线性代数二次型(第五章)
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所以所作的线性变换是 非退化的。
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1
1 0
因为： 0 1 1 0,
定理2 任意一个二次型都可以用配方
法化成标准形。
注1： 化二次型为标准形时，所用的非退化的
线性变换不同，标准形的系数不一定相 同，因此，二次型的标准形不是唯一的。
例如： f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3
1 0 1 y1 0 1 2 y2 0 0 1 y 3 则二次型化为标准型 f = 2 z 12 – 2 z 22 + 6 z 32
z1 = y1 – y3
其中： x1 x2 x 3
简记为
其中：
X = QY
xn = qn1 y1 + qn2 y2 + … + qnn yn
q11 q 21 Q q n1
q12 q 22 qn2
q1n q2n , q nn
x1 x2 X , x n
是非退化的线性变换。
例4
化二次型 f
= 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3 为
标准形，并写出所作的线性变换。
解：由于
f 中不含平方项，故先通过线性变换来 构造平方项。 x1 = y1 + y2
x1 令： x2 = y1 – y2 , 即： x 2 x 3 x =y
u 2z1 v 2z2 ,
x1 1 1 3 x 2 1 1 1 即： x 3 0 0 1
1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 6
w 6z3
2 a x a x ann xn f ( x1 , x2 , xn ) 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a n 1,n xn1 xn
二次型还可以用矩阵表示
称为 n 元二次型。
二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二 次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。 取 a i j = a j i ; 则 2ai j xi xj = ai j xi xj + aj i xj xi 所以
u v w
得新标准形： f = u2 – v 2 + w 2
§2 用合同变换化二次型为标准型
一、矩阵间的合同关系
请点击
二、用合同变换化二次型为标准型
一、矩阵间的合同关系
对于二次型 f = X T AX
变量 X 的二次型
令非退化线性变换为 X = QY , 其中：|Q| 0 则: 得: f = (QY )TA( QY ) = Y T (Q T AQ)Y f = Y T BY。 其中： B = Q T AQ 可以是对角阵
a 11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn a 21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = (x1, x2, …, xn) …… n1 x1 + an2 x2 + … + ann xn a
a11 a 21 = (x1, x2, …, xn) a n1 a12 a 22 an2 a1n x1 a2n x2 a nn x n
简记为
f = X T AX
a12
(5)
a11 其中： a 21 A a31 a n1
显然
a13 a1n a 22 a 23 a 2 n a32 a33 a3n , a n 2 a n3 a nn
x1 x2 X= x n
新变量Y 的二次型
定义 1
设有两个方阵 A 与 B，若存在一个可逆阵 Q，
使
B = Q T AQ
则称 A 合同于 B，记作
A B.
性质
(i) A A;
反身性
(ii ) A B
B A;
对称性
(iii ) A B, B C
证(ii)
A C; 传递性
若 B = Q T AQ , 则 (Q T )–1 BQ –1 = A 即 A = (Q –1 ) T BQ –1, B A.
f =(x1 + 2x2 – 2x3)2 – 2(x2 – x3)2 – 3x32
y3 = x3 则：f = y12 – 2y22 – 3y32为标准型 其中： x1 1 2 2 线性变换为： x 2 0 1 1 x1 = y1 – 2y2 即： x2 = y2 + y3 x3 = y3
y1 y2 Y . y n
定理1
任一二次型 f X T A X ， 都可
通过非退化的线性变换化成标准型
f y 2 y n y
2 1 1 2 2
2 n
其中: y1, y2, …, yn 是原变量 x1, x2, …, xn 经满秩的线性变换后得到的新变量。
n
f (x1, x2, …, xn) ai j xi x j .
i 1 j 1
n
(4)
则： f (x1, x2, …, xn) = x1(a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn) + …… + xn (an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn)
化二次型为标准型的方法：
1. 配方法
2. 合同变换
3. 正交变换
三、用配方法化二次型为标准形
例3
化二次型 f = x12 + 2x22 – x32 + 4x1x2 – 4x1x3 – 4x2x3 为标准形，并写出所作的线性变换。
x12 + 4x1( x2 – x3 ) + 2x22 – x32– 4x2x3 = x12 + 4x1( x2 – x3 ) + 4(x2 – x3)2 – 4(x2 – x3)2 + 2x22 – x32– 4x2x3
解:
A
1
1 2 3 0 , 0 3 0 2 0 0 2 3
T
1
0
0
x1 x2 令 X , x3 x 4
则
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) X A X
例2
写出二次型的矩阵和矩阵表示式：
(1)
在平面上代表什么曲线？
将坐标系（O, x, y) 顺时针旋转45°,即令
2 2 x u v 2 2
2 2 y u v 2 2
(2)
则得曲线在坐标系(O, u, v)中的方程：
u v 1 9 4
2 2
y
(3) o
v
x
从而曲线为一椭圆。
u
定义 1
将 n 元二次齐次式
2 11 1 2 22 2
定义2
只含有平方项的二次型
2 11 1 2 22 2
2 nn n
f ( x1 , x2 , xn ) a x a x a x
称为 n 元二次型的标准形。
显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。
二、非退化的线性交换
x1 = q11 y1 + q12 y2 + … + q1n yn x2 = q21 y1 + q22 y2 + … + q2n yn 对于线性交换 …… xn = qn1 y1 + qn2 y2 + … + qnn yn
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 3 1
0 y1 1 1 0 1 0 1 z1 0 y 2 1 1 0 0 1 2 z 2 1 y 3 0 0 1 0 0 1 z 3 3 z1 1 z 2 1 z3
2 1 2 2 2 4
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x 2 x 3x
解:
1 0 2 A 0 0 3
T
矩阵是对角矩阵
令
X ( x1, x2 , x3 , x4 ) , 则 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) X T A X
x 0 0 3 y1 y 2 , 1 y3
1
y1 1 2 2 x1 即： y 2 0 1 1 x 2 y 0 0 1 x 3 3
(1) A是对称矩阵 (2) f (x1, x2, …, xn)
A
称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，
方阵 A 的秩 为 二次型的秩。
例1
写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：
2 2 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x12 2x2 3x4 2x1x2 6x2 x3 4x3 x4
= 2 ( y12 – 2 y1 y3 + y32 ) – 2 y32 – 2 y22 + 8 y2 y3
= 2 ( y1 – y3 )2 – 2 ( y22 – 4 y2 y3 + 4y32 )+ 6 y32 = 2 ( y1 – y3 )2 – 2 ( y2 – 2 y3 )2 + 6 y32
z1 令： z2 = y2 – 2y3 , 即： z2 z z3 = y3 3
定义3
(6)
q11 q12 q1n q 21 q 22 q 2 n 是满秩(可逆)矩阵时, 当 Q q q n 2 q nn n1 称线性变换(6)为非退化(或 满秩)的线性变换。
x1 = q11 y1 + q12 y2 + … + q1n yn x2 = q21 y1 + q22 y2 + … + q2n yn ……
3 3
1 1 0 y1 1 1 0 y2 0 0 1 y 3
则
f = 2 y12 – 2 y22 + 2 y1 y3 + 2 y2 y3 – 6 y1 y3 + 6 y2 y3 = 2 y12 – 4 y1 y3 – 2 y22 + 8 y2 y3
x1 1 1 3 z1 由非退化的线性变换 x 2 1 1 1 z 2 x 0 0 1 z3 3
化为标准形： f = 2z12 – 2z22 + 6z32
( 2 z1 ) 2 ( 2 z 2 ) 2 ( 6 z3 ) 2 再作非退化的线性交换
解： f =
= (x1 + 2x2 – 2x3)2 – 2x22 + 4x2x3 – 5x32 = (x1 + 2x2 – 2x3)2 – 2(x22 – 2x2x3 + x32 ) – 3x32 = (x1 + 2x2 – 2x3)2 – 2(x2 – x3)2 – 3x32
y1 = x1 + 2x2 – 2x3 令： y2 = x2 – x3
第五章 二次型
§1 二次型及其标准形 §2 用合同变换化二次型为标准型
§3 用正交变换化二次型为标准型
§4 二次型的分类
§1 二次型及其标准形
一、二次型的概念及矩阵表示 二、非退化的线性交换
三、用配方法化二次型为标准形
一、二次型的概念及矩阵表示
考虑方程
13 2 10 13 2 x xy y 1 72 72 72
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1
1 0
因为： 0 1 1 0,
定理2 任意一个二次型都可以用配方
法化成标准形。
注1： 化二次型为标准形时，所用的非退化的
线性变换不同，标准形的系数不一定相 同，因此，二次型的标准形不是唯一的。
例如： f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3
1 0 1 y1 0 1 2 y2 0 0 1 y 3 则二次型化为标准型 f = 2 z 12 – 2 z 22 + 6 z 32
z1 = y1 – y3
其中： x1 x2 x 3
简记为
其中：
X = QY
xn = qn1 y1 + qn2 y2 + … + qnn yn
q11 q 21 Q q n1
q12 q 22 qn2
q1n q2n , q nn
x1 x2 X , x n
是非退化的线性变换。
例4
化二次型 f
= 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3 为
标准形，并写出所作的线性变换。
解：由于
f 中不含平方项，故先通过线性变换来 构造平方项。 x1 = y1 + y2
x1 令： x2 = y1 – y2 , 即： x 2 x 3 x =y
u 2z1 v 2z2 ,
x1 1 1 3 x 2 1 1 1 即： x 3 0 0 1
1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1 6
w 6z3
2 a x a x ann xn f ( x1 , x2 , xn ) 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a n 1,n xn1 xn
二次型还可以用矩阵表示
称为 n 元二次型。
二次型依其系数是实数或复数而分别称为实二 次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。 取 a i j = a j i ; 则 2ai j xi xj = ai j xi xj + aj i xj xi 所以
u v w
得新标准形： f = u2 – v 2 + w 2
§2 用合同变换化二次型为标准型
一、矩阵间的合同关系
请点击
二、用合同变换化二次型为标准型
一、矩阵间的合同关系
对于二次型 f = X T AX
变量 X 的二次型
令非退化线性变换为 X = QY , 其中：|Q| 0 则: 得: f = (QY )TA( QY ) = Y T (Q T AQ)Y f = Y T BY。 其中： B = Q T AQ 可以是对角阵
a 11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn a 21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = (x1, x2, …, xn) …… n1 x1 + an2 x2 + … + ann xn a
a11 a 21 = (x1, x2, …, xn) a n1 a12 a 22 an2 a1n x1 a2n x2 a nn x n
简记为
f = X T AX
a12
(5)
a11 其中： a 21 A a31 a n1
显然
a13 a1n a 22 a 23 a 2 n a32 a33 a3n , a n 2 a n3 a nn
x1 x2 X= x n
新变量Y 的二次型
定义 1
设有两个方阵 A 与 B，若存在一个可逆阵 Q，
使
B = Q T AQ
则称 A 合同于 B，记作
A B.
性质
(i) A A;
反身性
(ii ) A B
B A;
对称性
(iii ) A B, B C
证(ii)
A C; 传递性
若 B = Q T AQ , 则 (Q T )–1 BQ –1 = A 即 A = (Q –1 ) T BQ –1, B A.
f =(x1 + 2x2 – 2x3)2 – 2(x2 – x3)2 – 3x32
y3 = x3 则：f = y12 – 2y22 – 3y32为标准型 其中： x1 1 2 2 线性变换为： x 2 0 1 1 x1 = y1 – 2y2 即： x2 = y2 + y3 x3 = y3
y1 y2 Y . y n
定理1
任一二次型 f X T A X ， 都可
通过非退化的线性变换化成标准型
f y 2 y n y
2 1 1 2 2
2 n
其中: y1, y2, …, yn 是原变量 x1, x2, …, xn 经满秩的线性变换后得到的新变量。
n
f (x1, x2, …, xn) ai j xi x j .
i 1 j 1
n
(4)
则： f (x1, x2, …, xn) = x1(a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn) + …… + xn (an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn)
化二次型为标准型的方法：
1. 配方法
2. 合同变换
3. 正交变换
三、用配方法化二次型为标准形
例3
化二次型 f = x12 + 2x22 – x32 + 4x1x2 – 4x1x3 – 4x2x3 为标准形，并写出所作的线性变换。
x12 + 4x1( x2 – x3 ) + 2x22 – x32– 4x2x3 = x12 + 4x1( x2 – x3 ) + 4(x2 – x3)2 – 4(x2 – x3)2 + 2x22 – x32– 4x2x3
解:
A
1
1 2 3 0 , 0 3 0 2 0 0 2 3
T
1
0
0
x1 x2 令 X , x3 x 4
则
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) X A X
例2
写出二次型的矩阵和矩阵表示式：
(1)
在平面上代表什么曲线？
将坐标系（O, x, y) 顺时针旋转45°,即令
2 2 x u v 2 2
2 2 y u v 2 2
(2)
则得曲线在坐标系(O, u, v)中的方程：
u v 1 9 4
2 2
y
(3) o
v
x
从而曲线为一椭圆。
u
定义 1
将 n 元二次齐次式
2 11 1 2 22 2
定义2
只含有平方项的二次型
2 11 1 2 22 2
2 nn n
f ( x1 , x2 , xn ) a x a x a x
称为 n 元二次型的标准形。
显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。
二、非退化的线性交换
x1 = q11 y1 + q12 y2 + … + q1n yn x2 = q21 y1 + q22 y2 + … + q2n yn 对于线性交换 …… xn = qn1 y1 + qn2 y2 + … + qnn yn
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 3 1
0 y1 1 1 0 1 0 1 z1 0 y 2 1 1 0 0 1 2 z 2 1 y 3 0 0 1 0 0 1 z 3 3 z1 1 z 2 1 z3
2 1 2 2 2 4
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x 2 x 3x
解:
1 0 2 A 0 0 3
T
矩阵是对角矩阵
令
X ( x1, x2 , x3 , x4 ) , 则 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) X T A X
x 0 0 3 y1 y 2 , 1 y3
1
y1 1 2 2 x1 即： y 2 0 1 1 x 2 y 0 0 1 x 3 3
(1) A是对称矩阵 (2) f (x1, x2, …, xn)
A
称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，
方阵 A 的秩 为 二次型的秩。
例1
写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：
2 2 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x12 2x2 3x4 2x1x2 6x2 x3 4x3 x4
= 2 ( y12 – 2 y1 y3 + y32 ) – 2 y32 – 2 y22 + 8 y2 y3
= 2 ( y1 – y3 )2 – 2 ( y22 – 4 y2 y3 + 4y32 )+ 6 y32 = 2 ( y1 – y3 )2 – 2 ( y2 – 2 y3 )2 + 6 y32
z1 令： z2 = y2 – 2y3 , 即： z2 z z3 = y3 3
定义3
(6)
q11 q12 q1n q 21 q 22 q 2 n 是满秩(可逆)矩阵时, 当 Q q q n 2 q nn n1 称线性变换(6)为非退化(或 满秩)的线性变换。
x1 = q11 y1 + q12 y2 + … + q1n yn x2 = q21 y1 + q22 y2 + … + q2n yn ……
3 3
1 1 0 y1 1 1 0 y2 0 0 1 y 3
则
f = 2 y12 – 2 y22 + 2 y1 y3 + 2 y2 y3 – 6 y1 y3 + 6 y2 y3 = 2 y12 – 4 y1 y3 – 2 y22 + 8 y2 y3
x1 1 1 3 z1 由非退化的线性变换 x 2 1 1 1 z 2 x 0 0 1 z3 3
化为标准形： f = 2z12 – 2z22 + 6z32
( 2 z1 ) 2 ( 2 z 2 ) 2 ( 6 z3 ) 2 再作非退化的线性交换
解： f =
= (x1 + 2x2 – 2x3)2 – 2x22 + 4x2x3 – 5x32 = (x1 + 2x2 – 2x3)2 – 2(x22 – 2x2x3 + x32 ) – 3x32 = (x1 + 2x2 – 2x3)2 – 2(x2 – x3)2 – 3x32
y1 = x1 + 2x2 – 2x3 令： y2 = x2 – x3
第五章 二次型
§1 二次型及其标准形 §2 用合同变换化二次型为标准型
§3 用正交变换化二次型为标准型
§4 二次型的分类
§1 二次型及其标准形
一、二次型的概念及矩阵表示 二、非退化的线性交换
三、用配方法化二次型为标准形
一、二次型的概念及矩阵表示
考虑方程
13 2 10 13 2 x xy y 1 72 72 72