分类加法分步乘法
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件(共40张PPT)
角度 涂色、种植问题 [例3] (1)如图，图案共分9个区域，有6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能 涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同 色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同， 则不同的涂色方法有( ) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12
D．9
解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点 的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝ 18(条)，故选B.
4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不 同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数是______．
解析：从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两数 和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种 方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类 加法计数原理得共有N＝3＋3＝6(种)．
考点1 分类加法计数原理
1.如图，某货场有两堆集装箱，一
堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每
次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过
程中不同取法的种数是( )
A．6
B．10
C．12
D．24
解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为
1，2，3，右边的集装箱从上往下分别记为4，5.分两种
情况讨论：若先取1，则有12345，12453，12435，
答案：D
3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值
1.1分类加法与分步乘法
1.1分类加法与分步乘法计数原理
一、分类计数原理
1.定义：一件事，有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21
2.各类办法之间相互独立,都能独立的、一次的且每次得的是最后的结果完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
3.首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
二、分步计数原理
1.定义：完成一件事，需要分成n 个步骤。
做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n 步有mn 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21
2.各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,缺少任何一步都不能完成这件事，将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理
3.首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.
三．分类加法与分步乘法计数原理的区别与联系
四．典型三个问题：
1.投信问题(例题：3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是多少？)
2.区域上色问题：逐块上色，但有时若一个区域上色影响到另一个区域上色的方法数时，应分类讨论. 常对对角区域同色或不同色分类.
例题：如图所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有多少种？(校本29)
3. 位置全错乱问题：(1)3人位置全错乱 (2种)
(2) 4人位置全错乱 (9种)。
第1节 分类加法和分步乘法
第1节分类加法和分步乘法【基础知识】1.分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.3.两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.【规律技巧】1.计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时：(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4.用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5.(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6.分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．7.应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．8.涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【典例】【例1】(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．9∴由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个)．答案(1)B(2)B【规律方法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类(即标准明确，不重不漏)．【变式探究】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10B．11C．12D．15【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．【变式探究】(1)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花()A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元(2)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________个．【针对训练】1、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279【答案】B2、春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．【答案】28【解析】每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班的方法数为种，其中包含甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有种．3、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有种；【答案】244、数列共有12项，其中，，，且，，则满足这种条件的不同数列的个数为（）A.84 B.168 C.76 D.152【答案】A5、用6种不同颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即右图中A、B所示的区域）用相同颜色，则不同的涂法共有___________种（用数字作答）.【答案】216【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，可以分为三种情况讨论，一共用了3种颜色，共有A 63=120种结果，一共用了2种颜色．共有C 62A 32=90种结果，一共用了1种颜色，共有6种结果，∴根据分类计数原理知，共有120+90+6=216，故答案为：216.。
分类加法和分步乘法
分类加法和分步乘法
分类加法。
分类加法是指将问题分解为几个独立的部分，然后将这些部分
的结果相加以得到最终的解决方案。
这种方法常常用于解决计数问题，例如排列组合、概率等。
通过将问题分解为几个简单的部分，
我们可以更容易地理解和解决复杂的计数问题。
举个例子，假设我们要计算从1到100的所有偶数的和。
我们
可以将这个问题分解为两个步骤，首先找出1到100之间的所有偶数，然后将它们相加。
这样一来，我们就可以通过两个简单的步骤
得到最终的结果。
分步乘法。
分步乘法是指将一个大的乘法问题分解为若干个小的乘法问题，然后将这些小问题的结果相乘以得到最终的解决方案。
这种方法常
常用于解决大数乘法或者多项式乘法等问题。
通过将大的乘法问题
分解为小的部分，我们可以更容易地计算复杂的乘法运算。
举个例子，假设我们要计算13乘以47的结果。
我们可以将这
个问题分解为十位数和个位数的乘法问题，首先计算3乘以7，然
后计算3乘以4和1乘以7，最后计算1乘以4。
通过分解乘法问题为小的部分，我们可以更容易地计算得到最终的结果。
应用。
分类加法和分步乘法在数学中有着广泛的应用。
它们不仅可以
帮助我们更好地理解和解决复杂的数学问题，还可以在实际生活中
帮助我们简化计算和解决实际问题。
总之，分类加法和分步乘法是两种重要的数学运算方法，它们
在解决不同类型的问题时都具有重要的作用。
通过掌握这两种方法，我们可以更好地理解和解决数学问题，提高数学运算的效率和准确性。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
分类加法和分步乘法标准要求
分类加法和分步乘法标准要求【基础回顾】一、课本基础提炼分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+m n种不同的方法.分步乘法计数原理（乘法原理）的概念一般形式：一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×...×m n种不同的方法.二、二级结论必备1.两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.2.对于较为复杂的既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理的问题，可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题.3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.．【技能方法】1.有关分类加法计数原理的问题此类题型主要考察分类加法计数原理的应用，虽然在高考试题中不会出现直接考察的题目，但它是学习后面排列、组合以及概率知识的基础，还应当引起足够的重视，分类时要标准明确，做到不重不漏.例1.在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着4件学习用品，3件生活用品，4件娱乐用品，若他只抓其中的一件物品，则他抓的结果有________种．【答案】11.【解析】抓物品的不同结果数分三类，由分类加法计数原理得共有4＋3＋4＝11(种)．【点评】本题分析题意可知，所有的抓的结果是按类别分的，符合加法原理，即可求解.2. 有关分步乘法计数原理的问题此类题型主要考察分步乘法计数原理的应用，题目虽然难度不大，但要根据事件的发生过程来进行分步，分步时要主要步与步之间的连续性，是后面学习排列、组合的基础.例 2.有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有()A.4320B.2880C.1440D.720【答案】A【解析】第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第六个区域有4种不同的涂色方法，第五个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理6×5×4×3×3×4=4320．【点评】本题按区域涂色的问题符合分步乘法计数原理，根据条件中描述的限制的条件，求得每一步的方法种数，即可求解.3.两个原理的综合运用此类题主要考察两个原理的综合应用，当两个原理一起应用时，要明确先分类还是先分步，这是高考考察的重点.例3.某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理 课件
问题 5 若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、 人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 答 这名同学可以选择 A、B、C 三所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方 法，在 C 大学中有 3 种专业选择方法．又由于三所大学没有 共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可 能的专业选择种数为 5＋4＋3＝12. 小结 如果完成一件事有 n 类不同方案，在第 1 类方案中 有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方 法，……，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成 这件事共有 m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同的方法．
小结 解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应 用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是 “分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成 一件事”的含义．具体应用时灵活性很大，要在做题过程中不 断体会和思考，基本原则是“化繁理：完成一件事有两类不同方案，在第 1
类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法. 2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第 1 步 有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么 完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法.
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到 A、B 两
所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理是指将一个计数问题分成若干个子问题，然后将子问题的计数结果相加得到最终的计数结果。
其基本思想是将问题中的元素分成若干个不重叠的类别，然后分别计数各个类别的元素个数，最后将各类别的计数结果相加。
这个原理常用于解决包含多个步骤的计数问题。
举个例子来说明分类加法计数原理的应用：假设有一个盒子，里面有红球、蓝球和绿球，分别有3个、4个和5个。
现在要从盒子中任选3个球，问有多少种选择方法。
我们可以将这个问题分为三个子问题：选取3个红球的方法数、选取3个蓝球的方法数和选取3个绿球的方法数。
然后分别计数这三个子问题的方法数，最后将它们相加得到总的方法数。
与分类加法计数原理相对应的是分步乘法计数原理。
分步乘法计数原理是指将一个计数问题分成若干个步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到最终的计数结果。
这个原理常用于解决包含多个独立步骤的计数问题。
举个例子来说明分步乘法计数原理的应用：假设有一个密码锁，需要输入5位密码，每位密码都是从0到9的数字。
问一共有多少种可能的密码组合。
我们可以将这个问题分为5个步骤：第一位密码的选择、第二位密码的选择、第三位密码的选择、第四位密码的选择和第五位密码的选择。
然后计数每个步骤的可能性，最后将它们相乘得到总的可能性。
分步乘法计数原理也可以用于解决其他的计数问题，例如从一个字母表中选择若干个字母组成单词的方法数、从一个数列中选择若干个数的方法数等等。
总的说来，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决组合数学中计数问题的重要方法。
它们可以帮助我们系统地分析和解决各种计数问题，提高我们的计算能力和思维能力。
无论是在学术研究还是在实际应用中，这两个原理都有着广泛的应用价值。
分类加法计算原理与分步乘法计算原理
各个分类之间必须是互斥的，即它们之间没有交集。这意味着每个 事件只能属于一个分类，不会出现重复计算的情况。
2. 穷尽原则
所有分类的并集必须包含所有可能的事件，即分类必须穷尽所有情况。 这样可以确保不会遗漏任何事件，从而保证计算的准确性。
分类加法计算步骤
步骤一
确定问题的所有可能结果，并将这些结果划分为 互斥且穷尽的分类。
对于某些特定类型的复杂问题，分类加法计算原理和分步乘法计算原理的应用效果可能受到限制。未来 可以针对这些特定问题进行深入研究，探索更有效的解决方法。
研究不足与展望
拓展应用领域
目前，分类加法计算原理和分步乘法计 算原理主要应用于数学和计算机科学领 域。未来可以探索将这些原理应用于其 他领域，如物理、化学、生物等，为解 决这些领域的复杂问题提供新的思路和 方法。
积分计算
在微积分学中，分步乘法原理可以应用于复合函数的积分计算，通过 将复合函数拆分成多个简单函数进行积分，再相乘得到最终结果。
在物理中的应用
运动学
在运动学中，分类加法原理可以应用于速度和加速度的合成与分解。例如，平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线 运动和竖直方向的自由落体运动。
动力学
在动力学中，分步乘法原理可以应用于力的合成与分解。例如，求解物体在多个力作用下的加速度时，可以先分别求 出每个力产生的加速度，再相乘得到最终结果。
探讨两种计算原理在实际问题中的综合应用
汇报范围
01 分类加法计算原理的定义、公式及应用举例
02 分步乘法计算原理的定义、公式及应用举例
03
两种计算原理的比较分析
04
综合应用两种计算原理解决实际问题的案例 分析
02 分类加法计算原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
解法三（分类法）：完成涂色的方法分为两类， 2011高考导航 第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不相 邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区 域，共 ＝60种涂法． 由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)． 方法总结：对涂色问题，有两种解法： 法1是逐区图示法，注意不相邻可同色.
点也有2种染色方法. 则有5×4×3（1×3+2×2）=420种.
方法二、按所用颜色种数分类.
第一类，5种颜色全用，共有
A5
5
种不同的方法；
第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色 （A与C，或B与D），共有2× A 4 种不同的方法； 5
第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，
3 共有A 5 种不同的方法.
4、有无特殊条件的限制；
5、检验是否有重漏.
1.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我
们称这样的图案为L型（每次旋转90°仍为L型图案）， 那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同 位置的L型图案的个数是（ ） A.16 C.48 B.32 D.64 C
解析、每四个小方格（2×2型）中有“L”型图案4个， 共 有 2×2 型 小 方 格 12 个 ， 所 以 共 有 “ L” 型 图 案 4×12=48个.
分类计数原理
与 分步计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方 法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有N m1 m2 mn 种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理汇报
例如，一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学 生参加比赛，要求选出的学生中必须有男生和女生。根据分类加法计数原理，可以先分 别计算选出5名男生和选出5名女生的情况下的方法数，然后将两种情况下的方法数相
加，得到总的方法数。
分类加法计数原理的实例
实例
一个班里有30名学生，其中10名是男生，20名是女生，现在要从中选出5名学生参加比赛。根据分类 加法计数原理，选出5名男生有$C_{10}^{5}$种方法，选出5名女生有$C_{20}^{5}$种方法，因此总 共有$C_{10}^{5} + C_{20}^{5}$种不同的方法可以选出5名学生参加比赛。
计算机科学中的应用
计算机科学应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理在计算机科学 中也有着广泛的应用。例如，在算法设计、数据结构 、人工智能等领域中，这两个原理可以帮助我们设计 更高效的算法和数据结构，从而提高计算机程序的执 行效率和性能。
计算机科学应用实例
在计算机科学中，我们经常需要设计算法和数据结构 来处理各种问题。分类加法计数原理可以帮助我们将 问题分解为多个子问题，然后分别设计算法和数据结 构来解决每个子问题，最后将它们组合起来形成完整 的解决方案。而分步乘法计数原理则可以帮助我们将 问题分解为多个步骤，然后分别设计算法和数据结构 来解决每一步的问题，最后将它们组合起来形成完整 的解决方案。
分步乘法计数原理适用于事件需要按 照一定的顺序和步骤进行分解的情况 ，例如计算完成某项任务需要经过几 个步骤，每个步骤的概率是多少等。
优缺点比较
分类加法计数原理的优点在于能够清晰地展示不同类别的数 量，便于比较和分析；缺点在于对于复杂事件，可能难以准 确地划分类别。
分类加法和分步乘法
N=m+n 种不同的方法.
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完成一件事有两,在类第不1类同方案中有m种不同的 方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这 件事共有
N=m+n 种不同的方法.
问题1 我们班级有34位男生,15位女生,现要选一位同学 参加演讲比赛,则有多少种不同的选法？
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开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
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178次
例8 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量 迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了 一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不 重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母 必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这 种办法共能给多少辆汽车上牌照？
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例3.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共 有多少种不同的挂法？
解：第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种 选法 第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2 种选法
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是
N＝3×2＝6
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练习：
1、在由电键组A、B组成的串联电路中， 如图，要接通电源，使电灯发光的方法 有几种？
3、从数字1、2、3、4、5中任选三个数字可以组成多少个无重复 数字的三位数？
1、 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚 4、班由，数有字多0少，种1，不2同，的3，选4法，？5可以组成多少个有重复数字的三位数？
分类加法原理和分步乘法原理
分类加法原理和分步乘法原理分类加法原理和分步乘法原理是概率论中常用的计数原理，它们在解决组合计数问题时非常有用。
本文将详细介绍这两个原理的概念、应用场景以及实际计算方法，希望能对读者有指导意义。
一、分类加法原理分类加法原理是指将一个计数问题分成若干个互不相交的子问题，然后将各个子问题的计数结果累加起来得到总的计数结果。
换句话说，分类加法原理认为，如果一个事件可以被划分为若干个不相交的情况，那么它所有情况的计数结果之和就是总的计数结果。
举个例子来说明分类加法原理的应用。
假设有一家商店，它的商品有3种颜色（红色、蓝色、绿色），每种颜色都有2种尺寸（大号、小号）。
现在要计算这家商店的商品总数。
根据分类加法原理，我们可以将这个问题划分为两个子问题：计算每种颜色的商品总数，然后将这些结果相加。
假设红色、蓝色、绿色商品的数量分别为3、4、2，那么总的商品数量就是3+4+2=9。
分类加法原理除了可以用于计算组合问题的数量，还可以用于计算各种可能性的总数，比如排列问题和概率问题。
二、分步乘法原理分步乘法原理是指将一个多步骤的计数问题分解成若干个独立步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到总的计数结果。
简而言之，分步乘法原理认为，如果一个多步骤的事件的计数问题可以被分解成若干个独立的子问题，那么它的总的计数结果就是各个子问题计数结果的乘积。
举个例子来说明分步乘法原理的应用。
假设有一家餐厅，它的菜单上有3种汤品选择（番茄汤、鸡肉汤、蘑菇汤），每种汤品有2种配料选择（鸡肉块、海鲜）。
现在要计算在这家餐厅用餐的菜单组合总数。
根据分步乘法原理，我们可以将这个问题分解成两个子问题：计算汤品选择的数量，然后计算配料选择的数量，最后将这两个数量相乘。
假设汤品选择的数量为3，配料选择的数量为2，那么菜单组合总数就是3 * 2 = 6。
分步乘法原理类似于分类加法原理，但是不同的是，分步乘法原理适用于计算多步骤问题的总数，而分类加法原理适用于计算一个事件的不同情况之和的总数。
分类加法与分步乘法
练习1、甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名， 现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加 31 校三好学生代表大会，共有___________种不同 的推选方法。 先分类再分步
练习2、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分 别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种 不同的挂法？ 3×2=6种
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m+n
种不同的方法。
一般归纳： m 完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有1 种不同的方法 m ，在第2类办法中有 2 种不同的方法……在第n类办法中有 n 种不 m 同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.
分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种 不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那 么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。 注：两类不同方案中的方法互不相同。
例题讲解：
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所 大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出 男、女各一名去参加比赛，有多少种不同的选法？
30×24=720种
分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系：
分类加法
分步乘法
共同点
区别一
都是要解决完成一件事情的方法种数的问题。
完成一件事情共有n类 方案。
完成一件事情,共分n个 步骤。
各个步骤都完成 才算做完这件事
分类加法分步乘法
4+4+2=10
典例4：设集合I=﹛1，2，3，4，5﹜选择I的两个
非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数 ，则不同的选择方法有多少种？
15+14+12+8=49
典例5：如果一条直线与一个平面垂直，那么称此
4 8 3 6 3 6 1 2 0
变式3： 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻 的坐法有多少种？
6+6+6+6=24
典例2：
将红、黄、绿、黑4种不同颜色分别涂在下图的5个区 域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多 少种不同的涂色方法？
72
变式1： 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种 植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一种作物 ，共有多少种不同的种植方法？
结语
谢谢大家！
42
变式2： 有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三 角形中涂上红、黄、蓝、白、黑5种颜色中的1种， 并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的 涂色方法？
2
1
3
260
4
典例3: 4人各写一张贺卡，放在一起， 然后每个人各取一张不是自己写的贺卡 ，共有多少种不同的取法？
3+3+3=9
3.在应用分类加法计数原理时，分类方法不惟 一，但分类不重不遗. 在应用分步乘法计数原 理时，分步方法不惟一，但步骤完整.
练习：
1、 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数字， 这4个拨号盘可以组成多少个四位 数字号码？
分类加法原理和分步乘法原理(一)
分类加法原理和分步乘法原理(一)分类加法和分步乘法在数学中，有两种常见的方法用于解决复杂的计算问题，即分类加法和分步乘法。
这两种方法都是基于基本的加法和乘法原理，通过将问题分解成更简单的部分来求解。
接下来，我们将详细介绍这两种方法的原理和应用。
分类加法分类加法是一种解决加法问题的方法，通过将问题划分为不同的分类来求解。
这种方法特别适用于解决复杂的组合问题或多种情况下的计算。
下面是使用分类加法的一般步骤：1.确定问题的分类。
根据问题的特点和要求，将问题分成不同的情况或分类。
2.计算每个分类的结果。
针对每一类，使用基本的加法原理计算其结果。
3.将各个分类的结果相加，得到最终的解。
通过将问题分解成每一类的计算，分类加法能够简化复杂的计算过程，使得问题更易于理解和解决。
下面是一个简单的例子来说明分类加法的应用：问题：小明有3本英语书和2本数学书，他要选择一本书参加一个书评比赛，请问他一共有多少种选择方案？解答：根据题意，我们可以将问题分成两个分类，即选择一本英语书和选择一本数学书。
然后，我们分别计算每个分类的结果：•选择一本英语书：共有3种选择方案。
•选择一本数学书：共有2种选择方案。
最后，将各个分类的结果相加，得到最终的解：3 + 2 = 5。
所以，小明一共有5种选择方案参加书评比赛。
分步乘法分步乘法是一种解决乘法问题的方法，通过将问题分解成更简单的乘法步骤来求解。
这种方法特别适用于计算大数的乘法或复杂计算的乘法。
下面是使用分步乘法的一般步骤：1.将乘法问题写成竖式的形式。
根据乘法原理，将两个乘数按位对齐写在一起。
2.分别计算每一位的乘积。
从个位开始，分别计算每一位的乘积并写在相应的位置上。
3.将各位的乘积相加，得到最终的结果。
通过将乘法问题分解成每一位的乘积计算，分步乘法能够简化复杂的乘法操作，使得问题更易于理解和解决。
下面是一个简单的例子来说明分步乘法的应用：问题：计算1234和5678的乘积。
解答：1 2 3 4× 5 6 7 8__________________8 3 7 2 (4×8)7 4 6 0 (3×8，向前进位1)6 17 0 (2×8，向前进位1)5 56 0 (1×8，向前进位1)__________________7 0 1 6 5 2所以，1234和5678的乘积为701652。
分类加法原理和分步乘法原理公式
分类加法原理和分步乘法原理公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高二数学分类加法与分步乘法.ppt
甲
乙
丙
丁
14
探究性思考：
书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放 有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书。从 书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
提示：先分类，再分步。
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课堂小结：
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前 提和条件. 这两个原理都是指完成一件事,区别在于：
须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
Ａ
Ｂ
N = 5 × 4 ×3×4 = 240
Ｃ
Ｄ
12
变式8：五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项， 报名方法的种数为多少？
N=4×4×4×4×4
注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法 数
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1、如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从 甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地 到丁地共有多少种不同地走法？
草地
3 2
种 小岛 种 房子
方方Leabharlann 法法4种安 方全
地
法
N=3×2=6
N=3×2×4=24
3
对两个情境的分析：
情境1: 草地
2种 3种 4种
安全地
问题剖析 狐狸要做的一件事情是什么
完成这个事情的方法有几类方案 每类方案中的任一种方法能否独立完 成这件事情 每类方案中分别有几种不同的方法
完成这件事情共有多少种不同的方法
（1）分类加法计数原理是“分类”，每类办法 中的每一种方法都能独立完成一件事；
（2）分步乘法计数原理是“分步”；每种方法 都只能做这件事的一步, 不能独立完成这件事, 只有各个步骤都完成才算完成这件事情!
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典例1：由数字0，1，2，3，4，5可 以组成多少个无重复数字的三位数？ 百位 十位 个位
5种 5种 4种 N＝5×5×4＝100（种）
变式1： 由数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字 的三位偶数？ 第1类，个位数字是0，有5 4 20；
第2类，个位数字是2，有4 4=16； 第3类，个位数字是4，有4 4=16； 共有20+16+16=52 变式2： 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比 2000大的四位偶数？
第1类：从会唱歌者中选1人唱歌；
第2类：从会跳舞者中选1人跳舞； 第3类：从能歌善舞者中选1人唱歌 或跳舞；
N＝5＋4＋2×2＝13（种）
5、从5人中选4人参加数、理、化学 科竞赛，其中数学2人，理、化各1人， 求共有多少种不同的选法？ 物理1人 化学1人 数学2人
5种
4种
3种
N＝5×4×3＝60（种）
练习：
1、 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数字， 这4个拨号盘可以组成多少个四位 数字号码？
N＝10×10×10×10＝10000（种）
2、要从甲、乙、丙3名工人中选出2 名分别上日班和晚班，有多少种不 同的选法？ 第一步：选1人上日班； 有3种方法
第二步：选1人上晚班. 有2种方法
N＝3×2＝6（种）
3、有架楼梯共6级，每次只允许上一 级或两级，求上完这架楼梯共有多少 种不同的走法？ 1种走法 第1类：走3步 6种走法 第2类：走4步 5种走法 第3类：走5步 第4类：走6步 1种走法
N＝1＋6＋5＋1＝13（种）
4、某班有5人会唱歌，另有4人会跳 舞，还有2人能歌善舞，从中任选1 人表演一个节目，共可表演多少个 节目？
48 36 36 120
变式3： 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻 的坐法有多少种？
6+6+6+6=24
典例2：
将红、黄、绿、黑4种不同颜色分别涂在下图的5个区 域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多 少种不同的涂色方法？
72
变式1： 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种 植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一种作物 ，共有多少种不同的种植方法？ 变式2： 有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三 角形中涂上红、黄、蓝、白、黑5种颜色中的1种， 并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的 涂色方法？
非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数 ，则不同的选择方法有多少种？
15+14+12+8=49
典例5：如果一条直线与一个平面垂直，那么称此
直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体 中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面 构成的“正交线面对”的个数有多少？
24+12=36
总结：
1.1ห้องสมุดไป่ตู้2
分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
复习：
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是 解决完成一件事的方法数的计数问题，其不同之 处在于，前者是针对“分类”问题的计数方法， 后者是针对“分步”问题的计数方法. 2.在“分类”问题中，各类方案中的每一种方法 相互独立，选取任何一种方法都能完成这件事； 在“分步”问题中，各步骤中的方法相互依存， 只有各步骤各选一种方法才能完成这件事. 3.在应用分类加法计数原理时，分类方法不惟 一，但分类不重不遗. 在应用分步乘法计数原 理时，分步方法不惟一，但步骤完整.
2 1 4 3
42
260
典例3: 4人各写一张贺卡，放在一起， 然后每个人各取一张不是自己写的贺卡 ，共有多少种不同的取法？
3+3+3=9
变式:甲、乙、丙三人传球，由甲开始 发球，并作为第1次传球，经过5次传球 后，球仍回到甲手中，则不同的传球方 式共有多少种？
4+4+2=10
典例4：设集合I=﹛1，2，3，4，5﹜选择I的两个
6、某4名田径运动员报名参加100m， 200m和400m三项短跑比赛. （1）每人限报1个项目，共有多少种不 同的报名方法？ （2）每个项目限报1人，共有多少种不 同的报名方法？ （1）34＝81种；
（2）43＝64种.
对于较复杂的问题，当不能只用分类加 法计数原理或分步乘法计数原理解决时 ，综合应用两个计数原理，可以先分类 在某一类中再分步，也可以先分步，在 某一步中再分类.分类要做到“不重不漏 ”，分步要做到“步骤完整”.
1.在解决计数问题时，先分析是需要 “分类”还是需要“分步”,而且要有 明确的分类标准和分步程序. 2.涂色问题既考查两个原理的综合应 用又能体现分类讨论思想，是本节难 点.