分形算法与程序设计
几个生成典型分形图形的计算机算法
几个生成典型分形图形的计算机算法下面我们给出几个生成典型分形图形的计算机算法，这些算法在表述上较多地借助了C语言，读者也很容易用自己熟悉的其他计算机编程语言来实现，如Pascal、Basic等。
1.由高斯白噪声积分产生的一维布朗运动ALGORITHM WhiteGoiseBM（X,N,seed）Title Brownian motion by integration of white Gaussian noiseArguments X[] array of reals of size NN size of array Xseed seed value for random number generatorVariables I integerBEGINX[0]：=0InitGauss(seed)FOR i：=1 TO N-1 DOX[i]：=[i-1]+Gauss()/(N-1)END FORENDALGORITHM InitGauss(seed)Title Initialization of random number generatorsArguments seed seed value for random number generatorGlobals Arand rand()returns values between()and Arand,system dependentNrand number of samples of rand()to be taken in Gauss()GaussAdd real parameter for the linear transformationin Gauss()GaussFac real parameter for the linear transformation inGauss()Functions stand() initialization of system random numbersBEGINNrand：=4Arand：=power(2,31)-1GaussAdd：=sqrt(3*Nrand)GaussFac：=2*GaussAdd/(Nrand*Arand)srand(seed)ENDALGORITHM Gauss()Title Function retuming Gaussian random numberGlobals Nrand number of samples of rand()to be taken in Gauss()GaussAdd real parameter for the linear transformation in Gauss()GaussFac real parameter for the linear transformation in Gauss()Locals sum realI integerFunctions rand() system function for random numbersBECINsum：=0FOR i：=1 TO Nrand DOsum：=sum+rand()END FORRETURN(GaussFac*sum-GaussAdd)END2.Mandelbrot集生成算法ALGORITHM MSetCPM(Mset,nx,ny,xmin xman ymin,ymax,maxiter)Title Mandelbrot set via Continuous Potential Method(CPM)Arguments Mset[][] output array of real type,size nx by nynx,ny image resolution in x-and y-directionxmin,xmax low and high x-value of image windowymin,ymax low and high y-value of image window aspectratio of window is ：nx by nymaxiter maximal number of iterationsVariables ix,iy integercx,cy realFunctions MsetPot() returns potetial of a pointBEGINFOR iy=0 TO ny-1 DOcy ：=ymin+iy*(ymax-ymin)/(ny-1)FOR ix=0 TO nx-1 DOcx ：=xmin+ix*(xmax-xmin)/(nx-1)MSet[ix][iy] ：=MSetPot(cx,cy,maxiter)END FOREND FORENDALGORITHM MSetPot(cx,cy,maxiter)Title Function returning potential of a pointArguments cx,cy point to be testedmaxiter maximal number of iterationsVariables iter integerx,y,x2,y2 point coordinates and squarestemp real scratch variablepotential real variable,potentialBEGINx ：=cx;x2：=x*yy ：=cy;y2：=y*yiter ：=0WHILE(iter<maxiter)AND(x2+y2<10000.0)DOtemp ：=x2-y2+cxy ：=2*x*y+cyx ：=tempx2：=x*xy2：=y*yiter ：=iter+1END WHILEIF(iter<maxiter)THENpotential ：=0.5*log(x2+y2)/power(2.0,iter)ELSEpotential ：=0.0END IFRETURN(potential)END3.由迭代函数系生成图像的算法其中),,(r y x w 即为迭代关系函数。
分形算法与程序设计
分形算法与程序设计分形算法与程序设计什么是分形算法分形（fractal）是指一种可以无限递归并且具有自相似性质的几何形态。
分形算法就是通过迭代或递归的方式这种具有自相似性质的形态。
分形算法在计算机图形学、自然科学、金融等领域都有广泛的应用。
分形算法的一个关键特点是无限递归。
通过不断重复某一操作，可以出越来越复杂的形态。
具体操作可以是平移、缩放、旋转、映射等，这些操作可以用数学公式来表示。
分形算法的应用分形算法在计算机图形学中常常用来逼真且具有自然形态的图像。
通过合理的选择和组合不同的分形形态，可以出树形、云彩、地形等各种自然物体的效果。
在自然科学中，分形算法被用来模拟自然界的形态和现象。
分形可以用来模拟山脉的地形，叶子的纹理，云朵的形态等。
这些模拟能够帮助科学家更好地理解和研究自然现象。
，分形算法也被应用于金融领域。
通过分形理论，可以研究金融市场的波动和风险。
分形模型可以揭示金融市场中的自相似性和奇异性，从而提供更准确的预测和分析。
分形算法的程序设计分形算法的程序设计主要包括以下几个方面：1. 定义分形形状在程序设计中，需要明确要的分形形状的特征。
这包括形状的起始位置、大小、旋转角度等。
可以通过数学公式、迭代或递归的方式来定义分形形状。
2. 分形的迭代或递归分形形状的关键是迭代或递归的过程。
通过重复应用某一操作，可以越来越复杂的形态。
迭代或递归的次数决定了分形的细节程度。
3. 分形的绘制绘制分形形状可以使用计算机图形库或者绘图软件来实现。
根据分形形状的定义和迭代或递归的过程，可以计算出每个点的坐标，并将其绘制出来。
4. 分形的优化分形算法的性能优化是程序设计中的一大挑战。
由于分形的迭代或递归过程非常复杂，很容易导致程序运行时间过长或者内存消耗过大。
可以通过优化算法、并行计算等手段来提高分形算法的效率。
分形算法是一种通过迭代或递归的方式具有自相似性质的形态的算法。
它在计算机图形学、自然科学、金融等领域都有广泛的应用。
计算机本科毕业论文PPT - 三维分形图生成算法的研究及程序实现
2. 递归算法——生成三维图形
Visual C++环境下生成三维Sierpinski海绵及其变形的研究 1 离散的海绵 若在控制立方体生成的函数中将立方体边长统一减小， 则生成的小立方体会缩小，不能再连结起来，整个海 绵就呈离散状态。 2带锯齿的海绵 如果使生成立方体的某一个角向外延伸，不断循环后， 将会使某一侧面的许多角向外，呈锯齿状；如果凸出 较长，则呈尾巴状。 3彗星与流星 将离散的海绵与带锯齿的海绵结合， 可以生成拖着长长尾巴的彗星与流星图形。
ax 1 by 1 e x 1 ' ' ax 2 by 2 e x 2 ' ax by e 植物形态
相似变换与仿射变换 相似变换是指在各个方向上变换的比率必须相同的一种比例变换，仿 射变换是指在不同方向上变化的比率可以不同的一种比例变换。 二维仿射变换的数学表达式为：
x' ax by e x r1 cos1 r2 sin 2 x e : 或 r sin 2 y f 1 r2 cos y 1 y' cx dy f
迭代函数系统的基本思想为：在仿射变换的意义下，几何对象的局部 与整体具有自相似的结构。根据这种自相似性，从一个点或一个简单 的几何图形出发，按一定的规则迭代，一生二，二生三，三生万物， 直到生成一幅复杂的图像。最终得到的目标点集与初始点集无关，而 只取决于迭代的规则，即一组仿射变换的系数，这一图像生成系统称 为迭代函数系统。
3. IFS迭代算法——模拟三维植物形态
用拼贴法确定IFS码 利用IFS方法生成分形图的关键是找出图形所对应的IFS码。
分形算法与程序设计(一)2024
分形算法与程序设计（一）引言概述：分形算法与程序设计是一个有趣且复杂的领域，在计算机科学和数学中有着广泛的应用。
分形是一种自相似的几何形状，可以通过迭代的方式生成复杂的图案。
本文将介绍分形算法的基础知识，并探讨如何使用程序设计实现分形图案的生成。
正文：一、分形算法的基础概念1.1 分形几何的定义和特征1.2 分形算法的基本原理1.3 分形维度的计算方法1.4 分形图案的生成方法1.5 分形算法与自然界的应用二、分形图形的生成算法2.1 基于迭代的分形算法2.1.1 谢尔宾斯基三角形的生成2.1.2 曼德博集合的计算2.1.3 Julia集的绘制2.1.4 Barnsley蕨叶的生成2.2 基于分形函数的图像生成算法2.2.1 分形管弦乐2.2.2 朱利亚集合的绘制2.2.3 曼德博集合的计算2.2.4 Barnsley蕨叶的生成2.2.5 伪随机分形的生成三、分形算法在图像处理中的应用3.1 分形压缩算法3.2 分形编码算法3.3 分形噪声生成3.4 分形纹理生成3.5 分形图案的艺术应用四、分形算法的性能优化方法4.1 迭代次数的控制4.2 并行计算加速技术4.3 分形图像的存储和渲染优化4.4 数据结构的选择和优化4.5 算法参数的优化和调整五、分形算法与程序设计的挑战与思考5.1 分形算法的时间复杂度分析5.2 分形算法的空间复杂度分析5.3 算法的收敛性和稳定性问题5.4 分形算法的扩展性和可移植性问题5.5 未来发展方向和应用前景展望总结：通过本文的介绍，我们了解到分形算法与程序设计的关系和应用，并深入探讨了分形算法的基础概念、生成算法、应用领域、性能优化方法以及算法设计中的挑战与思考。
分形算法不仅在数学和计算机领域有着重要的地位，还在图像处理、艺术创作等领域发挥着重要作用。
希望本文能对读者深入理解分形算法与程序设计提供一定的指导和启发。
计算机本科毕业论文全文 - 三维分形图生成算法的研究及程序实现
中文摘要本文主要研究三维分形图的生成技术。
首先探讨了原理简单的递归算法，该算法适于生成各种三维图形。
分析了二维与三维分形递归算法的主要步骤、部分实现代码并在此基础上生成了三维图和图的变形。
接着讨论了迭代函数系统（IFS）的原理及相关算法，分析了IFS码的获取方法以及各IFS码在图像生成中的地位和作用。
重点研究二维的IFS算法如何扩展到三维，介绍了生成三维植物分形图的算法思路和主要步骤。
最后还介绍了能逼真再现山和云等自然景物的随机中点位移算法和分形插值算法。
关键词：分形图形学，递归算法，IFS迭代函数系统，随机中点位移算法，分形插值算法。
ABSTRACTThis thesis does research on three-dimensional fractal graphics.At first, it probes into Recursion Arithmetic, which has very simple principle but is able to create all kinds of three-dimensional graphics. It analyses the main steps of two-dimensional and three-dimensional fractal Recursion Arithmetic, part of the program and some ameliorations of the graphics.Then it discusses the principle and the related arithmetic for Iteration Function System (IFS). It analyses the ways that how to get IFS codes and their status and function in fractal graphics. It pays attention to the research on how to make two-dimensional IFS Arithmetic expand to three-dimensional IFS Arithmetic. It introduces the arithmetic and main steps of creating three-dimensional foliage fractal graphics.At last, it introduces Stochastic Midpoint Displacement Arithmetic and Detached Data Input Arithmetic, which can simulate scenery very naturally.Keywords: Fractal graphics, Recursion Arithmetic, Iteration Function System (IFS), Stochastic Midpoint Displacement Arithmetic, Detached Data Input Arithmetic.目录1. 绪论1.1引言 (1)1.2分形图形学简介 (1)1.3研究意义 (3)1.4研究背景 (4)1.5本文工作 (5)2. 递归算法——生成三维图形2.1自相似性 (6)2.2递归原理 (6)2.3二维中Sierpinski地毯的递归算法 (7)2.4三维中Sierpinski海绵的递归算法 (8)2.5 Visual C++环境下生成三维Sierpinski海绵及其变形的研究 (11)3. IFS迭代算法——模拟三维植物形态3.1相似变换与仿射变换 (12)3.2用拼贴法确定IFS码 (13)3.3 二维IFS迭代算法得到植物形态 (15)3.4三维IFS迭代算法逼真模拟植物形态 (17)3.5 二维IFS迭代与三维IFS迭代的比较 (20)4. 其它三维分形算法——逼真再现山和云4.1随机中点位移算法实现三维分形 (20)4.2分形插值算法实现三维分形 (23)5.结论5.1工作总结 (26)5.2有待改进之处 (26)附录 (28)参考文献 (34)三维分形图生成算法的研究及程序实现1. 绪论1．1 引言事实上，无论从美学的观点还是从科学的观点，许多人在第一次见到分形时都有新的感受。
分形算法与程序设计
分形算法与程序设计分形算法与程序设计引言什么是分形算法分形是一种自相似的形状，即整体的结构与其部分的结构非常相似。
分形算法是用来和处理分形的一种方法，通过迭代运算来逐渐构建出具有分形特征的图像或形状。
分形算法在图像处理、计算机图形学、自然科学等领域都有广泛的应用。
分形算法的基本原理分形算法的基本原理是通过递归和迭代运算来自相似的图像或形状。
它通常由以下步骤组成：1. 定义初始形状：选择一个基本的形状作为初始形状。
2. 分割形状：将初始形状分割成若干个小块。
3. 变形形状：对每个小块进行形状变换，可以缩放、旋转、平移等。
4. 重复步骤2和3：对每个小块进行递归操作，重复步骤2和3，直到达到预设的终止条件。
通过不断重复上述步骤，可以逐渐构建出具有分形特征的图像或形状。
分形程序设计分形程序设计是指利用计算机编程语言来实现分形算法的过程。
程序设计者可以根据自己的需求和创造力，设计出各种有趣的分形效果。
在分形程序设计中，常用的编程语言有C、C++、等。
以下以语言为例，介绍一个简单的分形程序：import turtledef draw_fractal(length, angle, depth):if depth == 0:turtle.forward(length)else:turtle.forward(length)turtle.left(angle)draw_fractal(length 0.6, angle, depth 1)turtle.right(angle 2)draw_fractal(length 0.6, angle, depth 1)turtle.left(angle)turtle.backward(length) turtle.speed(0)turtle.penup()turtle.goto(-150, 150)turtle.pendown()turtle.color(\。
分形图程序
（1）Koch曲线程序koch.mfunction koch(a1,b1,a2,b2,n)%koch(0,0,9,0,3)%a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3;%第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中[A,B]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2);for i=1:nfor j=1:length(A)/5;w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j));for k=1:4[AA(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)]=sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4));endendA=AA;B=BB;endplot(A,B)hold onaxis equal%由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中function [A,B]=sub_koch1(ax,ay,bx,by)cx=ax+(bx-ax)/3;cy=ay+(by-ay)/3;ex=bx-(bx-ax)/3;ey=by-(by-ay)/3;L=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2);alpha=atan((ey-cy)./(ex-cx));if (ex-cx)<0alpha=alpha+pi;enddx=cx+cos(alpha+pi/3)*L;dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L;A=[ax,cx,dx,ex,bx];B=[ay,cy,dy,ey,by];%把由函数sub_koch1生成的五点横、纵坐标A,B顺次划分为四组,分别对应四条折线段中%每条线段两端点的坐标,并依次分别存储在4*4阶矩阵k中,k中第i(i=1,2,3,4)行数字代表第%i条线段两端点的坐标function w=sub_koch2(A,B)a11=A(1);b11=B(1);a12=A(2);b12=B(2);a21=A(2);b21=B(2);a22=A(3);b22=B(3);a31=A(3);b31=B(3);a32=A(4);b32=B(4);a41=A(4);b41=B(4);a42=A(5);b42=B(5);w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;a31,b31,a32,b32;a41,b41,a42,b42];（2）Levy 曲线程序levy.mfunction levy(n)% levy(16),n为levy曲线迭代次数%x1,y1,x2,y2为初始线段两端点坐标,nn为迭代次数n=16;x1=0;y1=0;x2=1;y2=0;%第i-1次迭代时由各条线段产生的新两条线段的三端点横、纵坐标存储在数组X、Y中[X,Y]=levy1(x1,y1,x2,y2);for i=1:nfor j=1:length(X)/3w=levy2(X(1+3*(j-1):3*j),Y(1+3*(j-1):3*j));[XX(3*2*(j-1)+1:3*2*(j-1)+3),YY(3*2*(j-1)+1:3*2*(j-1)+3)]=levy1(w(1,1),w(1,2) ,w(1,3),w(1,4));[XX(3*2*(j-1)+3+1:3*2*(j-1)+3+3),YY(3*2*(j-1)+3+1:3*2*(j-1)+3+3)]=levy1(w (2,1),w(2,2),w(2,3),w(2,4));endX=XX;Y=YY;endplot(X,Y)hold onaxis equal%由以(x1,y1),(x2,y2)为端点的线段生成新的中间点坐标并把(x1,y1),(x2,y2)连同新点横、纵坐%标依次分别存储在数组X,Y中function [X,Y]=levy1(x1,y1,x2,y2)x3=1/2*(x1+x2+y1-y2);y3=1/2*(-x1+x2+y1+y2);X=[x1,x3,x2];Y=[y1,y3,y2];%把由函数levy1生成的三点横、纵坐标X,Y顺次划分为两组,分别对应两条折线段中每条线%段两端点的坐标,并依次分别存储在2*4阶矩阵w中,w中第i(i=1,2)行数字代表第i条线段%两端点的坐标function w=levy2(X,Y)a11=X(1);b11=Y(1);a12=X(2);b12=Y(2);a21=X(2);b21=Y(2);a22=X(3);b22=Y(3);w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22];（3）分形树程序tree.hfunction tree(n,a,b)% tree(8,pi/8,pi/8),n为分形树迭代次数%a,b为分枝与竖直方向夹角%x1,y1,x2,y2为初始线段两端点坐标,nn为迭代次数n=8;a=pi/8;b=pi/8;x1=0;y1=0;x2=0;y2=1;plot([x1,x2],[y1,y2])hold on[X,Y]=tree1(x1,y1,x2,y2,a,b);hold onW=tree2(X,Y);w1=W(:,1:4);w2=W(:,5:8);% w为2^k*4维矩阵,存储第k次迭代产生的分枝两端点的坐标,% w的第i(i=1,2,…,2^k)行数字对应第i个分枝两端点的坐标w=[w1;w2];for k=1:nfor i=1:2^k[X,Y]=tree1(w(i,1),w(i,2),w(i,3),w(i,4),a,b);W(i,:)=tree2(X,Y);endw1=W(:,1:4);w2=W(:,5:8);w=[w1;w2];end%由每个分枝两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)产生两新点的坐标(x3,y3),(x4,y4),画两分枝图形,并把%(x2,y2)连同新点横、纵坐标分别存储在数组X,Y中function [X,Y]=tree1(x1,y1,x2,y2,a,b)L=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);if (x2-x1)==0a=pi/2;else if (x2-x1)<0a=pi+atan((y2-y1)/(x2-x1));elsea=atan((y2-y1)/(x2-x1));endendx3=x2+L*2/3*cos(a+b);y3=y2+L*2/3*sin(a+b);x4=x2+L*2/3*cos(a-b);y4=y2+L*2/3*sin(a-b);a=[x3,x2,x4];b=[y3,y2,y4];plot(a,b)axis equalhold onX=[x2,x3,x4];Y=[y2,y3,y4];%把由函数tree1生成的X,Y顺次划分为两组,分别对应两分枝两个端点的坐标,并存储在一维%数组w中function w=tree2(X,Y)a1=X(1);b1=Y(1);a2=X(2);b2=Y(2);a3=X(1);b3=Y(1);a4=X(3);b4=Y(3);w=[a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4];（4）IFS算法画Sierpinski三角形程序sierpinski_ifs.h function sierpinski_ifs(n,w1,w2,w3)%sierpinski_ifs(10000,1/3,1/3,1/3)%w1,w2,w3出现频率n=10000;w1=1/3;w2=1/3;w3=1/3;M1=[0.5 0 0 0 0.5 0];M2=[0.5 0 0.5 0 0.5 0];M3=[0.5 0 0.25 0 0.5 0.5];x=0;y=0;% r为[0,1]区间内产生的n维随机数组r=rand(1,n);B=zeros(2,n);k=1;% 当0<r(i)<1/3时,进行M1对应的压缩映射;% 当1/3=<r(i)<2/3时,进行M2对应的压缩映射;% 当2/3=<r(i)<1时,进行M3对应的压缩映射;for i=1:nif r(i)<w1a=M1(1);b=M1(2);e=M1(3);c=M1(4);d=M1(5);f=M1(6);else if r(i)<w1+w2a=M2(1);b=M2(2);e=M2(3);c=M2(4);d=M2(5);f=M2(6);else if r(i)<w1+w2+w3a=M3(1);b=M3(2);e=M3(3);c=M3(4);d=M3(5);f=M3(6);endendendx=a*x+b*y+e;y=c*x+d*y+f;B(1,k)=x;B(2,k)=y;k=k+1;endplot(B(1,:),B(2,:),'.','markersize',0.1)（5）IFS算法画Julia集程序julia_ifs.h function julia_ifs(n,cx,cy)% julia_ifs(100000,-0.77,0.08)% f(z)=z^2+c,cx=real(c);cy=image(c);n=10000;cx=-0.77;cy=0.08;% z^2+c=z0,x=real(z0);y=image(z0);x=1;y=1;B=zeros(2,n);k=1;% A为产生的服从标准正态分布的n维随机数组A=randn(1,n);for i=1:nwx=x-cx;wy=y-cy;if wx>0alpha=atan(wy/wx);endif wx<0alpha=pi+atan(wy/wx);endif wx==0alpha=pi/2;endalpha=alpha/2;r=sqrt(wx^2+wy^2);if A(i)<0r=-sqrt(r);elser=sqrt(r);endx=r*cos(alpha);y=r*sin(alpha);B(1,k)=x;B(2,k)=y;k=k+1;endplot(B(1,:),B(2,:),'.','markersize',0.1)(6) 逃逸时间算法画Sierpinski垫片程序sierpinski.h function sierpinski(a,b,c,d,n,m,r)%sierpinski(0,0,1,1,12,200,200)%(a,b),(c,d)收敛区域左上角和右下角坐标,m为分辨率% n为逃逸时间,需要反复试探,r逃逸半径a=0;b=0;c=1;d=1;n=12;m=200;r=200;B=zeros(2,m*m);w=1;for i=1:mx0=a+(c-a)*(i-1)/m;for j=1:my0=b+(d-b)*(j-1)/m;x=x0;y=y0;for k=1:nif y>0.5x=2*x;y=2*y-1;else if x>=0.5x=2*x-1;y=2*y;elsex=2*x;y=2*y;endif x^2+y^2>rbreak;endendif k==nB(1,w)=i;B(2,w)=j;w=w+1;endendendplot(B(1,:),B(2,:),'.','markersize',0.1)(7) 元胞自动机算法画Sierpinski三角形程序一维元胞自动机sierpinski_ca1.hfunction sierpinski_ca1(m,n)%sierpinski_ca1(1000,3000)m=1000;n=3000;x=1;y=1;t=1;w=zeros(2,m*n);s=zeros(m,n);s(1,fix(n/3))=1;for i=1:m-1for j=2:n-1if (s(i,j-1)==1&s(i,j)==0&s(i,j+1)==0)|(s(i,j-1)==0&s(i,j)==0&s(i,j+1)==1)s(i+1,j)=1;w(1,t)=x+3+3*j;w(2,t)=y+5*i;t=t+1;endendendplot(w(1,:),w(2,:),'.','markersize',1)² 二维元胞自动机sierpinski_ca2.h function sierpinski_ca2(m,n)%sierpinski_ca2(400,400)m=400;n=400;t=1;w=zeros(2,m*n);s=zeros(m,n);s(m/2,n/2)=1;for i=[m/2:-1:2,m/2:m-1]for j=[n/2:-1:2,n/2:n-1]ifmod(s(i-1,j-1)+s(i,j-1)+s(i+1,j-1)+s(i-1,j)+s(i+1,j)+s(i-1,j+1)+s(i,j+1)+s(i+1,j+1),2)== 1s(i,j)=1;w(1,t)=i;w(2,t)=j;t=t+1;endendendplot(w(1,:),w(2,:),'.','markersize',0.1)(8) IFS算法画Helix曲线程序helix_ifs.hfunction helix_ifs(n,w1,w2,w3)%helix_ifs(20000,0.9,0.05,0.05)%w1,w2,w3为出现频率n=20000;w1=0.9;w2=0.05;w3=0.05;M1=[0.787879 -0.424242 1.758647 0.242424 0.859848 1.408065]; M2=[-0.121212 0.257576 -6.721654 0.05303 0.05303 1.377236]; M3=[0.181818 -0.136364 6.086107 0.090909 0.181818 1.568035]; x=0;y=0;% r为[0,1]区间内产生的n维随机数组r=rand(1,n);B=zeros(2,n);k=1;% 当0<r(i)<1/3时,进行M1对应的压缩映射;% 当1/3=<r(i)<2/3时,进行M2对应的压缩映射;% 当2/3=<r(i)<1时,进行M3对应的压缩映射;for i=1:nif r(i)<w1a=M1(1);b=M1(2);e=M1(3);c=M1(4);d=M1(5);f=M1(6);else if r(i)<w1+w2a=M2(1);b=M2(2);e=M2(3);c=M2(4);d=M2(5);f=M2(6);else if r(i)<w1+w2+w3a=M3(1);b=M3(2);e=M3(3);c=M3(4);d=M3(5);f=M3(6);endendendx=a*x+b*y+e;y=c*x+d*y+f;B(1,k)=x;B(2,k)=y;k=k+1;endplot(B(1,:),B(2,:),'.','markersize',0.1)/link?url=CEfKyhT7lmb10gOVen5eSHpjztx2JuN1vJf02qoyK9oXrqfTYE TbwxhPSE7QdgQrzqObbSGfbQixLyP3U09MokUvaST2CcsGP4uFqYi6YF_小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。
分形算法及C++实现
分形算法及C++实现分形简介我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。
分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。
这些例子在我们的身边到处可见。
分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
例如，首先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星……如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。
2．分形中的迭代函数系统相似变换是指在各个方向上变换的比率必须相同的一种比例变换；仿射变换是指在不同的方向上变换的比率可以不同的一种比例变换。
仿射变换的数学表达式为：其中，a，b，c，d，e，f是仿射变换系数。
对于比较复杂的图形，可能需要多个不同的仿射变换来实现，而且，每个仿射变换被调用的概率不一定相同，所以引进一个参数概率p。
a，b，c，d，e，f，p 就构成了一个IFS码。
3．分形中计算机模拟算法递归算法。
字符串替换算法。
迭代函数系统算法。
逃逸时间算法。
分形c程序
分形图案分形图是一种较为流行的艺术图形。
所谓分形，就是指组成部分与整体以某种方式相似，局部放大后可以在某种程度上再现整体，如图25所示，为一颗树的分形图，该树是由一些分支构成的，就其中某个分支来看，它具有与整颗树相似的形状。
绘制的原则是，先按某一方向画一条直线，然后在此线段上找到一系列节点，在每一个节点处向左、右偏转60度各画一条分支。
节点位置和节点处所画分支的长度比值按0.618分割。
/*分形图案1 QW41.C*/#define g 0.618#define PAI 3.14#include <graphics.h>#include<math.h>#include<stdio.h>#include<conio.h>float thita=60.0;void grow(int x,int y,float lenth,float fai);void main(){int gm,gd;detectgraph(&gd,&gm);initgraph(&gd,&gm,"\\tc\\bgi");grow(300,300,280.0,90.0);getch();closegraph();}void grow(int x,int y,float lenth,float fai){int x1,y1;int nx,ny,count;float nlenth;x1=x+lenth*cos(fai*PAI/180.0);y1=y-lenth*sin(fai*PAI/180.0);line(x,y,x1,y1);if(lenth<10)return;nlenth=lenth;nx=x;ny=y;for(count=0;count<7;count++){nx=nx+nlenth*(1-g)*cos(fai*PAI/180.0);ny=ny-nlenth*(1-g)*sin(fai*PAI/180.0);grow(nx,ny,nlenth*(1-g),fai+thita);grow(nx,ny,nlenth*(1-g),fai-thita);nlenth*=g;}}运行结果如下：------------------------------------------------------------------------------------2、分形图案2此例中也是一个分形图案。
分形算法与应用
《分形算法与应用》教学大纲1 课程的基本描述课程名称：分形算法与应用Algorithm and Application of Fractal 课程编号：5301A36课程性质：专业课适用专业：计算机专业教材选用：孙博文编著，《分形算法与程序设计》，科学出版社，2004.11总学时：32学时理论学时：32学时实验学时：0学时课程设计：无学分：2学分开课学期：第七学期前导课程：算法分析后续课程：毕业设计2 教学定位2.1 能力培养目标通过本课程的学习，培养学生的认知和理解能力、逻辑思维能力，以及算法设计与分析能力，程序设计和实现能力。
一方面使学生掌握非规则图形的计算机绘制的基本方法，以便实现对不规则对象的算法设计。
另一方面，学习本课程的过程也是进行复杂程序设计的训练过程。
2.2 课程的主要特点本课程是一门重要的专业课，有理论性、设计性与实践性的特点。
介绍分形的基本概念及算法设计的基本方法。
它是介于计算机软件、程序设计和数学三门课程之间的核心课程。
不仅为后续专业课提供了必要的知识基础，也为计算机、软件工程的专业人员提供了必要的技能训练。
2.3 教学定位通过本课程的学习，使学生达到知识和技能两方面的目标：1．知识方面：从算法设计及其实现这两个层次的相互关系的角度，系统地学习和掌握非规则图形的算法设计方法，了解并掌握分析、比较和选择不同非规则结构的设计方案，不同运算实现的原则和方法。
2．技能方面：系统地学习和掌握在不同非规则对象实现的不同算法及其设计思想，从中体会并掌握结构选择和算法设计的思维方式及技巧，使分析问题和解决问题的能力得到提高。
3 知识点与学时分配3.1掌握分形的基本概念分形简介分形分维分形的测量共2学时3.2分形图生成算法之一分形图的递归算法Cantor三分集、Koch曲线、Sierpinski垫片、Peano曲线、分形树等的递归算法。
共2学时3.3分形图生成算法之二文法构图算法LS文法、单一规则的LS文法生成、多规则的LS文法生成、随机LS文法生成。
基于OpenGL的分形体算法及程序设计-样例
报告人：XXX 指导老师：XXX
提纲
论文的目的与意义 基本概念介绍 与本研究相关的国内外的研究现状 研究内容和拟解决的关键问题 研究方法及思路 预期研究成果 论文进度计划
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论文的目的与意义
分形研究对象为自然界和现实生活中广泛存在 的非规则而具有自相似特性的几何形态。 分形算法是现代非线性科学研究中十分活跃的一 个数学分支，它的基本思想是利用整体与局部相似 的特点，将一个复杂现象看成有简单现象迭代而成， 从而揭示复杂现象中所蕴含的规律和特性，适合于 解决复杂问题。
15
与本研究相关的国内外的研究 现状
分形几何的应用研究 ： 在图像、数据压缩方面的研究； 在计算机图形学中应用 ； 在生命科学中的应用 ； 分形生长模型 ； 分形在社会科学中的应用 。
16
研究内容
熟悉常用分形算法思想，包括文法构图 的分形方法、IFS迭代函数系统分形方法、分 形插值法、随机中点位移法等。结合生成自 然景物的分形算法用VC++实现算法。熟练掌 握OpenGL基本概念，工作原理，能应用 OpenGL进行三维形体建模，掌握渲染颜色， 光照，纹理等方法。最终在MFC框架下实现三 维自然景物模拟仿真。
10分形实例11源自基本概念介绍——OpenGL
OpenGL（Open Graphics Language，开放 式的图形语言） ,由SGI公司提出并最终成为一 个工业标准的计算机三维图形软件开发接口。 OpenGL自1992年出现以来，逐渐发展完 善，已成为一个唯一开放的，独立于应用平台 的图形标准，一个典型的OpenGL应用程序可 以在任何平台上运行--只需要使用目标系统的 OpenGL库重新编译一下。
分形图生成算法与实例
图 9_1 n=6 时 Sierpinski 垫片生成图
图 9_2 n=10 时 Sierpinski 垫片生成图
2.4 分支结构分形递归算法 研究如下图的分支结构图的递归算法
图 10 分支结构分形图
细分此分支结构，建立模型如下，其中取 A 为起点，且记 A 点坐标为 ( x, y ) ， B 点坐标为 ( x1 , y1 ) ，线段 AB = L, BC = BD = alpha, 递归深度为 n. 2 L. 且设定 AB 与水平面的夹角为 3
%画出图形 %递归终止条件
%计算 L %计算 α
alpha=atan((ey-cy)/(ex-cx)); if((ex-cx)<0) { alpha=alpha+pi; } dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; Koch(ax,ay,cx,cy); Koch(ex,ey,bx,by); Koch(cx,cy,dx,dy); Koch(dx,dy,ex,ey); } } 最后实现的结果如图 6 所示
line([x1,x1R],[y1,y1R],'Color','g','LineWidth',2);hold on; tree(x2,y2,L/s3,A-C); tree(x2L,y2L,L/s2,A+B); tree(x2R,y2R,L/s2,A-B); tree(x1L,y1L,L/s2,A+B); tree(x1R,y1R,L/s2,A-B); end 故设定 α = π α α , β = , γ = . 可以得出分形树的生成图如下 2 3 8 %递归调用
初识分形
精细结构
任意小局部总是包含细致的结构。
Байду номын сангаас
参考书：《分形算法与程序设计》
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1.3 分形的度量
（1）长度的测量 Length(n=0)=1 Length(n=1)=4/3 Length(n=2)=16/9 ………… Length=lim(Length(n))
n→∞
=lim(4/3)n= ∞
n→∞
参考书：《分形算法与程序设计》
第 1 章 初识分形
1.1 Fractal 的含义 1.2 分形的几何特征 1.3 分形的度量
1.4 分形维数 1.5 分形是一种方法论 1.6 分形与计算机图形学
参考书：《分形算法与程序设计》
1
1.1 Fractal 的含义
英文单词Fractal，在大陆被译为“分形”，在台湾被译为 “碎形”。它是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot） 创造出来的。其含义是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是 想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大 类复杂无规的几何对象。
分形作为一种方法，在图形学领域主要是利用迭代、递归等技 术来实现某一具体的分形构造。
分形几何学与计算机图形学相结合，将会产生一门新的学科— —分形图形学。它的主要任务是以分形几何学为数学基础，构造非规 则的几何图素，从而实现分形体的可视化，以及对自然景物的逼真 模拟。
参考书：《分形算法与程序设计》
9
欧氏空间中的面积为0。如此看来，Koch曲线在传统欧氏空间中
不可度量。
参考书：《分形算法与程序设计》
5
1.4 分形维数
分形维数是分形的很好的不变量，它一般是分数，用它可以 把握住分形体的基本特征。
分形维数计算程序的设计及其应用
[收稿日期] 2004-10-09[作者简介] 黄小葳(1960)),男,北京市人,北京联合大学生物化学工程学院副教授,硕士,专业方向为计算化学。
分形维数计算程序的设计及其应用黄小葳(北京联合大学生物化学工程学院,北京 100023)[摘 要] 分形维数能够表征自然形态的某些特性,通过对原始数字图像的分析和研究,采用适当的处理方法,将数字图像转化为分形图像,并根据分形图像计算分形维数。
利用Visual Basic(简称VB)完成了基于Windows 平台的分形维数计算程序的设计,并以直线、矩形、康托尘、科赫曲线等分形图形对其进行了检验。
在此基础上,利用该程序对一些分形图像进行了研究。
[关键词] 分形;分形维数;VB 程序设计;应用[中图分类号] TP 3 [文献标识码] A [文章编号] 1005-0310(2004)04-0033-04 分形几何学(fractal geometry)是1975年法国数学家曼德尔布罗特(Benoit B.Mandelbrot)正式提出并创立的一种探索自然界复杂形态的数学分支[1]。
它与传统的几何学不同,可以更加深刻地描述自然界中那些初看起来杂乱无章的自然形态。
它从自然几何学入手,进而在近十几年来已推广到物理、化学、地学、材料工程、计算机科学、生物、医学等领域,甚至在经济学、艺术学、社会科学等其他方面也展现了令人注目的应用前景[2~5]。
传统的数学家研究的是点、直线、平面和各种规整的三维几何物体;传统的物理学家则习惯于和平整光滑或规则的形体打交道。
于是云彩、泥土、岩石等这类不规则、粗糙的物体便与数学、物理学的研究无缘了。
曼德尔布罗特说:/浮云不呈球形,山峰不是锥体,海岸线不是圆圈,树皮并不光滑,闪电从不沿直线行进。
0分形几何学的建立,使研究这些被传统几何学排除在外的不规则形体成为可能。
自然界中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形。
一般地说,分形具有以下一些特征:具有精细的结构(无限可分性);整体与局部有某种自相似性;分形图形的维数一般不是整数,而是分数;分形不能用传统的几何来描述。
分形算法与程序设计简版
分形算法与程序设计分形算法与程序设计简介分形算法是一种通过迭代的方式自相似的图形模式的数学算法。
这种算法能够创建出异常复杂的图形，其能够展现出许多自然界中的现象，如山脉、树木的分支、云彩的形状等。
在程序设计领域中，分形算法广泛应用于图像处理、动画效果、模拟仿真等领域。
本文将介绍分形算法的原理和常见的程序设计实现方法。
分形算法的原理分形的概念最早由法国数学家Mandelbrot在1975年提出。
简而言之，分形是指一个图形在各种尺度上都有相似的结构。
分形算法的核心思想是通过简单的规则和迭代运算复杂的图像。
常见的分形算法有分形树、分形曲线、分形花等。
分形树分形树是指通过树状结构来表示的分形图形。
分形树的通常从一个根节点开始，然后通过递归的方式分支出更多的节点，直到满足终止条件。
每个节点的分支角度和长度通常是根据一定规则计算得到的。
分形树的形状可以通过调整分支角度、长度比例等参数进行变化。
分形曲线分形曲线是指通过曲线的递归运算的分形图形。
最著名的分形曲线之一是科赫曲线。
科赫曲线的方法是将一条线段分成三个相等长度的部分，并将中间一段部分替换成一个等边三角形边的部分。
然后对每个新的线段再次进行相同的分割，迭代足够多次后，得到了科赫曲线。
分形花分形花是指通过对称生长的方式的分形图形。
分形花的通常是通过指定起始点和起始角度，然后通过递归地对称地绘制一部分花瓣。
常见的分形花有科赫雪花、玫瑰花等。
分形花的方法可以通过调整起始点、起始角度以及对称规则等参数进行变化。
分形算法的程序设计实现在程序设计中，可以使用多种编程语言实现分形算法。
以下以Python语言为例，介绍分形算法的程序设计实现。
分形树的实现```pythonimport turtledef draw_branch(t, branch_length):if branch_length < 5:returnelse:t.forward(branch_length)t.left(45)draw_branch(t, branch_length 0.6) 递归调用 t.right(90)draw_branch(t, branch_length 0.6) 递归调用 t.left(45)t.backward(branch_length)def draw_tree():t = turtle.Turtle()t.speed(10) 设置绘制的速度t.left(90) 设置起始角度draw_branch(t, 100) 从根节点开始绘制turtle.done()draw_tree()```上述Python代码使用了[turtle]()库来实现分形树的绘制。
经典的分形算法 (1)
经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。
它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。
这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。
1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。
以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。
分形算法与程序设计2023简版
分形算法与程序设计分形算法与程序设计引言分形（Fractal）是一种具有自相似性质的图形或者物体，其部分结构在不同的尺度上都与整体结构非常相似。
分形算法是指通过递归或迭代的方式分形图形的算法。
分形算法的应用非常广泛，在计算机图形学、自然科学、金融等领域都有重要的应用。
本文将首先介绍分形的基本概念，然后探讨常见的分形算法和程序设计实现。
分形的基本概念分形是由法国数学家Mandelbrot在20世纪70年代提出的。
分形图形具有以下几个特点：1. 自相似性：分形图形的部分结构在不同的尺度上与整体结构相似。
即无论是放大还是缩小，分形图形的局部细节都保持不变。
2. 无限细节：分形图形可以无限地细分下去，每一次细分都会出现更多的细节。
3. 定义简单：虽然分形图形的形态复杂，但是其规则通常非常简单，只需要通过一些基本的几何变换和迭代运算即可。
常见的分形算法1. Mandelbrot集Mandelbrot集是一种非常经典的分形图形，其规则基于复数的迭代运算。
具体算法如下：1. 假设C为一个复数，初始值为C=0。
2. 迭代计算：对于每个点（x, y），计算该点对应的复数Z，并进行迭代运算：Z = Z^2 + C。
3. 如果迭代次数超过了设定的阈值或者计算出的Z的模超过了设定的阈值，则将该点归为Mandelbrot集；否则，将该点归为非Mandelbrot集。
2. Julia集Julia集是一种与Mandelbrot集类似的分形图形，其规则也基于复数的迭代运算。
具体算法如下：1. 假设C为一个复数，初始值为每个点（x, y）对应的复数Z。
2. 迭代计算：对于每个点（x, y），计算该点对应的复数Z，并进行迭代运算：Z = Z^2 + C。
3. 如果迭代次数超过了设定的阈值或者计算出的Z的模超过了设定的阈值，则将该点归为Julia集；否则，将该点归为非Julia 集。
3. 分形树分形树是一种通过递归的方式的分形图形。
分形之Julia集及其算法实现
分形之Julia集及其算法实现成绩：课程名称：智能信息处理概论分形之Julia集及其算法实现摘要：本文从自然界的几何现象引出分形的概念，再从其定义、几何特征和分形维的计算这三个方面来加以介绍。
以Julia集和Mandelbort集为例来具体描述分形。
本文主要从Julia集的特点和算法实现来描述分形以及其实现的方法。
关键词：分形、分数维、Julia集、Mandelbort集、算法实现引言大自然是个很伟大的造物者，它留给我们一大笔美丽景观：蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉，变幻无常的浮云，粗糙不堪的断面，袅袅上升的烟柱，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星……那么，我们又能从这些美妙的自然现象中得到什么有趣的结论呢？正文分形概述分形的英文单词为fractal，是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的。
其取自拉丁文词frangere（破碎、产生无规则碎片）之头，撷英文之尾所合成，本意是不规则的、破碎的、分数的。
他曾说：分形就是通过将光滑的形状弄成多个小块，反复的碎弄。
1975年，曼德勃罗出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，标志着分形理论正式诞生。
【1】两种定义其一：具有自相似性结构的叫做分形；其二：数学定义：豪斯道夫维Df>=拓扑维Dt。
若一有界集合，包含N个不相重叠的子集，当其放大或缩小r倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。
自相似集合是分形集。
具有相似性的系统叫做分形。
当放大或缩小的倍数r不是一个常数，而必须是r（r1，r2，….）的各种不同放大倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合。
具有自仿射性的系统叫做分形。
【2】特征1.自相似性：局部与整体的相似，是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果；2.自仿射性：是自相似性的一种拓展，是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果；3.精细结构：即使对该分形图放大无穷多倍，还是能看到与整体相似的结构，表现出无休止的重复；4.分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨迹；5.分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如递归、迭代；分形其实是由一些简单的图形，经过递归或者迭代产生的复杂、精细的结构；6.无确定的标度且具有分数维数。