指数对数幂函数总结归纳

指数对数幂函数总结归纳 The following text is amended on 12 November 2020.

指数与指数幂的运算【学习目标】

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．

3．理解对数的概念及其运算性质．

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理. 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.

6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).

【要点梳理】

要点一、幂的概念及运算性质

1.整数指数幂的概念及运算性质

2.分数指数幂的概念及运算性质

为避免讨论，我们约定a>0，n，m N*，且m

n

为既约分数，分数指数幂可如下定

义：3．运算法则

当a ＞0,b ＞0时有：

（1）n m n m a a a +=⋅；

（2）()mn n

m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a

a n m n m

，； （4）()m m m b a ab =.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；

(3)幂指数不能随便约分.如2142

)4()4(-≠-.

要点二、根式的概念和运算法则

1．n 次方根的定义：

若x n =y(n ∈N *

，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y .

n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；

n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =.

2．两个等式

（1）当1n >且*n N ∈时，

()n n a a =； （2）⎩⎨⎧=)(||)

(,为偶数为奇数n a n a a n n

要点诠释：

①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．

②指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．

负指数幂化为正指数幂的倒数．

底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．

在化简运算中，也要注意公式：

a 2－

b 2＝（a －b ）（a ＋b ），a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2），

（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3

，的运用，能够简化运算.

指数函数及其性质

【要点梳理】 要点一、指数函数的概念：

函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.

要点诠释：

（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =⋅，12x

y =，31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：

①如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11,,24

x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．

②如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了。而a=0时y=0没意义．

要点二、指数函数的图象：

要点诠释：

（1）当底数大小不定时，必须分“1

a>”和“01

a

<<”两种情形讨论。

（2）指数函数x

y a

=与

1x

y

a

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

的图象关于y轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律

①x

y a

=②x

y b

=③x

y c

=④x

y d

=

则：0＜b＜a＜1＜d＜c

观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越陡，而且指数函数都过点（0,1）

又即：x∈(0,+∞)时，x x x x

b a d c

<<<（底大幂大）

x∈(－∞,0)时，x x x x

b a d c

>>>（底小幂小）

要点四、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

(2)中间量法：

(3)分类讨论法

(4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1A B

<即可． 对数及对数运算

【要点梳理】

要点一、对数概念

1.对数的概念

如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b .其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.

要点诠释：

对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.