层次法数学建模论文

层次法数学建模论文

层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简称AHP)是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。下文是店铺为大家整理的关于层次法数学建模论文的范文，欢迎大家阅读参考!

层次法数学建模论文1

层次分析法建模

70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标(因素)结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。

一、问题举例：

A.大学毕业生就业选择问题

获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：

① 能发挥自己的才干为国家作出较好贡献(即工作岗位适合发挥专长);

② 工作收入较好(待遇好);

③ 生活环境好(大城市、气候等工作条件等);

④ 单位名声好(声誉-Reputation);

⑤ 工作环境好(人际关系和谐等)

⑥ 发展晋升(promote, promotion)机会多(如新单位或单位发展有后劲)等。

问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择?——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序?

B.假期旅游地点选择

暑假有3个旅游胜地可供选择。例如：P1：苏州杭州，P2北戴河，P3桂林，到底到哪个

地方去旅游最好?要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色;②费用;③居住;④环境;⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。

目标层

准则层

方案层

C.资源开发的综合判断

7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。

二、问题分析：

例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行：(S1)将决策解分解为三个层次，即：

目标层：(选择旅游地)

准则层：(景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则)

方案层：(有P1，P2，P3三个选择地点)

并用直线连接各层次。

(S2)互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过

程中常是定性的。

例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择;

中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择;

经济不好的人：会把费用低作为第一选择。

而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。

(S3)将方案层对准则层的权重，及准则层对目标层的权重进行综合。

(S4)最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。

以上步骤和方法即是AHP的决策分析方法。

三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量

因素比较方法——成对比较矩阵法：

目的是，要比较某一层n个因素C1,C2, Λ, Cn对上一层因素O的影响(例如：旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性)。

采用的方法是：每次取两个因素Ci和Cj比较其对目标因素O的影响，并用aij表示，全部

比较的结果用成对比较矩阵表示，即：

A=(aij)nxn, aij>0, aji=1aij(或aij⋅aij=1) (1)

由于上述成对比较矩阵有特点： A=(aij) , aij>0, aij=

1aji

1aji

故可称A为正互反矩阵：显然，由aij=，即：aij⋅aji=1，故有：aji=1

四、一致性检验——一致性指标：

1.一致性检验指标的定义和确定——C⋅I的定义：

λmax-n

C⋅I=

n-1

一般C⋅I≤0⋅1，认为主观判断矩阵A的一致性可以接受，否则应重新进行两两比较，构造主观判断矩阵。

2.随机一致性检验指标——R⋅I

问题：实际操作时发现：主观判断矩阵A的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩

阵的一致性要求。于是引入修正值R⋅I来校正一致性检验指标：即定义R⋅I的修正值表为：

C⋅IR⋅I

并定义新的一致性检验指标——一致性比率为：C⋅R=

当：C⋅R=

C⋅IR⋅I

<0⋅1时，认为主观判断矩阵A的不一致程度在容许范围之内，

可用其特征向量作为权向量。否则，对主观判断矩阵A重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵A。注：上式C⋅R=

C⋅IR⋅I

<0

⋅1的选取是带有一定主观信度的。

五、标度——比较尺度解：

六、组合权向量的计算——层次总排序的权向量的计算

七、层次分析法的基本步骤：

(S1)建立层次结构模型

将有关因素按照属性自上而下地分解成若干层次：

同一层各因素从属于上一层因素，或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的影响。

最上层为目标层(一般只有一个因素)，最下层为方案层或对象层/决策层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则层或指标层。

当准则层元素过多(例如多于9个)时，应进一步分解出子准则层。

(S2)构造成对比较矩阵，以层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响及)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1～9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。

(S3)计算(每个成对比较矩阵的)权向量并作一致性检验

(S4)计算组合权向量并作组合一致性检验——即层次总排序八、应用实例

目标层：

准则层：

决策层： 1.

1⎛⎫

433⎪12 ⎪⎛121755 ⎪

11⎪2 111 A=4723⎪= 0.25

11⎪211⎪0.333 35⎪0.333

⎝

11⎪