高中数学例题：分类加法原理与分步乘法原理 (19)
分类加法与分步乘法计数原理-PPT
(2)4×3×2＝24（种）
20
典例讲评
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画 中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上 的指定位置，求共有多少种不同的挂 法？
3×2＝6（种）
21
课堂小结
1.分类加法计数原理和分步乘法计数
原理，都是解决完成一件事的方法数的
计数问题，其不同之处在于，前者是针
例2 某班有男生30名，女生24名， 现要从中选出男、女生各一名代表班 级参加朗诵比赛，求共有多少种不同 的选派方法？
30×24＝720（种）
19
例3 书架有三层，其中第一层放有4本 不同的计算机书，第二层放有3本不同的 文艺书，第三层放有2本不同的体育书. （1）从书架上任取1本书，有多少种不 同的取法？ （2）从书架的第一，二，三层各取1本 书，有多少种不同的取法？
33
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
178次
34
例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
3种
N＝5×4×3＝60（种）
40
5. 用5种不同颜色给图中A，B，C，D四 个区域涂色，每个区域只涂一种颜色， 相邻区域的颜色不同，求共有多少种不 同的涂色方法？
54
A C3
【高中数学】分类加法计数原理与分步乘法计数原理 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第3册
解:从总体上看,由甲到丙有 两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙, 又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙, 也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有
N = 6 + 8 = 14 种不同的 走法。
甲地 丁地
乙地 丙地
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9
种方法。
分类加法计数原理:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类 办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法， ……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法。
分步乘法计数原理
思考： 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。 从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
变式练习1、某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，
现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要
求在黑板中A、B、C、D每一部分只写一种颜色，如图
所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共
有________种．180
B A
C
D
变式练习2、 用红、黄、蓝3种颜色给下图中① ② ③
④ ⑤五个区域涂色，要求相邻两个区域的颜色不同，有
6.1分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字（0~9） 给教室的座位编号，总共编出多少种不同的号码？
分类加法计数原理:完成一件事有两类方案,在第一类方案中
有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法那么完成这
1.1 分类计数原理和分步计数原理
（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法有多少种？ 分步问题 （4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球， 共有多少种不同的取法？ 分类问题 （5）从一个装有4个不同白球的盒子里和装有3个不同黑球的盒子里各取1个 球，共有多少种不同的取法？ 分步问题 （6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去， 共有多少种不同的进出商场的方式？ 分步问题
问题剖析
小明要完成的一件事是什么
北京→重庆
完成这件事情要分几步
2步
每步中的任一方法能否独立完成这 件事
不能
每步方案中分别有几种不同的方法 4种 3种
完成这件事共有多少种不同的方法 4✕3=12种
想一想：
(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座 位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ (2)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名 担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画
事件1：从中任选一幅画布置房间 事件2：从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 事件3：从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间
问题2：以上三个事件各有多少种不同的选法
1.解决计数问题的基本方法：
列举法、两个计数原理
2.选择两个原理解题的关键是： 根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，分类 要做到类类独立，不重不漏。
高中数学 《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》共21页文档
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
高中数学 《分类加法计数原 理与分步乘法计数原理》
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高中数学课件-第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
从A村去B村有3种走法，由B村去C村有2种走法，根据分步乘法计数 原理可得2×3＝6(种).
答案：6
10
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
(3)如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导 致断路，则电路不通，今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同 情况有________种.
电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂，但电路通的 情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落，每个焊接点有脱落与不脱落两 种情况，故共有24－3＝13(种)情况.
答案：13
11
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
(4)3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有________ 种.
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
2.集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，
且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则
这样的点的个数是( B )
A.9
B.14
C.15
D.21
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
B 当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7. 当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y. ∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法， 因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
3.满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数 解的有序数对(a，b)的个数为________.
当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4； 当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0， 即ab≤1. 若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
分类加法原理与分布乘法原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时1 分类加法计数原理 （1）提出问题问题 1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N += 种不同的方法. （3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 练习1．填空： ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ;( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．第二课时2 分步乘法计数原理 （1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？（2）发现新知分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N ⨯= 种不同的方法. （3）知识应用例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？变式1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？练习2．现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名． ( 1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去 C 村，不同 ( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？第三课时3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？例2. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？练习1．乘积12312312345)()()a a a b b b c c c c c ++++++++（展开后共有多少项？2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。
分类加法计算原理与分步乘法计算原理
各个分类之间必须是互斥的，即它们之间没有交集。这意味着每个 事件只能属于一个分类，不会出现重复计算的情况。
2. 穷尽原则
所有分类的并集必须包含所有可能的事件，即分类必须穷尽所有情况。 这样可以确保不会遗漏任何事件，从而保证计算的准确性。
分类加法计算步骤
步骤一
确定问题的所有可能结果，并将这些结果划分为 互斥且穷尽的分类。
对于某些特定类型的复杂问题，分类加法计算原理和分步乘法计算原理的应用效果可能受到限制。未来 可以针对这些特定问题进行深入研究，探索更有效的解决方法。
研究不足与展望
拓展应用领域
目前，分类加法计算原理和分步乘法计 算原理主要应用于数学和计算机科学领 域。未来可以探索将这些原理应用于其 他领域，如物理、化学、生物等，为解 决这些领域的复杂问题提供新的思路和 方法。
积分计算
在微积分学中，分步乘法原理可以应用于复合函数的积分计算，通过 将复合函数拆分成多个简单函数进行积分，再相乘得到最终结果。
在物理中的应用
运动学
在运动学中，分类加法原理可以应用于速度和加速度的合成与分解。例如，平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线 运动和竖直方向的自由落体运动。
动力学
在动力学中，分步乘法原理可以应用于力的合成与分解。例如，求解物体在多个力作用下的加速度时，可以先分别求 出每个力产生的加速度，再相乘得到最终结果。
探讨两种计算原理在实际问题中的综合应用
汇报范围
01 分类加法计算原理的定义、公式及应用举例
02 分步乘法计算原理的定义、公式及应用举例
03
两种计算原理的比较分析
04
综合应用两种计算原理解决实际问题的案例 分析
02 分类加法计算原理
完整版分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
加法原理
乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
区别二
每一步得到的只是中间结果，
每类办法都能独立完成
这件事情。
任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
N＝4＋3+2＝9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
N＝4 ×3×2＝24
（3）从书架上取2本不同种的书,有多少种不同 的取法?
解：需先分类再分步. 第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法； 第二类：从一、三层各取一本，有4×2=8种方法； 第三类：从二、三层各取一本，有3×2=6种方法；
不能完成这件事情，只有每
个步骤完成了，才能完成这
件事情。
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学 生物学 化学 医学 物理学
B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
1.1分类计数原理
与分步计数原理
问题 1用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数 字给教室里的座位编号，总共能够编出多少 种不同的号码？
因为英文字母共有 26个,阿拉伯数字0 ~ 9共有10个, 所以总共可以编出 26 ? 10 ? 36种不同的号码.
数学例题与探究：分类加法计数原理与分步乘法计数原理
典题精讲【例1】一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球,所有这些小球的颜色互不相同。
(1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法?（2）从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法？思路分析：欲完成从两个口袋内任取一个小球这件事，可有两类办法，或从第一个口袋取或从第二个口袋取，都能完成这件事，所以题（1）可用分类加法计数原理来解;欲完成从两个口袋内各取一个小球这件事，需分两个步骤，第一步从第一个口袋内任取1个小球,第二步从第二个口袋内任取1个小球，两个步骤都完成了这件事就解决了，因此题（2）可用分步乘法计数原理来解。
解：（1）从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法;第二类办法是从第二个口袋内任取1个小球，可以从4个小球中任取1个，有4种方法。
根据分类加法计数原理，得到不同的取法种数是N=m1+m2=5+4=9。
所以从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法.（2）从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步骤来完成:第一步是从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法；第二步是从第二个口袋内任取1个小球,有4种方法。
根据分步乘法计数原理，得到不同的取法的种数是N=m1×m2=5×4=20。
所以从两个口袋内各取1个小球，有20种不同的取法.绿色通道：在用两个原理解决问题时,一定要分清完成这件事,是有n 类办法还是需分成n个步骤,而判断“分步”还是“分类"，主要是看作一次能否完成整个事件，这是问题的实质所在。
应用分类加法计数原理必须要求各类的每一种方法都能完成这件事。
应用分步乘法计数原理则需要各步均是完成这件事必须经过的若干彼此相关联的步骤.变式训练1 在夏季，一个女孩有红、绿、黄、白4件上衣，红、绿、黄、白、黑5条裙子,3双不同鞋子，3双不同丝袜，这位女孩夏季某一天去学校上学,有多少种不同的穿法？思路解析：此题在于完成穿衣这一件事：需分4个步骤：穿上衣、裙子、丝袜和鞋子才能完成整件事，其中各个步骤互不干扰又不可或缺。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理【要点梳理】要点一：分类加法计数原理(也称加法原理)1．分类加法计数原理：完成一件事,有n 类办法.在第1类办法中有1m 种不同方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法.2．加法原理的特点是：① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n 类；② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和。
3．图示分类加法计数原理：由A 到B 算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数，折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。
从图中可以看出，完成由A 到B 这件事，共有方法m+n 种。
要点诠释：用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，“类”要一竿到底，它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束，图示分类加法计数原理，用意就在其中。
要点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算完成．2．乘法原理的特点：① 完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可；② 完成每一步有若干种方法；③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．要点诠释：使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积。
3.图示分步乘法计数原理：由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。
要点诠释：从A到C算作完成一件事，A是起点，C是终点，点B是中间单元，从A到B是第1步，从B到C是第2步。
人教版高中数学选修三6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(精练)(详细解析版)
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（精练）【题组一分类加法计数原理】1．（2021·南宁市银海三美学校）某小组有8名男生,4名女生,要从中选取一名当组长,不同的选法有（）A．32种B．9种C．12种D．20种【答案】C【详细解析】从8名男生4名女生选取一名当组长,是男生的选法有8种,是女生选法的有4种,共有12种. 故选:C.2．（2021·四川乐山）从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8 B．6 C．5 D．2【答案】A【详细解析】由题意分两种情况讨论:一是从甲地经过乙地到丙地,因为从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,⨯=种,所以从甲地到丙地的走法有326二是从甲地不经过乙地到丙地,因为从甲地不经过乙地到丙地有2条所以从甲地到丙地的走法有2种,+=种,故从甲地到丙地的走法共有628故选:A3．（2020·三亚华侨学校）某同学从4本不同的科普杂志,3本不同的文摘杂志,2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读,则不同的选法共有（）A．24种B．9种C．3种D．26种【答案】B【详细解析】某同学从4本不同的科普杂志任选1本,有4种不同选法,从3本不同的文摘杂志任选1本,有3种不同的选法,从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本,有2种不同的选法,++=种.根据分类加法原理可得,该同学不同的选法有:4329故选:B.4．（2021·山东高二）现有高一学生5名,高二学生4名,高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,有多少种不同的选法（）A．60 B．45 C．30 D．12【答案】D【详细解析】因为三个年级共有12名学生,由分类加法计数原理可得:从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,共有12种不同的选法.故选:D.5．（2020·博兴县第三中学高二月考）若一位三位数的自然数各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如:232,114等,则不超过200的“单重数”中,从小到大排列第22个“单重数”是（）A．166 B．171 C．181 D．188【答案】B【详细解析】由题意可得:不超过200的数,两个数字一样同为0时,有100,200有2个,两个数字一样同为1时,有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18个,两个数字一样同为2时,有122,有1个同理,两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个,综上,不超过200的“单重数”共有2+18+8=28,其中最大的是200,较小的依次为199,191,188,181,177,171,故第22个“单重数”为171,故选:B.6（2020·大名县第一中学）某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出,带了四款不同类型不同价格的玩具牛,它们的价格费你别是20,30,50,100,某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会,准备买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只,且必须至少买一款）,因信用卡出现故障,身上现金只剩170元,请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有___种（用数字表示）.【答案】13【详细解析】依题意,每款只购一只,且必须至少买一款,且消费金额不能超过170元,故可分为以下几种情况:①只购买一款玩具样品,共四种方案②购买两款玩具样品,买20和30的各一只;买20和50的各一只;买20和100的各一只;买30和50的各一只;买30和100的各一只;买50和100的各一只;共六种方案;③购买三款玩具样品买20,30和50的各一只;买20,30和100的各一只;买20、50和100的各一只;共3种方案;所以购买玩具的方案共有13种;故答案为:137．（2020·陕西高二期末）某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读,则不同的选法共有_______________种【答案】9【详细解析】根据题意,选取的杂志可分三类:科普,文摘,娱乐新闻．++=种不同选法．故答案为:9.共4329?【题组二分步乘法计数原理】1．（2020·广东云浮·高二期末）某演讲比赛候选人中高一学生5名,高二学生4名,高三学生3名,从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛,则不同的选法有（）A．60种B．45种C．30种D．12种【答案】A⨯⨯=种不同的选法．故选:A.【详细解析】由乘法计数原理可得共有543602．（2020·陕西高二期末）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务,不同的分配方案有（）A．12种B．9种C．8种D．6种【答案】C【详细解析】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法,根据分步计数原理可知,不同的分配方案=种.总数为328故选:C3．（2020·山东菏泽·高二期末）从A地到B地要经过C地,已知从A地到C地有三条路,从C地到B地有四条路,则从A地到B地不同的走法种数是（）A．7 B．9 C．12 D．16【答案】C【详细解析】根据题意分两步完成任务:第一步:从A地到C地,有3种不同的走法;第二步:从C地到B地,有4种不同的走法,⨯=种,根据分步乘法计数原理,从A地到B地不同的走法种数:3412故选:C.4．（2020·陕西高二月考（理））有6位同学报名参加三个数学课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法共有（）A．63B．36C．36A D．36C【答案】A【详细解析】由题意知本题是一个分步计数问题,第一个同学有3种报法,第二个同学有3种报法,后面的四个同学都有三种报法,根据分步计数原理知共有63种结果,故选:A．5．（2020·湖北车城高中高二期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有（）A．150种B．180种C．240种D．120种【答案】 B【详细解析】分步涂色,第一步对A涂色有5种方法,第二步对B涂色有4种方法,第三步对C涂色有3种方法,第四步对D涂色有3种方法,⨯⨯⨯=．∴总的方法数为5433180故选:B．6．（2020·广东佛山·高二期末）已知某体育场有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为__.【答案】12【详细解析】根据题意,某体育场有4个门,从一个门进,有4种走法,另一个门出,有3种走法,则有4312⨯=种不同的走法.故答案为:12.7．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中）一电路图如图所示,从A 到B 共有__________条不同的线路可通电.【答案】8【详细解析】根据电路图可知,共有22138⨯++=条不同的线路可通电.故答案为:88．（2020·浙江高三其他模拟）现有6名选手参加才艺比赛,其中男、女选手各3名,且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同,则不同的出场方式的种数为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24 【答案】B【详细解析】设3名男选手分别为1A ,2A ,3A ,他们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,3名女选手分别为1B ,2B ,3B ,她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,若第一个出场的是1A ,则第二个出场的只能是2B 或3B ,若第二个出场的是2B ,则接下来的出场顺序只能是3A ,1B ,2A ,3B ,同理,若第二个出场的是3B ,则接下来的出场顺序只能是2A ,1B ,3A ,2B ,所以若1A 第一个出场,则不同的出场方式有2种,故不同的出场方式共有2612⨯=（种）,故选:B【题组三 两个计数原理综合运用】1．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）现用五种不同的颜色,要对如图中的四个部分进行着色,要求公共边的两块不能用同一种颜色,共有__________种不同着色方法【答案】260【详细解析】先排I ,有5种方法;然后排II,IV ,最后排III :①当II,IV 相同时,方法有44⨯种,故方法数有54480⨯⨯=种.②当II,IV 不同时,方法有433⨯⨯种,故方法数有5433180⨯⨯⨯=种.综上所述,不同的着色方法数有80180260+=种.故答案为:2602．（2020·陕西咸阳·高二期末（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账,则他们结账方式的组合种数共________种．【答案】20【详细解析】当乙用现金结算时,此时甲和乙都用现金结算,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有3412⨯=种方法,当乙用银联卡结算时,此时甲用现金结算,丙有2种方法,丁有4种方法,共有248⨯=种方法,综上,共有12820+=种方法.故答案为:20.3．（2020·广东）已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲.乙结账方式不同,丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有 种【答案】20【详细解析】当乙用现金结算时,此时甲和乙都用现金结算,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有3412⨯=种方法;当乙用银联卡结算时,此时甲用现金结算,丙有2种方法,丁有4种方法,共有248⨯=种方法,综上,共有12820+=种方法.故选:D4．（2020·浙江高三其他模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方案有______种.【答案】144【详细解析】第一步,对区域1进行涂色,有4种颜色可供选择,即有4种不同的涂色方法;第二步,对区域2进行涂色,区域2与区域1相邻,有3种颜色可供选择,即有3种不同的涂色方法;第三步,对区域3进行涂色,区域3与区域1、区域2相邻,有2种颜色可供选择,即有2种不同的涂色方法; 第四步,对于区域4进行涂色,区域4与区域2、区域3相邻,有2种颜色可供选择,即有2种不同的涂色方法; 第五步,对区域5进行涂色,若其颜色与区域4相同,则区域6有2种涂色方法,若其颜色与区域4不同,则区域6只有1种涂色方法,故区域5,6共有213+=种涂色方法,由分步乘法计数原理知,不同的涂色方案的种数为4322(21)144⨯⨯⨯⨯+=.故答案为:1445．（2021·浙江诸暨中学）假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款,则有________种不同的支付方式.【答案】6【详细解析】9元的支付有两种情况,522++或者5211+++,①当9元采用522++方式支付时,200元的支付方式为2100⨯,或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有1313⨯⨯=种支付方式;②当9元采用5211+++方式支付时:200元的支付方式为2100⨯,或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有1313⨯⨯=种支付方式;所以总的支付方式共有336+=种．故答案为:6．6．己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④sin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.【答案】12【详细解析】对于①,因为21y x=,定义域为()(),00,-∞⋃+∞且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于②,因为cos y x =,定义域为R 且满足()()f x f x -=,故为偶函数;对于③,因为12y x =,定义域为[)0,+∞,故非奇非偶函数;对于④,因为sin y x =,定义域为[]1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数;对于⑤,因为1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭,定义域为()1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑥,因为1y x =+,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数.任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:当选1奇和2偶时,21⨯种;当选2奇和1偶时,12⨯种;当选1奇,1偶,1非奇非偶时,2228⨯⨯=种.∴一共有12种选法.故答案为:12.7．（2020·河南南阳华龙高级中学高二月考）有一项活动,需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.（1）若只需选1人参加,则有多少种不同的选法?（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?（3）若需要1名老师、1名学生参加,则有多少种不同的选法?【答案】（1）16;（2）120;（3）39.【详细解析】（1）需一人参加,有三类:第一类选老师,有3种不同的选法;第二类选男生,有8种不同的选法;第三类选女生,有5种不同的选法.共有38516++=种不同的选法;（2）需老师、男同学、女同学各一人,则分3步,第一步选老师,有3种不同的选法;第二步选男生,有8种不同的选法;第三步选女生,有5种不同的选法.共有385120⨯⨯=种不同的选法;（3）第一步选老师有3种不同的选法,第二步选学生有8513+=种不同的选法,共有31339⨯=种不同的选法.。
(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理例题
分类加法计数原理与分步乘法计数原理【基础知识】1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[难点正本疑点清源]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．【题型讲解】题型一分类加法计数原理的应用分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪：用分类加法计数原理．解 (1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法．(2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．综上知，共有30＋30＋20＝80种选法．例2 王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．根据分类加法计数原理，所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为30＋20＝50(种). 例3 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 解法二：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．例4 方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？解 以m 的值为标准分类，分为五类．第一类：m ＝1时，使n >m ，n 有6种选择；第二类：m ＝2时，使n >m ，n 有5种选择；第三类：m ＝3时，使n >m ，n 有4种选择；第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，即有20个符合题意的椭圆．题型二分步乘法计数原理的应用探究提高利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．例1已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有多少个？[解析]圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种，4种，2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．例1有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．思维启迪：可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．例1已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图像开口向上的二次函数．解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx ＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c图像的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图像开口向上的二次函数．例1(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，则有多少种不同分配方案？[解析](1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成，每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3名学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案.题型三两个原理的综合应用例1一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？[解析](1)从书架上任取一本书，有三类方法：第一类方法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类方法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类方法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法．只要在书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分成三个步骤完成：第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；第二步：从书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法．由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝30(种)．所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法．例1一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．[答案]920[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．例1现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解析](1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．例1有三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？[解析]分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30种取法；一类是取白球、红球，有5×7＝35种取法；一类是取黑球、红球，有6×7＝42种取法．∴共有取法：30＋35＋42＝107(种)．例1如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．思维启迪：染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C 是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．方法三按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．探究提高用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．例1有一项活动，需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参加．(1)若只需1人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男生、女生各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同的选法？解(1)分三类：取老师有3种选法；取男生有8种选法；取女生有5种选法，故共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有3×8×5＝120种选法．(3)分两步：第一步选老师，第二步选学生．对第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有3×(8＋5)＝39种选法．对两个基本原理的特殊题型典例：(1)(5分)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有() A．24种B．4种C．43种D．34种(2)(5分)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意．．．．到一封信只能投在一个信箱中．．．．．．．．．．．．．；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算．解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种)．答案(1)C(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择．(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位奇数？[解析] 方法一：按末位是1,3,5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类，末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120(个)．方法二：符合条件的数有3×4×4×3－2×4×3＝120(个)．3．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙2个不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种B．240种C．144种D．96种[答案] B[解析]能去巴黎的有4个人，依次去伦敦，悉尼，莫斯科的有5个人，4个人，3个人，故不同的选择方案为4×5×4×3＝240(种)．故选B.5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式．(结果用数值表示) [答案]48[解析]先安排首尾播放公益广告，共2种，再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1＝24种，由分步乘法计数原理得24×2＝48种．方法与技巧1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．混合问题一般是先分类再分步．3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．失误与防范1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制．1．(2011·大纲全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案 B解析依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)，选B.2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．答案32解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．3．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为() A．6B．23 C．42 D．44答案 B解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴23＝8.4．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种答案 C解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．5．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．答案12解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．6．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．6种B．9种C．10种D．12种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．7．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有__________种不同的排法．答案 1 280解析完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排人的相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法．8．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，则大师赛共有________场比赛．答案16解析小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4(场)比赛；根据分类加法计数原理共有2C24＋4＝16(场)比赛．9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为 ()A．42 B．30 C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．10．已知I＝{1,2,3}，A、B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A、B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对答案 D解析依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.11．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有()A．32个B．27个C．81个D．64个答案 D解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q 的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.12．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有() A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法．故共2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．故应选C.13．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有______个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数有9×9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．14．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有________个．答案32解析和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两个数，即子集中的元素取自5个组中的一个数．而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2＝25＝32.15．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．16. 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种答案 B解析分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F 有2种方法，故有A34×2＝48(种)方法；第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法.17．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解析(1)若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．18．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．3 B．4 C．6 D．8答案 D解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个．把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个．2．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有() A．238个B．232个C．174个D．168个答案 C解析由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复数字的四位数共有3A33＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为() A．10 B．11 C．12 D．15答案 B解析方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论．。
人教A版2019高中数学选择性必修三 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件
6.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理
学习目标
1.归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理， 能应用他们解决简单的实际问题；（重点）
2.正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题 的特征，正确的区分“分类”或“分步”.（难点）
环节一、问题引入
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（3）2个字母 根据这两个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个 子类： 字母在第1位和第2位 第1位 第2位 第3位 第4位 第5位 24 24 10 10 10
根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为24×24×10×10×10=576 000. 同样，其余九个子类号牌也各有576 000张. 根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为576000×10=5 760 000.
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数 是计数的基本方法.
汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中 选出若干个，并按适当顺序排列而成.随着人们生活水平的提高， 家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容.那么交通管理 部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就 需要数出某种汽车号牌序号的组成方案下有可能的序号数.
分析：要完成的事情是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤： 第1步，选男生； 第2步，选女生.
第1步 30
第2步 24
解：根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种选法.
（三）原理剖析
两原理的异同点 分类加法原理
分类计数加法原理与分步计数乘法原理(人教A版)
分类计数加法原理与分步计数乘法原理（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，则（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )种A.12B.60C.48D.722.上接第（1）题.（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )种A.12B.60C.48D.723.展开后共有的项数为( )A.11B.14C.45D.34.在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有( )个A.36B.30C.12D.115.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0到5这六个数字中拨号，这4个拨号盘可组成的四位数号码个数是( )A.6000个B.36个C.3645个D.32个6.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.60种B.15种C.12种D.10种7.从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.15种B.27种C.60种D.125种8.集合的不同子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个9.将长为15的木棒截成长为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则得到的不同三角形的个数为( )A.8B.7C.6D.510.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有( )A.4种B.5种C.6种D.9种。
分类计数加法原理与分步计数乘法原理(含答案)
分类计数加法原理与分步计数乘法原理一、单选题(共11道，每道9分)1.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，则（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )A.12B.60C.48D.72答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )2.上接第1题．A.12B.60C.48D.72答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理3.用10元，5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有( )A.3B.5C.9D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理4.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有( )A.13种B.15种C.20种D.30种答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理5.乘积展开后共有的项数为( )A.11B.14C.45D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理6.在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有( )个A.36B.30C.12D.11答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理7.集合的不同子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理8.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0到5这六个数字中拨号，这4个拨号盘可组成的四位数号码个数是( )A.6000个B.36个C.3645个D.32个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理9.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.60种B.15种C.12种D.10种答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理10.从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.15种B.27种C.60种D.125种答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理11.3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有( )A. B.4×3×2种C. D.1×2×3种答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理。
分类加法与分步乘法
A
m1
m2
…...
mn
B
课本 P6
练习1，2
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
巩固练习
1.填空： ①一件工作可以用2种方法完成，有5人 会用第1种方法完成，另有4人会用第2种 方法完成，从中选出1人来完成这件工作 ，不同选法的种数是 9 . ②从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不 6 同的路线有 条.
练习1、甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名， 现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加 31 校三好学生代表大会，共有___________种不同 的推选方法。 先分类再分步
练习2、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分 别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种 不同的挂法？ 3×2=6种
例题讲解：
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所 大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
5+4=9种
变式：
若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融 学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共 有多少种？ A大学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学 C大学 新闻学
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女各一名去参加比赛，有多少种不同的选法？
30×24=720种
分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：
分类加法
分步乘法
共同点
分类加法计算原理与分步乘法计算原理共22页文档
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭