线性代数居余马第6章 二次型

图形为单叶双曲面。
•6.2.2 配方法和初等变换法化二次型为标准形
x A x == y C AC y
T T T C ≠0
2 2 = d1 y12 + d 2 y2 + L + d n yn
x =C y
在x=Cy 变换中，d i 一般不是特征值。
例3 用配方法把三元二次型
2 2 f ( x1 , x 2 , x3 ) = 2 x12 + 3 x 2 + x3 + 4 x1 x 2 − 4 x1 x3 − 8 x 2 x3
如果n维向量α在两组基B1={ε1,ε2,L,εn}和 B2 ={η1,η2,L,ηn} 下的坐标向量分别 x=(x1, x2,L, xn)T 和 y=(y1, y2,L, yn)T 又 (η1, η2,L, ηn)=(ε1, ε2,L, εn) C 则 x=C y f(α) = x TA x = yT(C TA C)y , B = C TA C 故 f(α) 在基B1和B2 下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C 。 yT(CTA C)y 是 y1,y2,L,yn 的一个二次型。
λ1
= 1,
λ2
= 1,
三个特征值决定二次曲面的类型。
*例2 例
将一般二次曲面方程
(1)
x2 − 2 y 2 +10z 2 + 28xy − 8 yz + 20xz − 26x + 32y + 28z − 38 = 0
化为标准方程（只含平方项和常数项）。 解 将(1)式中二次项部分
x T Ax = x 2 − 2 y 2 + 10z 2 + 28xy − 8 yz + 20xz
[
]
2 5 4 5 5
15 15
3
2 3 −2 3
1 3
例１的应用：在自然基{ε1, ε2 , ε3 }下，对二次曲面方程 的应用：
2 2 2 x12 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 + 5x2 − 8x2 x3 + 5x3 = 1
做坐标变换：
γ1 =
[− 2, 1, 0] T 5 γ2 = 15 [2, 4, 5] T 1 γ3 = 3 [1, 2, − 2]
则α在 {η1, η2,}下的坐标 y=(y1, y2)T 满足
x1 cos 45o x= = x2 sin 45o
(1)式用矩阵表示为
T
− sin 45o y1 = Cy o cos 45 y 2
(2)
5 − 3 x1 x Ax = ( x1 , x 2 ) x = 4 − 3 5 2
配方得 ( x′ − 1 ) 2 + 2( y′ + 1 ) 2 − 2( z ′ + 4 ) 2 = 1 3 3 3
x′′ = ( x′ − 1 ) 3 y′′ = ( y′ + 1 ) 3 z′′ = ( z′ + 4 ) 3
再令
得标准方程
′′2 + 2 y′′2 − 2 z ′′2 = 1 x
6.2 化二次型为标准形 n n x = Cy T ∑ ∑ aij xi x j = x Ax C= 0 y TC T ACy = d1 y12 + d 2 y22 + L + d n yn2 ≠
i =1 j =1
二次型化为不含混合项只含平方项的二次型，这种二次 型称其为标准形。 化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法， 化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法，配方法 和初等变换法。 和初等变换法。
(3)
T−1AT = diag (9, 18, −18)
则 x TA x = yT(TTAT)y=9 x'2+18 y'2 − 18z' 2 将(3)式代入(1)式的一次项部分，曲面方程化为
′2 + 2 y′2 − 2 z ′2 − 2 x′ + 4 y′ − 16 z ′ − 38 = 0 x 3 3 3 9
在{η1, η2}坐标系下， 方程(1)化为标准方程
1 2
+ 8y = 4
2 2
x2 y2
ε2 η1
O ε 1
y1 x1
η2
y + 2y =1
2 1 2 2
这是一个椭圆（见右图）。
一般二次型
f ( x1 , x 2 , L , x n ) = x T Ax = y T C T ACy
2 2 = d1 y12 + d 2 y2 + L + d n yn
f = ∑ xi ∑aij x j
i =1 j =1
n
n
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn a x + a x + L + a x 2n n 21 1 22 2 = [ x1 , x2 ,L, xn ] M an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn
5 5
T
−2 5 5 5 即 (γ 1 ,γ 2 ,γ 3 ) = (ε 1 ,ε 2 ,ε 3 ) 5 0
2 5 15 4 5 15 5 3
2 3 −2 3
1 3
在新基{γ1, γ2 , γ3 }下，二次曲面方程为 y12+ y22 +10y32=1 这是椭球面方程，椭球的三个主轴长度分别为 1 1 1 1 = λ3 10
6.2.1 正交变换法
定理6.1（主轴定理） 对于任一个n元二次型 f(x1,x2,L,xn)= xTAx ，都存在正交变换 x =Qy (Q为正交阵)， 使得QTAQ= diag(λ 1, λ 2, L, λ n) (定理5.12), 从而
x TA x = y T(QTAQ) y =λ1y12+L+λnyn2 其 中 λ1,L,λn 是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列向量是 A属于λ1,L,λn 的n个标准正交的特征向量。
a11 a12 L a1n x1 a a22 L a2 n x2 = x T Ax = [ x1 , x2 ,L, xn ] 21 M M M M an1 an 2 L ann xn
其中 x=(x1,x2,L,xn)T∈Rn， A=(aij)n×n 是实对称矩阵,称为二 次型 f 对应的矩阵。
λ1=1时，有线性无关的特征向量x1 =(−2, 1, 0)T, x2 =(2, 0, 1)T。
用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得 Schmidt ( )
γ1 =
5 5
[− 2,
1, 0] , γ 2 =
T
5 15
Leabharlann Baidu[2,
4, 5]
T
λ2=10 时，得
取正交矩阵
−2 5 5 T 1 γ 3 = 3 1, 2, − 2 T = [γ1 , γ2 , γ3 ] = 5 5 0 则T−1AT = diag(1, 1, 10) x TA x = yT(CTAC)y = y12+ y22 +10y32
化为标准形，并求所用的坐标变换 x=Cy 及变换 矩阵C 。 解 先按x12 及含有x1的混合项配成完全平方，即
f (x1, x2, x3)
2 2 = 2[x12 + 2x1(x2 − x3) +(x2 − x3)2 ] −2(x2 − x3)2 +3x2 + x3 −8x2x3
2 2 = 2( x1 + x2 − x3 ) 2 + x2 − x3 − 4 x2 x3
若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即
x T Ax = ∑∑ aij xi x j
i =1 j =1
n
n
= ∑∑ bij xi x j = x T Bx
则 A=B。 证
i =1 j =1
n
n
先取x为单位向量 ei = (0, L,1, L,0)T (第i个分量为1, 其余为 0)，代入上式得 aii=bii (i=1, 2, L, n) 再取 x 为向量 eij = (0, L,1, L,1, L ,0)T(第 i, j个分量为1, 其余为0)，代入上式得 aij=bij (i≠j)
x = Cy
即找矩阵C，使B =CTA C 为对角阵。 定义6.2 定义 对矩阵A和B, 如果存在可逆矩阵C ，使得
B= CTA C， 就称矩阵A 相合(或合同)于B （记作A ≃ B)。 矩阵的相合关系是一种等价关系，具有以下性质： (1) 自反性， ∀ A ∈ Mn(F), A ≃ A； (2) 对称性， ∀ A, B ∈Mn(F), 若A ≃ B, 则 B ≃ A； (3) 传递性， ∀ A, B, C ∈Mn(F), 若A ≃ B, B ≃ C，则 A≃C 。
在上式中，再对 x22−4x2x3 配成完全平方
f(x1, x2, x3)=2(x1+ x2 − x3)2+(x2 − 2x3)2 − 5x32
例１ 用正交变换化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x12 + 4x1 x2 − 4x1 x3 + 5x2 − 8x2 x3 + 5x3 为标准型。 2 2 −2 解（见第5章第24，25页） ） A= 2 5 −4 λ−2 −2 2 −2 −4 5 λ1 = 1(二重) λ I − A = −2 λ−5 4 = (λ −1)2(λ −10) = 0 得 λ2 = 10 2 4 λ−5
将(2)式x =Cy 代入，得 x TA x = yT(CTAC)y
22 = ( y1 , y2 ) 2 − 2
2 2 2 2
5 − 3 22 − 22 y1 2 2 y 2 2 − 3 5 2
2 0 y1 2 = ( y1 , y 2 ) y = 2 y1 0 8 2
例1 设
2 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = 2 x12 + x1 x2 + 2 x1 x3 + 4 x2 x4 + x3 + 5x4
则它对应的矩阵为
2 1 A = 2 1 0
1 2
0 0 2
1 0 1 0
0 2 0 5
f (α ) = x T Ax 可以看成向量α 的坐标x1 , x2 ,L, xn 的二次齐次函数
2 2 2 + a n1 x n x1 + a n 2 x n x 2 + L + a nn x n
= ∑ xi ( ai1 x1 + ai 2 x 2 + L + ain x n )
i =1
n
= ∑ xi ∑ aij x j
i =1 j =1
n
n
= ∑∑ aij xi x j
i =1 j =1
n
n
用类似例1的正交变换法化为平方和。 取正交矩阵 令x = T y, 其中 x=(x, y, z)T, y=(x', y ', z ', )T
(2)
13 2 T = 3 −23
则
2
3
1 3 2 3
−2 3 −1 3
2 3
x = 1 x′ + 2 y ′ + 2 z ′ 3 3 3 x = Ty,即 y = 2 x ′ + 1 y ′ − 2 z ′ 3 3 3 z = −2 x′ + 2 y ′ − 1 z ′ 3 3 3
其中系数是数域F 中的数，叫做数域F上的n 元二 次型（简称二次型）。实数域上的二次型简称实二 次型。
如果令aji = aij (1≤i<j≤n) ，则上式可以表示为
f ( x1 , x 2 , L, x n ) = a11 x12 + a12 x1 x 2 + L + a1n x1 x n + a 21 x 2 x1 + a 22 x + L + a 2 n x 2 x n + L
例2 设向量α在自然基{ε1, ε2} 下的坐标 x=(x1, x2)T 满足
5 x + 5 x − 6 x1 x2 = 4
2 1 2 2
(1)
若做基变换，把{ε1, ε2}逆时针旋转45° 变成{η1, η2,} 即 cos 45o − sin 45o (η 1 ,η 2 ) = (ε 1 ,ε 2 ) o o cos 45 sin 45
第6章 二次型
6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵
定义6.1 n元变量x1,x2,L,xn的二次齐次多项式 定义
f (x1, x2 ,L, xn ) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +L+ 2a1n x1xn
2 + a22x2 + 2a23x2 x3 +L+ 2a2n x2 xn 2 +L+ ann xn