欠阻尼二阶自动控制系统性能指标计算公式
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自动控制原理 二阶系统的响应
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1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
1
3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
19
即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
21
4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
27
∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解
n t
(cosd t +
1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +
1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1
自动控制原理第三章3.3
Settling Time
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解 得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了 上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈 环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达 到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3
% e % e
tg tg 75
e ss 0
例 已知系统的闭环传递函数 ，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1
h(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
弧度
d
三、欠阻尼二阶系统动态性能计算
令 h(t ) 1取其解中的最小值，
tr
令h(t)一阶导数=0，取其解 得 t p 中的最小值 d cos 所以 cos
附加零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33%
j 0
无振荡有超调
0.333
结论：
ts可能大了可能小了 上升时间减小
1 零点有削弱阻尼的作用 2 零点越靠近原点该作用越明显
附加零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
四、二阶系统性能的改善
常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈 环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达 到改善系统性能的目的.
75 t rຫໍສະໝຸດ t r 1 d .9tp tp
d 1 .9
tts
s
？0 . 5
n
3 3
% e % e
tg tg 75
e ss 0
例 已知系统的闭环传递函数 ，当 K K= 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃 Ф(s)= s2 +3s+K 响应和σ% ,ts 。
R(s)
s 1
n
2
C(s)
s ( s 2 n )
2
j
临界阻尼
s 2 s1
1
0
1
0
s1, 2 n n 1
j
1
s1, 2 n
j
欠阻尼 s
无阻尼
n 1
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线
2 1 ,2 n n
） 可知，此时系统有两个
相等的实根 s1,2 n
对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为
2 n n 1 1 c( s ) 2 s(s 2 2 n s n ) s (s n ) 2 s n
c (t ) r (t )
1
一条单调上 升的指数曲 线
将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：
c( t ) 1 e e ) 2 2 1 T1 T2 ( 1
T1 t T2 t
也是一条单调上 升的指数曲线
r (t )
式中
T1 ( 2 1) n T2 ( 2 1) n
0
c (t )
t
c(t )
响应曲线：
c(t ) 1 ent (1 nt )
0
t
3．过阻尼情况（
1
）
2
此时系统有两个不相等的负实根
s1,2 n n 1
对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为
2 2 1 [ 2( 2 2 1 1 ] 1 1 [ 2( 1 1 )] c( s ) 2 s s n n 1 s n n 2 1
对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应：
c(t ) 1 e
t n
(cosd t
1 2
sin d t ) 1
1 1 2
e nt ( 1 2 cosd t sin d t )
1
e nt 1
2
sin( d t )
s1,2 n n
Im
2
1
） 可知，此时系统有两个
相等的实根 s1,2 n
对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为
2 n n 1 1 c( s ) 2 s(s 2 2 n s n ) s (s n ) 2 s n
c (t ) r (t )
1
一条单调上 升的指数曲 线
将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：
c( t ) 1 e e ) 2 2 1 T1 T2 ( 1
T1 t T2 t
也是一条单调上 升的指数曲线
r (t )
式中
T1 ( 2 1) n T2 ( 2 1) n
0
c (t )
t
c(t )
响应曲线：
c(t ) 1 ent (1 nt )
0
t
3．过阻尼情况（
1
）
2
此时系统有两个不相等的负实根
s1,2 n n 1
对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为
2 2 1 [ 2( 2 2 1 1 ] 1 1 [ 2( 1 1 )] c( s ) 2 s s n n 1 s n n 2 1
对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应：
c(t ) 1 e
t n
(cosd t
1 2
sin d t ) 1
1 1 2
e nt ( 1 2 cosd t sin d t )
1
e nt 1
2
sin( d t )
s1,2 n n
Im
2
1
欠阻尼
开环增益 K 0
( s)
K B K0 KB T 2 1 s(Ts 1) K 0 s s 1 K0 K0
KB
K 0 变化→特征多项式系数变化→特征根变化→ h(t ) 变 Nhomakorabea→性能变化
开环增益变化对性能的改善是有限的，指标对 K 0 的要求 往往是矛盾的只能采取折中方案，兼顾不同的要求。
2
sin t cos t
(s2 2 ) s (s2 2 )
n s s n 2 (n 1 2 ) 2 s n 2 (n 1 2 ) 2
s n n 1 2 2 s s n d s n 2 d 2
增加极点是削弱了阻尼 结论1： 还是增加了阻尼？ 结论2： 增加的极点越靠近原点 越怎样？
0 j
0
两种控制方案的比较
两种控制方案兼顾了系统的响应的快速性和平稳性
（1）微分控制作用于系统输入，速度反馈作用于系统输出，在相同 阻尼程度下，微分控制将比速度反馈控制产生更大的阶跃响应超调 量。 （2）微分作用对输入噪声有明显的放大作用，当输入端噪声严重时，
例
给定典型二阶系统的设计指标：超调量 % 5% 调节时间 t s 3s 峰值时间 t p 1s
试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。 解 ： 依题
% 5%
0.707 ( 45)
ts 3.5
n
3
，
n 1.05
1 2 n 3.14
；
tp
1 2n
1
06年
上升时间tr
y (tr ) 1
自动控制原理第3章 习题及解析
自动控制原理（上）习 题3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。
考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。
解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为/(1)()()111K Ts Ks Kbs T Kb s Ts +Φ==++++ 根据输入信号写出输出函数表达式：111()()()()()11/()K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++对上式进行拉式反变换有1()(1)t T bKy t K e-+=-当0b >时，系统响应速度变慢；当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。
3-2 设用11Ts +描述温度计特性。
现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。
如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。
考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：()1t T r y t T e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：600.961Te-=-推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。
由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：lim ()0.1 1.864t e t T →∞==3-3 已知一阶系统的传递函数()10/(0.21)G s s =+今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。
解 一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为10()(0.2/101)s s Φ=+由图可知系统的闭环传递函数为000(10()()1()0.211010110()0.21110H HHHK G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==++++==Φ++）比较系数有101011011010HHK K K ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。
自动控制原理第09讲
C 2 mK
系统的阶跃 响应：
Fi ( s )
1 s
X (s) Fi (s)G(s)
14
解题思路： （1）根据Mp表达式求出ξ； （2）根据tp表达式求出wn； （3）根据虎克定律，求出K； （4）对系统变形，使之成为标准型，求出m 和C。
15
例题3－3:
已知系统的单位阶跃响应为：
16
X o ( s) 600 600 ( s ) 2 X i ( s) ( s 60)(s 10) s 70s 600
2）对比二阶系统的标准形式：
2 n ( s ) 2 2 s 2n s n
有：
2 n 600 2 n 70
n 24.5rad / s 1.429
ss lim s
s0
1 1 1 X i ( s) lim 2 2 s0 s s G( s) H ( s) 1 G( s) H ( s) Ka
s0
其中， Ka lim s 2G(s) H (s)
称为稳态加速度误差（偏差）系数。
30
1 1 易知： ess H (0) K a
s0
ss
ss
1 1 Kv K
1 Ka
Ka lim s G(s) H (s) 0
2 s0
35
Ⅱ型系统
G( s) H ( s) K (1s 1)( 2 s 1)( m s 1) s 2 (T1s 1)(T2 s 1)(Tnv s 1)
6
7
（4）调整时间ts 对于欠阻尼二阶 系统，其单位阶跃 响应的包络线为一 对对称于响应稳态 分量1的指数曲线
8
欠阻尼二阶系统
欠阻尼二阶系统
欠阻尼二阶系统是一种典型的线性动力系统的理论形式，它是在其参数将恒定的情况下使系统的物理运动在特定条件下达到最佳状态的现象。
欠阻尼二阶系统由一个位移x、一个加速度a以及一个定位移x_0构成，组成线性运动方程如下：
x＇＋2ζω_0 x+ω_0^2 x=ω_0^2 x_0
其中，ζ是阻尼因子，ω_0是自然频率，x_0为定位移量。
欠阻尼二阶系统的特征有三类，即回归性、振荡特性和收敛特性。
回归性是欠阻尼二阶系统的核心性能，在给定的驱动条件下，它可以实现一次性的位移，即系统的位移可以返回到初始位置。
振荡特性指的是给定的激励条件下，系统会有一定程度的振荡运动，具有不断反复循环的动态变化特征。
收敛特性指的是系统对某些激励条件有一定程度的调节和收敛，从而能够从原来的状态一段时间内达到另一种状态，实现状态的改变。
欠阻尼二阶系统的实际应用是广泛的，在工程实现过程中，多个欠阻尼二阶系统可以通过微分方程、状态空间及模型匹配等方法组合成更大的系统，并应用到汽车电子悬挂系统和智能穿着裤子等领域。
其中，汽车电子悬挂系统应用欠阻尼二阶系统是为了补偿汽车受到外力时造成的位移变化，可以实现极佳的稳定性；以及智能穿着裤子，其动态行为可以实时识别衣服的身体变形，实现舒适的穿着体验。
此外，欠阻尼二阶系统还可以应用到家庭智能安防系统中，其在建筑结构中安装的灵活的行程传感器系统实现自动检测和控制楼层的安全，提高安全性与便利性。
综上，欠阻尼二阶系统是一种强大的理论形式，被广泛应用于许多工程领域，对一些具有复杂动态行为的系统实现实时控制和调节，具有许多特性优势，特别是在反应能力和抗干扰方面，具有得天独厚的技术优势，为提高系统性能提供了宝贵的参考依据。
自动控制_03b二阶系统计算举例
2 n C ( s) 2 2 s 2 n s n
1
根据 e
t
sin t L [ ] 2 2 对上式取拉氏反变换得： (P )
1. 欠阻尼（0
1 ）时的脉冲过渡函数 n t 2 k (t ) c(t ) e sin 1 t n 1 2
d
( s) R(s) 例3.图: -
2 wn s(s 2 wn )
c(s)
kts
是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分 析速度反馈校正对系统性能的影响。 解:系统的开环传递函数为
2 wn 2 s ( s 2wn ) wn G( s) 2 2 wn kt s s ( s 2wn wn kt ) 1 s ( s 2wn )
n 1
3
2
n 1.96(rad / s)
n
0.7809 ( N s 2 / cm)
f 2 n M 18( N s / cm)
五、单位速度函数作用下二阶系统的过渡过程
1 单位速度函数为 r (t ) t ，则有 R ( s ) 2 ，其对应的输出信号的 s 拉氏变换式为：
e( )
2
所以我们又得到减小稳态误差的方法：增大 n 或减 小 ，但减少 会使超调量增大，因此需折中考 虑，确定一个合理的设计方案。图3.3-16示出了不同 放大倍数的系统在速度函数作用下的过渡过程曲线.
n
图3.3-16 二阶系统反应速度函数的过渡过程曲线
例:已知单位反馈系统的传递函数为
在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统 的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增 益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻 尼比ξ t增至适当数值,以减小系统的超调 量,提高系统的响应速度,使系统满足各项 性能指标的要求。
1
根据 e
t
sin t L [ ] 2 2 对上式取拉氏反变换得： (P )
1. 欠阻尼（0
1 ）时的脉冲过渡函数 n t 2 k (t ) c(t ) e sin 1 t n 1 2
d
( s) R(s) 例3.图: -
2 wn s(s 2 wn )
c(s)
kts
是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分 析速度反馈校正对系统性能的影响。 解:系统的开环传递函数为
2 wn 2 s ( s 2wn ) wn G( s) 2 2 wn kt s s ( s 2wn wn kt ) 1 s ( s 2wn )
n 1
3
2
n 1.96(rad / s)
n
0.7809 ( N s 2 / cm)
f 2 n M 18( N s / cm)
五、单位速度函数作用下二阶系统的过渡过程
1 单位速度函数为 r (t ) t ，则有 R ( s ) 2 ，其对应的输出信号的 s 拉氏变换式为：
e( )
2
所以我们又得到减小稳态误差的方法：增大 n 或减 小 ，但减少 会使超调量增大，因此需折中考 虑，确定一个合理的设计方案。图3.3-16示出了不同 放大倍数的系统在速度函数作用下的过渡过程曲线.
n
图3.3-16 二阶系统反应速度函数的过渡过程曲线
例:已知单位反馈系统的传递函数为
在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统 的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增 益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻 尼比ξ t增至适当数值,以减小系统的超调 量,提高系统的响应速度,使系统满足各项 性能指标的要求。
欠阻尼二阶自动控制系统性能指标计算公式
欠阻尼二阶自动掌握系统性能指标计算公式
经过这几天对二阶自动化系统的学习，使我对二阶自动化系统有了初步的了解。
二阶自动掌握系统有四种状况，可分为无阻尼状况、欠阻尼状况、临界阻尼状况，以及过阻尼状况。
我主要对二阶掌握系统里的欠阻尼状况进行了学习。
了解了无阻尼二阶系统欠阻尼的性能指标。
指标有以下几点：
1.提升时间t r
2.峰值时间t p ：
3.最大超调量。
P
4.调整时间t S
5.振荡次数N
6.稳态误差e s s
通过学习也了解到二阶系统的平稳性主要由阻尼比C打算，C越大，超调量越小，系统的平稳
性越好；相反C越小，平稳性越差，C = O时系统不能稳定工作。
C比较小时，调整时间与C 3 n成反比，快速性也就越差。
自动控制理论_09欠阻尼二阶系统的动态过程分析
n 67.5 8.21
34.5 2.1 2n
峰值时间：t p ?
超调量：％ 0
无
四、改善二阶系 统响应的措施
1. [0,t1]误差信号为正，产生正向 c ( t ) 修正作用，以使误差减小，但因 系统阻尼系数小，正向速度大， 造成响应出现正向超调。 2. [t1,t2]误差信号为负，产生反向 修正作用，但此时反向修正作用 不够大，经过一段时间才使正向 e ( t ) 速度为零，此时输出达到最大值。 3. [t2,t3]误差信号为负，此时反向 修正作用增大，使输出返回过程 中又穿过稳态值，出现反向超调。 (t ) 4. [t3,t4]误差信号为正，产生正向 c 修正作用，但开始正向修正作用 不够大，经过一段时间才使反向 速度为零，此时输出达到反向最 (t ) e 大值。
t1 t2
t3
t4
归纳如下：
c (t )
1. [0,t1] 正向修正作用太大，特 别在靠近t1 点时。 2. [t1,t2] 反向修正作用不足。 减小二阶系统超调的思路 1. [0,t1] 减小正向修正作用。附 e ( t ) 加与原误差信号相反的信号。 2. [t1,t2] 加大反向修正作用。附 加与原误差信号同向的信号。 3. [t2,t3]减小反向修正作用。附加 与原误差信号相反的信号。 (t ) c 4. [t3,t4] 加大正向修正作用。附 加与原误差信号同向的信号。即 在[0,t2] 内附加一个负信号， (t ) e 在[t2,t4]内附加一个正信号。 5. 综上所述采用比例微分控制。
n An Ai A1 A2 C ( s) s s1 s s2 s sn i 1 s si
R
5K A s( s 34.5)
北航机电控制工程基础(自动控制原理)第三章2-时域分析法-一阶系统分析二阶系统分析
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
(3 )调节时间Regulation time ：t s 根据调节时间的定义，当t≥ts时 |h(t)-h(∞)|≤ h(∞) ×Δ%。
e nt
1 2
sin(d t
tg1
1 2
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@
北京航空航天大学
• 定性分析 (1) 平稳性Stability ---> % ---> %
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
d n 1 2
1 1
s1,2 n n 2 1 s1,2 n
欠阻尼 underdamping
0
1
s1,2
n
jn
1 2
零阻尼 undamping
0
s1,2 jn
负阻尼
0
negative damping
s1,2 n n 2 1
两个不等负实根 两个相等负实根 两个负实部共轭复根 两个纯虚根 正实部特征根
北京航空航天大学
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
3.3 二阶系统分析(Second-order System analysis)
3.3.1 数学模型 (Mathematical Model)
dc2 (t) dt2
2 n
dc(t) dt
dtp 0, ,2 ,
得：
tp
欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
K1 2, K 2 27.85, a 6.42 。
5．二阶系统动态性能随极点位置分布的变化规律
js d
d
2
0
[ 计算演示 ] 欠阻尼二阶系统动态性能随极点位置的变化规律小结
从直角坐标变化： 从“极”坐标变化：
3.5 ts
n
n
0 0
1
2 n
3.5 ts
n
0 0
3.5
n
ts
n
0 0
3.5
n
ts
n
n
0 0
例 3 典型欠阻尼二阶系统
500
0 0
16.3 00
要求
2 n5
试确定满足要求的系统极点分布范围。
解．依题意有
0.707
0.5
45
2 n5
2
60 n5
[s] j
4 2
-1
-0.5
0
0.5
n
s2 2 n s
2 n
n 100 10
10 0.5 (
2 10
60 )
tp
1
2 n
0.363 1 0.52 10
0 0
e
12
e 0.5 / 1 0.5 2
16.3 00
3.5 3.5
ts
0.7 n 0.5 10
10 K
(2)
( s) s2 10s 10 K
n 10K 10
2 10K
令
0.707
得
C( s)
2
(s)R( s)
s2
n
2 ns
1
2 n
s
[ s2 2 ns
2 n
]
s( s
自动控制原理第三章(2)
n
dh(t ) t>0 >0 dt dh(t ) t = ∞ h(t ) = 1 =0 dt
二阶
小结： 小结：过、临界阻尼无振荡。 临界阻尼无振荡。
三、欠阻尼二阶系统 0 < ζ < 1
1 r(t)=1(t) R ( s ) = 单位阶跃响应： 单位阶跃响应： s 2 ωn 1 β C ( s) = 2 ⋅ 2 s + 2ζωn s + ωn s −ζωn s + ζωn ζωn 1 = − − 2 2 2 2 s ( s + ζωn ) + ωd ( s + ζωn ) + ωd
dh(t ) 1 =− [−ζωn e −ζωnt sin(ωd t + β ) + e −ζωnt cos(ωd t + β )ωd ] 2 dt 1− ζ
jωn 1 −−ζωn
β
= jωd
− jωn 1 − ζ 2
= − jωd
π π ∴t p = = ωd ωn 1 − ζ 2
h(t ) = 1 −
e
− ζωnt
σ %
p
tt
1− ζ 2
sin(ωd t + β )
∴ζωn sin(ωd t + β ) − ωd cos(ωd t + β ) = 0
1− ζ ωd ∴ tan(ωd t + β ) = = = tan β ζωn ζ ∴ωd t = 0, π , 2π ⋯
2
1− ζ
2
包络线进入误差带的时间近似
ts =
3
ζωn
(±5%)或
4
ζωn
(±2%)
讨论： (1)ωn一定,ζ 讨论：
dh(t ) t>0 >0 dt dh(t ) t = ∞ h(t ) = 1 =0 dt
二阶
小结： 小结：过、临界阻尼无振荡。 临界阻尼无振荡。
三、欠阻尼二阶系统 0 < ζ < 1
1 r(t)=1(t) R ( s ) = 单位阶跃响应： 单位阶跃响应： s 2 ωn 1 β C ( s) = 2 ⋅ 2 s + 2ζωn s + ωn s −ζωn s + ζωn ζωn 1 = − − 2 2 2 2 s ( s + ζωn ) + ωd ( s + ζωn ) + ωd
dh(t ) 1 =− [−ζωn e −ζωnt sin(ωd t + β ) + e −ζωnt cos(ωd t + β )ωd ] 2 dt 1− ζ
jωn 1 −−ζωn
β
= jωd
− jωn 1 − ζ 2
= − jωd
π π ∴t p = = ωd ωn 1 − ζ 2
h(t ) = 1 −
e
− ζωnt
σ %
p
tt
1− ζ 2
sin(ωd t + β )
∴ζωn sin(ωd t + β ) − ωd cos(ωd t + β ) = 0
1− ζ ωd ∴ tan(ωd t + β ) = = = tan β ζωn ζ ∴ωd t = 0, π , 2π ⋯
2
1− ζ
2
包络线进入误差带的时间近似
ts =
3
ζωn
(±5%)或
4
ζωn
(±2%)
讨论： (1)ωn一定,ζ 讨论：
欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算
动态性能指标定义1
超调量σ% = A 100% B
A
峰值时间tp 上 升 定义2
调节时间 ts 上升时间tr
动态性能指标定义3
σ%= A 100% B
A
B
tr
tp
ts
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统
k(t)= T r(t)= δ(t) 单单 单
1 T
k ,T 时间常数 Φ(s)= Ts+1 (画图时取k=1,T=0.5)
结论1：增加极点有何影 响？ 结论2：偶极子有何作用？
设系统特征方程为：
劳斯表介绍
7
(6－4)/2=1 (10-6)/2=2 (6-14)/1= 劳斯表特点 -8
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 2 4 2 1 -8 0 ε -8 2ε 7 5 6 7 7
s
1 k(0)= T ’ h (0)=1/T K’(0)=T T
? 3 、r(t)=at时，ess=？
4、求导关系？
二阶系统单位阶跃响应 定性分析
2 1
2 ωn Φ(s)= 2 s +2ξωns+2 1 1 ωn j j j T T ξ＝ ξ＞ 00 S1,2= - 0 ± ωn 1:2 ξ1: √ξ ξω ＞1 1 j t t T e e S+ = -T = -ω h(t)= 1 -(1+ω t) e-ω t n h(t)= 1+ T ξ n 0 n 1,2 T 1 T 1 T ξ ＝1 j j ωnj 0＜ξ＜ 0 0＜ξ＜ S1,2= - 0 ±j ωn ξ＝0: √10 ξω 1 1: ξ2
超调量σ% = A 100% B
A
峰值时间tp 上 升 定义2
调节时间 ts 上升时间tr
动态性能指标定义3
σ%= A 100% B
A
B
tr
tp
ts
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统
k(t)= T r(t)= δ(t) 单单 单
1 T
k ,T 时间常数 Φ(s)= Ts+1 (画图时取k=1,T=0.5)
结论1：增加极点有何影 响？ 结论2：偶极子有何作用？
设系统特征方程为：
劳斯表介绍
7
(6－4)/2=1 (10-6)/2=2 (6-14)/1= 劳斯表特点 -8
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 2 4 2 1 -8 0 ε -8 2ε 7 5 6 7 7
s
1 k(0)= T ’ h (0)=1/T K’(0)=T T
? 3 、r(t)=at时，ess=？
4、求导关系？
二阶系统单位阶跃响应 定性分析
2 1
2 ωn Φ(s)= 2 s +2ξωns+2 1 1 ωn j j j T T ξ＝ ξ＞ 00 S1,2= - 0 ± ωn 1:2 ξ1: √ξ ξω ＞1 1 j t t T e e S+ = -T = -ω h(t)= 1 -(1+ω t) e-ω t n h(t)= 1+ T ξ n 0 n 1,2 T 1 T 1 T ξ ＝1 j j ωnj 0＜ξ＜ 0 0＜ξ＜ S1,2= - 0 ±j ωn ξ＝0: √10 ξω 1 1: ξ2
自动控制原理(3-2)
arccos 1.09(rad )
1 0.7
d n 1 2 3.14(rad / s)
0.65( s ) d
td
n
3.5
0.37( s )
tr
ts
n
4.4
2.15( s ) 0.05
ts
n
2.70( s)
对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：
h(t ) 1 e sin d t cos d t 2 1 1 1 e nt 1 2 cos d t sin d t 1 2
n t
1
1 1 2
e nt sin( d t ) , t 0
式中， arctan( 1 2 ) ，或者
arccos
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应有两部分组成：
稳态分量为1，系统在单位阶跃函数作用下不存在
稳态位臵误差；
瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为ωd，
故称为阻尼振荡频率。
t 0
系统的误差为：
e(t ) r (t ) c(t ) 2
n
2
n
1 2 e nt sin 1 2 n t 2arctg 1 2 1
1 2
e t T1 e t T2 h(t ) 1 , t0 T2 T1 1 T1 T2 1
4.无阻尼（ζ=0）二阶系统的单位阶跃响应
h(t ) 1 cos nt , t 0
可见，这是一条平均值为1的正、余弦形式的等幅振 荡，其振荡频率为ωn，故可称为无阻尼振动频率。 实际的控制系统通常都有一定的阻尼比，因此不可能 通过实验方法测得ωn，而只能测得ωd，且小于ωn。
二阶系统进行分析
稳态过程两部分组成. (1) 动态过程：是指在典型输入信号作用下,系 统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。动态过
程表现为衰减、发散或等幅振荡的形式。
一个可以实际运行的控制系统,其动态过程必须 是衰减的,即系统必须是稳定的。
动态过程除提供系统稳定性的信息外，还可提供
响应速度及阻尼情况等信息,这些信息用动态性能来描 述。
• 与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s 1 / Kh 100 / s • (2) ( s ) 1 K h 100 / s 1 s / 100 K h • 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即
1 0.1 得 K h 0.3 100 K h 3
● 稳态性能：由稳态误差ess描述。
华北科技学院
h(t) h(t)
系 统 的 时 域 分 析 法
A
超调量σ% =
A 100% B
峰值时间 峰值时 tp B
间 tp 上 上升 时间 时间 升 t trr
B
调节时间 调节时 ts
动 态 性 能 指 标
间 ts
t
3 动态过程与稳态过程 在典型输入信号作用下,时间响应都由动态过程和
3.5
n
4.5
3.5
c(t)
4.5
(取△=5％时)
1
1
e- n t 1
2
包络线
T
1
n
1
e- n t 1 2
ts
n
(取△=2％时)
0
t
2.参数ζ 对单位阶跃响应性能的影响
• 阻尼比ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间 ts长； • ζ过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；
程表现为衰减、发散或等幅振荡的形式。
一个可以实际运行的控制系统,其动态过程必须 是衰减的,即系统必须是稳定的。
动态过程除提供系统稳定性的信息外，还可提供
响应速度及阻尼情况等信息,这些信息用动态性能来描 述。
• 与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s 1 / Kh 100 / s • (2) ( s ) 1 K h 100 / s 1 s / 100 K h • 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即
1 0.1 得 K h 0.3 100 K h 3
● 稳态性能：由稳态误差ess描述。
华北科技学院
h(t) h(t)
系 统 的 时 域 分 析 法
A
超调量σ% =
A 100% B
峰值时间 峰值时 tp B
间 tp 上 上升 时间 时间 升 t trr
B
调节时间 调节时 ts
动 态 性 能 指 标
间 ts
t
3 动态过程与稳态过程 在典型输入信号作用下,时间响应都由动态过程和
3.5
n
4.5
3.5
c(t)
4.5
(取△=5％时)
1
1
e- n t 1
2
包络线
T
1
n
1
e- n t 1 2
ts
n
(取△=2％时)
0
t
2.参数ζ 对单位阶跃响应性能的影响
• 阻尼比ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间 ts长； • ζ过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；
自动控制 二阶系统性能分析
c(t1p)-1100% = e-ζπ
1-ζ
2
100%
整理ppt
第三节 二阶系统性能分析
4. 调节时间ts
c(t)=1-
e-ζ
ωnt
2
sin(ω
d
t+β
)
1-ζ
c(t)
1
误差带
可用近似公式： 0
ts =3T=ζω3n
ts
=4T=ζ
4 ωn
ζ<0.68 ζ<0.76
ts t
±5%误差带 ±2%误差带
整理ppt
第三节 二阶系统性能分析
四、带零点二阶系统单位阶跃响应
c(cФ=t=1τ)d(c=(1tsdc(s)系1(t21)=t)s+-(==2Lt统ω2ζe+)1cRC-ω=ω-ζ-12ζ1ζn结2(ω(([e1s(nsωtnns22s)t-ζ))-ζ(构s++=ωnsz+τ1n2ωsz2t11s为+[+(ζ[2ωd2nz)ω+ζ2ωω-ζdcω2nζ+ω21tn2nn(2ω)sz(τntni)=(sn)nsRs+zs2sω(+ω((i++sns1ωn)τ222ωdζ设(ω)+s)ωstωn++]2n2ζ2dβ=1n2n(ωt1+ssR)β+-+n-ωω(zse1)s+-)-ζ+n-)ω2ζdωω=c)时nnso22tds(1)sss间c+ωi(ωon闭2ζns20常(ωωd(ω<环nt数ζ+d)dβ<tC零t++1(β)βs]点)))] 设=C11-(se1)-ζ-ζ=ωn2ts2z+lω2[ζ2nzωR-ζlωn(ssn)+ωsinn2(ω则d t+βC()s+)ω=lCd c1o(ss)(ω+ dzstC+β1(s))]
二阶系统的时间响应
3）K = 13.5时
n=8.22rad/s，=2.1 ，系统工作于过阻尼状态，
传递函数可以改写为：
G(s)
s2
67.5 34.5s
67.5
(0.481s
1 1)(0.0308s
1)
即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组
成，其中 T1=0.481s,T2=0.0308s
对于过阻尼系统，tp，Mp，N已无意义，而调整时间ts间可
K=8.9/0.03=297N/m
又由图b)知：
M p e
1 2 100% 0.0029 100% 9.7% 0.03
解得： = 0.6
又由： t p
n
2 12
代入，可得n=1.96rad/s
根据 n
K , C
M 2 KM
解得 M = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s
✓ 例题2
单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
xo (t) 7 5e6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
G(s)
X o (s) Xi (s)
X o (s)
L[xo (t)]
L[7 5e6t ]
7 5 2s 42 s s 6 s(s 6)
➢ 例2
已知系统传递函数：
G(s)
2s 1 (s 1)2
1.5 1 2 , 0.05
则
N ts Td
2
12
,
0.02
N 仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性。 越大，N越小，系统平稳性越好。
====0000....2468
✓ ▪
结论
0
二阶系统的动态性能由n和决定。
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欠阻尼二阶自动控制系统性能指标计算公式
经过这几天对二阶自动化系统的学习，使我对二阶自动化系统有了初步的了解。
二阶自动控制系统有四种情况，可分为无阻尼情况、欠阻尼情况、临界阻尼情况，以及过阻尼情况。
我主要对二阶控制系统里的欠阻尼情况进行了学习。
了解了无阻尼二阶系统欠阻尼的性能指标。
指标有以下几点：
1. 上升时间ｔｒ
2.峰值时间ｔｐ：
3.最大超调量σ
ｐ
4.调整时间ｔｓ
5.振荡次数Ｎ
6.稳态误差ｅｓｓ
通过学习也了解到二阶系统的平稳性主要由阻尼比ζ决定，ζ越大，超调量越小，系统的平稳性越好；相反ζ越小，平稳性越差，ζ＝０时系统不能稳定工作。
ζ比较小时，调整时间与ζωｎ成反比，快速性也就越差。