江苏省镇江市2018届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

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江苏省镇江市2017-2018学年高三第一次模拟考试数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省镇江市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程．1．若全集为U=R，A={x|x2﹣x＞0}，则∁U A=．2．i为虚数单位，计算=．3．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为．4．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是．6．已知向量=（﹣2，1），=（1，0），则|2+|=．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1﹣log2x，则不等式f（x）＜0的解集是．8．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的是．（写出所有正确的序号）9．以抛物线y2=4x的焦点为焦点，以直线y=±x为渐近线的双曲线标准方程为．10．一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是cm3．11．函数y=asin（ax+θ）（a＞0，θ≠0）图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为．12．S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=．13．函数，若方程f（x）=kx﹣k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为．14．已知sin36°=cos54°，可求得cos2016°的值为．二、解题题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量=（a﹣c，b+c），=（b ﹣c，a），且∥．（1）求B；（2）若b=，cos（A+）=，求a．17．如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，距离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．（1）设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；（2）为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．18．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点为A（﹣3，0），圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．（1）求椭圆方程；（2）求圆O方程；（3）B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．19．已知数列{a n}的各项都为自然数，前n项和为S n，且存在整数λ，使得对任意正整数n 都有S n=（1+λ）a n﹣λ恒成立．（1）求λ值，使得数列{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k＜j时，有a i=2016，求k．20．已知函数f（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2a+1]e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x＞0，2a∈[3，m+1]，f（x）≥b2a﹣1恒成立，求正数b的范围．[选修4-1：几何证明选讲]21．在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：AP•AN+BP•BM=AB2．[选修4-2：矩阵与变换]22．求矩阵的特征值及对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+≥y+3．25．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．26．证明：对一切正整数n，5n+2•3n﹣1+1能被8整除．2016年江苏省镇江市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程． 1．若全集为U=R ，A={x|x 2﹣x ＞0}，则∁U A= [0，1] ．【考点】补集及其运算．【分析】求解一元一次不等式化简集合A ，然后直接利用补集运算求解．【解答】解：由集合A={x|x 2﹣x ＞0}=（﹣∞，0）∪（1，+∞），又U=R ，所以∁U A=[0，1]．，故答案为：[0，1]．2．i 为虚数单位，计算=﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故答案为：﹣i ．3．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数和摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出摸到的2球颜色不同的概率．【解答】解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，基本事件总数n==10，摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数m==6，∴摸到的2球颜色不同的概率p=．故答案为：．4．已知实数x ，y 满足，则z=2x+y 的最小值是 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（1，﹣1），此时z=1×2﹣1=1，故答案为：1．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是240．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=0时，满足条件n＜2，退出循环，输出S的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：执行程序框图，有n=30S=0不满足条件n＜2，S=30，n=28不满足条件n＜2，S=30+28，n=26不满足条件n＜2，S=30+28+26，n=24…不满足条件n＜2，S=30+28+26+…+4，n=2不满足条件n＜2，S=30+28+26+…+4+2，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S=30+28+26+…+4+2==240．故答案为：240．6．已知向量=（﹣2，1），=（1，0），则|2+|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可进行向量坐标的加法和数乘运算求出向量的坐标，从而便可得出的值．【解答】解：；∴．故答案为：．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1﹣log2x，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞）．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】求出当x＞0时，f（x）＞0和f（x）＜0的解集，利用奇函数的对称性得出当x＜0时，f（x）＜0的解集，从而得出f（x）＜0的解集．【解答】解：当x＞0，令f（x）＜0，即1﹣log2x＜0，解得x＞2．令f（x）＞0即1﹣log2x＞0，解得0＜x＜2．∵f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＜0的解为﹣2＜x＜0．故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．8．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的是④．（写出所有正确的序号）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，【解答】解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的是④．故答案为：④．9．以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为=1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设以直线y=±x 为渐近线的双曲线的方程，再由双曲线经过抛物线y 2=4x 焦点F （1，0），能求出双曲线方程．【解答】解：设以直线y=±x 为渐近线的双曲线的方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0）， ∵双曲线经过抛物线y 2=4x 焦点F （1，0）， ∴λ+λ=1，∴λ=∴双曲线方程为： =1．故答案为： =1．10．一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为cm ，则圆锥的体积是 3πcm 3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据面积比计算圆锥的母线长，得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则S 侧面积=πrl=，S 底面积=πr 2=3π．∴=2×3π，解得l=2．∴圆锥的高h==3．∴圆锥的体积V===3π．故答案为：3π．11．函数y=asin （ax+θ）（a ＞0，θ≠0）图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为 2 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用勾股定理即可求出图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值．【解答】解：如图所示，函数y=asin（ax+θ）（a＞0，θ≠0）图象上的一个最高点M和其相邻最低点N的距离的最小值为：|MN|==≥=2，当且仅当4a2=，即a=时取“=”．故答案为：2．12．S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式推导出a1=d，由此能求出的值．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，，∴===，∴3a1=2a1+d，∴a1=d，∴===．故答案为：．13．函数，若方程f（x）=kx﹣k有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，利用数形结合建立条件关系进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：y=kx﹣k=k（x﹣1），过定点A（1，0），当x=﹣时，f（﹣）=，即B（﹣，），当直线经过点B（﹣，）时，f（x）与y=kx﹣k有两个不相同的交点，此时=k（﹣﹣1）=﹣k，即k=﹣，当x＞0时，由f（x）=kx﹣k得x2﹣x=kx﹣k，即x2﹣（1+k）x+k=0，若此时f（x）=kx﹣k有两个不相等的实数根，则，即k＞1，综上k＞1或k=﹣，故答案为：14．已知sin36°=cos54°，可求得cos2016°的值为﹣．．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式即可化简求值．【解答】解：∵sin36°=cos54°⇒2sin18°cos18°=cos（18°+18°+18°）⇒2sin18°cos18°=cos（18°+18°）cos18°﹣sin（18°+18°）sin18°⇒2sin18°cos18°=（2cos218°﹣1）cos18°﹣2sin218°cos18°⇒2sin18°cos18°=2cos318°﹣cos18°﹣2sin218°cos18°⇒2sin18°=2cos218°﹣1﹣2sin218°⇒4sin218°+2sin18°﹣1=0⇒sin18°==，∴cos2016°=cos=﹣cos36°=2sin218°﹣1=﹣．故答案为：﹣．二、解题题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图：四棱锥P﹣ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：CD⊥PA．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出四边形ABCM是平行四边形，从而AM∥BC，由此能证明AM∥平面PBC．（2）由PD=PC，点M是CD的中点，得PM⊥CD，由AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，得CD⊥AM，从而CD⊥平面PAM，由此能证明CD⊥PA．【解答】证明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点，∴AB CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AM∥BC，∵AM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC．（2）∵PD=PC，点M是CD的中点，∴PM⊥CD，∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，∴CD⊥AM，∵PM∩AM=M，∴CD⊥平面PAM，∵PA⊂平面PAM，∴CD⊥PA．16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量=（a﹣c，b+c），=（b ﹣c，a），且∥．（1）求B；（2）若b=，cos（A+）=，求a．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理．【分析】（1）根据向量的平行和余弦定理即可求出B；（2）根据同角的三角函数的关系以及两角和差的正弦公式和正弦定理即可求出．【解答】解：（1）因为∥，所以a2+c2﹣b2=ac，因为cosB===，因为B∈（0，π）所以B=．（2）因为A+∈（，），cos（A+）=，所以sin（A+）=，所以sinA=sin[（A+）﹣]=，在△ABC中，由正弦定理可得：=，解得a=1．17．如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，距离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．（1）设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；（2）为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．【考点】解三角形．【分析】（1）连结OA，OB，利用余弦定理求出AB，根据圆的性质求出AB的最值，列出不等式求出α的范围；使用作差法求出弓形的面积；（2）过O分别作AB，CD的垂线段OE，OF，设AB=x，根据勾股定理和垂径定理求出CD，AB+CD是关于x的函数，利用导数求出该函数的最小值．【解答】解：（1）连结OA，OB，则∠AOB=α，OA=OB=10，在△AOB中，由余弦定理得AB==．∵OP=5，∴当OP⊥AB时，AB取得最小值2=10，当AB过圆心O时，AB 取得最大值20，∴10≤≤20，解得﹣1≤cosα≤﹣．∴≤α≤π．∴α的最小值为．﹣S△AOB=﹣=50α﹣50sinα．∴S′较小区域面积S（α）=S扇形OAB（α）=50﹣50cosα＞0，∴S（α）在[，π]上是增函数，∴S min（α）=S（）=﹣25（km2）．（2）过O分别作AB，CD的垂线段OE，OF，则四边形OEPF是矩形，AE=，DF=，设AB=x，则OE==，∴OF=PE==，∴DF==，∴CD=2DF=2=．∴AB+CD=x+．∴（AB+CD）2=700+2x=700+2．令f（x）=700x2﹣x4，则f′（x）=1400x﹣4x3，令f′（x）=0得x=0（舍）或x=或x=﹣（舍）．当10≤x＜时，f′（x）＞0，当＜x≤20时，f′（x）＜0．∴f（x）在[10，]上是增函数，在[，20]上是减函数．∵f（10）=120000，f（20）=120000，∴f（x）的最小值为120000．∴（AB+CD）2的最小值是700+2=700+400=（10+20）2，∴AB+CD的最小值是10+20（km）．18．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，左顶点为A（﹣3，0），圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．（1）求椭圆方程；（2）求圆O方程；（3）B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到椭圆的方程；（2）设圆O的方程为x2+y2=r2，由圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切，可设直线EF：x=r，代入椭圆方程，求得E的坐标，再由直线AE和圆相切的条件：d=r，解方程即可得到圆O的方程；（3）设切线的方程为y=kx+，由直线和圆相切的条件：d=r，求得k，代入椭圆方程，解方程可得M的坐标，N的坐标，求得直线MN的方程，求得O到直线MN的距离，即可判断MN和圆O的为位置关系．【解答】解：（1）由题意可得a=3，e==，解得c=，可得b==，即有椭圆的方程为+=1；（2）设圆O的方程为x2+y2=r2，由圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切，可设直线EF：x=r，代入椭圆方程，解得E（r，），可得直线AE：y=（x+3），由相切的条件，可得d==r，化为（r﹣1）（r+3）2=0，解得r=1，即有圆O：x2+y2=1；（3）B（0，），设切线的方程为y=kx+，由直线和圆相切的条件可得=1，解得k=±，由y=x+，代入椭圆方程+=1，解得x=﹣，y=﹣1．可设M（﹣，﹣1）；同理可得N（（，﹣1），即有直线MN：y=﹣1．显然圆心O到直线MN的距离为1，则直线MN和圆O相切．19．已知数列{a n}的各项都为自然数，前n项和为S n，且存在整数λ，使得对任意正整数n 都有S n=（1+λ）a n﹣λ恒成立．（1）求λ值，使得数列{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为等比数列，此时存在正整数k，当1≤k＜j时，有a i=2016，求k．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（1）当λ≠0时，推导出a1=1，，从而{a n}不可能是等差数列；当λ=0时，推导出数列{a n}为等差数列，数列{a n}的通项公式为a n=0．（2）由题意得a1=1，，S n=，由此利用极限性质能求出结果．【解答】解：（1）①当λ≠0时，a1=S1=（1+λ）a1﹣λ，解得a1=1，a n=S n﹣S n﹣1=（1+λ）（a n﹣a n﹣1），解得，∵1+≠1，∴λ≠0时，{a n }不可能是等差数列．②当λ=0时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n =a n ﹣a n ﹣1，n ≥2，解得a n ﹣1=0，∴λ=0时，数列{a n }为等差数列，数列{a n }的通项公式为a n =0．综上：λ=0使得数列{a n }为等差数列，数列{a n }的通项公式为a n =0．（2）由题意得a n ≠0，则λ≠0，∴a 1=1，，S n =﹣λ[1﹣（1+）n ]=，∵当j →+∞时，1≤k ＜j 时，有a i =2016，∴=为定值，∴=0，∴﹣1＜1+＜1，解得λ＜﹣，=﹣λ，则S k =λ[（1+）k ﹣1]=﹣λ﹣2016，解得k=．20．已知函数f （x ）=[ax 2﹣（2a+1）x+2a+1]e x ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设x ＞0，2a ∈[3，m+1]，f （x ）≥b 2a ﹣1恒成立，求正数b 的范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导，对a 分类讨论，利用导数即可得出其单调性；（2）由题意，将原式转化成2a ﹣1≥b 2a ﹣1恒成立，换元将2a ﹣1=t ∈[2，m ]，构造辅助函数=g （t ），求导，根据导数求得函数的单调区间，由函数g （2）=g （4），对m 分类讨论，根据对数函数的运算现在求得b 的取值范围．【解答】解：（1）f ′（x ）=（ax 2﹣x ）e x =x （ax ﹣1）e x ．当a=0，则f ′（x ）=﹣xe x ，令f ′（x ）＞0，则x ＜0，令f ′（x ）＜0，则x ＞0；若a ＜0，由f ′（x ）＞0，解得：＜x ＜0，f ′（x ）＜0，解得：x ＞0或x ＜，若a ＞0，由f ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜，f ′（x ）＜0，解得：x ＞或x ＜0，综上可得：当a=0时，函数f （x ）的增区间为（﹣∞，0），减区间为（0，+∞）；当a ＜0时，函数f （x ）的增区间为（，0），减区间为（0，+∞），（﹣∞，）；当a＞0时，函数f（x）的增区间为（，+∞），（﹣∞，0），减区间为（0，）；（2）f（x）≥b2a﹣1恒成立，f（）≥b2a﹣1恒成立，∴≥b2a﹣1，即2a﹣1≥b2a﹣1恒成立，由2a∈[3，m+1]，令2a﹣1=t∈[2，m]，则t≥b t，所以lnb≤=g（t），由g′（t）=，g（t）在（0，e）上递增，（e，+∞）上递减，且g（2）=g（4），当2＜m＜4时，g（t）min=g（2）=，从而lnb≤，解得：0＜b＜；当m＞4时，g（t）min=g（m）=，从而lnb≤，解得：0＜b＜，故：当2＜m＜4时，0＜b＜；当m＞4时，0＜b＜．[选修4-1：几何证明选讲]21．在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：AP•AN+BP•BM=AB2．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】作PE⊥AB于E，先证明P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆，得到两对乘积式，后相加即可得到结论．【解答】证明：作PE⊥AB于E∵AB为直径，∴∠ANB=∠AMB=90°∴P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆．AE•AB=AP•AN（1）BE•AB=BP•BM（2）（1）+（2）得AB（AE+BE）=AP•AN+BP•BM即AP•AN+BP•BM=AB2[选修4-2：矩阵与变换]22．求矩阵的特征值及对应的特征向量．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．【解答】解：特征多项式f（λ）═=（λ﹣3）2﹣1=λ2﹣6λ+8由f（λ）=0，解得λ1=2，λ2=4将λ1=2代入特征方程组，得⇒x+y=0，可取为属于特征值λ1=2的一个特征向量同理，当λ2=4时，由⇒x﹣y=0，所以可取为属于特征值λ2=4的一个特征向量．综上所述，矩阵有两个特征值λ1=2，λ2=4；属于λ1=2的一个特征向量为，属于λ1=4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．【考点】直线和圆的方程的应用；简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．【分析】首先把直线和圆的极坐标方程利用两角差的正弦函数的公式代入x=ρcosθ，y=ρsinθ和化简为平面直角坐标系中的直线方程，利用三角函数的基本关系及化简得到圆的一般式方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后即可求出曲线上P到直线l的距离的最大值．【解答】解：∴由得x2+y2=4∴圆心到直线l的距离所以，P到直线l的距离的最大值为d+r=5[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+≥y+3．【考点】基本不等式；三角函数恒等式的证明．【分析】根据基本不等式的性质证明即可．【解答】证明：x﹣y+=（x﹣y）+=++，因为x＞y，x﹣y＞0，所以++≥3=3，当且仅当==取等号，此时x﹣y=2．25．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离．【分析】（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量，的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．（2）设出平面BED1F的一个法向量为，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED1F的法向量为的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．【解答】解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示：则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）∴=（﹣3，3，3），=（3，0，﹣1）∴cosθ===﹣则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为（2）B（3，3，0），=（0，﹣3，2），=（3，0，﹣1）设平面BED1F的一个法向量为=（x，y，z）由得令x=1，则=（1，2，3）则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为||==26．证明：对一切正整数n，5n+2•3n﹣1+1能被8整除．【考点】数学归纳法．【分析】根据题意，运用数学归纳法进行证明：（1）证明n=1时结论成立，（2）假设当n=k，（k≥2，k∈N*），结论成立，即5k+2•3k﹣1+1能被8整除，进而证明当n=k+1时，5k+1+2•3k+1可以被8整除，综合即可得证明．【解答】证明：（1）当n=1时，5n+2•3n﹣1+1=8，显然能被8整除，即n=1时，结论成立（2）假设当n=k，（k≥2，k∈N*），结论成立，则5k+2•3k﹣1+1能被8整除，设5k+2•3k﹣1+1=8m，m∈N*，当n=k+1时，5k+1+2•3k+1=5（5k+2•3k﹣1+1）﹣4•3k﹣1﹣4=5（5k+2•3k﹣1+1）﹣4•（3k﹣1+1）而当k≥2，k∈N*时3k﹣1+1显然为偶数，设为2t，t∈N*，故=5（5k+2•3k﹣1+1）﹣4•（3k﹣1+1）=40m﹣8t（m，t∈N*），也能被8整除，故当n=k+1时结论也成立；由（1）（2）可知对一切正整除n，5n+2•3n﹣1+1能被8整除．2016年7月21日。

(完整word版)2018-2019高三第一次模拟试题文科数学

高三年级第一次模拟考试60分.在每小题给出的四个选项中，有且合题目要畚考公式：样本败据x lt 鬲的标准差尸¥门如一訝+他— 英叩丘为样車屮均数柱体的体积公式Y=*其中/为底!ftl 曲积・h 为海341(1)复数 I ~i = (A) 1+2i (B) 1-2i(C) 2-i (D) 2+i⑵函数的定义域为(A) (-1,2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1,2] ⑶ 己知命题p ：办I 砒+ llX ，则了为锥体的体积公式v=*h 乩中$为底面面枳，h 为商耶的親血祝*休枳公式$=4庆，評It 中月为球的半牲(A) (C)函数|；宀林匚阴的图象可以由函数'尸沁酬的图象 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 (A)右+4观(B)「(C) 2 (D) 8一、选择题：本大题共12小题，毎小题5〕分，共只有一项符(B)(D)(A) (C)向左平移个单位得到JL个单位得到(B)向右平移3个单位得到向左平移设变量x 、y 满足约束条件 ⑸ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5(D)向右平移个单位得到g+2y —2 鼻(h[2x +工一7冬6则的最小值为(6)等比数列｛an ｝的公比a>1,血，则-血+口 $+他"卜彌=(8) 算法如图，若输入 m=210,n= 119,则输出的n 为 (A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11(9) 在中，/恥C 权」，AB=2, AC=3,则 = (A) 10 (B)-10(C) -4 (D) 4(10) 点A 、B 、C D 均在同一球面上，其中的体积为(11) 已知何m 2 '黑⑴-代2侧集合」「等于D |『工=对止卡(B)卜： (12) 抛物线的焦点为F,点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2).若点F 恰为的重心，则直线 BC 的方程为 (A)龙卄一0 (B)： tT '■(C)Ly=0 (D) | It \.■二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.(13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，从全班 50名同学中按男生、女生用分层抽样的方法随机地抽取一个容量为 10的样本进行分析•己知抽取的样本中男生人数为 6,则班内女生人数为 ________ .Lif ］町= :—(14) 函数.文+】(X 〉0)的值域是 _________ .(15) 在数列1禺1中，尙=1,如厂％ = 2门丨，则数列的通项 □」= _________ .—7 --- F ------(16) —P 尺的一个顶点P ( 7，12)在双曲线产 3上，另外两顶点 F1、F2为该双曲线是正三角形，AD 丄平面 AD=2AB=6则该球(D)(C) 卜 j(—Ak 土(D)(A) (B) 15 (C)的左、右焦点，则屮八几的内心的横坐标为 __________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在厶ABC 中，角A 、B C 的对边分别为a 、b 、c, A=2B,呦占」5 ' (I ) 求cosC 的值；[c\(II)求的值•(18) (本小题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，右表是在某单位得到的数据(人数)•(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)从反对“男女同龄退休”的甲、乙等6名男士中选出2人进行陈述，求甲、乙至少有- 人被选出的概率.反对合计|男 5 6 H 1 女II1 3 "14 合计 16925(19) (本小题满分12分)如图，在三棱柱.A 尅匚 "Q 中，CC1丄底面ABC 底面是边长为2的正三角形，M N 、G 分别是棱CC1 AB, BC 的中点. (I ) 求证：CN//平面AMB1 (II)若X 严2迄，求证:平面AMG.(20) (本小题满分12 分)X'设函数:「—L(I )当a=0时，求曲线在点(1, f(1))处的切线方程;P(K 2^k) 0.25 Od U 0J0 kL323 2.072 2.706__ ，讯耐一比严 ____(a+附:(II )讨论f(x)的单调性•(21) (本小题满分12分)中心在原点0，焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2, 2),且 ―二◎土：:(I) 求椭圆E 的方程；(II) 垂直于0C 的直线I 与椭圆E 交于A B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求直线I 的方程和圆P 的方程•请考生在第(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 •作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 •(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是圆0的直径，以B 为圆心的圆B 与圆0的一个交点为P.过点A 作直线交圆Q 于点交圆B 于点M N. (I )求证：QM=QNi110(II)设圆0的半径为2,圆B 的半径为1,当AM= 时，求MN 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，.已知直线I 的参数方程为 (t 为参数,(I )求曲线C 的直角坐标方程；(II)设直线I 与曲线C 相交于A B 两点，当a 变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设曲线C 的极坐标方程为2cos 0 L朋& *并在两种坐标系中取相同的长度单位(I) 求不等式的解集S;(II) 若关于x不等式应总=1我=；『；：纂釧有解，求参数t的取值范围(18) 解: 由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关.…5分(H)记反对“男女同龄退休”的6男士为ai , i = 1, 2，…，6,其中甲、乙分别为a2,从中选出2人的不同情形为： a1a2, a1a3, a1a4, a1a5, a1a6, a2a3, a2a4, a2a5 , a2a6, a3a4, a3a5, a3a6 , a4a5, a4a6, a5a6,…9分共15种可能，其中甲、乙至少有1人的情形有9种，93 所求概率为P = .…12分(19)解:(I)设 AB1的中点为 P ,连结NP 、MP1 1•/ CM^ — A1 , NP^— A1 , • CM^ NP,2 2文科数学参考答案一、选择题: A 卷: ADCDC B 卷: BCDAB 二、填空题： (13) 20 三、解答题： (17)解：DACB ADDCAB(14) BB CA(-1,1)(15) n2(16) 1(I)： B =(0,亍)，••• cosB = 1— s in 2B =•/ A = 2B ,「.4si nA = 2si nBcosB = , cosA = cos2B = 1 — 2si n2B = 5 , ••• cosC = cos[ —(A + B)] = — cos(A + B) = si nAsi nB — cosAcosB =— 2.525 'sinC =1 — cos2C=11 .525 ，根据由正弦定理,c si nC 11b sinB 5…12分(I) K2= 25 X (5 X 3— 6 X11)216 X 9X 11 X 142.932 > 2.706 a1 ,• CNPK是平行四边形,• CN// MP•/ CN平面AMB1 MP平面AMB1 • CN//平面AMB1 …4分(n)v cc 仏平面 ABC •••平面 CC1B1E L 平面 ABC ， •/ AG 丄 BC, • AGL 平面 CC1B1B • B1M L AG •/ CC1 丄平面 ABC 平面 A1B1C1 //平面 ABC •- CC L AC, CC1 丄 B1C1 ,在 Rt △ MCA 中 , AM k CM 即 AC2= 6. 同理，B1M=6.•/ BB1/ CC1, • BB1 丄平面 ABC •- BB1 丄 AB, • AB1= B1B2+ AB2= C1C2+ AB2= 2.3 , • AM2+ B1M2= AB2, • B1ML AM 又 AG A AM= A , • B1ML 平面 AMG (20)解：, , x2 x(x — 2) (I)当 a = 0 时，f(x) = , f (x)=—亠exex1 1f(i) =T ，f (i) =-^，曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程为(2x — a)ex — (x2 — ax 土 a)ex e2x(1 )若 a = 2,贝U f (x) w 0 , f(x)在(一a , +s )单调递减. …7 分(2 )若 a v 2,贝 U…10分 …12分1y =肓(x — 1) +(x — 2)(x — a)exA Bf (x)当x€ ( —a , a)或x€ (2 , +a )时，f (x) v 0,当x € (a , 2)时，f (x) > 0 , 此时f(x)在(—a , a)和(2 , +a )单调递减，在(a , 2)单调递增.(3)若a> 2,贝U当x€ ( —a , 2)或x€ (a , +a )时，f (x) v 0,当x € (2 , a)时，f (x) >0 , 此时f(x)在(—a , 2)和(a , +a )单调递减，在(2 , a)单调递增. …12分x2 y2(21)解：(I)设椭圆E的方程为02+ b2 = 1 (a>b> 0),贝y a2+ b2记c= ,a2—b2 ,不妨设F1( — c , 0) , F2(c , 0),则C f1= ( —c—2, —2) , C f2= (c —2, —2),则C f1 • C f2= 8 —c2 = 2 , c2 = 6,即a2 —b2= 6.由①、②得a2= 12, b2= 6. 当m= 3时，直线I 方程为y =— x + 3, 此时，x1 + x2 = 4，圆心为(2 , 1)，半径为2,圆P 的方程为(x — 2)2 + (y — 1)2 = 4; 同理，当 m=— 3时，直线I 方程为y = — x — 3，圆P 的方程为(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4. …12分 (22)解：(I)连结 BM BN BQ BP. •/ B 为小圆的圆心，••• BM= BN 又••• AB 为大圆的直径，• BQL MN , •- QM= QN …4 分 (n)v AB 为大圆的直径，•/ APB= 90 , • AP 为圆B 的切线，• AP2= AM- AN …6分由已知 AB= 4, PB= 1 , AP2= AB2- PB2= 15,所以曲线C 的直角坐标方程为 y2= 2x .(n)将直线l 的参数方程代入 y2 = 2x ,得t2sin2 a — 2tcos a — 1= 0.所以椭圆E 的方程为 x2 y2 i2+ 6 = 1. (也可通过2a = iCFlI + |C ?2|求出a ) (n)依题意，直线 0C 斜率为1，由此设直线I 的方程为y = — X + m 代入椭圆 E 方程，得 3x2 — 4m 灶2m2- 12= 0. 由△= 16m2- 12(2m2 — 12) = 8(18 — m2),得 m2< 18. 4m 2m2— 12 记 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，贝U x1 + x2=^ , x1x2 = -—. 3 3 x1 + x2 圆P 的圆心为（一_， y1 + y2 2 ），半径r = 当圆P 与y 轴相切时, x1 + x2 r = 1 2 1， 2x1x2 = (x1 + x2)2 4 2(2m2 — 12)= 3 = 4m2 —,m2= 9v 18. …10分 (I)由 2cos 0 p = sinr v ，得(p sin 0 )2 = 2 p cos 0, …6分 7 6设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则4C0S2 a 4 2 + = ------------------------ sin4 a sin2 a sin2 a当a =—亍时，|AB|取最小值2 .…10分 (24)解：—x + 3, x v — 3,(I) f(x) = — 3x — 3,— 3<x < 0,x — 3, x >0.如图，函数y = f(x)的图象与直线 y = 7相交于横坐标为 x1 =— 4，x2 = 10的两点, 由此得 S = [ — 4, 10].\ :I…6分(n)由(I )知，f (x )的最小值为一3,则不等式 f(x) + |2t —3| < 0有解必须且只需—3 + |2t — 3| < 0,解得0W t < 3,所以t 的取值范围是[0 , 3]. t1 + t2 = 2C0S a sin2 at1t2 sin2 a :.|AB| = |t1 - t2| = (t1 + t2)2 - 4t1t2 …10分。

江苏省苏北四市2018届高三第一次调研考试数学(文)试题含答案

2i
3．函数 y log1 x 的定义域为 ▲ ．
2
4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出 b 的值为 ▲ ．
5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1 000 名学生的成绩，并根据这 1 000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．
2
AF, BF 分别交椭圆于 C, D 两点.
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若 AF FC ，求 BF 的值；
FD
⑶设直线 AB ， CD 的斜率分别为 k1 ， k2 ，是否存在实数，使得 k2 mk1 ，若存
在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．(本小题满分 16 分) 已知函数 f (x) x2 ax 1，g(x) ln x a(a R) ． ⑴当 a 1 时，求函数 h(x) f (x) g(x) 的极值； ⑵若存在与函数 f (x) ， g(x) 的图象都相切的直线，求实数 a 的取值范围．
2
⑴求 S 关于 θ 的函数关系式；
⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 S 最大．求 S 取得最大值时腰 AB 的长度．
18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系
xOy 中，已知椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0) 的离心率为
1 2
，
且过点(1，3) . F 为椭圆的右焦点， A, B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接

3 1 1
3 4

3 …………………………………………………………6
分
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江苏省镇江市2018届高三第一次模拟考试数学

2018届高三年级第一次模拟考试(三)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－2，0，1，3}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)3. 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象两相邻对称轴的距离为________．4. 设复数z 满足3＋4iz＝5i ，其中i 为虚数单位，则|z|＝________．5. 已知双曲线的左焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．6. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________．7. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________． 8. 已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．9. 已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．10. 函数y ＝cos x －x tan x 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π4，π4，则其值域为________．11. 已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为________．12. 已知点P(1，0)，直线l ：y ＝x ＋t 与函数y ＝x 2的图象交于A ，B 两点，当PA →·PB →最小时，直线l 的方程为________．13. 已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝4，则1a 2＋1＋1b 2＋1的最大值为________．14. 已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1， x ≤0，|ln x|， x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos A＋a cos B＝－2c cos C.(1) 求角C的大小；(2) 若b＝2a，且△ABC的面积为23，求c的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，AB＝AC，BC1⊥B1D.求证：(1) A1C∥平面ADB1；(2) 平面A1BC1⊥平面ADB1.如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC 分成AD，CD两段．其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC 长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB＝α，制作整个支架的总成本记为S元．(1) 求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问AD段多长时，S最小？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．已知b>0，且b≠1，函数f(x)＝e x＋b x，其中e为自然对数的底数．(1) 如果函数f(x)为偶函数，求实数b的值，并求此时函数f(x)的最小值；(2) 对满足b>0，且b≠1的任意实数b，证明：函数y＝f(x)的图象经过唯一定点；(3) 如果关于x的方程f(x)＝2有且只有一个解，求实数b的取值范围．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，总存在正数p ，q ，r ，使得a n ＝p n －1，S n ＝q n －r 恒成立；数列{b n }的前n 项和为T n ，且对任意正整数n ，2T n ＝nb n 恒成立．(1) 求常数p ，q ，r 的值；(2) 证明：数列{b n }为等差数列；(3) 若b 2＝2，记P n ＝2n ＋b 1a n ＋2n ＋2b 22a n ＋2n ＋b 34a n ＋…＋2n ＋b n －12n －2a n ＋2n ＋b n2n －1a n，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立？若存在，求正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．2018届高三年级第一次模拟考试(三)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至点F .求证：AE 是∠DAF 的平分线．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1，其中a ，b 均为实数，若点A (3，－1)在矩阵M 的变换作用下得到点B (3，5)，求矩阵M 的特征值．C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若曲线C 上的A ，B 两点的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2，求1ρ21＋1ρ22的值．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图，AC ⊥BC ，O 为AB 的中点，且DC ⊥平面ABC ，DC ∥BE.已知AC ＝BC ＝DC ＝BE ＝2.(1) 求直线AD 与CE 所成角； (2) 求二面角OCEB 的余弦值．23. (本小题满分10分)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级则加5分．记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值．(1) 求ξ1的数学期望； (2) 求ξ2的分布列．2018届镇江高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. {0，1}2. 充要3.π2 4. 1 5. x ＝836. 837. －328. 3＋229. 4 10. [22－π4，1] 11. (x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18 12. y ＝x ＋1213.2＋54 14. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c 3∪(－e ，－1) 15. 解析：(1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C 得(2分) sin B cos A ＋sin A cos B ＝－2sin C cos C ，所以sin (B ＋A)＝－2sin C cos C.(3分)因为A ，B ，C 为三角形的内角，所以B ＋A ＝π－C ，所以sin C ＝－2sin C cos C.(4分)因为C ∈(0，π)，所以sin C>0.(5分) 所以cos C ＝－12，(6分)所以C ＝2π3.(7分)(2) 因为△ABC 的面积为23，所以12ab sin C ＝2 3.(8分)由(1)知C ＝2π3，所以sin C ＝32，所以ab ＝8.(9分)因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，(11分)所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×⎝⎛⎭⎫－12＝28，(13分) 所以c ＝27.(14分)16. 解析：(1) 设A 1B ∩AB 1＝E. 因为ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1B 1B 为矩形，所以E 为A 1B 的中点．(1分)因为D 为BC 的中点，所以DE 为△BA 1C 的中位线，(2分) 所以DE ∥A 1C ，且DE ＝12A 1C.(3分)因为A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1，(5分) 所以A 1C ∥平面ADB 1.(7分)(2) 因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC.(8分)因为ABCA 1B 1C 为直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC.因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.(9分)因为BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B ，BC ∩BB 1＝B ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.(10分)因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥BC 1.(11分)因为BC 1⊥B 1D ，AD ⊂平面ADB 1，B 1D ⊂平面ADB 1，AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面ADB 1.(13分) 因为BC 1⊂平面A 1BC 1，所以平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.(14分)17. 解析：(1) 在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sin π3 ＝ADsin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，(1分)所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，(3分)则S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋2a[1－(3cos α2sin α＋12)]＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，(6分)由题意得α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3.(7分)(2) 令S′＝3a ·1－4cos αsin 2α＝0，设cos α0＝14.(11分)所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.(12分) 18. 解析：(1) 因为e ＝c a ＝22且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.(2分) 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2) 设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8.① 因为以AB 为直径的圆P 过M 点，所以MA ⊥MB ，所以·＝0，(5分) 因为＝(s ＋6，t ＋1)，＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0. ②(6分) 由①②解得t ＝13或t ＝－1(舍)，所以s 2＝709.(7分)因为圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB2＝|s|，(8分)所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －132＝709.(9分) (3) 设M(x 0，y 0)，则l AM 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0·(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件．令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，(11分)所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2(13分)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值．(16分) 19. 解析：(1) 由f(1)＝f(－1)得e ＋b ＝1e ＋1b ，解得b ＝－e (舍)，或b ＝1e，(1分)经检验f(x)＝e x ＋1e x 为偶函数，所以b ＝1e .(2分)因为f(x)＝e x ＋1ex ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，(3分)所以f(x)的最小值为2.(4分)(2) 假设y ＝f(x)过定点(x 0，y 0)，则y 0＝e x 0＋bx 0对任意满足b>0，且b ≠1恒成立．(5分)令b ＝2得y 0＝e x 0＋2x 0；令b ＝3得y 0＝e x 0＋3x 0，(6分)所以2x 0＝3x 0，即⎝⎛⎭⎫32x 0＝1，解得唯一解x 0＝0，所以y 0＝2，(7分)经检验当x ＝0时，f(0)＝2，所以函数y ＝f(x)的图象经过唯一定点(0，2)．(8分)(3) 令g(x)＝f(x)－2＝e x ＋b x －2为R 上的连续函数，且g (0)＝0，则方程g (x )＝0存在一个解．(9分)(i) 当b >0时，g (x )为增函数，此时g (x )＝0只有一解．(10分)(ii) 当00，00，所以g ′(x )>0，g (x )为单调增函数，所以g 极小(x )＝g (x 0)．因为g (x )定义域为R ，所以g min (x )＝g (x 0)．(13分)①若x 0>0，g (x )在(－∞，x 0)上为单调减函数，g (x 0)<g (0)＝0，而g (ln2)＝2＋b ln2－2＝b ln2>0，所以当x ∈(x 0，ln2)时，g (x )至少存在另外一个零点，矛盾．(14分)②若x 0<0，g (x )在(x 0，＋∞)上为单调增函数，g (x 0)<g (0)＝0，而g (log b 2)＝elog b 2＋2－2＝elog b 2>0，所以g (x )在(log b 2，x 0)上存在另外一个解，矛盾．(15分)③当x 0＝log ⎝⎛⎭⎫e b (－ln b )＝0，则－ln b ＝1，解得b ＝1e ，此时方程为g (x )＝e x＋1e x －2＝0，由(1)得，只有唯一解x 0＝0，满足条件．综上所述，当b >1或b ＝1e 时，方程f (x )＝2有且只有一个解．(16分)20. 解析：(1) 因为S n ＝q n －r ，①所以S n －1＝q n －1－r ，(n ≥2)②①－②得S n －S n －1＝q n －q n －1，即a n ＝q n －q n －1，(n ≥2)，(1分)因为a n ＝p n －1，所以p n －1＝q n －q n －1，(n ≥2)，当n ＝2时，p ＝q 2－q ；当n ＝3时，p 2＝q 3－q 2. 因为p ，q 为正数，所以p ＝q ＝2.(3分)因为a 1＝1，S 1＝q －r ，且a 1＝S 1，所以r ＝1.(4分) (2) 因为2T n ＝nb n ，③当n ≥2时，2T n －1＝(n －1)b n －1，④③－④得2b n ＝nb n －(n －1)b n －1，即(n －2)b n ＝(n －1)b n －1，⑤(6分) 方法一：由(n －1)b n ＋1＝nb n ，⑥⑤＋⑥得(2n －2)b n ＝(n －1)b n －1＋(n －1)b n ＋1，(7分) 即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，所以{b n }为等差数列．(8分) 方法二：由(n －2)b n ＝(n －1)b n －1，得b nn －1＝b n －1n －2，当n ≥3时，b n n －1＝b n －1n －2＝…＝b 21，所以b n ＝b 2(n －1)，所以b n －b n －1＝b 2.(6分)因为n ＝1时，由2T n ＝nb n 得2T 1＝b 1，所以b 1＝0，则b 2－b 1＝b 2，(7分)所以b n －b n －1＝b 2对n ≥2恒成立，所以{b n }为等差数列．(8分)(3) 因为b 1＝0，b 2＝2，由(2)知{b n }为等差数列，所以b n ＝2n －2.(9分)又由(1)知a n ＝2n －1，所以P n ＝2n 2n －1＋2n ＋22n ＋…＋4n －422n －3＋4n －222n －2，P n ＋1＝2n ＋22n ＋…＋4n －422n －3＋4n －222n －2＋4n 22n －1＋4n ＋222n ，所以P n ＋1－P n ＝4n22n －1＋4n ＋222n －2n 2n －1＝12n ＋2－4n·2n4n ，(12分)令P n ＋1－P n >0得12n ＋2－4n·2n >0，所以2n <6n ＋12n ＝3＋12n <4，解得n ＝1，所以当n ＝1时，P n ＋1－P n >0，即P 2>P 1，(13分) 当n ≥2时，因为2n ≥4，3＋12n<4，所以2n >3＋12n ＝6n ＋12n，即12n ＋2－4n·2n <0，此时P n ＋1P 3>P 4>…，(14分)所以P n 的最大值为P n ＝2×22＋2×2＋222＝72，(15分)若存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立，则k ≥P max ＝72，所以正整数k 的最小值为4.(16分)21. A . 解析：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE ＝∠BCD ，∠F AE ＝∠BAC ＝∠BDC .(4分) 因为BC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠BDC ，(6分) 所以∠DAE ＝∠F AE ，(8分)所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线．(10分)B . 解析：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧6－a ＝3，3b －1＝5，(3分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.(5分)令f (λ)＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，(7分) 解得λ＝－1或λ＝4，(9分)所以矩阵M 的特征值为－1和4.(10分)C . 解析：(1) 将M (2，3)及对应的参数φ＝π3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎨⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，所以曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1.(5分)(2) 曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，所以1ρ21＋1ρ22＝516.(10分)D . 解析：因为对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，所以f min (x )>a 2－3.(2分) 因为|x －a |＋|x ＋a |≥|x －a －(x ＋a )|＝|2a |，所以|2a |>a 2－3， ①(4分) 方法一：即|a |2－2|a |－3<0，解得－1<|a |<3，(8分) 所以－3<a <3.(10分)方法二：①式等价于2a >a 2－3， ② 或2a <－a 2＋3， ③(6分) 由②得－1<a <3；(7分) 由③得－3<a <1，(8分) 所以－3<a <3.(10分)22. 解析：(1) 因为AC ⊥CB ，且DC ⊥平面ABC ，则以C 为原点，CB 为x 轴正方向，CA 为y 轴正方向，CD 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分)因为AC ＝BC ＝BE ＝2，所以C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，E(2，0，2)，D(0，0，2)，＝(0，－2，2)，＝(2，0，2)．(2分)所以cos 〈，〉＝422×22＝12.(4分)所以AD 和CM 的夹角为60°.(2) 平面BCE 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，设平面OCE 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)．(6分)由＝(1，1，0)，＝(2，0，2)，n ⊥，n ⊥，得则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2z 0＝0，x 0＋y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z 0＝－x 0，y 0＝－x 0，(8分)令x 0＝－1，则n ＝(－1，1，1)．(9分) 因为二面角OCEB 为锐角二面角，记为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n|＝33.(10分) 23. 解析：(1) 记该学生有i 门学科获得A 等级为事件A i ，i ＝1，2，3，4.(1分) ξ1的可能取值为0，1，2，3，5.(2分) 则P(A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫14i ⎝⎛⎭⎫344－i，(3分)即P(A 0)＝81256，P(A 1)＝2764，P(A 2)＝27128，P(A 3)＝364，P(A 4)＝1256，则ξ1的分布列为所以E(ξ1)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋5×1256＝257256.(5分)(2) ξ2的可能取值为0，2，4，则 P(ξ2＝0)＝P(A 2)＝27128；(7分)P(ξ2＝2)＝P(A 1)＋P(A 3)＝2764＋364＝1532；(8分)P(ξ2＝4)＝P(A 0)＋P(A 5)＝81256＋1256＝41128，(9分)则ξ2的分布列为。

江苏省镇江市2018届高三上学期期末数学试题

镇江市 2018 届高三上学期期末数学 Ⅰ试题2018． 1参照公式：锥体体积公式： V1Sh ，此中 S 为底面积 , h 为高 .3一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，合计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应地点上．．．．．．．1. 已知会合 A 2,0,1,3 , B1,0,1,2 , 则 A B2. 已知 x, y R, 则" a 1" 是直线 ax y 1 0与直线 x ay 1 0 平行的条件（从“充足不用要”“必需不充足”“充足必需”“既不充足也不用要”中选择一个）3. 函数 y 3sin(2x4 ) 图像两对称轴的距离为4.3 4i5i ，则 z = 设复数 z 知足z5. 已知双曲线x 2y 2 1 左焦点与抛物线 y 212x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为a 26. 已知正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为6 ，则正四棱锥的体积为7. 设等比数列a n 的前 n 项和 Sn ，若a 1 2, S 69S 3 , 则 a 5 的值为8. 已知锐角知足 tan6 cos ，则 sincossincos9. 已知函数 f (x) x 2 kx4 对随意的 x 1,3 ，不等式 f (x) 0 恒建立，则实数 k 的最大值为10. 函数 y cosxx tan x 的定义域为4 , ，其值域为411.已知圆 C 与圆 x 2y 2 10x 10 y 0 相切于原点，且过点 A(0, 6) ，则圆 C 的标准方程为12. 已知点 P(1,0) ，直线 l : yx t 与函数 y x 2的图像订交于A 、B 两点，当PA PB P 最小时，直线 l 的方程为13. 已知 a, b R, a b 4,1 1则a 2 1 b2 1 的最大值为14. 已知 k 为常数，函数 f (x) x2, x 0，若对于 x 的方程 f (x) kx 2 有且只有4 个不一样的解，x 1ln x x 0则实数 k 的取值会合为二、解答题：本大题共 6 小题，合计90 分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，若 b cos A a cos B2c cos C .（1）求 C 的大小；（ 2 ）若b2a, 且ABC 的面积为 2 3 ，求 c.16．（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中， D 为 BC 中点，AB AC, BC1B1D求证：（1 ）A1C //平面ADB1（2）平面A1BC1ADB117.（本小题满分 14 分）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与 BD 焊接而成，焊接点 D 把杆 AC 分红 AD, CD 两段，此中两固定点 A ，B 间距离为 1 米，AB与杆AC的夹角为60 ，杆 AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/ 米，制作杆BD 成本是 4a 元/米. 设ADB，则制作整个支架的总成本记为S 元.（1）求S 对于的函数表达式，并求出的取值范围；（2）问AD 段多长时， S 最小？18．（本小题满分16 分）如图，在平面直角坐标系x 2 y 21 (a b 0) 的离心率xOy 中，已知椭圆E :2b 2a为2F ( 2,0) ，直线 l : y t 与椭圆交于 A, B 两点， M 为椭圆上异于A, B 的点.，左焦点2（1 ）求椭圆E的方程；（2 ）若M6, 1 ，以AB为直径的圆P过M点，求圆P的标准方程；（ 3 ）设直线MA, MB 与 y 轴分别交于C, D ，证明：OC OD 为定值.19.（本小题满分 16 分）已知 b 0, 且 b 1，函数 f (x) e x b x，此中 e 为自然对数的底数：（ 1 ）假如函数 f (x) 为偶函数，务实数 b 的值，并求此时函数的最小值；（ 2 ）对知足 b 0, 且 b 1 的随意实数 b ，证明函数y f (x) 的图像经过独必定点；（ 3 ）假如对于x 的方程 f (x) 2 有且只有一个解，务实数 b 的取值范围.20.（本小题满分 16 分）已知数列a n 的前n 项和Sn ，对随意正整数n ，总存在正数p, q, r 使得a n p n 1 , S n q n r 恒建立：数列b n 的前n 项和T n，且对随意正整数n，2T n nb n 恒建立 . （1 ）求常数p, q, r的值；（2 ）证明数列b n为等差数列；（ 3 ）若b12，记P n 2n b1 2n b2 2n b3 2n b n 1 2n bn，能否存在正整数k ，a n 2a n 4a n 2 n 2 a n 2n 1 a n使得对随意正整数n ， P n k 恒建立，若存在，求正整数k 的最小值，若不存在，请说明原因.。

江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题有答案

江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题（有答案）南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：，其中为底面积,为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合，，则▲．2．设复数为虚数单位），若为纯虚数，则的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为▲．7．设函数的值域为，若，则实数的取值范围是▲．8．已知锐角满足，则的值为▲．9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲．10．设为等差数列的前项和，若的前2017项中的奇数项和为2018，则的值为▲．11．设函数是偶函数，当x≥0时，=，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若四点均位于图中的“晶格点”处，且的位置所图所示，则的最大值为▲．14．若不等式对任意都成立，则实数的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱中，，点分别是的中点.（1）求证：∥平面；（2）若，求证：.16．(本小题满分14分)在中，角的对边分别为已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧,分别与边,相切于点,．（1）当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．19．(本小题满分16分)设数列满足，其中，且，为常数.（1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立.求所有满足条件的数列中的最小值.20．(本小题满分16分)设函数，（）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于两点．求证：.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知为⊙的直径，直线与⊙相切于点，垂直于点.若，求切点到直径的距离．B.（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，求圆在矩阵的变换下所得的曲线方程. C．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线与曲线()相切，求的值.D．(选修4-5：不等式选讲）已知实数满足，求当取最大值时的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为中点，.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知，．（1）求的值；（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2．13．12004．15．6．67．8．9．10．403411．12．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为是直三棱柱，所以，且，又点分别是的中点，所以，且．所以四边形是平行四边形，从而．……………4分又平面，平面，所以∥面．……………6分（2）因为是直三棱柱，所以底面，而侧面，所以侧面底面．又，且是的中点，所以．则由侧面底面，侧面底面，，且底面，得侧面．……………8分又侧面，所以．……………10分又，平面，且，所以平面．……………12分又平面，所以．……………14分16．解：（1）因为，则由正弦定理，得． (2)分又，所以，即．……………4分又是的内角，所以，故．……………6分（2）因为，所以，则由余弦定理，得，得．……………10分从而，……………12分又，所以．从而．……………14分17．解：（1）在图甲中，连接交于点．设，在中，因为，所以，则．从而，即.……………2分故所得柱体的底面积.……………4分又所得柱体的高，所以.答：当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米.…………………6分（2）设，则，所以所得柱体的底面积.又所得柱体的高，所以，其中.…………………10分令，则由，解得.…………………12分列表如下：＋0－增极大值减所以当时，取得最大值.答：当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由，得直线的方程为． (2)分令，得点的坐标为．所以椭圆的方程为．…………………4分将点的坐标代入，得，解得．所以椭圆的标准方程为．…………………8分（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为．在中，令，得，而点是线段的中点，所以．所以直线的斜率．………………10分联立，消去，得，解得．用代，得．………………12分又，所以，得．………………14分故，又，解得．所以直线的方程为．………………16分方法二：设点的坐标分别为．由，得直线的方程为，令，得．同理，得．而点是线段的中点，所以，故．…………………10分又，所以，得，从而，解得．…………………12分将代入到椭圆C的方程中，得．又，所以，即，解得（舍）或．又，所以点的坐标为．……………14分故直线的方程为．…………………16分19．解：（1）由题意，可得，化简得，又，所以.………………4分（2）将代入条件，可得，解得，所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以.……6分欲存在，使得，即对任意都成立，则，所以对任意都成立.………………8分令，则，所以当时，；当时，；当时，．所以的最大值为，所以的最小值为.………………10分（3）因为数列不是常数列，所以．①若，则恒成立，从而，，所以，所以，又，所以，可得是常数列．矛盾．所以不合题意.………………12分②若，取（*），满足恒成立．………………14分由，得．则条件式变为．由，知；由，知；由，知．所以，数列（*）适合题意．所以的最小值为.………………16分20．解：（1）由，得，又，所以，.当时，，所以，所以.………………2分因为函数与的图象在处有相同的切线，所以，即，解得.………………4分（2）当时，则，又，设，则题意可转化为方程在上有相异两实根． (6)分即关于的方程在上有相异两实根．所以，得，所以对恒成立．………………8分因为，所以（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是，所以．故的最小值为.………………10分（3）当时，因为函数与的图象交于两点，所以，两式相减，得.………………12分要证明，即证，即证，即证.………………14分令，则，此时即证．令，所以，所以当时，函数单调递增．又，所以，即成立；再令，所以，所以当时，函数单调递减，又，所以，即也成立．综上所述，实数满足.………………16分附加题答案21．（A）解：如图，连接，，因为直线与⊙相切于点，所以，又因为垂直于，所以，所以，①在⊙中，所以，②………………5分由①②得，即，又，，所以，所以，又，所以，即到直径的距离为4.………………10分（B）解：设是圆上任意一点，则，设点在矩阵对应的变换下所得的点为，则，即，解得，………………5分代入，得，即为所求的曲线方程.………………10分（C）解：以极点O为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系，由，得，得直线的直角坐标方程为．………………5分曲线，即圆，所以圆心到直线的距离为．因为直线与曲线（）相切，所以，即.……………10分（D）解：由柯西不等式，得，即．而，所以，所以，………………5分由，得，所以当且仅当时，．所以当取最大值时的值为.………………10分22．解：（1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系．则,,,,．所以，，，，．则．故直线与所成角的余弦值为.………5分（2），．设平面的一个法向量为，则，得，令，得，．得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，，．则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 (10)分23．解：（1）由条件，①，在①中令，得．………………1分在①中令，得，得．………………2分在①中令，得，得．………………3分（2）猜想=（或=）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式成立．方法一：当时，等式显然成立，当时，因为，故．故只需证明．即证．而，故即证②．由等式可得，左边的系数为．而右边，所以的系数为．由恒成立可得②成立.综上，成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余n－1个是编号为1，2，…，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有个黑球（个白球）的n个小球的组合的个数为，，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为．另一方面，从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为．故，即②成立.余下同方法一.………………10分方法三：由二项式定理，得③．两边求导，得④．③×④，得⑤．左边的系数为．右边的系数为．由⑤恒成立，可得．故成立.………………10分。

江苏省镇江市2018届高三第一次模拟考试数学含答案

π
sinθ＋cosθ 8. 已知锐角 θ 满足 tanθ＝ 6cosθ，则sinθ－cosθ＝________．
9. 已知函数 f(x)＝x2－kx＋4，对任意 x∈[1，3]，不等式 f(x)≥0 恒成立，则实数 k 的最大值为 ________．－， ] 4 ，则其值域为________． 10. 函数 y＝cosx－xtanx 的定义域为[ 4 11. 已知圆 C 与圆 x2＋y2＋10x＋10y＝0 相切于原点，且过点 A(0，－6)，则圆 C 的标准方程为
{
x＋2
)
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcosA＋acosB＝－2ccosC. (1) 求角 C 的大小； (2) 若 b＝2a，且△ABC 的面积为 2 3，求 c 的值．
18. (本小题满分 16 分) 2 x2 y2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 2 ，左焦点 F(－2，0)，直线 l：y＝t 与椭圆交于 A，B 两点，M 为椭圆 E 上异于 A，B 的点． (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 方程； (3) 设直线 MA，MB 与 y 轴分别相交于点 C，D，证明：若 M(－ 6，－1)，以 AB 为直径的圆 P 过点 M，求圆 P 的标准
20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，对任意正整数 n，总存在正数 p，q，r，使得 an＝pn－1，Sn＝qn－r 恒成立；数列{bn}的前 n 项和为 Tn，且对任意正整数 n，2Tn＝nbn 恒成立． (1) 求常数 p，q，r 的值； (2) 证明：数列{bn}为等差数列； 2n＋b1 (3) 若 b2＝2，记 Pn＝ an ＋ 2n＋2b2 2an 2n＋b3 2n＋bn－1 2n＋bn

2018年江苏省镇江市界牌中学高三数学文联考试题含解析

2018年江苏省镇江市界牌中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略2. 若集合，集合，则A∩B等于（）A．(1,3) B．(－∞,－1) C．(－1,1) D．(－3,1)参考答案：C3. 复数在复平面上对应的点的坐标为(A) (B) (C) (D)参考答案：略4. 已知函数的导函数图象如右图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是( )(A) (B)(C) (D)参考答案：B略5. 展开式中项的系数为A．B．C．D．参考答案：A6.参考答案：D略7. 若是等差数列的前项和，且，则的值为A.44B.22 C . D.88参考答案：A故选A8. 对任意实数a，b定义运算“”：设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是(A)(－2，1) (B)[0，1] (C)[－2，0) (D)[－2，1)参考答案：D略9. 设点，，若直线与线段（包括端点）有公共点，则的最小值为（）A. B. C.D. 1参考答案：C略10. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A. 8万元B. 10万元XC. 12万元D. 15万参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为．参考答案：【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由已知中一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，我们易得相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半，进而得到各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列，由此求出各侧面的和，加上顶面暴露在外面部分的面积和为1，累加后即可得到答案．【解答】解：最下边正方体的侧面积为4×1=4从下边数第二个正方体的侧面积为4×=2从下边数第三个正方体的侧面积为4×=1…即相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半．各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列故Sn=当n=6时S6==而除侧面外其它面的和为1，故6个正方体暴露在外面部分的面积和为+1=故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，等比数列的前n项和，其中根据已知条件将问题转化为等比数列的前n项和问题，是解答本题的关键．解答时易忽略6个正方体暴露在外面部分不包括下底面，但包括上底面，而错解为或．12. （5分）（2015?枣庄校级模拟）设、是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且，，则△OAB的面积等于．参考答案：5【考点】：向量在几何中的应用；数量积表示两个向量的夹角．【专题】：计算题．【分析】：确定向量的坐标，求出向量的模及夹角，利用三角形的面积公式，即可得到结论．解：由题意，=（﹣2，1），=（4，3）∴||=，||=5∴cos∠AOB==﹣∴sin∠AOB=∴△OAB的面积等于××5×=5故答案为：5【点评】：本题考查三角形面积的计算，解题的关键是确定向量的坐标，求出向量的模及夹角，属于中档题．13. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则____；的面积为____.参考答案：，.试题分析：由余弦定理可得，又∵，∴，.考点：1.切割线定理；2.相交弦定理.14. 在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，，则AC=_______. 参考答案：．由正弦定理得，所以.15. 设为等差数列的前项和，若，，则当取得最大值时，的值为．参考答案：16. 不等式的解集是参考答案：原不等式等价为，解得，即原不等式的解集为。

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镇江市2018届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－2，0，1，3}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)3. 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象两相邻对称轴的距离为________．4. 设复数z 满足3＋4iz＝5i ，其中i 为虚数单位，则|z|＝________．5. 已知双曲线的左焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．6. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________．7. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________．8. 已知锐角θ满足tan θ＝6cos θ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________．9. 已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．10. 函数y ＝cos x －x tan x 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π4，π4，则其值域为________．11. 已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为________．12. 已知点P(1，0)，直线l ：y ＝x ＋t 与函数y ＝x 2的图象交于A ，B 两点，当PA →·PB →最小时，直线l 的方程为________．13. 已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝4，则1a 2＋1＋1b 2＋1的最大值为________．14. 已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1， x ≤0，|ln x|， x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos A＋a cos B＝－2c cos C.(1) 求角C的大小；(2) 若b＝2a，且△ABC的面积为23，求c的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，AB＝AC，BC1⊥B1D.求证：(1) A1C∥平面ADB1；(2) 平面A1BC1⊥平面ADB1.如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段．其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米．若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD的成本是4a元/米．设∠ADB ＝α，制作整个支架的总成本记为S元．(1) 求S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问AD段多长时，S最小？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．已知b>0，且b≠1，函数f(x)＝e x＋b x，其中e为自然对数的底数．(1) 如果函数f(x)为偶函数，求实数b的值，并求此时函数f(x)的最小值；(2) 对满足b>0，且b≠1的任意实数b，证明：函数y＝f(x)的图象经过唯一定点；(3) 如果关于x的方程f(x)＝2有且只有一个解，求实数b的取值范围．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，总存在正数p ，q ，r ，使得a n ＝p n －1，S n ＝q n－r 恒成立；数列{b n }的前n 项和为T n ，且对任意正整数n ，2T n ＝nb n 恒成立．(1) 求常数p ，q ，r 的值；(2) 证明：数列{b n }为等差数列；(3) 若b 2＝2，记P n ＝2n ＋b 1a n ＋2n ＋2b 22a n ＋2n ＋b 34a n ＋…＋2n ＋b n －12n －2a n ＋2n ＋b n2n －1a n，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立？若存在，求正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．2018届高三年级第一次模拟考试(三)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC ＝BD ，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ，延长CA 至点F .求证：AE 是∠DAF 的平分线．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1，其中a ，b 均为实数，若点A (3，－1)在矩阵M 的变换作用下得到点B (3，5)，求矩阵M 的特征值．C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若曲线C 上的A ，B 两点的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2，求1ρ21＋1ρ22的值．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图，AC ⊥BC ，O 为AB 的中点，且DC ⊥平面ABC ，DC ∥BE.已知AC ＝BC ＝DC ＝BE ＝2. (1) 求直线AD 与CE 所成角； (2) 求二面角OCEB 的余弦值．23. (本小题满分10分)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A 等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A 等级加1分，有两门学科获A 等级加2分，有三门学科获A 等级加3分，四门学科全获A 等级则加5分．记ξ1表示该生的加分数，ξ2表示该生获A 等级的学科门数与未获A 等级学科门数的差的绝对值．(1) 求ξ1的数学期望； (2) 求ξ2的分布列．2018届镇江高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. {0，1}2. 充要3.π2 4. 1 5. x ＝836. 837. －328. 3＋229. 4 10. [22－π4，1] 11. (x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18 12. y ＝x ＋1213.2＋54 14. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c 3∪(－e ，－1) 15. 解析：(1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C 得(2分) sin B cos A ＋sin A cos B ＝－2sin C cos C ，所以sin (B ＋A)＝－2sin C cos C.(3分)因为A ，B ，C 为三角形的内角，所以B ＋A ＝π－C ，所以sin C ＝－2sin C cos C.(4分)因为C ∈(0，π)，所以sin C>0.(5分) 所以cos C ＝－12，(6分)所以C ＝2π3.(7分)(2) 因为△ABC 的面积为23，所以12ab sin C ＝2 3.(8分)由(1)知C ＝2π3，所以sin C ＝32，所以ab ＝8.(9分)因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，(11分)所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×⎝⎛⎭⎫－12＝28，(13分) 所以c ＝27.(14分)16. 解析：(1) 设A 1B ∩AB 1＝E. 因为ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1B 1B 为矩形，所以E 为A 1B 的中点．(1分)因为D 为BC 的中点，所以DE 为△BA 1C 的中位线，(2分) 所以DE ∥A 1C ，且DE ＝12A 1C.(3分)因为A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1，(5分)所以A 1C ∥平面ADB 1.(7分)(2) 因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC.(8分)因为ABCA 1B 1C 为直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC.因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.(9分)因为BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B ，BC ∩BB 1＝B ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.(10分)因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥BC 1.(11分)因为BC 1⊥B 1D ，AD ⊂平面ADB 1，B 1D ⊂平面ADB 1，AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面ADB 1.(13分) 因为BC 1⊂平面A 1BC 1，所以平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.(14分)17. 解析：(1) 在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sin π3 ＝ADsin⎝⎛⎭⎫2π3－α，(1分)所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12，(3分)则S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋2a[1－(3cos α2sin α＋12)]＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，(6分)由题意得α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3.(7分)(2) 令S′＝3a ·1－4cos αsin 2α＝0，设cos α0＝14.(11分)所以当cos α＝14时，S 最小，此时sin α＝154，AD ＝3cos α2sin α＋12＝5＋510.(12分) 18. 解析：(1) 因为e ＝c a ＝22且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.(2分)所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2) 设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8.① 因为以AB 为直径的圆P 过M 点，所以MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0，(5分) 因为MA →＝(s ＋6，t ＋1)，MB →＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0. ②(6分) 由①②解得t ＝13或t ＝－1(舍)，所以s 2＝709.(7分)因为圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB2＝|s|，(8分)所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －132＝709.(9分) (3) 设M(x 0，y 0)，则l AM 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0·(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件．令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，(11分)所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2(13分) ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值．(16分) 19. 解析：(1) 由f(1)＝f(－1)得e ＋b ＝1e ＋1b ，解得b ＝－e (舍)，或b ＝1e，(1分)经检验f(x)＝e x ＋1e x 为偶函数，所以b ＝1e .(2分)因为f(x)＝e x ＋1ex ≥2，当且仅当x ＝0时取等号，(3分)所以f(x)的最小值为2.(4分)(2) 假设y ＝f(x)过定点(x 0，y 0)，则y 0＝e x 0＋bx 0对任意满足b>0，且b ≠1恒成立．(5分) 令b ＝2得y 0＝e x 0＋2x 0；令b ＝3得y 0＝e x 0＋3x 0，(6分)所以2x 0＝3x 0，即⎝⎛⎭⎫32x 0＝1，解得唯一解x 0＝0，所以y 0＝2，(7分)经检验当x ＝0时，f(0)＝2，所以函数y ＝f(x)的图象经过唯一定点(0，2)．(8分)(3) 令g(x)＝f(x)－2＝e x ＋b x －2为R 上的连续函数，且g (0)＝0，则方程g (x )＝0存在一个解．(9分)(i) 当b >0时，g (x )为增函数，此时g (x )＝0只有一解．(10分)(ii) 当00，00，所以g ′(x )>0，g (x )为单调增函数，所以g 极小(x )＝g (x 0)．因为g (x )定义域为R ，所以g min (x )＝g (x 0)．(13分)①若x 0>0，g (x )在(－∞，x 0)上为单调减函数，g (x 0)<g (0)＝0，而g (ln2)＝2＋b ln2－2＝b ln2>0，所以当x ∈(x 0，ln2)时，g (x )至少存在另外一个零点，矛盾．(14分) ②若x 0<0，g (x )在(x 0，＋∞)上为单调增函数，g (x 0)<g (0)＝0，而g (log b 2)＝elog b 2＋2－2＝elog b 2>0，所以g (x )在(log b 2，x 0)上存在另外一个解，矛盾．(15分)③当x 0＝log ⎝⎛⎭⎫e b (－ln b )＝0，则－ln b ＝1，解得b ＝1e ，此时方程为g (x )＝e x＋1e x －2＝0，由(1)得，只有唯一解x 0＝0，满足条件．综上所述，当b >1或b ＝1e 时，方程f (x )＝2有且只有一个解．(16分)20. 解析：(1) 因为S n ＝q n －r ，①所以S n －1＝q n －1－r ，(n ≥2)②①－②得S n －S n －1＝q n －q n －1，即a n ＝q n －q n －1，(n ≥2)，(1分)因为a n ＝p n －1，所以p n －1＝q n －q n －1，(n ≥2)，当n ＝2时，p ＝q 2－q ；当n ＝3时，p 2＝q 3－q 2. 因为p ，q 为正数，所以p ＝q ＝2.(3分)因为a 1＝1，S 1＝q －r ，且a 1＝S 1，所以r ＝1.(4分) (2) 因为2T n ＝nb n ，③当n ≥2时，2T n －1＝(n －1)b n －1，④③－④得2b n ＝nb n －(n －1)b n －1，即(n －2)b n ＝(n －1)b n －1，⑤(6分) 方法一：由(n －1)b n ＋1＝nb n ，⑥⑤＋⑥得(2n －2)b n ＝(n －1)b n －1＋(n －1)b n ＋1，(7分) 即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，所以{b n }为等差数列．(8分) 方法二：由(n －2)b n ＝(n －1)b n －1，得b nn －1＝b n －1n －2，当n ≥3时，b n n －1＝b n －1n －2＝…＝b 21，所以b n ＝b 2(n －1)，所以b n －b n －1＝b 2.(6分)因为n ＝1时，由2T n ＝nb n 得2T 1＝b 1，所以b 1＝0，则b 2－b 1＝b 2，(7分)所以b n －b n －1＝b 2对n ≥2恒成立，所以{b n }为等差数列．(8分)(3) 因为b 1＝0，b 2＝2，由(2)知{b n }为等差数列，所以b n ＝2n －2.(9分)又由(1)知a n ＝2n －1，所以P n ＝2n 2n －1＋2n ＋22n ＋…＋4n －422n －3＋4n －222n －2，P n ＋1＝2n ＋22n ＋…＋4n －422n －3＋4n －222n －2＋4n 22n －1＋4n ＋222n ，所以P n ＋1－P n ＝4n22n －1＋4n ＋222n －2n 2n －1＝12n ＋2－4n·2n4n ，(12分)令P n ＋1－P n >0得12n ＋2－4n·2n >0，所以2n <6n ＋12n ＝3＋12n <4，解得n ＝1，所以当n ＝1时，P n ＋1－P n >0，即P 2>P 1，(13分) 当n ≥2时，因为2n ≥4，3＋12n<4，所以2n >3＋12n ＝6n ＋12n，即12n ＋2－4n·2n <0，此时P n ＋1P 3>P 4>…，(14分)所以P n 的最大值为P n ＝2×22＋2×2＋222＝72，(15分)若存在正整数k ，使得对任意正整数n ，P n ≤k 恒成立，则k ≥P max ＝72，所以正整数k 的最小值为4.(16分)21. A . 解析：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以∠DAE ＝∠BCD ，∠F AE ＝∠BAC ＝∠BDC .(4分) 因为BC ＝BD ，所以∠BCD ＝∠BDC ，(6分) 所以∠DAE ＝∠F AE ，(8分)所以AE 是四边形ABCD 的外角∠DAF 的平分线．(10分)B . 解析：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧6－a ＝3，3b －1＝5，(3分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.(5分)令f (λ)＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，(7分) 解得λ＝－1或λ＝4，(9分)所以矩阵M 的特征值为－1和4.(10分)C . 解析：(1) 将M (2，3)及对应的参数φ＝π3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎨⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，所以曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1.(5分)(2) 曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，所以1ρ21＋1ρ22＝516.(10分) D . 解析：因为对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，所以f min (x )>a 2－3.(2分)因为|x －a |＋|x ＋a |≥|x －a －(x ＋a )|＝|2a |，所以|2a |>a 2－3， ①(4分) 方法一：即|a |2－2|a |－3<0，解得－1<|a |<3，(8分) 所以－3<a <3.(10分)方法二：①式等价于2a >a 2－3， ② 或2a <－a 2＋3， ③(6分) 由②得－1<a <3；(7分) 由③得－3<a <1，(8分) 所以－3<a <3.(10分)22. 解析：(1) 因为AC ⊥CB ，且DC ⊥平面ABC ，则以C 为原点，CB 为x 轴正方向，CA 为y 轴正方向，CD 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．(1分)因为AC ＝BC ＝BE ＝2，所以C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，O(1，1，0)，E(2，0，2)，D(0，0，2)，AD →＝(0，－2，2)，CE →＝(2，0，2)．(2分) 所以cos 〈AD →，CE →〉＝422×22＝12.(4分)所以AD 和CM 的夹角为60°.(2) 平面BCE 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，设平面OCE 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)．(6分)由CO →＝(1，1，0)，CE →＝(2，0，2)，n ⊥CO →，n ⊥CE →，得⎩⎪⎨⎪⎧n·CE →＝0，n·CO →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2z 0＝0，x 0＋y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z 0＝－x 0，y 0＝－x 0，(8分)令x 0＝－1，则n ＝(－1，1，1)．(9分)因为二面角OCEB 为锐角二面角，记为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n|＝33.(10分) 23. 解析：(1) 记该学生有i 门学科获得A 等级为事件A i ，i ＝1，2，3，4.(1分) ξ1的可能取值为0，1，2，3，5.(2分) 则P(A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫14i ⎝⎛⎭⎫344－i，(3分) 即P(A 0)＝81256，P(A 1)＝2764，P(A 2)＝27128，P(A 3)＝364，P(A 4)＝1256，则ξ1的分布列为所以E(ξ1)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋5×1256＝257256.(5分)(2) ξ2的可能取值为0，2，4，则 P (ξ2＝0)＝P(A 2)＝27128；(7分)P (ξ2＝2)＝P(A 1)＋P(A 3)＝2764＋364＝1532；(8分)P (ξ2＝4)＝P(A 0)＋P(A 5)＝81256＋1256＝41128，(9分)则ξ2的分布列为。