大连理工大学连续介质力学作业(第一章)

连续介质力学作业-----1

1.给定一组协变基矢量

(1)求逆变基

(2)求

(3)在上述协变基下，若的逆变分量为，求的协变分量解：

(1)

(2)

(3)

2.已知笛卡尔坐标系，一个新的坐标系定义为：

向量，给定函数

(1)求函数的梯度

(2)求向量参考新坐标系的表示形式

(3)求函数在新坐标系下的表达形式

(4)判断的客观性

解：

(1)

(2)

(3)

(4)

其中，故具有张量的客观性。(#)

3.二维情况下，一质点应力张量主值。主方向，

。应变张量主值，主方向与应力张量相同。为平面直

角坐标系的单位基矢量。

(1)以,为基，计算该质点处应变能密度

(2)求,使得

(3)求,使得

(4)以为基，计算该质点处的应变能密度

(5)计算的球应力张量和偏应力张量，并计算偏应力张量的主值和方向解：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

4. 是二阶张量，证明：

证明：

将张量按照标准正交基分解有：

(#)

5(1) 如果二阶张量是反对称张量，对于任意一阶张量，证明

(2) 是二阶反对称张量，是二阶对称张量，证明

证明：

(1)

故对于任意，均有

(2)