高中数学第二册(上)点到直线的距离 说课

点到直线的距离 说课各位老师,大家好！我说课的内容是《点到直线的距离》．我将通过教材分析、目标分析、教学方法、过程设计和教学反思五个部分,阐述本课的教学设计． 一、教材分析 1．教学内容《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书（必修·人民教育出版社）第二册（上）,“§7．3两条直线的位置关系”的第四节课,主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．2．地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识,是从初中平面几何的定性作图,过渡到了高中解析几何的定量计算,其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对本节的研究,为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习,奠定了基础,具有承上启下的重要作用．二、目标分析 １．学情分析我校高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识,具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃,但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．２．教学目标根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析,我制定了如下教学目标． 【知识技能】⑴ 理解点到直线的距离公式的推导过程； ⑵ 掌握点到直线的距离公式； ⑶ 掌握点到直线的距离公式的应用． 【数学思考】⑴ 通过探索点到直线的距离公式的推导过程,渗透算法的思想；⑵ 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的推导过程,培养学生的数学阅读能力； ⑶ 通过灵活运用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力． 【解决问题】由探索点()2,0P 到直线0x y -=的距离,推广到探索点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=()220AB +≠的距离的过程中,使学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法,并使学生在经历反馈练习的过程中,进一步提高灵活运用公式,解决问题的能力． 【情感态度】结合现实模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣．３．教学重点、难点为更好地完成教学目标,本课教学重点设置为： 【重点】⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．点到直线的距离公式的推导思路和算法分析． 【难点突破】本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想,由浅入深,让学生自主探究,分析、整理出推导公式的不同算法思路．同时,借助于多媒体的直观演示,帮助学生理解,并通过逐步深入的课堂练习,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点．三、教学方法根据教学内容和学生的学习状况、认知特点,本课采用类比发现式教学模式．从学生熟知的实际生活背景出发,通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式,引导学生探索点到直线的距离的求法．让学生在合作交流、共同探讨的氛围中,认识公式的推导过程及知识的运用,进一步提高学生几何问题代数化的数学能力． 四、过程设计结合教材知识内容和教学目标,本课分为以下四个教学环节．环节１创设情境在教学环节1中,以学生熟知的地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离等生活图片的欣赏,以及一个具体实例：当火车在高速行驶时,如果旅客离铁轨中心的距离小于2.5m 的安全距离时,就可能被吸入车轮下而发生危险．创设情景,让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”,从而有效调动学生的学习兴趣．（设计意图：以学生熟悉的实际生活为教学背景,引入新课,有效调动学生的学习兴趣．） 那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题,教学进入环节2．环节２ 点到直线的距离公式的推导过程 首先,由学生回答,初中有关“点到直线的距离”的定义：过点P 作直线l 的垂线,垂足为Q 点,线段PQ 的长度叫做点P 到直线l 的距离．（设计意图：引导学生复习旧知,为新课的学习打下基础．）接着,师生共同探讨如何求点到直线的距离．由于点和直线处在一般位置,所以公式的推导过程含有字母运算,比较抽象．为帮助学生更好地理解,可以补充两个由浅入深的具体问题,为后面推广到一般情况作好铺垫．问题1 如何求点(2,0)P 到直线:0l x y -=的距离？公式应用问．方法① 利用定义由于本课之前,学生已掌握了两条直线交点的求法等知识,所以容易通过定义,将点P 到直线l 的距离,转化为点P 、垂足Q 两点之间距离来解决．解：过点P 作l 的垂线PQ ,设垂足为.Q()():0,2,0,:2.l x y P PQ y x -=∴=-- ,1,2.2. 1.y x x x x y x y ==⎧⎧∴∴=-∴⎨⎨=-=⎩⎩()1,1.Q PQ ∴∴==方法② 利用直角三角形的面积公式结合图形,学生也能利用面积构造法来解决,这一方法 的难点是如何添作辅助线．教学时给予提示：由垂直条件, 可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识．解：过点P 作l x 、轴的垂线PQ PR 、,交点为点.Q R 、在Rt ,,OPR OR QP OP PR ∆⋅=⋅中2 2.QP QP ∴=⨯∴=方法③ 利用三角函数根据定义作出图象后,由于涉及到Rt OPQ ∆和直线倾斜 角45,学生容易联想利用三角函数知识解决问题．解：过点P 作l 的垂线PQ ,垂足为.Q():0,45.2,0,l x y QOP P -=∴∠= 2.OP ∴=.222245sin =⨯=⋅=∴ OP PQ方法④ 利用函数的思想在初中,学生已初步认识了点到直线的距离的几何特征：连接直线外一点与直线上任意点,所得线段中垂线段最短．以此为背景,学生可能通过函数的思想来解决． 解：设直线l 上的点00(,)Q x y ,则()min.d QP= 000,0.x y x y -=∴-=QP ∴===≥当01x =时,取得等号,即此时点()1,1.Q(P 0对于问题1,学生可能提供的解法不完全,我要引导学生补充完整．改变点P 和直线l 的位置,引出补充问题2．问题2 如何求点(4,2)P 到直线220x y -+=的距离？组织学生类比问题1,独立思考本问的解决方法． 在课堂上只要求学生说明解法思路,而不要求解题过程．（设计意图：为了推导点到直线的距离公式,学生会 面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具 体问题,使学生能够类比思考,解决当点和直线处在一般 位置时,点到直线的距离的求法．）在解决问题1、2的基础上,将点和直线的位置推广到一般情况,进一步提出问题3．问题3 如何求点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++=（220A B +≠）的距离？方法① 利用定义的推导方法通过前面两个补充问题,学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法,学生可能会类比考虑利用定义,将点P 到直线l 的距离转化为点P 与垂足Q ,两点之间距离来处理．这种方法虽然思路自然,但运算较繁琐,所以只要求学生结合教材,说明算法步骤、明确算法框图,而不要求推导过程．尽管在前面的学习中,学生已掌握了两条直线垂直的充要条件,但学生仍然可能忽略0A ≠,这一前提条件,而直接得到与l 垂直直线的斜率为B A．我要加以纠正,并强调对于00A B ==或的特殊情况,可以结合图象直接得出结论,所以在算法中暂不考虑．:220l x y -+=方法② 利用直角三角形的面积公式的的推导方法学生也可能类比补充问题1、2中,添作辅助线的方式,构造直角三角形,通过面积构造法解决问题．对于这种方法,由于教材已经给出了推导过程,所以学生代表可以只说明算法步骤．与传统教材相比,新教材更关注学生思维能力的培养,淡化形式、注重实质．由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式,所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂,教科书选择的借助直角三角形的面积公式推导公式的方法,简洁、明了．所以,可以让学生根据算法框图,自学教材的推导过程,培养学生的数学阅读能力．在此过程中,应该提醒学生注意Rt PRS ∆三边边长的求法．方法③ 利用平面向量的推导方法由于在前面直线方程的学习中,教材引入了直线方向向量的概念,并运用了向量的有关知识讨论直线的一些问题．所以我班部分思维能力较强的学生,可能会提出利用向量知识推导公式,我要给予肯定．尽管这种方法具有一定难度,但根据我班学生思维能力较强的特点,可以先引导学生复习向量有关知识,使学生明确向量数量积的两种表示方式及其几何意义,再结合图象,师生互动,共同讨论得出,利用向量数量积推导公式的算法步骤、算法框图．在这一过程中,学生可能会遇到,无法表示与直线l 垂直的向量n 的坐标的困难,我给予提示：可以借助于,向量n 与直线l 的方向向量互相垂直的充要条件来解决．对于这种方法的具体推导过程,要求学生课后,在自学教材55P 阅读材料“向量与直线”的基础上,作为思考作业完成．这种利用向量的算法,为今后在立体几何中,利用这种方法得到点到平面的距离公式奠定了基础． 上任意一点得(PM x =-垂直的向量(),n A B =（设计意图：在点到直线的距离公式的推导过程中,通过问题获得知识,让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程,使学生感受到用坐标的方法研究几何问题是一种重要的数学方法．由于点和直线处在一般位置,所以公式的推导中会涉及字母运算,比较抽象．为帮助学生理清思路,在教学中强调了算法的思想,让学生在明确算法步骤和算法框图的前提下,再进行有效的公式证明和自学阅读．）点到直线的距离公式点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=（其中0A B 、不同时为）的距离d =在学生通过多种方法推导得出公式后,引导学生根据公式的形式特点,记忆公式．同时强调：当00A B ==或时,公式仍然适用,也可以结合图象直接求出结论．在此基础上,要求学生利用公式计算补充问题1、2,并与前面的计算结果进行比较,前后呼应,使学生体会运用公式计算的简便性．点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点,为了强化学生对公式的记忆和运用,教学进入环节3．环节３ 点到直线的距离公式的应用在本环节,我安排了三个典型例题．其中例1是引用教材52P ,由于例题中所给直线的方程已经是一般式,所以学生容易忽略运用公式的前提：首先应将直线方程化为一般式,在确定了系数A B 、的值之后,再代入公式进行计算．这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．为了强调运用公式的这一前提条件,我在例1中补充设置了⑶、⑷两个小问．例1 求点0(1,2)P -到下列直线的距离： ⑴ 2100;x y +-= ⑵ 32;x = ⑶ 37;y x =+ ⑷ ()241.33y x -=- （设计意图：通过例题练习,强化学生对公式的记忆和应用．同时,“代入公式计算前,首先应将直线方程化为一般式,以便确定系数A B 、的值”是学生在应用公式中,容易忽略的环节．将这一薄弱环节设置在在解决了例1的基础上,由浅入深,补充了直线方程含有参数的例2,进一步提高学生灵活运用公式的能力．例2 ⑴ 已知点()2,3A -到直线1y ax =+的距离为2,求a 的值；⑵ 已知点()2,3A -到直线y x a =-+的距离为2,求a 的值．由于例2的两个问题中,直线方程所含参数a 都具有明显的几何意义：一个表示直线的斜率,另一个表示直线在y 轴上的截距．所以解出参数a 的值后,在“几何画板”中,以数学实验的形式,通过度量进行操作确认．其中⑴随直线l 的不断变化,学生可观察点A 到直线l 距离d 的度量值、直线斜率a 的度量值的变化趋势．当2d =时,可发现此时两条直线的斜率a 的度量值,与计算结果吻合．同时,度量出30ABC ABD ∠=∠=,说明点A 落在两条直线所成角的角平分线上（如图1）；在⑵中,学生可观察点A 到直线l 距离d 的度量值、直线在y 轴上截距a 的变化趋势．当2d =时,直线在y 轴上的截距a 的度量值,也与计算结果吻合（如图2）．本例既考察了学生对公式的掌握情况,又为下节课对称问题和直线系的研究设下伏笔,并由问题⑵中两平行线间距离为22,引出教材53P 的例题．图1 图2（设计意图：点到直线距离公式的应用,是本课的一个重点内容．在例1的基础上,增补直线方程含有参数的例2,进一步提高学生灵活运用公式的能力．在几何画板的软件平台中,通过数学实验,让学生感受在利用代数方法研究几何问题后,再回归几何本身的重要性．）例3 求平行线2780x y -+=和2760x y --=的距离．教材上采用了类比化归的思想,将两平行直线之间的距离,转化为点到直线的距离来解决问题．由于两平行线间的距离处处相等,所以教材选择了一条直线上的特殊点,便于简化计算．学生可能会提出如果在直线上任选一点()00,P x y 能否得到这两条平行线之间的距离的问题,由此引出了教材54P 的习题15．根据课堂剩余时间,此题作为机动练习．此时,本课教学任务已基本完成,为进一步巩固知识,教学进入环节4．（设计意图：紧扣教材,让学生体会类比化归的思想方法,同时,为课后作业中推导两平行线之间的距离公式,设下伏笔．）环节４ 课堂总结由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容,教师加以补充说明． ⑴ 点到直线的距离公式的推导中不同的算法思路； ⑵ 点到直线的距离公式；⑶ 点到直线的距离公式的应用前提条件．d=1.414 a=-0.2679d=1.414 a=3.000课后作业① 在自学教材55P 阅读材料“向量与直线”后,利用向量的方法证明点到直线的距离公式； ② 教材547.3P 习题 13、14、16 板书设计五、教学反思 根据教学经历和学生的反馈信息,我对本课有如下五点反思：1．对于这一节内容,有两种不同的处理方式：一种是让学生理解、记忆公式,直接应用而不讲公式的探寻过程,这样的处理不利于我校学生数学思维的培养；二是本课方式,通过强调对公式的探索过程,提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；2．点到直线的距离的推导过程,含有比较抽象的字母运算．如果没有整体算法步骤的分析,学生的思路会缺乏连贯性,所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形面积的算法、利用平面向量的算法．让学生在明了算法步骤的前提下,再进行有效的公式推导和自学阅读；3．向量是一种重要的运算工具,根据我班学生的实际,本课涉及了利用向量的数量积推导点到直线的距离公式的方法．实际上,在以后立体几何的学习中,还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．又由于这种方法在思维上有一定的难度,所以,我根据学生的实际情况,提出了分层要求：基本要求是能够理解教材所给的推导方法,并能够应用公式,较高要求是能够利用向量的方法推导点到直线的距离公式； 4．现代数学认为“几何是可视逻辑”,所以我重视在补充的例题中,突出几何直观和数形结合的思想方法； 5．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆,所以我重视在学生应用公式中容易忽略的环节,并在补充的例题中给予了设置,以期达到强化训练的目的．课题：点到直线的距离 ㈠ 公式推导过程 1．问题1 如何求点(2,0)P 到直线0x y -=的距离？2．问题2 如何求点(4,2)P 到直线220x y -+=的距离？ 3．问题3 如何求点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离（220A B +≠）？方法① 利用定义的算法框图方法② 利用直角三角形的面积公式的算法框图 方法③ 利用平面向量的算法框图 ㈡ 典型例题 例1 例2 例3 ㈢ 课后作业点到直线的距离公式◆运用公式的注意点◆课堂小结。