固体物理 1(1)
固体物理学-1
复式晶格
SC + 双原子基元
fcc + 双原子基元
由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。
1 2
3
1
1
4
41
2
1
32
4
4
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
hcp也是复式晶格。
复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简 单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌 套而成。
二、基矢和原胞 a2 0 a1
固体物理学
固体物理学的特点
一、姓名：固体物理
物理学：凝聚态物理；理论物理；粒 子与原子核物理；原子分子 物理；光学；声学；等离子 物理；无线电物理
以固体物理为核心的凝聚态物理是当代物 理学中最重要、最丰富的分支科学，其特 点在于研究人员众多，研究结果丰富多彩， 对技术发展影响广泛，与其他学科相互渗 透迅速，凝聚态物理学是由固体物理学逐 渐演变而来的。
宏观物理性质
材料的外场响应
基态：能量最低，有序态 激发态：低激发态、元激发、准粒子
（声子、准电子、空穴、极化激元、等
离激元、自旋波量子）
相互作用多粒子系统的本征态问题
五、固体物理通用教材
1 黄 昆，韩汝琦，国体物理学 高等教育出版社 1988第1版，
（根据黄 昆，固体物理学 人民教育出版社 1966版扩充改编）
12. Ashcroft, Mermin Solid State Physics 1976
六、教材内容
通论部分：
1. 晶体结构 2. 固体的结合 3. 晶格振动和热学性质
4. 晶体中的电子——能带论
5. 晶体中电子在电场和磁场中的运动 6.金属电子论
1固体物理-晶体结构1
晶面
{ }表示一组由于对称性而相互等价的晶面； 如对简单立方格子，{100}表示3个相互等价的晶 面，(100), (010), (001).
晶面
晶面
对于简单立方格子，晶向[h1, h2, h3]与晶面(h1, h2, h3)正交.
单胞(unit cell)
晶体学中，习惯用晶系的基矢a, b, c构成的 平行六面体作为周期性重复排列的基本单 元，称为单胞或惯用单胞(conventional unit cell). 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期 性重复单元，单胞则不同，可含有一个或 者数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。
晶格
晶体结构包括两方面： （1）重复排列的单元，称为基元(basis or motif); （2）基元重复的方式，一般抽象成空间点阵，称为晶体格子 (crystal lattice)，简称晶格； 基元以相同的方式，重复地放置在晶格的格点上（等价性）； 基元中的原子种类，数量、位置依不同晶体而定（结构性）；
本课小结
晶体结构=晶格+基元 布拉维格子、基矢、格矢、格点 原胞，晶体中体积最小的周期性重复单元 维格纳-塞茨(WS)原胞及其构造方法 常见的布拉维格子及其WS原胞 晶向、晶面、米勒指数
晶体结构数据库
(CCDC) http://www.fiz-karlsruhe.de/icsd.html (ICSD) /AMS/amcsd.php (AMCSD) (COD) /pcd/ (PCD) http://www.cryst.ehu.es/
原胞
维格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞
维格纳-塞茨(WS)原胞 以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻格点连线的垂直平分面，这些平面所 围成的以该点为中点的最小体积是属于该点的WS 原胞。
固体物理第一章1
晶格物理性质周期性（平移对称性）：
Γ (x+na) = Γ (x)
上式表示原胞中任一处x的物理性质，同另一原胞相应处的物 理性质相同。
原子
一维的喇菲格子
例：一维复式格子
定义：晶格中含有n(n≥2)类原子，其周围情况不一样，它们组成一维无
限周期性点列，周期为a。 原胞：长为a的一根直线段，一类原子在其两端点，其余原子在线段上。 每个原胞含n个原子。 周期性： Γ (x+na) = Γ (x)
晶体分单晶体和多晶体
单晶体( Single Crystal ) 原子排列的周期性是在整个固体内部存在的；无限大的严格的单 晶体可以看成是完美晶体。 多晶体( Multiple Crystal ) 由很多不同取向的单晶体的晶粒组成的固体；仅在各晶粒内原子 才有序排列，不同晶粒内的原子排列是不同的。
单晶体是个凸多面体，围成这个凸多面体的面是光滑的，称 为晶面。 晶面的大小和形状受晶体生长条件的影响，它们不是晶体品 种的特征因素。
1 a 1 ( a b c ) 2 1 a 2 (a b c ) 2 1 a 3 (a b c ) 2
a a1 ( i j k) 2 a a 2 (i - j k) 2 a a 3 (i j k) 2
四、各向异性
晶带：单晶体的晶面排列成带状，晶面的交线（称为晶棱）互相平行， 这些晶面的组合称为晶带。晶棱的方向称为带轴。 晶轴：重要的带轴，互相平行的晶棱（晶面的交线）的共同方向。
各向异性： 晶体的物理性质，常随方向不同而有量的 差异，晶体所具有的这种性质——各向异性。
如介电常数、压电常数、弹性常数等。
固体物理讲义第一章
固体物理讲义第一章前言：固体物理学是用自然科学的基本原理从微观上解释固体的宏观性质并阐明其规律的科学课程的主要内容晶体的物理性质与内部微观结构以及其组成粒子（原子、离子、电子）运动规律之间的关系●晶体结构（基于X射线衍射）●晶体结合与晶体缺陷●晶格振动（基于统计物理和量子力学研究固体热学性质）●固体能带论（基于量子力学和统计物理研究固体的导电性）第一章晶体结构内容：晶体中原子排列的形式及其数学描述主要包括:●晶体的周期结构●十四种布拉菲格子和七大晶系●典型的晶体结构●晶面和米勒指数●晶体的对称性固体的性质取决于组成固体的原子以及它们的空间排列。
例如同为碳元素组成的石墨（导体）、碳60和金刚石就有明显不同的特性。
1.1晶体的周期结构晶体结构的特征：周期性组成晶体的粒子（原子、分子、离子或它们的集团）在空间的排列具有周期性（长程有序、平移对称性*）对称性晶体的宏观形貌以及晶体内部微观结构都具有自身特有的对称性。
晶体可以看成是一个原子或一组原子以某种方式在空间周期性重复平移的结果。
晶体内部原子排列具有周期性是晶体的主要特征，另一个特征是由周期性所决定的对称性（表现在晶体具有规则的外形）。
周期排列所带来的物理后果的讨论是本课程的中心。
（对称性最初是用来描述某些图形或花样的几何性质，后来经过推广、加深，用它表示各种物理性质/物理相互作用/物理定律在一定变换下的不变性。
在这里，我们主要关注的是对称性最初的、狭义的意义，即几何图形和结构（不管有限还是无限）的对称性。
虽然眼睛看不到晶体中的原子，但是原子的规则排列往往在晶体的一些几何特征上明显的反映出来。
实际上，人们最初正是从大量采用矿物晶体的实践中，观察到天然晶体外型的几何规则性，从理论上推断晶体是由原子作规则的晶格排列所构成。
后来这种理论被X衍射所证实。
）布拉菲空间点阵和基元●为了描述粒子排列的周期性，把基元抽象为几何点，这些点的集合称为布拉菲点阵。
布拉菲点阵的特点：所有格点是等价的，即整个布拉菲点阵可以看成一个格点沿三个不同的方向，各按一定的周期平移的结果●格点：空间点阵中周期排列的几何点●基元：一个格点所代表的物理实体●空间点阵：格点在空间中的周期排列在理想的情况下，晶体是由全同的原子团在空间无穷重复排列而构成。
固体物理：1-晶体结构-1
1 4
a1
1 4
a2
1 4
a3
晶列、晶向、晶面、及其指数标记
在布拉伐格子中作一簇平行的直线，这些平行直线 可以将所有的格点包括无遗。
—— 在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等 —— 每一簇晶列定义了一个方向 —— 晶向
沿晶向到最短的一个格点的位矢
l1a1 l2a2 l3a3
晶向指数 [l1, l2 , l3 ]
Graphene, 石墨烯（2010 Nobel Prize）
布拉维格子（Bravais lattice）
晶体可以看作是在布拉维点阵（Bravais Lattice）的 每一个格点上放上一组基元（Basis )
原胞(元胞，初基元胞) primitive cell
和一个给定格点的最近邻格点的数量为配位数 z
原子球排列为：AB AB AB ……
Be、Mg、Zn、Cd
各种晶格的堆积比
金刚石晶格结构(diamond)
碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个 原子，分别位于四个空间对角线的 1／4处
NaCl晶体的结构 (sodium chloride)
CsCl晶体的结构(cesium chloride)
CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的 长度套构而成
闪锌矿结构 (zinc blende) ZnS
立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
钙钛矿结构 (perovskite）
钙钛矿型的化学式可写为ABO3 —— A代表二价或一价的金属 —— B代表四价或五价的金属 —— BO3称为氧八面体基团, 是钙钛矿型晶体结构的特点
晶体结构1
固体物理-第一章习题解答参考ppt课件
d 2 r
a
G h h 1 h 2 h 3 2 h 1 h 2 h 3 2 h 1 h 2 h 3 2
上式中等效晶面指数{1,0,0}晶面族、（1,1,1)、(-1,-1,-1)晶面 对应的面间距最大，面间距，
d a 3
格点体密度，
1 4
a3
最大面密度，
d.a 43
a 3
4 3a2
1/2属于该等边三角形
2a
(111)
a
2a
(111)
1/6属于该等边三角形
等边三角形面积，
S12a2asin600 3a2
2
2格点面密度，2 4S 3a.21.5 求立方晶系晶面族 h的k l面 间距；
cb
a
晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
倒格子基矢 a r2 ir,b r2 r j,c r2 k r
界面方程：
kx
ky
2 a
kx
ky
2 a
2 kx ky a
kx
ky
2 a
与第1布里渊区界面围成的区域为第2布里渊区
.
第3布里渊区：
离原点再次远有４个倒格点 (h12,h20)(,h12,h20), (h10,h22)(,h10,h22)
界面方程：
kx
2
a
,kx
2
a
,
ky
2
a
,ky
2
a
与第1、2布里渊区界面围成区域为第3布里渊区
b
1 2
(b3
b1 )
c
1 2
(b1
b2)
与晶面族(hlk垂)直的倒格矢：
G hkl
h a
固体物理第一章课件
1
3
E = V ∫0 g ( E ) EdE = V ∫0
F
E
E
F
E 2m3 2m3 E 2m 3 2 2 F 2 EdE = V E dE = V E ∫ 0 π2ℏ 3 π2 ℏ 3 π2 ℏ 3 5 F
3
5
E=3E N 5 F
能态密度的更一般形式
g ( E )= dN dE
E k =const.
NZ NZ NZ
自由电子模型的物理思想
◆ 自由电子近似 离子静止，忽略电子和离子实之间的相互作用，电子运动范围 仅受限于晶体表面势垒，被限制在晶体内部 ◆ 独立电子近似 忽略电子和电子之间的相互作用 ◆ 驰豫时间近似
Zn Zm ℏ2 e2 H= −∑ ∇n 2 + ∑′ 1 2 n, m 4πε0 R − R n =1 2M n n m Zn e2 ℏ 2 2 e2 1 1 1 −∑ ∇i + ∑′ −∑∑ 2 i =1 2m i , j 4πε r − r i =1 n=1 4πε r − R i 0 i 0 i j n
kF = 3π2 ne
ℏ 2 kF 2 2m
1/3
108cm -1 2~10eV
费米能量：
EF=
费米动量： 费米速度： 费米温度：
pF = ℏk F
υF = ℏkF /m T F = EF / k B
108cm/s 104 ~105 K 参见表 1.1
单位体积内的平均能量
T=0时，单位体积内的平均能量为：
Drude 模型：应用经典力学，服从经典统计，麦克斯韦- 玻耳兹曼分布 Sommerfeld 模型：应用量子理论，服从量子统计，费米-狄拉克分布
f ( E )= e
固体物理第一章总结
固体物理(黄昆)第一章总结(总5页)页内文档均可自由编辑，此页仅为封面第一章晶体结构1.晶格实例1.1面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度0.74原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）1.2简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度0.52CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等1.3体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度0.68原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等1.4六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度0.74典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等1.5金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度0.34晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等2.晶体的周期性结构2.1基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同 基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞2.2维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志 晶列（向）指数：[l m n]晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢22h h k G G ⋅=4.1简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）基矢123a aia aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k ⎧=⎪=⎨⎪=⎩4.2体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体4.3面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）基矢1231()21()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩第一布里渊区为截角八面体即5. 晶体的宏观对称性xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.1对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)5.2六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象5.3对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度轴和7度轴。
固体物理作业解答(1)
du r dr
r0
2 r0
3
8 r0
9
0
15
由此得平衡时两原子间的距离为
4 r0 =
而平衡时的势能为
1 6
u r0 Leabharlann r02
r0
8
3 4r
2 0
根据定义，离解能为物体全部离解成单个原子 时所需要的能量，其 恒等于 u r0 ．巳知离解 能为4ev，因此得
dur f r dr
du2 r 0 2 dr r r
0
②
③
由方程①可得： 由方程②可得：
r
m2 0
mA nB mA nB - n1 0 m n m 1 r0 r0 r0 r0
m 1mA n 1nB 0 - m 1mA n 1nB 0 r
n
1 e
k BT
1
即每一个格波的声子数都与温度有关，因 此，晶体中声子数目不守 恒，它随温度的 改变而改变
6
2．温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还 是声学波的声于数目多? 解：频率为ω的格波的(平均)声子数为
n
1 e
k BT
1
因为光学波的频率比声学波的频率高，所以根据 上式可得在温度一定情况下，一个光学波的声子 数目少于一个声学波的声子数目．
8
4．爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的 根源是什么?
解：按照爱因斯坦温度的定义，爱国斯坦 13 模型的格波的频率大约为10 Hz，属于光学支 频率．但光学格波在低温时对热容的贡献非常小， 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波．也就 是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因 斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源．
固体物理复习（一）晶体结构描述和布拉格定律
固体物理复习（⼀）晶体结构描述和布拉格定律预备知识1.晶胞Crystal structure = Lattice(点阵) * Basis(基元)以NaCl为例, NaCl晶体的点阵为⾯⼼⽴⽅结构, 其基元包含⼀个Na和⼀个Cl.三维点阵的类型:Triclinic: a1!=a2!=a3, θ1!=θ2!=θ3 ,修饰 PMonoclinic: a1!=a2!=a3, θ1=θ2=90°!=θ3,P,COrthorhombic: a1!=a2!=a3, θ1=θ2=θ3=90°,P,I,F,CTetragonal: a1=a2!=a3, θ1=θ2=θ3=90°,P,ICubic: a1=a2=a3, θ1=θ2=θ3=90°,P,I,FTrigonal: a1=a2=a3, θ1=θ2=θ3<120°, !=90°,PHexagonal: a1=a2!=a3, θ1=θ2=90°, θ3=120°,PP=原胞(1个点阵点), I=体⼼(2点阵点), F=⾯⼼(4点阵点), C=Side-centred, 即在顶⾯和底⾯添加点阵点4种修饰*7种晶格系统组合起来得到14种Bravais点阵2. 对称操作平移对称操作: T=u1a1+u2a2+u3a3, u1u2u3为整数, a1a2a3为基⽮基⽮ a1a2a3 = 晶格常数 a1a2a3点对称操作: 对应群论的点群操作3. 原胞原胞(primitive cell):点阵中的最⼩晶胞, ⼀个点阵点对应⼀个原胞.wigner-seitz胞:划分原胞的⼀种⽅式, 取点间连线的中垂线围成的最⼩⾯积.(wigner-seitz胞⽰意图)正格⼦与倒格⼦1.正格⼦正格⼦中的布拉格定律:2dsinθ=nλ2.倒格⼦由于正格⼦的布拉格理论⽆法描述散射的强度, 因此要对正格⼦进⾏傅⾥叶变化⾸先将⼀维电⼦浓度n(r)进⾏傅⾥叶展开n(r)=n0+Σ(C p cosθ+S p sinθ)=Σn p exp(iθ), 令-n p=n p*使n(r)为实数θ=2πpx/a由此引出倒格⼦的概念, 2πp/a为晶体倒格⼦, 或在傅⾥叶空间中的⼀个点.推⼴到三维有n(r)=Σn G exp(iG*r)G=v1b1+v2b2+v3b3,b1=2π·a2xa3/(a1·a2xa3), b2=2π·a3xa1/(a1·a2xa3),b3=2π·a1xa2/(a1·a2xa3)倒格⼦空间中的Wigner-Seitz胞称为布⾥渊区, 布⾥渊区在晶体电⼦能带理论中有重要地位接下来推导倒格⼦的布拉格定律:⾸先引⼊散射振幅F的定义F=∫dVn(r)exp(-iΔk·r)Δk为散射波与⼊射波的波⽮差k'-k将n(r)傅⾥叶展开F=∫dVΣn G exp(iG*r)exp(-iΔk·r)=Σ∫dVn G exp(i(G-Δk)·r)由此可以看出, 当Δk=G时F=Vn G, 发⽣弹性散射.发⽣弹性散射时, 光⼦能量E=ћω守恒, ω=ck, 因此⼊射波波⽮⼤⼩与散射波波⽮相等, 即k2=k'2因为k+G=k', 所以综上有(k+G)2=k'2即2k·G=G2, 此即倒格⼦空间的布拉格定律的形式.。
固体物理第一章习题解答
固体物理学第一章习题解答1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶得特征与性质。
答:晶态:内部质点在三维空间呈周期性重复排列得固体为晶体。
其特征就是原子排列具有周期性,表现为既有长程取向有序又有平移对称性。
晶态得共性质:(1)长程有序;(2)自限性与晶面角守恒;(3)各向异性;(4)固定熔点。
非晶态特点:不具有长程序。
具有短程序。
短程序包括:(1)近邻原子得数目与种类;(2)近邻原子之间得距离(键长);(3)近邻原子配置得几何方位(键角)。
准晶态就是一种介于晶态与非晶态之间得新得状态。
准晶态结构得特点:(1)具有长程得取向序而没有长程得平移对称序(周期性);(2)取向序具有周期性所不能容许得点群对称;(3)沿取向序对称轴得方向具有准周期性,由两个或两个以上不可公度得特征长度按着特定得序列方式排列。
晶体又分为单晶体与多晶体:整块晶体内原子排列得规律完全一致得晶体称为单晶体;而多晶体则就是由许多取向不同得单晶体颗粒无规则堆积而成得。
2、什么就是布喇菲格子？画出氯化钠晶体得结点所构成得布格子。
说明基元代表点构成得格子就是面心立方晶体,每个原胞包含几个格点。
答:布喇菲格子(或布喇菲点阵)就是格点在空间中周期性重复排列所构成得阵列。
布喇菲格子就是一种数学抽象,即点阵得总体,其特点就是每个格点周围得情况完全相同。
实际工作中,常就是以具体得粒子(原子、离子等)做格点,如果晶体由完全相同得一种原子组成,则由这些原子所组成得格子,称为布喇菲格子。
NaCl晶体得结点构成得布格子实际上就就是面心立方格子。
每个原胞中包含一个格点。
3、指出下列各种格子就是简单格子还就是复式格子。
(1)底心六角(在六角格子原胞底面中心存在一个原子)(2)底心立方(3)底心四方(4)面心四方(5)侧心立方(6)边心立方并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中得哪一种？答:要决定一个晶体就是简单格子还就是复式格子,首先要找到该晶体得基元,如果基元只包含一个原子则为简单格子。
固体物理第一章习题解答
固体物理学第一章习题解答1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。
答：晶态：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。
其特征是原子排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性。
晶态的共性质：（1）长程有序；（2）自限性和晶面角守恒；（3）各向异性；（4）固定熔点。
非晶态特点：不具有长程序。
具有短程序。
短程序包括：（1）近邻原子的数目和种类；（2）近邻原子之间的距离（键长）；（3）近邻原子配置的几何方位（键角）。
准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。
准晶态结构的特点：（1）具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称；（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。
晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
2、什么是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。
说明基元代表点构成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点。
答：布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。
布喇菲格子是一种数学抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。
实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些原子所组成的格子，称为布喇菲格子。
NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。
每个原胞中包含一个格点。
3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子。
（1）底心六角（在六角格子原胞底面中心存在一个原子）（2）底心立方（3）底心四方（4）面心四方（5）侧心立方（6）边心立方并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？答：要决定一个晶体是简单格子还是复式格子，首先要找到该晶体的基元，如果基元只包含一个原子则为简单格子。
反之，则为复式格子。
固体物理 1(1)
(2) 晶面
平行的晶面把所有的格点包括无遗。
晶面的表示方法 一个晶面的取向可以由这个晶面上任意三个不共线的 点确定。如果这三个点处在不同的晶轴上，则可以由 晶格常量 a1a2a3 表示的点的坐标就能标定它们所决定 的晶面。
简单正交
底心正交
体心正交
面心正交
正交晶系有4种晶格：简单正交 ; 底心正交; 体心正交 ; 面心正交
(4) 正方晶系(四角晶系)
900
a1 a2 a3
简单四角 体心四角
四角晶系有两种晶格：简单四角; 体心四角
(5) 六角晶系
90
0
1200
a1 a 2
立方晶系晶面指数
1． 5
典型的晶体结构
氯化纳结构
其晶格属于面心立方，基元由一个Na+和一个Cl+ 。从图中看， 如果只看Cl+，它构成面心立方结构，同样Na+也构成面心立方。 这两个面心立方子晶格各自的原胞具有相同的基矢，只不过互 相有一个位移。
氯化铯晶体结构
其晶格属于简单立方，基元由一个位于000的铯离子和一个 位于1/2 1/2 1/2 的氯离子组成。
周期晶格不 可能存在五 重对称轴， 因为不可能 使五边形相 互连接的陈 列不留空隙 地充满整个 空间。
图1-4
(3) 镜面反映 ，它是以通过一个格点的平面作为反映平 面的对称操作。 (x1,x2,x3)
(x1,x2,-x3)
(4) 反演操作是先转动 弧度之后在垂直于其转动轴的 一个平面上反映，总的效果是
最新固体物理复习资料（1）
最新固体物理复习资料（1）固体物理复习资料(1)⼀．选择题： 1、⾯⼼⽴⽅晶格的晶胞的体积是其原胞体积的( D ) A. 21 B. 31 C. 41 D. 61 2、下图为三维晶格的平⾯⽰意图，图中1α、2α分别表⽰晶格在该平⾯上的基⽮，另⼀基⽮3α垂直于1α、2α所在的平⾯。
现有平⾏于3α的晶⾯截取1α、2α（如下图（a ）（b ）（c ）所⽰），图（a ）中晶⾯的密勒指数为()100，图（b ）和图（c ）中晶⾯的密勒指数分别为( D )（a ）（b ）（c ）A. ()110和()120B. ()110和()210C. ()011和()120D. ()011和()2103、⾯⼼⽴⽅晶格和体⼼⽴⽅晶格的简约布⾥渊区分别是( D )A. ⼋⾯体和正⼗⼆⾯体B. 正⼗⼆⾯体和截⾓⼋⾯体C. 正⼗⼆⾯体和⼋⾯体D. 截⾓⼋⾯体和正⼗⼆⾯体4、对⼀个简单⽴⽅晶格，若在第⼀布⾥渊区⾯⼼上⼀个⾃由电⼦的动能为E ，则在该区顶⾓上⼀个⾃由电⼦的动能为A. EB. 2EC. 3ED. 4E5、相邻原⼦间距为a 的⼀维单原⼦链的第⼀布⾥渊区也是波数q 的取值范围为( B )A.a q a ππ22≤<-B. aq a ππ≤<- C. a q a 22ππ≤<- D. a q a 44ππ≤<- 6、关于电⼦有效质量下列表述中正确的是( B )A. 在⼀个能带底附近，有效质量总是负的；⽽在⼀个能带顶附近，有效质量总是正的B. 在⼀个能带底附近，有效质量总是正的；⽽在⼀个能带顶附近，有效质量总是负的C. 在⼀个能带底附近和能带顶附近，有效质量总是正的D. 在⼀个能带底附近和能带顶附近，有效质量总是负的7、下⾯⼏种晶格中,不是⾦属元素常采取的晶格结构是( A )A. ⾦刚⽯晶格B.⾯⼼⽴⽅晶格C.六⾓密排晶格D. 体⼼⽴⽅晶格9、温度升⾼，费⽶⾯E F ( D )A.不变B. ⼤幅升⾼C. 略为升⾼D. 略为降低10、在极低温度下，晶格的热容量C v 与温度T 的关系是 ( D )A. C v 与T 成正⽐B. C v 与2T 成正⽐C. C v 与3T 成正⽐D. C v 与T 3成反⽐11、⼀晶格原胞的体积为v ，则其倒格⼦原胞的体积为( D )A. vB. 2vC. v π2D. v3)2(π 13、以下属于简单晶格的是( A )A. ⾯⼼⽴⽅晶格B. 六⾓密排晶格C. ⾦刚⽯晶格D. NaCl 晶格14、体⼼⽴⽅晶格的晶格常数为a ，则晶格中最近邻原⼦的间距r 为( B )A. 2aB. 23 aC. 334 a D. 433 a 15、相邻原⼦间距为a 的⼀维双原⼦链的第⼀布⾥渊区也是波数q 的取值范围（ C ）A.a q a ππ22≤<-B. aq a ππ≤<- C. a q a 22ππ≤<- D. a q a 44ππ≤<- 17、下图为三维晶格的平⾯⽰意图，图中1α、2α分别表⽰晶格在该平⾯上的基⽮，另⼀基⽮3α垂直于1α、2α所在的平⾯。
固体物理学第一章 晶体的结构(1)
1.3 晶向、晶面和它们的标志 晶体周期性的描述通常还要用到：晶列、晶向、晶 面和密勒指数、面间距等概念。
（1）晶列
• 通过Bravias格子的任意两点连一条直线，该直线上包括无限多 个格点,这样的直线称晶列.晶体外观上所见的晶棱为个别晶列。
• 通过其它任一格点可引出与原晶列平行的晶列，这些
相互平行的晶列族将包含全部的格点。 • 晶列的性质：同一晶列族上，格点具有 相同的周期分布 • 通过一个格点可以引出无数晶列，晶列 数目是无限的，（晶列的性质）。
固体由大量原子（离子）组成，1022—1023/cm3。晶体中原子、 离子的排列是有规律的，这种排列方式称固体晶体的结构。固体 的宏观物理性质是由组成材料的[原子、分子和离子]成分和原子 分子的排列方式共同决定的。
可以将固体分为：晶体和非晶体。 晶体：原子严格按一定周期性的规则排列，具有周期性和平移对 称性 ，即长程有序。 非晶：原子排列短程有序，长程无序。 何为长程有序呢？主要是与原子的尺寸相比。 晶体分为：单晶：理想的大块晶体 多晶：有许多晶粒组成的晶体 1984年 D.Shechtman等从实验上发现了具有五重旋转对称性的 不同于晶体和非晶体的固体，称准晶。准晶从结构上讲，其有序 程度是介于晶体和非晶之间的。
(2) 体心立方结构(bcc) • 排列方式：ABABAB….. • a为原子间的距离， 称为晶格常数。对角线距离
0.31ro
a
ro
• 体心立方结构晶体自然界中很多：Li, Na, K,ro 2ro 3
(3)六角密排结构(主要是金属晶体) • 排列方式：ABABAB….. • 层内原子密排列，层之 间原子紧密接触。 • 自然界中。碱土金属Be, Mg 及Zn, Cd, Ti等三十多种晶体
固体物理第一章1-资料
第一章 晶体结构 第二章 晶体结构测定 第三章 晶格振动 第四章 金属（I）：自由电子 第五章 金属（II）：能带论
第一章(1) 晶体结构
1.1 晶体的共性 1.2 一些晶格的实例 1.3 配位数和致密度 1.4 原子的周期性阵列 1.5 晶格的基本类型 1.6 再总结：布喇菲格子
固体的结构：固体材料是由大量的原子（或离子）组成的，原 子以一定方式排列，原子排列的方式称为固体的 结构。
1.2 一些晶格的实例
晶格：晶体中原子排列的具体形式称为晶体格子，简称晶格。 （1）晶体原子规则排列形式不同，则有不同的晶格结构； （2）晶体原子规则排列形式相同，只是原子间的距离不同， 则它们具有相同的晶格结构。
处理方法：把晶格设想成为原子球的规则堆积
一、正方堆积
把原子视为刚性小球，在二维平面内最 简单的规则堆积便是正方堆积；
任一个球与同一平面内的四个最近邻相 切。
原子球的正方堆积
二、简单立方堆积
正方排列层层重合堆积起来，就构成了简单立简单立方晶格的结构，但是一些 复杂的晶格可以在简单立方晶格的基础上加以分析
三、体心立方堆积
把简单立方堆积的原子球均匀地散开一些， 而恰好在原子球空隙内能放入一个全同的原 子球，使空隙内的原子球与最近邻的八个原 子球相切，这就构成了体心立方堆积。
二、自限性
晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特 性，称之为晶体的自限性。这一特性是晶 体内部原子的规则排列在晶体宏观形态上 的反映。
由于生长条件的不同，同一种晶体的外形 会有差异。在某条件下生长的晶体的晶面 数目和相对大小，与另一条件下生长的同 一种晶体的晶面情况会有很大的差别。
尽管同一种晶体其外形可能不同，但相应 的两晶面之间的夹角总是不变的，这一规 律称为晶面夹角守恒定律。
固体物理学第一章
金刚石的配位数为 4；
2. 简单化合物晶体 NaCl结构
典型晶体：NaCl、LiF、KBr
CsCl结构 典型晶体：CsCl、CsBr、CsI
闪锌矿结构
在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属 于不同的元素。 许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。典型 晶体：ZnS、CdS、GaAs、-SiC
特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上 及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 基矢：结晶学原胞的基矢一般用 a , b, c 表示。 体积为：
v a bc n Ω
(3)维格纳--塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中
垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积
二、学科领域
固体物理研究固体材料中那些最基本的、有普 遍意义的问题。形成许多分支学科。 晶格结构 理想晶格 晶格动力学 晶格理 晶格热力学 论 实际晶格理论 固 能带理论（包括电磁场中的电子运动） 体 电子理 物 金属中的自由电子气 论 理 功函数、接触电势等 输运理论 ：电子与晶格的相互作用 固体物理分论: 半导体、磁学、超导、非线性光学
本课程学习内容
1、描述晶体周期性的基本方法，典型的晶 格结构。 2、固体的结合力（四种） 3、晶格动力学
4、晶体中电子运动规律（能带理论，自由 电子气） 5、介绍一些典型固体材料的性质
第一章 晶体结构
晶体的宏观性质
1. 周期性－－从原子排列的角度来讲 (均一性 ――从宏观理化性质的角度来讲） ；
规则结构，分子或原子按一定的周期性
长程有序性，有固体的熔点。E.g. 水晶 岩盐
非晶体：非规则结构，分子或原子排列没有一定的周 期性。 短程有序性，没有固定的熔点。 玻璃 橡胶 准晶体: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方 向 有准周期性，但无长程周期性 没有缺陷和杂质的晶体叫做理想晶体。缺陷: 缺陷是指微量的不规则性。
固体物理基础1
以a，b，c为单位，这三个截距h'，k'，l' 可以用来 表示晶面的指数。
为避免晶面与a、b或c轴平行造成截距趋于∞，密 勒用h'，k'，l'倒数的互质数比(h,k,l)来表示晶面：
1 1 1 : : h:k :l h k l
(h,k,l)称为晶面的密勒指数。
c M3 ·
1 1 : :1 2 : 3 : 6 3 2
41
正格子基矢和倒格子基矢的关系
2 ai b j 2ij 0
(i j ) (i j )
a1·1=2 a1· 2a3)/a1· 2a3) = 2 b (a (a 倒格子基矢与不同下标正格子基矢垂直：
a2·1=0 b
a3·1=0 b
即有正格子基矢：a1=ai，a2=aj，a3=ak; 倒格子基矢：b1=(2/a)i，b2=(2/a)j，b3=(2/a)k
30
2.晶面
空间点阵可以从各个方向被划分成许多组平行 且等距离的平面点阵。这些平面点阵所处的平 面称为晶面。
31
晶面的特点 ① 所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏。
② 一族晶面平行且等距，各晶面上格点分布情况 相同。
③ 晶格中有无限多族的平行晶面。 ④ 通过任一格点，可以作全同的晶面与某一晶面 平行，构成一族平行晶面。
010
100
010
37
③ 简单晶面指数的特点
密勒指数越简单的晶面，如(100)，(110) 面等，原子面密度较大，晶面间距较大， 晶面间的结合力较弱，易被切割。
a
b 320
110
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(1) 简单立方晶格
简单立方的英文缩写符号为SC，SC格子的原胞和晶胞一致， 是边长为a的立方体，a称为晶格常数，如图所示。每个原子的上 下左右前后备有一个最近邻原子，故配位数为6。
顶角上的原子为8个晶胞所共有， 故平均每个晶胞包含一个原子， 原子半经为a/2，故堆积比
固体物理
从微观角度出发,研究相互作用多粒子系统组成的 凝聚态物质(固体和液体)的结构和动力学过程, 及 其与宏观物理性质之间关系的一门科学。
这门课程的内容？
固体物理表面上不同于其他学科, 内容显得多而杂 。
固体物理的重要性 它为高技术的发展作出了巨大贡献。 如它是晶体管， 超导磁体，固态激光器, 高灵敏辐射能量探测器等重大 技术革新的源头。 对通信，计算以及利用能量所需的 技术起着直接的作用, 对非核军事技术也产生了深刻的 影响。
3
下图给出了bcc格子基矢和原胞的取法，按图
a1=a/2(-i+j+k) a2=a/2(i-j+k) a3=a/2(i+j-k) 原胞体积
a1 (a2 a3 ) 1/ 2a 3
bcc格子的基失和原胞
1.7 原子结构直接成像
FCC Pt(111) 金属晶体面的STM像
[2]
金属的晶体结构
金属的晶体结构有三种： (1)面心立方(fcc， face-centred cubic )， (2)密排六方(hcp， hexagonal close packed )， (3)体心立方(bcc， body-centred cubic )
The hcp and fcc structures
图中所示平面在 a1 a2 a3 三个轴上的截距分别是 3a1, 2a2, 2a3 ，其系数的倒数为1/3, 1/2, 1/2。 1/3 : 1/2 : 1/2 = 2 : 3 : 3 与之具有同样比率的三个最小整数是2，3，3。因此，该晶面 的指数为(233)
确定晶面指数的方法
(1) 找出以晶格常量a1a2a3 量度的，在各个轴上的截距。 (2) 取这些截距的倒数，然而化成与之具有相同比率的三 个整数，通常是将其化成三个最小整数，若用(h1h2h3) 表 示这三个数，则 (h1h2h3) 就是所谓的晶面指数(密勒指数)， 一般表示为(h1h2h3) (h1h2h3) 可以表示一个平面，或一组平行平面。
1.4晶列和晶面指数系统
(1) 晶列
对于布拉维晶格，通过两个格 点联一直线，则这一直线上包含 无限个相同格点，这样的直线称 为晶列。
晶列上格点的分布具有一定的 周期。 平行的晶列把所有的格点包括 无遗。
晶列的表示方法
取某一格点O为原点，a1 a2 a3 为原胞的基失，则晶格中其 它任一格点Rl(A)为
如果要构造一个晶格，使之在新的一种或多种操作下不变， 那么就必须对 a1, a2 施加一些限制条件。 对此，有四种不一样的限制，每一种都引导出一种所谓的 特殊晶格类型。
因此我们将有五种不同的二维晶格类型，即一种斜方晶格 和四种特殊晶格。
5种二维布拉维点阵
斜方晶格
布喇菲晶格( Bravais lattice ) 是对某种具体晶格类型的通 称，于是有五种二维布喇菲晶格。
(4) 复式格子
周期性晶格被称为布拉维点阵。
如果晶体的基元包含两个，或两个以上的原子，则每个基元中 相应的同种原子各构成和结点相同的点阵，称为子晶格，它们 相对位移形成所谓复式格子。 显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。
1.2 对称操作
对称操作: 晶格可以通过晶格平移或其它各种对称操作与其自 身重合。
1.4 三维晶格的分类
按坐标的性质，晶体可以分为7大晶系，在三维情况下每一晶 系有一种，或数种特殊的晶格类型(布拉维晶格) 。 有十四种不同类型的晶格。一般的晶格类型为三斜晶格，另外 十三种是特殊的晶格类型。 布拉维晶格不仅反映晶格的周期性，并且反映晶体的对称性。
[2]
如图所示，在三 维情况下，有三 个晶格失量a1, a2, a3, 它们之间的 夹角用 , , 表示， a1 a2之间 的夹角是 ， a2 a3 之间是 ， a3 a1之间的夹角是 。按坐标性质可 分为7大晶系。
六角有一种晶格：六角晶格
(6) 三角晶系
90
0
a1 a2 a3
三角晶系有一种晶格：三角晶格
(7) 立方晶系
900
a1 a2 a3
简单立方
体心立方
面心立方
立方晶系有三种晶格：简单立方；体心立方； 面心立方
立方晶系的对称性
这十四种晶格可以划分为7个晶系，即三斜、单斜、正交、 四角、立方、三角和六角晶系。
(2) 结构基元与晶体结构
晶体结构是这样形成的， 即将基元(b)，配置在晶 格 (a)的每个格点上。 通过考察(c)，可以辨识基 元，然后可引出空间格点。 相对于一个格点，将基元 放在何处是无关紧要的。
图1-2
(3) 原胞 如图1-3(b)所示，由初基晶轴a1、a2和a3所确定的平行六 面体被称之为原胞，又称为初基晶胞)。原胞是晶胞的类型 之一。 经过重复适当的晶体平移操作，晶胞可以填满整个空 间。所谓原胞，实际上是体积最小的晶胞。对于某个给定的 晶格，其初基晶轴及其原胞的选取方式可以有许多种。
立方晶系晶面指数
1． 5
典型的晶体结构
氯化纳结构
其晶格属于面心立方，基元由一个Na+和一个Cl+ 。从图中看， 如果只看Cl+，它构成面心立方结构，同样Na+也构成面心立方。 这两个面心立方子晶格各自的原胞具有相同的基矢，只不过互 相有一个位移。
氯化铯晶体结构
其晶格属于简单立方，基元由一个位于000的铯离子和一个 位于1/2 1/2 1/2 的氯离子组成。
Rl=l1a1+l2a2+l3a3 式中l1、l2、l3是整数。若l1、l2、l3是互质，就直接用 [l1,l2,l3] 来表示晶列OA的方向。
(2) 晶面
平行的晶面把所有的格点包括无遗。
晶面的表示方法 一个晶面的取向可以由这个晶面上任意三个不共线的 点确定。如果这三个点处在不同的晶轴上，则可以由 晶格常量 a1a2a3 表示的点的坐标就能标定它们所决定 的晶面。
hcp structure: ..ABABA.. fcc structure: ..ABCABC..
hcp fcc
Red: A Green: B Yellow: C
hcp structure
The bcc structure
1.6 配位数和堆积比率
原子的最近邻(原子)数目称为配位数。
晶胞中原子所占体积与晶胞体积之比称为堆积比率。
(1) 三斜晶系
90
0
a1 a2 a3
三斜晶系只有一种晶格：简单三斜
(2) 单斜晶系
a1 a2 a3
900
简单单斜
底心单斜
单斜晶系有2种晶格：简单单斜; 底心单斜
(3) 正交晶系
900
a1 a2 a3
按照固体物理的观点，复式格子总是由若干相同结构 的子晶格互相位移套构而成。
说结构，取原胞都是对布拉维格子而言的。因此，说 氯化钠型的结构是面心立方（而不说成为简单立方）； 说氯化铯型的结构是简立方（而不说或是体心立方）。
金刚石结构
金刚石结构的晶格类型属于面心立方（fcc）。与每个格点联系着 的初基基元含有两个全同原子，分别位于000和1/4 1/4 1/4，如右 图所示。左图示为投影在一个立方面上的情况。图中的分数值于表 示为以立方体边长为单位，其原子处在基面上方的高度。在0和1/2 处在点是处在一个面心立方格子上。在1/4和3/4处的点是处在另一 个相似的fcc格子上。第二个格子相对于第一个格子沿体对角线错 开，开的距离为体对角线长度的四分之一。如果看着单个的fcc晶 格，则基元是由位于000和1/4 1/4 1/4的两个全同原子组成。
(x1,x2,x3)
X3
(-x1,-x2,-x3)
(x1,x2,x3)
X2
x1
1.3 二维晶格的分类
如图所示，晶格平移失量 a1 和 a2 具有 任意性，由此给出的一般性晶格通常被 称为斜方晶格。当围绕任何一个格点转 动时，只有在转动 和 2 弧度时才能 保持不变。 从 a1 a2 的关系可以构造五个不同的二维 晶格类型。
(1)平移对称操作 晶格可以通过晶格平移 (T=u1a1+u2a2+u3a3)对称操作与其自身 重合。
(2)转动对称操作 转动对称操作是围绕一个通过格点的晶轴进行转动。对于转动 角度为 2， 2/2， 2/3， 2/4， 2/6的对称操作，总可以找 到一些会与自身重合的晶格，与这些角度相对称的转动轴分别 被称为一重、二重、三重、四重、六重对称轴。
周期晶格不 可能存在五 重对称轴， 因为不可能 使五边形相 互连接的陈 列不留空隙 地充满整个 空间。
图-4
(3) 镜面反映 ，它是以通过一个格点的平面作为反映平 面的对称操作。 (x1,x2,x3)
(x1,x2,-x3)
(4) 反演操作是先转动 弧度之后在垂直于其转动轴的 一个平面上反映，总的效果是
图1-3
图3 (a)一个二维晶格的空间格点示意图。其图中每对a1和a2 都是晶格平移矢量。但是，和 不是初基平移矢量，因为不可 能从 和 的整数倍组合来构成晶格平移T; 如图所示的其他成对的a1和a2矢量都可以取为晶格的初基平 移矢量。平行四边形1、2、3的面积都是相等的，它们中的任 何一个都可以取作原胞 (亦即初基晶胞)。平行四边形 4 的面 积是原胞面积的两倍。 (b)是三维晶格的原胞示意图。 (c)假设这些点是全同的原子:请读者在图中画出一组格点，选 择初基晶轴、原胞以及与一个格点相联系的原子的基元。