高中数学《向量的数量积-数量积的投影定义》专题复习

向量 数量积公式为 ，可变形为 或 ，进而与向量投影找到联系
（1）数量积的投影定义：向量 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即 （记 为 在 上的投影）
（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：
即数量积除以被投影向量的模长
5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题
例5：若过点 的直线 与 相交于 两点，则 的取值范围是_______
思路：本题中因为 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过 作直线 的垂线，
垂足为 ，通过旋转 可发现，当 时， ， 位于其他位置时， 点始终位于 的反向延长线上， ，故 ，故 ，下面寻找最小值，即 的最大值，可得当 在 上的投影与 重合时， 最大，即为 ，此时直线 即为直线 。所以 。进而的范围是
二、典型例题：
例1：已知向量 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．3 B． . C． D．
思路：考虑 在 上的投影为 ，所以只需求出 即可。由 可得： ，所以 。进而
答案：C
小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长
例2：如图，在 中， ， 是边 上的高，则 的值等于（ ）
在 中，
即
答案：
例7：如图，菱形 的边长为 为 中点，若 为菱形内任意一点（含边界），则 的最大值为（）
A. B. C. D.
思路：在所给菱形中 方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即 乘以 在 上的投影，所以 的最大值只需要寻找 在 上的投影的最大值即可，而 点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在 投影距离 最远的，结合图像可发现 的投影距离 最远，所以 ，再由 表示后进行数量积运算即可
解：取 中点 ，连结 ，由圆的性质可得：
例4：如图， 为 的外心， 为钝角， 是边 的中点，则 的值为（）
A.4B. C. D.
思路：外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ，所以 在 上的投影为 ，而 恰好为 中点，故考虑 ，所以
答案：B
小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而在求数量积时可联想到投影法。
6、答案：A
解析：由已知可得： ，因为 ，所以
7、答案：
解析：因为
， ，
，
当且仅当 即 时 的最小值为 .
8、答案：D
解析：
9、答案：A
解析：以 为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则 ， 为单位向量，坐标为 ， ，则 所以 ，因为 ，所以
10、答案：
解析：可依正方形以 为坐标轴建系，则 ，其中 ， ， ，
答案：
例6：已知 ，且 的夹角为 ，点 是 的外接圆上优弧 上的一个动点，则 的最大值是________
思路：题中 的模长为定值，考虑 即为 乘以 在 上的投影，从而 的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当 与 同向时，投影最大。即 ，只需计算 的模长即可
解：当 与 同向时， 在 上的投影最大
答案：
例10：已知 为线段 上一点， 为直线 外一点， 为 上一点，满足 ， ， ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：从条件上判断很难用代数方式求解，所以考虑作图观察几何特点，则 。由 及所求 可想到投影与数量积的关系，即 在 上的投影相等，即可得到 平分 。再分析 ，且 为 的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分 ，而 与和向量共线，从而 平分 ，由此可得 为 的内心，作出内切圆。所求 也可视为 在 上的投影，即 ，由内切圆性质可得： ，所以 ，且有 ，可解得
A. B. C. D.
16、如图，在平行四边形 中， ，点 在 边上，且 ，则 （）
A. B. C. D.
习题答案：
1、答案：
解析： ， ，
所以 ，
即 ，解得 ．
2、答案：
解析：以 为坐标轴建系，则 ，设
，所以 的最小值只需找到 的最小值
即正方形边上的点到原点距离的最小值，数形结合可得：
3、答案：C
解：
答案：9
小炼有话说：
（1）从例7也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得最值的情况
（2）在找到取到最值的 点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影， 不便于计算），则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等）。正所谓：寻找最值用投影，而计算时却有更多方法供选择。
A．0B．4C．8D．
思路：由图中垂直可得： 在 上的投影为 ，所以 ，只需求出 的高即可。由已知可得 ，所以
答案：B
例3：两个半径分别为 的圆 ,公共弦 长为3，如图所示，则 __________.
思路： 为两个圆的公共弦，从而圆心 到弦 的投影为 的中点，进而 在 上的投影能够确定，所以考虑计算 和 时可利用向量的投影定义。
答案：C
小炼有话说：本题用到向量运算中的两个几何意义，从而将表达式与图形特征联系起来：一个是向量投影的定义；一个是两个模长相等向量（如单位向量）的和平分向量夹角。
三、历年好题精选（数量积三种求法综合）
1、如图：在平行四边形 中，已知 ， ，则 的值是.
2、已知 的半径为1，四边形 为其内接正方形， 为 的一条直径， 为正方形 边界上一动点，则 的最小值为_________
A. B. C. D.
13、如图，在半径为1的扇形 中， 为弧上的动点， 与 交于点 ，则 最小值是__________
14、如图，已知圆 ，四边形 为圆 的内接正方形， 分别为边 的中点，当正方形 绕 圆心转动时， 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
15、在直角梯形 中， ， ，且 ， 是 的中点，且 ，则 的值为（）
（3）向量的投影：已知向量 ，若 的起点 在 所在轴 （与 同向）上的投影分别为 ，则向量 在轴 上的值称为 在 上的投影，向量 称为 在 上的投影向量。
2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记 为向量 的夹角
（1） 为锐角：则投影（无论是 在 上的投影还是 在 上的投影）均为正
其中 ，所以当 时， 取到最小值，为
11、答案：0
解析：依题意可得：
12、答案：C
解析：因为 为直径，所以可知 ，设 ，则 ，以 为原点， 所在直线为轴建系，可得 ，且 为 的单位向量，则坐标分别为 ，所以 ，即 ，可得到 ，则 ，由 可得
13、答案：
解析：点 在 上的投影为 中点 ，故考虑使用投影计算数量积的最值。可知 在线段 上时， ，设 ，则 ，所以 的最小值为
第38讲向量的数量积——数量积的投影定义
一、基础知识
1、向量的投影：
（1）有向线段的值：设有一轴 ， 是轴上的有向线段，如果实数 满足 ，且当 与轴同向时， ，当 与轴反向时， ，则称 为轴 上有向线段 的值。
（2）点在直线上的投影：若点 在直线 外，则过 作 于 ，则称 为 在直线 上的投影；若点 在直线 上，则 在 在直线 上的投影 与 重合。所以说，投影往往伴随着垂直。
A. B. C. D.
7、（2015，天津）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则 的最小值为____
8、（2015，山东）已知菱形 的边长为 ，则 （）
A. B. C. D.
9、（2015，福建）已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（）
A. B. C. D.
答案：
例9：已知 为直角三角形 的外接圆， 是斜边 上的高，且 ， ，点 为线段 的中点，若 是 中绕圆心 运动的一条直径，则 _________
思路：本题的难点在于 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。考虑到 为直径，所以延长 交圆 于 ，即可得 ，则 在 上的投影向量为 。所求 ，而由 联想到相交弦定理，从而 。考虑与已知条件联系求出直径 上的各段线段长度。由射影定理可得： ，且 ，所以解得 ，再由 为 的中点可得 ，所以 ，进而
（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）
（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题
（2） 为直角：则投影为零
（3） 为钝角：则投影为负
3、投影的计算公式：以 在 上的投影 为例，通过构造直角三角形可以发现
（1）当 为锐角时， ，因为 ，所以
（2）当 为锐角时， ，因为 ，所以 即
（3）当 为直角时， ，而 ，所以也符合
综上可得： 在 上的投影 ，即被投影向量的模乘以两向量的夹角
4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：
14、答案：B
解析：
设 ，其中 ，则由 可得：
15、答案：D
解析：如图可依直角建立坐标系，则 ，所以 ，由 可知 ，所以 ，所以
16、答案：D
解析：可知 ，
由已知可得： ，代入可得：
解析：考虑如图建立坐标系，可得： ，内切圆方程为： ，故设 ，则
设 ，可得 ，
再由 可得： ，所以
4、答案：B
解析：设 ，则由 可得：
，其中
当 时，可得
5、答案：
解析：方法一：以 为原点， 为 轴建系，则 ，设 ，则 。所以
方法二：考虑 在 上的投影为 中点 ，利用数量积投影定义数形结合可知 取最大值时， 与 重合；当 取最小值时， 在 反向延长线与圆 的交点处，经计算可得：