有限元分析法
有限元分析FEA
广州有道计算机科技有限公司有限元分析FEA有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
大型通用有限元商业软件：如ANSYS可以分析多学科的问题，例如：机械、电磁、热力学等；电机有限元分析软件NASTRAN等。
还有三维结构设计方面的UG、CATIA、Proe等都是比较强大的。
国产有限元软件：FEPG、SciFEA、,JiFEX、KMAS等有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种数值分析方法，用于解决物理问题的近似解。
它基于将有限元区域（即解释对象）分解成许多简单的几何形状（有限元）并对其进行数值计算的原理。
本文将深入探讨有限元分析的原理、应用和优点。
有限元分析的原理基于弹性力学理论和数值计算方法。
它通过将解释对象分解为有限个简单的几何区域（有限元）和节点，通过节点之间的连接来建立模型。
这些节点周围的解释对象区域称为“单元”，并且通过使用单元的形状函数近似解释对象的形状。
每个单元都有一个与之相连的节点，通过对每个单元的受力进行计算，可以得到整个解释对象的受力分布。
然后，利用一系列运算和迭代，可以计算出解释对象的位移、应力和变形等相关参数。
有限元分析的应用范围广泛，从结构力学、热传导、电磁场分析到流体力学等各个领域。
在结构力学中，它被用于分析各种结构的静力学、动力学和疲劳等性能。
在热传导领域，它可以用于研究物体内部的温度分布和传热性能。
在电磁场分析中，它可用于计算复杂电磁场下的电场、磁场和电磁场耦合问题。
在流体力学中，有限元方法可以解决各种流体流动、热传递和质量转移问题。
有限元分析的优点之一是可以处理各种复杂边界条件和非线性材料特性。
它可以考虑到不同材料的非线性本质，例如弹塑性和接触等问题。
另外，有限元方法还可以适应任意形状和尺寸的几何模型，因此非常适用于复杂工程问题的建模与分析。
有限元分析的使用需要一定的专业知识和经验。
首先，需要将解释对象抽象成几何模型，并进行细分和离散化。
其次，需要选择适当的几何元素和材料模型，以及合适的边界条件和加载方式。
然后，需要定义求解器和数值方法，并使用计算机程序对模型进行计算。
最后，需要对结果进行后处理和验证，以确保其准确性和可靠性。
总的来说，有限元分析是一种强大的工程分析工具，在解决各种物理问题方面有广泛的应用。
它通过将复杂的问题简化为简单的有限元模型，通过数值计算的方法获得近似解。
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析方法是一种在数字计算机上定量分析变形、弹性以及现代结构的受力情况的方法。
有限元分析方法的发展日趋完善，是加强建筑物结构抗震能力的有力工具。
一、有限元分析方法的概念有限元分析方法是一种基于有限元分析原理的数学方法，它是一种用于计算低维受力系统的通用数值方法，尤其是用于非线性力学系统的数值分析方法。
在有限元数值分析中，计算对象由许多有限个结构物构成，这些结构物称为有限元。
每个有限元都有一定的体积和形状，如线元、面元和体元。
有限元分析的基本思想就是将复杂的物理结构模型分解为若干较小的有限元模型，再将这些小的有限元模型组合成一个完整的物理模型，并对其进行连续性研究，从而精确地确定受力构件的变形、位移、应力、变形能量等物理参数。
二、有限元分析方法在工程中的应用有限元分析方法可以用于结构分析、计算机辅助设计和工程校核。
有限元分析方法可以用于预测结构的受力情况、拓扑设计和优化，这对于重要的结构失效的防护和抗震性能的提高有重要意义。
在计算机辅助设计领域，有限元分析方法可以用于几何形状优化，减轻材料重量并提高刚度，这是一种非常有效的技术。
在建筑工程中，有限元分析方法可以用于计算建筑物的受力情况，确定其最大荷载量，为建筑物的改造和重建提供参考。
三、有限元分析方法的发展趋势随着计算机技术的发展，有限元分析方法的发展也在不断推进。
近年来，以网格化数值计算为基础的有限元分析方法已经取得了巨大的进展，如实施大型网格化分析、更加准确和可靠的模型细分、更准确的网格分解技术、更有效的数值求解技术等。
这些技术将使有限元分析技术更容易、更有效地应用于计算机辅助设计、工程校核和抗震分析等领域。
总之，有限元分析方法是一种重要的力学分析方法，它在结构分析、计算机辅助设计以及建筑物抗震性能的研究中都起着重要作用。
随着计算机技术的发展，有限元分析方法的发展也在不断发展，为实现地震安全建筑的建设做出贡献。
有限元分析方法
百度文库- 让每个人平等地提升自我第1章有限元分析方法及NX Nastran的由来有限元分析方法介绍计算机软硬件技术的迅猛发展，给工程分析、科学研究以至人类社会带来急剧的革命性变化，数值模拟即为这一技术革命在工程分析、设计和科学研究中的具体表现。
数值模拟技术通过汲取当今计算数学、力学、计算机图形学和计算机硬件发展的最新成果，根据不同行业的需求，不断扩充、更新和完善。
有限单元法的形成近三十年来，计算机计算能力的飞速提高和数值计算技术的长足进步，诞生了商业化的有限元数值分析软件，并发展成为一门专门的学科——计算机辅助工程CAE（Computer Aided Engineering）。
这些商品化的CAE软件具有越来越人性化的操作界面和易用性，使得这一工具的使用者由学校或研究所的专业人员逐步扩展到企业的产品设计人员或分析人员，CAE在各个工业领域的应用也得到不断普及并逐步向纵深发展，CAE工程仿真在工业设计中的作用变得日益重要。
许多行业中已经将CAE分析方法和计算要求设置在产品研发流程中，作为产品上市前必不可少的环节。
CAE仿真在产品开发、研制与设计及科学研究中已显示出明显的优越性：❑CAE仿真可有效缩短新产品的开发研究周期。
❑虚拟样机的引入减少了实物样机的试验次数。
❑大幅度地降低产品研发成本。
❑在精确的分析结果指导下制造出高质量的产品。
❑能够快速对设计变更作出反应。
❑能充分和CAD模型相结合并对不同类型的问题进行分析。
❑能够精确预测出产品的性能。
❑增加产品和工程的可靠性。
❑采用优化设计，降低材料的消耗或成本。
❑在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题。
❑模拟各种试验方案，减少试验时间和经费。
❑进行机械事故分析，查找事故原因。
当前流行的商业化CAE软件有很多种，国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。
其中最为著名的是由美国国1百度文库 - 让每个人平等地提升自我2家宇航局（NASA ）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的Nastran 有限元分析系统。
有限元法分析过程
有限元法分析过程有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。
对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析模型，这一过程是有限元的前处理过程。
在这一阶段，要构造计算对象的几何模型，要划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数据，这一步是有限元分析的关键。
有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。
这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。
有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。
在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选节点力作为未知量；在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。
有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。
一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。
因此，一般不做特别声明，有限元法指的是有限元位移法。
有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。
它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。
附：FELAC 2.0软件简介FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言，它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式，非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式，并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。
FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后，就可以得到所有有限元计算的程序代码，包含串行程序和并行程序。
该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。
并且基于FELAC 1.0的用户界面，新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能，并且丰富了文本编辑功能，改善了用户的视觉体验，方便用户快速便捷的对脚本或程序进行编辑、编译与调试。
《有限元分析及应用》课件
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 –更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
36
第二章 有限元分析的力学基础
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变
形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
物质连续性假定: 物质无空隙，可用连续函数来描述 ；
物质均匀性假定: 物体内各个位置的物质具有相同特 性；
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
28
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
29
30
y
dy zy
1 2
zy
z
dz
0
略去微量项，得 yz zy
MY 0 zx xz
MZ 0
xy yx
剪切力互等定律
53
二维问题: 平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
剪切力互等定律
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析是一种工程数值分析方法，它通过将复杂的结构分割成许多小的有限元素，然后利用数学方法对这些元素进行计算，最终得出整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
有限元分析方法的基本思想是将一个连续的结构分割成有限个小的单元，每个单元都是一个简单的几何形状，比如三角形、四边形等。
然后在每个单元内部建立一个数学模型，利用数学方法对这些单元进行计算，最终将它们组合起来得到整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法的核心是建立数学模型。
在建立数学模型的过程中，需要考虑结构的材料性质、边界条件、加载情况等因素。
通过合理地选择单元类型、网格划分、数学模型等参数，可以得到准确的分析结果。
有限元分析方法的优点之一是可以处理复杂的结构。
由于有限元分析方法将结构分割成小的单元，因此可以处理各种复杂的结构，比如曲面、异形、空腔等。
这使得有限元分析方法在工程设计中有着广泛的应用。
另外，有限元分析方法还可以进行结构优化。
通过改变单元类型、网格划分、边界条件等参数，可以对结构进行优化，使得结构在满足强度、刚度等要求的前提下，尽可能地减小材料消耗，降低成本。
当然，有限元分析方法也有一些局限性。
比如，在处理非线性、大变形、大变位等问题时，需要考虑材料的非线性特性、接触、接触、摩擦等效应，这会增加分析的复杂度。
另外，有限元分析方法的结果也受到网格划分、单元类型等参数的影响，需要谨慎选择这些参数。
总的来说，有限元分析方法是一种强大的工程数值分析方法，它在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
通过合理地建立数学模型、选择合适的参数，可以得到准确的分析结果，为工程设计和科学研究提供有力的支持。
有限元分析方法
k1 k1k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 0 0 u2 0 0k4uu4300 k4 u5 P
写成一般形式，可得：
[R ][K ]U [][F]
即： [反作]用 [总 力 体 矩 ]刚 位 [阵 度 移 ] [负 矩 矩荷 阵 阵 ]
引入边界条件，根据本题要求，节点1
有限元分析方法
第一章 概述
一、有限单元法的基本概念
一变横截面杆，一 端固定，另一端承受负 荷 P，试求杆沿长度方 向任一截面变形大小。 其中杆上边宽度为 w1 下边宽度为 w 2 ，厚度
为 t ，长度为 L，弹性
模量为 E。
① 采用材料力学的研究方法进行精确求解
解：设杆任一横截面面积为 A( y) ，平均应力
来，重新对上述五个方程进行变换，得：
节点1： k1u1k1u2R1
节点2： k 1 u 1 (k 1 k 2 )u 2 k 2 u 3 0
节点3： k 2 u 2 (k 2 k 3 )u 3 k 3 u 4 0 节点4： k 3 u 3 (k 3 k 4 )u 4 k 4 u 5 0
节点5： k4u4k5u5P
的位移为0，即 u1 0 ，则有如下矩阵形 式：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
0
0 0 u1 0
k1 k1 k2 k2
0
0 u2 0
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
0 0
0 k4 k4 u5 P
求解上述矩阵方程，可得每个节点位移，进 而求得每个节点反作用力，每一个单元的平均应 力和应变。即：
有限元分析(FEA)方法
单元形函数( 单元形函数(续)
遵循: 遵循 • DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单 DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解 值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解， 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 • 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的 DOFs推导出来的（ 构应力，热梯度）。 构应力，热梯度）。 • 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs DOFs， 地得到导出数据， 地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导 出来的。 出来的。
La-17
Definition
外载荷与结点的平衡方程
q ( li −1 + li ) 2 EA( u i − ui −1 ) li −1
为第i个结点上承受的外载荷 为第 个结点上承受的外载荷
−
EA( u i +1− ui ) li
=
q ( li −1 + li ) 2
2001年10月1日
ANSYS培训教程 – 版本 5.5 – XJTU MSSV(001128)
历史典故 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的 ANSYS最早是在 是随计算机硬件而发展壮大的。 最早是在1970 早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970 年发布的，运行在价格为＄ 000，000的CDC、 Univac和 年发布的，运行在价格为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM 生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PC PC机 生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一 台奔腾PC机在几分钟内可求解5000 5000的矩阵系统 PC机在几分钟内可求解5000× 的矩阵系统， 台奔腾PC机在几分钟内可求解5000×5000的矩阵系统，而过去 则需要几天时间。 则需要几天时间。
有限元法概述
（2）MSC/NASTRAN。 MSC/NASTRAN是在原NAST RAN基础上进行大量改进后的系统软件，主要包括MS C.Patran并行框架式有限元前后处理及分析系统、 MS C.GS-Mesher快速有限元网格、 MSC.MARC非线性有 限元软件等。其中MSC.MARC具有较强的结构分析能
.
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
.
汽车碰撞实验
.
刹车制动时地盘的应力分析
.
钢板精轧机热轧制分析
.
三维椭圆封头开孔补强
.
水轮机叶轮的受力分析模拟
.
人体股骨端受力分析
.
半导体芯片温度场的数值仿真
知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
.
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St·Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。
.
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水平 上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人的 理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观的 物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念推 导。
有限元分析ppt
分 片 近 似位
移 函 数
m(xm ym ) Fmy
vm um
vi i(xi yi )
Fmx ui
vj
y
Fix x
Fiy
uj
j(xj yj)
单 元 平 衡单
刚 方 程
整 体 平 衡总
刚 方 程
方
程
求 解
节 点 位
移
函
数
阶梯轴（梁）
A E (1)
(1)
A E (2) (2)
F
1
2
3
3
Φ1
Φ2
Φ3
l(1)
ui
vi
u
v
j j
um
vm
Fxi
Fyi
F
Fxj Fyj
Fxm Fym
y
vm
m
um vj
vi
j uj
i
ui
Fym
m
Fyi
i
Fxm Fyj
j Fxj Fxi
x
平面应变板单元
1.2.3 .1 单元刚度的概念 单元分析的主要工作是：通过研究单元力和单元位移
之间关系，建立单元刚度矩阵。 对任意单元而言，描述单元力和单元位移之间关系的
l(2)
F1
F2
F3
分为两个单元，共有三个节点。整体结构中，节点 载荷F及节点位移Φ都用大写。其脚标为节点在总体 结构中的编码，简称为总码。
1.1 有限元法概述
二．一个简单的应用实例
1. 离散化
① 局部码：各单元内，节点的编码； ② 各节点的位移分量及载荷分量分别用小写φ及f标记 ③ 所有节点位移的集合为该单元节点位移矢量{φ}，节
有限元分析及医学应用
有限元分析在医学中主要应用于生物力学方 面及医学辅助器材应用方面
• • • • • • 假足领域 上颌窦内提升术的应用 口腔医学中的应用 骨盆有限元模型应用 人上颌中切牙桩冠修复三维有限元模型应用 股骨颈有限元分析的赋材料应用
• 有限元模型的踝关节生物力学分析
人体肩部区域的骨骼有限元分析模型及计算结果
有限元分析及在 医学中的应用
主要内容
• • • • • • • • • 1有限元方法的概念 2有限元分析的发展 3有限元分析的理论基础 4有限元分析的详解 5有限元分析的思路 6有限元分析的优越性 7有限元分析的概念实例 8有限元分析的商业软件 9有限元分析的医学应用
有限元分析
• 概念：有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理 系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利 用简单而又相互作用的元素，即单元，就 可以用有限数量的未知量去逼近无限未知 量的真实系统。
• 有限元法的理论基础：
基础力学 对象：质点 特征：无变形 无形状的点 变量：(1)质心描述 (2)运动状态描述 (3)力的平衡描述 理论力学 对象：质点系及刚体 特征：无变形 复杂形状的体 变量：(1) 刚体描述 (2) 运动状态描述 (3) 力的平衡描述
方程：质点的牛顿三大定律
方程：质点和刚体的 牛顿三大定律
非变形体 (刚体)
材料力学
对象：简单变形体 特征：变形(小) 简单形状的体 变量：(1)材料物性描述 (2)变形方面描述 (3)力的平衡描述 方程：(1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程 三大变量→三大方程 变形体
结构力学
对象：数量众多的简单变形体 特征：变形(小) 简单形状的体(数量众多) 变量：(1)材料物性描述 (2)变形方面描述 (3)力的平衡描述 方程：(1)物理本构方程 (2)几何变形方程 (3)力的平衡方程 三大变量→三大方程
有限元分析法概述
第十一章 有限元分析方法概述1、基本概念有限元分析方法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代没计计算方法。
它是20世纪50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。
求解这类场问题的方法主要有两种：用解析法求得精确解；用数值解法求其近似解。
应该指出，能用解析法求出精确解的只是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。
而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。
这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。
目前工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。
其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用最为广泛。
下面通过一个具体例子，分别采用解析法和数值解法进行求解，从而体会一下有限元分析方法的含义及其相关的一些基本概念。
如下图所示为一变横截面杆，杆的一端固定，另一端承受负荷P ，试求杆沿长度方向任一截面的变形大小。
其中，杆的上边宽度为1w ，下边宽度为2w ，厚度为t ，长度为L ，杆的材料弹性模量为E 。
已知P ＝4450N ，1w ＝50mm ，2w =25mm ，t =3mm ，L =250mm ，E =72GPa 。
① 采用解析法精确求解假设杆任一横截面面积为)(y A ，其上平均应力为σ，应变为ε。
根据静力平衡条件有：0)(=-y A P σ根据虎克定律有：εσE =而任一横截面面积为：t y L w w w y A )()(121-+= 任一横截面产生的应变为：dydu=ε将上述方程代入静力平衡条件，进行变换后有：dy y EA Pdu )(=沿杆的长度方向对上式两边进行积分，可得：⎰⎰⎰-+==y yudy y Lw w w Et P dy y EA P du 01210)()(将)(y A 表达式代入上式，并对两边进行积分，得杆沿长度方向任一横截面的变形量：]ln )[ln()()(112112w y Lw w w w w Et PL y u --+-=当y 分别取0、62.5、125、187.5、250值时，变截面杆相应横截面处的沿杆长方向的变形量分别为：m u m u m u m u m u 6564636211080.142 ;1083.96 ;1027.59 ;1051.27 ;0----⨯=⨯=⨯=⨯==② 采用数值解法近似求解将变横截面杆沿长度方向分成独立的4小段，每一小段采用等截面直杆近似，等截面直杆的横截面面积为相应的变截面杆横截面面积的平均面积表示，每一小段称为一个单元，小段之间通过节点连接起来。
有限元法的基本步骤
有限元法的基本步骤有限元法是一种用于求解较为复杂的实际工程问题的数值分析方法。
它将一个连续的物体或系统划分为许多小的单元，然后通过建立在这些单元上的数学方程来模拟和求解实际问题。
在这篇文章中，我们将探讨有限元法的基本步骤，并深入讨论其原理和应用。
1. 确定问题的边界和几何形状在使用有限元法求解实际问题之前，需要先确定问题的边界和几何形状。
通常情况下，问题的边界需要定义为固定边界或自由边界，以便在数学模型中进行处理。
问题的几何形状也需要被建模和描述，这样才能得到准确的计算结果。
2. 划分网格划分网格是有限元法中非常重要的一步。
网格划分是将问题的几何形状划分为一系列小的单元。
这些小单元称为有限元，它们可以是三角形、四边形或其他形状。
网格的划分需要根据问题的几何形状和求解精度来确定，并且需要保证各个有限元之间具有充分的连续性和相互联系，以确保模拟结果的准确性和可靠性。
3. 建立数学模型和方程在确定问题的边界和划分网格之后，下一步是建立与物理现象相关的数学模型和方程。
根据问题的具体情况，可以使用不同类型的方程，如静力学方程、热传导方程、流体力学方程等。
这些方程将物理现象转化为数学表达式，并可以通过有限元法进行求解。
4. 应用边界条件在建立数学模型和方程之后，需要应用边界条件。
边界条件可以是物体的固定边界条件，如固定端或自由端；也可以是物体的外部边界条件，如外力、温度等。
边界条件的正确应用对于求解实际问题非常重要，它们将影响模拟结果的准确性和可靠性。
5. 求解数学方程一旦建立了数学模型、划分网格并应用了边界条件，下一步就是使用数值方法求解数学方程。
有限元法将整个问题转化为一个求解代数方程组的问题，并通过迭代方法求解。
求解过程中需要根据初始条件和边界条件进行迭代计算，直到得到收敛的解。
通过以上的基本步骤，我们可以使用有限元法对复杂的实际工程问题进行数值求解。
有限元法的优点在于可以模拟各种不同的物理现象，并且可以对复杂的几何形状进行建模和求解。
有限元法在结构力学分析中的应用
有限元法在结构力学分析中的应用有限元法是一种经典的结构力学分析方法。
在结构力学领域中，有限元法可以用来解决许多静力学和动力学问题。
本文将探讨有限元法在结构力学分析中的应用。
一、有限元法的基本原理有限元法是一种数值分析方法，可以用来解决大型结构的力学问题。
它的基本原理是将结构分割成一个个的单元，每个单元内的力学问题可以用简单的数学公式来描述。
然后将所有单元的力学问题集成到一起，形成一个大的数学模型。
通过数学计算，可以获得结构的应力、应变、变形等力学参数。
有限元法的优点在于它可以解决复杂结构的力学问题。
例如，有限元法可以用来分析汽车、航空器、建筑物等结构中的应力、应变、变形和振动等问题。
此外，有限元法具有高精度、高效率和高灵活性等特点，可以快速、准确地分析各种结构的力学性能。
二、有限元法在结构力学中的应用有限元法在结构力学中的应用非常广泛。
下面我们来具体看一下有限元法在结构力学分析中的应用案例。
1、建筑物结构的力学分析建筑物是大型结构中的一个重要领域。
有限元法可以用来分析各种建筑物的力学性能，例如建筑物的强度、振动、承载能力等。
通过有限元法可以模拟建筑物在地震、风力等环境下的响应，确定建筑物的结构安全性。
2、航空器的强度分析航空器飞行过程中面临各种力学环境，例如重力、空气阻力等。
有限元法可以用来分析航空器结构在高速、高空环境下的应力和变形情况。
从而确定航空器的强度和安全性。
3、机器设备的振动分析机器设备在运行过程中会产生振动，有可能对设备的安全和稳定性带来影响。
有限元法可以用来分析机器设备的振动情况，在设计过程中优化设备结构，避免发生振动破坏的危险。
总之，有限元法在结构力学分析中的应用非常广泛。
有限元法的基本原理简单，但是要想将其用于具体的问题需要进行复杂的计算。
因此，有限元法在结构力学分析中的应用需要具有一定的专业知识和技能。
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2个移动自由度 1个转动自由度
3个移动自由度 （平面杆单元2个） 3个移动自由度（平面梁2个） 3个转动自由度（平面梁1个） 3个移动自由度（平面2个） 3个转动自由度（平面1个）
梁结构
弹簧结构
网格划分方法
. . .. . ..
线性
体(三维实体)
. . . . . ... .. .. . ..
二次
低阶单 元
更高阶单元
线单元
• 线单元: 用于螺栓(杆)，弹簧，桁架或细长构件
面单元
• 壳单元: –Shell (壳)单元 每块面板的主尺寸不低于其厚度的10倍。
面单元
-平面应力 分析是用来分析诸如承受面内载荷的平 板、承受压力或远离中心载荷的薄圆盘等结构。
details ignored
Geometric model for FEA
单元类型选择
Element type：
3节点三角形平面应力单元
单元特性定义
Element properties：
材料特性：E, µ 单元厚度：t
网格划分
模型检查 • • • • 低质量单元 畸形单元 重合节点 重合单元
2 nodes
. .
A
. .
..
B
1 node
. .
. .
A
. .
B
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
. .
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
第2节 有限元建模方法
Finite element model
Input data
solvers
Node data
Element datondition data
Interaction with outside
建模分析的一般步骤
软件
单元库
实际结构 设计方案
分 析 问 题 定 义
几 何 模 型 建 立
单 元 类 型 选 择
单 元 特 性 定 义
网 格 划 分
模 型 检 查
边 界 条 有限元模型 件 计算 定 义
应力
屈服点 弹性模量 (E)
应力
应变
–因此，非线性材料应力－应变关 系是非线性的。
..
材料极限 塑性应变
应变
线性 / 非线性分析
材料非线性(续)
–实际当中，没有那种材料的应力 － 应变关系是完全遵循线性 关系的，线性假设只不过是一种近似处理。对于大多数工程材 料而言，在外载荷不足使结构破坏情况下，这种近似是非常好 的，能较好地确定设计中的许可应力或应力限值。 –CAE软件规定的非线性材料特性： 塑性 — 永久的，不随时间变化的变形 蠕变 — 永久的，随时间变化的变形 粘弹 — 类似玻璃的材料 超弹 — 类似于橡胶的材料
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通 过节点连接，并承受一定载荷。
单元类型及单元特性
单元名称
平面应力单元 Plane stress element 平面应变单元 Plane strain element
维数
2 2 3 2 2 2 1 1 1 1
节点自由度
2个移动自由度 2个移动自由度 3个移动自由度 2个移动自由度 3个移动自由度 3个转动自由度 3个移动自由度 3个转动自由度
几何体 载荷 物理系统
结构
热
有限元分析基本思路
将一个连续体的求解区域离散（剖分）成有限个形 状简单的子区域（单元），各子区域相互连接在有限个 节点上，承受等效节点载荷（应力载荷、温度载荷、流 动载荷、磁载荷等）；根据“平衡 ”条件分析并建立 各节点的载荷场方程，然后将它们组合起来进行综合求 解，以获得对复杂工程问题的近似数值解。 即：
. . . .
细节处理
.对于分析不重要的细节不应当包含在 .
分析模型中。当从 CAD 系统传一个模 型到 CAE 软件中时往往可以作大量的 简化处理。 然而，诸如倒角或孔等细节可以是最 大应力出现的位置，这些细节对于你 的分析目的是十分重要的。
带倒角
不带倒角
对称性模型
定义
对称 — 当物理系统的形状、材料和载荷具有对 称性时，就可以只对实际结构中具有代表性的部 分或截面进行建模分析，再将结果映射到整个模 型上，就能获得相同精度的结果。
相 关 几 何 数 据
位 移 约 束 数 据
载 荷 条 件 数 据
热 边 界 条 件 数 据 码
其 它 边 界 条 件 数 据 码
Example of modeling
fixed
Calculation: stress, deformation,reaction
6.1 有限元建模概述
CAD model
对称性模型
物理系统对称分析要求具有以下对称性条件： –几何结构对称
–材料特性对称
–载荷与约束对称
对称类型
轴对称
定义
绕某一轴线存在对称性，这类结 构如：电灯泡，直管，圆锥体，圆盘 和圆屋顶。对称面就是旋转形成结构 的横截面，它可以在任何位置。分析 求解必须假定约束、集中力、压力和 体载荷均具有轴对称。
• • •
单元类型 材料特性 载荷
分析领域和目的
如果你要对一个物理系统进行有限元分析，就是这样 一个问题的答案：“利用FEA我想研究结构哪些方面的情 况？”
结构分析 热分析 磁分析 流体分析 …… 耦合分析
分析领域和目的 .实体运动，承受压力，或实体间存在接触 .施加热、高温或存在温度变化 .恒定的磁场或磁场 .电流（直流或交流） .气（液）体的运动，或受限制的气体/液体 .以上各种情况的耦合
材料成型：如分析注射（或铸造）过程中塑料（或 金属）熔体的流动充模、冷却固化、压力、温度分布， 以及模拟压力加工过程中金属的塑性变形、回弾、扭曲、 起皱等。
结构 热
磁
电
流体
耦合场
线性 / 非线性分析
“我的物理系统是在线性还是非线性状态下工作？线性 求解能满足我的需要吗？如果不能，必须考虑哪种非线性特 性？” 许多情况和物理现象都要求进行非线性计算。
线性 / 非线性分析
F
(a) 订书钉
t
F
t0 t1 t2 t3
(b) 木制书架
t
线性 / 非线性分析
体载荷
体载荷 是分布于整个体内或场内的载荷。
定义
• 结构分析中的温度载荷。
• 热分析中生热率。
• 电磁场分析中电流密度。
惯性载荷 惯性载荷 是由物体的惯性（质量矩 阵）引起的载荷，例如重力加速度， 加速度，以及角加速度。
定义
• 惯性载荷只有结构分析中有。 • 惯性载荷是对整个结构定义的，是独立于实体模型和 有限元模型的。 • 考虑惯性载荷就必须定义材料密度 (材料特性DENS)。
结果比较
测试
模型修正
有限元分析过程
有限元模型
节 点 数 据
单 元 数 据
边界条件数据
节 坐 坐 位 节 单 点 标 标 移 点 元 参 参 编 考 考 总 编 号 值 系 系 数 号 代 代 码 码
单 元 节 点 编 号
单 元 材 料 特 性 码
单 元 物 理 特 性 值 码
单 元 截 面 特 性
对称类型
旋转对称
定义
即结构由绕轴分布的几个 重复部分组成，诸如涡轮叶 片这类物体。旋转对称分析 求解要求约束、集中力、压 力和体载荷应具有对称性。
对称类型
平面或镜面对称
定义
即结构的一半与另一半成镜面 映射关系，对称位置（镜面）称 为对称平面。平面对称分析求解 要求约束、集中力、压力和体力 应当对称。
第 1章 有限元分析法
第 1节
有限元分析法基本概念
有限元分析法（Finite Element Analysis，FEA）
有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系
定义
统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而 又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
物理系统举例
边界条件定义
集中力
固定约束
Modeling
Solving
Post-processing
deformation
Stress distribution
Reaction
第2节 制订分析方案
第2节 制订分析方案
通常考虑的分析因素
. . . .
分析领域和目的 线性/非线性问题 分析细节的考虑 模型对称性
第3节 有限元分析过程及 应用领域
应用领域
固体力学：如线性和非线性静力分析、动力分析或 稳定性分析、断裂力学和复合材料力学分析，求解结构 的应力、位移、温度分布和频率特性等。 流体力学：如不可压缩和可压缩的非粘性和粘性流 体分析，求解流场的压力、温度、密度和流速的分布等。
传热学：如分析热传导过程，求解热传导速度和温 度分布等。
定义
• 结构分析中的固定位移(零或者非零值) 。大多数自由 度约束用作： –对称性边界条件;
–指定刚体位移。
• 热分析中的指定温度。
自由度约束
对称边界条件的添加
对称性或反对称 边界条件可以添加 到线、面或平面的 节点上。
集中载荷
集中载荷 就是作用在模型的一个点上的载荷。
定义
• 结构分析中的力和弯矩。 • 热分析中热流率。
对称类型
重复或平移对称
定义
即结构是由沿一直线分布的重复部分组成，诸如带有均匀分布 冷却节的长管等结构。该对称要求约束、集中力、压力和体载 荷应具有对称性。
对称类型
单元类型