第6章 逻辑斯蒂回归模型
第六章 Logistic回归《统计学习方法》课件
多项logistic回归模型
二、最大熵模型
最大熵原理 最大熵模型的定义 最大熵模型的学习 极大似然估计
最大熵原理
最大熵模型(Maximum Entropy Model)由最大熵原理推 导实现。
最大熵原理： 学习概率模型时，在所有可能的概率模型(分布)中，熵
最大的模型是最好的模型，表述为在满足约束条件的模 型集合中选取熵最大的模型。 假设离散随机变量X的概率分布是P(X)， 熵：
且： |X|是X的取值个数，X均匀分布时右边等号成立。
例子：
假设随机变量X有5个取值{A,B,C,D,E},估计各个值的概 率。
解：满足 P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1 等概率估计： 加入一些先验：
于是：
例子：
假设随机变量X有5个取值{A,B,C,D,E},估计各个值的概 率。
似然函数是统计模型中参数的函数。给定输出x时，关于参 数θ的似然函数L(θ|x)（在数值上）等于给定参数θ后变量X 的概率：L(θ|x)=P(X=x|θ)
似然函数的重要性不是它的取值，而是当参数变化时概率 密度函数到底是变大还是变小。
极大似然函数：似然函数取得最大值表示相应的参数能够 使得统计模型最为合理
目录
1. 逻辑斯蒂回归模型 2. 最大熵模型 3. 模型学习的最优化方法
一、逻辑斯蒂回归
逻辑斯蒂分布 二项逻辑斯蒂回归 似然函数 模型参数估计 多项logistic回归
回归
面积 销售价钱 (m^2) （万元） 123 250 150 320 87 160 102 220 ……
回归
回归：广义线性模型（generalized linear model） 分类：根据因变量的不同
多项逻辑斯蒂回归模型
多项逻辑斯蒂回归模型多项逻辑斯蒂回归模型（Multinomial Logistic Regression Model）是一种分类模型，用于将多个类别分别分配给一组预测变量。
它是逻辑斯蒂回归模型的进化，适用于分类问题中有多个可能的输出类别的情况。
在这个模型中，每个类别的概率是根据预测变量的线性组合计算的。
多项逻辑斯蒂回归采用类似于二项逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）的思路来实现对于多个类别的分类，主要通过多个决策边界来实现类别的划分。
假设多项逻辑斯蒂回归模型有k个类别，对于第j个类别，其概率为：P(Y = j|X) = e^(β_j*X)/（∑_i=1^k e^(β_i*X)）其中，β_j是与第j个类别关联的系数，X是特征矩阵，Y是响应变量。
通过这个公式可以得出每个类别的概率，然后根据概率大小判断属于哪一个类别。
多项逻辑斯蒂回归模型经常用于文本分类、医疗诊断、人脸识别等领域。
文本分类是多项逻辑斯蒂回归模型的一个应用场景。
在文本分类中，每个文本可以被分配到多个类别中的一个或多个，因此需要使用多项逻辑斯蒂回归模型对文本进行分类。
在医疗诊断中，多项逻辑斯蒂回归模型可以用于根据多项指标来预测一种疾病的可能性。
模型可以用于心脏病、癌症和糖尿病等疾病的诊断。
在人脸识别中，多项逻辑斯蒂回归模型可以用于将人脸分配到不同的类别中，例如年龄、性别、种族等。
需要注意的是，多项逻辑斯蒂回归模型的特征矩阵中一般需要进行独热编码（One-Hot Encoding），目的是为了将离散型变量映射成一个向量，从而在模型中进行计算。
同时，在多项逻辑斯蒂回归模型中，也需要进行特征选择和模型评估。
总之，多项逻辑斯蒂回归模型是一种用于多分类问题的回归模型，具有很好的解释性和灵活性，在许多领域都有广泛的应用。
逻辑斯蒂（logistic）回归深入理解、阐述与实现
逻辑斯蒂（logistic）回归深⼊理解、阐述与实现第⼀节中说了，logistic 回归和线性回归的区别是：线性回归是根据样本X各个维度的Xi的线性叠加（线性叠加的权重系数wi就是模型的参数）来得到预测值的Y，然后最⼩化所有的样本预测值Y与真实值y'的误差来求得模型参数。
我们看到这⾥的模型的值Y是样本X各个维度的Xi的线性叠加，是线性的。
Y=WX (假设W>0),Y的⼤⼩是随着X各个维度的叠加和的⼤⼩线性增加的，如图（x为了⽅便取1维）：然后再来看看我们这⾥的logistic 回归模型，模型公式是：，这⾥假设W>0,Y与X各维度叠加和（这⾥都是线性叠加W）的图形关系，如图（x为了⽅便取1维）：我们看到Y的值⼤⼩不是随X叠加和的⼤⼩线性的变化了，⽽是⼀种平滑的变化，这种变化在x的叠加和为0附近的时候变化的很快，⽽在很⼤很⼤或很⼩很⼩的时候，X叠加和再⼤或再⼩，Y值的变化⼏乎就已经很⼩了。
当X各维度叠加和取⽆穷⼤的时候，Y趋近于1，当X各维度叠加和取⽆穷⼩的时候，Y趋近于0.这种变量与因变量的变化形式就叫做logistic变化。
（注意不是说X各个维度和为⽆穷⼤的时候，Y值就趋近1，这是在基于W>0的基础上，（如果W<0,n那么Y趋近于0）⽽W是根据样本训练出来，可能是⼤于0，也可能是⼩0，还可能W1>0，W2<0…所以这个w值是样本⾃动训练出来的，也因此不是说你只要x1，x2，x3…各个维度都很⼤，那么Y值就趋近于1，这是错误的。
凭直觉想⼀下也不对，因为你连样本都还没训练，你的模型就有⼀个特点：X很⼤的时候Y就很⼤。
这种强假设肯定是不对的。
因为可能样本的特点是X很⼤的时候Y就很⼩。
）所以我们看到，在logistic回归中，X各维度叠加和（或X各维度）与Y不是线性关系，⽽是logistic关系。
⽽在线性回归中，X各维度叠加和就是Y，也就是Y与X就是线性的了。
混合效应逻辑斯蒂回归模型的原理及其应用
混合效应逻辑斯蒂回归模型的原理及其应用
混合效应逻辑斯蒂回归模型是一种广义线性模型，它可以用于建立二分类或多分类的
预测模型。
与传统的逻辑斯蒂回归模型不同，混合效应逻辑斯蒂回归模型考虑了被观察单
位之间的相关性，采用了混合效应的方法来消除这种相关性的影响，从而提高了模型的准
确性和稳定性。
混合效应逻辑斯蒂回归模型的原理是将线性预测函数扩展到包含固定效应和随机效应。
固定效应是指在样本中所有观测量之间共享的影响因素，如环境、训练、学历等；而随机
效应是指在样本中不同个体之间的特定影响因素，如体重、年龄、性别等。
这种方法可以
将不同个体之间的差异归因于随机效应，从而提高模型的准确性。
混合效应逻辑斯蒂回归模型的应用非常广泛，尤其是在医学、社会科学、教育和生态
学领域。
例如，在医学领域，混合效应逻辑斯蒂回归模型可以用于评估不同药物的疗效，
发现与健康相关的因素，或预测病人的死亡率。
在社会科学领域，混合效应逻辑斯蒂回归
模型可以用于预测贫困、失业或犯罪率等社会问题。
在教育领域，混合效应逻辑斯蒂回归
模型可以用于评估教学质量、课程难度和学生表现等方面。
总之，混合效应逻辑斯蒂回归模型是一种有效的建模方法，它可以用于处理具有相关
性的数据，并且可以应用于许多领域。
随着数据科学的快速发展，混合效应逻辑斯蒂回归
模型将在未来继续发挥重要作用。
逻辑斯蒂回归参数估计
逻辑斯蒂回归参数估计
逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）是一种常见的分类模型，它使用一个逻辑函数对输入特征进行建模并预测输出类别。
在给定训练数据和标签的情况下，我们可以通过最大似然估计方法来估计逻辑斯蒂回归模型的参数。
假设我们有一个二分类问题，输入特征为 x，标签为 y，逻辑斯蒂回归模型可以表示为：
h(x) = P(y=1|x) = 1 / (1 + exp(-wx))
h(x) 是通过逻辑函数（sigmoid函数）将输入特征与权重参数 w 结合后的预测结果。
我们的目标是通过最大似然估计方法来估计参数 w。
为了方便计算，我们引入对数似然函数：
L(w) = sum(y*log(h(x)) + (1-y)*(1-log(h(x))))
接下来，我们可以使用梯度下降算法来最大化对数似然函数，从而估计出参数 w。
梯度下降算法的更新规则如下：
w := w + alpha * sum((y - h(x)) * x)
alpha 是学习率，用于控制更新的步长。
通过重复执行上述更新规则，直到满足终止条件（如达到最大迭代次数或参数收敛），我们就可以得到逻辑斯蒂回归模型的参数估计值 w。
需要注意的是，在进行参数估计时，我们需要对输入特征进行适当的预处理（如标准化、归一化等），以确保模型的准确性和稳定性。
以上便是逻辑斯蒂回归参数估计的基本原理和方法，希望对您有所帮助。
logistic回归模型分析和总结
含有名义数据的logit
含有名义数据的logit
• 例：某地25岁及以上人中各类婚姻状况居民的死
亡情况见表，试建立死亡率关于年龄和婚姻状况
的logit模型。
ln p 1 p
A 1M1
2M 2
3M3
• 其中，A表示年龄(取中值)，M1、M2、M3表示婚 姻状况
• 于是，估计的logit方程为：
多项logit模型
【例】研究三个学校、两个课程计划对学生偏好何 种学习方式的影响。调查数据见表:
• 其中，三个学校对应两个哑变量x1和x2，两个课 程计划为常规(x3=1)和附加(x3=0)，学习方式分 为：自修(y=1)、小组(y=2)、上课(y=3)
• 从题目可以看出，响应变量是学习方式有三类， 属于多项逻辑斯蒂回归问题。于是，建模为：
ln ln
p1 p3 p2 p3
10 11x1 12 x2 13 x3 20 21x1 22 x2 23x3
多项logit模型
多项logit模型
• 应用统计软件可以得到模型的参数估计和回归方程：
ln
p1 p3
0.5931.134 x1 0.618 x3
ln
p2 p3
0.603 0.635 x3
ln p A E
1 p
• 其中A为年龄，E为文化程度
含有有序数据的logit
含有有序数据的logit
• 于是，估计的logit方程为：
ln p 11.637 0.124A 0.164E 1 p
• 其中，年龄的系数0.124，说明年龄越大死亡率会 越高；
• 文化程度的系数-0.164，说明文化程度与死亡率 呈负相关，文化程度越高，死亡率越低。
十三、logistic回归模型
非条件logistic回归
模型简介
❖
简单分析实例
内
容
哑变量设置
提
自变量的筛选方法与逐步回归
要
模型拟合效果与拟合优度检验
模型的诊断与修正
条件logistic回归
模型简介
对分类变量的分析，当考察的影响因素较少，且也为分类 变量时，常用列联表（Contingency Table）进行整理，并 用2检验或分层2检验进行分析，但存在以下局限性：
.184
Wal d 6.391
30.370 6.683 4.270
33.224
df 1 1 1 1
1
Sctep lwt
3
ptl
-.015
.007
5.584
1
.728
.327
4.961
1
ht
1.789
.694
6.639
1
Constant
.893
.829
1.158
1
a. Variable(s) entered on step 1: ptl.
模型拟合效果检验
结果分析
Area Under the Curv e
Test Result Variable(s): Predicted probability
Area Std. Errora
.708
.043
Asymptotic Sigb. .000
Asymptotic 95% Confidence Interval
❖ 给出了模型拟合过程中每一步的-2log（L）及 两个伪决定系数。
逐步回归
结果分析
Variables in the Equation
logistic回归分析PPT优秀课件
2
logistic回归:不仅适用于病因学分析，也可用于其他方面的研究，研 究某个二分类（或无序及有序多分类）目标变量与有关因素的关 系。
logistic回归的分类： （1）二分类资料logistic回归： 因变量为两分类变量的资料，可用
非条件logistic回归和条件logistic回归进行分析。非条件logistic回 归多用于非配比病例-对照研究或队列研究资料，条件logistic回归 多用于配对或配比资料。 （2）多分类资料logistic回归： 因变量为多项分类的资料，可用多 项分类logistic回归模型或有序分类logistic回归模型进行分析。
比较
调查方向：收集回顾性资料
人数 暴露
疾病
a/(a+b) c/(c+d)
a
+
b
-
病例
c
病例对照原理示意图
6
是否暴露 暴露组 未暴露组 合计
病例 a c a+c
对照 b d b+d
合计 a+b(n1) c+d(n2) n
比数比（odds ratio、OR）：病例对照研究中表示疾病与暴露间
联系强度的指标，也称比值比。
相对危险度RR的本质是暴露组与非暴露组发病率之比或发病概率 之比。但病例对照研究不能计算发病率，只能计算比值比OR值。 OR与RR的含义是相同的，也是指暴露组的疾病危险性为非暴露组 的多少倍。当疾病发病率小于5%时，OR是RR的极好近似值。
OR>1,说明 该因素使疾病的危险性增加，为危险因素；
OR<1,说明 该因素使疾病的危险性减小，为保护因素；
第6章逻辑斯蒂回归模型
Logistic回归模型
多元logistic模型参数的估计 –采用极大似然估计方法 –假设n次观测中,对应( xi1 , , xik ) 的观测有 ni 个, 其中观测值为1的有 ri 个,观测值为0的有 ni ri 个,则参数β 0 , β1 , , β k 的似然函数:
p ln = 11.536 + 0.124 A + 0.711M 1 0.423M 2 + 0.021M 3 1 p
含有有序数据的logit
Logit模型的协变量也可以是有序数据 对有序数据的赋值可以按顺序用数0,1,2,3,4分别 表示 【例5.8】某地某年各类文化程度的死亡人数见表 5.33,试建立logit模型. 建立死亡率关于年龄和文化程度的logit模型
多项logit模型
预测变量为x的基线-类别logit模型为:
πj ln( ) = α j + β j x, j = 1, , J 1 πJ
模型共有J-1个方程,每个方程有不同的参数,这 些效应依据与基线配对的类别而变化; 软件可以同时拟合模型中的所有方程; 不管哪个类别作为基线,对于同一对类别都会有 相同的参数估计;即基线类别的选择是任意的;
然后,将x1和x3的取值代入上式,可以进一步对三个属性之间的关系加 以分析. – 学校2与学校3的学生在自修与上课两种学习方式上偏好相同; – 学校1比学校2和3更偏好上课(1.727>0.593); – 课程计划中,常规课程与附加课程相比,常规课程学生更偏好自修; – 小组与上课相比,三个学校没有差别;常规课程学生更偏好小组学 习.
Logistic回归的推断
模型的检验
–比较特定模型与更复杂模型
Logistic回归模型基本知识
Logistic 回归模型1 Logistic 回归模型的基本知识 1.1 Logistic 模型简介主要应用在研究某些现象发生的概率p ，比如股票涨还是跌，公司成功或失败的概率，以及讨论概率p 与那些因素有关。
显然作为概率值，一定有10≤≤p ，因此很难用线性模型描述概率p 与自变量的关系，另外如果p 接近两个极端值，此时一般方法难以较好地反映p 的微小变化。
为此在构建p 与自变量关系的模型时，变换一下思路，不直接研究p ，而是研究p 的一个严格单调函数)(p G ，并要求)(p G 在p 接近两端值时对其微小变化很敏感。
于是Logit 变换被提出来：ppp Logit -=1ln)( （1）其中当p 从10→时，)(p Logit 从+∞→∞-，这个变化范围在模型数据处理上带来很大的方便，解决了上述面临的难题。
另外从函数的变形可得如下等价的公式：XT XT T ee p Xppp Logit βββ+=⇒=-=11ln )( （2）模型(2)的基本要求是，因变量（y ）是个二元变量，仅取0或1两个值，而因变量取1的概率)|1(X y P =就是模型要研究的对象。
而Tk x x x X ),,,,1(21 =，其中i x 表示影响y 的第i 个因素，它可以是定性变量也可以是定量变量，Tk ),,,(10ββββ =。
为此模型(2)可以表述成：kx k x k x k x kk eep x x pp βββββββββ+++++++=⇒+++=- 11011011011ln （3）显然p y E =)(，故上述模型表明)(1)(lny E y E -是k x x x ,,,21 的线性函数。
此时我们称满足上面条件的回归方程为Logistic 线性回归。
Logistic 线性回归的主要问题是不能用普通的回归方式来分析模型，一方面离散变量的误差形式服从伯努利分布而非正态分布，即没有正态性假设前提；二是二值变量方差不是常数，有异方差性。
第6章逻辑斯蒂回归模型
–其中probit变换是将概率变换为标准正态分布的 z −值， 形式为：
Logistic回归模型
–双对数变换的形式为：
f ( p ) = ln(− ln(1 − p ))
• 以上变换中以logit变换应最为广泛。 • 假设响应变量Y是二分变量，令 p = P(Y = 1) ,影响Y 的因素有k个 x1 ,L xk ，则称：
β • 其中， 0 , β1 ,L , β k 是待估参数。根据上式可以得到 优势的值： p β + β x +L+ β x
1− p
=e
0
1 1
k k
• 可以看出，参数 βi是控制其它 x 时 xi 每增加一个 单位对优势产生的乘积效应。 • 概率p的值： e β + β x +L+ β x
p=
0 1 1 k k
含有名义数据的logit
• 前例中的协变量为定量数据，logistic回归模型的 协变量可以是定性名义数据。这就需要对名义数 据进行赋值。 • 通常某个名义数据有k个状态，则定义个变量 M 1 ,L , M k −1 代表前面的k-1状态，最后令k-1变量均 为0或-1来代表第k个状态。 • 如婚姻状况有四种状态：未婚、有配偶、丧偶和 离婚，则可以定义三个指示变量M1、M2、M3， 用(1,0,0)、 (0,1,0) 、(0,0,1) 、(0,0,0)或(-1,-1,-1) 来对以上四种状态赋值。
G 2 = −2 ∑ 观测值[ln(观测值/拟合值)]
• 卡方的df应等于观测的组数与模型参数的差，较小的统计量的 值和较大的P-值说明模型拟合不错。 • 当至多只有几个解释变量且这些解释变量为属性变量，并且所 有的单元频数不少于5时，以上统计量近似服从卡方分布。
机器学习之逻辑斯蒂回归模型及应用研究23页PPT
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
机器学习之逻辑斯蒂回归模型及应用 研究
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
Logistic回归模型
Logistic 回归模型一、 分组数据的Logistic 回归模型针对0-1型因变量产生的问题，我们对回归模型应该作两个方面的改进。
第一， 回归函数应该用限制在[0，1]区间内的连续曲线，而不能再沿用沿用直线回归方程。
限制在[0，1]区间内的连续曲线很多，例如所有连续变量的分布函数都符合要求，我们常用的是Logistic 函数与正如分布函数，Logistic 函数的形式为：()1xxe f x e =+Logistic 函数的中文名称逻辑斯蒂函数，简称逻辑函数 第二、因变量y 本身只取0、1两个离散值，不适合直接作为回归模型中的因变量,由于回归函数01()i i i E y x πββ==+表示在自变量为i x 的条件下i y 的平均值,而i y 是0-1型随机变量,因而()i i E y π=就是在自变量为i x 的条件下i y 等于1的比例.这就提示我们可以用i y 等于1的比例代替i y 本身作为因变量.二,例子 在一次住房展销会上,与房地产商签订初步购房意向书的共有325n =名顾客,在随后的3个月的时间内,只有一部分顾客确实购买了房屋.购买了房屋的顾客记为1,没有购买房屋的顾客记为0,以顾客的年家庭收入为自变量x,对下面表所示的数据,序号年家庭收入（万元）x 签订意向书人数n 实际购房人数m 实际购房比例p逻辑变换p′=ln(p/(1-p))权重w=np(1-p)1 1.52580.32-0.7537718 5.442 2.532130.40625-0.37948967.718753 3.558260.448276-0.207639414.344834 4.552220.423077-0.310154912.692315 5.543200.465116-0.139761910.697676 6.539220.5641030.257829119.58974477.528160.5714290.287682076.85714388.521120.5714290.287682075.14285799.515100.6666670.693147183.333333建立Logistic 回归模型:c i x x p i i i,,2,1,)exp(1)exp(1010 =+++=ββββ,其中，c 为分组数据的组数，本例中c=9.将以上回归方程作线性变换，令)1ln(iii p p p -=' 该变换称为逻辑变换，变换后的线性回归模型为 i i i x p εββ++='10该式是一个普通的一元线性回归模型。
逻辑斯蒂回归模型与预测
第二讲
第二单元 S型曲线与营销策略
经济生活与数学
第二讲
第二单元 S型曲线与营销策略 第三讲 逻辑斯谛回归模型与预测
湖南大学 杨湘豫 教授
第二单元第三讲 §2.3逻辑斯谛回归模型与预测
要点
●基于定性因素的逻辑斯谛回归模型 ●逻辑斯谛回归模型的解析 ●逻辑斯谛回归曲线与经济预测
●基于定性因素的逻辑斯谛回归模型
dp p (1 p)
dx
Logit回归模型与前面的逻辑斯蒂 方程比较，不同的是： Logit回归模型：以概率的形式——把 属性变量联系起来，且饱和水平线是概
率为1的一条水平线 p 1。
●逻辑斯蒂回归模型的解析
Logit回归模型中的参数估计的方法很多，比如： 1）可用极大似然估计； 2）可用加权最小二乘法估计； 3）可利用统计软件估计。
●逻辑斯蒂回归模型的解析
加权最小二乘估计法
记不同收入（ Xi）分组中的户数（Ni )与已购买住户的户
数（ M i ）。
具体步骤如下：
1）对不同收入住户，拥有商品住房的概率估计值 pi
数定律：在大样本的情况下，用频率近似概率
pi
）；
M（i 大 Ni
2）对不同收入住户，机会比率
pi
；
1 pi
Logit回归表明：当x 变化一个单位，机会比率（也称优
势）（ pˆ 1
pˆ
）将增加 eˆ
倍。
或当x 变化一个单位，对数机会比率（
ln
1
pˆ
pˆ
）将增加ˆ
倍。
——由此可见，Logit回归模型——可用于经济预测与决策。
●逻辑斯谛回归曲线与经济预测
逻辑回归模型
逻辑回归模型逻辑回归模型是针对线性可分问题的⼀种易于实现⽽且性能优异的分类模型。
它假设数据服从伯努利分布,通过极⼤化似然函数的⽅法，运⽤梯度下降法来求解参数，来达到将数据⼆分类的⽬的。
算法推导引⼊⼏率⽐（odds）：指⼀个事件发⽣的概率与不发⽣概率的⽐值。
对其求log，可得：logit(p) = \log{\frac{p}{1-p}}将对数⼏率记为输⼊特征值的线性表达式,可得logit(P(Y=1|X)) = w^Tx对于某⼀样本属于特定类别的概率，为logit函数的反函数，称为logistic函数，即sigmoid函数:\phi(x) = \frac{1}{1+e^{-z}}逻辑斯蒂回归采⽤sigmoid函数作为激励函数逻辑斯蒂回归模型定义：P(Y=1|X) = h_\theta(x)P(Y=0|X) = 1- h_\theta(x)可知，输出Y=1的对数⼏率是输⼊x的线性函数。
对于给定的训练数据集T,可以应⽤极⼤似然估计法估计模型参数，假设模型概率分布是：P(Y=1|X) =h_\theta(x)P(Y=0|X) = 1-h_\theta(x)似然函数为：\prod_{i=1}^N{[h_\theta(x_i)]^{y_i}[1-h_\theta(x_i)]^{1-y_i}}对数似然函数为：l(\theta)=\sum_{i=1}^N{[y_i\log{h_\theta(x_i)}+(1-y_i)\log{(1-h_\theta(x_i))}]}公式推导我们使⽤梯度下降的思想来求解此问题，变换的表达式如下：J(\theta)=-\frac{1}{m} l(\theta)因为我们要使⽤当前的\theta值通过更新得到新的\theta值，所以我们需要知道\theta更新的⽅向(即当前\theta是加上⼀个数还是减去⼀个数离最终结果近)，所以得到J(\theta)后对其求导便可得到更新⽅向，求导过程如下：\frac{\partial J(\theta)} {\partial \theta_j} = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m[(\frac{y_i}{h_\theta(x_i)}-\frac{1-y_i}{1-h_\theta(x_i)})*\frac{\partialh_\theta(x_i)}{\partial \theta_j}] \\ = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m[(\frac{y_i}{h_\theta(x_i)}-\frac{1-y_i}{1-h_\theta(x_i)})*h_\theta(x_i)*(1-h_\theta(x_i))*x_i^j] \\ =\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x_i)-y_i)x_i^j得到更新⽅向后便可使⽤下⾯的式⼦不断迭代更新得到最终结果:\theta_j:= \theta_j-\alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m (h_\theta(x_i)-y_i)x_i^j优缺点逻辑斯蒂回归模型的优点有：形式简单，模型的可解释性⾮常好。
逻辑斯蒂回归模型计算物种分布
逻辑斯蒂回归模型计算物种分布全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：逻辑斯蒂回归是一种常用的统计分析方法，常用于二分类问题的预测。
不仅在社会科学领域得到广泛应用，在生态学领域也被用来预测物种分布状况。
物种分布是指某一种生物在地理空间上的分布范围，了解物种分布对于保护生物多样性、生态环境恢复和管理资源具有重要意义。
逻辑斯蒂回归模型通过将自变量和因变量之间的关系建模为对数几率函数，来预测某一事件发生的概率。
在生态学中，研究者通常使用物种分布数据和环境因子数据来建立逻辑斯蒂回归模型，以预测某一物种在不同环境条件下的分布范围。
在构建逻辑斯蒂回归模型时，首先需要收集相关的环境因子数据，这些环境因子数据通常包括气候数据、土壤数据、地形数据等。
然后，将这些环境因子数据与物种分布数据进行关联分析，找出对物种分布有显著影响的环境因子。
接着，利用逻辑斯蒂回归模型来建立环境因子与物种分布之间的关系，从而预测物种在其他地理位置的分布情况。
逻辑斯蒂回归模型的预测能力取决于模型的质量和环境因子的选择。
在构建逻辑斯蒂回归模型时，需要注意以下几点：要选择合适的环境因子。
环境因子对物种分布的影响是复杂多样的，因此需要根据研究的具体问题选择合适的环境因子进行建模。
常用的环境因子包括气候因子、土壤因子、地形因子等。
选择环境因子的过程中，可以借助专业知识和统计分析方法进行辅助。
要注意环境因子之间的多重共线性。
环境因子之间可能存在相关性，如果存在严重的多重共线性问题，会影响逻辑斯蒂回归模型的稳定性和预测能力。
在建立模型时，需要对环境因子进行多重共线性检验，并对相关性较高的环境因子进行适当的处理。
还要考虑采样偏差和数据不平衡的问题。
在采集物种分布数据和环境因子数据时，可能存在采样偏差和数据不平衡的情况，这会影响逻辑斯蒂回归模型的建立和预测效果。
在进行数据的分析和建模时，需要针对采样偏差和数据不平衡问题进行修正，以提高模型的准确性和可靠性。
逻辑斯蒂回归模型在物种分布预测中的应用具有广泛的意义。
逻辑斯谛模型
逻辑斯谛模型
逻辑斯蒂增长模型（Logistic growth model）逻辑斯蒂增长模型又称自我抑制性方程。
用植物群体中发病的普遍率或严重度表示病害数量（x），将环境最大容纳量k定为1（100%），逻辑斯蒂模型的微分式是：dx/dt=rx（1-x）式中的r为速率参数，来源于实际调查时观察到的症状明显的病害。
普朗克（1963）将r称作表观侵染速率（apparent infection rate），该方程与指数模型的主要不同之处，是方程的右边增加了（1-x）修正因子，使模型包含自我抑制作用。
逻辑斯蒂模型，又叫阻滞增长模型
逻辑斯蒂曲线通常分为5个时期：
1.开始期，由于种群个体数很少，密度增长缓慢，又称潜伏期。
2.加速期，随个体数增加，密度增长加快。
3.转折期，当个体数达到饱和密度一半（K/2）后，密度增长最快。
4.减速期，个体数超过密度一半（K/2）后，增长变慢。
5.饱和期，种群个体数达到K值而饱和。
逻辑斯蒂回归
逻辑斯蒂回归1.引⾔·解决响应变量为定性变量的情形。
⽐如⼀个候选⼈被分为“好”或“差”。
2.定性数据的建模·对响应变量取值的概率建模。
区间为[0,1]。
3. Logit模型·逻辑斯谛响应函数：刻画概率π与X之间的关系，逻辑斯谛分布函数构造：如果只有⼀个X变量，图形如下：·也可以利⽤其他分布函数来构造这种S型关系，⽐如，利⽤正态分布函数构造的模型称为probit模型。
⼀般认为逻辑斯谛模型更简单，性能更优。
·线性化：·⽤传统的最⼤似然法估计参数，计算的时候，采⽤迭代的⽅法求解。
è不像通常的OLS⽅法，逻辑斯谛回归没有精确解的表达式。
·解决问题的⼯具，不再是R2，t检验，F检验等，⽽是其他⽅法。
相应的假设检验帮也完全不同。
·信息准则如AIC和BIC还是适⽤的，可⽤于变量选择。
⽤拟合模型的对数替代原来的SSE。
4.例⼦：破产概率的估计·发现经营不善的⾦融商业机构是审计核查⼯作的重要职能。
· X系数的变化，logit变量的期望改变量有其他含义。
例如，固定X1和X3的值，X2的值增加⼀个单位，其概率π的优势为原来的eβ2 = e0.181 = 1.198倍，即增加了将近20%。
·某⼀变量X j改变时，在其他变量保持不变的情况下优势的变化率为eβj，若X j可以连续变化，此处的变化率的解释类似于可微函数的变化率。
当X j为只取0或1的⼆值变量时，eβj就是两个优势的⽐，称为优势⽐。
·优势⽐的置信区间不包含1，则这个变量对优势⽐的值会有显著影响；区间在1以下，当变量增⼤时，优势⽐的值会显著减⼩；区间在1以上，当变量增⼤时，优势⽐的值会显著增⼤。
·若查看变量联合起来对优势有没有影响，可以检验系数是否全部为0。
等价于多元回归分析中回归系数是否全为0的检验。
当变量联合起来对logit的值没有影响时，G的分布为χ2分布。
机器学习算法系列(3)：逻辑斯谛回归
回归预测。
LR 模型多⽤用于解决⼆二分类问题，如⼴广告是否被点击（是/否）、商品是否被购买（是/否）等互联⽹网领域中常⻅见的应⽤用场景。
但是实际场景中，我们⼜又不不把它处理理成“绝对的”分类问题，⽽而是⽤用其预测值作为事件发⽣生的概率。
这⾥里里从事件、变量量以及结果的⻆角度给予解释。
我们所能拿到的训练数据统称为观测样本。
问题：样本是如何⽣生成的？⼀一个样本可以理理解为发⽣生的⼀一次事件，样本⽣生成的过程即事件发⽣生的过程。
对于0/1分类问题来讲，产⽣生的结果有两种可能，符合伯努利利试验的概率假设。
因此，我们可以说样本的⽣生成过程即为伯努利利试验过程，产⽣生的结果（0/1）服从伯努利利分布。
这⾥里里我们假设结果为1的概率为h θ(x )，结果为0的概率为1−h θ(x )。
那么对于第i 个样本，概率公式表示如下：P (y (i )=1|x (i );θ)=h θ(x (i ))P (y (i )=0|x (i );θ)=1−h θ(x (i ))将上⾯面两个公式合并在⼀一起，可得到第i 个样本正确预测的概率：P (y (i )|x (i );θ)=(h θ(x (i ))y (i ))·（1−h θ(x (i )))1−y (i )上式是对⼀一个样本进⾏行行建模的数据表达。
对于所有的样本，假设每条样本⽣生成过程独⽴立，在整个样本空间中（N 个样本）的概率分布（即似然函数）为：P (Y |X ;θ)=N∏i =1h θx (i )y (i )1−h θx (i )1−y (i )通过极⼤大似然估计（Maximum Likelihood Evaluation ，简称MLE ）⽅方法求概率参数。
具体地，第三节给出了了通过随机梯度下降法（SGD ）求参数。
2.2.3 概率解释(()(()))三、模型参数估计3.1 Sigmoid 函数上图所示即为sigmoid函数，它的输⼊入范围为−∞→+∞，⽽而值域刚好为(0,1)，正好满⾜足概率分布为(0,1)的要求。
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Logistic回归模型
实践中， (x)通常随着 x 连续增长或连续下 降，其直观的曲线形态是S型。
• 一般有这种形状的数学函数 有 以下形式：
(x) exp( x) 1 exp( x)
• 称作logistic回归函数。 • 把以上函数线性化可以得到：
Logistic回归模型
【例6.1】一般认为，体质指数越大(BMI≥25)， 表示某人越肥胖。根据3983人的体检结果有 388人肥胖，肥胖组中患心血管病的数据见表 6.1，试建立体质指数与患心血管病概率的 logistic回归模型。
【解】根据题目知道是一元逻辑斯蒂回归问题。 运用统计软件可以对参数进行估计得到：
ln( pˆ2
/
(1
pˆ2 ))
ln( pˆ1
/
(1
pˆ1))
ln
pˆ 2 pˆ1
/ /
(1 (1
pˆ2 ) pˆ1)
0.2570
pˆ2 / (1 pˆ2 ) e0.2570 1.293 pˆ1 / (1 pˆ1)
含有名义数据的logit
前例中的协变量为定量数据，logistic回归模型 的协变量可以是定性名义数据。这就需要对名 义数据进行赋值。
其中，0, 1,L , k 是待估参数。根据上式可以
得到优势的值： p e0 1x1L k xk
1 p
可以看出，参数 i是控制其它x 时 xi每增加 一个单位对优势产生的乘积效应。
概率p的值：
e0 1x1 L k xk p 1 e0 1x1L k xk
Logistic回归模型
最简单的logit线性模型为：
ln
p 1 p
x
则优势为：
p e x e (e )x
1 p
以上指数关系说明： x每增加1个单位，优
势 此变时为的原概来率的 应为e：倍p ；1eexx
Logistic回归模型
多元logistic模型参数的估计
采用极大似然估计方法
假设n次观测中，对应(xi1,L , xik )的观测有 n个i ，
ln p A E
1 p
其中A为年龄，E为文化程度
含有有序数据的logit
于是，估计的logit方程为：
ln p 11.637 0.124A 0.164E 1 p
其中，年龄的系数0.124，说明年龄越大死 亡率会越高；
文化程度的系数-0.164，说明文化程度与死 亡率呈负相关，文化程度越高，死亡率越 低。
第六章 逻辑斯蒂回归
Logistic回归模型
对列联表的分析，独立性检验可以初步了解属 性之间是否相互独立，或是否相关；通过列联 表的相合性检验，可以进一步知道属性之间的 相合情况，包括方向和程度； Logistic模型可 以更进一步拟合属性变量之间的函数关系，以 描述变量之间的相互影响。
列联表中的数据是以概率的形式把属性变量联 系起来的，而概率p的取值在0与1之间，因此， 要把概率p (x)与 x 之间直接建立起函数关系
ˆ0 6.0323, ˆ1 0.2570
于是logit模型为： ln pˆ 6.0323 0.2570 BMI
1 pˆ
Logistic回归模型
由得到的模型可知，
患病概率为：
6.03230.257BMI
pˆ 1 e e6.03230.257BMI
当体质指数BMI变化1单位时，对数优势比将增 加0.2570，优势比将增加 e0.2570 1.293即：
其中观测值为1的有 ri 个，观测值为0的有ni ri
个，则参数0, 1,L , k的似然函数：
0 1xi1 L k xik
ri
e 1 t
1 e 1 e i1
0 1xi1 L k xik
ni ri 0 1xi1 L k xik
可以使用迭代法求出参数的ML估计
由于计算的复杂性，可以利用统计软件得到。
ln
(x) 1 (x)
x
Logistic回归模型
因此，人们通常把p的某个函数f(p)假设为 变量的函数形式，取 f ( p) ln (x) ln p
1 (x) 1 p
称之为logit函数，也叫逻辑斯蒂变换。 因此，逻辑斯蒂变换是取列联表中优势的
对数。当概率在0-1取值时，Logit可以取任 意实数，避免了线性概率模型的结构缺陷。 类似的处理还有probit变换和双对数变换。
其中probit变换是将概率变换为标准正态分布的 z 值，
形式为： probit[ (x)] x
Logistic回归模型
双对数变换的形式为： f ( p) ln(ln(1 p))
以上变换中以logit变换应最为广泛。
假设响应变量Y是二分变量，令p P(Y 1) ,影响 Y的因素有k个x1,L xk ，则称：
ln p 1 p
g ( x1 ,L
, xk )
为二分数据的逻辑斯蒂回归模型，简称逻辑斯 蒂回归模型。其中的k个因素称为逻辑斯蒂回 归模型的协变量。
Logistic回归模型
最重要的逻辑斯蒂回归模型是logistic线性
回归模型，多元logit模型的形式为：
ln p 1 p
0 1x1 L
k xk
含有名义数据的logit
例：某地25岁及以上人中各类婚姻状况居 民的死亡情况见表6.2，试建立死亡率关于 年龄和婚姻状况的logit模型。
ln p 1 p
A 1M1
2M 2
3M3
其中，A表示年龄，M1、M2、M3表示婚姻 状况Βιβλιοθήκη 于是，估计的logit方程为：
ln
pˆ 1 pˆ
11.536
通常某个名义数据有k个状态，则定义个变量 M1,L , Mk1代表前面的k-1状态，最后令k-1变量 均为0或-1来代表第k个状态。
如婚姻状况有四种状态：未婚、有配偶、丧偶 和离婚，则可以定义三个指示变量M1、M2、 M3，用(1,0,0)、 (0,1,0) 、(0,0,1) 、(0,0,0)或(1,-1,-1)来对以上四种状态赋值。
0.124A
0.711M1
0.423M 2
0.021M 3
含有有序数据的logit
Logit模型的协变量也可以是有序数据 对有序数据的赋值可以按顺序用数0,1,2,3,4分
别表示 【例5.8】某地某年各类文化程度的死亡人数见
表5.33，试建立logit模型。 建立死亡率关于年龄和文化程度的logit模型