苏州大学2020届数学高考考前指导卷含答案word

苏州大学2020届高考考前指导卷数学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{|12}A x x =-≤≤，{|1}B x x =>，则A B =I ▲ ． 2．已知纯虚数z 满足(1i)2i z a -=+，则实数a 等于 ▲ ． 3．某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的400辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计400辆汽车中时速在区间[90110)，的约有 ▲ 辆． 4．函数()12lg f x x x =-+的定义域为 ▲ ． 5．在直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 1 (0)yx λλ-=>的离心率为3，则λ的值为 ▲ ． 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 ▲ ．7．展览会会务组安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，采用等可能随机的顺序前往酒店接嘉宾．某与会嘉宾设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．则该嘉宾坐到“3号”车的概率是 ▲ ．8．已知函数()cos f x x x =，则()f x 在点(())22f ππ，处的切线的斜率为▲ ．9．已知n S 是等比数列{}n a 前n 项的和，若公比2q =，则1356a a a S ++的值是 ▲ ．10．已知2sin cos()4ααπ=+，则tan()4απ-的值是 ▲ ．11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．里面对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材的体积约为 ▲ （立方寸）． （注：1丈10=尺100=寸，π 3.14≈）开始输出S结束 i ≤10i ←3 NYS ←S +2i（第6题图） i ←i ＋2 S ←4（第3题图）墙体CDFEB A O（第11题图）12．已知函数2|log 2|01()3 1x x f x x x +<⎧⎪=⎨->⎪⎩，≤，，，若存在互不相等的正实数123x x x ，，，满足123x x x <<且123()()()f x f x f x ==，则31()x f x 的最大值为 ▲ ．13．已知点P 为正方形ABCD 内部一点（包含边界），E F ，分别是线段BC CD ，中点．若0CP DP ⋅=u u u r u u u r，且AP AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的取值范围是 ▲ ． 14．已知D 是ABC △边AC 上一点，且1s 432co C B D A B D D A C =∠==，，，则3AB BC +的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且1a =，3cos sin C c A =． （1）求C ；（2）若3b =，D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，求ACD △的面积．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上（异于点P C ，），平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1）求证：AB EF ∥；（2）若AF ⊥EF ，求证：平面P AD ⊥平面ABCD ．EFABCDP （第16题图）如图，某公园内有一半圆形人工湖，O 为圆心，半径为1千米．为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实事，拟规划在OCD △区域种荷花，在OBD △区域建小型水上项目．已知AOC COD θ∠=∠=．（1）求四边形OCDB 的面积（用θ表示）；（2）当四边形OCDB 的面积最大时，求BD 的长（最终结果可保留根号）．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的离心率为22，短轴长为2，左、右顶点分别为A B ，．设点(2) (0)M m m >，，连接MA 交椭圆于点C ． （1）求该椭圆的标准方程；（2）若OC CM =，求四边形OBMC 的面积．DCBA（第17题图）（第18题图）已知函数2()2ln f x x ax x =-+（其中a 为常数）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点1212 ()x x x x <，，若12()f x mx ＞恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列．（1）若{}n a 的前n 项和32n n S =+，试判断{}n a 是否是P 数列，并说明理由；（2）设数列12310a a a a L ，，，，是首项为1-，公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{}{}n n b c ，是从{}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为12T T ，，求{}n a 是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列”．苏州大学2020届高考考前指导卷数学Ⅰ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作．．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(5)P x ，在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点(2)Q y y -，，求1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．B ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4ρθπ-=C 的参数方程为2cos 3()sin 22x y ααα=-+⎧ππ⎨=⎩，≤≤，求l 与曲线C 交点的直角坐标．C ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知00x y >>，，且满足2211274x y x y +++=，求1534x y -的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2224AB CD BC AD ====，60DAB ∠=︒，AE BE =，PAD △为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）求二面角P EC D --的余弦值； （2）线段PC 上是否存在一点M ，使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为6？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．23．（本小题满分10分）已知非空集合M 满足{012}M n ⊆L ，，，，*(2)n n ∈N ≥，．若存在非负整数 ()k k n ≤，使得当a M ∈时，均有2k a M -∈，则称集合M 具有性质P ．记具有性质P 的集合M 的个数为()f n ． （1）求(2)f 的值； （2）求()f n 的表达式．ACDP B（第22题图）苏州大学2020届高考考前指导卷参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．{|12}x x <≤ 2．2 3．280 4．1(0]2，5．2 6．52 7．56 8．π2- 9．1310．12-11．5306612．413．4[1]3-， 14解答与提示：1．{|12}A B x x =<I ≤． 2． 2i (2i)(1i)22i 1i 222a a a az +++-+===+-．因为z 为纯虚数，所以2020a a -=⎧⎨+≠⎩，，解得2a =． 3．由图可知，时速在区间[8090)[110120)，，，的频率为(0.010.02)100.3+⨯=，所以时速在区间[90110)，的频率为10.3-，所以时速在区间[90,110)的车辆约为4000.7280⨯=辆． 4．由1200x x -⎧⎨>⎩≥，，解得102x <≤，即函数()f x 的定义域为1(0]2，．5．离心率c e a =2λ=． 6．执行第一次循环105S i ==，；执行第二次循环207S i ==，；执行第三次循环349S i ==，；执行第四次循环5211S i ==，，终止循环．所以52S =．7．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，312，321．方案一坐“3号”车可能：132，213，231，所以136P =；方案二坐“3号”车可能：312，321，所以226P =．则该嘉宾坐到“3号”车的概率1256P P P =+=． 8．()cos sin f x x x x '=-，所以在π2x =处的切线的斜率为ππ()22k f '==-．9．2312135616[1()]111(1)131a q a a a q a q S q q-++-===-+-．10．因为π2sin cos()4αα=+，解得1tan 3α=，所以11π13tan()14213α--==-+． 11．如图，10AB =（寸），则5AD =（寸），1CD =（寸），设圆O的半径为x （寸），则(1)OD x =-（寸）．在Rt ADO △，由勾股定理可得2225(1)x x +-=，解得13x =（寸），则该木材的体积约为221001316900x 100π=π⨯=π≈53066（立方寸）． 12．函数()f x 的图象如右图所示，由题意，30()2f x <<，即319x <<，因为123()()()f x f x f x ==，所以3133()(3)x f x x x =-，令3(1,3)t x =∈，构造函数32()3g t t t =-+，2()36g t t t '=-+，所以当2t =时，max ()(2)4g t g ==，所以31()x f x 的最大值为4．13．设正方形ABCD 的边长为a ，以A 为原点，AB AD ，所在直线为分别为x y ，轴建立平面直角坐标系，则(00)(0)()(0)A B a C a a D a ，，，，，，，．设()P x y ，，因为0CP DP ⋅=u u u r u u u r，所以()()0x a y a x y a --⋅-=，，，即222()()24a a x y a -+-=，设cos 22sin 2a a x a y a θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，．又因为()()22a a E a F a ，，，，AP AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以()()()22a ax y a a λμ=+，，，，即22a x a a y a λμλμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，所以2232()[(sin cos )]1sin()332234a a x y a a λμθθθπ+=+=++=++，由P 为正方形ABCD 内部一点（包含边界），可得[2]θ∈ππ，，所以[]444θπ5π9π+∈，，所以2241sin()[1]43λμθπ+=++∈-，． 14．法一：设AD t =，则3CD t =，4AC t =，在ABD △中，222(2)cos 22t c ADB t+-∠=， 在BDC △中，222(3)(2)cos 223t a BDC t+-∠=⋅，又cos cos ADB BDC ∠=-∠，所以222222(2)(3)(2)22223t c t a tt+-+-=-⋅，解得2221238t c a =+-，①DCBA在ABC △中，2222(4)2cos AC t a c ac B ==+-，即2221162t a c ac =+-，②由①②可得2239322a c ac ++=．所以2222333532(3)(3)(3)()(3)2228a c a c a c a c a c +=+-+-⨯=+≥，即2832(3)5a c ⨯+≤，所以3a c +，当且仅当3a c =，即a c =所以3AB BC +． 法二：因为3CD AD =，所以3CD DA =u u u r u u u r，即3()BD BC BA BD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理得到3144BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以22913216168BA BC BA BC =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 即2291312||||161684BA BC BA BC =++⋅⨯u uu r u u u r u u u r u u u r ，整理得到223329||||||||2BA BC BA BC =++⋅u u u r u u u r u uu r u u u r ，设||||c BA a BC ==u u u r u u u r ，，所以22239329(3)22c a ac c a ac =++=+-， 因为293333()2222ac a c c a ⋅⋅+=≤，所以222293532(3)(3)(3)(3)288c a ac c a c a c a =+-+-+=+≥，3c a +=，当且仅当a c 时等号成立，所以3AB BC +． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）解：（1）因为1a =且sin C c A =cos sin C c A =， ····················· 2分在ABC △中，由正弦定理sin sin a cA C=，所以sin sin a C c A =，cos sin sin A C C A =． ·························································· 4分因为(0)A ∈π，，所以sin 0A ≠sin C C =，因为(0)C ∈π，，所以sin 0C ≠，所以cos 0C ≠，所以tan C ············· 6分 因为(0)C ∈π，，所以3C π=． ······························································ 8分（2）由（1）知，3ACB π∠=，因为1a =，3b =， 所以ABC △的面积13sin sin 223ABC S ab ACB π=∠==△，························· 10分因为D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，所以1sin12613sin 26BCD ACD a CD S a S b b CD π⋅⋅===π⋅⋅△△， ···················································· 12分 因为ABC ACD BCD S S S =+△△△，所以3344ACD ABC S S ==△△． ············· 14分 16．（本小题满分14分）证：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB CD ∥． ································································· 2分又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ， 所以AB ∥平面PDC ， ··································· 5分 又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC EF =， 所以AB EF ∥． ············································ 7分 （2）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ． 因为AF ⊥EF ，（1）中已证AB EF ∥，所以AB ⊥AF ， ·················································································· 9分 因为AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上（异于点C ）， 所以F 点异于点D ，所以AF AD A =I ，又AF AD ，⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ， ······································· 12分 又AB ⊂平面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD ． ·································· 14分 17．（本小题满分14分） 解：（1）由题意AOC COD θ∠=∠=，设四边形OCDB 的面积为()S θ， 因为四边形OCDB 可以分为OCD △和OBD △两部分，所以11()sin sin(2)22OCD OBD S S S OC OD OB OD θθθ=+=⋅+⋅π-△△， ··············· 3分因为1OB OC OD ===，所以1()(sin sin 2)2S θθθ=+．因为020θθ>π->，，所以02θπ<<．所以四边形OCDB 的面积1()(sin sin 2)(0)22S θθθθπ=+∈，，． ······················ 6分 （2）由（1）1()(sin sin 2)(0)22S θθθθπ=+∈，，，所以2211()(sin )(sin cos )cos cos sin 22S θθθθθθθ'''=+=+-21(4cos cos 2)2θθ=+-，令()0S θ'=，即24cos cos 20θθ+-=，解得cos θ=cos θ， 因为02θπ<<，所以存在唯一的0θ，使得0cos θ ····················· 10分当00θθ<<时，()0S θ'>，()S θ在0(0)θ，单调递增；当02θθπ<<时，()0S θ'<，()S θ在0()2θπ，单调递减， 所以0θθ=时，max 0()()S S θθ=， ·························································· 12分此时22202cos(2)BD OB OD OB OD θ=+-⋅π-22000112cos 222(2cos 1)4cos θθθ=++=+-=，从而02cos BD θ=（千米）． 答：当四边形OCDB 的面积最大时，BD·················· 14分 18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>2，短轴长为2，所以22222b a b c c a⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，，解得1a b ==，所以该椭圆的标准方程为2212x y +=．···················································· 4分（2）因为点) (0)(0)M m m A >，， 所以直线AM的方程为y x =，即y x =+．由2212x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，消去y得2222(4)280m x x m +++-=． ·············· 7分设00()C x y ，，则202284m m -=+，所以2024x m -=+，所以0244my m =+． 连接OM ，取OM 的中点R，则)2mR ，， ········································· 10分连接CR ，因为OC CM =，所以CR OM ⊥．又30OM CR m y k k -==31=-，即42280m m +-=，因为0m >，所以m = ································································· 13分 所以四边形OBMC的面积114223ABM AOC S S S =-=⨯=△△． ····································································································· 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为2()2ln f x x ax x =-+，所以222() (0)x ax f x x x-+'=>． ··············· 2分 令2()22p x x ax =-+，216a ∆=-，当0∆≤即44a -≤≤时，()0p x ≥，即()0f x '≥， 所以函数()f x 单调递增区间为(0)+∞，．当0∆>即4a <-或4a >时，12x x =． 若4a <-，则120x x <<，所以()0p x >，即()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0)+∞，．若4a >，则210x x >>，由()0f x '>即()0p x >，得10x x <<或2x x >； 由()0f x '<，即()0p x <得12x x x <<．所以函数()f x 的单调递增区间为12(0)()x x +∞，，，；单调递减区间为12()x x ，． 综上，当4a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，无减区间；当4a >时，函数()f x 的单调递增区间为12(0)()x x +∞，，，，单调递减区间为12()x x ，． ····· 6分 （2）由（1）得222() (0)x ax f x x x-+'=>，若()f x 有两个极值点12x x ，，则12x x ，是方程2220x ax -+=的两个不等正实根， 由（1）知4a >．则1212212ax x x x +=>=，，故1201x x <<<，···················· 8分 要使12()f x mx >恒成立，只需12()f x m x >恒成立．因为222311111111111221()2ln 222ln 22ln 1f x x ax x x x x x x x x x x x -+--+===--+， ········ 10分令3()22ln (01)h t t t t t t =--+<<，则2()32ln h t t t '=-+， ·························· 12分当01t <<时，()0h t '<，()h t 为减函数，所以()(1)3h t h >=-． ·················· 14分 由题意，要使12()f x mx >恒成立，只需满足3m -≤．所以实数m 的取值范围(3]-∞-，． ······················································· 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）由32n n S =+，可知1123n n n n a S S ++=-=⨯，故1320n n n a S +-=->对一切正整数n 都成立，故{}n a 是P 数列． ················ 3分 （2）由题意知，该数列的前n 项和为(1)2n n n S n d -=-+，11n a nd +=-+， 由数列12310a a a a L ，，，，是P 数列，可知211a S a >=，故公差0d >． 213(1)1022n n d S a n d n +-=-++<对满足19n ≤≤中的每一个正整数n 都成立， 即23(1)1022d n d n -++<对于19n ≤≤都成立． ······································· 6分 由2231(1)1022399(1)1022d d d d ⎧⋅-++<⎪⎪⎨⎪⋅-++<⎪⎩，，可得8027d <<，故d 的取值范围是8(0)27，． ····· 8分（3）若{}n a 是P 数列，则12a S a aq =<=，若0a >，则1q >，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立， 可知11n nq aq a q ->-，即12()n q q-<对一切正整数n 都成立，由1()0n q>，1()(01)n q ∈，，故20q -≤，可得2q ≥．若0a <，则1q <，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立， 可知11nnq aq a q->-，即(2)1n q q -<对一切正整数n 都成立，又当(1]q ∈-∞-，时，(2)1n q q -<当2n =时不成立，故有(01)(2)1q q q ∈⎧⎨-<⎩，，，或2(10)(2)1q q q ∈-⎧⎨-<⎩，，，解得0)(01)q ∈U ，． 所以{}n a 是P 数列时，a 与q 所满足的条件为02a q >⎧⎨⎩，≥，或0(01)0)a q <⎧⎪⎨∈⎪⎩U ，，． ····································································································· 12分 下面用反证法证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列”． 假设{}n a 是P 数列，由0a >，可知2q ≥且{}n a 中每一项均为正数， 若{}n b 中的每一项都在{}n c 中，则由这两数列是不同数列，可知12T T <， 若{}n c 中的每一项都在{}n b 中，同理可得12T T >．若{}n b 中至少有一项不在{}n c 中且{}n c 中至少有一项不在{}n b 中，设{}{}n n b c ''，是将{}{}n n b c ，中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为12T T ''，， 不妨设{},{}n n b c ''中的最大项在{}n b '中，设为m a ，则2m ≥， 则21211m m T a a a a T -''+++<L ≤≤，故21T T ''<，所以21T T <，故总有12T T ≠，与12T T =矛盾．故{}n a 不是P 数列． ································· 16分数学Ⅰ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．A ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）解：依题意1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦5x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2y y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即102320 x y x y +=-⎧⎨+=⎩，，解得4 8 x y =-⎧⎨=⎩，， ···················· 3分 由逆矩阵公式知，矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M ， ··················· 7分 所以1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M 213122-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦48-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． ··············································· 10分 B ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：直线()22l ρθθ-：， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． ············································· 3分曲线C 的普通方程为22(2) 1 (32)x y x ++=--≤≤， ································· 6分 2220(2) 1 (32)x y x y x -+=⎧⎨++=-⎩，≤≤-，消去y 整理得22870x x ++=，则2x =-(2--． ································· 10分 C ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）解：由00x y >>，，2211274x y x y +++=， 得2215316127444x y x y x y -=+++-27327126444=+-=≥． ································· 6分当且仅当22818x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，即122x y ==，时等号成立．故1534x y-的最小值为6． ··································································· 10分 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 解：设O 是AD 中点，PAD △为正三角形，则PO AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ABCD ⊥面．又因为2AD AE ==，60DAB ∠=︒， 所以ADE △为正三角形， 所以OE AD ⊥．建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则(00(00)(20)(100)P E C D --，，，，，，，于是(2(0(10PC PE DP =-=-=u u u ru u u ru u u r，，，． ··················· 2分 （1）设平面PEC 的法向量为1()x y z =，，n ，由110,0PC PE ⋅=⋅=u u u ru u u rn n ，得一个法向量为1(011)=，，n ， 平面EDC 的一个法向量为2(001)=，，n ，所以12cos <>=，n n 又由图可得二面角P EC D --为锐角， 所以二面角P EC D --． ················································ 4分 （2）设 (01)PM PC λλ=u u u u ru u u r≤≤，则(2)PM λ=--u u u u r，，(12)DM DP PM λ=+=-u u u u r u u u r u u u u r，(0PE =-u u ， ················ 6分所以|cos |||||||DM PE DM PE DM PE ⋅<>===u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，， ················· 8分解得13λ=或23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点． ··························· 10分23．（本小题满分10分）x解：（1）当2n =时，{0}{1}{2}{02}{012}M =，，，，，，，具有性质P ，对应的k 分别为01211，，，，，故(2)5f =． ·············································· 3分 （2）设当n t =时，具有性质P 的集合M 的个数为()f t ， 则当1n t =+时，(1)()(1)f t f t g t +=++，其中(1)g t +表示1t M +∈时也具有性质P 的集合M 的个数， 下面计算(1)g t +关于t 的表达式，此时应有21k t +≥，即12t k +≥，故对n t =分奇偶讨论． ①当t 为偶数时，1t +为奇数，故应该有22t k +≥，则对每一个k ，1t +和21k t --必然属于集合M ， 且t 和2k t -，L ，k 和k 共有1t k +-组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M ，故对每一个k ，对应具有性质P 的集合M 的个数为01111112t k t kt k t k t k C C C +-+-+-+-+-+++=L ， 所以21222(1)2221221tt tg t -+=++++=⨯-L ． ········································· 5分②当t 为奇数时，1t +为偶数，故应该有12t k +≥，同理111222(1)222121t t tg t +-+=++++=-L ， ···································· 7分综上，可得22()221(1)()21ttf t t f t f t t ⎧+⨯-⎪+=⎨⎪+-⎩，为偶数，，为奇数，又(2)5f =， 由累加法解得212625()425t t t t f t t t +⎧⨯--⎪=⎨⎪⨯--⎩，为偶数，，为奇数， 即212625()425nn n n f n n n +⎧⨯--⎪=⎨⎪⨯--⎩，为偶数，，为奇数． ······················································· 10分。