圆中有关的角

年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角一校 张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。

2. 掌握圆内接四边形的性质定理。

3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。

二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。

难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。

一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

OCB把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。

2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。

直径所对的圆周角是直角。

BCAO3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。

P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。

DPB COA4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。

DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。

5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。

推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

DCBAO圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

（对圆内接四边形的性质的考查，在竞赛题目中出现较多。

等后面我们学习了直线和圆的相关知识后，还要学到圆的外切四边形及其性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等）。

三、圆中有关的角的应用根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。

在运用圆中角时，要关注弧的中介作用，即弧把圆心角、圆周角联系起来。

能力提升类例1 已知：如图，锐角△ABC 内接于⊙O ，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝36°，作OE ⊥AB 交劣弧⋂AB 于点E ，连结EC 。

求∠OEC 的度数。

F H EABCO一点通：在圆中求角的大小，经常需要用到与圆有关的角的定理。

解：∵OE ⊥AB ，∴E 为劣弧⋂AB 的中点∴∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB又∵∠ABC ＝60°，∠BAC ＝36°， ∴∠BCA ＝180°―60°―36°＝84°。

∴∠BCE ＝42°。

由∠OEC ＋∠EHF ＝∠B ＋∠ECB ， 知∠OEC ＋90°＝60°＋42°， ∴∠OEC ＝12° 评析：（1）在三角形中求角的大小经常需要考虑用三角形的内角和定理及其推论。

（2）在圆中求角的到大小经常需要用与圆有关的角的定理。

例2 如图，⊙O 中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP =PC ，试猜想AD 与CB 之间的关系，并证明你的猜想．一点通：连结OC ，OD ，设∠COP ＝α，则∠OPD ＝2α，∠AOD ＝3α＝3∠BOC ．解：连结OC、OD，设∠COP＝α，∵OP=PC，∴∠COP＝∠OCP＝α∴∠OPD＝∠COP＋∠OCP＝2α∵OC=OD，∴∠OCP＝∠ODC＝α。

∴∠AOD＝∠OPD＋∠ODC＝3α∴AD＝3CB。

综合运用类例3已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．一点通：延长AO交⊙O于N，连结BN，证∠BAN＝∠DAC即可．解：延长AO交⊙O于N，连结BN，∵∠ANB和∠ACB所对的弧都是AB，∴∠ANB＝∠ACB。

即∠ANB＝∠ACD。

∵AN为直径，∴∠ABN＝90°。

∵∠ANB＋∠BAN＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BAN＝∠DAC。

∵AM平分∠BAC交⊙O于点M，∴∠BAM＝∠CAM。

∴∠BAM－∠BAN＝∠CAM－∠DAC。

∴∠MAN＝∠MAD，即∠MAO＝∠MAD评析：去掉圆后，这是一道典型的三角形题，在三角形中曾多次见到，你还记得有哪些结论吗？例4 已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．一点通：连结MB，证∠DMB＝∠CMB．解：证法一：连结MB，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝∠FMB＝90°。

∵AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，∴⋂⋂=DB CB。

∴∠DMB＝∠CMB。

∴∠AMB－∠DMB＝∠FMB－∠CMB。

∴∠AMD=∠FMC．证法二：连结MB，AD∵ADCM是圆内接四边形，∴∠FMC＝∠FDA。

∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°。

∴∠AMD＝90°－∠DMB。

∵AB⊥CD于E，∴∠FDA＝90°－∠DAB∵∠DMB和∠DAB所对的弧都是⋂BD，∴∠DMB＝∠DAB。

∴90°－∠DMB＝90°－∠DAB。

∴∠AMD=∠FMC．思维拓展类例5 已知：如图，在定圆⊙O 内有两条互相垂直的弦AC 、BD 。

求证：AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝定值。

O D ABC一点通：可设⊙O 的半径为R ，特殊地，AC 、BD 为两条互相垂直的直径时，显然有AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝ 2 R ，所以只需证明它们的平方和为定值8R 2即可。

证明：作直径DE ，连结BE 、EC ，并设⊙O 的半径为R 。

∵DE 是直径， ∴∠DBE ＝90° ∴BE ⊥DB 。

∵AC ⊥BD ， ∴AC ∥BE 。

∴⋂⋂=CE AB 。

∴AB ＝CE 。

∵DC 2＋CE 2＝DE 2， ∴DC 2＋AB 2＝（2R ）2。

同理AD 2＋BC 2＝（2R ）2。

∴AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝2·（2R ）2＝8R 2＝定值。

评析：在处理探索性问题时，除了常用特殊位置来探求结果外，还经常考虑一些极端情形，以求获得探求结果。

例6 已知如图所示，AD 是半圆的直径，AB=BC=1cm ，AD=4cm ，求CD 的长。

解：连结AC 、OB ，OB 交AC 于点P ，∵AB=BC ，∴⋂⋂=BC AB ，∴AP=CP ，BP ⊥AC 。

设BP 为xcm ，则OP=OB －BP=2－x在Rt △ABP 中，AB 2－BP 2=AP 2，在Rt △APO 中，AO 2－OP 2=AP 2，∴AB 2－BP 2=AO 2－OP 2，∴1－2x =4－（2－x ）2，解得：41=x ，即cm BP 41=， ∴),(415161122cm BP AB AP =-=-=∴cm AP AC 2152==。

∵AD 是直径，∴∠ACD=90°在Rt △ACD 中，由勾股定理，得)(274151622cm AC AD CD =-=-=， 故CD 长为cm 27评析：构造直径所对的圆周角，产生直角三角形，利用勾股定理（或后面学到的三角函数）等知识解题。

对于含平分弧的题目，经常连接分点和圆心，利用垂径定理或它的推论解题。

1. 由弧找角、由角找弧是证明相等或角相等的常用思想方法。

2. 应注意分类讨论的思想方法的运用，如求弦所对的圆周角度数问题，求圆内两条平行线之间的距离问题及同弧所对的圆周角与圆心角之间关系的得出等，都需要进行分类讨论。

3. “见直径，构造圆周角，必为直角”，这是圆中一种常见的作辅助线的方法。

问题1 如图所示，在⊙O 中，弦AB ＞CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，M ，N 为垂足，那么OM ，ON 的关系是（ ）A. OM ＞ONB. OM=ONC. OM ＜OND. 无法确定答案：C评析：本题易错之处在于没有正确理解圆心角与弦之间的关系，在同圆或等圆中，弦越长，它所对的圆心角就越大。

我们连接OA ，OC ，根据勾股定理，得22AM AO OM -=，22CN OC ON -=。

因为OA=OC ，AM=MB=21AB ，CN=DN=21CD （垂直于弦的直径平分弦），且AB ＞CD ，即AM ＞CN ，所以2222CN OC AM OA -<-，所以OM ＜ON 。

问题2 圆的弦长等于半径，那么这条弦所对的弧所对的圆周角大小为 。

答案：30°或150°评析：本题易错在忽略了这条弦把圆分成的两条弧中的优弧所对的圆周角，因为AB=OA=OB ，所以△AOB 是等边三角形，所以∠AOB=60°，劣弧⋂AB 所对的圆周角为21×60°=30°，而优弧⋂ACB 所对的圆周角为21×（360°－60°）=150°。

（答题时间：60分钟）一、选择题1. 下列说法错误的是（ ）A. 垂直于弦的直线平分弦，平分弦所对的两条弧B. 经过圆心的直线是圆的对称轴C. 弦的垂直平分线平分弦所对的两条弧D. 过圆心，平分一条弧的直线平分弧所对的弦2. 一条直线经过圆心且平分弦所对的劣弧，那么这条直线（ ）①平分弦 ②平分弦所对的优弧 ③垂直于弦 ④是圆的对称轴A. ①③B. ①②③C. ④D. ①②③④3. 圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和5，则两条平行弦间的距离为（ ）A. 2B. 3C. 7D. 7或3二、填空题1. 已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。

（1）如果AB ＝CD ，那么_________________； （2）如果⋂⋂=CD AB ，那么_________________； （3）如果∠AOB ＝∠COD ，那么__________；（4）如果OE ＝OF ，那么_________________。