线性定常系统
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线性定常系统的综合
同理，第三分块 ( A BK )2 B A2 B AB( KB) B( KAB) B( KBKB )
2 它的列可由 B AB A B 的列的线性组合得到；
其余各分块类同。 所以有： rankMc rankMck
2. 状态反馈有可能改变系统的能观性。 例如单输入－单输出系统，状态反馈能改变系统的 极点分布，但不会影响系统的零点分布，这样就有可 能使传递函数出现零、极点相消现象。使系统不再是 既能控又能观的，前面已说明状态反馈不改变系统的 能控性，所以只能是影响系统的能观性了。
无零、极点相消现象，系统仍然是既能控又能观的。
5.2 极点配置
如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极 点配置,即通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的 极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。 问题一，闭环极点可任意配置的条件； 问题二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。
能控性矩阵
0 1 M b Ak b 1 0
满秩，状态反馈系统能控； 不满秩，状态反馈系统不能观；
能观性矩阵： N
c 0 1 0 0 cA k
实际上，此时闭环系统的传递函数为：
s 1 0 1 s 1 0 s Gk ( s) 0 1 2 0 1 2 0 s 1 s 0 s 1 s
Qoh 的每一分块的行由 Qo 相应分块的行线性组 与1一样， Qoh 可以看作是 Qo 经初等变换的结果，而初等 合而成， 变换不改变矩阵的秩，因此能观性不变。
例 系统
0 1 0 x= x+ u 1 0 1 y 0 1 x
系统的传递函数为：
s 1 0 G ( s) c ( sI A) b = 0 1 1 1 s s 1 0 1 s 2 0 1 2 s 1 1 s 1 s 1
2 它的列可由 B AB A B 的列的线性组合得到；
其余各分块类同。 所以有： rankMc rankMck
2. 状态反馈有可能改变系统的能观性。 例如单输入－单输出系统，状态反馈能改变系统的 极点分布，但不会影响系统的零点分布，这样就有可 能使传递函数出现零、极点相消现象。使系统不再是 既能控又能观的，前面已说明状态反馈不改变系统的 能控性，所以只能是影响系统的能观性了。
无零、极点相消现象，系统仍然是既能控又能观的。
5.2 极点配置
如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极 点配置,即通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的 极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。 问题一，闭环极点可任意配置的条件； 问题二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。
能控性矩阵
0 1 M b Ak b 1 0
满秩，状态反馈系统能控； 不满秩，状态反馈系统不能观；
能观性矩阵： N
c 0 1 0 0 cA k
实际上，此时闭环系统的传递函数为：
s 1 0 1 s 1 0 s Gk ( s) 0 1 2 0 1 2 0 s 1 s 0 s 1 s
Qoh 的每一分块的行由 Qo 相应分块的行线性组 与1一样， Qoh 可以看作是 Qo 经初等变换的结果，而初等 合而成， 变换不改变矩阵的秩，因此能观性不变。
例 系统
0 1 0 x= x+ u 1 0 1 y 0 1 x
系统的传递函数为：
s 1 0 G ( s) c ( sI A) b = 0 1 1 1 s s 1 0 1 s 2 0 1 2 s 1 1 s 1 s 1
线性定常系统的线性变换
⎢ ⎢
0
0
0L
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢⎣ − a 0 − a1 − a 2 L − a n −1 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
？ 如何确定变换矩阵P
推导变换矩阵P：
假设变换矩阵P为
[ P =
p
T 1
] p
T 2
M
p
T n
T
P应该满足式（3-227），有
⎡ p1 ⎤ ⎡ 0
1
0L
0 ⎤ ⎡ p1 ⎤
⎢ ⎢
p2
⎥ ⎥
(3 − 208 )
几种常用的线性变换关系
1 化A阵为对角阵
⑴ 设A阵为任意方阵。且有n个互异实特征值 λ1，λ2，…，λn，则可 由非奇异线性变换化为对角阵Λ。
⎡λ1
⎤
⎢ Λ = P−1AP = ⎢
λ2
⎥ ⎥
⎢
O⎥
⎢ ⎣
λn
⎥ ⎦
P阵由A阵的实数特征向量 pi(i=1,2,…,n) 组成
(3 − 209)
⎣
∂p1
∂λ1
∂ 2 p1
∂
λ
2 1
L
∂ m −1 p1
∂
λ
m 1
−1
M
p m +1
L
式中
[ ] p1 = 1
λ1
λ
2 1
L
λ n −1 T 1
⎤ p n ⎥ (3 − 218 )
⎦ (3 − 219 )
J中虚线表示存在一个约当块。式中 p2, p3, …, pm为广义实特征向量，满足
⑶ 设A阵具有五重实特征值 λ1，且只有两个独立实特征向量p1, p2, 其余 为n-5个互异时特征值，A阵约当化的可能形式如下，式中，J中虚线表示存 在两个约当块。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
线性定常连续系统状
, q k a k q k 1 a k k !q 0
q0=x(0)
○ 因此, x(t)的解表达式可写为
x(t) 1a ta 2 2 !t2 ...a kk !tk . .x .(0 )eaxt(0 )
1. 上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态
方程的解。
○ 为此,设其解为t的向量幂级数,即 ● x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…
直接求解法 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
拉氏变换法 讨论非齐次状态方程的解,以及
解表达式的意义 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
输出方程的解 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
目 录
一．直接求解法
○ 将状态方程x’=Ax+Bu移项,可得 ○ x’-Ax=Bu
将上式两边左乘以e-At,则有
线性定常连续系统状态方程的解 ❖ 求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定量分
析的主要方法。
❖ 本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数 运算来描述的定系数常微分方程解理论。
❖ 下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态转移矩 阵这一基本概念。
❖ 该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动态演变) 等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深入理解。
四．对于n n阶的d 方e 阵A tA 和A Be ,A 下t 式e A 仅tA 当,AB =( BtA)时 才A 成(t立) (t)A d t ○ e(A+B)t=eAteBt
五．[Φ(t)]n=Φ(nt) 六．Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)
线性定常连续系统的解(一)
e0tta?21321231adj12122111121222121212siassssssiasiassiassssssssss???????????????????????????????????????????????????解1首先求出矩阵指数函数eat其计算过程为例1试求如下状态方程在初始状态x0下的解0011232?????????????????xxx3状态方程的解为2024e3ete4e6ettattt???????????????xx??????????????????????????e?????????????2????????????ttttttttatsssssssslasil2222111e2ee2e2eee2221122122111211e2计算矩阵指数函数eat
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内 容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
1. 基本定义
定义2-1 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0 时，满足如下矩阵微分方程和初始条件:
’(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中， qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
A(t t0 )
【例1】试求如下状态方程在初始状态x0下的解
0 1 x x 2 3 1 x0 2
解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt，其计算过程为
sI A s 2 3s 2 ( s 1)(s 2) s 3 1 adj( sI A) 1 ( sI A) 2 s sI A ( s 1)( s 2) 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内 容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
1. 基本定义
定义2-1 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0 时，满足如下矩阵微分方程和初始条件:
’(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中， qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
A(t t0 )
【例1】试求如下状态方程在初始状态x0下的解
0 1 x x 2 3 1 x0 2
解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt，其计算过程为
sI A s 2 3s 2 ( s 1)(s 2) s 3 1 adj( sI A) 1 ( sI A) 2 s sI A ( s 1)( s 2) 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
线性定常系统的名词解释
线性定常系统的名词解释简介：线性定常系统是控制理论中的一个重要概念，用于描述一类具有线性特性且不随时间变化的动态系统。
本文将对线性定常系统的相关名词进行解释，包括系统、线性特性、时间不变性以及动态系统。
系统：系统是指由若干组件或元素组成的整体，这些组件相互作用并协同工作，以完成特定功能或实现特定目标。
在线性定常系统中，系统由一组线性方程表示。
这些线性方程可以用来描述系统的输入与输出之间的关系。
线性特性：线性特性是指系统在输入信号和输出信号之间存在线性关系。
简而言之，线性特性意味着系统的响应是输入信号的线性组合。
这一特性使得我们可以通过简单的数学计算来描述和预测系统的行为。
时间不变性：时间不变性是指系统的行为不随时间的变化而改变。
换句话说，系统对于不同的时间点具有相同的响应特性。
这意味着系统的动态行为在不同的时间段内保持不变，使得我们可以建立稳定的控制方法和算法。
动态系统：动态系统是指随着时间变化而产生响应的系统。
在线性定常系统中，系统的动态行为可以通过线性微分方程描述。
动态系统的研究可以帮助我们理解系统在不同初始条件下的响应及其稳定性。
线性定常系统的数学模型通常可以表示为差分方程或微分方程形式。
例如，差分方程形式的线性定常系统可以表示为：y[n] = a0*x[n] + a1*x[n-1] + ... + an*x[n-n]其中，y[n]表示系统的输出信号，x[n]表示系统的输入信号，a0, a1, ..., an表示系统的参数。
这个公式描述了系统对当前输入及过去n个时刻输入的响应。
线性定常系统在控制系统设计、信号处理等领域有着广泛的应用。
通过对系统的线性特性、时间不变性和动态行为进行深入了解，我们可以更好地理解系统的工作原理，并设计出更稳定和有效的控制方法。
总结：本文对线性定常系统的常见名词进行了解释，包括系统、线性特性、时间不变性以及动态系统。
线性定常系统是具有线性特性、时间不变性和动态行为的动态系统，可以通过线性微分方程或差分方程进行建模。
线性系统的运动分析
e At Te AtT1
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
线性定常系统的计算
3
3 1 3
则
2 V ( x) xT Qx x3 0
0 0 K p 1 2 0 p 1 0 1 p
11
12
13
p p p
12
22
23
p p p
13
23
33
p p p
11
12
13
p p p
12
R1x 0 e1t R2 x 0 e2t
Re(i ) 0
i 1,, n
Rn x 0 ent
充分性 当
则x t 中每一项指数将随 t 0 而趋于0，并且对任意 x 0都 成立，系统是渐近稳定的。
现代控制理论
必要性 反证法。设系统渐近稳定，但存在某些i有 Re(i ) 0 ， 且 R i 0 ，则在 x 0 0 时，解 x t 中相应项将无限增 长，系统是不稳定的，与假设矛盾，故必有 Re( i ) 0 。 线性定常系统是渐近稳定的，意味着是一致渐近稳定且 是大范围一致渐近稳定的。 2. 线性时变系统（略）
3 2 2 V ( x) x Px x1 x1 x2 x2 0 2
T
2 V ( x) xT I x x12 x2 0
现代控制理论
例4-9 用李雅普诺夫方程确定使图所示系统渐近稳定的
K值范围。
u(s)
-
K x3(s) 1 x2(s) s 1 s2
现代控制理论
GT PG P Q
并且这个系统的李氏函数是
v x(k ) xT k Px(k )
证明 设所选李氏函数是 v x(k ) xT k Px(k )
3 1 3
则
2 V ( x) xT Qx x3 0
0 0 K p 1 2 0 p 1 0 1 p
11
12
13
p p p
12
22
23
p p p
13
23
33
p p p
11
12
13
p p p
12
R1x 0 e1t R2 x 0 e2t
Re(i ) 0
i 1,, n
Rn x 0 ent
充分性 当
则x t 中每一项指数将随 t 0 而趋于0，并且对任意 x 0都 成立，系统是渐近稳定的。
现代控制理论
必要性 反证法。设系统渐近稳定，但存在某些i有 Re(i ) 0 ， 且 R i 0 ，则在 x 0 0 时，解 x t 中相应项将无限增 长，系统是不稳定的，与假设矛盾，故必有 Re( i ) 0 。 线性定常系统是渐近稳定的，意味着是一致渐近稳定且 是大范围一致渐近稳定的。 2. 线性时变系统（略）
3 2 2 V ( x) x Px x1 x1 x2 x2 0 2
T
2 V ( x) xT I x x12 x2 0
现代控制理论
例4-9 用李雅普诺夫方程确定使图所示系统渐近稳定的
K值范围。
u(s)
-
K x3(s) 1 x2(s) s 1 s2
现代控制理论
GT PG P Q
并且这个系统的李氏函数是
v x(k ) xT k Px(k )
证明 设所选李氏函数是 v x(k ) xT k Px(k )
线性定常系统稳定性分析
如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对 称于虚轴的两对共轭复根。 例 1 (s2 4)(s2 25)(s 2) s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 如: 2 (s2 4)
5/15/2020
21
[处理办法]：可将不为零的最后一行的 系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s 求导所得方程的系数代替全零的行。大 小相等，位置径向相反的根可以通过求 解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数 的。
[解]：劳斯阵如下
s5 1 24 23 s4 2 48 46 s3 0 0 0
s3 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得： Q(s) 2s4 48s2 46或Q(s) s4 24s2 23
其导数为：Q(s) 4s3 48s将4，48或1，12代 替 s3 行，可继续排列劳斯阵如下：
s5 1 24 23 s4 1 24 23 s3 1 12 0
特征方程为：s3 3s2 2s k 0
5/15/2020
26
劳斯阵： s3 1 2 s2 3 k 6k s1 3 0 s0 k
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 0
②劳斯阵第一列皆大于0
有2
k 3
0
k
6
0
k
6
k 0
所以，临界放大系数 Kp 6
5/15/2020
27
确定系统的相对稳定性（稳定裕度）
10
充要条件说明
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0, s
a0 a1
,
只要a0 , a1都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
5/15/2020
21
[处理办法]：可将不为零的最后一行的 系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s 求导所得方程的系数代替全零的行。大 小相等，位置径向相反的根可以通过求 解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数 的。
[解]：劳斯阵如下
s5 1 24 23 s4 2 48 46 s3 0 0 0
s3 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得： Q(s) 2s4 48s2 46或Q(s) s4 24s2 23
其导数为：Q(s) 4s3 48s将4，48或1，12代 替 s3 行，可继续排列劳斯阵如下：
s5 1 24 23 s4 1 24 23 s3 1 12 0
特征方程为：s3 3s2 2s k 0
5/15/2020
26
劳斯阵： s3 1 2 s2 3 k 6k s1 3 0 s0 k
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 0
②劳斯阵第一列皆大于0
有2
k 3
0
k
6
0
k
6
k 0
所以，临界放大系数 Kp 6
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27
确定系统的相对稳定性（稳定裕度）
10
充要条件说明
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0, s
a0 a1
,
只要a0 , a1都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
线性定常系统的稳定性
的。如果劳斯表中第一列出现负元素，第一列元素符号变
化次数就是特征方程式在右半s平面上根的个数，相应的
系统不稳定。
例 3-5 设系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 5 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性，若不稳定指出右根数。
解：列劳斯表
s4
1
3
5
s3
2
4
0
s2
1
5
0
s1
-6
0
0
s0
系统的稳定性
(1)若劳斯表第一列元素中的符号有变化，其变化的
次数就等于系统在s右半平面上根的数目，相应
的系统为不稳定。
(2)如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，
则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系
统也属不稳定。
请看例题
例 已知系统的特征方程式为
当且仅当系统全部闭环极点都具有负的实部而 分布在左半s平面时，系统稳定。当系统有一个或一 个以上的正实根时，系统不稳定。如果系统的部分 特征根为纯虚根，位于平面的虚轴上，而其余特征 根均位于左半s平面时，系统临界稳定。
线性系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征 根都具有负实部或都位于s的左半平面 ，则系统是稳 定的。
a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
将各项系数，按下面的格式排成劳斯表
sn
a0
a2
a4
a6
sn-1
a1
a3
a5
a7
sn-2
b1
b2
b3
b4
sn-3
c1
c2
c3
c4
……………
s2
e1
e2
s1
f1
化次数就是特征方程式在右半s平面上根的个数，相应的
系统不稳定。
例 3-5 设系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 5 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性，若不稳定指出右根数。
解：列劳斯表
s4
1
3
5
s3
2
4
0
s2
1
5
0
s1
-6
0
0
s0
系统的稳定性
(1)若劳斯表第一列元素中的符号有变化，其变化的
次数就等于系统在s右半平面上根的数目，相应
的系统为不稳定。
(2)如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，
则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系
统也属不稳定。
请看例题
例 已知系统的特征方程式为
当且仅当系统全部闭环极点都具有负的实部而 分布在左半s平面时，系统稳定。当系统有一个或一 个以上的正实根时，系统不稳定。如果系统的部分 特征根为纯虚根，位于平面的虚轴上，而其余特征 根均位于左半s平面时，系统临界稳定。
线性系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征 根都具有负实部或都位于s的左半平面 ，则系统是稳 定的。
a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
将各项系数，按下面的格式排成劳斯表
sn
a0
a2
a4
a6
sn-1
a1
a3
a5
a7
sn-2
b1
b2
b3
b4
sn-3
c1
c2
c3
c4
……………
s2
e1
e2
s1
f1
《自动控制原理》线性定常连续系统的可控性判据
•
x = A x+ Bu
其中
J1
A =
( nn )
J2
B
Jl
， (n p)
=
B
1
B2
B
l
J i1
Bi1
Ji
=
( i i )
Ji2
B
J
i i
，i ( i p)
=
Bi2
Bii
i
Jik
(rik rki )
=
1
i
1
b
1ik
,
1
Bik
rankS0 = 1 = q ，故输出可控。
五．线性定常连续系统的可观测性判据
考虑输入u=0时系统的状态方程和输出方程
•
x = Ax, x(0) = x0 ,t 0, y = Cx
其中，x为n维；y为q维；A和C分别为 和 的常值矩阵。
（9-124）
1．秩判据 线性定常连续系统（9-124）完全可观测的充分必要
)
x1
+
1u L
•
x2
=
−1 C
( R1
1 +
R2
−
R3
1 +
R4
)x2
可控性矩阵为
S = [b
1
Ab]
=
L 0
−
1 L2
( R1R2 R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
)
0
rankS = 1 n ，系统不可控，u 不能控制 x2, x2 是不可控状态变量。
例9-21 判别下列系统的可控性：
n−1
简称为线性定常系统
●举例1：RC电路，如果输
入电压是随时间变化的
uc (t )，其输出是随时间变
化的电压 ur (t ) ,则可建立输入和输出之间的 微分方程： u (t ) RC du c (t ) u (t )
r
dt
Hale Waihona Puke c线性系统动态特性-举例
举例2：RLC电路，如果 输入电压是随时间变化 的 uc (t ) ，其输出是随 时间变化的电压 ur (t ) ,则可建立输入和输出之间 的微分方程：
动态特性（续）
●我们仅讨论线性、时不变，简称为线性定常系统，
就是可以用常微分方程描述的系统。 因为：对线性定常系统进行分析的理论和方法最 为基础、最成熟，同时其它系统通过某种假设后可近 似作为线性定常系统来处理。 近似性:非线性系统近似为线性系统;高阶系统近 似为低阶系统;时变系统近似为常系数系统;非平稳随 机过程近似为平稳随机过程等.
3.1测试系统的描述
● ●
1、静态特性
2、动态特性
动态特性
●系统模型的划分 线性系统与非线性系统 线性系统:具有叠加性、均匀性的系统 连续时间系统与离散时间系统 连续时间系统:输入、输出均为连续函数.描述系 统特征的为微分方程. 离散时间系统:输入、输出均为离散函数.描述系 统特征的为差分方程. 时变系统与时不变系统: 由系统参数是否随时间而变化决定.
引起的输出为
y(t ) y0e
j (0t )
频率保持特性的含义
●线性系统具有频率保持特性的含义是输入信号的频
率成分通过线性系统后仍保持原有的频率成分。如 果发现输入和输出信号的频率成分不同，则该系统 就不是线性系统。
非线性系统 特性
输出信号
如余弦信号通过非线性 系统（二极管），则输 出被整流，其频率成分 被改变。
入电压是随时间变化的
uc (t )，其输出是随时间变
化的电压 ur (t ) ,则可建立输入和输出之间的 微分方程： u (t ) RC du c (t ) u (t )
r
dt
Hale Waihona Puke c线性系统动态特性-举例
举例2：RLC电路，如果 输入电压是随时间变化 的 uc (t ) ，其输出是随 时间变化的电压 ur (t ) ,则可建立输入和输出之间 的微分方程：
动态特性（续）
●我们仅讨论线性、时不变，简称为线性定常系统，
就是可以用常微分方程描述的系统。 因为：对线性定常系统进行分析的理论和方法最 为基础、最成熟，同时其它系统通过某种假设后可近 似作为线性定常系统来处理。 近似性:非线性系统近似为线性系统;高阶系统近 似为低阶系统;时变系统近似为常系数系统;非平稳随 机过程近似为平稳随机过程等.
3.1测试系统的描述
● ●
1、静态特性
2、动态特性
动态特性
●系统模型的划分 线性系统与非线性系统 线性系统:具有叠加性、均匀性的系统 连续时间系统与离散时间系统 连续时间系统:输入、输出均为连续函数.描述系 统特征的为微分方程. 离散时间系统:输入、输出均为离散函数.描述系 统特征的为差分方程. 时变系统与时不变系统: 由系统参数是否随时间而变化决定.
引起的输出为
y(t ) y0e
j (0t )
频率保持特性的含义
●线性系统具有频率保持特性的含义是输入信号的频
率成分通过线性系统后仍保持原有的频率成分。如 果发现输入和输出信号的频率成分不同，则该系统 就不是线性系统。
非线性系统 特性
输出信号
如余弦信号通过非线性 系统（二极管），则输 出被整流，其频率成分 被改变。
第五章(线性定常系统的综合)
能控。 不能观。
0 rank( N ) rank 0
1 1 0
2、输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性
§5.2 极点配置问题
给出系统的期望极点，确定增益矩阵。 一、采用状态反馈 1、定理 采用状态反馈对系统Σ0（A,b,C）任意配置极点的充要条件是： Σ0完全能控。 2、给定极点，求状态反馈增益K
13 可得 G 40 1 2 s
§5.3 系统的镇定、解耦和状态观测器
一、系统的镇定 系统镇定： Σ0（A,B,C）通过反馈使其极点均具有负实部，保证系 统为渐近稳定。 系统状态反馈能镇定： Σ0（A,B,C）通过状态反馈使其极点均具有 负实部，保证系统为渐近稳定。 系统输出反馈能镇定： Σ0（A,B,C）通过输出反馈使其极点均具有 负实部，保证系统为渐近稳定。 二、系统解耦 1、概念 使具有输入和输出个数相同的MIMO系统的每一输出只受一个输入 控制，称为系统的解耦。 2、实现方法 ①使用前馈补偿器 (见 P183 图5-9)
比较有
3 K 2 4 2 K1 6 K 4 0
得
K [ 4
4
1]
注意：当状态空间表达式不同时，结果亦不同。 二、采用输出反馈 定理1： 对于完全能控的SISO系统Σ0（A,b,C），不能采用输出线 性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。 定理2：对于完全能控的SISO系统Σ0（A,b,C），通过带动态补偿 器的输出反馈实现闭环系统极点的任意配置的充要条件是： ① Σ0完全能观； ②动态补偿器的阶数为n-1。
. ~
~
其解为： x e ( AGC )t x(0) ①若 x(0) 0 ②若 x(0) 0
~
~
~
线性定常控制系统的数学模型
第三十八章线性定常控制系统的数学模型第一节控制系统模型的构成一、控制系统的模型描述控制系统动态特性的数学表达式称为系统的数学模型，它是分析和设计系统的依据。
数学模型应当既能足够准确地反映系统的动态特性，又具有较简单的形式。
实际系统都程度不同地存在非线性和分布参数特性，如果这些因素影响不大，则可忽略不计。
在正常工作点附近变化时，可以用线性化模型来处理；但当系统在大范围内变化时采用线性化的模型就会带来较大误差。
可以根据系统内部的变化机理写出有关的运动方程，或者通过实验测取系统的输入!输出数据，然后对这些数据进行处理，从而建立系统的数学模型。
前者是机理法，后者是测试法，又称系统辨识。
二、微分方和差分方程微分方程是连续系统最基本的数学模型，可按下列步骤建立："!将系统划分为单向环节，并确定各个环节的输入量、输出量。
单向环节是指后面的环节无负载效应，即后面的环节存在与否对该环节的动态特性没有影响。
#!根据系统内部机理，通过简化、线性化、增量化建立各个环节的微分方程。
$!消去中间变量，保留系统的输入量、输出量，得出系统的微分方程。
%!整理成标准形式，将含输出量的项写在方程左端，含输入量的项写在右端，并将各导数项按降阶排列。
设&!’，则单输入!单输出系统的微分方程的一般形式为(（"）（)）*+"(（&!"）（)）*…*+&!"(!（)）*+&(（)）,-./（’）（)）*-"/（’!"）（)）*…*-’!"/!（)）*-’/（)）（$0!"）离散系统在某一时刻12的输出(（1），可能既与同一时刻的输入与同一时刻的输入/（1）有关，又与过去时刻的输入(（1!"），…，/（1!’）有关；而且还与过去时刻的输出/（1!"），…，(（1!&）有关。
因此，&!’时，输入和输出之间的关系可表示为#（$）*%"#（$!"）*…*%"#（$!"）,&.’（$）*&"’（$!"）*…*&(’（$!(）（$0!#）不失一般性，可以假定/（1）,.，(（1）,.，13.。
线性定常系统的综合
状态反馈
( A BK ) x Bv x y Cx (A BHC ) x Bv x y Cx
输出反馈
反馈信息上：状态反馈优于输出反馈 状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可观测性
1
0.5
0
-0.5
-1.5
-2
Im [s]平面 Re
Im
[s]平面 Re
2阶系统
2阶系统
3阶系统 1阶系统 1阶系统
3阶系统
期望的极点的选择
– 对于 n 阶系统，必须给出 n 个期望的极点 – 期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数 – 期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求
极点配置：设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组 合理的、具有期望性能指标的极点 经典控制理论
– 超前校正、滞后校正、PID校正，通过改变极点的位置来改 善性能指标，本质上均属于极点配置方法
现代控制理论
– 如何选择状态反馈阵K，使得闭环系统的极点位于期望极点 上
Ax Bu 线性定常系统（单输入单输出） x
4)输出矩阵由C变成(C-DK) ； 系统的瞬态性能主要由系数矩阵A决定。 通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系统达到希望的控制 目的。
D
v
u
B
x
A
K r n
x
C
ym1
一般D=0
Ax Bu x 原系统： y Cx
G( s) C( sI A) 1 B
推论：输出反馈不改变系统的能控性
第四章 线性定常系统的可控性和可测性
• 若系统哪怕只有一个状态变量在任意初始
时刻 t0 时的值不能由系统输出唯一地确定, 则称系统状态不完全可观.
2.可观性判据
• 判据定理1.
• 线性定常系统
x Ax Bu y Cx Du
• 或简称为∑(A,B,C,D) • 状态可观的充要条件是可观性矩阵 必须满秩,即 rank (QO ) n
2.单变量系统的可观标准形
• 定理2.设系统∑(A,b,c,d)可观,则可通过等价变 ˆ换 x p 1 x 将其化成如下可观标准形式. 0 0 | a 0
__ 1 ˆ x 0 0 __ 0 1 0 __ __ 0 0 1 | __ 1 | a1 ˆ x u | a2 2 | | an 1 n 1
y 0
ˆ 1 n1 x du
• 其中
1 a 1 O n 1 p An 1b Ab b a2 a3 1 a1 a2 an 1 1
• 由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的
改变B阵为 2 0T时,则 x1 可控,而 x2 是控制u通过 x1
而达到间接控制 x2 的目的.
• 显然,由于状态之间的关联性以及状态对系
统特性的不同影响作用,所以可控性是十分
重要的.
(2)可观性
• 可观性指的是,从系统的输出中能否观测到
系统的内部信息,或者说能否量测到状态信 息的一种特性,这无论对于了解系统的运行 情形还是取得状态信息用作控制都是完全 必要的.
• 可控性判据定理二(对角形) • 线性定常系统∑(A,B)具有互不相同的特征
9.3 线性定常系统的响应
输出方程的解
18
1. 直接求解法
将状态方程 x’ Ax Bu 移项, 可得 x’ Ax Bu 将上式两边左乘以 eAt，则有 eAt[x’ Ax] eAtBu 即 d(eAtx)/dt eAtBu 在区间[t0, t]内对上式积分, 则有
t
t0
t d A e x ( ) d e A Bu( )d t d
1 a a2 a k 1 ( s a)1 2 3 ... k ... s s s s a 2t 2 ak t k e at 1 at ... ... 2! k!
L[e ] (s a) ，或 e L [(s a) ]
at at
10
x (t ) t t x (t0 )
0
的解, 也就是由初始时刻 t0 的初始状态 x(t0) 所引起的 无输入强迫项(无外力)时的自由运动 (free motion)
4
状态方程的求解方法
1. 级数展开法 series expansion
先观察标量常微分方程
x(t ) ax(t )
6
下面考虑向量状态方程的求解 为此, 设其解为t 的向量幂级数, 即 x(t) q0 q1t q2t2 … qktk … 式中, qk (k 1, 2, ...)为待定级数展开系数向量 将所设解代入该向量状态方程 x’ Ax, 可得 q1 2q2t 3q3t2 … kqktk-1 …
a q1 q0 , 1! a a2 q2 q1 q0 , 2 2! a ak , qk qk 1 q0 k k!
令x(t)的解表达式中 t 0, 可确定 q0 x(0) 因此, x(t)的解的表达式可写为
18
1. 直接求解法
将状态方程 x’ Ax Bu 移项, 可得 x’ Ax Bu 将上式两边左乘以 eAt，则有 eAt[x’ Ax] eAtBu 即 d(eAtx)/dt eAtBu 在区间[t0, t]内对上式积分, 则有
t
t0
t d A e x ( ) d e A Bu( )d t d
1 a a2 a k 1 ( s a)1 2 3 ... k ... s s s s a 2t 2 ak t k e at 1 at ... ... 2! k!
L[e ] (s a) ，或 e L [(s a) ]
at at
10
x (t ) t t x (t0 )
0
的解, 也就是由初始时刻 t0 的初始状态 x(t0) 所引起的 无输入强迫项(无外力)时的自由运动 (free motion)
4
状态方程的求解方法
1. 级数展开法 series expansion
先观察标量常微分方程
x(t ) ax(t )
6
下面考虑向量状态方程的求解 为此, 设其解为t 的向量幂级数, 即 x(t) q0 q1t q2t2 … qktk … 式中, qk (k 1, 2, ...)为待定级数展开系数向量 将所设解代入该向量状态方程 x’ Ax, 可得 q1 2q2t 3q3t2 … kqktk-1 …
a q1 q0 , 1! a a2 q2 q1 q0 , 2 2! a ak , qk qk 1 q0 k k!
令x(t)的解表达式中 t 0, 可确定 q0 x(0) 因此, x(t)的解的表达式可写为
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输出信号 是指被控对象中要求按一定规律变 化的物理量，又称被控量，它与输入量之间保 持一定的函数关系。 反馈信号 由系统(或元件)输出端取出并反向送 回系统(或元件)输入端的信号称为反馈信号。 反馈有主反馈和 局部反馈之分。
偏差信号 它是指参考输入与主反馈信号之差。 误差信号 指系统输出量的实际值与期望值之 差，简称误差。 扰动信号 简称扰动或干扰，它与控制作用相 反，是一种不希望的、影响系统输出的不利因 素。扰动信号既可来自系统内部，又可来自系 统外部，前者称内部扰动，后者称外部扰动
如果一个系统具有下列性质： (1)输入x1(t)产生输出 y1(t)； (2)输入x2(t)产生输出y2(t) ； (3)输入c1x1(t)+c2x2(t)产生输出c1y1(t)+ c2y2(t) ； 其中，x1(t) 、x2(t) 是任意输入信号，c1、 c2是任意常数，则系统是线性系统。
220
u
E
电热丝 +
自动温控控制系统构成框图
期望温度 +
u
_
ub
ur
电压放大器
功率放大器
电机、减速器、 调压器
实际温度 炉子
热电偶
控制系统的组成
被控对象 测量元件
控制系统 比较元件 放大元件 执行机构 校正装置 给定元件
控制装置
典型的反馈控制系统的结构
名词术语
输入信号 也叫参考输入，给定量或给定值， 它是控制着输出 量变化规律的指令信号。
二、自动控制系统的构成
温控系统-人工控制
控制目标：要求炉子的温度恒定在期望的数 值上。 控制过程：
输入信号 （期望炉温） 脑 （计算、比较） 放大、执行 （手臂、手） 测量 （眼睛） 被控对象 （电热丝、炉子） 输出信号 （实际炉温）
温控系统-自动控制
炉子 热电偶 _
ub
给定信号 _ +
ur
电动机 电压 放大器 功率 放大器 + _ 减速器 调压器
2 开环控制方式 控制装置与被控对象之间只有顺向作 用而没有反向联系的控制过程。
3 顺馈控制方式
二、控制系统的分类
1 按输入信号的特征分类 恒值控制系统（或称自动调节系统、自动镇定 系统） 特点：输入信号是一个恒定的数值。 工业生产中的恒温、恒压等自动控制系统都属 于这一类型。
恒值控制系统可看成输入等于常值的过程控
第一章
绪论
第1小节 控制系统的基本构成
一、什么是自动控制
1) 自动控制 在没有人直接参与的情况下，利用外加的 设备或控制装置使整个生产过程或工作机 械自动地按预定的规律运行，或使它的某 些物理量按预定的要求发生变化。
18世纪瓦特设计蒸汽机速度自动控制
自动控制技术广泛应用
2)自动控制理论 是研究自动控制系统组成，进行系统分析 设计的一般性理论；
智能控制
基于人工智能技术应用，在近年来新发 展起来的一种控制技术，它的指导思想是依 据人的思维方式和处理问题的技巧，解决那 些目前需要人的智能才能解决的复杂的控制 问题。 它是一门新兴的控制学科，能运用人们 的经验与技巧解决许多以往控制中难以解决 的棘手问题(如建模等)，因此得到了人们极 大的重视。
• 智能控制理论(20世纪70年代) 专家系统 模糊控制 神经网络 遗传算法
经典控制理论
以传递函数为基础的经典控制理论，研究 的主要对象是单输入-单输出的单变量、线性 定常系统。
如：调节电压改变电机的速度；调整方向以状态空间模型为基础，研究的主要对象 是多输入-多输出的多变量、变参数系统。 如：汽车看成是一个具有两个输入（驾驶 盘和加速踏板）和两个输出（方向和速度）的 控制系统。 计算机科学地发展，极大地促进了控制 科学地发展
第一章
绪论
第2小节 控制系统的设计
一、自动控制的基本方式
1 反馈控制方式 按偏差进行控制，具有抑制扰动对被控 量产生影响的能力和较高的控制精度。
负反馈原理
将系统的输出信号引回输入端，与输入 信号相比较，利用所得的偏差信号进行控制， 达到减小偏差、消除偏差的目的。 是闭环控制系统的核心 闭环(反馈)控制系统的特点： •系统内部存在反馈，信号流构成闭回路 •偏差起调节作用
是研究自动控制过程共同规律的技术学科。 3)自动控制系统 是指实现上述控制目的，由相互制约的各
部分按一定规律组成的具有特定功能的整体。
4) 自动控制理论发展的三个理论阶段 • 经典控制理论(19世纪初) 时域法 复域法 (根轨迹法) 频域法 • 现代控制理论(20世纪60年代) 线性系统 自适应控制 最优控制 鲁棒控制 最佳估计 容错控制 系统辨识 大系统复杂系统
在随动系统中，如果被控量是机械位移 或其导数时，这类系统称之为伺服系统。如 机床、电梯。
2 按系统的线性特性分类
线性系统 组成系统的全部元件都是线性元件，它 们的输入-输出的静态特性均为线性，这类 系统的运动可由常系数的微分方程（或差 分方程）来描述。 叠加性质 齐次性(比例)
叠加原理与线性控制系统
揭示系统的内在规律， 实现在一定意义下的最 优控制与设计
大系统控制理论
是一种控制与信息处理相结合的动态系统 工程理论，研究的对象具有规模庞大、结构复 杂、功能综合、目标多样、因素众多等特点。 它是一个多输入、多输出、多干扰、多变量的 系统。
如：人体，我们就可以看作为一个大系统， 其中有体温的控制、情感的控制、人体血液中 各种成分的控制等等。 大系统控制理论目前仍处于发展阶段。
经典控制理论与现代控制理论比较
经典控制理论 研究对象 现代控制理论 线性定常系统 线性、非线性、定常、时 （单输入、单输出） 变系统（多输入、多输出） 传递函数 （输入、输出描述） 根轨迹法和频率法
系统分析及给定输 入、输出情况下的 系统综合
描述方法
研究办法 研究目标
向量空间 （状态空间描述）
状态空间法
制系统,系统反应的灵敏性(惯性)问题非主 要矛盾，主要考察抗干扰的问题。
随动控制系统
系统的输入量(控制量)是预先未知的随时 间任意变化的函数，要求被控量以尽可能小的 误差跟随控制量的变化，故又称为跟随系统。 在随动系统中，扰动的影响是次要的，系 统分析、设计的重点是研究被控量跟随的快 速性和准确性，系统灵敏性成为主要矛盾。