12级哈工大威海控制系统设计课程报告

课程设计（论文）任务书指导教师签字：系（教研室）主任签字：目录1. 一阶倒立摆数学模型 (3)2．倒立摆系统的PID控制算法设计 (12)2.1设计任务 (12)2.2 设计分析 (12)2.2.1 PID控制原理 (12)2.2.2 摆杆角度控制 (13)2.3 摆杆角度控制的PID算法仿真 (15)3. 倒立摆系统的最优控制算法设计 (20)3.1 设计任务 (20)3.2 最优控制MATLAB仿真 (20)4. 工作总结及心得体会 (25)1. 一阶倒立摆数学模型1.1 一阶倒立摆数学模型的推导对系统建立数学模型是系统分析、设计的前提，而一个准确又简练的数学模型将大大简化后期的工作。

为了简化系统分析，在实际的模型建立过程中，要忽略空气流动阻力，以及各种次要的摩擦阻力。

这样可将倒立摆抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，如下图所示：Mm,IFΦθLx图1 一阶倒立摆系统本系统内部各相关参数定义如下：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力x 小车位置φ 摆杆与垂直向上方向的夹角θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。

MPFθN bx'x''x I θ''图2 小车及摆杆受力分析应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F xM --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：22(sin )d N m x l dt θ=+即： 2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2 (1-1) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析可以得到下面方程：22(cos )d P mg m l dt θ-=-即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+力矩平衡方程如下：θθθ I Nl Pl =--cos sin注意：此方程中力矩的方向，由于,cos cos ,sin sin θπϕϕθϕθ=+=-=-，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：θθθcos sin )(2x ml mgl ml I -=++ (1-2) 1、微分方程模型设θπϕ=+，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角ϕ与1（单位是弧度）相比很小，即 1ϕ<< 时，则可以进行近似处理：cos 1θ=-，sin θϕ=-，2()0d dtθ=。

为了与控制理论的表达习惯相统一，即u 一般表示控制量，用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+uml x b x m M x ml mgl ml I φφφ)(2(1-3) 2、传递函数模型对方程组(1-3)进行拉普拉斯变换，得到()⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+)()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M ss mlX s mgl s s ml I(1-4) 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组(1-4)的第一个方程，可以得到)(])([)(22s sgml ml I s X Φ-+=把上式代入方程组(1-4)的第二个方程，得到)()()()()()()(22222s U s s ml s s s g mlml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++整理后得到以输入力u 为输入量，以摆杆摆角φ为输出量的传递函数：212432()()()()()ml ss qG s U s b I ml M m mgl bmgl s s s sq q qΦ==+++-- 其中 ])())([(22ml ml I m M q -++= 若取小车位移为输出量，可得传递函数：()2222432()()()()()I ml mglsX s q qG s U s b I ml M m mgl bmgl s s s sq q q+-==+++--3．状态空间数学模型由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：DuCX Y Bu AX X+=+=方程组(1-3)对φ,x 解代数方程，得到如下解： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==++++++++++-==u Mml m M I ml Mml m M I m M mgl x Mml m M I mlb u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x2222222222)()()()()()()()()(φφφφφ整理后得到系统状态空间方程：u Mml m M I ml Mml m M I mlI x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlbMml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010φφφφ1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦以上就是一阶倒立摆小车系统的状态空间表达式。

1.2 模型仿真实验1. 实验步骤实际系统参数如下，按照上面给出的例子求系统的传函、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的MATLAB 仿真。

M 小车质量1.096 Kgm 摆杆质量0.109 Kg b 小车摩擦系数0 .1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*mF 加在小车上的力x 小车位置θ 摆杆与垂直方向的夹角T 采样频率 0.005秒2.实验报告要求（1）给出Matlab 仿真程序。

（2）给出仿真结果和响应曲线。

①传递函数： 程序：%——————trans.m ——————%%倒立摆的传递函数，开环极点及开环脉冲响应%输入倒立摆传递函数G(S)=num/denclc;clear all;close all;M=1.096;%小车质量m=0.109;%摆杆质量b=0.1;%小车摩擦系数I=0.0034;%摆杆惯量g=9.8;%重力加速度L=0.25;%摆杆转动轴心到杆质心的长度q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2;%计算并显示多项式的传递函数num=[m*L/q 0 0]den=[1 b*(I+m*L^2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0]%计算并显示传递函数的极点p[r,p,k]=residue(num,den);s=p%求传递函数的脉冲响应并显示t=0:0.005:5;impulse(num,den,t);%显示范围：横坐标0-1，纵坐标0-60，此条语句参数可根据仿真输出曲线调整axis([0 1 0 60]);%———————end——————结果：num =2.3566 0 0den =1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0s =-5.27805.2727-0.0830由此可知，系统传递函数的多项式表达式为：32() 2.35655()()0.088327.8285 2.3094s sG s U s s s s Φ==+--系统的开环极点为1 5.2780s =-、2 5.2727s =、30.0830s =-、40s =由于有一个开环极点位于S 平面的右半部，开环系统不稳定。

开环脉冲响应曲线：Impulse ResponseTime (seconds)A m p l i t u d e图3 脉冲响应曲线由上图曲线发散，可得系统不稳定。

②状态空间法：程序：%——————state.m ——————%倒立摆状态方程及开环阶跃响应 %输入倒立摆相关参数 clc;clear all;close all; M=1.096;%小车质量m=0.109;%摆杆质量b=0.1;%小车摩擦系数I=0.0034;%摆杆惯量g=9.8;%重力加速度L=0.25;%摆杆转动轴心到杆质心的长度%p用于状态方程计算p=I*(M+m)+M*m*L^2;%输入倒立摆状态方程并显示A=[0 1 0 0;0 -(I+m*L^2)*b/p ((m*L)^2)*g/p 0;0 0 0 1;0 -m*L*b/p m*g*L*(M+m)/p 0] B=[0;(I+m*L^2)/p;0;m*L/p]C=[1 0 0 0;0 0 1 0]D=[0;0]%开环系统的阶跃响应并显示T=0:0.05:5;U=0.2*ones(size(T));[Y,X]=lsim(A,B,C,D,U,T);plot(T,Y);%显示范围：横坐标0-2，纵坐标0-100，此条语句参数可根据仿真输出曲线调整axis([0 2 0 100]);%——————end——————结果：A =0 1.0000 0 00 -0.0883 0.6293 00 0 0 1.00000 -0.2357 27.8285 0B =0.88322.3566C =1 0 0 00 0 1 0D =0 0开环系统的阶跃响应曲线：102030405060708090100图4开环阶跃响应图4中，实线是摆杆角度响应曲线，虚线是小车位置响应曲线2．倒立摆系统的PID 控制算法设计 2.1 设计任务设计PID 控制器，使得当在小车上施加1N 的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度，并作PID 控制算法的MATLAB 仿真2.2 设计分析2.2.1 PID 控制原理在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID 控制。

常规PID 控制系统原理框图如图5所示。

系统由模拟PID 控制器KD(S)和被控对象G(S)组成。

图5 常规PID 控制系统图PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值)(t r 与实际输出值()y t 构成控制偏差)(t e()()()e t r t y t =-将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID 控制器。