第五章 线性定常系统的综合(2010)
第5章_线性定常系统的综合
一、综合问题
给定系统状态空间描述：
Ax Bu, x y Cx
x(0) x0
t 0
(1)
A、B、C均为常阵且给定。 再给出所期望的性能指标：
1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小 （或极大）值的一个性能函数。 综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统 运动的行为满足所给出的期望性能指标。
3. 状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实 际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程 实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能 测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解 决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。 4. 状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原 受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能 控性和能观测性。 5. 输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能 构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。 6. 扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出 反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。
故(A BK)B的列向量可由 [B, AB]的列向量的线性 组合来表示。
结论1证明(续)
同理
2 (A BK) B (A BK)(A BK)B (A BK)(AB BKB)
A 2B ABKB BKAB BKBKB
2 故(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B]的列向量的线性组 合表示。 n 1 以此类推(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B A n 1B]的列向量
受控系统为： Ax Bu x y Cx 反馈控制规律 : u Hy v HCx v
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
线性定常系统的求解
x ax f (t ), x( 0 ) 的 解形式为
x(t ) e at c(t )
代原方程从而求得c(t)为
c(t ) x(0) e a f ( )d
0
t
矩阵微分
d ( PQ ) dP dQ QP dt dt dt
求解
对系统
x Ax(t ) Bu(t )
t0
t
A( t )
Bu( )d
解的构成
x(t ) (t t0 ) x(t0 ) (t ) Bu( )d
t0 t
初始时刻为t0，初始状态为x(t0) 时,零输入响应对应的状态 x0u(t) 响应 u x x Ax(t ) Bu(t ) x0
初始时刻为t0时,零状态 响应对应的状态x0x(t)
取决于初始状态； 是初始状态引起的自由 运动；
取决于输入u(t)； 输入驱动下的强迫运动；
状态转移矩阵的 求解
计算eAt的方法
直接计算级数
应用拉普拉斯变换法计算 应用凯莱-哈密顿定理计算
特征值法
直接计算级数
1 1 2 (t ) e I At ( At ) ( At ) k 2! k!
Case 1. A有n个两两相异的特征值
eห้องสมุดไป่ตู้
i t
0 (t ) 1 (t )i n 1 (t )i
n 1 1 1 n 1 2
n 1
, i 1, , n
0 (t ) 1 (t ) 1 1 n 1 (t ) 1
At
计算时只能取有限项，适用于用计算机求状态转移 矩阵的近似值。
第5章-线性定常系统的综合2
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：
现代控制理论知识点复习
第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式n 阶 Du Cx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，D 直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
现代控制理论习题课五
§5-3 系统镇定问题 主要知识点:
1、系统镇定的定义 2、状态反馈、输出反馈、从输出到状态矢量导数的反馈镇定 条件和有关定理 3、系统镇定反馈控制的设计方法 §5-4 系统解耦问题 主要知识点: 1、解耦的定义 2、实现解耦的方法有：前馈补偿器解耦和状态反馈解耦 3、状态反馈解耦的判据、有关定理、实现方法和设计步骤
则系统的状态线性反馈控制律 u为：
=u Kx + v
f (s=) det[sI − ( A + BK )] = s3 − (3 + k2 )s2 + (2 + 2k2 − k1 − k0 )s +1− k2 + k1 + 2k0
由给定闭环极点-1，-2，-3得
f *(s) = (s +1)(s + 2)(s + 3) = s3 + 6s2 +11s + 6 比较系数得 k0 = 23, k1 = −50, k2 = −9
则系统的状态反馈阵K为：
K = [23 − 50 − 9]
【习题5-2】设系统状态方程为
0 1 0 0
x = 0 −1
1
x
+
0
u
0 −1 −10 10
试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为−10,
−1± j 3
【解】 首先判断系统的能控性。 可判定，此系统完全能控。
状态反馈控制阵为：u = kx + v k = [k0 k1 k2 ]
W0 (s)
=
(s
(s −1)(s + 2) +1)(s − 2)(s + 3)
=
s3
s2 + s − 2 + 2s2 − 5s − 6
现代控制理论课后习题及答案
《现代控制理论》课后习题及答案第一章控制系统的状态空间表达式1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图图1-1 系统结构方块图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2.有电路如图1-3所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图图1-3 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论1-8三习题库
现代控制理论1-8三习题库(总33页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--信息工程学院现代控制理论课程习题清单第二章（单元）：控制系统的状态空间表达式本章节（单元）教学目标：正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。
重点内容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。
要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。
难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。
预习题1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别2.状态、状态空间的概念3.状态方程规范形式有何特点4.状态变量和状态矢量的定义5.怎样建立状态空间模型6.怎样从状态空间表达式求传递函数复习题1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式3.求下列矩阵的特征矢量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2510221-1A4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。
5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。
6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输出关系的系统，表达为状态空间描述。
7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用.8.如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为模态阵。
9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集合。
这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要的。
10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时，则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。
现代控制理论习题集
《现代控制理论》习题第一章 控制系统的状态空间模型1.1 考虑以下系统的传递函数：656)()(2+++=s s s s U s Y试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。
1.2 考虑下列单输入单输出系统：u y y yy 66116=+++试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。
1.3 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ，－－试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。
1.4 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ，－－试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.5 考虑下列矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。
再求变换矩阵P ，使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P第二章 状态方程的解2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A； 2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ； 2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002－－A ； 3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A ； 4） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200010011A ； 6） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210010001A ； 7） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A2.2 给定线性定常系统Ax x=式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310A且初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x试求该齐次状态方程的解x (t )。
2.4 已知系统方程如下[]xy u x x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。
线性定常系统的综合
状态反馈
( A BK ) x Bv x y Cx (A BHC ) x Bv x y Cx
输出反馈
反馈信息上：状态反馈优于输出反馈 状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可观测性
1
0.5
0
-0.5
-1.5
-2
Im [s]平面 Re
Im
[s]平面 Re
2阶系统
2阶系统
3阶系统 1阶系统 1阶系统
3阶系统
期望的极点的选择
– 对于 n 阶系统，必须给出 n 个期望的极点 – 期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数 – 期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求
极点配置：设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组 合理的、具有期望性能指标的极点 经典控制理论
– 超前校正、滞后校正、PID校正，通过改变极点的位置来改 善性能指标，本质上均属于极点配置方法
现代控制理论
– 如何选择状态反馈阵K，使得闭环系统的极点位于期望极点 上
Ax Bu 线性定常系统（单输入单输出） x
4)输出矩阵由C变成(C-DK) ； 系统的瞬态性能主要由系数矩阵A决定。 通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系统达到希望的控制 目的。
D
v
u
B
x
A
K r n
x
C
ym1
一般D=0
Ax Bu x 原系统： y Cx
G( s) C( sI A) 1 B
推论：输出反馈不改变系统的能控性
现代控制理论试题(详细答案)-现控题目
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。
线性系统理论(第五章)
x0 − xe
≤ δ ( ε , t 0 ) 的任一初态 x 0 出发的受扰
S (ε )
S (δ )
运动都同时满足不等式： 运动都同时满足不等式：
φ (t ; x0 , t0 ) − xe ≤ µ
∀ t ≥ t0 + T ( µ ,δ , t0 )
运动的有界性。 运动的有界性。
x0 xe
φ (t ; x0 , t0 )
001
系统运动的稳定性
讨论内部稳定性。 讨论内部稳定性。 李亚普诺夫方法（А.М.Ляпунов) Ляпунов) 李亚普诺夫方法（ 线性系统 定常系统 非线性系统 ； 时变系统 ； 离散时间系统。 离散时间系统。
连续时间系统
002
系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 外部稳定性 考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 u ( t ) ， 考虑一个线性因果系统， 即满足条件： 即满足条件：
G ( t ) 为其脉冲响应矩阵， ˆ ( s ) 为其传递函数矩阵，则系统 G 为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵，
为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 k ， 稳定的充分必要条件是，
j = 1, 2 , L , p ) 均满足关系式： 均满足关系式：
G (t )
的每一个元
大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 大范围渐近稳定为全局渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 小范围渐近稳定为局部渐近稳定。 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外， 大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平 衡点。 衡点。 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定 线性系统渐近稳定==大范围渐近稳定。 大范围渐近稳定。
006
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1 2 0
加入 K 1 0后，闭环系统状态矩阵为
0 1 0 0 1 ( A bK) 1 1 0 0 0 1 0
0 1 rank b ( A bK)b rank 2 1 0
c 0 1 rank rank0 0 1 c( A bK)
定理 输出反馈不改变受控系统 能控性。 证明
a
( A, B, C) 的能观性和
x ( A BHC) x Bu
若把（HC）看成等效的状态反馈阵K，那么状态反馈便保持 受控系统的能控性不变。由能观判别矩阵
C CA Qoo n 1 CA
d
b2
b1
u
+
- -
∫
a2
x3
∫
x2
∫
x1
++ +
b0
y
+
a1
a0
b2 s 2 b1 s b 0 w0 (s) 3 d 2 s a2 s a1 s a0
d
b2
b1
u
+
- -
∫
a2-k2
x3
∫
x2
∫
x1
++ +
b0
y
+
a1-k1
a0-k0
b2 s 2 b1 s b 0 w0 (s) 3 d 2 s (a2 k 2 )s (a1 k1 )s (a0 k 0 )
+
-
1 s 1
y
h
1 1 Wk ( s) s 1 h s 1 h 1 s 1 h 1 s
不能任意配置极点，是输出反馈的缺点。经典控制理论中通过 增加附加校正网络，增加开环零、极点来改变根轨迹。
【课后作业】 试用MATLAB求解上题
5.3
系统镇定
要求通过状态反馈将闭环极点配置在 1* 2, * 2,3 1 j 解：能控标准型 能控。设 K K 0 K1 K 2
a() I ( A bK) 3 (3 k2 )2 (2 k1 ) (k0 )
a * ( ) ( 2)( 1 j )( 1 j )
Qa [ B AB A2 B An1 B ]
Qb B ( A BK ) B ( A BK )2 B ( A BK ) n1 B
第二个矩阵可以看成第一个矩阵由初等变换（列的组合） 得到，初等变换不改变秩。 关于能观性可作如下解释：例如，对单输入——单输出系 统，状态反馈会改变系统的极点，但不影响系统的零点。这样 就有可能使传递函数出现零极点对消现象，因而破坏了系统的 能观性。
状态反馈闭环系统的能控性保持不变，却破坏了能观性
传递函数出现了零极点相消的现象。因为
s 1 0 s 1 w0 ( s ) c( sI A) b 0 1 1 s 2 1 1 s
s 1 0 s 1 wk ( s ) c[ sI ( A bK )] b 0 1 1 s 2 s 0 s
f ( ) 与 f * ( ) 比较，得
k 0 4 2 k1 k 2 6 3 k 4 2
k 0 4, k1 3, k 2 1
K 4 3 1
5.2
极点配置
定理：对完全能控的单输入—单输出系统 a ( A, b, c) ，不能采 用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置 证明：对于输出反馈系统 A [(A bhc),b, c]，闭环传递函数为 w0 (s) 1 wk (s) c[sI ( A bhc)] b 1 hw0 (s)
5.1 线性反馈控制的基本结构
线性、定常、连续系统： x Ax Bu x(t0 ) x0 , t t0 y Cx 系统综合：设计控制器
u + + A
x
B
∫
x
CLeabharlann y几种常提到的控制问题（考虑问题的角度不同）： •以期望的闭环极点作为性能指标，称为极点配置问题； •多输入—多输出系统，实现“一个输入只控制一个输出”， 解耦控制问题； •输出y(t) 跟踪参考信号r(t) 的性能，跟踪（或伺服）问题； •状态x(t)或输出y(t)在外部扰动或其他因素影响下保持其设定值 性能，调节问题； •最优控制：某种指标最优. 如：能量最优、时间最优。
串联分解法，各状态就是各子系统的输出，容易实现
5.2 v -
极点配置
1/s
2
K2 K1 k0
x3
-
1/s
x2
1/s
x1
10
f ( ) det[ I ( A bK )]
0 k0
1 0 1 1 k1 k2 2
3 (3 k2 ) 2 (k1 k2 2) k0
x3
-
1/s
x2
1/s
x1
10
x1 0 x 0 2 x 3 0
1 1 0
0 x1 0 1 x 2 0 u 2 x 3 1
x1 y 10 0 0 x 2 x3
线性定常系统可用状态反馈任意配置极点的充分必要条件：该 系统必须是完全能控的。控制无法改变不能控子空间的极点。
5.2
极点配置
充分性：对于单输入系统，如能控可化为能控I型
x Ax Bu
0 0 A ... 0 a0 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 an 1
即镇定只要求闭环极点都具有负的实部。
5.3 统为渐进稳定
系统镇定
（1）系统(A,B,C)状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系
0 ( A, B, C) 不完全能控
构造非奇异矩阵，进行 x 能控性分解： x R c ~
~ ~ ~ 能控子系统 1 ( A, B , C ), ~ ~ A11 A12 ~ 1 A R c ARc ~ , A22 0 ~ 不能控子系统 B1 ~ 1 B R c B , 0 ~ ~ ~ C CRc C1 C2
系统镇定，对受控系统 0 ( A, B, C) 通过反馈使其极点均有负实 部，保证系统为渐进稳定。 如果一个系统
0
通过状态反馈能使其渐进稳定，则称系统是
状态反馈能镇定的。类似的，也可以定义输出反馈能镇定的概念 镇定问题是极点配置问题的一个特殊情况。镇定只要求闭环极 点配置在复数平面的左半平面内，不必配置在具体指定的位置。
作用：通过k改变闭环系统的特征值，从而改变性能。
wk (s) C[sI ( A BK)]1 B
输出反馈 系统输出变量按照一定的比例关系，反馈到系统的输入端
v + _ B u + _ ʃ A H x C y
u Hy v
闭环系统为
x A Bv BHCx ( A BHC ) x Bv y Cx
特征多项式的每个系数都可以改变！
令其与希望的闭环特征多项式相等，可得 ki ai 1 a*i 1 ，则
K a0 a*0 a1 a*1 an1 a*n1
5.2
极点配置
例
0 0 1 0 x 0 0 1 x 0u , y 1 0 0x 0 2 3 1
第五章 线性定常系统的综合
线性反馈控制系统的基本结构
极点配置问题
系统镇定问题 状态观测器及其应用
综合与设计导论
• 系统的描述：解决系统的建模、各种数学模型(时域、频 域、内部、外部描述)之间的相互转换等； • 系统的分析：研究系统的定量变化规律(如状态方程的解， 即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、 稳定性等)； • 综合与设计：在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。
0 0 B ... 0 1
a1 a2 ...
设计K=[k1 k2 k3 … kn]改变A+BK的最后一行元素，所以可以
任意配置A+BK的特征值；
特征方程的系数
5.2
极点配置
b3
b3 a2b3
b1 a1b3
+ + +
u
+
-
1 y
3 42 6 4 0
Ki ai ai , i 0,1,2
*
k0 4, k1 4, k2 1
5.2
.
U Ｖ － － － － －
极点配置
x3
1/s
x3
1/s
x2
1/s
x1 y
3
2 1
K2
K1
原系统
4 4
K0
状态反馈
5.2
极点配置
串联分解法 v 1/s 2
0 1 0 x x 1 u 1 0 y 0 1 x
解：容易验证原系统使能控且能观的。 因为
rank b 0 Ab rank 1 1 2 0
和
c 0 rank rank cA 1
线性反馈的基本结构
状态反馈 输出反馈
从状态到输出矢量导数的反馈
动态补偿器
状态反馈 把系统状态变量按照一定的比例关系，反馈到系统的输入端
u Kx v
v + _ B u + _ ʃ A K x C y