我们希望找到它的解来描述现实世界中的各种现象。
解是指满足该方程的函数或函数族。
一般来说，PDE的解可以分为两类：古典解（Classical Solution）和弱解（Weak Solution）。
古典解是指满足PDE及其边界条件以及初始条件的光滑函数。
它在解析性质和可微性方面具有良好的性质，能够无限次地求导。
弱解是指满足PDE的广义函数，它不需要具备太多的光滑性，只需要满足一定的积分条件。
接下来我们将详细介绍古典解和弱解的定义和性质。
一、古典解对于一个PDE，我们希望找到满足下面条件的函数u(x,t)作为它的古典解：1. 方程条件：PDE的左右两边都要存在且相等，即使对于高阶导数也是如此。
2. 边界条件：在指定的边界上，u要满足给定的条件。
3. 初始条件：在给定的初始时间t_0上，u(x,t_0)要满足给定的初始条件。
古典解具有很强的光滑性，可以无限次地求导。
它在解析和可微性方面具有优势，因此在提供了重要的解析工具和方法，可以用来解决各种物理、工程、经济学等领域中的问题。
二、弱解与古典解相比，弱解的定义更加宽泛，不依赖于函数的光滑性。
一个函数u(x,t)是一个PDE的弱解，需要满足以下条件：1. 对于一个给定的测试函数φ(x,t)，将PDE两边与φ(x,t)进行积分后，积分方程得到一个等式，即积分方程成立。
2. 对于所有满足上述条件的测试函数φ(x,t)，积分方程都成立。
弱解具有比古典解更广泛的适用性，可以适应更复杂的情况和边界条件。
弱解的定义基于积分方程和广义函数，它的求解方法通常是利用分布方程、变分原理及泛函分析等数学工具。
三、性质比较古典解和弱解在性质上有所区别：1. 光滑性：古典解具有光滑性，可以无限次求导；弱解则不一定拥有光滑性，只需满足积分方程的条件。
Comsol弱形式入门
COMSOL Multiphysics弱形式入门COMSOL Multiphysics弱形式入门（一）物理问题的描述方式有三种：1、偏微分方程2、能量最小化形式3、弱形式本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式，使用户更有信心通过COMSOL Multiphysics 的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。
COMSOL Multiphysics是唯一的直接使用弱形式来求解问题的软件，通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法（FEM）以及了解COMSOL Multiphysics的实现方法。
本文假定读者没有太多的时间去研究数学细节，但是却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。
另外，本文也会帮助理解COMSOL Multiphysics文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考Zienkiewicz[1]，Hughes[2]，以及Johnson [3]等。
为什么必须要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。
有时候可能问题是没有办法用COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。
但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。
掌握弱形式可以使你的水平超过一般的COMSOL Multiphysics用户，让你更容易去理解模型库中利用弱形式做的算例。
另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。
还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。
最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL Multiphysics中的一些求解器的高级设置就懂得更多。
一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。
数学中的偏微分方程
数学中的偏微分方程数学中的偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然界中各种现象和过程的重要工具。
它们涉及多个变量和它们的偏导数，包含了很多有趣的数学和物理现象。
本文将介绍什么是偏微分方程以及它们的分类和应用。
一、偏微分方程的概念偏微分方程是描述多个变量之间关系的方程，其中，未知函数及其偏导数作为方程的解。
与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数不仅与自变量有关，还与多个独立变量有关。
偏微分方程通常用数学符号来表示，例如：∂u/∂t = c^2 ∂^2u/∂x^2在上述方程中，u表示未知函数，t表示时间，x表示空间坐标，c^2是一个常数。
该方程被称为一维扩散方程，描述了热的传导过程。
二、偏微分方程的分类根据方程中各个变量的次数以及方程形式的不同，偏微分方程可分为多种类型。
以下是常见的偏微分方程分类：1. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程当方程中的未知函数及其各个偏导数之间满足线性关系时，我们称之为线性偏微分方程；否则，称为非线性偏微分方程。
2. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程如果方程中的未知函数及其各个偏导数之间满足齐次关系（即等式右边为零），则称方程为齐次偏微分方程。
否则，称为非齐次偏微分方程。
3. 偏微分方程的阶数方程中各个变量的最高阶数即为偏微分方程的阶数。
常见的一阶偏微分方程如一维波动方程、一维热传导方程等；常见的二阶偏微分方程如拉普拉斯方程、泊松方程等。
三、偏微分方程的应用偏微分方程在多个领域中有着广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
以下是几个常见的应用领域：1. 物理学中的应用在物理学中，偏微分方程用于描述各种物理现象，如传热、传质、电磁现象等。
例如，电磁学中的麦克斯韦方程组、量子力学中的薛定谔方程等都是偏微分方程的应用。
2. 工程学中的应用在工程学中，偏微分方程常用于模拟和解决各种实际问题，例如流体力学中的纳维-斯托克斯方程、结构力学中的弹性方程等。
偏微分方程中经典解与弱解
偏微分方程中经典解与弱解
偏微分方程是研究自变量是多个变量的函数的微分方程，其中涉及到的函数通常是多元函数。
对于某些偏微分方程，存在多种类型的解，其中比较常见的有经典解和弱解。
经典解：对于偏微分方程，如果它的解在定义域内连续可微，那么这个解被称为经典解。
经典解具有较好的性质，例如它们可以直接用于数值计算，并且能够满足偏微分方程中的初值或边界条件。
弱解：偏微分方程的弱解是指一个不一定连续可微的函数，它满足偏微分方程的积分形式或者偏微分方程的广义定义。
在很多情况下，偏微分方程不存在经典解，但是可以找到一个弱解。
弱解通常需要进行额外的限制和约束，以保证解的合理性和唯一性。
总的来说，经典解和弱解是偏微分方程中两种常见的解法，它们的应用范围和性质各不相同。
在实际应用中，需要根据具体的问题选择适合的解法来求解偏微分方程，以得到最为合理和准确的结果。
1/ 1。
有限元方法(有FORTRAN程序)飞箭系列
§3.3
有限元输入数据的显示和查询………………………………58
§3.4 FEPG 系统的 PRE 文件……………………………………………58
3.4.1 线性的、 与时间无关的问题……………………………………………58 3.4.2 非线性、 依赖时间问题…………………………………………………62
§3.5 多场问题的有限元输入数据……………………………………68
FEPG 中级教程
第一章
偏微分方程的“弱”形式 ——虚位移原理
§1.1 偏微分方程的弱解形式
1.1.1 问题的提出
工程或物理学中的许多问题， 通常是以未知场函数应满足的偏微分方程和边 界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数 u 应满足偏微分方程组
A1 (u ) A(u ) = A2 (u ) = 0 M
（在Ω内） ,
(1.1.1)
Ω 域可以是体积域、面积域等，如图 1.1.1 所示。同时未知函数 u 还应满足边界 条件
B1 (u ) B(u ) = B2 (u ) = 0 M Γ 是 Ω 域的边界。 y
B (u ) = 0
（在Γ上）
(1.1.2)
Ω 域
A(u ) = 0
∫
Ω
C T (v) D(u )dΩ + ∫ E T (v) F (u )dΓ = 0
1.2.1 分部积分公式…………………………………………………………3 1.2.2 二维稳态热传导问题的“弱”形式……………………………………4 1.2.3 三维线弹性小变形静态问题的“弱”形式……………………………6 1.2.4 三维稳态渗流问题的“弱”形式……………………………………11 1.2.5 二维粘性不可压缩流体稳态 Navier_Stokes 方程的“弱”形式…14 1.2.6 三维静电场问题的“弱”形式………………………………………16 1.2.7 三维柱坐标静电场问题的“弱”2 元件程序的结构………………………………………………………81
COMSOL_弱形式详解
COMSOL Multiphysics弱形式入门物理问题的描述方式有三种：1、偏微分方程2、能量最小化形式3、弱形式本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式，使用户更有信心通过COMSOL Multiphysics的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。
COMSOL Multiphysics是唯一的直接使用弱形式来求解问题的软件，通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法（FEM）以及了解COMSOL Multiphysics的实现方法。
本文假定读者没有太多的时间去研究数学细节，但是却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。
另外，本文也会帮助理解COMSOL Multiphysics文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考Zienkiewicz[1]，Hughes[2]，以及Johnson [3]等。
为什么必须要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。
有时候可能问题是没有办法用COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。
但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。
掌握弱形式可以使你的水平超过一般的COMSOL Multiphysics用户，让你更容易去理解模型库中利用弱形式做的算例。
另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。
还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。
最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL Multiphysics中的一些求解器的高级设置就懂得更多。
一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics 都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。
偏微分方程基本分类
偏微分方程基本分类偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学领域中的一个重要学科，广泛应用于物理学、工程学、经济学等众多领域。
对于一个偏微分方程的分类，可以从多个角度进行划分，本文将介绍几种基本的分类方法。
1. 按照方程的阶数进行分类偏微分方程根据方程中各导数的最高阶数进行分类，可以分为一阶、二阶、三阶等不同阶数的方程。
一阶偏微分方程的一般形式为：a(x, y)∂u/∂x + b(x, y)∂u/∂y = c(x, y)二阶偏微分方程的一般形式为：a(x, y)∂²u/∂x² + b(x, y)∂²u/∂x∂y + c(x, y)∂²u/∂y² = d(x, y)类似地，可以推广到更高阶的偏微分方程。
2. 按照方程的类型进行分类偏微分方程根据方程的类型进行分类，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型方程。
椭圆型方程在物理学中描述了稳定状态，如静电场、热传导等问题；双曲型方程描述了波动传播问题，如声波、电磁波等；抛物型方程描述了扩散问题，如热传导方程、扩散方程等。
3. 按照边界条件进行分类偏微分方程根据边界条件进行分类，可以分为边值问题和初值问题。
边值问题是在给定区域上给出边界条件，需要求解在该区域上满足边界条件的解；初值问题是在给定初始条件下，需要求解在给定时间范围内的解。
4. 按照线性性质进行分类偏微分方程根据方程中的线性性质进行分类，可以分为线性方程和非线性方程。
线性方程满足叠加原理，如果 u1 和 u2 是其解，那么k1u1 + k2u2 也是其解；非线性方程则不满足叠加原理。
5. 按照解的形式进行分类偏微分方程根据其解的形式进行分类，可以分为解析解和数值解。
解析解是通过数学分析得到的解的表达式；数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
6. 按照方程的系数性质进行分类偏微分方程根据方程中的系数性质进行分类，可以分为恒定系数方程和变系数方程。
偏微分方程的弱形式
偏微分方程的弱形式
弱形式的偏微分方程（PDEs）是指那些不可以在一个直接求解的方式下解决的偏微分方程。
有几种方式可以用来描述弱形式的PDEs。
其中最常用的方式是采用弱形式，即将其转化为一组不等式形式。
首先，要对偏微分方程的弱形式做一个非常基本的定义：它是指在满足一些要求的情况下，一个函数的一些特性会在几何和数学上与原来的偏微分方程相同。
它可以用来解决涉及有限元和分型差分的问题。
另外，它也是强形式的一种拓展，可以引入多种条件来让非线性偏微分方程变得更加复杂。
其次，要解释如何从强形式推出弱形式，即将积分表示转换为不等式表示。
这里，假设有一个偏微分方程：
$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u}}{\partial {y}}=f(x,y,u)$
其中f(x,y,u)是一个函数，u是变量。
设定一些连续可微函数
$\phi_1,\phi_2,\phi_3,...,\phi_n$，称为测试函数（或拉格朗日乘子），他们满足在U上等于零的条件，即：
$\phi_1(x,y,u)=\phi_2(x,y,u)=\phi_3(x,y,u)=...=\phi_n(x,y,u) =0$
它要求下面的等式：。
基于COMSOL弱形式方程求解色散光子晶体能带
2. 偏微分方程的弱形式介绍
用数学方法描述真实的物理问题时，一般有三种描述方式。1、偏微分方程形式(Partial Differential Equation, PDE)；2、能量最小化形式；3、弱形式(Weak Form)。他们都是同一物理方程的不同等效形式， 针对特定条件有各自的优势。其中我们最常见的便是偏微分方程。PDE 方程一般都有对应的解析解，当 难以得到其解析解时，便需要根据变分原理或能量最小化原理转化为积分形式的泛函数变分问题求解。 积分形式适合用有限元元求解，而弱形式可以看做对积分变量连续性要求更低，形式更一般的能量最小 化形式了。COMSOL Mutiphysics [7] [8]是求解多物理场的一款有限元数值求解软件，通过内建多种物理 方程及相应求解器，可以对互相耦合的复杂物理问题进行数值求解，是物理学研究中非常重要的工具。 COMSOL Multiphysics 本身是一款有限元的求解器，可以设定将所需求解的 PDE 方程转化为弱形式，再 进行求解。但不是所有问题都能通过内置弱形式模块解决，这时了解弱形式方程及其有限元算法对求解 实际物理问题很有帮助。 在求解光子晶体能带时， 当使用 COMSOL 内置的本征值求解模块时， 需要预先定义好其最简布里渊 区边界，COMSOL 会自动随布洛赫波矢 k 的变化求解得到其相应频率 f 的本征值。在求解色散材料问题 时，即介电常数 ( f ) 或者磁导率 µ ( f ) 是频率相关函数，由于 f 未知，COMSOL 内置本征值求解模块将 无法求解，这个时候就需要借助自定义弱形式方程来求解了。 考虑介质中传播电磁波的麦克斯韦方程可以以磁场 H 或者电场 E 形式来表达。 以电场形表达式其波 动方程为：
关键词
数值求解，弱形式，光子晶体，能带结构
FeFET的跨尺度模型及其宏观电性能的微观调控机理
摘要铁电场效应晶体管(FeFET) 凭借其具有更快的读写速度、更低的功耗以及较强的抗辐照性能等优势已被公认为是最具发展潜力的新型存储器之一。
然而，FeFET要达到商业化的要求，还有包括保持性能损失、印记失效、疲劳失效在内的一些失效问题需要解决。
而位错、氧空位、退极化场等微观结构是影响晶体管漏-源电流大小的根本因素。
深入研究位错等微观结构对漏-源电流的影响机理及影响规律对揭示FeFET的失效机理及主观利用这些微观因素来预防其失效有着重要意义。
具体的研究内容如下：1.建立了MFS (金属-铁电-半导体) 结构铁电场效应晶体管的通用跨尺度模型并验证了模型正确性。
将相场理论与半导体器件方程相结合，并推导出相关偏微分方程的弱形式，然后采用有限元的方法求解。
该模型成功的将畴结构与晶体管沟道中的电流联系起来，且得到的晶体管转移特性曲线与实验所测的值吻合，证明了所建模型的正确性。
通过模拟结果发现铁电层下表面处的c畴是决定晶体管中电流的关键。
2.考虑位错所带来的附加应力应变场，建立了含位错的MFS结构的FeFET 跨尺度模型。
利用该模型，研究了位错在铁电薄膜中位置、位错密度以及位错的强度对晶体管电学性能的影响。
模拟结果表明：界面位错会使薄膜出现印记现象，并且随着位错的密度以及强度的增大而变得更明显，而内部位错仅仅是使薄膜的矫顽场减小。
由于FeFET的电学性能是由畴结构而不是由薄膜的平均极化决定。
当位错位于界面时，位错会对界面处的c畴产生钉扎从而增大控制沟道导通或截止的电压；当位错位于内部时，位错下方的区域形成几乎单一的a畴，在这种情况下，铁电层下表面由于缺少c畴，导致FeFET存储窗口几乎消失，从而导致存储器失效。
因此相较于界面位错，内部位错对晶体管电学性能影响更大，在实验中应尽量避免内部位错的出现。
3.在MFS结构的晶体管的基础上，加入一层绝缘层建立一个MFIS (金属-铁电-绝缘-半导体) 结构FeFET的跨尺度模型。
一类椭圆型随机偏微分方程弱解的存在性
１ｄ，ｘ， ｕ ｆ， ）ｚ）Ｄ Ｑ Ｊ ｉ（ ｕ ） （ ， （ ）∈ ×， ｖ ， ， ＝ ｘ ｕ （，∈ＯＤ×Ｑ， —Ａ ｕ Ｖ ｕ ，， ｕ ｕ：０ ｚｕ
其 中， ｄｖ与 表 示仅对 ｚ求微分．首先，作者引入了弱解的概念；然后，作者转化随机问 ｉ
题为高维确定性问题 ；最后，作者证 明了该 问题弱解 的存在性． 关键词：非线性椭 圆随机偏微分方程；弱解； Ｌ ｒｙ Ｓ ｈ ｕ ｅ 连续方法． ｅａ － ｃ ａ ｄ ｒ
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类：５６ 中图分类号： ７ ． 文献 标识码 ： ３ Ｊ５ Ｏ１５ ５ ２ Ａ
（１ Ｆ ） 满 足：存在 Ｋ（， ∈Ｈｐ，Ｌ ０ ｌ＜Ｐ＜ ＋ 。 使得 ｘ ） Ｏ＞ ， 。，
（ 增长性）ｌ（， ，，） ｆ （） １ ２ ） ｌ Ａ ｘ ｌ ｌ ｗ ｌ ＋ （ ｌ ＋Ｋ（， ） ［—．］ ｌ 一 一 ｘ ， Ｐａ ． ｅ； （ 单调性）Ｅ｛ （， ，１ ） ［ ， 一Ａ（， ，２叩］ ［一叩 ＞０ ≠叩 ｘ ，）． ］ ） ， ； （ 强制性）Ｅ［（， ，，（ ）・（） Ａ ｘ ） ］ Ｅ（ （） ） ［ ａ ． １ ｌ ， Ａ ．］ － ｅ． （２ Ｆ ）存在 １ ＜Ｐ ＜ｑ ＋ｍ ｎ １芍）Ｋ１ ｐ， ｉ｛， ， ∈Ｈ 使得 Ｖ ｘ∈Ｄ， 均有 ｌ ｘ ，） Ｋｌ ， ） ３ ） ｌ Ｐ ａ ． ｆ ， ｌ （ （ ＋ （ ｌ ，［—．］ ｘ 一 ｅ，
维普资讯
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数学物理学报
一
类椭圆型随机偏微分方程弱解 的存在性
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（ 上海财经大学应用 数学系 上海 ２ ０ ３ ） ０ ４ ３
偏微分方程ppt课件
3
1.1 基本概念
偏微分方程的一般形式
注：F中可以不显含自变量和未知函数，但是， 必须含有未知函数的某个偏导数。 涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分 方程构成一个偏微分方程组。 注：除非特别说明，一般假设函数u及其在 方程中的各阶偏导数连续。
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
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第三章 波动方程的初值（柯西）问题与行波法
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
双曲型方程的第一标准形式
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
双曲型方程的第二标准形式 双曲型方程的第一标准形式和第二标准形式统称为双曲型方程的标准形式
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
偏微分方程的弱解形式
利δij用是方 Kr程on的ec边ke界r函条边数件。界，上条式件可变如为下： ：
这有单 ((55))样限元引 引做 单 内入入的元近约约目法似束束的的函条条可基数件件使本通单原常元理由的未构知造场标函准数化或，其即导插数值在函单数元B和的(u一各)维个单节元点uk的的un尺数u0寸值无和q00关其，插0从值而函大数（ （ 大来方表在 在 便示有。qu上 上 限元） ） 软件的编制和应用。
xnx1
则上面的表达式可以表示为：
lin1()
n
j1, ji
j i j
则对于n=2，有：
l(1)
1
1(1)
2
l (1) 2
1 (1)
2
上面就是一维线性Lagrange单元。
对于n=3，有：
l(2)
1
1(
2
1)
l2 (2) (1)1 ()
上式表示一维二次Lagrange单元。
l3(2)
1(
2
式(3)是偏微分方程组(1)的弱解积分形式或“弱”形式，或称之为虚位移原理。
有限单元法的基本思想
这里u表示温度，k表示热传导系数，u0和q0是边界上温度和热流的给定值 ，Q是热源密度乘以材料密度 。 由于偏微分方程组(1)在域Ω中每一点为零，因此就有：
有(2)限选单择元适法当的➢的基插偏本值思模微想式 分方程的弱解形式
在很多情况下可以对(3)式进行分部积分得到另一种形式
C T (v )D (u ) d E T (v )F (u ) d 0
其中C、D、E、F是微分算子，它们中所包含的未知函数导数的阶数较(3)式的微分算子A底，这 样对函数u只需要求较低阶的连续性就可以了，这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中， 尤其是在有限元方法中十分重要 。
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A:弱形式一般是指对强形式方程（即微分方程）的积分方程形式，这是因为满足微分方程的解必定也满足相应的积分方程。
弱形式和'完全L'，'更新L'和'任意L'是不同的概念，弱形式和强形式对应，是对于微分（积分）方程即纯数学理论而言的，'完全L'，'更新L'和'任意L'是指拉格朗日描述的有限元方程的三种格式，全称是'完全拉格朗日格式'，'更新拉格朗日格式'和'任意欧拉－拉格朗日格式'，这是有限元方法的三种求解技术
一定也是弱形式方程的解，这个是保证强弱转换合理性的根本。其实在物理意义上，有限元的这个做法还存在一些争议，但是强形式到弱形式的转换是能够实施有限元这种计算方法的核心理论。
关于弱形式大概有'完全L'，'更新L'和'任意L'三种,不过我不做有限元理论的东西，具体的我不是很熟，这些楼主想了解的话借一些有限元书籍应该可以找到。
在固体力学的变分原理出现之前，以方程的弱形式求解问题确实不保证结果的收敛性、与物理实际的合理性
近几十年来陆续推导出固体力学变分原理，而由于固体力学方程（绝大多数情况）是拉格朗日描述的，其微分方程的算子是线性自伴随的，通过变换就与变分原理等效，因此固体力学变分原理是有限元方法（求解固体力学问题）的理论基础。也就是说对于固体力学问题，如果以前这样“强形式转弱形式”是有限元方法的核心理论的话，那么现在有限元方法的核心理论是固体力学的变分原理。至于争议，则是由于目前对于“变分”理论上的一些问题尚未完全解决
但对于如流体力学等领域的微分方程，其算子往往不是线性的，很难找到一个与之等效的变分原理，因此有限元方法在求解这些领域的方程时存在收敛性问题
正在看计算固体力学，对于强形式和弱形式更加了解了
有限元方法不能直接离散动量方程。为了离散这个方程，需要一种弱形式，称为变分形式，即虚功原理或者虚功率，通过对变分项与动量方程的乘积进行积分来建立的。虚功原理或者弱形式是等价于动量方程和力边界条件的。后者称为经典强形式
A:所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也就是需要满足的条件太复杂。比如不连续点的跳跃等等。
将微分方程转化为弱形式就是弱化对方程解的要求。不拘泥于个别特殊点的要求，而放松为一段有限段上需要满足的条件，使解能够以离散的形式存在。一个满足强形式微分方程的解，
Q:请教一个基础问题：将偏微分方程的强形式变为弱形式的目的是什么？是为了离散吗？
强形式和弱形式之间有什么本质的区别没有？请高人简明指点。谢谢！
A:弱形式对解的连续性要求降低了，强形式对解的连续性要求很高。
弱形式和强形式可以互相推导，差别就是解的连续性要求
Q:有一个叫：完全拉格朗日格式的弱形式，我想知道有没有其他格式的弱形式？或者是不完全拉格朗日格式的弱形式?