关于中继站协调问题的数学建模

摘要移动电话用户之间的通信是通过中继站来实现的。

在移动网络的建设中通常需要解决信号覆盖和多用户同时在线时信号干扰这两个问题。

无线通信中如果没有足够远的距离或者充分分离的频率就会产生相互干扰。

目前一种被称作CTCSS的连续编码音调控制系统（也称PL）可用用于减轻干扰，使得两个附近的中继站可以共享相同的频率对(包括接收和发送)。

本文针对提出的问题：用最少中继站满足半径40英里的圆形区域内1000甚至10000同时在线的用户，并讨论山区存在信号阻碍的情况。

建立三个层次的数学模型进行分析。

首先明确数据条件：即中继站发射和接受频率要相差600KHZ或者以上，可用频宽为3MHZ，可用PL为54个，另据资料显示，无线电话使用的频宽为30KHZ。

不同于传统的方案将中间的600KHZ 空出然后将其前后的频段用于通信以实现中继站发射和接受频率要相差600KHZ的方法，本文将所有可用频宽分为30KHZ的小段后进行配对，使每个频段都得到充分利用，即使除去两个频段用作控制频道，这种方法可以得到多达49对信道。

本文在模型1讨论了单纯的中继站信号覆盖问题，暂不考虑信号的干扰，用尽可能少的中继站使得区域内实现无线信号无缝覆盖，通过比较和推导得到了正六边形的最佳方案也就是当前国际通用的蜂窝网状结构。

在模型2中引入不同频段和不同PL并借鉴四色定理，来解决中继站之间的干扰问题，针对1000名用户，计算知中继站以一层蜂窝网络的形式分布便可容纳这些用户；针对10000名用户，考虑到中继站通信信道数和可用PL数量限制，建立了多层蜂窝网络模型，找出了最优方案。

模型3针对山区对中继通信的影响给出了解决方法并运用电磁学的结论对影响大小给出了具体的计算。

关键词：蜂窝网络中继通信山区衰减目录摘要 (1)一问题重述 (3)二问题分析 (4)三模型假设 (5)四符号说明 (5)五模型的建立与求解 (6)模型1简单的几何覆盖 (6)一问题重述手机之间的通话是靠无线电完成的，而手机的无线电频频率较高，这使得手机的电频只能沿直线传播而容易被建筑物挡住。

为了解决这个问题，通常手机之间不会进行直接的电频接收与传送，而是通过中继站来完成的。

每部手机通话时需要占用两个频道（发射与接收频道）。

我们不妨设发射频道为a，接收频道为b。

则通话时，手机发射a给中继站，中继站接收到后又会发射电磁波给通话的另一方，通话的另一方又会发射电磁波给中继站，中继站收到信号后又会发射b给a。

对于相距较远的两个用户A和B，他们之间可能太远以至于一个中继站不能完成传输。

这就需要一个无线电话交换系统来连接不同的中继站。

甚高频（Very High Frequency）无线电频谱包含信号的发送和接受。

这种限制可以被中继站所克服。

中继站可以捕捉到微弱的信号，然后把它放大，再用不同的频率重新发送。

这样，低功耗的用户，例如移动电话用户，在不能直接与其他用户联系的地方可以通过中继站来保持联系。

然而,中继站之间会互相影响,除非彼此之间有足够远的距离或通过充分分离的频率来传送。

除了地理的分离、“连续编码音调控制系统”(CTCSS),有时被称为“私人专线”(PL)、通过这项技术可以减轻干扰问题。

该系统连接每个中继站，靠的是所有通过同一个中继站连接的用户发送的独立的亚音频音调来连接。

中继站只回应接收到的具有特殊PL的语调的信号。

通过这个系统,两个附近的中继站可以共享相同的频率对(包括接收和发送);对于更多的中继站(并且更多的用户)可以提供在一个特定的区域。

频谱范围是145—148MHZ,在中继站中的发射机的频率要么是600KHZ以上，要么低于接收机频率600KHZ、并且这里有54个不同的PL可用。

本文通过三个模型主要解决以下三个问题：问题一、在一个半径40英里的圆形区域内，设计一个方案，用最少量的中继站容纳1000同时在线用户；问题二、如果这里有10,000个用户，改变解决方案，以达到同问题一的要求；问题三、在由于山区引起信号传播受阻的地区，讨论这样的情形并设计出合理的解决方案。

二问题分析为了让更多的人在半径40的圆形区域内同时进行无线通话，我们把该地区分成许多小块，每一小块的中心建有一个中继站。

每个小块的用户由该小块内的中继站负责。

对于在同一个小块内的用户们来说，他们不能同时使用同一个频段，但不同小块的两个用户可以使用同一个频段。

这样会产生一个问题，相邻中继站的覆盖范围必定有重叠区域，而处于重叠区域内的用户在发出信号后会被两个中继站接收并回应，这就产生了干扰。

如下图。

图1：重叠区域内有干扰这里我们可以通过“连续编码音调控制系统”(CTCSS)来避免这种干扰。

对于问题一，首先考虑，单纯的几何覆盖问题。

用尽可能少的中继站来实现区域内的信号无缝覆盖。

然后需建立一个系统，用最少的中继站满足为1000名用户同时提供服务的需求。

对于问题二，为了要满足更多用户同时在线的需求（10000人），必须对问题一的方案进行改进，通过改进不同PL和不同信道的组合，满足更多的用户需求。

对于问题三，山区对信号的削弱作用会对中继站的分布和覆盖半径产生影响。

我们只需找出其中的影响因素，再将所得结果带入相应情况的模型中便可求解。

三模型假设为了简化模型提高模型的可实现性作以下假设：1.所有中继站各项各项指标相同；2.在非山区通信仅手中继站之间的信号干扰，忽略其他影响因素；3.该区域内的用户均匀分布；4.中继站规范排布时干扰只会影响到毗邻的其他中继站。

四符号说明R中继站的发射半径1R中继站的感知半径2几何覆盖的重叠部分百分比五 模型的建立与求解1.模型1简单的几何覆盖将每一个中继站都视作完全相同，他们能与距离不大于1R 的其他中继站通信，能感知距离25R =内的用户，即具有1R 的发射半径和2R 的感知半径，由于用户的通信设备功率较小，通常有12R R >。

在不考虑中继站信道数限制的情况下， 要保证1000名同时在线的用户，则该问题转化为一个覆盖问题：用半径2R 的小圆去覆盖半径40 英里的大圆，求使用的最少的小圆数量。

我们从最简单的情况开始分析，设圆形区域半径为R ，并且这是一个完全平整的区域，显然在2R R ≥的时候仅需要一个中继站就可以达到整个区域的信号覆盖。

如果2R 减小到比R 小一点，那么一个就不足以覆盖，必须再增加两个。

而且一旦234R R ≤那么三个中继站就不足以覆盖整个区域，将需要五个或者更多中继站。

（见图2）图2：简单几何覆盖实际情况中40R mile =，2R 通过查阅有关资料得知一般只有几千米，即2R R 。

在这种情况下的无缝覆盖中，能够完整(无重叠)地覆盖某一区域可能的多边形几何形状有：正方形、等边三角形和正六边形三种形状。

证明如下：用同种正n 边形来覆盖平面，在一个顶点周围集中了m 个正n 边形的角。

由于这些角的和为360，因此可列以下等式*22,,2,2212m n m n m n Z m n >⎧⎪>⎪⎪--∈⎨⎪⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩可以解得三组解，21,243,622,224,424,216,3n m n m n m n m n m n m -=-=⇒==⎧⎪-=-=⇒==⎨⎪-=-=⇒==⎩图3：几种可以无缝覆盖的图形在正方形、等边三角形和正六边形中，正六边形的面积最大。

内接正六边形的覆盖（即蜂窝网络）能够使所有小圆的交叠面积之和最小，即圆数量最少。

重叠部分百分比λ可由等式2221/2(2/)1/2sin(2/)/sin(2/)/222n r n r n n r ππππλππ--=⋅=⋅ 计算出结果，具体重叠情况计的算结果在下表中列出：形状 正三角形 正方形正六边形单元面积2r π 2r π 2r π表1：不同排列重叠比较 考虑到中继站之间的通讯接力（即一个中继站必须在另一个与之通信的中继站的发射半径1R 之内）要同时实现信号覆盖和中继接力，在蜂窝网络中1R 与2R 间必须满足123R R ≥，而相关资料表明现代中继站通常满足该关系，我们因此仅需要考虑感知半径2R 的无缝覆盖。

用matlab 模拟得到以下示意图。

图4：matlab 模拟蜂窝覆盖无漏洞覆盖的区域的面积为23(3(1)1);012...2S r L L L =⨯⨯⨯++=、、而半径40英里的区域的面积20S R π=，满足0S S >既可，通过matlab 计算可以得到，当中继站感知半径23R =（单位英里，下同）时需要253个中继站来覆盖半径40的圆形区域；若感知半径增加到25R =则所需数量减少到115个，不同感知半径对数量的影响如下表：R/英里3456782表2：感知半径对中继站个数的影响2.模型2考虑信号干扰（1）.用户数量为1000R 时需77个中继站进行完全覆盖），在解决了单纯覆盖问题之后（在25核心问题变为计算是否可以容纳1000名用户的同时通信或系统的最大可容纳用户量。

在无重叠的覆盖部分，用户可以自由无限制地进行通信；在有重叠覆盖部分，则需要使用PL语调进行信号区分。

由之前的计算分析可以得到，重叠部分全部为两个中继站的重叠，不存三个或者更多中继站重叠的情况。

对于六边形覆盖，每个中继站信号范围中重叠部分所占比例为5.77%。

由于半径40英里的圆形区域远大于每个中继站有效覆盖范围（感知半径R2），即需要比较大量的中继站对目标区域进行覆盖，对于边缘，当六边形的中心在圆形区域范围内时，计作一个完整的六边形，中心不在圆形区域内时则可忽略。

故我们可以忽略边缘处信号的不完全覆盖问题，即认为整个目标区域的信号重叠部分占5.77%。

根据地图四色定理，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着张不同的颜色，则对于本蜂窝网络，最理想情况下，我们只需4个不同的PL语调（亚音频音调）即可实现对整个系统网络的信号进行区分。

可使每相邻四个中继站作为一个基本单元，分别使用四种不同PL，通过平移得到整个网络的PL分布，如图5所示，不同颜色代表不同的PL图5：用四色原理进行PL分配因此系统提供的54个PL语调完全可以满足需要；可用频率段共有49对，则系统的最大容纳量（此处加入符号）49×77=3773>>1000，即总容纳量可以满足需求。

对于该圆形区域，用户呈均匀分布，每个中继站有效范围内用户数相等，任一用户与其他所有用户进行通信的可能性相等。

对于与不在同一中继站有效覆盖范围内的用户通信需要中继器之间的信号传递，可初步定性判断，越靠近整个区域中心位置的中继器承载着越大的信息转发任务，即不同中继站各自的平均通信量是不同的，因此问题变为计算通信量最大的中继站是否有足够的容纳量。

由于整个区域内用户均匀分布且任一用户与其他所有用户进行通信的可能性相等，可将位于每两个相邻中继站有效覆盖范围重叠处的用户平均分配给两个中继站，则可认为用户均匀分布在所有以中继站为中心不相重叠的77个六边形区域内，每个区域包含10001377名用户。