孟生旺《非寿险精算学》(第三版)参考答案

Var(X ) E(X )2
20(1002 1002 ) 400000 分位数= E(S) 2.326 Var(S) 3471
2.6
令Y

0, X
X
20 20, X

为保险人的赔款随机变量。
20
E(Y) = E(X-20|X>20)×P(X>20)+0×P(X<20)
，x≥0
2.12 设 N 表示下个月出行的航班数， N ~ B(n1, p1) ， n1 70 ， p1 0.98
E(N) n1 p1 68.6, Var(N) n1 p1(1 p1) 700.980.02 1.372 P 表示飞机上的人员数，M 表示飞机上的乘客数， M ~ B(n2, p2 ) ， n2 200 ， p2 0.9 ，
qi
0.04 (80 10000 35 20000 25 30000 15 50000 5 100000) 70000 2
Var(S)
5
5
niui2qi
(1

qi
)

ni
2 i
qi


0.04

0.96
i 1
i 1
ni Ai2 4
5
0.04
2006
年平均损失金额的折现为：1500

1

1
10%2
1239.7
2004 年的平均损失金额为： E x 1 1090.9 2 1239.7 1190.1
3
3
而 Pareto, 分布的期望是 E x
1
用损失次数进行加权，得 1 1090.9 2 1239.7 1190.1 ，得 λ = 2380.2
etx
0
n i1
ai i e i xdx

n i1
ai (1
t )1, (t i
i )
2.5
1
孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版），中国人民大学出版社，2015。
E(S) E( X ) 20100 2000
Var(S) Var( X )E(N ) Var(N )E( X )2
2.3 ������(������1, ������2, … ������������; ������) = ������������������−������ ∑������������=1 ������������
������
L(������1, ������2, … ������������; ������) = ������������ ������(������1, ������2, … ������������; ������) = ������������������������ − ������ ∑ ������������
第3章 费率厘定基础
3.1 赔付率=已发生损失/已赚保费=125000/200000=0.625 综 合 成 本 率 = 赔 付 率 + 经 营 费 用 率 = 赔 付 率 × (1+ 理 赔 费 用 率 )+ 承 保 费 用 率 =0.625×(1+0.14)+0.25=0.9625 3.2 （1）2011 日历年，保单 A 已赚车年=5×2×0.5=5；保单 B 已赚车年=10×2×0.5=10； 2011 日历年总已赚车年=5+10=15 （2）截至 2010 年 12 月 31 日， 2010 保单年保单 A 承保车年数=5×2=10；2010 保单年保单 B 承保车年数=10×2=20； 因此，2010 保单年承保的总车年数=10+20=30 （3）2010 日历年，保单 A 承保车年数=5×2=10；保单 B 承保车年数=10×2=20； 2010 日历年承保的总车年数=10+20=30
0
，
0
b

有，
5ln a xi ln a
xi ln b ln yi xi 2 ln b xi ln yi
由 ∑ xi= 15， ∑ xi2=55， ∑ ln yi= 34.78659， ∑ xiln yi= 105.24673 代 入 上 面 方 程 组 解 得 ，
i 1
ni Ai2 12
1.7072 109
ห้องสมุดไป่ตู้
PS (1 )
E(S)

99%

P

S

E(S
)

E(S )
99%
Var(S) Var(S)


E(S)


99%
，

Var(S)

E(S) Var(S )


1 (0.99)

2.325

2.325 Var(S) E(S)
1.3724
2.11
X
的矩母函数为������������(������)
=
∫0∞
������ ������������
1 ������
������ −������/������ d������
=
1 ������
∫0∞
������ （������−���1���)������ d������
3
3
31
2.2
E(x)
0
x
2 2 ( x)3
dx

2 1


由题意可知，2007 年平均索赔金额的期望值为：
( 500×1.053×100+600×1.052×150+700×1.05×200 ) ÷ 450 = 675.8
即：E(x) = 675.8 = λ
从而，λ 的矩估计值为 675.8。
j 1,2,..., N
E(K) qE(N) 0.00001 68.6 0.000686 Var(K) E[Var(I N)] Var[E(I N)] q(1 q)*E(N) q2 *Var(N)
0.00001 0.99999 68.6 0.000012 1.372 0.000686
=
(1
−
������������)−1，������
<
1 ������
N 的母函数为 PN (z) 1 (z 1) 1
S 的矩母函数为 MS (z) PN MS (z)
1 (1 z)1 1
1


1 (1 ) z 1
1

2
fX
(2)
fS
(0)

0.043229
依此类推，其他计算结果如下表所示。
x
fS (x)
0
0.818731
1
0.130997
2
0.043229
3
0.005799
4
0.001097
5
0.000128
6
0.000018
FS (x)
0.818731 0.949728 0.992957 0.998756 0.999853 0.999981 0.999999
其中对每个
i，
Y
i j
，（j
=
1，…，ni）独立分布，设其分布与
IBi
相同，
Bi

U
(0，Ai)，ui
=
E
(Bi)
=
Ai
/
2，
2 i
var(Bi ) Ai2 /12 ，则总赔付额 S
为：
S X1 X2 X5
E(S)
5 i 1
ni ui qi

5 i 1
ni Ai 2
2.8
E(S) E(X ) 20100 2000
2 Var(S) Var(X )E(N ) Var(N )E(X )2
Var(X ) E(X )2
20(1002 1002 ) 400000


E[(S
E(S))3] 3
2
孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版），中国人民大学出版社，2015。
fS (0) e e0.2 0.818731, fS (1) f X (1) fS (0) 0.2 0.8 e0.2 0.130997
fS
(2)

2

fX
(1)
fS
(1)
1
1
3
孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版），中国人民大学出版社，2015。
这是一个两点混合分布。
fs
(x)

1
1
，


(1 )2
exp


x (1

)
x =0 ，x 0
FS(x)=1-
β 1+β
exp
(-
θ(1x+β))
=
+∞
∫ (x-20)f(x|x>20)dx
×P(X>20)=
∫2+0∞(x-20)f(x)dx
×P(X>20)
20
P(X>20)
+∞
+∞
= ∫ (x-20)f(x)dx= ∫ (x-20)0.2e-0.2xdx=5e-4
20
2.7 P x 4
20
4
e 4!
，P x
4
1 1 e 1 ， P x 4 2 16 e2