七年级数学下册第十一章《因式分解》11.3公式法教材说明素材(新版)冀教版
最新冀教版初中数学七年级下册《11.3公式法》精品教案
11.3公式法――完全平方公式教学设计思想：利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质．教学目标知识与技能：1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．过程与方法：3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法情感态度价值观：4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。
教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式．难点：灵活运用完全平方公式分解因式．关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想”教学用具多媒体或小黑板课时安排1课时教学过程设计一、复习1．问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解．我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法．2．把下列各式分解因式：（1）ax4－ax2（2）16m4－n4．解（1） ax4－ax2=ax2（x2－1）=ax2（x+1）（x－1）（2） 16m4－n4=（4m2）2－（n2）2=（4m2+n2）（4m2－n2）=（4m2+n2）（2m+n）（2m－n）．问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式．请写出完全平方公式．完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2, （a－b）2=a2－2ab+b2．这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解．二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2．这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方．式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式．运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式．问：具备什么特征的多项式是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子（或数）的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子（或数）的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式．问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?（1）x2+6x+9；（2）x2+xy+y2；（3）25x4－10x2+1；（4）16a2+1．答：（1）式是完全平方式．因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=（x+3）2．（2）不是完全平方式．因为第三部分必须是2xy．（3）是完全平方式．25x4=（5x2）2，1=12，10x2=2×5x2·1，所以25x4－10x2+1=（5x－1）2．（4）不是完全平方式．因为缺第三部分．请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为：a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．9x 2+6xy+y 2=（3x ）2+2·（3y ）·y+y 2=（3x+y ）2．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2其中a=3x ，b=y ，2ab=2·（3x ）·y．例3 把下列各式分解因式；（1）t 2＋22t ＋121；（2）m 2＋41n 2-mn （1）分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“t 2”是t 的平方，第三项“121”是11的平方，第二项“22t ”是t 与11的积的2倍．所以多项式t 2＋22t ＋121是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式．（2）问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法? 解：（1）t 2＋22t ＋121=t 2＋2×11t ＋112=（t ＋11）2；（2）m 2＋41n 2-mn =m 2－2·m ·21n+（21n ）2 =（m －21n ）2 例4 把下列各式分解因式：（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3;（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4;（3）（3m-1）2＋（3m-1）+41 解：（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3=a （x 2＋2ax ＋a 2）=a （x ＋a ）2；（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4=（x ＋y ）2－2·（x ＋y ）·2＋22=（x ＋y －2）2（3）（3m-1）2＋（3m-1）+41 =（3m-1）2－2·（3m-1）·21＋（21）2 =（3m －1＋21）2 =（3m －21）2 注：例4让有学生自己完成，并找部分学生上台讲解，出现问题，老师及时给予纠正三、课堂练习（投影）1．填空：（1）x 2－10x+（ ）2=（ ）2；（2）9x 2+（ ）+4y 2=（ ）2；（3）1－（ ）+m 2/9=（ ）2．2．下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多 项式改变为完全平方式．（1）x 2－2x+4；（2）9x 2+4x+1；（3）a 2－4ab+4b 2；（4）9m 2+12m+4；（5）1－a+a 2/4．3．把下列各式分解因式：（1）a 2－24a+144；（2）4a 2b 2+4ab+1；（3）91 x 2+2xy+9y 2；（4）41 a 2－ab+b2 答案：1．（1）25，（x －5） 2；（2）12xy ，（3x+2y ） 2；（3）32m , （1－31m ） 2．（1）不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x 2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x 2－2x+1，它是完全平方式．（2）不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x 2+6x+1，它是完全平方式．（3）是完全平方式，a 2-4ab+4b 2=（a －2b ）2．（4）是完全平方式，9m 2+12m+4=（3m+2） 2．（5）是完全平方式，1－a+a 2/4=（1－21a ）2 3．（1）（a －12） 2；（2）（2ab+1） 2；（3）（31 x+3y ） 2；（4）（21a －b ）2． 四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1．首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解．有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解．2．在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a 2+2ab+b 2=（a+b ） 2；如果是负号，则用公式a 2－2ab+b 2=（a －b ） 2． 3．特别强调：分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。
七年级数学下册第十一章因式分解11.3公式法11.3.1利用平方差公式分解因式课件(新版)冀教版
10．利用因式分解计算． (1)2 0192－81；
解：原式＝2 0192－92＝(2 019＋9)(2 019－9)＝2 028×2 010＝4 076 280.
(2)652×7－352×7.
解：原式＝(y＋2x＋x)(y＋2x－x) ＝(y＋3x)(y＋x)．
(2)(a－b)2－1；
解：原式＝(a－b－1)(a－b＋1)．
(3)49(a－b)2－4(a＋b)2；
解：原式＝[7(a－b)＋2(a＋b)][7(a－b)－2(a＋b)] ＝(9a－5b)(5a－9b)．
(4)(x＋2)(x＋3)＋x2－4.
3．下列各式的因式分解正确的有( C )
①x2－4＝(x＋2)(x－2)；②－4－m2＝(－2＋m)(－2－m)；
③x4－1＝(x－1)(x2＋1)(x＋1)．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4 ． 下 列 多 项 式 因 式 分 解 的 结 果 为 － (2a － b)(2a＋ b) 的 是
解：原式＝7×(652－352)＝7×(65＋35)(65－35)＝700×30＝21 000.
2．分解因式 4x2－y2＝_(_2_x_＋__y_)(_2_x_－__y) 3．因式分解：3b2－12＝__3_(b_＋__2_)_(_b_－__2) 4．分解因式：x3－4x＝__x_(x_＋__2_)_(_x_－__2) 5．分解因式：x4－16＝_(x_2_＋__4_)_(x_＋__2_)_(x－2)
随堂演基础练训(1练0分钟)
利用平方差公式分解因式
1．对于多项式①x2－y2；②－x2－y2；③4x2－y；④x2－4，
冀教版七下数学第十一章11.3《公式法因式分解》教学设计-word文档资料
《公式法因式分解》教学设计一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式二、教学目标：知识与技能1、经历逆用平方差公式的过程．2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式．过程与方法1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．2、培养学生观察、归纳、概括的能力．情感与价值观要求：在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。
三、教学重点：利用平方差公式进行分解因式四、教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。
五、教学准备：深研课标和教材，分析学情，制作课件六、教学过程；一、知识回顾1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？（1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否（2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是（3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否2、把下列各式进行因式分解（1）. a3b3-a2b-ab（2）(3x+y)(3x-y)（3）、（x+5)(x-5)利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。
二、导入新课：你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解a²- b²类的二次二项式。
学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。
三、探究与交流a²- b²=(a+b)(a-b)（1）用语言怎样叙述公式？（2）公式有什么结构特征？（3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征，学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。
冀教版数学七年级下册11.3《公式法》教学设计
冀教版数学七年级下册11.3《公式法》教学设计一. 教材分析冀教版数学七年级下册11.3《公式法》是学生在掌握了二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法的基础上，进一步学习解决实际问题中的一种重要方法。
本节内容通过引入公式法，让学生掌握一元二次方程的求解方法，从而解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习，让学生在实践中掌握公式法，并能够灵活运用。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了一定的数学基础，能够理解并运用二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法解决实际问题。
但部分学生对于代数式的运算还有一定的困难，对于公式法的理解可能存在一定的障碍。
三. 教学目标1.让学生掌握公式法，理解公式法的原理，并能够灵活运用公式法解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力，提高学生的学习兴趣。
四. 教学重难点1.公式法的原理理解。
2.灵活运用公式法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考，通过实践操作，让学生掌握公式法。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.练习题。
3.教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这个问题。
例如：一块土地，长方形，长为6米，宽为4米，求面积。
让学生尝试用已学的知识解决这个问题，从而引出公式法。
2.呈现（10分钟）讲解公式法的原理，公式：面积 = 长 × 宽。
通过PPT展示公式，让学生理解公式法的来源。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用公式法解决实际问题。
每组选择一个实际问题，如：一个正方形，边长为8米，求面积。
组内成员分工合作，运用公式法计算面积，并展示结果。
4.巩固（10分钟）让学生回答一些关于公式法的问题，如：公式法适用于哪些问题？公式法的基本原理是什么？通过回答问题，巩固学生对公式法的理解。
七年级数学下册第十一章因式分解11.3公式法教材说明素材新版冀教版
公式法第一课时学生经历用平方差公式分解因式的探索过程，学会用平方差公式分解因式，体会正逆两个方面认识和研究事物的方法。
1．弄清平方差公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
平方差公式：=.这里可以表示数、单项式、多项式.①左侧为两项；②两项都是平方项；③两项的符号相反.2．学会运用“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，观察式子，提高处理式子变形的能力．运用公式分解因式的关键，是要通过“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，把多项式向公式的形式化归，当多项式的结构特征符合公式的特征时，按照公式的另一边的结构，就可以直接写出分解的方法：例如，分解二项式时，关键的步骤是把看作，把9看作，再把看作a，把3看作b，于是就完成了式子向公式左边的化归：也就得到分解的方法：即3．掌握好运用公式团式分解，首先要学会幂的运算性质的逆方向的应用．由于乘法公式中多处出现（或）和（或），所以被分解的多项式中，必须有可以化归为一个式子的平方成立方的项．这时，就要逆用幂的运算性质（m、n是自然数）：，①．②例如，前例中，把看作的过程，依据的是：只有弄清这些变形的细节，了解每步变形的依据，才是真正理解了分解变形的逻辑，掌握了分解的方法．第二课时类比第一课时，学生经历用完全平方公式分解因式的探索过程，学会用完全平方公式分解因式，再次体会正逆两个方面认识和研究事物的方法。
1．弄清完全平方公式的形式和特点，熟练地掌握公式.完全平方公式:这里可以表示数、单项式、多项式.公式的特点是:①左侧为三项:②首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；③中间项是首末两项的底数的积的2倍。
2．继续学会运用“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，观察式子，提高处理式子变形的能力．运用公式分解因式的关键，是要通过“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，把多项式向公式的形式化归，当多项式的结构特征符合公式的特征时，按照公式的另一边的结构，就可以直接写出分解的方法：例如，分解时，关键的步骤是把看作，把看作，从而中间“项”就可以看作；再把看作a，把看作b，于是就完成了式子向公式左边的化归：于是就可以依公式直接写出分解的结果也就是有3．怎样处理分数系数的多项式的因式分解？一般地说，多项式的因式分解是在系数是整数的多项式中进行的，但有时，对系数中含有分数（或小数）的多项式也可以进行这样的变形．这时，将有多种处理方法，分解结果也可能有不同的形式．例如，把下列多项式分解因式：（1）（2）解：（1）提出分数，使括号内的多项式是整数系数，再作分解，有（2）解法一：由于，提出分数，使括号内的多项式是整数系数的多项式，再作分解，有解法二：直接运用公式得可以看到，当多项式含有分数系数时，可以把一个适当分数提到括号外，使括号内是整数系数的多项式，然后作分解；如果可能，也可以直接作分解的变形，在第（1）小题中，事实上，有这两种解法的结果是相同的．由分析可知，当把分数提到括号里面时，只需把原多项式各项的系数分别乘以（即的倒数），就是括号内多项式相应各项的系数．一般地，为了使系数是分数的多项式的分解有唯一的结果，我们不妨规定，首先提一个适当的分数于括号外，使得括号内化为整系数的多项式，再作进一步的分解．例如，把多项式分解因式：解：。
2024年七年级数学下册第11章因式分解11.3公式法2用完全平方公式分解因式教案(新版)冀教版
-《完全平方公式讲解》：详细讲解完全平方公式的推导和应用。
-《因式分解技巧分享》：分享一些因式分解的技巧和方法。
2.拓展要求
鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展，教师可提供必要的指导和帮助，如推荐阅读材料、解答疑问等。
要求学生根据自己的兴趣和需求选择适合自己的拓展内容，通过阅读、观看视频等方式，进一步加深对完全平方公式和因式分解的理解。
（2）视频：播放一些有趣的数学动画视频，帮助学生形象地理解完全平方公式的原理。
（3）在线工具：利用在线数学工具，让学生实时检验自己的因式分解结果，提高运算能力。
（4）练习题库：提供一份全面的因式分解练习题库，方便学生进行课后练习和巩固。
教学实施过程
1.课前自主探索
教师活动：
-发布预习任务：提供PPT、视频等预习资料，让学生提前了解完全平方公式。
-反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：学生自主完成作业和拓展学习。
-反思总结法：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的完全平方公式和相关技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
此外，我在课堂上可能有些过于注重讲解，而忽略了学生的参与和互动。因此，我计划在未来的教学中，更多地组织课堂活动，如小组讨论、角色扮演等，让学生有更多的机会参与和互动，提高他们的学习兴趣和参与度。
最后，我在教学过程中可能有些过于追求进度，而忽略了学生的反馈。因此，我计划更多地关注学生的反馈，及时调整教学进度和方法，以确保每个学生都能够跟上教学进度，并掌握完全平方公式和因式分解的知识点。
冀教版数学七年级下册11.3《公式法》教学设计
冀教版数学七年级下册11.3《公式法》教学设计一. 教材分析冀教版数学七年级下册11.3《公式法》是学生在学习了二元一次方程组的解法之后，进一步学习解一元二次方程的方法。
本节课通过公式法的学习，使学生掌握一元二次方程的解法，并能灵活运用到实际问题中。
教材从实际问题出发，引导学生发现一元二次方程的解法，并通过例题和练习题使学生熟练掌握。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二元一次方程组的解法，对解方程有了初步的认识。
但一元二次方程与二元一次方程在形式和解法上都有所不同，因此，学生需要通过本节课的学习，掌握一元二次方程的解法，并能够与二元一次方程组解法进行区分。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的解法——公式法。
2.掌握公式法的步骤，并能灵活运用到实际问题中。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法——公式法。
2.难点：公式法的运用和实际问题的解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入一元二次方程的解法，激发学生的学习兴趣。
2.案例教学法：通过例题和练习题，使学生掌握公式法的步骤。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论和解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实际问题、例题和练习题的PPT。
2.教学素材：实际问题、例题和练习题的纸质材料。
3.黑板、粉笔：用于板书解题步骤和公式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的解法，引导学生思考如何解决这个问题。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的解法——公式法，并解释公式法的步骤。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一个例题，然后集体讨论解题过程，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）让学生完成一组练习题，检验学生对公式法的掌握程度。
教师对学生的解答进行点评和指导。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一个较复杂的一元二次方程问题，培养学生的解决问题的能力。
七年级数学下册第十一章因式分解11.3公式法11.3.2利用完全平方公式分解因式课件冀教版
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第十一章 因式分解
11.3 公式法 第2课时 利用完全平方公式分解因式
课
随
课
前
堂
后
热
演
作
身
练
业
课前基热础身训(练5分钟)
1．把乘法公式中的完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2 反过来， 就得到因式分解中的完全平方公式_a_2_±_2_a_b_＋__b_2_＝__(a_±__b_)2_____，即两 个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的 和(或差)的___平__方_______
C．2x2＋4xy＋y2 D．x2－y2＋2xy
2．若 a＋2b＝4，则 a2＋4ab＋4b2 的值是( B )
A．8
B．16
C．2
D．4
3．下列多项式可以用完全平方公式分解因式的是( C )
A．a2－ab＋b2 B．a2－12a＋14 C．－4a2－4a－1 D．a2－2a－1
4．已知 4x2＋4mx＋36 是一个完全平方式，则 m 的值为
解：原式＝(a－4b)2.
(2)x2－1＋y2－2xy；
解：原式＝(x2－2xy＋y2)－1＝(x－y)2－1＝ (x－y＋1)(x－y－1)．
(3)16x4－8x2y2＋y4；
解：原式＝16x4－8x2y2＋y4＝(4x2－y2)2＝(2x＋y)2(2x－y)2.
(4)(x2＋16y2)2－64x2y2；
解：原式＝(x2＋16y2)2－(8xy)2＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy) ＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(5)－a2b－49b＋14ab； 解：原式＝－b(a2－14a＋49)＝－b(a－7)2. (6)(x＋y)2＋2(x＋y)＋1； 解：原式＝(x＋y＋1)2.
冀教版七年级数学下册第十一章《11.3公式法》优 课件(共12张PPt)
解:(1) x4-y4
(2) a3b-ab=ab(a2-1)
= (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a+1)(a-1).
分解因式,必须进 行到每一个多项式 都不能再分解为止.
练习
（1） 4x2 =( ) 2
（3）64x2y2=( ) 2
（2） 25m2 =( ) 2 （4） 100p4q2 = ( ) 2
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月15日星期二2022/2/152022/2/152022/2/15 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/152022/2/152022/2/152/15/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/152022/2/15February 15, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/152022/2/152022/2/152022/2/15
解（1）4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2 = (2x+3)(2x-3)
（2）（x+p)2-(x+q)2
解：（2）(x+p)2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)] =(2x+p+q)(p-q).
把(x+p)和 (x+q)各看成 一个整体,设
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七年级数学下册第十一章因式分解11.3公式法公式在因式分解中的应用素材新版冀教版
公式在因式分解中的应用将五个乘法公式的左右两边反过来，就得到因式分解的五个公式：a2-b2=(a+b)(a-b)(Ⅰ)a2±2ab+b2=(a±b)2(Ⅱ)其中A.b可以是一个数，一个含字母的单项式，也可以是一个多项式．这些公式在因式分解中占有极为重要的地位．它们在因式分解中的应用反映在以下几个方面：1．直接运用公式例1把以下各式分解因式：(1)a6-b6；(2)8an+an-3；(3)24x4n+3-54x2n+3；(4)(ab+1)2-(a+b)2；(5)(a2+b2-c2)2-4a2b2；(6)-16x4+24x2y-9y2；(8)(x+3)2+2(x2-9)+(x-3)2．解(1)原式=(a3+b3)(a3-b3)=(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)(想一想：此题能不能先利用立方差公式进行分解？如何分解？)(2)原式=an-3(8a3+1)=an-3(2a+1)(4a2-2a+1)(3)原式=6x2n+3(4x2n-9)=6x2n+3(2xn+3)(2xn-3)(4)原式=(ab+1+a+b)(ab+1-a-b)=(a+1)(b+1)(a-1)(b-1)(5)原式=(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c) (6)原式=-(16x4-24x2y+9y2)=-(4x2-3y)2(8)原式=(x+3)2+2(x+3)(x-3)+(x-3)2 =(x+3+x-3)2=4x22．分组分解例2把以下各式分解因式：(1)x2+10xy-70y-49；(2)8x3+12x2-6x-1；(3)4a2-9b2-4a+1；(5)9x2+4y2-1-25z2+12xy+10z；(6)x3+x2+xy-6y2-8y3；(7)7x-x2-21y+6xy-9y2；(8)x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2．解(1)原式=(x2-49)+(10xy-70y)=(x+7)(x-7)+10y(x-7)=(x-7)(x+10y+7)(2)原式=(8x3-1)+(12x2-6x)=(2x-1)(4x2+2x+1)+6x(2x-1)=(2x-1)(4x2+8x+1)(3)原式=(4a2-4a+1)-9b2=(2a-1)2-9b2=(2a-1+3b)(2a-1-3b)(5)原式=(9x2+12xy+4y2)-(25z2-10z+1) =(3x+2y)2-(5z-1)2=(3x+2y+5z-1)(3x+2y-5z+1)(6)原式=(x3-8y3)+(x2+xy-6y2)=(x-2y)(x2+2xy+4y2)+(x+3y)(x-2y)=(x-2y)(x2+2xy+4y2+x+3y)(7)原式=(7x-21y)-(x2-6xy+9y2)=7(x-3y)-(x-3y)2=(x-3y)(7-x+3y)(8)原式=(x2+2xy+y2)+2z(x+y)+z2=(x+y+z)23．拆项、添项例1把以下各式分解因式：(1)4x4+1；(2)x4-6x2+25；(3)a4-2a2b-3b2+8b-4；(4)x4+x2+2ax+1-a2．解(1)原式=(4x4+4x2+1)-4x2=(2x2+1)2-(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)(2)原式=(x4+10x2+25)-16x2=(x2+5)2-(4x)2=(x2+4x+5)(x2-4x+5)(3)原式=(a4-2a2b+b2)-(4b2-8b+4)=(a2-b)2-(2b-2)2=(a2-b+2b-2)(a2-b-2b+2)(4)原式=(x4+2x2+1)-(x2-2ax+a2) =(x2+1)2-(x-a)2=(x2+1+x-a)(x2+1-x+a)练习把以下各式分解因式：1．27m4+8m；2．(x2+y2)2-4x2y2；3．4(a-b)2-12(b-a)c+9c2；4．x2(x2-9)+4(9-x2)；5．a4-x2+4ax-4a2；6．x3-3x2y-3xy2+y3；7．x5y-x3y-2x2y-xy；8．x3+px2+px+p-1；9．81a4+4b4；10．x4+x2+25；11．x2-6xy+9y2+8x-24y+16；12．a2-b2+4a+2b+3．答案1．m(3m+2)(9m2-6m+4)；2．(x+y)2(x-y)2；3．(2a-2b-3c)2；4．(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)；5．(a2+x-2a)(a2-x+2a)：6．(x+y)(x2-4xy+y2)；7．xy(x2+x+1)(x2-x-1)；8．(x2+x+1)(x-1+p)；9．(9a2+6ab+2b2)(9a2-6ab+2b2)；10．(x2+3x+5)(x2-3x+5)；11．(x-3y+4)2；。
七年级数学下册第十一章《因式分解》11.3公式法教学建议素材(新版)冀教版
七年级数学下册第十一章素材：
公式法
第一课时
重点：用平方差公式分解因式
难点：灵活运用平方差公式分解因式，正确判断因式分解的彻底性.
实施建议：
1．让学生一起来计算(a+b)（a－b）= _______ 探究新的问题：(x2－1) a2－b2=__________。
（1）其间可作这样的启发引导：因式分解和整式乘法是相反的过程，什么样的两个整式的积等于x2－1？
（2）让同学们交流各自的认识并解释理由。
2．学生独立完成“试着做做”
3．师生共同总结用平方差公式进行因式分解。
（1）满足什么条件？
（2）规范的步骤应是什么？
4．再让同学独立去做例1、例2中的题目，并对过程和结果通过展示、解释、相互点评，达到能较好运用平方差公式进行因式分解的目的。
5．独立完成课后练习，强化用平方差公式分解因式。
第二课时
重点：用完全平方公式分解因式
难点：灵活运用完全平方公式分解因式
实施建议：
可先向学生提问题：与平方差公式用来分解因式类比，用两数和（差）的平方公式能进行因式分解吗？
1．让学生写出两个公式，并把这两个公式用逆向表示方式写出。
2．让学生直接去探索如何对例3的多项式进行因式分解。
（1）这个多项式能写成公式展开后的基本形式吗？
（2）怎样逆过来用公式？
在这个过程中，教师对部分学生可给以必要的帮助。
（3）让学生向大家展示自己的做法，解释理由，对某些错误和偏差，师生作出点评，形成统一认识。
3．教师再对用这两个公式分解因式的步骤作出总结和概括。
4．像处理例1那样，再让学生研究例4。
5．最后教师再作概括，给出完全平方式的概念。
冀教初中数学七年级下册《11.3公式法》课堂教学课件
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提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)
分解因式一直到不能分解为止.所以分解 后一定检查括号内是否能继续分解.
分解因式时有时要考虑综合运用各种方法,
(5)对于部分题目需要整理变形
在括号内填上适当的代数式,使等式成立 1,a2+6a+___9___=(a+__3__)2
2,16a2+_±__2_4_a_b_+9b2=［4_a__+(±__3_b_)_ ］2
2,k-6ab+9b2是一个完全平方式, 那么的值是___a_2_
灵活应用:
(1)2006 2 62 (2)132 2 13 3 9 (3)112 39 2 66 13
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
相应的 a、b 各表示什么？
(1) x2 6x 9； 是 a表示x，b表示3.
(2) 1 4a2； 不是
(3) x2 2x 4； 不是
(4) 4x2 4x 1； 不是
(5) 1 m2 m； 是 4
a表示1，b表示 m . 2
(6)
4 y2
12
a2 2ab b2 a b2
2倍 即:两个数的的平平方方和,加上(或者减去) 这两个数的积的____,等于这两个数的 和(或者差)_______. 运用这两个公式就可以把形式分是解完因式 全平方和(或差)的多项式________;
a2注意: (1)正确选取
分解因式
(1)3am2 3an2 6amn
冀教版初中数学七年级下册 11.3 公式法 教案
公式法教学目标1.会用平方差公式进行因式分解.2.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维.3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯.教学重难点【重点】运用平方差公式进行分解因式.【难点】把多项式看成平方差公式中一个字母的因式分解。
教学准备【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习平方差公式的特点.教学过程新课导入导入一:在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即在一个多项式中,若各项都含有相同的因式,即公因式,就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项不具备相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.请看乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,①左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是a2-b2=(a+b)(a-b),②左边是一个多项式,右边是整式的乘积,大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解?符合因式分解的定义,因此是因式分解.第①个等式可以看做是整式乘法中的平方差公式,第②个等式可以看做是因式分解中的平方差公式.[设计意图]引导学生从感性认识上升到理性认识,区别整式乘法与分解因式的同时,认识学习新的分解因式的方法——公式法.导入二:填空:(1)(x+5)(x-5)=;(2)(3x+y)(3x-y)=;(3)(3m+2n)(3m-2n)= .它们的结果有什么共同特征?尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:(1)x2-25=;(2)9x2-y2=;(3)9m2-4n2= .[设计意图]学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用,发展学生的观察能力与逆向思维能力新授[过渡语]整式相乘与因式分解是互为相反的过程.如果把学过的乘法公式逆过来使用,那么就可以将某些多项式分解因式.活动1 利用平方差公式进行分解1.利用平方差公式的特点进行因式分解请大家观察式子a2-b2,找出它的特点.a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积.如x2-16=x2-42=(x+4)(x-4).9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n).实际上,把平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到a2-b2=(a+b)(a-b).[设计意图]让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.2.试着做一做试着将下面的多项式分解因式.(1)p2-16=;(2)y2-4=;(3)x2-=;(4)4a2-b2= .活动2例题讲解[过渡语]如果一个多项式可化为两个整式的平方差的形式,那么它就可以用平方差公式分解因式了.例1 (教材第148页例1)把下列各式分解因式.(1)4x2-9y2;(2)(3m-1)2-9.解:(1)4x2-9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)·(2x-3y).(2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32=(3m-1+3)(3m-1-3)=(3m+2)(3m-4).例2 (教材第148页例2)把下列各式分解因式.(1)a3-16a;(2)2ab3-2ab.解:(1)a3-16a=a(a2-16)=a(a-4)(a+4).(2)2ab3-2ab=2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1).[知识拓展]当多项式有公因式时,应先提出公因式,再看能否利用平方差公式进行因式分解.课堂小结平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.若多项式各项含有公因式,则第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合,则继续进行.第一步分解因式以后,所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能再分解为止.课堂练习1.下列各式不能用平方差公式分解的是()A.-a2+b2B.-x2-y2C.49x2y2-z2D.16m4-25n2解析:平方差公式中两项的符号必须是异号.故选B.2.把45ab2-20a分解因式的结果是()A.5ab(9b-4)B.a(45b2-20)C.5ab(9b-20a)D.5a(3b+2)(3b-2)解析:45ab2-20a=5a(9b2-4)=5a(3b+2)(3b-2).故选D.3.如果x+y=2013,x-y=1,那么x2-y2= .解析:x2-y2=(x+y)(x-y)=2013.故填2013.4.用平方差公式分解因式.(1)9x2-16;(2)x3-x;(3)-a4+b2.解:(1)9x2-16=(3x+4)(3x-4).(2)x3-x=x(x+1)(x-1).(3)-a4+b2=-=.板书设计第1课时活动1利用平方差公式进行分解活动2例题讲解例1例2教学反思成功之处本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础,给学生留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程,并能用符号合理地表示出分解因式的关系式,同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.不足之处平方差公式在教学中比较偏重恒等式变形的理解,忽略了从逆运算角度进行强化理解.改进设计有意识地培养学生逆向思考问题的习惯,不仅对提高解题能力有益,更重要的是改善学生学习数学的思维方式,有助于形成良好的思维习惯,激发学生的创新开拓精神,培养良好的思维习性,提高学习效果、学习兴趣,及思维能力和整体素质.。
2024年七年级数学下册第11章因式分解11.3公式法1用平方差公式分解因式说课稿(新版)冀教版
解答：我们注意到16a² + 64a是一个平方差公式，即a² + 8a = (a + 8)² - 64。这里，a = 4a，b = 8。因此，我们可以将原式分解为(4a + 8)² - 64。接下来，我们注意到64是一个完全平方，即64 = 8²。因此，我们可以将原式进一步分解为(4a + 8 + 8)(4a + 8 - 8)。简化得到(4a + 16)(4a)。
例题5：分解因式：25x² - 4
解答：我们注意到25x² - 4是一个平方差公式，即a² - b² = (a + b)(a - b)。在这里，a = 5x，b = 2。因此，我们可以将原式分解为(5x + 2)(5x - 2)。
②因式分解的概念和步骤
③应用平方差公式进行因式分解的步骤
2.词、句等
①平方差公式的推导过程和应用
②因式分解的实际应用案例
③小组讨论和合作学习的重要性
3.艺术性和趣味性
①利用图示和颜色来突出重点知识点，如用红色标注平方差公式，用蓝色标注因式分解的概念和步骤。
②在板书中加入一些数学谜语和趣味问题，如“什么数加什么数等于它自己？”（答案：0加0等于0，1加1等于1，以此类推），激发学生的兴趣和好奇心。
-讲解知识点：教师详细讲解平方差公式和因式分解的原理，结合实例帮助学生理解。
-组织课堂活动：教师设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握因式分解技能。
-解答疑问：教师针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。
学生活动：
-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。
-参与课堂活动：学生积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验因式分解的应用。
七年级数学下册 第十一章《因式分解》11.3 公式法 确定公因式的步骤素材 冀教版
确定公因式的步骤mc mb ma -+看作一个多项式，m 就是这个多项式各项都包含的一个因式，所以我们把它叫做公因式，如三项式3422234321296c b a d c b a c b a +-的各项都包含因式2223c b a ，于是就可以把这个多项式写为22234mbc mad b c -+，这字母m 就表示的是公因式2223c b a ，于是就可把它提到括号外面而得到：()c b ad bc c b a 222224323+-.公因式m 是怎样确定的？事实上，公因式的确定可以按照下面的步骤进行:1．公因式的系数是多项式各项系数的绝对值的最大公约数;如上例中各项的系数的绝对值是6，9-，12，最大 公约数是3，所以公因式的系数是3；2．公因式的字母部分是由各项都含有的字母的幂组成的;如上例中公因式2223c b a 的字母部分是以c b a 、、为底的幂组成的，由d 不是各项都包含的字母，所以公因式中不包含的以d 为低的幂；3．在相同字母为底的幂中，选取次数最底的;如上例中，222,,c b a 都是相同底数的幂中次数最低的.有时，可以把一个多项式看作另一个多项式各项的公因式.如对整式)(2)(322b a xy b a y x ---，若暂时把b a -看作一个字母z ，这个式子就可以看作z xy yz x 2223-，它就是有公因式xyz 的二项式.所以，按照换元的思想，就可以把这个多项式看作二项式，公因式是)(b a xy -，于是得：)(2)(322b a xy b a y x ---=)23)((y x b a xy --.又如，把n m -看作一个字母，公因式是)(3n m +，就有：)(3)(62n m b n m a +-+=[]bnmanm-++)(2)(3=)22)((3banamnm-++.。
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七年级数学下册第十一章素材：
公式法
第一课时
学生经历用平方差公式分解因式的探索过程，学会用平方差公式分解因式，体会正逆两个方面认识和研究事物的方法。
1．弄清平方差公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
平方差公式：
=.
这里可以表示数、单项式、多项式.
①左侧为两项；
②两项都是平方项；
③两项的符号相反.
2．学会运用“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，观察式子，提高处理式子变形的能力．
运用公式分解因式的关键，是要通过“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，把多项式向公式的形式化归，当多项式的结构特征符合公式的特征时，按照公式的另一边的结构，就可以直接写出分解的方法：
例如，分解二项式时，关键的步骤是把看作，把9看作，再把看作a，把3看作b，于是就完成了式子
向公式左边的化归：
也就得到分解的方法：
即
3．掌握好运用公式团式分解，首先要学会幂的运算性质的逆方向的应用．
由于乘法公式中多处出现（或）和（或），所以被分解的多项式中，必须有可以化归为一个式子的平方成立方的项．这时，就要逆用幂的运算性质（m、n是自然数）：
，①
．②
例如，前例中，把看作的过程，依据的是：
只有弄清这些变形的细节，了解每步变形的依据，才是真正理解了分解变形的逻辑，掌握了分解的方法．
第二课时
类比第一课时，学生经历用完全平方公式分解因式的探索过程，学会用完全平方公式分解因式，再次体会正逆两个方面认识和研究事
物的方法。
1．弄清完全平方公式的形式和特点，熟练地掌握公式.
完全平方公式:
这里可以表示数、单项式、多项式.
公式的特点是:
①左侧为三项:
②首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；
③中间项是首末两项的底数的积的2倍。
2．继续学会运用“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，观察式子，提高处理式子变形的能力．
运用公式分解因式的关键，是要通过“把一个代数式看作一个字母”的换元思想，把多项式向公式的形式化归，当多项式的结构特征符合公式的特征时，按照公式的另一边的结构，就可以直接写出分解的方法：
例如，分解时，关键的步骤是把看作，把看作，从而中间“项”就可以看作
；再把看作a，把看作b，于是就完成了式子向公式左边的化归：
于是就可以依公式直接写出分解的结果
也就是有
3．怎样处理分数系数的多项式的因式分解？
一般地说，多项式的因式分解是在系数是整数的多项式中进行的，但有时，对系数中含有分数（或小数）的多项式也可以进行这样的变形．这时，将有多种处理方法，分解结果也可能有不同的形式．例如，把下列多项式分解因式：
（1）（2）
解：（1）提出分数，使括号内的多项式是整数系数，再作分解，有
（2）解法一：由于，提出分数，使括号内的多项式是整数系数的多项式，再作分解，有
解法二：直接运用公式得
可以看到，当多项式含有分数系数时，可以把一个适当分数提到括号外，使括号内是整数系数的多项式，然后作分解；如果可能，也可以直接作分解的变形，在第（1）小题中，事实上，有
这两种解法的结果是相同的．
由分析可知，当把分数提到括号里面时，只需把原多项式各项
的系数分别乘以（即的倒数），就是括号内多项式相应各项的系数．
一般地，为了使系数是分数的多项式的分解有唯一的结果，我们不妨规定，首先提一个适当的分数于括号外，使得括号内化为整系数的多项式，再作进一步的分解．
例如，把多项式分解因式：解：。