数列通项、数列前n项和的求法例题+练习

通项公式和前n 项和

一、新课讲授： 求数列前N 项和的方法 1. 公式法

（1）等差数列前n 项和：

11()(1)

22

n n n a a n n S na d ++=

=+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g

，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

（2）等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =

(

)1111n n a q q S q

-≠=

-，，特别要注意对公比的讨论。

（3）其他公式较常见公式：

1、)1(211+==∑=n n k S n

k n 2、)12)(1(611

2

++==∑=n n n k S n

k n

3、21

3)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和.

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=n n

S n S n f 的最大值.

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列

⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 练习：

求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1

答案：

当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n

当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n )

1-x +1-（4n-3）x n ]

3. 倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求ο

ο

ο

ο

ο

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++⋅⋅⋅+++的值

4. 分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+⋅⋅⋅+++-n a

a a n ，…

练习：求数列•••+•••),21

(,,81

3,41

2,21

1n n 的前n 项和。

5. 裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο

οο

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

(6) n

n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=

-则 [例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

[例10] 在数列{a n }中，1

1211++

⋅⋅⋅++++=

n n

n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

[例11] 求证：ο

ο

οοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++

解：设ο

οοοοο89

cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=

S ∵οοο

οο

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ο

οοοοο89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=

S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1ο

οοοοοοοο

-+-+-+- ＝

)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝ο

ο

1cot 1sin 1⋅＝οο1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立

练习：求

63135115131+++之和。

6. 合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.