2020-2021学年青岛版数学九年级上册期中、期末测试题及答案解析(各一套)
青岛版数学九年级上册单元、期中、期末测试题及答案(共6套)
青岛版数学九年级上册单元、期中、期末测试题第一单元测试题一、选择题1.如果把三角形的三边按一定的比例扩大，则下列说法正确的是（）A.三角形的形状不变，三边的比变大B.三角形的形状变，三边的比变大C.三角形的形状变，三边的比不变D.三角形的形状不变，三边的比不变2.中，，，，和它相似的三角形的最短边是，则最长边是（）A. B. C. D.3.如图，五边形和五边形是位似图形，且，则等于（）A. B. C. D.4.如图，下列条件：①；②；③；④，能使的条件的个数为（）A.个B.个C.个D.个5.如图，以点为位似中心，作的一个位似三角形，，，的对应点分别为，，，与的比值为，若两个三角形的顶点及点均在如图所示的格点上，则的值和点的坐标分别为（）A.，B.，C.，D.，6.以为斜边作等腰直角，再以为斜边在外侧作等腰直角，如此继续，得到个等腰直角三角形（如图），则图中与的面积比值是（）A. B. C. D.7.下列说法不正确的是（）A.含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的B.所有的矩形是相似的C.所有边数相等的正多边形是相似的D.所有的等边三角形都是相似的8.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（）A.米B.米C.米D.米9.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为．A. B. C. D.10.如图，已知，，，为边上一点，且，为边上一点（不与、重合），若与相似，则A. B. C.或 D.或二、填空题11.在中，，，在中，已知，，要使与相似，需添加的一个条件是________．12.若，且相似比，当时，则________ ．13.在中，点、分别在边、上，，，，则________．14.四边形与四边形位似，为位似中心，若，那么________．15.在相同时刻物高与影长成比例．如果高为的测杆的影长为，那么影长为的旗杆的高是________．16.如图，，，，则当________时，．17.如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点和（顶点是网格线的交点）．点、坐标为，．观察图形填空：是由绕________点顺时针旋转________度得到的；把中的图形作为一个新的”基本图形“，将新的基本图形绕点顺时针旋转度，请作出旋转后的图形，其中，、、、的对应点分别为、、、．依次连接、、、，则四边形的形状为________；以点为位似中心，位似比为（原图与新图对应边的比为），作出四边形的位似图形．18.一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…，依此规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．请写出一个反映，，之间关系的等式________．19.我们把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．不难发现，将一张标准纸如图一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸，，，那么把它第次对开后所得标准纸的周长是________．三、解答题20.已知和中，，、分别是两个三角形斜边上的高，且，求证：．21.如图，正方形网格上有和．（每一个小正方形的边长为）求证：；请你在正方形网格中画一个以点为位似中心的三角形并将放大倍．22.如图，在中，是角平分线，点在上，且．求证：：已知，，求长．23.梯形中，，，于点，点在边上，且．求证：；若点为中点，求证：．24.如图，在中，，，点从点出发沿边想向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果、同时出发，经过几秒后和相似？25.如图所示，在距树米的地面上平放一面镜子，人退后到距镜子米的处，在镜子里恰巧看见树顶，若人眼距地面米．求树高；和是位似图形吗？若是，请指出位似中心；若不是，请说明理由．26.一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：如图，在中，．若是锐角，请探索在直线上有多少个点，能保证（不包括全等）？请对进行恰当的分类，直接写出每一类在直线上能保证（不包括全等）的点的个数？答案解析1.D2.B3.B4.B5.A6.C7.B8.A9.B 10.D11.12.13.14.15.16.17.正方形18.19.20.证明：∵、分别是两个三角形斜边上的高，∴，∵，∴，∴，∵’，∴．21.证明：∵，，，∴，∴；解：如图所示：．22.证明：∵是角平分线，∴，∵，∴，∴，∴；解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．23.证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即．∵在梯形中，，为中点，∴为的中点，∴，∵，∴，即，∴，整理得：．24.解：设经过秒后和相似．则，，∵，，∴，①与边是对应边，则，即，解得，②与边是对应边，则，即，解得．综上所述，经过秒或秒后和相似．25.树高为米；和不是位似图形．理由如下：∵点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，而不经过点，∴和不是位似图形．26.解：①如图，若点在线段上，由于，可以作一个点满足，使得；②如图，若点在线段的延长线上，则，与条件矛盾，因此，这样的点不存在；③如图，若点在线段的反向延长线上，由于是锐角，则，不可能有，因此，这样的点不存在．综上所述，这样的点有一个．注：③中用“是钝角，中只可能是钝角，则”说明不存在点亦可．若为锐角，由知，这样的点有一个（如图）；若为直角，这样的点有两个（如图）； 若为钝角，这样的点有个（如图）．青岛版数学九年级上册第二单元测试题一．选择题1．在ABC Rt ∆中，∠090=C ，2=AB ，1=AC ，则B sin 的值是（ ） （A ）21； （B ）22； （C ）23； （D ）2.2．如果ABC Rt ∆中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A 的三角比的值（ ）（A ） 都扩大到原来的2倍； （B ） 都缩小到原来的一半； （C ） 没有变化； （D ） 不能确定.3．等腰三角形的底边长10cm ，周长36cm ，则底角的余弦值为……（ ）(A )125； (B)512； (C)135； (D)1312.4.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A5.若0°＜＜90°，且|sin －41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于（ ） A ．3 B ．33 C ．21 D ．236.若三个锐角α.β.γ，满足sin α＝0.8480，cos β＝0.4540，tan γ＝1.8040，则α.β.γ的大小关系是（ ）A.β＜α＜γB.α＜β＜γC.α＜γ＜βD.β＜γ＜α 7. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B.34 C. 53 D. 35 8. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21B.33C. 1D. 3 二．填空题9．在Rt ΔABC 中，∠︒=90C , 若AB =5,BC =3,，则A sin = ，=A cos ，=A tan ，10．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，∠A =30°，AC =3,则BC = .11．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝2，则tan 2B= ．12．若a 为锐角，且sin a =22,则cos a = ． 13.用计算器比较两个锐角α，β的大小（1）sin α＝0.55，tan β＝0.68，α＿＿＿＿＿β （2）sin α＝0.47，co s β＝0.89，α＿＿＿＿＿β14. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin =α，当α=__________时，Cota=3. 15. 若，则锐角α=__________。
2020-2021学年最新青岛版九年级数学上学期期末考试模拟试卷及答案解析-精编试题
期末检测题（本检测题满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的半径为30 cm，圆心角为120°，用它做一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ）A.5 cmB.10 cmC.20 cmD.30 cm 2.下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）A.x 2+1=0B.x 2+x +1=0C.x 2−x +1=0D.x 2−x −1=03.已知实数a，b分别满足a 2−6a +4=0，b 2−6b +4=0，且a ≠b， 则ba +ab 的 值（ ）A.7B.−7C.11D.−11 4.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）5.如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是（ ） A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.70︒6.如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ︰FC 等于（） A.3︰2B.3︰1C.1︰1D.1︰2第5题图第6题图7.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶3，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A.10mB.103mC.15mD.53m8.周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)（）A.36.21米B.37.71米C.40.98米D.42.48米9.如果函数y=k+1x的图像经过点（−1，2），那么该函数的图像必在（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限10.对于函数y=−2x，下列结论错误的是（）A.当x>0时，y随x的增大而增大B.当x<0时，y随x的增大而增大C.x=1时的函数值大于x=−1时的函数值D.在函数图像所在的每个象限内，y随x的增大而增大11.一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是( )A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和412.某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表所示：候选人甲乙丙丁测试成绩（百分制）面试86 92 90 83笔试90 83 83 926和4的权.根据四人各自的平均成绩，公司将录取（）A.甲B.乙C.丙D.丁二、填空题（每小题3分，共24分）13.某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x ，8.已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_________.14．已知关于x 的方程x 2+3x +x 2=0的一个根是−1，则x =_______． 15.若k xy zx z y z y x =+=+=+,则x =__________. 16.2014年南京青奥会某项目6名礼仪小姐的身高如下（单位：cm ）：168，167，168，167，170，168，则她们身高的众数是_____cm ，平均数是_____cm . 17.反比例函数ky x=(x >0)的图像与经过原点的直线x 相交于x 、x 两点，已知x 点的坐标为（2，1），那么x 点的坐标为.18. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，4522AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为_____________．19.如图所示，在Rt ABC △中，9042C AC BC ===∠°，，，分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_________.（结果保留π） 20.设函数2y x =与1y x =-的图像的交点坐标为(x ，x )，则11a b-的值为_________． 三、解答题（共60分）21.（5分）如图，⊙x 中的弦xx =6cm，圆周角∠xxx =60°， 求图中阴影部分的面积． 22.（6分）计算下列各题：（1）55sin 35sin 12145sin 222+++-；（2）12︒-30tan 3+(π−4)0+121-⎪⎭⎫⎝⎛-．23.（5分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量2010年为10万只，预计2012年将达到14.4万只．求该地区2010 年到2012年高效节能灯年销售量的平均增长率.24.（6分）已知线段xx ⊥xx ，x 为xx 的中点，x 为xx 上一点，连结xx 、xx 交于x 点．（1）如图①，当xx =xx 且x 为xx 中点时，求PCAP的值； （2）如图②，当xx =xx ，AO AD =41时，求tan ∠xxx .25.（6分）已知反比例函数0ky k x=≠（）和一次函数6y x =-． （1）若一次函数与反比例函数的图象交于点2P m （，），求m 和k 的值． （2）当k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点？26.（5分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡xx 的坡比x =1∶√3（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且xx =20 m．身高为1.7 m的小明站在大堤x 点，测得高压电线杆端点x 的仰角为30°．已知地面xx 宽30 m，求高压电线杆xx 的高度（结果保1.732）．27.（7分）如图，直线y=mx 与双曲线ky x=相交于A ，B 两点，A 点的坐标为（1，2）. （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出当mx ＞kx时，x 的取值范围； （3）计算线段AB 的长.第27题图第24题图ODA PB C O D A P BC28.(6分) 如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为E ，以OC 为直径的圆与弦AB 的一个交点为F ，D 是CF 延长线与⊙O 的交点.若4,6OE OF ==，求⊙O 的半径和CD 的长. 29.（6分）在矩形ABCD中，23DC CF BD =⊥，分别交BD 、AD 于点E 、F ，连接BF.（1）求证：△DEC ∽△FDC ；（2）当F 为AD 的中点时，求sin ∠FBD 的值及BC 的长度. 30.（8分）如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ＝45，5cos .C =（1）动手操作：利用尺规作以AC 为直径的⊙O ，并标出⊙O 与AB 的 交点D ，与BC 的交点E （保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的图中， ①求证：DECE ；②求点D 到BC 的距离.期末检测题参考答案第28题图第30题图1.B 解析：扇形弧长×，∴．2.D 解析：A.因为，，，，所以方程没有实数根，本选项不合题意； B.因为，，，，所以方程没有实数根，本选项不合题意； C.因为，，，，所以方程没有实数根，本选项不合题意； D.因为，，，，所以方程有两个不相等的实数根，本选项符合题意.故选D. 3.A 解析：根据题意，得与为方程的两根，∴则原式=．故选A.4.B 解析：设小方格的边长为1，则图中的三角形的三边长分别为A 项中的三角形的三边长分别为B 项中的三角形的三边长分别为C 项中的三角形的三边长分别为D 项中的三角形的三边长分别为只有B 项中的三角形的三边长与题图中的三角形的三边长对应成比例，所以选B.5.C 解析：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．∵ABC ∠和AOC ∠是同一段弧AC 所对的圆周角和圆心角，∴12ABC AOC ∠=∠， ∴139022ABC AOC AOC AOC AOC ∠+∠=∠+∠=∠=， ∴60.AOC ∠=6.D 解析：∵AD ∥BC ，∴DEF BCF ∠=∠，EDF CBF ∠=∠， ∴△DEF ∽△BCF ，∴EF EDCF BC =. 又∵AD BC =，∴12ED BC =，1.2EF FC = 7. A 解析：由迎水坡AB 的坡比是1∶3，知3BC AC =， 又5，所以，所以，故选A．8.D 解析：如图，米，米，∠90°，∠45°，∠30°．设米，在Rt△中，tan∠＝DG DF，即tan30°＝33＝xDF，∴3x．在Rt△中，∵∠90°，∠45°，∴．根据题意，得，解得31．∴(米)．9.D 解析：∵函数的图像经过点，∴，∴该函数的图像必在第二、四象限．故选D．10.C 解析：A.当时，的图像位于第四象限，随的增大而增大，正确；B.当时，的图像位于第二象限，随的增大而增大，正确；C.时的函数值为，时的函数值为，时的函数值小于时的函数值，错误；D.根据A 、B 可知，正确．11.B 解析：把这组数据按照从小到大的顺序排列为2,3,3,4,8，中间的数据是3， 所以这组数据的中位数是3，这组数据的平均数x =.4582433=++++12.B 解析：甲的平均成绩为：86690487.664⨯+⨯=+；乙的平均成绩为：92683488.464⨯+⨯=+；丙的平均成绩为：90683487.264⨯+⨯=+；丁的平均成绩为：83692486.664⨯+⨯=+.∵86.687.287.688.4<<<，∴公司将录取乙.13.1.6 解析：由题意，得110(1010128)5x =++++，解得10x =.所以2222221(1010)(1010)(1210)(1010)(810) 1.65s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦. 14. 解析：把1x =-代入方程，得，则，所以．15.121-或 解析：当时，()212=++++=+=+=+z y x z y x x y z x z y z y x ； 当时，所以()1-=++-=+=zy z y z y x k . 16.168 168解析：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据.这组数据中，168出现了3次，出现的次数最多，故这组数据的众数为168. 由平均数的定义得1681671681671701681686+++++=.17.（－2，－1） 解析：设直线的解析式为，因为直线和反比例函数的图像都经过，将点坐标代入可得，，故直线的解析式为，反比例函数的解析式为xy 2=，联立可解得点的坐标为（－2，－1）. 18.解析：过点作则，所以点B 的坐标为.19．5π42- 解析： 由图可知阴影部分的面积半圆的面积半圆的面积Rt ABC △的面积，所以πππ故填5π42-.20.12-解析：将分别代入解析式2y x =与1y x =-，得ab 2=，1-=a b ，故12-=a a ，022=--a a ，解得12-==a a 或.当2=a 时，1=b ，2111-=-b a ；当1-=a 时，2-=b ，2111-=-b a . 21.解：连接，作于，则．∵，∴ ．∵ ，∴ 为中点. 又，∴．∴，．∴ 阴影部分的面积为22.解：（1）55sin 35sin 12145sin 222+++-2222(21)sin 35cos 352⨯--++ 22.（2）12︒-30tan 3+121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2133332-+⨯-=13-=. 23.解：设该地区年到年高效节能灯年销售量的平均增长率为.依据题意，列出方程化简整理，得解这个方程，得∴.∵ 该地区年到年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数，∴舍去，∴.答：该地区年到年高效节能灯年销售量的平均增长率为24.解：（1）过作∥交于，则△∽△.又为的中点，所以所以2121.再由∥可证得△∽△，所以2==CEADPC AP . （2）过作∥交于，设，则，，由△∽△，得2123.再由△∽△得32==CE AD PE PD . 由勾股定理可知，25，则32=-PD DE PD ，可得，则∠∠∠，所以tan ∠tan ∠21=AO CO . 25.解：（1）∵ 一次函数和反比例函数的图象交于点2P m （，）， ∴ 26m =-，解得4m =-，即点24P -（，），则248k =⨯-=-（）． ∴ 48m k =-=-，.（2）联立0k y k x =≠（）和6y x =-，有6k =x x-，即260x x k --=． ∵ 要使两函数的图象没有交点，须使方程260x x k --=无解．∴ 2643640Δk k =--⨯-=+（）（）＜，解得9k -＜． ∴ 当9k -＜时，两函数的图象没有交点． 26.解：设大堤的高度为点到点的水平距离为. ∵33i =，∴坡与水平面的夹角为30°， ∴h AB ＝，即2AB ，a AB，即3，∴.∵测得高压电线杆顶端的仰角为30°，∴DNMN tan30°，解得，∴CD DN AM h =++≈27.32（m ）． 答：高压电线杆的高度约为． 27.解：（1）把A(1，2)代入k y x=中，得2k =． ∴反比例函数的表达式为2y x =．（2）10x -<<或1x >．（3）如图，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ．∵A(1，2)，∴AC=2，OC=1．∴22215+∴528.解：∵OC 为小圆的直径，∴∠OFC=90°，∴CF=DF.∵OC ⊥AB ，即OE ⊥AB ，∴∠OEF=∠OFC=90°.又∠FOE=∠COF ， ∴△OEF ∽△OFC ，则OE OF OF OC =， ∴22694OF OC OE ===. 在Rt △COF 中，由勾股定理得22229635CF OC OF ==-- ∴265CD CF ==29.解：（1）∵ ∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD ，∴ △DEC ∽△FDC.（2）∵ F 为AD 的中点，AD ∥BC ，∴ FE ∶EC=FD ∶BC=1：2，FB=FC ，∴ FE ∶FC=1∶3，∴ sin ∠FBD=EF ：BF=EF ∶FC=13. 设EF x =，则3FC x =，∵ △DEC ∽△FDC ， ∴ CE CD CD FC=，即可得2612x =，解得2x =，则32CF =在Rt △CFD 中，226DF FC CD =-=，第27题答图∴226BC DF==．30.解：（1）如图（1）所示，即为所求.（2）①如图（2）所示，连接AE，∵AC为直径，∴∠AEC=90°.又AB＝AC，∴∠BAE=∠CAE.∴DE CE.（1）（2）（3）②如图（3）所示，连接CD，过点D作DF⊥BC于点F，545,cosAB AC ACB==∠=，cos4CE AC ACB∴=⋅∠=，22288.BC CE AE AC CE===-=，∵AC为直径，90ADC∴∠=︒，1.2ABCS AB CD∆∴=⋅又90AEC∠=︒，1.2ABCS AE BC∆∴=⋅1122AB CD AE BC∴⋅=⋅，可得CD＝165.22125AD AC CD∴=-=，85=BD AB AD-=.在Rt△DBC中，1122BD CD DF BC⋅=⋅，可得165DF=.∴点D到BC的距离为16.5第30题答图。
_山东省青岛市2020——2021学年九年级上学期期中数学试卷 解析版
2020-2021学年山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x2+y＝1B．9y＝3y﹣1C．2x2＝1D．﹣2x2＝82．如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（）x00.51 1.52 ax2+bx+c﹣15﹣8.75﹣2 5.2513A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．青岛第四届海上马拉松比赛将在2020年11月举行，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（）A．B．C．D．6．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm7．下列结论正确的是（）A．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形．B．如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形．C．如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形．D．一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC 和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取EF＝BE，连接DF．下列说法中正确的有（）（1）GH：FD＝1：2；（2）BD2＝BF•BC；（3）四边形EBHD是菱形；（4）S△ADF＝S．△ABCA．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共6小题，毎小题3分，共18分）9．已知＝≠0，则＝．10．在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球30个，这些球除颜色外都相同．某学习小组进行摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回袋中，不断重复上述过程，试验数据如下表：摸球的次数10020050080010001200摸到白球的次4281201324402481数根据上表数据，估算口袋中黑球有个．11．如图，直线a∥b∥c，直线AC与DF交于点O，且与直线a、b、c分别交于点A、B、D、E、F，如果DE＝2，EF＝5，AC＝6，那么AB的长为．12．书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，该校这两个月借阅图书的月均增长率是．13．如图，四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，图中阴影部分的面积是cm2．14．现有30张相同的菱形纸片（如图1，有一个内角为60°），小亮用其中3张密铺成一个如图2所示的正六边形；若小芳想密铺出一个与图②相似但面积比它大的正六边形，则她至少要用张菱形纸片（不得将菱形纸片剪开）．三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：一个菱形，使它的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上．四、解答题（本题共10小题，共74分）16．（4分）解方程：x2+2x+2＝8x+4（配方法）．17．（4分）解方程：8x2﹣2x﹣3＝0．18．（4分）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解．19．（6分）用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色“游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；（2）求游戏者获胜的概率．20．（8分）如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．21．（7分）有一个面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．22．（9分）已知：在△ABC中，CB＝CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．23．（10分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是件（直接填写结果）；（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．24．（10分）古希腊数学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比又被称为黄金比，其比值是．古希腊很多矩形建筑中，宽与长之比都等于黄金比，在艺术领域，许多优美的曲线也与黄金比有关，黄金比在我们的生活中彰显着丰富的美学价值．【探索发现】：如图1，若点P1是线段AB靠近点B的黄金分割点，则AP1＝AB，所以BP1＝（1﹣）AB＝AB．若P2是线段BP1靠近点B的黄金分割点，则BP2＝BP1，所以BP2＝AB．若P3是线段BP2靠近点B的黄金分割点，则BP3＝BP2，所以BP3＝AB．……【归纳提炼】若P n是线段BP n﹣1靠近点B的黄金分割点，则BP n＝AB．【解释应用】：如图2，矩形ABCD中，宽BC与长AB的比为黄金比，则称矩形ABCD为“黄金矩形”．在课本“想一想”中我们已经知道，该矩形有如下特点：作正方形①，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P1为线段AB的黄金分割点；以此类推：作正方形②，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q1为线段BC的黄金分割点；作正方形③，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P2为线段的黄金分割点；作正方形④，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q2为线段的黄金分割点；……显然，这样变换可以无限的进行下去．借助对“BP2与AB，BQ2与BC的比例关系”的探究，写出当“黄金矩形”ABCD的周长为a时，以BP2，BQ2为邻边的“黄金矩形”的周长y与a的关系式：．【拓展延伸】：（1）设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a1，a2，a3，a4，请直接写出a1+a2+a3+a4＝．（用含有a的代数式表示）（2）如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．请直接写出这条曲线的长度：．（用含有a的代数式表示）25．（12分）已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点Q作QE⊥AC，QE与BC相交于点E，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t），解答下列问题：（1）连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？（2）设四边形BPQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使△CDF为等腰三角形？若存在，直接写出t的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x2+y＝1B．9y＝3y﹣1C．2x2＝1D．﹣2x2＝8【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．是一元二次方程，故本选项符合题意；D．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．2．如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答】解：观察图象可知，图中有3个直角三角形，一个锐角三角形，其中左边的两个直角三角形的直角边的比都是1：2，所以这两个直角三角形相似．故选：A．3．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（）x00.51 1.52 ax2+bx+c﹣15﹣8.75﹣2 5.2513A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c＝10的解．【解答】解：由表格可知：当x＝1.5时，ax2+bx+c＝5.25，则ax2+bx+c﹣10＝﹣4.75，当x＝2时，ax2+bx+c＝13，则ax2+bx+c﹣10＝3，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2，故选：D．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】根据∠EAB：∠EAD＝1：3，∠BAD＝90°，可以求得∠BAE的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到∠EOA的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠BAD＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠EAB：∠EAD＝1：3，∴∠EAB＝22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝67.5°，∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，∴∠AOB＝45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．5．青岛第四届海上马拉松比赛将在2020年11月举行，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一组的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有3种情况，∴两人恰好选择同一组的概率为＝；故选：A．6．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm【分析】由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，∴AC＝8cm，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4cm，故选：B．7．下列结论正确的是（）A．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形．B．如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形．C．如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形．D．一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形．【分析】依据菱形、矩形以及正方形的判定方法，即可得出结论．【解答】解：A．若一个四边形是轴对称图形，且有两条互相垂直的对称轴，则这个四边形是菱形或矩形，故本选项不合题意；B．如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形可以是菱形，故本选项不合题意；C．若一个菱形绕对角线的交点旋转90°后所得图形与原图形重合，则这个菱形是正方形，本选项符合题意；D．一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四辺形一定是矩形，故本选项不合题意；故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC 和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取EF＝BE，连接DF．下列说法中正确的有（）（1）GH：FD＝1：2；（2）BD2＝BF•BC；（3）四边形EBHD是菱形；（4）S△ADF＝S．△ABCA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①由题意可证四边形DEBH是平行四边形，可得GH＝EG，BG＝DG，由三角形中位线定理可得EG∥DF，GE＝DF，可得GH＝DF；②通过证明△BDF∽△BCD，可得，可证BD2＝BC•BF；③由菱形的判定可证四边形EBHD是菱形；④条件不足，无法证明．【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AB，∴四边形DEBH是平行四边形，∴GH＝EG，BG＝DG，又∵EF＝BE，∴EG∥DF，GE＝DF，∴GH＝DF，∴GH：DF＝1：2，故①正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE，∴BE＝DE＝EF，∴∠BDF＝90°＝∠C，又∵∠ABD＝∠DBC，∴△BDF∽△BCD，∴，∴BD2＝BC•BF，故②正确；∵BE＝DE，四边形DEBH是平行四边形，∴四边形DEBH是菱形，故③正确；条件不足，无法证明S△ADF＝S△ABC．故④错误，故选：C．二、填空题（本题共6小题，毎小题3分，共18分）9．已知＝≠0，则＝．【分析】直接利用已知得出y＝2x，即可代入化简得出答案．【解答】解：∵＝≠0，∴y＝2x，则＝＝．故答案为：．10．在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球30个，这些球除颜色外都相同．某学习小组进行摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回袋中，不断重复上述过程，试验数据如下表：摸球的次数100200500800100012004281201324402481摸到白球的次数根据上表数据，估算口袋中黑球有18个．【分析】根据图表给出的数据得出白球的频率，再用总球的个数乘以白球的频率，求出白球的个数，再用总个数减去白球的个数即可得出黑球的个数．【解答】解：根据图表给出的数据可得，摸到白球的频率将会接近0.4，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数是：30×0.4＝12（个），则口袋中黑球有30﹣12＝18（个）．故答案为：18．11．如图，直线a∥b∥c，直线AC与DF交于点O，且与直线a、b、c分别交于点A、B、D、E、F，如果DE＝2，EF＝5，AC＝6，那么AB的长为．【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴，∴，∴，解得：AB＝，故答案为：．12．书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，该校这两个月借阅图书的月均增长率是30%．【分析】该校这两个月借阅图书的月均增长率是x，根据该校9月份及11月份借阅图书数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：该校这两个月借阅图书的月均增长率是x，依题意，得：500（1+x）2＝845，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．故答案为：30%．13．如图，四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，图中阴影部分的面积是（）cm2．【分析】连接BE，交AC于O，依据等边三角形和正方形的性质，即可得到AO的长，依据勾股定理即可得到EO的长，最后根据阴影部分面积＝S△ACE﹣S△ACD进行计算．【解答】解：如图，连接BE，交AC于O，∵△ACE是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴EA＝EC，BA＝BC，∴BE垂直平分AC，∵四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，∴AB＝BC＝（cm），∴AC＝＝（cm），∴AE＝（cm），AO＝AC＝（cm），∴Rt△AOE中，EO＝＝3（cm），∴阴影部分面积＝S△ACE﹣S△ACD＝﹣＝﹣3＝（）cm2，故答案为：（）．14．现有30张相同的菱形纸片（如图1，有一个内角为60°），小亮用其中3张密铺成一个如图2所示的正六边形；若小芳想密铺出一个与图②相似但面积比它大的正六边形，则她至少要用12张菱形纸片（不得将菱形纸片剪开）．【分析】利用图象法，画出图形判断即可．【解答】解：观察图象可知，至少要用12张菱形纸片．故答案为：12．三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：一个菱形，使它的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上．【分析】过平行四边形的对角线的交点，画两条互相垂直直线EG，FH，J交平行四边形ABCD的边于E，G，F，H，连接EF，FG，GH，HE，四边形EFGH即为所求．【解答】解：如图，四边形EFGH即为所求．四、解答题（本题共10小题，共74分）16．（4分）解方程：x2+2x+2＝8x+4（配方法）．【分析】移项，合并同类项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2+2x+2＝8x+4，x2+2x﹣8x＝﹣2+4，x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝2+9，（x﹣3）2＝11，开方得：x﹣3＝，解得：x1＝3+，x2＝3﹣．17．（4分）解方程：8x2﹣2x﹣3＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：8x2﹣2x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×8×（﹣3）＝100，x＝＝，x1＝，x2＝﹣．18．（4分）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解．【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出△＝22﹣4×（k﹣1）×（﹣1）＞0，结合一元二次方程的定义知k﹣1≠0，从而得出答案．【解答】解：根据题意，得：△＝22﹣4×（k﹣1）×（﹣1）＞0且k﹣1≠0，解得k＞0且k≠1，所以k的最小整数解为2．19．（6分）用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色“游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；（2）求游戏者获胜的概率．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可；（2）找出一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数；（2）∵共有6种等可能的结果数，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种，∴游戏者获胜的概率是＝．20．（8分）如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠B＝∠ADG，可证明△ABC∽△ADE；（2）由相似三角形的性质可得出答案．【解答】（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．21．（7分）有一个面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．【分析】设这个正方形的边长为xcm，则原长方形的长为（x+5）cm，宽为（x+2）cm，根据原长方形的面积为54cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个正方形的边长为xcm，则原长方形的长为（x+5）cm，宽为（x+2）cm，依题意，得：（x+5）（x+2）＝54，整理，得：x2+7x﹣44＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．答：这个正方形的边长为4cm．22．（9分）已知：在△ABC中，CB＝CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据外角的性质定理得到∠A＝ACM，由角平分线的定义得到∠ACF＝ACM，求得∠A＝∠ACF，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）由已知条件得到△ACB是等腰直角三角形，求得∠BAC＝45°，推出AD∥CF，由（1）知AD＝CF，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD＝CD，求得∠ACD＝∠CAD＝45°，根据正方形的判定定理得到结论．【解答】（1）证明：∵CB＝CA，∴∠A＝∠B，∵∠ACM＝∠A+∠B，∴∠A＝ACM，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF＝ACM，∴∠A＝∠ACF，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF；（2）解：当∠ACB＝90°，四边形ADCF是正方形，理由：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF＝ACM＝45°，∴∠DAC＝∠ACF，∴AD∥CF，由（1）知AD＝CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵点D是AB的中点，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴∠DCF＝90°，∴矩形ADCF是正方形．23．（10分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是280件（直接填写结果）；（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．【分析】（1）根据每天的平均销售量＝80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25﹣15﹣x）元，平均每天可售出80+×20＝（40x+80）件，根据每天的总利润＝销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x的值，再将其代入（40x+80）中即可求出结论．【解答】解：（1）80+5÷0.5×20＝280（件）．故答案为：280．（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25﹣15﹣x）元，平均每天可售出80+×20＝（40x+80）件，依题意，得：（25﹣15﹣x）（40x+80）＝1280，整理，得：x2﹣8x+12＝0，解得：x1＝2，x2＝6，∴25﹣x＝23或19．答：每件商品的定价应为23元或19元．（3）当x＝2时，40x+80＝160＜200，不合题意，舍去；当x＝6时，40x+80＝320＞200，符合题意，∴25﹣x＝19．答：商品的销售单价为19元．24．（10分）古希腊数学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比又被称为黄金比，其比值是．古希腊很多矩形建筑中，宽与长之比都等于黄金比，在艺术领域，许多优美的曲线也与黄金比有关，黄金比在我们的生活中彰显着丰富的美学价值．【探索发现】：如图1，若点P1是线段AB靠近点B的黄金分割点，则AP1＝AB，所以BP1＝（1﹣）AB＝AB．若P2是线段BP1靠近点B的黄金分割点，则BP2＝BP1，所以BP2＝（）2AB．若P3是线段BP2靠近点B的黄金分割点，则BP3＝BP2，所以BP3＝（）3AB．……【归纳提炼】若P n是线段BP n﹣1靠近点B的黄金分割点，则BP n＝（）n AB．【解释应用】：如图2，矩形ABCD中，宽BC与长AB的比为黄金比，则称矩形ABCD为“黄金矩形”．在课本“想一想”中我们已经知道，该矩形有如下特点：作正方形①，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P1为线段AB的黄金分割点；以此类推：作正方形②，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q1为线段BC的黄金分割点；作正方形③，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P2为线段BP1的黄金分割点；作正方形④，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q2为线段BQ1的黄金分割点；……显然，这样变换可以无限的进行下去．借助对“BP2与AB，BQ2与BC的比例关系”的探究，写出当“黄金矩形”ABCD的周长为a时，以BP2，BQ2为邻边的“黄金矩形”的周长y与a的关系式：y＝（）4a．【拓展延伸】：（1）设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a1，a2，a3，a4，请直接写出a1+a2+a3+a4＝a+a+a+a．（用含有a的代数式表示）（2）如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．请直接写出这条曲线的长度：πa•[+++]．（用含有a的代数式表示）【分析】【探索发现】：根据黄金分割的定义计算即可；【归纳提炼】：探究规律，利用规律解决问题即可；【解释应用】：根据相似多边形的性质相似比等于周长比，解决问题即可；【拓展延伸】：（1）分别求出a1，a2，a3，a4即可解决问题；（2）利用弧长公式计算即可．【解答】解：【探索发现】：由题意可知：BP2＝（）2AB，BP3＝（）3AB，故答案为：（）2，（）3．【归纳提炼】：由规律可知：BP n＝（）n AB．故答案为：（）n．【解释应用】：且点P2为线段P1B的黄金分割点，点Q2为线段BQ1的黄金分割点，∵BC＝AB，BP1＝BC，BQ1＝BP1，BP2＝BQ1，所有矩形相似，∴BP2，BQ2为领边的“黄金矩形”的周长y与a的关系式：y＝（）4a．故答案为：BP1，BQ2，y＝（）4a．【拓展延伸】：（1）设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a1，a2，a3，a4，设AB＝x，BC＝y，则2x+2y＝a，∴2x+2x＝a，∴x＝a，y＝a，∴a1+a2+a3+a4＝a+a+a+a．（2）如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．请直接写出这条曲线的长度：•π（a1+a2+a3+a4）＝π•[a+a+a+a]＝πa•[+++]．故答案为：πa•[+++]．25．（12分）已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点Q作QE⊥AC，QE与BC相交于点E，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t），解答下列问题：（1）连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？（2）设四边形BPQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使△CDF为等腰三角形？若存在，直接写出t的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明△ECQ∽△ACB，可得＝＝，可得＝＝，推出EQ ＝t，EC＝t，由题意点E在BQ的垂直平分线上，推出EB＝EQ，由此构建方程，求解即可．（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ＝10﹣2t，QH＝AQ＝（10﹣2t），根据y＝S△ABC﹣S△APQ，求解即可．（3）分两种情形：①如图2﹣1中，当DC＝DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．证明∠BJH＝∠CFK，可得sin ∠BJH＝sin∠CFK，由此构建方程求解．②当CF＝CD时，构建方程，求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝6cm，BC＝9cm，∴AC＝＝＝10，∵EQ⊥AC，∴∠EQC＝∠B＝90°，∵∠ECQ＝∠ACB，∴△ECQ∽△ACB，∴＝＝，∴＝＝，∴EQ＝t，EC＝t，∵点E在BQ的垂直平分线上，∴EB＝EQ，∴8﹣t＝t，∴t＝2．（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ＝10﹣2t，QH＝AQ＝（10﹣2t），∵AP＝t，∴S△APQ＝•AP•QH＝•t•（10﹣2t）＝﹣t2+4t，∴y＝S△ABC﹣S△APQ＝×6×8﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣4t+24（0＜t≤）．（3）①如图2﹣1中，当DC＝DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．∵∠ABC＝90°，AJ＝JC，∴BJ＝AJ＝JC＝AC＝5，∴∠JBC＝∠JCB，∴∠BJH＝∠BCJ+∠JCB＝2∠JCB，∵E，F关于AC对称，∴∠ACE＝∠ACF，CF＝CE＝∴∠FCE＝2∠ACB＝∠BJH，∵FK⊥CD，CB⊥CD，∴FK∥CB，∴∠CFK＝∠FCE＝∠BJH，∵BH⊥AC，∴S△ACB＝•AB•CB＝•AC•BH，∴BH＝＝，∵FD＝FC，FK⊥CD，∴CK＝KD＝3，∵∠BJH＝∠CFK，∴sin∠BJH＝sin∠CFK，∴＝，∴＝，∴t＝，②当CF＝CD时，t＝6，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．。
2020-2021学年最新青岛版九年级数学上学期期末考试模拟试题及答案解析-精编试题
第一学期期末质量检测九年级数学试题注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷，为选择题，36分；第Ⅱ卷，为非选择题,84分；共120分．考试时间为120分钟。
2.答卷前务必将密封线内的项目填写清楚。
3.请把选择题答案和填空题答案填写在答题纸上。
4.第Ⅱ卷的答案和解答过程，必须用蓝黑钢笔或圆珠笔答在有效范围内。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（每小题3分，共36分.请将正确答案选项涂在答题卡相应位置）1. cos60o的算术平方根等于（ ）A ．21 B.33 C.22 D.32. 如图，A 、B 、P 是⊙O 上的三点，∠APB=40°，则弧AB 的度数为（ ）A.50°B.80°C.280°D.80°或280°3.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．()2501196x += B ．()250501196x ++=第2题C ．()()250501501196x x ++++= D ．()()505015012196x x ++++=4.若反比例函数()0ky k x=≠的图像经过点()2,3P -,则该函数的图像不经过的点是（ ）A.(3，-2)B.(1.-6)C.(-1，6)D.(-1，-6)5.学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是 （ ） A.32 B.21 C.31 D.41 6. 如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（ ）A.34πB.32π C.34 D.327.在平面直角坐标系中，如果抛物线22y x =分别向上、向右平移2个单位，那么新抛物线的解析式是 ( )A ．()2222y x =+- B ．()22-2+2y x =C ．()22-22y x =- D ．()222+2y x =+8. 在△ABC 中，若()21cosA 1tanB 02-+-=，则∠C 的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°9. 如果关于x 的方程()2110m x x -++=有实数根，那么m 的取值范围是（ ）.A ．54m <B ．54m <且1m ≠ 第6题C ．54m ≤D ．54m ≤且1m ≠ 10.把二次函数64212++=x x y 通过配方，化成2()y a x h k =-+的形式，正确的是（ ） A.2)4(212--=x y B. 2)4(212++=x y C. 2)4(212-+=x y D. 2)4(212+-=x y 11. 如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1,2），B （2，5），C （6,1），若函数ky x=在第一象限内的图像与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ） A. 4924k ≤≤B. 610k ≤≤C. 26k ≤≤D. 2522k ≤≤12.定义新运算：()()00ab ba b a b b⎧>⎪⎪⊕=⎨⎪-<⎪⎩ 例如：445=5⊕，()44-5=5⊕．则函数()20y x x =⊕≠的图象大致是（ ）A ． B.C ． D.第11题第Ⅱ卷（非选择题，84分）二、填空题（每小题3分，共18分.请将最后结果填写在答题纸相应位置）13. 如图所示，△ABC 中，E 、F 、D 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且满足12AE AF EB FC ==，则△EFD 与△ABC 的面积比为 ．14. 如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为 。
青岛版2020-2021学年九年级数学上册期末测试卷及答案
2020-2021学年度上学期期末教学调研质量检测九年级数学注意事项：1.答题前请将答题纸上的考生信息填（涂）清楚，然后将试题答案认真填写（填涂）在答题纸的指定位置，否则答题无效。
2.本试卷共6页，考试时间120分钟，满分150分。
3.考试结束只交答题纸。
一、选择题（本大题共12小题，每题给出的四个选项中只有一个正确，请将正确答案的字母代号填涂在答题纸的指定位置，共48分）1.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，则另一个根为()A. 5B. −1C. 2D. −52.如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为()A. 30B. 27C. 14D. 32第2题第3题第4题3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为()A. 13B. 2√23C. √24D. 354.已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为()A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°5.关于x的一元二次方程(m−2)x2+(2m+1)x+m−2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是()A. m>34B. m>34且m≠2C. −12<m<2 D. 34<m<26.某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是()A. 19%B. 20%C. 21%D. 22%7.如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为()A. √33B. √36C. √3D. 3√3第7题第8题第9题8.如图，点A的坐标为(−3,−2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，点P的坐标为()A. (−4,0)B. (−2,0)C. (−4,0)或(−2,0)D. (−3,0)9.如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于()A. 20°B. 35°C. 40°D. 55°10.若关于x的一元二次方程x2−2x−k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx−k的大致图象是()A. B. C. D.11.图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是()A. y=4n−4B. y=4nC. y=4n+4D. y=n2第11题第12题12.如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y=kx(x>0)与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=CA，△ACD的面积为3，则k等于()A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题（本大题共6小题，请将每题的答案填写在答题纸指定位置的横线上，共24分）13.设x1、x2是方程5x2−3x−2=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为______．14.如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm．15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=______．16.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD⏜=CD⏜.若∠CAB=40°，则∠CAD=______．第14题第15题第16题17.已知点A在反比例函数y=k的图象上，AB⊥y轴，点C在x轴上，S△ABC=x2，则反比例函数的解析式为______ ．18.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点p在BD上移动，当PB=______ 时，△APB和△CPD相似．第17题第18题三、解答题（请在答题纸的指定位置写出解题必须的过程）19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．20.（12分）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．(1)如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．21.（12分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC 平分∠BAE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．22.（10分）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)23.（12分）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．⑴已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；⑴聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？24.（12分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点(不与B、C重合)，在AC上取E点，使∠ADE=45度．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；(3)当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．25.（12分）如图，在△ABC中．AB=AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．(1)求证：AD2=AB⋅AE；(2)若AB=3，AE=2，求AD的值．AG答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，设另一个根为m，∴根据根与系数关系得，−2+m=−31，解得，m=−1，故选B．2.【答案】A【解析】【分析】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，CD//AB，BC//AB，∴△BEF∽△AED，∵BEAB =23，∴BEAE =25，∴S△BEFS△AED =(25)2=425，∵△BEF的面积为4，∴S△AED=25，∴S四边形ABFD=S△AED−S△BEF=21，∵AB=CD，BEAB =23，∴BECD =23，∵AB//CD，∴△BEF∽△CDF，∴S△BEFS△CDF =(BECD)2=(23)2=49，∴S△CDF=9，∴S平行四边形ABCD =S四边形ABFD+S△CDF=21+9=30，故选A．3.【答案】A【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠A=∠B，由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，∴∠EDF=∠A，∴∠EDF=∠B，∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴∠CDE=∠BFD．又∵AE=DE=3，∴CE=4−3=1，∴在直角△ECD中，sin∠CDE=CEED =13，∴sin∠BFD=13．故选：A．由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF=∠A；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决．主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识来解决问题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据垂径定理得出AB⏜=AC⏜，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，连接OC．∵OA⊥BC，∴AB⏜=AC⏜，∴∠AOC=∠AOB=70°，∴∠ADC=12∠AOC=35°．故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根与系数的关系．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m−2≠0且△=(2m+1)2−4(m−2)(m−2)>0，解得m>34且m≠2，再利用根与系数的关系得到−2m+1m−2>0，则m−2<0时，方程有正实数根，于是可得到m的取值范围为34<m<2．【解答】解：根据题意得m−2≠0且△=(2m+1)2−4(m−2)(m−2)>0，解得m>34且m≠2，设方程的两根为a、b，则a+b=−2m+1m−2>0，ab=m−2m−2=1>0，而2m+1>0，∴m−2<0，即m<2，∴m的取值范围为34<m<2．故选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．等量关系为：原来的绿地面积×(1+这两年平均每年绿地面积的增长率)2=原来的绿地面积×(1+绿地面积增加的百分数)，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设原来的绿地面积为a，两年平均每年绿地面积的增长率是x．a×(1+ x)2=a×(1+44%)，解得：x=0.2或x=−2.2，∵x>0，∴x=0.2=20%，故选B．7.【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质可得AC′=AC，∠BAC′=30°，然后利用∠BAC′的正切求出C′D的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的两直角边相等，锐角等于45°的性质，是基础题，难度不大．【解答】解：根据题意，AC′=AC=1，∵∠B′AB=15°，∴∠BAC′=45°−15°=30°，∴C′D=AC′tan30°=√33，∴S阴影=12AC′⋅C′D=12×1×√33=√36．故选B．8.【答案】D【解析】解：连接AQ，AP．根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；要使PQ最小，只需AP最小，根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，∴P点的坐标是(−3,0)．故选：D．连结AQ、AP，由切线的性质可知AQ⊥QP，由勾股定理可知QP=√AP2−AQ2，由于AQ=1，故当AP有最小值时，PQ最短，根据垂线段最短可得到点P的坐标．本题考查了切线的性质，坐标与图形性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．9.【答案】A【解析】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°−∠ABC=125°，∠BAC=90°−∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC−∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA−∠DCM=55°−35°=20°；故选：A．由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°−∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC= 55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC−∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−k+1=0有两个不相等的实数根，∴(−2)2−4(−k+1)>0，即k>0，∴−k<0，∴一次函数y=kx−k的图象位于一、三、四象限，故选B．11.【答案】B【解析】【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．解题关键是根据图象找到点的排列规律．根据图示可知，第一层是4个，第二层是8个，第三层是12，…第n层是4n，所以，即可确定y与n的关系．【解答】解：由图可知：n=1时，圆点有4个，即y=4；n=2时，圆点有8个，即y=8；n=3时，圆点有12个，即y=12；∴y=4n．故选：B．12.【答案】C【解析】【分析】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．由反比例函数k的几何意义得到三角形OCE与三角形OAC面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比得到三角形ODE与三角形OBA面积之比，设三角形OAC面积为x，列出关于x的方程，求出方程的解确定出三角形OAC与三角形OCB面积之比即可【解答】解：连接OD，过点C作CE⊥x轴，∵OC=CA，∴OE：OB=1：2；设△OBD面积为x，根据反比例函数k的意义得到三角形OCE面积为x，∵△COE∽△AOB，∴三角形COE与三角形BOA面积之比为1：4，∵△ACD的面积为3，∴△OCD的面积为3，∴三角形BOA面积为6+x，即三角形BOA的面积为6+x=4x，解得x=2，|k|=2，∴12∵k>0，∴k=4，故选C．13.【答案】−32【解析】【分析】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ．根据根与系数的关系得到x 1+x 2、x 1⋅x 2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．【解答】解：∵方程x 1、x 2是方程5x 2−3x −2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=35，x 1x 2=−25， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=35−25=−32． 故答案为−32．14.【答案】11【解析】【分析】本题主要考查的是一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，列出方程求出符合题意得解．设这块铁片的宽为xcm ，则铁片的长为2xcm ，剪去一个边长为3cm 的小方块后，组成的盒子的底面的长为(2x −6)cm 、宽为(x −6)cm ，盒子的高为3cm ，所以该盒子的容积为3(2x −6)(x −6)，又知做成盒子的容积是240cm 3，盒子的容积一定，以此为等量关系列出方程，求出符合题意的值即可．【解答】解：设这块铁片的宽为xcm ，则铁片的长为2xcm ，由题意，得3(2x −6)(x −6)=240解得x 1=11，x 2=−2(不合题意，舍去)故答案为11．15.【答案】3【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R.由△QPE∽△RPF，推出PQPR =PEPF=2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ//BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴PQPR =PEPF=2，∴PQ=2PR=2BQ，∵PQ//BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=3，5∴AP=5x=3．故答案为3．16.【答案】25°【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质有关知识，先求出∠ABC=50°，进而判断出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【解答】解：如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵AD⏜=CD⏜，∴∠ABD=∠CBD=1∠ABC=25°，2∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案为25°．17.【答案】y=−4x【解析】解：∵反比例函数的图象在第二象限，∴k<0．∵S△ABC=2，∴12AB⋅OB=2，∴AB⋅OB=4，∴k=−4，即反比例函数的解析式为y=−4x．故答案为：y=−4x．先根据反比例函数的图象在第二象限判断出k的符号，再由S△ABC=2得出AB⋅OB的值，进而可得出结论．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18.【答案】8.4cm或12cm或2cm【解析】解：由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，设BP=xcm，则PD=(14−x)cm，若△ABP∽△PDC，则ABPD =614−x，即614−x =x4，变形得：14x−x2=24，即x2−14x+24=0，因式分解得：(x−2)(x−12)=0，解得：x1=2，x2=12，所以BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；若△ABP∽△CDP，则ABCD =BPDP，即64=x14−x，解得：x=8.4，∴BP=8.4cm，综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC．故答案为：8.4cm或12cm或2cm．设出BP=xcm，由BD−BP=PD表示出PD的长，若△ABP∽△PDC，根据相似三角形的对应边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似，本题属于条件开放型探究题，其解法：类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件．19.【答案】解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°−∠B−∠DEB，∠CEF=180°−∠DEF−∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)∵△BDE∽△CEF，∴BECF =DEEF，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴CECF =DEEF，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和、平角的定义得到∠BDE=∠CEF，于是得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到BECF =DEEF，BE=CE，等量代换得到CECF=DEEF，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)△ABC是等腰三角形；理由：∵x=−1是方程的根，∴(a+c)×(−1)2−2b+(a−c)=0，∴a+c−2b+a−c=0，∴a−b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，∴4b2−4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；(3)当△ABC是等边三角形，∴(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=−1．【解析】(1)直接将x=−1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；(2)利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；(3)利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式以及勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题的关键．21.【答案】(1)证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC//AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=13AD=4，DO=8，∴CD=√DO2−OC2=√82−42=4√3，∴S△OCD=CD⋅OC2=4√3×42=8√3，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC =16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD−S扇形OBC∴S阴影=8√3−8π3，∴阴影部分的面积为8√3−8π．3【解析】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解(1)的关键是证明OC⊥DE，解(2)的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．(1)连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC//AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD−S即可得到答案．扇形OBC22.【答案】解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，∴∠DBE=∠DBC−∠EBC=60°−30°=30°．又∵∠BCD=90°，∴∠BDC=90°−∠DBC=90°−60°=30°．∴∠DBE=∠BDE．∴BE=DE．设EC=xm，则DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm，BC=√BE2−EC2=√(2x)2−x2=√3x，由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=60，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC．∴√3x+60=3x，解得：x=30+10√3，2x=60+20√3．答：塔高约为(60+20√3)m．【解析】先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=xm，则BE=2xm，DE=2xm，DC=3xm，BC=√3xm，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．23.【答案】解：(1)设每次降价的百分率为x，200(1−x)2=162解得，x1=0.1，x2=1.9(舍去)，即每次降价的百分率是10%；(2)设店主将售价降价x元，(200−150−x)(20+2x)=1750解得，x1=15，x2=25∴200−15=185，200−25=175，即应把售价定为185元或175元．【解析】(1)根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得每次降价的百分率；(2)根据题意可以列出相应的方程，求出相应的售价．本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24.【答案】(1)证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°，∴∠BAD=∠CDE．∴△ABD∽△DCE．(2)解：∵△ABD∽△DCE，∴ABCD =BDCE；∵BD=x，∴CD=BC−BD=√2−x．∴√2−x =xCE，∴CE=√2x−x2．∴AE=AC−CE=1−(√2x−x2)=x2−√2x+1．即y=x2−√2x+1．(3)解：∠DAE<∠BAC=90°，∠ADE=45°，∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．又∵△ABD∽△DCE，∴△ABD≌△DCE．∴CD=AB=1．∴BD=√2−1．∵BD=CE，∴AE=AC−CE=2−√2．当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．∴此时有∠DEA=90°．即△ADE为等腰直角三角形．∴AE=DE=12AC=12．当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，因此AE的长为2−√2或12．【解析】此题有三问，(1)证明△ABD∽△DCE，已经有∠B=∠C，只需要再找一对角相等就可以了；(2)由(1)证得△ABD∽△DCE，有相似就线段成比例，于是利用(1)的结果可证得(2)；(3)当△ABD∽△DCE时，可能是DA=DE，也可能是ED=EA，所以要分两种情况证明结论．此题三个问题各有特点，却又紧密相联，第一个问题考查的是三角形的相似；第二个问题看起来是考查的函数但却与第一问紧密相联，运用第一问的结论即可顺利解决；第三问的关键是分类讨论，要考虑等腰的几种不同情况．25.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，∴∠ADC=∠AED=90°，∵∠DAE=∠DAC，∴△DAE∽△CAD，∴ADCA =AEAD，∴AD2=AC⋅AE，∵AC=AB，(2)解：如图，连接DF．∵AB=3，∠ADB=90°，BF=AF，∴DF=12AB=32，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴DF//AC，∴DFAE =DGAG=322=34，∴ADAG =74．【解析】(1)只要证明△DAE∽△CAD，可得ADCA =AEAD，推出AD2=AC⋅AE即可解决问题；(2)利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF//AC，可得DFAE =DGAG=32 2=34，由此即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．1、三人行，必有我师。
山东省青岛市黄岛区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
20202021学年度第一学期期末教学质量检测题九年级数学（考试时间：120分钟；满分：120分）说明：1．本试题分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分．2．所有题目均在答题卡．．．上作答，在试题上作答无效． 第I 卷（共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，该几何体的主视图、左视图和俯视图正确的是（ ）ABCD2．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin 2A =B ．tan B =C ．cos 2B =D ．1tan 2A =3．小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最短的时刻为（ ） A ．上午12时B ．上午10时C ．上午9时30分D ．上午8时4．二次函数21y x bx =+-的图象与x 轴的交点个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法判断5．如图，在平面直角坐标系中，已知点(4,2)E -，(2,2)F --，以原点O 为位似中心，相似比为 2:1，把EFO 缩小，则点E 的对应点E '的坐标是（ ）A ．(2,1)-B ．(8,4)-C ．(2,1)-或(2,1)-D ．(8,4)-或(8,4)-6．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3BE =，则EF 的长为（ ）A ．BC ．D ．7．如图，将ABC 沿BC 方向平移得到DEF ，AC 与DE 相交于点G ．已知ABC 的面积为18，2EC BE =，则ABC 与DEF 重叠部分（即CEG ）的面积为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．128．已知点()11,A x y ，()22,B x y 在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，当120x x <<时，12y y <，则函数2y kx k =-与(0)ky k x=-≠在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）ABCD第Ⅱ卷（共96分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．计算：22cos 30tan 45︒+︒=________．10．一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则估计口袋中红球的数量为________个．11．如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点(3,)P a a 是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于18，则这个反比例函数的表达式为________．12．为庆祝嫦娥五号登月成功，某工艺厂生产了一款纪念品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．则该工艺厂将每件的销售价定为________元时，可使每天所获销售利润最大．13．如图，在菱形ABCD 中，13cm AB =，24cm AC =，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 的长度为________cm ．14．如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE DA =，连接EB ，点1F 是CD 的中点，连接1EF ，1BF ，得到1EF B ；点2F 是1CF 的中点，连接2EF ，2BF ，得到2EF B ；点3F 是2CF 的中点，连接3EF ，3BF ，得到3EF B ；…按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则n EF B 的面积为________．（用含正整数n 的式子表示）三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15．已知：线段a ．求作：正方形ABCD ，使其对角线AC a =．四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16．（本题每小题4分，共8分）（1）解方程：242x x =-；（2）求二次函数25y x x =--的图象与一次函数21y x =-的图象的交点坐标． 17．（本小题满分6分）祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败，女排精神代代流传．中国女排一路都在创造奇迹，书写中国人的传奇…．2020年9月，电影《夺冠》正式上映后，好评不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者去看电影，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个小球（除编号外都相同）．从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则小亮胜，若两次数字之和为偶数，则小丽胜．（1）请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果； （2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 18．（本小题满分6分）为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行，另两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，小路的宽应为多少米？19．（本小题满分6分）为增强身体素质，小明和爸爸绕着小区广场锻炼，如图，在矩形广场ABCD 边AB 的中点M 处有一座雕塑．在某一时刻，小明到达点P 处，爸爸到达点Q 处，此时雕塑在小明的南偏东42°方向，爸爸在小明的北偏东67°方向，若小明离开A 点的距离30m AP =，求小明与爸爸的距离PQ ．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos6713︒≈，12tan 675︒≈，27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 4210︒≈）20．（本小题满分8分）如图，一次函数12y x b=-+的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数(0)ky xx=<的图象交于点(2,2)C-．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接CD．求BCD的面积．21．（本小题满分8分）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE DF=，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．（1）求证：AE CF=；（2）若AC平分HAG∠，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．22．（本小题满分10分）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P 离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM 线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB ，AD ，DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．23．（本小题满分10分）【问题提出】在由(1)m n m n ⨯⨯>个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m ，n 有何关系？【问题探究】为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：当m ，n 互质（m ，n 除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：图1结论：当m ，n 互质时，在m n ⨯的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m ，n 之间的关系式是________．探究二：当m ，n 不互质时，不妨设m ka =，n kb =（a ，b ，k 为正整数，且a ，b 互质），观察图2并完成下表：图2结论：当m ，n 不互质时，若m ka =，n kb =（a ，b ，k 为正整数，且a ，b 互质）．在m n ⨯的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与a ，b ，k 之间的关系式是________．【模型应用】一个由边长为1的小正方形组成的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是________个．图3【模型拓展】如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A ，B 的直线穿过的小正方体的个数是________个． 24．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，对角线AC ，BD 交于点O ．动点P 从点B 开始沿BC 边以2cm/s 的速度运动，动点Q 从点A 开始沿AD 边以lcm/s 的速度运动，过点Q 作//QM AC ，QM 交CD 于点M ，交BD 于点N ，点E ，F 分别是PQ ，PM 与AC 的交点．点P 和点Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为t s ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，//MP BD ？（2）设PQM 的面积为2cm S ，写出S 与t 的关系式； （3）是否存在某一时刻，使AC 将PQM 分成PEF 和四边形EFMQ 面积比为4:5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t ，使NP 平分BMM ∠？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．2020—2021学年度第一学期期末教学质量检测题九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）三、作图题（满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15．画图，结论．四、解答题（本大题共9小题，共74分） 16．解方程（本题每小题4分，共8分）（1）11x =-21x =-（考虑分步得分)． （2）解：根据题意得：2521x x x --=-解得：11x =-，24x =．把11x =-，24x =分别代入21y x =-得13y =-，27y =．∴二次函数25y x x =--的图象与一次函数21y x =-的图象的交点坐标为(1,3)--，(4,7)．17．（本小题满分6分） 解：（1）列表或树状图正确． （2）P （小亮胜）49=，P （小丽胜）59=． 4599≠，∴游戏对双方不公平． 18．（本小题满分6分）解：设小路的宽为x 米，由题意得：(182)(10)181080%x x --=⨯⨯，解得11x =，218x =（不合题意，舍去)， 答：小路的宽为1米．19．（本小题满分6分）解：过点Q 作QE AD ⊥于点E ，90QEA ∠∴=︒，四边形ABCD 是矩形，90A B ∠∠∴==︒，∴四边形ABQE 是矩形，QE AB ∴=，在Rt ABD 中，tan 42AMAP︒=，即93010AM =，27AM ∴=， M 是AB 的中点，54AB ∴=，54QE ∴=， 在Rt PQE 中，sin 67QEPQ︒=， 即541213PQ =，58.5PQ ∴=， 答：小明与爸爸的距离PQ 为58.5m ．20．（本小题满分8分）解：（1）把(2,2)C -代入一次函数12y x b =-+得：21b =+，1b ∴=， ∴一次函数表达式为112y x =-+．把(2,2)C -代入反比例函数ky x=得4k =-， ∴反比例函数表达式为4y x=-．（2）//BD x 轴∴D 点的纵坐标为1，∴D 点的纵坐标为(4,1)-，4BD ∴=，BCD ∴的面积为2．21．（本小题满分8分）证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，BE DF =，OB BE OD DF ∴-=-，即OE OF =，又,AOE COF ∠∠=，AOE COF ∴≌，AE CF ∴=．（2）四边形AGCH 是菱形．理由：AOE COF ≌，EAO FCO ∠∠∴=，//AG CH ∴，四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴，∴四边形AGCH 是平行四边形，//AD BC ，HAC ACB ∠∠∴=，AC 平分HAG ∠，HAC GAC ∠∠∴=， GAC ACB ∠∠=，GA GC ∴=，∴平行四边形AGCH 是菱形．22．（本小题满分10分）解：（1）根据题意，顶点P 的坐标为(6,6)，设抛物线的解析式为2(6)6y a x =-+，把点(0,0)O 代入得：3660a +=， 解得：16a =-， 即所求抛物线的解析式为：21(6)66y x =--+．（2）根据题意，当60.5 3.52x =--=时，（或者当60.5 3.510x =++=时）2110(26)6463y =--+=<， ∴这辆货车不能安全通过．（3）设A 点的坐标为21,(6)66m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 则OB m =，21(6)66AB m =--+，根据抛物线的对称性可得CM OB m ==， 122BC m ∴=-，四边形ABCD 是矩形，122AD BC m ∴==-，21(6)66CD AB m ==--+， ∴三根支杆AB ，AD ，DC 的长度之和：2211122(m 6)6(m 6)666l m =---+--+ 2211212(m 3)1533m m =-++=--+，∴三根支杆AB ，AD ，DC 的长度之和的最大值为15．23．（本小题满分10分）探究一：7，1f m n =+-．探究二：12，9，(1)f k a b =+-．【模型应用】1050 【模型拓展】624．（本小题满分12分）解：（1）//QM AC ，CM AQ CD AD∴=， 即68CM t =，34CM t ∴=， 若//MP BD ，CM CP CD CB ∴=， 即382468t t -=，83t ∴=． 答：当t 为8s 3时，//MP BD ．（2） PCM DMQ ABCD ABPQ S S S S S =---矩形梯形1131368(2)6(82)(8)622424t t t t t t ⎛⎫=⨯-+⋅--⋅--⋅- ⎪⎝⎭ 236248t t =-+， 答：y 与t 的函数关系式是236248S t t =-+． （3）若 45::PEF EFMQ S S =四边形，则:4:9PEF PMQ S S =，//QM AC ，PEF PQM ∠∠∴=，PFE PMQ ∠∠=，PEF PMQ ∴∽，PEF ∴与PMQ 的相似比为2:3，即:2:3PE PQ =，:2:1PE EQ ∴=，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，EAQ ACB ∠∠∴=，AQE QPC ∠∠=， AQE CPE ∴∽，PE PC EQ AQ∴=， 即8221t t -=，2t ∴=， 答：t 的值为2s 时，AC 将PQM 分成PEF 和四边形EFMQ 面积比为4:5． （4）过点O 作OG BC ⊥于点G ，四边形ABCD 是矩形，OB OC ∴=， OG ∴平分BOC ∠，12BOG BOC ∠∠∴=， //QM AC ，BOC BNM ∠∠∴=，若NP 平分BNM ∠，12BNP BNM ∠∠∴=， BOG BNP ∠∠∴=，//NP OG ∴，//NP CD ∴， BP BN BC BD ∴=，即2810t BN =， //QM AC ，AQ ON AD OD∴=， 即85t ON =，58ON t ∴=， 558BN t ∴=+，5528810t t +∴=，83t ∴=， 答：当t 为8s 3时，NP 平分BNM ∠．。
2020-2021学年最新青岛版九年级数学上册期末模拟综合检测试卷及答案
【期末专题复习】青岛版九年级数学上册期末综合检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.方程x（x﹣2）=3x的解为（）A.x=5B.x1=0，x2=5C.x1=2，x2=0D.x1=0，x2=﹣52.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（）A.28°B.54°C.18°D.36°3.一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数是（）A.5B.6C.7D.84.方程2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A.3、2、5B.2、3、5C.2、﹣3、﹣5D.﹣2、3、55.一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B点，再从B点出发向南偏西15°方向走了一段距离到C点，则∠ABC的度数为（）A.15°B.75°C.105°D.45°6.如果一个圆锥的主视图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为A.120ºB.约156ºC.180ºD.约208º7.如图3，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=（）A.40°B.60°C.70°D.80°8.已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则cosB的值是A.0.6B.0.75C.0.8D.439.已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一根为2，则m的值是（）A.1B.﹣1C.2D.510.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（）A.π2+12B.π−14C.π4+12D.π4−12二、填空题（共10题；共30分）11.如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是________．12.如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的顶端C、A与O点在一条直线上，则根据图中数据可得旗杆AB的高为________m．13.若关于x的一元二次方程（m-2）x2+x+m2-4=0的一个根为0，则m值是________.14.若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF=________．15.某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是________．16.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为________17.已知：m是方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则代数式2m﹣m2=________．18.两棵树种在倾角为24°36′的斜坡上，它们的坡面距离是4米，则它们之间的水平距离是________米．（可用计算器计算，精确到0.1米）19.如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为8cm，P为弦AB上的一动点，若OP的长度为整数，则满足条件的点P有________个．20.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 6√2米，背水坡CD的坡度i=1：√3（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．三、解答题（共8题；共60分）21.如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2．22.一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向.（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A、B间的距离（结果保留根号）.23.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线.24.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为大于1的整数，求方程的根．25.如图，点A，B，C，D，E在圆上，弦的延长线与弦的延长线相交于点，AB是圆的直径，D是BC的中点．求证：AB=AC．26.如图（1），在□ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA。
20202021学年山东省青岛市崂山区九年级上期末数学试卷解析版.docx
2020-2021学年山东省青岛市崂山区九年级第一学期期末数学试一、选择题（每小题3分，共24分）. 1.在同一时刻，身高1.70米的小强在阳光下的影长为0.85米, 树的影长为（ ）A. 10.6 米B. 2.9 米C. 11.6 米D. 5.8 米2.点(2, - 4)在反比例函数y=—的图象上，则左的值为()xA. - 2B. - —C. 4D. - 82到的抛物线的表达式是（ ）A. y= - 2 (x+2) 2+1B. y= - 2 (x+2) 2 - 1C. y= -2 (x- 2) 2+1D. y= -2 (x - 2) 2- 14.如图，在△ABC 中，DE//AB,且旦=兰，则竺的值为()BD 2 AE5.如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ）一棵大树的高为5.8米，则 3. 平面直角坐标系中，将抛物线y= -2菸先向左平移2个单位,再向下平移1个单位，得A. 主视图改变,B. 俯视图不变,C. 俯视图改变,D. 主视图不变, 6. 如图，河堤横断面的坡比BC ： AC 是1：扁AC=6m.则坡面A8的长度是（A. \2mB. 8-^3；??C.D. 6m7.如图A, B, C 是。
上的三个点，若ZAOC= 100° ,贝\\ZABC 等于（）A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°8. 已知二次函数y^ax^+bx+c （a#0）的图象如图所示，对称轴是直线x= - 2.抛物线与x 轴的一个交点在点（-4, 0）和点（-3, 0）之间，其部分图象如图所示，下列结论： ① 4“ - 2b+c - 3=0； ② 9“ - 3Z?+c>0；③ 关于x 的方程ax^+bx+c=4有两个不相等实数根；@b=4a.其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个左视图改变 左视图改变 左视图改变 左视图不变二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9.二次函数y=2x2+4x+Cm - 5）的图象与x轴有两个不同交点，则m的取值范围为.10.一个不透明的盒子中装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验500 次，其中有301次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有个.11.sin260° +tan230° - cos245 ° =.12.O。
2020-2021青岛市初三数学上期中试卷及答案
2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为 n 得到 4ac b2 =n，则可对③进行 4a
判断；由于抛物线与直线 y=n 有一个公共点，则抛物线与直线 y=n-1 有 2 个公共点，于是 可对④进行判断． 【详解】
故选：B． 【点睛】 本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必 然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的 事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
10．A
解析：A 【解析】
根据 y a(x h)2 k 的顶点坐标为 (h, k) ，易得抛物线 y=2（x﹣3）2+4 顶点坐标是
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标. 【详解】 解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1 ∴顶点坐 标为（﹣2，1）； 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数，解题关键是能将一般式化为顶点式.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则
2．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据圆周角定理求出∠AOD 即可解决问题． 【详解】 解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°， ∴∠AOD=50°， ∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°， 故选：C． 【点睛】 本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
2020-2021青岛市九年级数学上期末试卷(带答案)
2020-2021青岛市九年级数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜12．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若50C ∠=︒，则∠AOD 的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3．如图中∠BOD 的度数是（ ）A ．150°B ．125°C ．110°D ．55°4．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞45．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠A ＝80°，则∠BOC 为（ ）A ．100°B ．130°C ．50°D ．65°6．若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线2(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是（ ） A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位7．抛物线2y ax bx c =++经过点(1，0)，且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc ＜0； ②20a b +=；③9a-3b+c=0；④若0m n >>，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④ 8．若a 是方程22x x 30--=的一个解，则26a 3a -的值为( )A ．3B ．3-C ．9D ．9-9．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为280m 的矩形花圃（墙长为12m ），围栏总长度为28m ，则与墙垂直的边x 为（ ）A ．4m 或10mB ．4mC ．10mD ．8m10．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc>0；②a+b+c>0；③a+c>b ；④2a+b=0；⑤∆=b 2-4ac<0中，成立的式子有( )A ．②④⑤B ．②③⑤C ．①②④D ．①③④11．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．100（1+2x ）＝150B ．100（1+x ）2＝150C．100（1+x）+100（1+x）2＝150D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝150 12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为( )A．10B．8C．5D．3二、填空题13．如图，有6张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是_____．，点O从B点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA向右运14．如图，已知射线BP BA动；同时射线BP绕点B顺时针旋转一周，当射线BP停止运动时，点O随之停止运动.以O为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP与O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒______度.15．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是_____cm2．16．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1_____y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）17．函数y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交点的坐标为_____．18．若点A（－3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=－2（x－1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是________（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．20．已知扇形的面积为12πcm2，半径为12cm，则该扇形的圆心角是_______.三、解答题21．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 22．关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣（m +2）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最小整数，求此方程的根．23．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 24．用你喜欢的方法解方程 （1）x 2﹣6x ﹣6＝0 （2）2x 2﹣x ﹣15＝025．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元. （1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根， ∴()2240m =-->， 解得：m ＜1． 故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．2．C解析：C 【解析】 【分析】由AC 是⊙O 的切线可得∠CAB=90︒,又由50C ∠=︒，可得∠ABC=40︒;再由OD=OB ，则∠BDO=40︒最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD 计算即可. 【详解】解：∵AC 是⊙O 的切线 ∴∠CAB=90︒, 又∵50C ∠=︒ ∴∠ABC=90︒-50︒=40︒ 又∵OD=OB∴∠BDO=∠ABC=40︒ 又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD ∴∠AOD=40︒+40︒=80︒ 故答案为C. 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.3．C解析：C 【解析】试题分析：如图，连接OC ．∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，故选C ．【考点】圆周角定理．4．D解析：D 【解析】 【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x ＜4时，y 1＞y 2，从而得到当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围． 【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．5．B解析：B【解析】【分析】根据三角形的内切圆得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，进一步求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【详解】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB．∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．故选B．【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解答此题的关键．6．A解析：A【解析】【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．D解析：D 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可判断； ②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1可得抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），即可判断；④根据m ＞n ＞0，得出m ﹣1和n ﹣1的大小及其与﹣1的关系，利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：①观察图象可知： a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0， 所以①错误；②∵对称轴为直线x ＝﹣1， 即﹣2ba＝﹣1，解得b ＝2a ，即2a ﹣b ＝0， 所以②错误；③∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（1，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0）， 当a ＝﹣3时，y ＝0，即9a ﹣3b +c ＝0， 所以③正确； ∵m ＞n ＞0， ∴m ﹣1＞n ﹣1＞﹣1，由x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小知x ＝m ﹣1时的函数值小于x ＝n ﹣1时的函数值，故④正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质及点的坐标特征．8．C解析：C 【解析】由题意得：2a 2-a-3=0，所以2a 2-a=3，所以6a 2-3a=3(2a 2-a)=3×3=9， 故选C.9．C【解析】【分析】设与墙相对的边长为（28-2x）m，根据题意列出方程x（28-2x）=80，求解即可.【详解】设与墙相对的边长为（28-2x）m，则0＜28-2x≤12，解得8≤x＜14，根据题意列出方程x（28-2x）=80，解得x1=4，x2=10因为8≤x＜14∴与墙垂直的边x为10m故答案为C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x值.10．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可.【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故②错误，∵x=-1时，y＞0，∴a-b+c＞0，∴a+c＞b，故③正确，∵对称轴x=1，∴-b2a=1，∴2a+b=0，故④正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，故⑤错误，【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．11．B解析：B【解析】【分析】可设每月营业额平均增长率为x，则二月份的营业额是100（1+x），三月份的营业额是100（1+x）（1+x），则可以得到方程即可．【详解】设二、三两个月每月的平均增长率是x．根据题意得：100（1+x）2＝150，故选：B．【点睛】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a （1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．12．A解析：A【解析】【分析】连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．【详解】连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC=12CD=12×8=4，在Rt△OCP中，设OC=x，则OA=x，∵PC=4，OP=AP-OA=8-x，∴OC2=PC2+OP2，即x2=42+（8-x）2，解得x=5，∴⊙O的直径为10．故选A．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】列举出所有情况再找出点数和是偶数的情况根据概率公式求解即可【详解】解：从6张牌中任意抽两张可能的情况有：(410) (510) (610) (810) (910) (109) (4解析：7 15．【解析】【分析】列举出所有情况，再找出点数和是偶数的情况，根据概率公式求解即可.【详解】解：从6张牌中任意抽两张可能的情况有：(4，10)(5，10)(6，10)(8，10)(9，10)(10，9) (4，9)(5，9)(6，9)(8，9)(9，8)(10，8) (4，8)(5，8)(6，8)(8，6)(9，6)(10，6) (4，6)(5，6)(6，5)(8，5)(9，5)(10，5) (4，5)(5，4)(6，4)(8，4)(9，4)(10，4)∴一共有30种情况，点数和为偶数的有14个，∴点数和是偶数的概率是147 3015；故答案为7 15.【点睛】本题考查概率的概念和求法.解题的关键是找到所求情况数与总情况数，根据：概率=所求情况数与总情况数之比.14．30或60【解析】【分析】射线与恰好有且只有一个公共点就是射线与相切分两种情况画出图形利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案【详解】解：如解析：30或60【解析】【分析】射线BP与O恰好有且只有一个公共点就是射线BP与O相切，分两种情况画出图形，利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角，然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案.【详解】解：如图1，当射线BP与O在射线BA上方相切时，符合题意，设切点为C，连接OC，则OC⊥BP，于是，在直角△BOC中，∵BO=2，OC=1，∴∠OBC=30°，∴∠1=60°，此时射线BP旋转的速度为每秒60°÷2=30°；如图2，当射线BP与O在射线BA下方相切时，也符合题意，设切点为D，连接OD，则OD⊥BP，于是，在直角△BOD中，∵BO=2，OD=1，∴∠OBD=30°，∴∠MBP=120°，此时射线BP旋转的速度为每秒120°÷2=60°；故答案为：30或60.【点睛】本题考查了圆的切线的性质、30°角的直角三角形的性质和旋转的有关概念，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键.15．【解析】分析：先求出扇形对应的圆的半径再根据扇形的面积公式求出面积即可详解：设扇形的半径为Rcm∵扇形的圆心角为135°弧长为3πcm∴=3π解得：R=4所以此扇形的面积为=6π（cm2）故答案为6解析：6π【解析】分析：先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．详解：设扇形的半径为Rcm，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，∴135180Rπ⨯=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为21354180π⨯=6π（cm2），故答案为6π．点睛：本题考查了扇形的面积计算和弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键．16．＜【解析】【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小【详解】由二次函数y=x2-4x-1=（x-2）2-5可知其图象开口向上解析：＜【解析】【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【详解】由二次函数y=x2-4x-1=（x-2）2-5可知，其图象开口向上，且对称轴为x=2，∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，∴y1＜y2．故答案为＜．17．（03）【解析】【分析】令x＝0求出y的值然后写出与y轴的交点坐标即可【详解】解：x＝0时y＝3所以图象与y轴交点的坐标是（03）故答案为（03）【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标掌握二次解析：（0，3）．【解析】【分析】令x＝0，求出y的值，然后写出与y轴的交点坐标即可．【详解】解：x＝0时，y＝3，所以．图象与y轴交点的坐标是（0，3）．故答案为（0，3）．【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.18．y1＜y2【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1由a=-2可知当x＞1时y随x增大而减小当x＜1时y随x增大而增大因此由-3＜0＜1可知y1＜y2故答案为y1＜y2点睛：此题主要考查解析：y1＜y2【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1，由a=-2，可知当x＞1时，y随 x增大而减小，当x＜1时，y随x增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y1＜y2.故答案为y1＜y2.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是求出其对称轴，然后根据对称轴和a的值判断其增减性，然后可判断.19．－2【解析】【分析】设正方形的对角线OA长为2m根据正方形的性质则可得出BC坐标代入二次函数y=ax2+c中即可求出a和c从而求积【详解】设正方形的对角线OA长为2m则B（﹣mm）C（mm）A（02解析：－2．【解析】【分析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．【详解】设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，①代入②得：am2+2m=m，解得：a=-1m，则ac=-1m⨯2m=-2．考点：二次函数综合题．20．30°【解析】设圆心角为n°由题意得：=12π解得：n=30故答案为30°解析：30°【解析】设圆心角为n°，由题意得：212360nπ⨯=12π，解得：n=30，故答案为30°．三、解答题21．（1）y=﹣20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）超市每天至少销售粽子440盒．【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．试题解析：（1）由题意得，y =70020(45)x --=201600x -+；（2）P=(40)(201600)x x --+=220240064000x x -+-=220(60)8000x --+，∵x ≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得220(60)8000x --+=6000，解得150x =，270x =，∵抛物线P=220(60)8000x --+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x ≤58，∴50≤x ≤58，∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=58时，y 最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒． 考点：二次函数的应用．22．（1）m ＞94-；（2）x 1=0，x 2=1． 【解析】【分析】解答本题的关键是是掌握好一元二次方程的根的判别式．（1）求出△＝5+4m ＞0即可求出m 的取值范围；（2）因为m=﹣1为符合条件的最小整数，把m=﹣1代入原方程求解即可．【详解】解：（1）△＝1+4（m ＋2）＝9+4m ＞0 ∴94m >-． （2）∵m 为符合条件的最小整数， ∴m=﹣2．∴原方程变为2=0x x -∴x 1＝0，x 2＝1．考点：1．解一元二次方程；2．根的判别式．23．(1) △ABC 是等腰三角形；(2)△ABC 是直角三角形；(3) x 1=0，x 2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a ，b 的等式，进而得出a=b ，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a ，b ，c 的等式，进而判断△ABC 的形状； （3）利用△ABC 是等边三角形，则a=b=c ，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC 是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．24．（1）x1＝x2＝32）x1＝﹣2.5，x2＝3【解析】【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】x2﹣6x﹣6＝0，∵a=1，b=-6，c=-6，∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）＝60，x3=x1＝x2＝3（2）2x2﹣x﹣15＝0，（2x+5）（x﹣3）＝0，2x+5＝0，x﹣3＝0，x1＝﹣2.5，x2＝3．【点睛】此题考查一元二次方程的解法，根据每个方程的特点选择适合的方法是关键，由此才能使计算更简便.25．10%；3327.5万元.【解析】试题分析：（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2015年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2015年的基础上再增长x，就是2016年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用2016年的经费×（1+增长率）即可．试题解析：（1）设增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x）万元，2016年为2500（1+x）（1+x）万元．则2500（1+x）（1+x）=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费3327.5万元．。
2020-2021青岛市九年级数学上期中试卷(带答案)
24．现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组，他们三人之间进行互相传球练习，篮球从 一个人手中随机传到另外一个人手中计作传球一次，共连续传球三次． （1）若开始时篮球在甲手中，则经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率是 ； （2）若开始时篮球在甲手中，求经过连续三次传球后，篮球传到乙的手中的概率．（请用 画树状图或列表等方法求解） 25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销 售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬 衫降价 1 元，商场平均每天多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价 多少元？
A．
B．
C．
D．
10．已知 x2 y2 2 y2 x2 6 ，则 x2 y2 的值是（ ）
A．－2
B．3
C．－2 或 3
D．－2 且 3
11．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透
空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．一元二次方程 x2＋2x＋2＝0 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根
二、填空题
13．圆锥的底面半径为 14cm，母线长为 21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____ 度．
14．如图，△ODC 是由△OAB 绕点 O 顺时针旋转 40°后得到的图形，若点 D 恰好落在
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据题意，先移项得 x2 y2 2 y2 x2 6 0 ，即
青岛版2020-2021学年九年级数学上册期末测试卷及答案
2020-2021学年度上学期期末教学调研质量检测九年级数学注意事项：1.答题前请将答题纸上的考生信息填（涂）清楚，然后将试题答案认真填写（填涂）在答题纸的指定位置，否则答题无效。
2.本试卷共6页，考试时间120分钟，满分150分。
3.考试结束只交答题纸。
一、选择题（本大题共12小题，每题给出的四个选项中只有一个正确，请将正确答案的字母代号填涂在答题纸的指定位置，共48分）1.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，则另一个根为()A. 5B. −1C. 2D. −52.如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为()A. 30B. 27C. 14D. 32第2题第3题第4题3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为()A. 13B. 2√23C. √24D. 354.已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为()A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°5.关于x的一元二次方程(m−2)x2+(2m+1)x+m−2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是()A. m>34B. m>34且m≠2C. −12<m<2 D. 34<m<26.某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是()A. 19%B. 20%C. 21%D. 22%7.如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为()A. √33B. √36C. √3D. 3√3第7题第8题第9题8.如图，点A的坐标为(−3,−2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，点P的坐标为()A. (−4,0)B. (−2,0)C. (−4,0)或(−2,0)D. (−3,0)9.如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于()A. 20°B. 35°C. 40°D. 55°10.若关于x的一元二次方程x2−2x−k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx−k的大致图象是()A. B. C. D.11.图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是()A. y=4n−4B. y=4nC. y=4n+4D. y=n2第11题第12题12.如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y=kx(x>0)与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=CA，△ACD的面积为3，则k等于()A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题（本大题共6小题，请将每题的答案填写在答题纸指定位置的横线上，共24分）13.设x1、x2是方程5x2−3x−2=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为______．14.如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm．15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=______．16.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD⏜=CD⏜.若∠CAB=40°，则∠CAD=______．第14题第15题第16题17.已知点A在反比例函数y=k的图象上，AB⊥y轴，点C在x轴上，S△ABC=x2，则反比例函数的解析式为______ ．18.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点p在BD上移动，当PB=______ 时，△APB和△CPD相似．第17题第18题三、解答题（请在答题纸的指定位置写出解题必须的过程）19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．20.（12分）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．(1)如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．21.（12分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC 平分∠BAE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．22.（10分）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)23.（12分）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．⑴已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；⑴聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？24.（12分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点(不与B、C重合)，在AC上取E点，使∠ADE=45度．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；(3)当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．25.（12分）如图，在△ABC中．AB=AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．(1)求证：AD2=AB⋅AE；(2)若AB=3，AE=2，求AD的值．AG答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，设另一个根为m，∴根据根与系数关系得，−2+m=−31，解得，m=−1，故选B．2.【答案】A【解析】【分析】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，CD//AB，BC//AB，∴△BEF∽△AED，∵BEAB =23，∴BEAE =25，∴S△BEFS△AED =(25)2=425，∵△BEF的面积为4，∴S△AED=25，∴S四边形ABFD=S△AED−S△BEF=21，∵AB=CD，BEAB =23，∴BECD =23，∵AB//CD，∴△BEF∽△CDF，∴S△BEFS△CDF =(BECD)2=(23)2=49，∴S△CDF=9，∴S平行四边形ABCD =S四边形ABFD+S△CDF=21+9=30，故选A．3.【答案】A【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠A=∠B，由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，∴∠EDF=∠A，∴∠EDF=∠B，∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴∠CDE=∠BFD．又∵AE=DE=3，∴CE=4−3=1，∴在直角△ECD中，sin∠CDE=CEED =13，∴sin∠BFD=13．故选：A．由题意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF=∠A；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决．主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识来解决问题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据垂径定理得出AB⏜=AC⏜，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，连接OC．∵OA⊥BC，∴AB⏜=AC⏜，∴∠AOC=∠AOB=70°，∴∠ADC=12∠AOC=35°．故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根与系数的关系．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m−2≠0且△=(2m+1)2−4(m−2)(m−2)>0，解得m>34且m≠2，再利用根与系数的关系得到−2m+1m−2>0，则m−2<0时，方程有正实数根，于是可得到m的取值范围为34<m<2．【解答】解：根据题意得m−2≠0且△=(2m+1)2−4(m−2)(m−2)>0，解得m>34且m≠2，设方程的两根为a、b，则a+b=−2m+1m−2>0，ab=m−2m−2=1>0，而2m+1>0，∴m−2<0，即m<2，∴m的取值范围为34<m<2．故选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．等量关系为：原来的绿地面积×(1+这两年平均每年绿地面积的增长率)2=原来的绿地面积×(1+绿地面积增加的百分数)，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设原来的绿地面积为a，两年平均每年绿地面积的增长率是x．a×(1+ x)2=a×(1+44%)，解得：x=0.2或x=−2.2，∵x>0，∴x=0.2=20%，故选B．7.【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质可得AC′=AC，∠BAC′=30°，然后利用∠BAC′的正切求出C′D的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的两直角边相等，锐角等于45°的性质，是基础题，难度不大．【解答】解：根据题意，AC′=AC=1，∵∠B′AB=15°，∴∠BAC′=45°−15°=30°，∴C′D=AC′tan30°=√33，∴S阴影=12AC′⋅C′D=12×1×√33=√36．故选B．8.【答案】D【解析】解：连接AQ，AP．根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；要使PQ最小，只需AP最小，根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短，∴P点的坐标是(−3,0)．故选：D．连结AQ、AP，由切线的性质可知AQ⊥QP，由勾股定理可知QP=√AP2−AQ2，由于AQ=1，故当AP有最小值时，PQ最短，根据垂线段最短可得到点P的坐标．本题考查了切线的性质，坐标与图形性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．9.【答案】A【解析】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°−∠ABC=125°，∠BAC=90°−∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC−∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA−∠DCM=55°−35°=20°；故选：A．由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°−∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC= 55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC−∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了根的判别式及一次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−k+1=0有两个不相等的实数根，∴(−2)2−4(−k+1)>0，即k>0，∴−k<0，∴一次函数y=kx−k的图象位于一、三、四象限，故选B．11.【答案】B【解析】【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．解题关键是根据图象找到点的排列规律．根据图示可知，第一层是4个，第二层是8个，第三层是12，…第n层是4n，所以，即可确定y与n的关系．【解答】解：由图可知：n=1时，圆点有4个，即y=4；n=2时，圆点有8个，即y=8；n=3时，圆点有12个，即y=12；∴y=4n．故选：B．12.【答案】C【解析】【分析】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．由反比例函数k的几何意义得到三角形OCE与三角形OAC面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比得到三角形ODE与三角形OBA面积之比，设三角形OAC面积为x，列出关于x的方程，求出方程的解确定出三角形OAC与三角形OCB面积之比即可【解答】解：连接OD，过点C作CE⊥x轴，∵OC=CA，∴OE：OB=1：2；设△OBD面积为x，根据反比例函数k的意义得到三角形OCE面积为x，∵△COE∽△AOB，∴三角形COE与三角形BOA面积之比为1：4，∵△ACD的面积为3，∴△OCD的面积为3，∴三角形BOA面积为6+x，即三角形BOA的面积为6+x=4x，解得x=2，|k|=2，∴12∵k>0，∴k=4，故选C．13.【答案】−32【解析】【分析】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ．根据根与系数的关系得到x 1+x 2、x 1⋅x 2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．【解答】解：∵方程x 1、x 2是方程5x 2−3x −2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=35，x 1x 2=−25， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=35−25=−32． 故答案为−32．14.【答案】11【解析】【分析】本题主要考查的是一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，列出方程求出符合题意得解．设这块铁片的宽为xcm ，则铁片的长为2xcm ，剪去一个边长为3cm 的小方块后，组成的盒子的底面的长为(2x −6)cm 、宽为(x −6)cm ，盒子的高为3cm ，所以该盒子的容积为3(2x −6)(x −6)，又知做成盒子的容积是240cm 3，盒子的容积一定，以此为等量关系列出方程，求出符合题意的值即可．【解答】解：设这块铁片的宽为xcm ，则铁片的长为2xcm ，由题意，得3(2x −6)(x −6)=240解得x 1=11，x 2=−2(不合题意，舍去)故答案为11．15.【答案】3【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R.由△QPE∽△RPF，推出PQPR =PEPF=2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ//BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴PQPR =PEPF=2，∴PQ=2PR=2BQ，∵PQ//BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=3，5∴AP=5x=3．故答案为3．16.【答案】25°【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质有关知识，先求出∠ABC=50°，进而判断出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【解答】解：如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵AD⏜=CD⏜，∴∠ABD=∠CBD=1∠ABC=25°，2∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案为25°．17.【答案】y=−4x【解析】解：∵反比例函数的图象在第二象限，∴k<0．∵S△ABC=2，∴12AB⋅OB=2，∴AB⋅OB=4，∴k=−4，即反比例函数的解析式为y=−4x．故答案为：y=−4x．先根据反比例函数的图象在第二象限判断出k的符号，再由S△ABC=2得出AB⋅OB的值，进而可得出结论．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18.【答案】8.4cm或12cm或2cm【解析】解：由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，设BP=xcm，则PD=(14−x)cm，若△ABP∽△PDC，则ABPD =614−x，即614−x =x4，变形得：14x−x2=24，即x2−14x+24=0，因式分解得：(x−2)(x−12)=0，解得：x1=2，x2=12，所以BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；若△ABP∽△CDP，则ABCD =BPDP，即64=x14−x，解得：x=8.4，∴BP=8.4cm，综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC．故答案为：8.4cm或12cm或2cm．设出BP=xcm，由BD−BP=PD表示出PD的长，若△ABP∽△PDC，根据相似三角形的对应边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似，本题属于条件开放型探究题，其解法：类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件．19.【答案】解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°−∠B−∠DEB，∠CEF=180°−∠DEF−∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)∵△BDE∽△CEF，∴BECF =DEEF，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴CECF =DEEF，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和、平角的定义得到∠BDE=∠CEF，于是得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到BECF =DEEF，BE=CE，等量代换得到CECF=DEEF，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)△ABC是等腰三角形；理由：∵x=−1是方程的根，∴(a+c)×(−1)2−2b+(a−c)=0，∴a+c−2b+a−c=0，∴a−b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，∴4b2−4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；(3)当△ABC是等边三角形，∴(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=−1．【解析】(1)直接将x=−1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；(2)利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；(3)利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式以及勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题的关键．21.【答案】(1)证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC//AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=13AD=4，DO=8，∴CD=√DO2−OC2=√82−42=4√3，∴S△OCD=CD⋅OC2=4√3×42=8√3，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC =16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD−S扇形OBC∴S阴影=8√3−8π3，∴阴影部分的面积为8√3−8π．3【解析】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解(1)的关键是证明OC⊥DE，解(2)的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．(1)连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC//AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD−S即可得到答案．扇形OBC22.【答案】解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，∴∠DBE=∠DBC−∠EBC=60°−30°=30°．又∵∠BCD=90°，∴∠BDC=90°−∠DBC=90°−60°=30°．∴∠DBE=∠BDE．∴BE=DE．设EC=xm，则DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm，BC=√BE2−EC2=√(2x)2−x2=√3x，由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=60，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC．∴√3x+60=3x，解得：x=30+10√3，2x=60+20√3．答：塔高约为(60+20√3)m．【解析】先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=xm，则BE=2xm，DE=2xm，DC=3xm，BC=√3xm，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．23.【答案】解：(1)设每次降价的百分率为x，200(1−x)2=162解得，x1=0.1，x2=1.9(舍去)，即每次降价的百分率是10%；(2)设店主将售价降价x元，(200−150−x)(20+2x)=1750解得，x1=15，x2=25∴200−15=185，200−25=175，即应把售价定为185元或175元．【解析】(1)根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得每次降价的百分率；(2)根据题意可以列出相应的方程，求出相应的售价．本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24.【答案】(1)证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°，∴∠BAD=∠CDE．∴△ABD∽△DCE．(2)解：∵△ABD∽△DCE，∴ABCD =BDCE；∵BD=x，∴CD=BC−BD=√2−x．∴√2−x =xCE，∴CE=√2x−x2．∴AE=AC−CE=1−(√2x−x2)=x2−√2x+1．即y=x2−√2x+1．(3)解：∠DAE<∠BAC=90°，∠ADE=45°，∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．又∵△ABD∽△DCE，∴△ABD≌△DCE．∴CD=AB=1．∴BD=√2−1．∵BD=CE，∴AE=AC−CE=2−√2．当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．∴此时有∠DEA=90°．即△ADE为等腰直角三角形．∴AE=DE=12AC=12．当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，因此AE的长为2−√2或12．【解析】此题有三问，(1)证明△ABD∽△DCE，已经有∠B=∠C，只需要再找一对角相等就可以了；(2)由(1)证得△ABD∽△DCE，有相似就线段成比例，于是利用(1)的结果可证得(2)；(3)当△ABD∽△DCE时，可能是DA=DE，也可能是ED=EA，所以要分两种情况证明结论．此题三个问题各有特点，却又紧密相联，第一个问题考查的是三角形的相似；第二个问题看起来是考查的函数但却与第一问紧密相联，运用第一问的结论即可顺利解决；第三问的关键是分类讨论，要考虑等腰的几种不同情况．25.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，∴∠ADC=∠AED=90°，∵∠DAE=∠DAC，∴△DAE∽△CAD，∴ADCA =AEAD，∴AD2=AC⋅AE，∵AC=AB，(2)解：如图，连接DF．∵AB=3，∠ADB=90°，BF=AF，∴DF=12AB=32，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴DF//AC，∴DFAE =DGAG=322=34，∴ADAG =74．【解析】(1)只要证明△DAE∽△CAD，可得ADCA =AEAD，推出AD2=AC⋅AE即可解决问题；(2)利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF//AC，可得DFAE =DGAG=32 2=34，由此即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．1、三人行，必有我师。
青岛版2020-2021学年度第一学期九年级数学期中综合复习能力达标训练题(附答案详解)
青岛版2020-2021学年度第一学期九年级数学期中综合复习能力达标训练题（附答案详解）1．已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）A ．只有（1）相似B ．只有（2）相似C ．都相似D ．都不相似2．已知x 、y 都是实数，且(x 2+y 2)(x 2+y 2+2)﹣3＝0，那么x 2+y 2的值是( )A ．﹣3B ．1C ．﹣3或1D ．﹣1或33．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，30A ∠=︒，CD 23=，则O 的半径是（ ）A ．2B ．3C ．1D ．234．如图，在平行四边形ABCD 中，70B ∠=︒，6BC =，以AD 为直径的O 交CD于点E ，则劣弧DE 的长为（ ）A ．43πB ．23πC ．2πD ．π5．如图，AB ，AC 分别为⊙O 的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（）A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．AD DEEC BD=D．AD AEAC AB=7．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P是BC的中点，若以点P为圆心，画一个半径为3的圆，则点A，点B和圆P的相互位置关系为( )A．点A在圆P上，点B在圆P外B．点A在圆P上，点B在圆P内C．点A在圆P内，点B在圆P外D．点A在圆P内，点B在圆P上8．如图, 边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（）A．23B．33C．43D．639．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则sinA的值为（）．A．817B．158C．815D．151710．方程232x x+=的正根是（）A．317-±B．317±C．317--D．317-+11．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（）A．34B．43C．35D．4512．已知扇形的圆心角为90°，弧长为2π，则扇形的半径为_____．13．在ABCD 中，若30B ∠=︒，BC 10cm =，6AB cm =，则ABCD 的面积是__________.14．（1）计算：（π﹣2）0+18﹣4sin45°﹣（12）﹣1＝_____． （2）要使式子231a a +-在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围是_____． 15．如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30，朝物体AB 方向前进20m 到达点C ，再次测得A 点的仰角为60︒，则物体的高度为 ______m ．16．如图，已知点()5,2,B P 经过原点O ，交y 轴正半轴于点A ．点B 在P 上，45BAO ︒∠=，圆心P 的坐标为__________．17．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，把△ABC 绕AB 边上的点D 顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到Rt △A′DE，A′C′交AB 于点E ，若AD=BE ，则AD 的长为_____18．已知方程x 2-7x+12=0的两根恰好是Rt△ABC 的两条边的长，则Rt△ABC 的第三边长为______ ．19．如图，正方形ABCD 中，AB =1，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段CE ，线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BF ，连接 EF ，则图中阴影部分的面积是_______20．若点A 与点B ()4,3-关于原点对称，则点A 的坐标为 ． 21．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，那么方程2()04c cx a b x ＋＋＋＝的根的情况是________________．22．如图所示，在ABC ∆中，90105ACB AC BC ︒∠===，，，将ABC ∆折叠，使点A 落在点B 处，折痕所在直线交ABC ∆的外角平分线CD 于点E ，则点E 到BC 的距离为______．23．一元二次方程290x x +=的解是______．24．已知关于x 的方程226990x mx m -+-=．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根．（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若1223x x =-，求m 的值．25．（1）解方程：3x （x ﹣2）=2（2﹣x ） （2）如图，PA ，PB 分别与相⊙O 切于点A ，B ，连接AB ．∠APB=60°，AB=5，求PA 的长．26．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OC=4，∠OAC=60°.（1）求∠AOC 的度数；（2）在图（1）中，P 为直径BA 的延长线上一点，且，求证：PC 为⊙O 的切线.（3）如图（2），一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按逆时针方向运动一周（点M 不与点C 重合），当时，求动点M 所经过的弧长.27．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，垂足为D ，E 为BC 上一点，连接AE ，作EF AE ⊥交AB 于F ．（1）求证：EFB AGC ∆∆．（2）除（1）中相似三角形，图中还有其他相似三角形吗？如果有，请把它们都写出来．(证明不做要求)28．如图，以AB 为直径的⊙O 交△ABC 的边AC 于D 、BC 于E ，过D 作⊙O 的切线交BC 于F ，交BA 延长线于G ，且DF ⊥BC ．（1）求证：BA ＝BC ；（2）若AG ＝2，cos B ＝35，求DE 的长．29．关于x 的一元二次方程2221()0x m x m +-+=，其根的判别式的值为9，求m 的值及这个方程的根．30．如图，弦BC 经过圆心D ，AD ⊥BC ，AC 交⊙D 于E ，AD 交 ⊙D 于M ，BE 交AD 于N ．求证：△BND ∽△ABD ．31．解下列关于x 的方程：（1）ax+x=2（x-2）(1a ≠）（2））b 2x = 2x +1（b>1）32．如图，AB 是O 的直径，4AB =，点P 是AB 上方圆上的一个动点，连接AP ，作PAB ∠的平分线AC ，交O 于点C ，过点C 作CD AP ⊥交AP 的延长线于点D ． （1）求证：CD 是O 的切线；（2）当AP =_______时，四边形APCO 是平行四边形；（3）连接OP 交AC 于点M ，连接CP ，当AP = _______时，CDP 与AOM 相似．33．（问题情境）张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 为边BC 上任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，求证：PD +PE ＝CF ．小军的证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD +PE ＝CF ．小俊的证明思路是：如图2，过点P 作PG ⊥CF ，垂足为G ，可以证得：PD ＝GF ，PE ＝CG ，则PD +PE ＝CF ．[变式探究]如图3，当点P 在BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PD ﹣PE ＝CF ；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：[结论运用]如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值；[迁移拓展]图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝213dm，AD＝3dm，BD＝37dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．34．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2017年利润为2亿元，2019年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率；（2）若2020年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2020年的利润能否超过3.4亿元？35．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底部G 点为BC的中点，求矮建筑物的高CD．参考答案1．C【解析】【分析】【详解】解：图（1）：180°﹣75°﹣35°=70°，则两个三角形中有两组角对应相等，∴（1）图中的两个三角形相似；图（2）：∵3648=，∠AOC=∠DOB ， ∴△AOC ∽△DOB ．故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．2．B【解析】试题解析：∵（x 2＋y 2）(x 2＋y 2＋2)－3=0，∴（x 2＋y 2）2+2(x 2＋y 2)－3=0，解得：x 2＋y 2=-3或x 2＋y 2=1∵x 2＋y 2>0∴x 2＋y 2=1故选B.3．A【解析】【分析】根据垂径定理可知1CH CD 2==由圆周角定理可知260COB A ∠=∠=︒，再利用三角函数即可求出半径．【详解】解：连接OC ，∵30A ∠=︒，∴260COB A ∠=∠=︒， ∴360sin COH sin =︒=∠ ∵弦CD AB ⊥于H ，CD 23=， ∴1CH CD 32= ∴332CH sin COH OC OC ===∠， ∴OC=2，故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数，求出60COB ∠=︒是解题的关键． 4．B【解析】【分析】连接OE ，由平行四边形的性质得AD=BC=6，∠D=∠ºB-=70º，由圆半径OD=OE 得∠OED=∠D=70º，进而求得∠DOE=40º，再利用弧长公式即可求得答案.【详解】连接OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠B=70º，BC=6，∴AD=BC=6，∠D=∠B-=70º，∴OD=OE=3，∴∠OED=∠D，∴∠DOE=180º-2×70º=40º，∴劣弧DE=4032 1803ππ⨯=，故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DOE是解答的关键.5．C【解析】【分析】根据图形求出正多边形的中心角α，再由正多边形的中心角和边的关系：360nα︒=，即可求得.【详解】连接OA、OB、OC，如图，∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOB＝3604︒＝90°，∠AOC＝3603︒＝120°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，∴n＝36030︒︒＝12，即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．【点睛】本题考查正多边形的中心角和边的关系，属基础题.6．C【解析】【分析】根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案. 【详解】解：∵∠A＝∠A，∴添加∠ADE＝∠C，△ADE∽△ACB，故A正确；∴添加∠AED＝∠B，△ADE∽△ACB，故B正确；∴添加AD AEAC AB=，△ADE∽△ACB，故D正确；故选：C．【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，已知一个角相等时，再确定另一组角相等或是构成已知角的两边对应成比例，即可证明两个三角形相似.7．A【解析】【分析】先连接AP，得到BP=CP=4，利用勾股定理求出AP=3，即可判断点与圆的位置关系. 【详解】连接AP，∵BC＝8，P是BC的中点，∴BP=CP=4，∠BPA=90︒，∴AP= 2222543AB BP--=,∵点P为圆心，半径为3,∴点A在圆上，点B在圆外.故选A.【点睛】此题考查点与圆的位置关系，分别求出每个点到圆的距离d，与半径r的比较，当d＞r时点在圆外；当d=r时点在圆上；当d r<时点在圆内.8．B【解析】【分析】作DF⊥BC，根据边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，得出DE＝2，BD＝2，解直角三角形求出DF3【详解】解：作DF⊥BC，∵在边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，∴DE＝2，BD＝2，∴DF＝BD•sin∠B＝2×33∴四边形BCED的面积为：12DF×（DE＋BC）＝12×3（2＋4）＝33故选：B．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线的性质以及解直角三角，根据DE 为中位线，得出DE 、BD 的长是解决问题的关键．9．D【解析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长为22AC BC +，所以sinA=1517BC AB =. 故选：D.点睛：此题主要考查了锐角三角形函数，解题关键是明确直角三角形的各边与对角，然后根据锐角三角形函数的特点求解即可.10．D【解析】【分析】先用公式法解方程，再确定正根.【详解】由232x x +=得，2320x x +-=，a=1,b=3,c=-2,△=b 2-4ac=32-4×1×（-2）=17>0,所以，317-±,正根是317-+.故选：D【点睛】 本题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：掌握公式法.11．A【解析】试题解析：根据题意可得：在Rt △ABF 中，有AB=8，AF=AD=10，BF=6，而Rt △ABF ∽Rt △EFC ，故有∠EFC=∠BAF ，故tan ∠EFC=tan ∠BAF=6384=． 故选A ．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．锐角三角函数的定义．12．4【解析】【分析】利用弧长公式进行计算即可.【详解】解：根据弧长的公式180n r l π=可得：902180r ， 解得：r ＝4，即扇形的半径为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了弧长公式的应用．解题关键是根据弧长公式列出关于半径r 的方程．13．30【解析】【分析】连接AC ，利用1sin 2ABC S AB BC B ∆=••求出ABC ∆的面积，再求出ABCD 的面积． 【详解】解：连接AC ，如图：∵30B ∠=︒，BC 10cm =，6AB cm =， ∴111sin 61015222ABC S AB BC B ∆=••=⨯⨯⨯=； ∴215230ABCD ABC S S ∆==⨯=．故答案为：30．【点睛】 本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，以及求三角形的面积，解题的关键是利用1sin 2ABC S AB BC B ∆=••求出三角形的面积．14．﹣ a ≥﹣3且a ≠±1【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值的代入以及负整数指数幂，然后计算加减法；（2）分式的分母不等于零且二次根式的被开方数是非负数，据此解答．【详解】解：（1）原式＝﹣4×2﹣2＝（1﹣2）+（﹣）＝﹣；故答案为：﹣；（2）由题意，得a +3≥0且a 2﹣1≠0．解得a ≥﹣3且a ≠±1故答案是：a ≥﹣3且a ≠±1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，实数的运算等知识点，属于基础计算题．15．【解析】【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB 及CD ＝DC−BC ＝20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．【详解】∵在直角三角形ADB 中，∠D ＝30°， ∴AB BD＝tan30°，∴BD ＝tan 30o AB ， ∵在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，∴BC ＝tan 60o AB ， ∵CD ＝20，∴CD ＝BD−BC ＝20，解得：AB ＝．故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．16．37,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接OP ，OB ，PB ，延长BP 交⊙P 于E ，连接OE ，作EF ⊥OA 于F ，BH ⊥x 轴于H.利用全等三角形的性质求出点E 坐标即可解决问题.【详解】解：连接OP ，OB ，PB ，延长BP 交⊙P 于E ，连接OE ，作EF ⊥OA 于F ，BH ⊥x 轴于H ．∵∠BPO=2∠BAO，∠BAO=45°，∴∠BPO=90°，∵PO=OB，∴△PBO是等腰直角三角形，∵BE是直径，∴∠BOE=90°，∴∠OBE=∠OEB=45°，∴OE=OB，∵∠EOB=∠AOH=90°，∴∠EOF=∠BOH，∵∠EFO=∠BHO=90°，∴△EFO≌△BHO(AAS)，∴OF=OH=5，EF=BH=2，∴E(−2,5)，∵PE=PB，∴P37,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为37,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17．3或25 7．【解析】在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AB=10，由旋转的性质可知AD=A′D ，设AD=A′D=BE=x ，则DE=10-2x ，根据得到Rt △A′DE ，可以分两种情况进行讨论.【详解】Rt △ABC 中,由勾股定理求2210AB AC BC =+=， 由旋转的性质,设AD =A ′D =BE =x ，则DE =10−2x ，∵△ABC 绕AB 边上的点D 顺时针旋转得到Rt △A′DE ，①∠A ′=∠A ,90A DE C ∠'=∠=，∴△A ′DE ∽△ACB ，∴,DE BC A D AC ='即1028,6x x -= 解得x =3， ②∠A ′=∠A ,90A ED C ∠'=∠=，∴△A ′ED ∽△ACB ，∴,DE BC A D AB ='即1028,10x x -= 解得25.7x = 故答案为：3或257． 【点睛】考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论，不要漏解.18．4或7【解析】试题分析：解方程得21=3=4x x ，，当21=3=4x x ，为直角边时，由勾股定理可得第三边=5；当4为斜边时，由勾股定理可得第三边224-3=7Rt △ABC 的第三边长为57．考点：解一元二次方程、勾股定理19．32－4π 【解析】分别求出DC=BC=CE=1，BD=BF=2，求出∠DCE=90°，∠EBF=45°，分别求出△BCD、△BEF、扇形DBF、扇形DCE的面积，即可得出答案.【详解】过F作FM⊥BE于M，则∠FME=∠FMB=90°，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，AB=1，∴∠DCB=90°，DC=BC=AB=1，∠DCB=45°，由勾股定理得：BD2，由旋转性质得：∠DCE=90°，BF=BD2FBE=90°－45°=45°，∴BM=FM=1，即C点与M点重合，ME=1，∴阴影部分的面积：S=S△BCD+S△BFE+S扇形DCE－S扇形DBF=12+1+2901360π⨯－2902360π⨯=32－4π，故答案为：32－4π．【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键.20．（-3，4）．【解析】试题分析：根据关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数即可求解．考点：关于原点对称点的坐标的特征．21．有两个不相等的实数根【解析】【分析】求出方程对应的判别式，根据三角形三边关系得到0>，即可得出结论.【详解】 解：一元二次方程对应的判别式222()4()4c a b c a b c =+-⋅=+-， ∵在三角形中，两边之和大于第三边，即a b c +>，∴22()0a b c +->，即0>， ∴方程2()04c cx a b x +++=有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 22．52【解析】【分析】连接GB ，作EF ⊥BC 于F ，EM ⊥AC 于M ，就可以得出EM =EF ，设AG =y ，则BG =y ，GC =10-y ．在Rt △GCB 中，由勾股定理求出y 的值，得到CG 的长．设EF =x ，则EM =MC =x ，GM =GC -MC =154x -．通过证明△GEM ∽△CAB ，得到EM AC MG BC =，代入即可求出结论． 【详解】连接GB ，作EF ⊥BC 于F ，EM ⊥AC 于M ，∴∠EMC =∠EMG =∠EFC =90°．∵CD 平分∠ACF ，∴EM =EF ，∠ACD 12=∠ACF ． ∵∠ACB =90°，∴∠ACF =90°，∴∠ACD =45°，∴∠CEM=45°，∴∠CEM=∠ECM，∴EM=MC．设AG=y，则BG=y，GC=10-y．在Rt△GCB中，∵222GC BC GB+=，∴222(10)5y y-+=，解得：y=254，∴CG=10-y=25151044-=．设EF=x，则EM=MC=x，GM=GC-MC=154x-．∵△AGH与△BGH关于GH对称，∴AH12=AB，AG=GB，∠AHG=∠BHG=90°．∵∠ACB=90°，∴∠EMG=∠ACB=90°，∴∠MEG+∠MGE=90°，∠AGH+∠A=90°．∵∠EGM=∠AGH，∴∠A=∠MEG，∴△GEM∽△BAC，∴EM ACMG BC=，∴101554xx=-，解得：x=52．故答案为：52．【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时由轴对称的性质求解是关键．23．0x =或9x =-【解析】【分析】因式分解法求解可得．【详解】解：()90x x +=，0x ∴=或90x +=，解得：0x =或9x =-，故答案为：0x =或9x =-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 24．（1）证明见解析；（2）m 的值为2或-4．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=36＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；（2）利用分解因式法解方程可得出方程的根x=3m±3，分x 1=3m+3、x 2=3m-3及x 1=3m-3、x 2=3m+3两种情况考虑，结合2x 1=x 2-3即可找出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）()()22226419936363636m m m m ∆=--⨯⨯-=-+=， ∵360>，∴0∆>，∴此方程总有两个不相等的实数根；（2）662m x ±=， 当166332m x m +==+，266332m x m -==-，1223x x =-，∴()233333m m +=--，6636m m +=-，4m =-，当166332m x m -==-，266332m x m +==+， 1223x x =-，∴()233333m m -=+-，663m m -=，2m =，综上所述m 的值为2或4-．【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根．25．（1）x 1=﹣23，x 2=2（2）5 【解析】试题分析：(1)、本题利用提取公因式法进行解方程；(2)、根据切线的性质得出PA=PB ，然后结合角度得出△PAB 为等边三角形，从而求出PA 的长度.试题解析：（1）（3x+2）（x ﹣2）=0，x 1=﹣23，x 2=2． （2）∵PA，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB 是等边三角形∴AB=PA=5，26．（1）60°; （2）证明见解析; （3）或或或.【解析】试题分析：（1）由OA 、OC 都是⊙O 的半径知，△AOC 是等腰三角形，然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°；（2）由求出PA的长，从而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=900，进而证得结论;（3）如图，当S△MAO=S△CAO时，动点M的位置有四种:①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1,②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．试题解析：（1）在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA （等边对等角）.又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°.（2）如图,作PA边上的高CE,∵△AOC是等边三角形, OC=4，∴CE=.∵，∴. ∴.∴PA="AC=AO=4." ∴∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO.∴∠PCO=900.又∵OC是⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线.（3）如图，①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．此时S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°.∴弧AM1=.∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为.②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，此时S△M2AO=S△CAO．∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°.∴弧AM2=.∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为．③过点C 作CM 3∥AB 交⊙O 于点M 3，连接AM 3，OM 3，此时S △M3AO =S △CAO , ∴∠BOM 3=60°.∴弧AM 3=.∴当点M 运动到M 3时，S △MAO =S △CAO ，此时点M 经过的弧长为. 点M 运动到C 时，M 与C 重合，S △MAO =S △CAO ，此时点M 经过的弧长为.考点：1.动点问题;2.等腰三角形的性质;3.等边三角形的判定和性质;4.切线的判定;5.弧长的计算;6.分类思想的应用.27．（1）证明见解析；（2）有，见解析．【解析】【分析】（1）通过线段垂直和三角形内角之和为180°求出BFE DGE ∠=∠和EAC BEF ∠=∠，从而证明AGC EFB △∽△．（2）通过两内角相等写出所有相似三角形即可．【详解】（1）∵CD AB EF AE ⊥⊥，∴90FDG FEG ∠=∠=︒ ，∴3609090180DGE DFE ∠+∠=︒︒︒=︒--又∵180BFE DFE ∠+∠=︒ ，∴BFE DGE ∠=∠ ，又∵DGE AGC ∠=∠∴AGC BFE ∠=∠ ，又∵90ACB FEG ∠=∠=︒ ，∴180909090AEC BEF AEC EAC ∠+∠=︒︒=︒∠+∠=︒-， ，∴EAC BEF ∠=∠ ，∴AGC EFB △∽△（2）∵90GAD FAE ADG AEF ∠=∠∠=∠=︒， ，∴AGD AFE △∽△ ；∴CAD BAC ∠=∠ ，∴ACD ABC △∽△ ，同理得BCD BAC ∽△△ ，∴ACD CBD △∽△ ，即ACD ABC CBD △∽△∽△ ，【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及证明，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 28．（1）详见解析；（2）655． 【解析】【分析】（1）连结OD ，如图，根据切线的性质得OD ⊥DF ，而DF ⊥BC ，根据平行线的判定得到OD ∥BC ，然后利用平行线的性质和等量代换可得∠OAD=∠C ，则根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）作DH ⊥AB 于H ，如图，设⊙O 的半径为r ，由平行线的性质得cos ∠DOG=cosB=35，则在Rt △ODG 中利用余弦可计算出r=3，再在Rt △ODH 中利用余弦可求出OH=95，则AH=65，利用勾股定理可计算出AD ，然后证明DE=AD 即可． 【详解】（1）证明：连结OD ，如图，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∵DF⊥BC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C，而OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠C，∴BA＝BC；（2）作DH⊥AB于H，如图，设⊙O的半径为r，∵OD∥BC，∴∠B＝∠DOG，∴cos∠DOG＝cosB＝35，在Rt△ODG中，∵cos∠DOG＝ODOG，即325rr=+，∴r＝3，在Rt△ODH中，∵cos∠DOH＝35 OHOD=，∴OH＝95，∴AH＝3﹣95＝65，在Rt △ADH 中，AD 5=， ∵∠DEC ＝∠C ，∴DE ＝DC ，而OA ＝OB ，OD ∥BC ，∴AD ＝CD ，∴DE ＝AD ． 【点睛】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决（2）小题的关键是利用三角函数的定义和勾股定理求出圆的半径和AD 的长，再证明DE=AD ．29．m ＝－2；11x =，24x =.【解析】【分析】根据根的判别式△＝b 2−4ac ＝9，求得m 的值；进而得到原方程，再解方程求出方程的根即可．【详解】解：由题意得：（2m-1）2−4×m 2＝9，解得m ＝－2，当m ＝－2时，原方程为：2540x x -+=，解得：11x =，24x =.【点睛】本题考查根的判别式以及解一元二次方程，熟知根的判别式△＝b 2−4ac 是解题关键． 30．见解析【解析】【分析】首先证明△ABD ≌△ACD ，由全等三角形的性质可知：∠ABD=∠ACD 因为BC 是直径，所以∠BEC=90°再证明∠BND=∠ACD 即可证明△ABD ∽△ACD ．【详解】∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵在△ADB 和△ADC 中，===90=AD AD ADB ADC DB DC ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ACD （SAS ），∴∠ABD=∠ACD ，∵BC 是直径，∴∠BEC=90°，∵∠BND=∠ANE=90°-∠DAC=∠ACD ， ∴△ABD ∽△ACD ．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、圆周角定理，相似三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理．31．（1）41x a =--；（2）12x x ==． 【解析】【分析】（1）把方程化为(1)4a x -=-，在方程有解的情况下求解即可．（2）把方程化为2(1)1b x -=，在方程有解的情况下解方程即可． 【详解】（1）因为：2(2)ax x x +=-，所以4ax x -=-即(1)4a x -=-当a ≠1时，原方程的根是41x a =--； （2）因为221bx x =+，所以2(1)1b x -=，当b>1时，211x b =-原方程的根是1211,b b x x --==-． 【点睛】 本题考查的是含字母系数的方程，熟悉解法及字母的取值范围是解题关键．32．（1）证明见解析；（2）2；（3）2或22．【解析】【分析】（1）易证∠PAC=∠ACO ，从而可知AD ∥OC ，由于CD ⊥AP ，所以CD ⊥OC ，所以CD 是⊙O 的切线；（2）根据一组对边平行且相等证得四边形APCO 是平行四边形；（3）当△CDP ∽△AMO 时，则∠CDP=∠AMO=90°，利用等腰三角形AOC 的三线合一可得∠AOP=∠COP ，进而可证得AP=AO=2，当△CDP ∽△AOM 时，则∠CDP=∠AOP=90°，利用勾股定理可求得AP 的长即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC .AC 平分PAB ∠，PAC BAC ∴∠=∠，OA OC =，BAC OCA ∴∠=∠，PAC OCA ∴∠=∠ ，//∴AD OC ，CD AD ⊥，OC CD ∴⊥，∴是O的切线.CD（2）当AP=2时，四边形APCO是平行四边形，理由如下：∵AP=2，OC=2，∴AP=OC，又∵AP∥OC，∴四边形APCO是平行四边形；（3）如图，当△CDP∽△AMO时，则∠CDP=∠AMO=90°，∴OP⊥AC，又∵OA=OC，∴∠AOP=∠COP，∵AP∥OC，∴∠APO=∠COP，∴∠AOP=∠APO，∴AP=AO=2，当△CDP∽△AOM时，则∠CDP=∠AOP=90°，∵AO=PO=2，∴在Rt△AOP中，2222+=+=，AO PO2222∴AP=2或22【点睛】本题考查了切线的判定、平行四边形的判定、相似三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是能正确的理清题意，正确画出图形．33．小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；[变式探究]见解析；[结论运用]PG+PH 的值为4；[迁移拓展]（6+213）dm【解析】【分析】小军的证明：连接AP，利用面积法即可证得；小俊的证明：过点P作PG⊥CF，先证明四边形PDFG为矩形，再证明△PGC≌△CEP，即可得到答案；[变式探究]小军的证明思路：连接AP，根据S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，即可得到答案；小俊的证明思路：过点C，作CG⊥DP，先证明四边形CFDG是矩形，再证明△CGP≌△CEP 即可得到答案；[结论运用]过点E作EQ⊥BC，先根据矩形的性质求出BF，根据翻折及勾股定理求出DC，证得四边形EQCD是矩形，得出BE＝BF即可得到答案；[迁移拓展]延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，证明△ADE∽△BCE得到FA=FB，设DH ＝x，利用勾股定理求出x得到BH＝6，再根据∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点即可得到答案.【详解】小军的证明：连接AP，如图②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S △ABC ＝S △ABP +S △ACP ，∴12AB ×CF ＝12AB ×PD +12AC ×PE ， ∵AB ＝AC ，∴CF ＝PD +PE ．小俊的证明：过点P 作PG ⊥CF ，如图2，∵PD ⊥AB ，CF ⊥AB ，PG ⊥FC ，∴∠CFD ＝∠FDG ＝∠FGP ＝90°，∴四边形PDFG 为矩形，∴DP ＝FG ，∠DPG ＝90°，∴∠CGP ＝90°，∵PE ⊥AC ，∴∠CEP ＝90°，∴∠PGC ＝∠CEP ，∵∠BDP ＝∠DPG ＝90°，∴PG ∥AB ，∴∠GPC ＝∠B ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠GPC ＝∠ECP ，在△PGC 和△CEP 中PGC CEP GPC ECP PC CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PGC ≌△CEP ，∴CG ＝PE ，∴CF ＝CG +FG ＝PE +PD ；[变式探究]小军的证明思路：连接AP ，如图③，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，∴12AB×CF＝12AB×PD﹣12AC×PE，∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；小俊的证明思路：过点C，作CG⊥DP，如图③，∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，∴∠CFD＝∠FDG＝∠DGC＝90°，∴CF＝GD，∠DGC＝90°，四边形CFDG是矩形，∵PE⊥AC，∴∠CEP＝90°，∴∠CGP＝∠CEP，∵CG⊥DP，AB⊥DP，∴∠CGP＝∠BDP＝90°，∴CG∥AB，∴∠GCP＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACB＝∠PCE，∴∠GCP＝∠ECP，在△CGP和△CEP中，90CGP CEPGCP ECPCP CP⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGP≌△CEP，∴PG＝PE，∴CF＝DG＝DP﹣PG＝DP﹣PE．[结论运用]如图④过点E作EQ⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°，∵AD＝8，CF＝3，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折叠得DF＝BF，∠BEF＝∠DEF，∴DF＝5，∵∠C＝90°，∴DC22DF CF-4，∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，∴四边形EQCD是矩形，∴EQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ，∴PG+PH＝4．∴PG+PH的值为4．[迁移拓展]延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤，∵AD×CE＝DE×BC，∴AD BC DE EC，∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△ADE∽△BCE，∴∠A＝∠CBE，∴F A＝FB，由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH，设DH＝x，∴AH＝AD+DH＝3+x，∵BH⊥AF，∴∠BHA＝90°，∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，∵AB＝13AD＝3，BD37，37）2﹣x2＝（132﹣（3+x）2，∴x＝1，∴BH2＝BD2﹣DH2＝37﹣1＝36，∴BH＝6，∴ED+EC＝6，∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点，∴DM＝EM＝12AE，CN＝EN＝12BE，∴△DEM与△CEN的周长之和＝DE+DM+EM+CN+EN+EC＝DE+AE+BE+EC＝DE+AB+EC＝DE+EC+AB＝∴△DEM与△CEN的周长之和（dm．【点睛】此题是一道综合题,考查三角形全等的判定及性质,勾股定理,矩形的性质定理,三角形的相似的判定及性质定理,翻折的性质,根据题中小军和小俊的思路进行证明,故正确理解题意由此进行后面的证明是解题的关键.34．（1）这两年该企业年利润平均增长率为20%；（2）该企业2020年的利润能超过3.4亿元．【解析】【分析】【详解】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2＝2．88解得x1＝0．2＝20%，x2＝﹣2．2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2020年仍保持相同的年平均增长率，那么2020年该企业年利润为：2．88（1+20%）＝3．4563．456＞3．4答：该企业2020年的利润能超过3．4亿元．35．20【解析】【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC和在Rt△AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．【详解】解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC3301033=⨯=米．在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝103米，∴FD＝AF•tanβ＝31033⨯＝10米，∴CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．。
山东省青岛市即墨区2020-2021学年九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2020-2021学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。
1．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC 的中点，则sin∠OMN的值为（）A．B．1C．D．3．（3分）在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：次数12345678910黑棋数1302342113根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（）A．60枚B．50枚C．40枚D．30枚4．（3分）某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（）A．44%B．22%C．20%D．10%5．（3分）抛物线y＝﹣2x2﹣4x﹣5经过平移得到y＝﹣2x2，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位6．（3分）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1 7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点，且BP＝2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：①点B平分线段AF；②PF＝DE；③∠BEF＝∠FEC；④S矩形ABCD ；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的个数有（）个．＝4S△BPFA．2B．3C．4D．58．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）一山坡的坡度i＝1：3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50米到达点N处，那么他上升的高度是米．10．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是．11．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．12．（3分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD＝2：3，那么tan∠EFC值是．13．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心均在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点P，H，连接AH，若点P是CH的中点，则△APH的周长为．三、作图题（本题满分4分）15．（4分）如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮加工一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（1）解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5；（2）在体质检测时，初三某男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+2，求铅球行进的最大高度是多少？17．（6分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y＝kx+b交于A，B两点，点A 的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC＝6BC．（1）求双曲线和直线的解析式；（2）直接写出不等式的解集．19．（6分）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽（AB）为4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m．当水面下降1m时，求水面的宽度增加了多少？20．（8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E 点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B 在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）（1）求屋顶到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）22．（10分）我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20304050…每天销售量y（件）…500400300200…（1）猜一猜y是x的什么函数关系？并求出此函数的关系式；（2）若用W（元）表示工艺厂试销该工艺品每天获得的利润，试求W（元）与x（元/件）之间的函数关系式．（3）若该工艺品的每天的总成本不能超过2500元，那么销售单价定为多少元时，工艺厂试销工艺品每天获得的利润最大，最大是多少元？23．（10分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b（a≠b），点E、F分别是AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2．【初步尝试】小亮同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：（1）当＝时，有EF＝；（2）当＝时，有EF＝．该同学思考研究（2）的过程如下：作DG ∥BC ，交AB 于G ，作DM ⊥AB 于点M ，交EF 于点N ．显然HF ＝CD ＝b ，AG ＝AB ﹣CD ＝a ﹣b ．易证，△DEH ∽△DAG ，可得＝，即，＝而由＝，得＝＝，代入上式，则＝．解得EH ＝（a ﹣b ）∴EF ＝EH +HF ＝b +（a ﹣b ）＝【类比发现】沿用上述图形和已知条件，请自主完成进一步的研究发现：当＝时，EF ＝；当＝时，EF ＝；当＝时，EF ＝；当＝时，EF ＝．（其中m 、n 均为正整数，下同）[推广证明]当＝时，EF ＝；请证明你的结论．【实际应用】请结合所给情景，创设一个需要采用下面的全部信息求解的问题．【情景】如图2，有一块四边形耕地ABCD，AD∥BC，AD＝100米，BC＝300米，AB＝500米，在AB上取点E，使AE＝200米，以点E处为起点开挖平行于两底的水渠EF，与CD边相交于点F．【问题】（提问即可，不必求解）24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC．直线PQ交AB于点P，交BC 于点Q，交BD于点F，连接PM．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；＝S△ABC？若存在，求出此时t的值；若不存（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM在，说明理由．（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．2020-2021学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。
2020-2021学年山东省青岛市市北区九年级(上)期末数学试题(含答案)
2020—2021学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试题一、选择题（共8小题）.1. 在ABC ∆中，90,5,3C AB BC ︒∠===，则sin A 的值是（ ）A ．34B ．43C ．35D ．452. 下列结论中正确的是（ ）①在阳光照射下，同一时刻的物体，影子的方向是相同的.②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的.③固定的物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关.④固定的物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关.A ．①③B ．①③④C ．①④D ．②④3. 在一个不透明的口袋中，装有除颜色外其他都相同的4个白球和n 个黄球，某同学进行如下试验:从袋中随机摸出1个球记下它的颜色，放回、摇匀，为一次摸球试验。
记录摸球的次数与摸出白球的次数的列表如下:根据列表可以估计出n 的值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ． 244. 如图所示,大鱼与小鱼是位似图形，则小伯上的点(),a b 对应大鱼上的点（ ）A ． ()2,2a b --B ．(),2a b --C. ()2,2b a -- D ．()2,a b --5. 在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm ，宽40cm .中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为650cm ，设丝绸花边的宽为xcm ,根据题意，可列方程为（ ）A ．()()60240650x x -⋅-=B ．()()60402650x x -⋅-=C. 2402650x x x ⋅+⋅= D ．()240602650x x x ⋅+⋅-=6. 将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C. D ．7. 若点()()()123,1,,2,,3A x B x C x --在反比例函数21k y x+=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x << B ．231x x x << C. 312x x x << D ．213x x x <<8. 如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <B)，点2P 是线段AP 的黄金分割点（212AP PP <），点R 是线段AP 的黄金分割点()323,?··,APP P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．2020B ．2021 C. 2020 D ．2021第II 卷（共96分）二、填空题（共6小题）.9.若52m n n -=，则m n= 10.如图，已知A 点是反比例函数()0k y k x =≠的图象上一点,AB y ⊥轴于B ，且ABO ∆的面积为3，则k 的值为11.某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设。
2020-2021学年青岛市市南区九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年青岛市市南区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.若一个机器零件放置位置如图1所示，其主(正)视图如图2所示，则其俯视图是()A.B.C.D.2.如图，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°.直角∠DFE的顶点F是AB中点，两边FD，FE分别交AC、BC于点D，E两点．当∠DFE在△ABC内绕顶点F旋转时(点D不与A、C重合)，给出以下个结论：①CD=BE；②AD2+BE2=DE2；③四边形CDFE不可能是正方形；④△DFE是等腰直角三角形；⑤S四边形CDEF =12S△ABC，上述结论正确的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 53.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是()A. 抛一枚硬币，正面朝上的概率B. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C. 转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D. 从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率4.如果点A(−5,y1)，B(−72,y2)，C(32,y3)，D(a,−3a)在双曲线y=kx上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y3<y1<y2B. y2<y1<y3C. y1<y2<y3D. y1<y3<y25.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象所示，则下列结论中不正确的有()个．①abc>0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实根；④a+b+c>0；⑤当函数值y随x的逐渐增大而减小时，必有x≤1；⑥4a+2b+c<0．A. 3B. 2C. 1D. 06.将抛物线y=x2−2向左平移1个单位后再向上平移1个单位所得抛物线的表达式为()A. y=(x−1)2−1B. y=(x+1)2−1C. y=(x+1)2+1D. y=(x−1)2+17.如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=4√3，点E是折线段A−D−C上的一个动点(点E与点A不重合)，点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有()A. 2个B. 3个C. 4个D.5个8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论①a>0，②b<0，③c>0，④b2−4ac>0，其中正确的有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.若a：b=1：3，b：c=2：5，则a：c=______．10.要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则两直角边的长分别为______ ．11.如图，从正面、左面、上面三个不同的方向看某个几何体得到如下的平面图形，那么这个几何体是______．12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=______，sinA=______．13.有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇长______尺．14.如图，已知▱ABCD中，点E在CD上，CEED =12，BE交对角线AC于点F.则CFAF=______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.已知：线段a、c．求作：直角△ABC，使BC=a，AB=c，∠A=∠β=90°．16.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．x…−3−52−2−1012523…y (35)40−10−10543…(1)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(2)观察函数图象，写出2条函数的性质______ ；(3)进一步探究函数图象发现：①方程x2−2|x|=0的实数根为______ ；②方程x2−2|x|=2有______ 个实数根．③关于x的方程x2−2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围______ ．17.甲，乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，试求在一次比赛时两人做同种手势(石头，石头)的概率．18.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元？(3)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．19.如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．(1)求灯塔C到航线AB的距离；(2)若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间(结果精确到0.1小时)(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)20.如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A(1,4)和点B(，−2)．(1)求这两个函数的表达式；(4分)(2)观察图象，直接写出>时自变量的取值范围；(2分)(3)如果点C与点A关于轴对称，求△ABC的面积.(3分)21. 如图，在▱ABCa的，E为BC的的点，连接aE并延长aE交AB的延长线于点F．求证：点B是AF的的点．22. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，经过销售一段时间发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．(1)销售单价是36元时，可获利多少元？(2)销售单价定为多少元时，才能在半月内获得最大利润？最大利润是多少？23. 课程学习：正方形折纸中的数学．动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′．数学思考：(1)求∠CB′F的度数；(2)如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由；解决问题：(3)如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．24. 定义：若一个四边形同一条边上的两个内角的平分线恰好经过四边形的另外两个顶点，我们称这个四边形为邻角对角线四边形．【自主学习】下列哪些四边形一定是邻角对角线四边形______．(A)菱形(B)矩形(C)梯形(D)正方形【定义体会】如图，在邻角对角线四边形ABCD中，AC、BD分别平分∠DAB和∠CBA，AC、BD交于点P，且∠DAB+∠CBA=120°，请写出AD、BC、AB长度之间的等量关系，并给予证明．【交换应用】在邻角对角线四边形ABCD中，AC、BD分别平分∠DAB和∠CBA，且∠DAB=120°，∠CBA=60°，若AD+BC=16，则四边形ABCD的面积为______．参考答案及解析1.答案：D解析：解：俯视图是，故选：D．找出从图形的上面看所得到图形即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．2.答案：C解析：解：连接CF，如图，∵AC=BC，∠ACB=90°.点F是AB中点，∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠A=∠BCF=45°，∵∠AFD+∠CFD=90°，∠CFD+∠CFE=90°，∴∠AFD=∠CFE，∴△AFD≌△CFE(ASA)，∴AD=CE，DF=EF，∴CD=BE，所以①正确；在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2，∴AD2+BE2=DE2；所以②正确；当FD⊥AC时，四边形CDFE为矩形，而FE=FD，则此时四边形CDFE是正方形，所以③错误；∵DF=EF，∠DFE=90°，∴△DFE是等腰直角三角形，所以④正确；∵S四边形CDEF=S△CDF+S△CEF，而△AFD≌△CFE，∴S四边形CDEF=S△CDF+S△ADF=S△ACF，∴S四边形CDEF =12S△ABC，所以⑤正确．故选：C．连接CF，如图，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC，∠ACB=90°.点F是AB中点，先证明△AFD≌△CFE，则AD=CE，DF=EF，于是可对①②④⑤进行判断；由于FD⊥AC时，四边形CDFE为矩形，利用FE=FD可判断四边形CDFE是正方形，则可对③进行判断．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定与性质．3.答案：D解析：解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；B、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项不符合题意；C、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为23，故此选项不符合题意；D、从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率13，故此选项符合题意；故选：D．根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．4.答案：A解析：解：∵点D(a,−3a)在双曲线y=kx上，∴k=a⋅(−3a)=−3a2<0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵−5<−72<0，0<32，∴点A(−5,y1)，B(−72,y2)在第二象限，点C(32,y3)在第四象限，∴y3<y1<y2．故选：A．先根据图象上点的坐标特征求得k=−3a2，即可判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5.答案：A解析：解：①由图可得a<0，c>0，=1，∵该抛物线的对称轴x=−b2a∴b>0，∴abc<0，故①不正确；=1，②∵该抛物线的对称轴x=−b2a∴2a+b=0，故②正确；③∵抛物线与x轴的交点有2个，∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个不相等的实根，故③正确；④由图可得，当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故④正确；⑤由图可知，当函数值y随x的逐渐增大而减小时，必有x≥1，故⑤不正确；⑥由图可得，当x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，故⑥不正确；综上所述，不正确的个数是3个，故选：A．根据二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点即可求解．本题考查了二次函数图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点，解题的关键是判断出a、c的正负性．6.答案：B解析：解：∵将抛物线y=x2−2向左平移1个单位后再向上平移1个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=(x+1)2−2+1．即y═(x+1)2−1，故选B．直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．7.答案：C解析：解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA 为半径的圆的交点即是点P；②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．故选：C．根据题意，结合图形，分情况讨论：①BP为底边；②BP为等腰三角形一腰长．本题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究．8.答案：C解析：解：①∵该二次函数图象的开口方向向下，∴a<0；故本选项错误；>0，②∵该图象的对称轴x=−b2a∴b>0；故本选项错误；③∵该函数图象与y轴交于正半轴，∴c>0；故本选项正确；④该二次函数的图象与x轴有2个不相同的交点，依据根的判别式可知b2−4ac>0；故本选项正确；综上所述，正确的说法是：③④，共有2个；故选：C．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9.答案：2：15解析：解：∵a：b=1：3=2：6，b：c=2：5=6：15，∴a：c=2：15，故答案为：2：15根据已知比例式确定出所求即可．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．10.答案：6cm，8cm解析：解：设一直角边长为xcm，根据勾股定理得：(14−x)2+x2=102，解得x1=6，x2=8，故答案为：6cm，8cm．首先设一直角边长为xcm，则另一直角边长为(14−x)cm，由题意得等量关系：两直角边的平方和等于10的平方，进而列出方程，再解方程即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．11.答案：正四棱锥解析：解：∵主视图和左视图都是三角形，∴此几何体为椎体，∵俯视图是一个正方形，∴此几何体为正四棱锥．故答案为：正四棱锥．由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是四边形可判断出此几何体为正四棱锥．本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．12.答案：545解析：解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∴sinA=BCAB =45．故答案为：5，45．先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义即可得到∠A的正弦．本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．13.答案：25解析：解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x−1)尺，因为B′E=14尺，所以B′C=7尺在Rt△AB′C中，∵CB′2+AC2=AB′2∴72+(x−1)2=x2，解得x=25，∴这根芦苇长25尺，故答案为25．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB′的长为14尺，则B′C=7尺，设出AB=AB′=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．此题主要考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．14.答案：13解析：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD//AB，CD=AB．∵点E在CD上，CEED =12，∴CE=11+2CD=13AB．∵CD//AB，∴△CEF∽△ABF∴CFAF =CEAB=13．故答案为：13．根据平行四边形的性质可得出CD//AB，CD=AB，由CEED =12可得出CE=13AB，由CD//AB，可得出△CEF∽△ABF，再利用相似三角形的性质即可求出CFAF的值．本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质找出△CEF∽△ABF及CE=13AB是解题的关键．15.答案：解：如图，△ABC为所作．解析：先过直线m上点A作n⊥m，在再直线m上截取AB=c，然后以点B为圆心，a为半径画弧交n于点C，则△ABC满足条件．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．16.答案：函数的最小值为−1；x>1时，y随x的增大而增大(答案不唯一)−2或2或02−1<a<0解析：解：(1)描点画出如下函数图象：(2)函数的性质有：函数的最小值为−1；x>1时，y随x的增大而增大，故答案为：函数的最小值为−1；x>1时，y随x的增大而增大(答案不唯一)；(3)①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2−2|x|=0有3个根，即x=−2或2或0，故答案为：−2或2或0；②设y=x2−2|x|，从图象看y=2与y=x2−2|x|有两个交点；故答案为：2；③函数y=x2−2|x|的图象与y=a有4个交点时，a的取值范围是−1<a<0，故答案为：−1<a<0．(1)描点画出如下函数图象即可；(2)函数的性质有：函数的最小值为−1；x>1时，y随x的增大而增大，(答案不唯一)；(3)①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程x2−2|x|=0有3个根，即可求解；②设y=x2−2|x|，从图象看y=2与y=x2−2|x|有两个交点，即可求解；③函数y=x2−2|x|的图象与y=a有4个交点时，a的取值范围是−1<a<0，即可求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．17.答案：解：列表得：石头剪子布石头(石头、石头)(剪子、石头)(布、石头)剪子(石头、剪子)(剪子、剪子)(布、剪子)布(石头、布)(剪子、布)(布、布)可知共有3×3=9种等可能的结果，两人做同种手势的有3种，所以概率是39=13．解析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．18.答案：解：(1)当每吨售价是240元时，此时的月销售量为：45+260−24010×7.5=60；(2)设当售价定为每吨x元时，由题意，可列方程(x−100)(45+260−x10×7.5)=9000．化简得x2−420x+44000=0．解得x1=200，x2=220．当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．(3)我认为，小静说的不对．∵由(2)知，x2−420x+44000=0，∴当月利润最大时，x为210元．理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额W=x(45+260−x10×7.5)=−34(x−160)2+19200来说，当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325元<18000元，∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．(说明：如果举出其它反例，说理正确，也相应给分)解析：(1)因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．(2)设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解．(3)假设当月利润最大，x为210元．而根据题意x为160元时，月销售额w最大，即可得出答案．本题考查了二次函数的应用，考查学生理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解．19.答案：解：(1)过C作CD⊥AB于D．∴∠A=30°，∠BCD=45°，在Rt△ACD中，AC=80，∠A=30°，∴CD=40，∴tan30°=CD，AD∴AD=√3CD=40√3．∴灯塔C到AB的距离为40海里；(2)Rt△BCD中，∠BCD=45°，∴BD=CD=40(海里)．∴AB=AD+BD=40+40√3≈109.2(海里)．∴海轮所用的时间为：109.2÷20≈5.5(小时)．答：灯塔C到航线AB的距离为40海里；海轮从A处到B处所用的时间约为5.5小时．解析：(1)过C作AB的垂线，设垂足为D，得到∠CAD=30°，在Rt△ACD中，利用含30°的直角三角形的三边关系可求出CD、AD的长；(2)在Rt△BCD中，由∠BCD=45°，根据CD的长，即可求得BD的长；根据AB=AD+BD即可求出AB的长．根据时间=路程÷速度可求出海轮从A到B所用的时间．本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题，具体就是在某点作出东南西北，即可转化角度，也得到垂直的直线；还考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．20.答案：解：的图象过点A(1,4)，即4=k，1∴k=4，即，又∵点B(m,−2)在上，∴m =−2，∴B(−2,−2)，又∵一次函数 y 2=ax +b 过A 、B 两点，即 {−2a +b =−2a +b =4， 解之得 {a =2b =2. ∴ 综上可得，.(2)要使>，即函数的图象总在函数的图象上方，如图所示：当x <−2或0<x <1时>.(3)由图形及题意可得：AC =8，BD =3，∴△ABC 的面积S △ABC = 12AC ×BD = 12×8×3=12．解析：(1)根据点A 的坐标求出反比例函数的解析式为，再求出B 的坐标是(−2,−2)，利用待定系数法求一次函数的解析式．(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出当>0时，一次函数的值小于反比例函数的值x 的取值范围或0<x <1．(3)根据坐标与线段的转换可得出：AC 、BD 的长，然后根据三角形的面积公式即可求出答案． 解：的图象过点A(1,4)，即4= k 1，∴k =4，即， 又∵点B(m,−2)在上，∴m =−2，∴B(−2,−2)，又∵一次函数 y2=ax +b 过A 、B 两点，即 {−2a +b =−2a +b =4， 解之得 {a =2b =2. ∴ 综上可得，.(2)要使>，即函数的图象总在函数的图象上方，如图所示：当x <−2或0<x <1时>.(3)由图形及题意可得：AC=8，BD=3，∴△ABC的面积S△ABC=12AC×BD=12×8×3=12．21.答案：证明：由ABCD是平行四边形得AB//CD，∴∠CDE=∠F，∠C=∠EBF．又∵E为BC的中点，∴CE=BE，在△DEC和△FEB中，{∠CDE=∠F ∠C=∠EBF CE=BE，∴△DEC≌△FEB(AAS)，∴DC=FB．又∵AB=CD，∴AB=BF，即点B是AF的中点．解析：据平行四边形的性质先证明△DEC≌△FEB，然后根据AB=CD，运用等量代换即可得出结论．22.答案：解：(1)由题意可得，销售单价是36元时，可获利：(36−20)[400−(36−30)×20]=4480(元)，答：销售单价是36元时，可获利4480元；(2)设销售单价为x元，利润为w元，w=(x−20)[400−(x−30)×20]=−20(x−35)2+4500，∴当x=35时，w取得最大值，此时w=4500，答：销售单价定为35元时，才能在半月内获得最大利润，最大利润是4500元．解析：(1)根据题意可以求得当销售单价是36元时，可获利多少元；(2)根据题意可以得到利润与定价之间的关系，从而可以解答本题．本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．23.答案：解：(1)如图1，由对折可知，∠EFC=90°，CF=12CD，∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∴CF=12BC，∵CB′=CB，∴CF=12CB′∴在Rt△B′FC中，sin∠CB′F=CFCB′=12，∴∠CB′F=30°，(2)如图2，连接BB′交CG于点K，由对折可知，EF垂直平分AB，∴B′A=B′B，∠B′AE=∠B′BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠B′BE+∠KBC=90°，由折叠知，∠BKC=90°，∴∠KBC+∠GCB=90°，∴∠B′BE=∠GCB，又由折叠知，∠GCB=∠GCB′，∴∠B′AE=∠GCB′，(3)四边形B′PD′Q为正方形，证明：如图3，连接AB′由(2)可知∠B′AE=∠GCB′，由折叠可知，∠GCB′=∠PCN，∴∠B′AE=∠PCN，由对折知∠AEB′=∠CNP=90°，AE=12AB，CN=12BC，又∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∴AE=CN，在△AEB′和△CNP{∠B′AE=∠PCN AE=CN∠AEB′=∠CNP∴△AEB′≌△CNP(ASA)∴EB′=NP，同理可得，EB′=MQ，由对称性可知，EB′=FD′，∴EB′=NP=FD′=MQ，由两次对折可得，OE=ON=OF=OM，∴OB′=OP=0D′=OQ，∴四边形B′PD′Q为矩形，由对折知，MN⊥EF，于点O，∴PQ⊥B′D′于点0，∴四边形B′PD′Q为正方形，解析：本题主要考查了四边形的综合题，解决本题的关键是找准对折后的相等角，相等边．(1)由对折得出CB=CB′，在Rt△B′FC中，sin∠CB′F=CFCB′=12，得出∠CB′F=30°，(2)连接BB′交CG于点K，由对折可知，∠B′AE=∠B′BE，由∠B′BE+∠KBC=90°，∠KBC+∠GCB= 90°，得到∠B′BE=∠GCB，又由折叠知∠GCB=∠GCB′得∠B′AE=∠GCB′，(3)连接AB′利用三角形全等及对称性得出EB′=NP=FD′=MQ，由两次对折可得，OE=ON= OF=OM，OB′=OP=0D′=OQ，四边形B′PD′Q为矩形，由对折知，MN⊥EF，于点O，PQ⊥B′D′于点0，得到四边形B′PD′Q为正方形，24.答案：A、D32√3解析：解：【自主学习】由邻角对角线四边形的定义可知：菱形，正方形是邻角对角线四边形．故选A、D；【定义体会】结论：AB=AD+BC．理由：在线段AB上截取AM=AD，连接PM．∵AC、BD分别平分∠DAB，∠CBA，且∠DAB+∠CBA=120°，∴∠DAP=∠MAP，∠CBP=∠MBP，∠PAB+∠PBA=60°，∴∠APB=120°，∠APD=∠CPB=60°，∵AM=AD，∠PAD=∠PAM，AP=AP，∴△PAD≌△PAM，∴∠MPA=∠APD=60°，∴∠BPM=∠BPC=60°，∵∠CBP=∠MBP，BP=BP，∴△PBC≌△PBM，∴BC=BM，∵AB=AM+BM，∴AB=AD+BC．【交换应用】如图，∵∠DAB=120°，∠ABC=60°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∠DAC=∠ACB，∵∠CBD=∠ABD，∠DAC=∠BAC，∴∠ABD=∠ADB，∠BAC=∠BCA，∴AD=AB=BC，∵AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴PB=PD，AC⊥BD，∵BA=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵AD+BC=16，∴AD=BC=AB=8，∴PB=BC⋅cos30°=4√3，∴BD=2PB=8√3，AC=AB=8，∴S四边形ABCD =12×AC×BD=32√3，故答案为32√3．【自主学习】根据邻角对角线四边形的定义即可判断．【定义体会】在线段AB上截取AM=AD，连接PM.想办法证明BM=BC即可解决问题；【交换应用】只要证明四边形ABCD是菱形，△ABC是等边三角形即可解决问题；本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
山东省青岛市市南区2020-2021学年九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2020-2021学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A.B.C.D 的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、错选或选出的标号超过一个的不得分.1．（3分）如图的一个几何体，其左视图是（）A．B．C．D．2．（3分）一个不透明的口袋中装有10个黑球和若干个白球，小球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一球记下颜色，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，由此估计口袋中白球的个数约为（）A．10个B．20个C．30个D．40个3．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有实数根，则k的值为（）A．k≤1B．k＜1C．k≥1D．k＞14．（3分）反比例函数y＝﹣的图象上有三个点，分别是（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1 5．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（）A．AB2＝AP2+BP2B．BP2＝AP•BA C．D．6．（3分）将函数y＝（x+1）2﹣4的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的函数解析式为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x﹣1）2﹣8C．y＝（x+3）2D．y＝（x+3）2﹣8 7．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连接DF，＝5S△ABF，下列四个结论：①△AEF∽△CBF，②CF＝2AF，③DF＝DC，④2S四边形CDEF 其中正确正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）若，a+b+c＝18，则a的值为．10．（3分）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，某种药品原价198元/瓶，经过连续两次降价后，现仅售78元/瓶，假定两次降价的百分率相同，设该种药品平均每次降价的百分率为x，则列出的关于x方程为．11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别在格点上，其中A（3，2）、B（1，﹣1）、C（4，0）．以点B为位似中心，在y轴的右侧，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为．12．（3分）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AD是BC边上的高，AD＝4，则tan C＝．13．（3分）已知线段a的长度为11，现从1～10这10条整数线段中任取两条，能和线段a 组成三角形的概率为．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°，E，F分别为对角线AC与边CD上的点，且AE＝CF，则BE+BF的最小值为．三、作图题（本题满分4分）用圆规，直尺作團，不写作法，但要保留作图痕迹.15．（4分）已知：∠A和∠A一边上的点B．求作：▱ABCD，满足∠A是它的一个内角，且对角线BD⊥AD．四、解箸题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（1）解方程：2x2+4x﹣3＝0；（2）计算：sin245°+tan60°•cos30°．17．（6分）为落实“十个一“活动，学校组建了多个志愿者服务队，小盖和小吕通过做游戏决定谁优先选择服务队，游戏规则：两人各掷一次质地均匀的骰子，如果掷出的点数之和是小于7的偶数，由小盖优先选择服务队；如果掷出的点数之和是大于6的奇数，由小吕优先选择服务队．请你利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏对双方是否公平．18．（8分）小颖的数学学习日记：x月x日：测量旗杆的高度．（1）今天上午王老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆AB＝a，影长BC＝b，旗杆的影长DF＝c，则可求得旗杆DE的高度为．（2）但今天测量时，阴天没有阳光，就不能用以上的方案了．如图2所示，王老师将升旗用的绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为37°，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°，利用这些数据能求出旗杆DE 的高度吗？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，tan54°≈1.45）请你回答小颖的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．19．（6分）在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？20．（6分）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝交于点A、D，过D做DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB：S△ODE＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C的坐标．21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，G、H分别为DE、BF的中点．（1）试判断四边形EHFG的形状，并证明；（2）若∠ABC＝90°，试判断四边形EHFG的形状并加以证明．22．（10分）某快餐店新推出一种外卖，每份的成本为20元，推出后每份售价为50元，每月可售出200份，经过试卖发现，该外卖每份售价每降价1元，每月可多卖出10份，由于制作能力有限，每月最多制作该外卖350份．设该外卖每份售价x元（x≤50），每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该外卖每份售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该外卖每份售价在什么范围时，每月的销售利润不低于4000元．23．（10分）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：，而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得．根据上述这两个式子，可以推出：．（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：＝方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底或高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH ⊥BC于H，可得：＝．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD ＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，则＝．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段AD ＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，＝．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD的面积为30，则△AEF 的面积是．24．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足为D，F为AD中点．点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为1cm/s；点E为点P关于AD的对称点．连接PQ、FQ、EF、AE．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当PQ∥AE时，求t的值；（2）设四边形AEPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A.B.C.D 的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、错选或选出的标号超过一个的不得分.1．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看，是一列三个相邻的矩形．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图象是左视图．2．【分析】根据频率与概率的关系列出方程，解方程即可．【解答】解：设估计口袋中白球的个数约为x个，由题意得：＝，解得：x＝20，故选：B．【点评】本题考查的是用样本估计总体，大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．3．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4k≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4k≥0，解得k≤1，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．【分析】先根据反比例函数y＝﹣的系数﹣4＜0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据x1＜0＜x2＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣4＜0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜0＜x2＜x3，∴y1＞0、y2＜y3＜0，∴y2＜y3＜y1．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系及反比例函数的增减性是解答此题的关键．5．【分析】由黄金分割的定义得AP2＝BP•BA，＝＝，即可求解．【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP2＝BP•BA，＝＝，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，故选：D．【点评】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．6．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将函数y＝（x+1）2﹣4的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的函数解析式为：y＝（x+1﹣2）2﹣4+4，即y＝（x﹣1）2．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．【分析】①由菱形的性质得出AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，故①正确；②根据相似三角形对应边成比例，可得CF＝2AF，故②正确；③在菱形ABCD中，DA＝DC，则③错误；④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△AEF，S△ABF＝S菱形ABCD，可得S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD，即可＝S△ABF＝S△ABF，故④正确．得到S四边形CDEF【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故①，②正确；在菱形ABCD中，DA＝DC，显然DF≠DC，故③错误；∵△AEF∽△CBF，∴＝＝，＝S△ABF，S△ABF＝S菱形ABCD，∴S△AEF＝S菱形ABCD，∴S△AEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S菱形ABCD﹣S菱形ABCD＝S菱形ABCD，又∵S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；∴S四边形CDEF∴共有3个正确；故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△AEF∽△CBF是解题的关键．8．【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx的图象得到字母系数的正负，与x轴的交点，再与一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相比是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，b＞0，则ab＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，则ab＜0，由反比例函数y＝的图象可知ab＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，则ab＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，则ab＞0，由反比例函数y＝的图象可知ab＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，在ab＜0，与x轴的交点为（0，0），（﹣，0），由直线可知，a＜0，b＞0，则ab＜0，与x轴的交点为（﹣，0），由反比例函数y＝的图象可知ab＜0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，在ab＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，则ab＞0，由反比例函数y＝的图象可知ab＞0，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查抛物线、直线以及反比例函数的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．【分析】设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案．【解答】解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a+b+c＝18，即2k+3k+4k＝18，∴k＝2，∴a＝2k＝4，故答案为：4．【点评】本题考查比例的性质，设辅助未知数是常用的方法．10．【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：198（1﹣x）2＝78．故答案为：198（1﹣x）2＝78．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．【分析】以点B为原点建立平面直角坐标系，根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：以点B为原点建立平面直角坐标系，此时点A的坐标为（2，3），以点B为位似中心，在y轴的右侧，将△ABC放大为原来的2倍，则在新坐标系中点A的对应点A1的坐标为（2×2，3×2），即A1（4，6），点A1的在原坐标系中的坐标为（5，5），故答案为：（5，5）．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．12．【分析】根据勾股定理先求出BD的长，CD＝BC﹣BD，再根据三角函数的知识求出tan C 的值．本题有两种情况，若高AD在△ABC内部，若高AD在△ABC外部．【解答】解：如图所示：BD＝＝＝3，如图1，若高AD在△ABC内部，CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan C＝＝；如图2，若高AD在△ABC外部，CD＝BC+BD＝8+3＝11，∴tan C＝＝；综上，tan C＝或，故答案为：或．【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．【分析】从1～10这10条整数线段中任取两条线段（设为b、c），共有×10×9＝45种等可能的结果，其中能和线段a（a＝11）组成三角形（b+c＞a）的结果有20种，再由概率公式求解即可．【解答】解：从1～10这10条整数线段中任取两条线段（设为b、c），共有×10×9＝45种等可能的结果，其中能和线段a（a＝11）组成三角形（b+c＞a）的结果有20种，∴能和线段a组成三角形的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了概率的求法、概率公式以及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和概率公式是解题的关键．14．【分析】在AC上截取CH＝AB＝4，延长BC至G，使得CG＝BC，连接FG、HG，过点H作HM⊥BC于M，先证明△ABE≌△CHF（SAS），说明BE＝HF，再利用CF垂直平分BG证明BF＝FG，再由BE+BF＝HF+FG≥HG，结合勾股定理即可得BE+BF的最小值．【解答】解：在AC上截取CH＝AB＝4，延长BC至G，使得CG＝BC，连接FG、HG，过点H作HM⊥BC于M，在矩形ABCD中，AB∥CD，∠BCF＝90°，∴∠BAE＝∠HCF，在△ABE与△CHF中，，∴△ABE≌△CHF（SAS），∴BE＝HF，∵BC＝CG，∠BCF＝90°，∴CF垂直平分BG，∴BF＝FG，∴BE+BF＝HF+FG≥HG，∵∠ACB＝30°，∴HM＝CH＝2，AC＝2AB＝8，∴CM＝＝2，BC＝＝4，∴MG＝CM+CG＝6，∴HG＝＝4，∴BE+BF的最小值为4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理，解决此题的关键是构造△ABE ≌△CHF，将BE+BF最小值转化为HG的长．三、作图题（本题满分4分）用圆规，直尺作團，不写作法，但要保留作图痕迹. 15．【分析】先过B点作∠A的另一边的垂线得到BD，再分别以B、D为圆心，AD、AB为半径画弧，两弧相交于点C，则四边形ABCD满足条件．【解答】解：如图，▱ABCD为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．四、解箸题（本题满分74分，共有9道小题）16．【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．（2）根据特殊角的三角函数值分别代入，再求出即可．【解答】解：（1）2x2+4x﹣3＝0，x2+2x＝，x2+2x+1＝+1，（x+1）2＝，∴x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．（2）原式＝（）2+×＝+＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的应用，能能正确配方是解（1）小题的关键，熟记特殊角的三角函数值是解（2）小题的关键，17．【分析】先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点数之和是小于7的偶数及点数之和是大于6的奇数的情况，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：随机掷骰子一次，所有可能出现的结果如表：123456 123456723456783456789456789105678910116789101112∵表中共有36种可能结果，其中掷出的点数之和是小于7的偶数有9种结果，掷出的点数之和是大于6的奇数有12种结果，∴小盖优先选择服务队的概率为＝，小吕优先选择服务队的概率为＝，∵≠，∴这个游戏对双方不公平．【点评】此题考查的是游戏的公平性．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．18．【分析】（1）根据“物高和影长成比例”求得结果；（2）设DE＝x米，解直角三角形EDG和Rt△EHN，表示出EG和EH，然后列出方程求得结果．【解答】解：（1）如图1，由＝得，，∴DE＝，故答案是：；（2）如图2，作HN⊥DE于N，设DE＝x米，∵EN＝（x﹣）米，在Rt△EDG中，DE＝x，∠DGE＝37°，∴GE＝≈x，在Rt△ENH中，EN＝x﹣，∠EHN＝54°，∴EH＝≈（x﹣），∵GE﹣EH＝5，∴x﹣（x﹣）＝5，∴x＝，答：绳子的长度是米．【点评】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的边角关系．19．【分析】先用待定系数法求出抛物线的解析式，再把x＝7.5代入函数解析式，求出球的高度，即可确定需要跳的高度．【解答】解：由题意可知抛物线顶点坐标为（4，3.6），且过点（0，2），∴设y＝a（x﹣4）2+3.6，将（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+3.6，得16a+3.6＝2，16a＝﹣1.6a＝﹣0.1，∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，把x＝7.5代入y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，得y＝﹣0.1（75﹣4）2+3.6＝2.375，∴2.375﹣1.85＝0.525米，答：他垂直起跳的高度至少要达到0.525米．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．20．【分析】（1）先求出点B的坐标，就可得△OAB的面积，再根据已知求出△ODE的面积即可；（2）求出一次函数关系式即可．【解答】解：把x＝0代入y＝kx+3得，y＝3，∴B（0，3），∵A（﹣2，n），∴△OAB的面积＝＝3，：S△ODE＝1：2，∵S△OAB＝6，∴S△ODE∵DE⊥x轴，点D在反比例函数y＝的图象上，∴|m|＝6，∴m＝±12，∵m＜0，∴m＝﹣12，∴反比例函数关系式为：y＝；（2）把A（﹣2，n）代入y＝得：n＝＝6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）代入y＝kx+3得：6＝﹣2k+3，∴k＝，∴一次函数关系式为：y＝x+3，把y＝0代入y＝x+3中得：0＝x+3，∴x＝2，∴C（2，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数|k|的几何意义是解题的关键．21．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，由中点的性质BE＝DF，可证四边形BEDF是平行四边形，可得DE∥BF，DE＝BF，由中点的性质可得EG＝HF，可证四边形EHFG是平行四边形；（2）由直角三角形的性质可证EH＝HF，可得结论．【解答】解：（1）四边形EHFG是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵点E、F分别为AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD，∴BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE∥BF，DE＝BF，∵G、H分别为DE、BF的中点，∴EG＝DE＝BF＝HF，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）四边形EHFG是菱形，理由如下：如图，连接EF，∵AE＝BE＝DF＝CF，AB∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF，∵∠ABC＝90°，∴∠BEF＝90°，∵BH＝HF，∴EH＝HF，∴平行四边形EHFG是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．22．【分析】（1）先通过条件得到销售数量与售价的关系，然后利用“利润＝（售价﹣成本）×数量”得到w与x之间的函数关系式；（2）先通过条件求得x的取值范围，然后利用二次函数的性质求得销售利润的最大值；（3）根据条件得到不等式，然后求得结果．【解答】解：（1）由题意得，每月制作的外卖数量为：200+10（50﹣x）＝700﹣10x（份），∴w＝（x﹣20）（700﹣10x）＝﹣10x2+900x﹣14000，答：w与x之间的函数关系式为w＝﹣10x2+900x﹣14000．（2）∵每月最多制作该外卖350份，∴700﹣10x≤350，∴x≥35，∵x≤50，∴35≤x≤50，∵w＝﹣10x2+900x﹣14000＝﹣10（x﹣45）2+6250，﹣10＞0，∴当35≤x≤45时，w随x的增大而增大，当45＜x≤50时，w随x的增大而减小，＝6250，∴x＝45时，w最大值答：该外卖每份售价45元时，每月的销售利润最大，最大利润为6250元．（3）∵每月的销售利润不低于4000元，∴当w＝4000时，﹣10x2+900x﹣14000＝4000，解得：x＝30或x＝60，∵w＝﹣10x2+900x﹣14000的函数图象开口向上，且当35≤x≤45时，w随x的增大而增大，当45＜x≤50时，w随x的增大而减小，∴35≤x≤50，答：该外卖每份售价在35≤x≤50时，每月的销售利润不低于4000元．【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是通过条件得到销售数量与x之间的关系．23．【分析】探究一、（2）由∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，得△ADE∽△ACB，与（1）同理可得结论；探究二、过点D，B分别作DM⊥AC，BN⊥AC垂足分别为M，N，由DM∥BN，得，则＝＝＝；延伸探究：（1）过点D，B分别作DM⊥AC，BN⊥AC，垂足分别为M，N，由DM∥BN，得，与探究二同理表示出面积的比即可；（2）过点D，B分别作DM⊥AC，BN⊥AC，垂足分别为M，N，由（1）同理可得答案；结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，首先可知S S＝15，S，再证FN＝2EF，ED＝5EF，从而S四边形ABCD＝．【解答】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∴＝；探究二：过点D，B分别作DM⊥AC，BN⊥AC垂足分别为M，N，∴DM∥BN，∴，∴＝＝＝；延伸探究：（1）过点D，B分别作DM⊥AC，BN⊥AC，垂足分别为M，N，∴DM∥BN，∴，∴＝＝，故答案为：；（2）过点D，B分别作DM⊥AC，BN⊥AC，垂足分别为M，N，∴DM∥BN，∴，∴＝＝，故答案为：；结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，＝15，∵AM＝DM，S S四边形ABCD∵AE＝2，AG＝4，∴S，∵AM＝DM，MN∥AF，∴FN＝DN，∵GN∥AF，∴，即FN＝2EF，∴ED＝5EF，∴S＝，故答案为：．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，运用从特殊到一般的思想方法是解题的关键．24．【分析】（1）由PQ∥AE，推出＝，可得＝，解方程，可得结论；﹣S△ACE﹣S△BPQ，求解即可；（2）根据y＝S△ABC（3）如图3中，过点Q作QJ⊥AD于点J．证明△EDF∽△QJF，推出＝，可得＝，解方程可得结论．【解答】解：（1）如图1中，由题意AQ＝BP＝tcm．∵AC＝AB，AD⊥CB，∴CD＝DB＝4（cm），∵P，E关于AD对称，∴DE＝PD＝4﹣t，∴PE＝8﹣2t，EB＝8﹣t，∵PQ∥AE，∴＝，∴＝，解得t＝9﹣或9+，经检验，t＝9﹣是分式方程的解，且符合题意．∴t＝9﹣；（2）如图2中，过点Q作QH⊥CB于点H．在Rt△ACD中，AD＝＝＝3，∵AD∥QH，∴＝，∴＝，∴AH＝（5﹣t），﹣S△ACE﹣S△BPQ＝×8×3﹣×t×3﹣×t×（5﹣t）＝t2﹣3t+12（0∴y＝S△ABC＜t＜4）；（3）如图3中，过点Q作QJ⊥AD于点J．∵JQ∥DB，∴＝＝，∴＝＝，∴AJ＝t，JQ＝t，∵∠EFD＝∠QFA，∠EDF＝∠QJF＝90°，∴△EDF∽△QJF，∴＝，∴＝，解得t＝，经检验，t＝是分式方程的解，且符合题意，∴满足条件的t的值为．【点评】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
2020-2021山东省青岛实验初级中学九年级数学上期末试题附答案
20．某地区2017年投入教育经费2 500万元，2019年计划投入教育经费3 025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为_____．
设与墙相对的边长为（28-2x）m，则0＜28-2x≤12，解得8≤x＜14，
根据题意列出方程x（28-2x）=80，
解得x1=4，x2=10
因为8≤x＜14
∴与墙垂直的边 为10m
故答案为C.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x值.
【详解】
如图：设将铁丝分成xcm和（200﹣x）cm两部分，列二次函数得：
y＝（ ）2+（ ）2＝ （x﹣100）2+1250，
由于 ＞0，故其最小值为1250cm2，
故答案为：1250cm2．
【点睛】
本题考查二次函数的最值问题，解题的关键是根据题意正确列出二次函数．
16．﹣≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴根据二次函数的性质即可求解【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣∴函数的对称轴为x＝﹣∴当﹣1≤x≤0时函数有最小值﹣当x＝﹣1时有最大
三、解答题
21．如图，方格纸中有三个点 ，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
山东省青岛市局属四校2020-2021学年九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2020-2021学年青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8进小题，每小题3分）下列每小题都给出入、B、C.D 四个结论.其中只有一个是正确的，证小题选对得分：不选，错选城选出的标号超过一个的不得分1．（3分）方程x2＝4x的根是（）A．x＝4B．x＝0C．x1＝0，x2＝4D．x1＝0，x2＝﹣4 2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是（）A．B．3C．D．23．（3分）下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个正五边形B．任意两个平行四边形C．任意两个菱形D．任意两个矩形4．（3分）班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数．数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球．如果设袋中有白球x个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．（3分）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0，根的情况是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根7．（3分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（）A．x＜﹣6或0＜x＜2B．﹣6＜x＜0或x＞2C．x＞3或﹣1＜x＜0D．x＞28．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）计算sin245°+cos30°•tan60°＝．10．（3分）我国疫情防控工作进入了一个新的阶段﹣﹣“常态化”．戴口罩仍然是切断病毒传播的主要措施．某药店八月份销售口罩500包，八至十月份共销售口罩1820包，设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程为．11．（3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，，则k的值为．12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：x…01030…y…2﹣32…则关于x的方程ax2+bx+5＝0的解是．13．（3分）如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC 交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE＝45°时，则DE＝．14．（3分）如图是某几何体的三视图，其俯视图是等边三角形，则这个几何体的表面积是．三、作图题（本题满分4分）15．（4分）已知线段a，b，求作矩形ABCD，使对角线AC＝a，边BC＝b．四、解答题（本大题共9小题，满分74分）16．（8分）计算：（1）解方程：4x2﹣6x﹣3＝0．（2）已知二次函数y＝﹣+x+，用配方法求出该抛物线的顶点坐标．17．（6分）甲乙两人用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，A转盘被分成如图所示的三份，并分别标有数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针所指的数字之差的绝对值大于2，则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2．则乙胜．请问，这个游戏对甲乙两人公平吗？说明理由．18．（8分）周末，甲乙两人相约去附近的山顶C处写生．甲从小山的正东方向A处出发，乙从小山正西方向的B处出发．已知A处的海拔高度为18米，B处的海拔高度比A处高30米，且A、B两地的水平距离为1048米．山坡AC的坡角为32°，山坡BC的坡度i ＝．问：（1）小山的海拔高度CE是多少米？（2）甲乙两人到达山顶所走的路程相差多少米？（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈）19．（6分）某宾馆客房有60个房间供游客居住．旅游旺季，当每个房间的定价增加时，就会有一些房间空闲．具体数据如下表：每个房间的定价x（元）200240250300每天入住的房间数y（间）60504840（1）请你认真分析表中数据，求出能表示其交化规律的函数表达式．（2）对有游客入住的房间．宾馆需对每个房间每天支出15元的各种费用，同时为促进当地旅游业的蓬勃发展，市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励50元，当每天入住的房间数为30时，求宾馆每天的总利润．20．（6分）一座古老的石拱桥的侧面形状可以用如图抛物线刻画，OB为水平面，距O点水平距离1米的AC处立着一个水泥柱加固桥梁，拱桥在距O点水平距离3米处达到最大高度9米．（1）求此抛物线的解析式．（2）一只蜻蜓落在水泥柱左侧的拱桥内壁P处，且它飞到C点和A点的距离相同，求这只蜻蜓到水泥柱的水平距离．21．（8分）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．22．（10分）为了支持精准扶贫项目，“蜜甜农场”网店专卖备受消费者青睐的“响水”大米．大米进价为每袋40元，当售价为每袋80元时，每月可销售100袋．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调在反映，销售单价每降1元，则每月可多销售5袋．该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．设每袋大米的售价为x元，每月的销售量为y袋．（1）求出y与x的函数关系式．（2）设该网店捐款后每月利润为w元，若要求进货总成本不超过5000元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，那么每袋大米的最合理的销售单价是多少？23．（10分）小明是魔方受好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n＝）．问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含个长方体．如图5，该几何体一共包含210个长方体，那么该几何体共有个小立方体组成．探究二：如图6，该几何体有4个小立方休组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有个长方体．探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有个长方体．探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体．探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b ＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积最大为．24．（12分）已知：如图1，等腰△ABC中AB＝BC＝10，AC＝12，D是AC边的中点，点P沿着BD从B向D以每秒1的速度运动，同时，点Q沿着DA从D向A以同样的速度运动，设运动时间为t（0＜t＜6）．（1）几秒时，PQ∥AB？（2）存不存在某一时刻t，使得CP⊥PQ？若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．（3）如图2．点E是AB边的中点，在Q点运动的同时，过Q作QM∥DE交AB于M，连接PC、PE，设多边形CPEMQ的面积为y，请写出y与t的函数关系式；（4）在第（3）问的条件下，若点A关于MQ的对称点是A′，请问，存不存在某一时刻，使得点A′恰好落在线段PQ上？若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8进小题，每小题3分）下列每小题都给出入、B、C.D 四个结论.其中只有一个是正确的，证小题选对得分：不选，错选城选出的标号超过一个的不得分1．【分析】原式利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．【分析】设BC＝x，则AB＝3x，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tan B．【解答】解：设BC＝x，则AB＝3x，由勾股定理得，AC＝2x，tan B＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．3．【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、任意两个正五边形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；B、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，不符合题意；C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；D、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，故选：A．【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．4．【分析】混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球，即红球所占的比例是，则放入的10个球所占的总球数的，列方程即可求解．【解答】解：混匀后从口袋中随机摸出40个球，发现其中有3个红球，即红球所占的比例是，则方程为：＝．故选：D．【点评】本题考查了列方程解应用题以及利用样本估计总体，正确理解题目中的相等关系是关键．5．【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．6．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a）2﹣4×（a﹣1）＝（a﹣2）2≥0，∴方程有两个实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．7．【分析】不等式kx+b＞的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围．【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），∴不等式kx+b＞的解集为：x＞2或﹣6＜x＜0，故选：B．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．8．【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【解答】解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误．D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误．故选：A．【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．【分析】先利用特殊角的三角函数值得到原式＝（×）2+（×）×，然后进行二次根式的混合运算．【解答】解：原式＝（×）2+（×）×＝+3×＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．10．【分析】若设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为x，则九月份销售口罩500（1+x）包，十月份销售口罩500（1+x）2包，根据八至十月份共销售口罩1820包，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：若设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为x，则九月份销售口罩500（1+x）包，十月份销售口罩500（1+x）2包，依题意得：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820．故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．【分析】作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，证明Rt△OBD∽Rt△AOC，利用相似三角形的性质得到＝，利用反比例函数k的几何意义得到＝，从而解绝对值方程得到满足条件的k的值．【解答】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠AOC＝∠OBD，∴Rt△OBD∽Rt△AOC，∴＝（）2＝（）2＝，＝|k|，S△AOC＝×4＝2，∵S△OBD∴＝，而k＜0，∴k＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了k的几何意义和相似三角形的判定与性质．12．【分析】根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和c的值，从而可以得到x＝10和x＝20时对应的函数值都是﹣3，再将x＝10，y＝﹣13代入函数解析式，整理可以得到方程ax2+bx+5＝0，从而可以得到该方程的解．【解答】解：由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝＝15，则x＝10和x＝20对应的函数值都是﹣3，当x＝0时，y＝2，即c＝2，当x＝10时，y＝﹣3，即﹣3＝ax2+bx+2，整理，得ax2+bx+5＝0，则方程ax2+bx+5＝0的解是x1＝10，x2＝20，故答案为：x1＝10，x2＝20．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．【分析】在直角△ADM中，利用勾股定理求出DM的长度，由于F为DM的中点，得到DF的长度，由于AB∥CD，易得△DCP∽△MAP，从而求得DP的长度，由于∠DFE ＝∠DCP＝45°，可以证明△DEF∽△DPC，即可解决．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝DC＝2，∠DAM＝90°，AB∥DC，∵M为AB边的中点，∴AM＝BM＝1，∴DM＝＝，∵F为DM的中点，∴DF＝MF＝，∵AB∥CD，∴∠CDP＝∠PMA，∠DCP＝∠MAP，∴△DCP∽△MAP，∴＝＝2，∴＝，∵四边形ABCD是正方形，∠DFE＝45°，∴∠DCP＝∠DFE＝45°，∵∠CDP＝∠FDE，∴△DCP∽△DFE，∴，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求线段长，是求线段的常用方法．14．【分析】根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为等边三角形，即可求出俯视图的面积，再根据侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为4，2，即可求出几何体的表面积．【解答】解：根据题意得：正三角形的高为2，则底为2÷×2＝4，∴俯视图的面积为4×2÷2＝4，∴这个几何体的表面积是4×2×3+4×2＝24+8．故答案为：24+8．【点评】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．三、作图题（本题满分4分）15．【分析】先在直线m上截取BC＝b，再过B点作m的垂线n，接着以C点为圆心，a为半径画弧交直线n于A点，然后分别以A、C为圆心，b和AB的长为半径画弧，两弧相交于D点，则四边形ABCD满足条件．【解答】解：如图，矩形ABCD为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定．四、解答题（本大题共9小题，满分74分）16．【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；（2）利用配方法将二次函数解析式配方成顶点式，可得顶点坐标．【解答】解：（1）4x2﹣6x﹣3＝0，a＝4，b＝﹣6，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝；（2）y＝﹣+x+＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+＝﹣（x﹣1）2+2，∴顶点坐标是（1，2）．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及二次函数中配方法的应用，熟练掌握公式法和配方法是解本题的关键．17．【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此求解即可．【解答】解：这个游戏对甲乙两人不公平，理由如下：列表如下：12﹣3﹣3﹣12322﹣2341132166由表知，共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之差的绝对值大于2的有5种结果，指针所指的数字之差的绝对值小于2的有3种结果，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为＝，∵≠，∴这个游戏对甲乙两人不公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．【分析】（1）过B作BG⊥DE于G，BF⊥CE于F，过A作AM⊥CE于M，交BG于H，则GH＝EM＝AD＝18米，BH＝FM＝30米，由锐角三角函数定义得AM≈CF+48，再由坡度的定义得BF＝CF，则CF+CF+48＝1048，解得：CF＝250（米），即可求解；（2）由勾股定理得BC＝650（米），再由锐角三角函数定义得AC≈520（米），则BC﹣AC≈650﹣520＝130（米）．【解答】解：（1）如图，过B作BG⊥DE于G，BF⊥CE于F，过A作AM⊥CE于M，交BG于H，则GH＝EM＝AD＝18米，BH＝FM＝30米，由题意得：AH＝1048米，∠CAM＝32°，在Rt△ACM中，tan∠CAM＝＝＝tan32°≈，∴AM≈CF+48，∵山坡BC的坡度i＝＝，∴BF＝CF，∴CF+CF+48＝1048，解得：CF＝250（米），∴CE＝CF+FM+EM＝250+30+18＝298（米），答：小山的海拔高度CE约为298米；（2）在Rt△BCF中，CF＝250米，BF＝×250＝600（米），∴BC＝＝＝650（米），在Rt△ACM中，CM＝CF+EM＝280（米），∵sin∠CAM＝＝＝sin32°≈，∴AC≈520（米），∴BC﹣AC≈650﹣520＝130（米），答：甲乙两人到达山顶所走的路程相差约为130米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．19．【分析】（1）根据题意可得每天入住的房间数＝12000÷每个房间的定价；（2）首先求出每天入住的房间数为30时，每个房间的定价，再根据题意宾馆需对每个房间每天支出15元的各种费用，及市旅游局将对每个实际入住的房间予以每间每天奖励50元，即可求出每天入住的房间数为30时宾馆每天的纯利润．【解答】解：（1）由题意得：y＝；（2）y＝30时，x＝＝400，（400﹣15+50）×30＝13050．答：每天入住的房间数为30时，宾馆每天的纯利润为13050元．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据题意列出函数解析式，进而解决问题．20．【分析】（1）根据题意设出函数解析式，用待定系数法求解即可；（2）根据已知，先求出点A，C坐标，再根据PA＝PB，求出AC中点Q的坐标，从而得出点P的纵坐标，然后代入函数解析式求出点P的横坐标即可．【解答】解：（1）由图象题意知，抛物线顶点为（﹣3，9），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+3）2+9，∵抛物线过原点，∴0＝a（0+3）2+9，解得：a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+9＝﹣x2﹣6x；（2）由题意得：A点坐标为（﹣1，0），将x＝﹣1代入抛物线解析式得：y＝5，∴C（﹣1，5），∵P到A，C距离相等，∴PA＝PC，记AC中点为Q，连接PQ，∴PQ为等腰△PAC的中线，∴Q（﹣1，），则P纵坐标为，设P（x0，），代入y＝﹣x2﹣6x中，解得：x0＝﹣3﹣或x0＝﹣3+（舍去），∴PQ＝﹣1﹣x0＝2+．∴这只蜻蜓到水泥柱的水平距离为（2+）米．【点评】本题考查二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据题意设出适当的函数解析式．21．【分析】（1）由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形；（2）根据正方形的判定解答即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）由（1）可知，四边形AMCN为矩形，∴只需AM＝MC，则矩形AMCN为正方形，∵O为AC中点，M在BO上，∴BO⊥AC，时，AM＝MC，在△BOA与△BOC中，，∴△BOA≌△BOC（SAS），∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，故△ABC满足AB＝BC时，四边形AMCN是正方形．【点评】本题考查了正方形、矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．22．【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每月可多销售5条，写出y与x的函数关系式；（2）该网店每月获得的利润w元等于每件的利润乘以销售量﹣200，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；（3）根据捐款后每月总利润等于4220，得出关于x的方程，求得方程的解，根据二次函数的性质及问题的实际意义，可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；（2）由题意，得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）﹣200＝﹣5x2+700x﹣20200＝﹣5（x﹣70）2+4300，∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，∴当x＞70时，w随x的增大而减小，∵40（﹣5x+500）≤5000，解得：x≥75，∴75≤x＜80，∴当x＝75时，有最大值，最大值为4175，∴当售价75元时，每月获得最大利润为4175元；（3）由题意得：﹣5（x﹣70）2+4300＝4220，解得x1＝66，x2＝74，∵抛物线w＝﹣5（x﹣70）2+4300开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当66≤x≤74时，符合该网店要求，∵要让消费者得到最大的实惠，∴x＝66．∴当销售单价定为66元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．【分析】探究一：如图4，模仿例题求解，可得结论．如图5，构建方程求解即可；探究二：如图7，如图8，模仿例题，利用规律解决问题即可；探究三：如图1，根据a＝b＝c＝6，模仿例题求解即可；探究四：利用规律解决问题，可得结论；探究五：由题意，这个几何体的表面积与图1的表面积相等．【解答】解：探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含1+2+3＝6个长方体．如图5，该几何体一共包含210个长方体，设该几何体有n个小长方形．则有1+2+•••+n＝210，解得n＝20或﹣21（舍弃），所以该几何体共有20个小立方体组成．故答案为：6，20；探究二：如图6，该几何体有4个小立方休组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含（1+2+3）（1+2）＝18个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有（1+2）（1+2+•••+m）＝（m（m+1）个长方体．故答案为：18，m（m+1）；探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有（1+2+•••+6）×（1+2+•••+6）×（1+2+•••6）＝213个长方体．故答案为：213；探究四：当a＝b＝c＝9时，含有（1+2+•••+9）×（1+2+•••+9）（1+2+•••+9）＝453个长方体．故答案为：453；探究五：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走18×4＝72个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是＝2（4×6+4×5+5×6）+4×5＝168．（如图1中，黑点的保留，红点的拿了4个）．故答案为：168．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方体的性质，图形的分割等知识，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考创新题型．24．【分析】（1）当PQ∥AB时，得，代入即可；（2）利用△QDP∽△PDC，得PD2＝QD•CD，则（8﹣t）2＝t•6，解方程得出答案；（3）过点P作PT⊥BC，PS⊥AB，MF⊥AQ，垂足分别是T，S，F，多边形的面积y＝S ﹣S△BCP﹣S△BEP﹣S△AMQ，分别表示出每一个小三角形的高即可；△ABC（4）延长QP交BC于W，作QY⊥BC于Y，由翻折加平行线可证QW＝QC，则WC＝2CY，分别表示出WC和CY，从而得出方程．【解答】解：（1）如图，∵点D是AC的中点，AB＝BC，∴BD⊥AC，AD＝AC＝6，由勾股定理得BD＝8，当PQ∥AB时，∴，∴，解得t＝；（2）若存在某一时刻t，使得CP⊥PQ，∴∠QPD+∠CPD＝90°，∵∠QPD+∠PQD＝90°，∴∠CPD＝∠PQD，又∵∠PDQ＝∠PDC，∴△QDP∽△PDC，∴PD2＝QD•CD，∴（8﹣t）2＝t•6，解得t＝11﹣或t＝11+，∵11+＞8，舍去，∴t＝11﹣时，CP⊥PQ；（3）过点P作PT⊥BC，PS⊥AB，MF⊥AQ，垂足分别是T，S，F，由相似三角形的性质可知，PS＝PT＝，∵点E为AB的中点，∴DE＝AE＝5，∵MQ∥ED，∴AM＝MQ，∴AF＝AQ＝，∴MF＝（6﹣t），﹣S△BCP﹣S△BEP﹣S△AMQ∴y＝S△ABC＝﹣﹣﹣＝﹣t2﹣t+36；（4）存在某一时刻，使得点A′恰好落在线段PQ上，则∠AQM＝∠A'QM，延长QP交BC于W，作QY⊥BC于Y，∵ED∥BC，MQ∥BC，∴∠MQA'＝∠QWC，∠AQM＝∠ACB，∴∠QWC＝∠QCB，∴QW＝QC，∵QY⊥BC，∴WC＝2CY，由△CYQ∽△CDB得，CY＝＝（6+t），作PH⊥BC于H，∵∠QWC＝∠QCB，∴△WHP∽△CDB，∴设PH＝4x＝，WH＝3x，∴WH＝，∴CW＝BC﹣BW＝10﹣（）＝10﹣，∴10﹣＝2×，∴t＝．∴存在某一时刻，使得点A′恰好落在线段PQ上，此时t＝．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，翻折的性质，利用相似三角形表示出线段的长是解题的关键，难度较大．。
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青岛版数学九年级上册期中测试题
一、 选择题。
1.如图，已知直线a//b//c ，直线m 交直线a,b,c 于点A,B,C.直线n 交直线a,b,c 于点D,E,F,若21=BC AB , 则EF DE =( ). A.31 B.21 C.3
2 D.1
2.如图，∠1=∠2,则下列各式不能说明△ABC ∽△ADE 的是( )
A.∠D=∠B
B.∠E=∠C
C.AC AE AB AD =
D.BC
DE AB AD = 3.在△ABC 中，∠C=90°，下列各式不一定成立的是（ ）
A.a=b ∙cosA
B.A=c ∙cosB
C.c=
A
a sin D.a=
b ∙tanA 4.下列说法中正确的有( )
①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4:9,则周长的比为16:81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm ，那么这两个三角形一定相似.
A.1个
B.2个
C. 3个
D.4个
5.如图，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E,则下面结论中错误的是( )
A. CE=DE
B. 弧BC=弧BD
C.∠BAC=∠BAD
D. OE=BE
6.如图，点D(0，3)，0(0，0)，C(4，0)在OA 上，BD 是OA 的一条弦，则sin ∠OBD 等于
( ) A.21 B.43 C.54 D.53
7.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，∠ARC=35°，则∠CAD 的度数是（ ）
A.35°
B.45°
C.55°
D.65°
8.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2,DE 是它的中位线.则下面四个结论:
(1)DE=1; (2)AB 边上的高为3;
(3)△CDE ∽△CAB; (4)△CDE 的面积与△CAB 面积之比为1:4.
其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9如图，AB 是⊙O 的直径,BC,CD,DA 是⊙O 的弦，且BC=CD= DA,则∠BCD=( )
A. 105°
B. 120°
C. 135°
D. 150°
10.下列说法中，正确的是( )
A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D.在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
11.如图所示,AB 是⊙O 的直径,D,E 是半圆上任意两点，连接AD,DE,AE 与BD 相交于点C,要使△ADC 与MAB 相似，可以添加一个条件下列添加的条件中错误的是( )
A.∠ACD=∠DAB
B. AD=DE
C. AD ·AB=CD ·BD
D. AD 2
=BD ∙CD
12.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，尺寸如图。
如果两个三角形的面积分别记作S △ABC ,S △DEF ,，那么它们的大小关系是( )
A.S △ABC >S △DEF
B. S △ABC <S △DEF
C. S △ABC =S △DEF
D.不能确定
二 填空题
13.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，则sinA= . 14如图，在⊙O 中，A,B 是圆上的两点.已知∠AOB=40°，直径CD//AB,连接AC,则∠BAC= 度.
15.已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E,将△ABE 沿AE 向上折叠，使B 点落在AD 上。