“梁慧冰：现代控制理论基础”5线性定常系统的综合

即具有任意逼近速度的充要条件是，原系统为 状态完全能观测。
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能观测 标准II 型：
0 0 0 0
1 0 0
1
A
T 1 o2
ATo
2
0
1
0
2
,
0 0 1 n1
C CTo2 [0 0 1]
能观测标准型 下状态观测器 的系统矩阵：
0 0 0 1 0 0
(0 ke1 )
0
sI 2 Aˆ 22
sI1 ( Aˆ11 Bˆ1kˆ1 ) sI2 Aˆ 22
能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定。 要求渐近稳定
20
5.4状态重构与状态观测器的设计
状态重构：
不是所有的系统状态物理上都能够直接测量
得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和 输出y来估计系统状态 。
状态观测器：
A
K
原受控系统
0
( A, B,C )
：
x y
Ax Bu Cx Du
线性反馈规律：u v Kx
5
三、带状态观测器结构的控制系统
状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。
需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。
状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变
输出反馈系统状态空间描述为：
x yLeabharlann (A CxHC)
x
Bv
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定理：输出到状态微分的反馈，其极点任意配置条件为原
系统状态可观测。
定理证明方法1：若系统 (A, B,C) 状态可观测，则其对偶系统 (AT ,CT , BT ) 状态能控，根据状态反馈系统特性，对
偶系统矩阵 AT CT H T 特征值可以任意配置，而
k2
)
1
k1
1 k1 5 k2 6 k3
（3）计算期望的特征多项式
f *( ) ( 2 4 j)( 2 4 j)( 10) 3 142 60 200
（4）确定K阵
由 f *( ) f ( ) 得：6 k3 14, 5 k2 60, 1 k1 200 求得：k1 199, k2 55, k3 8
结论2：由于输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量， 所以输出反馈是部分状态反馈，适合工程应用，性能较状态反 馈差。
结论3：由于反馈引自系统输出，所以不影响系统的可观测性。 古典控制中常采用的反馈形式。
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5.3 带状态反馈系统的综合
一、系统的数学描述
状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送 到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
0 0 1 n1
C 0 0 1
9
引入反馈阵：H h0
能观测标准型下输出 到状态微分的反馈系 统矩阵：
h1 hn1T0
1
A HC 0
0
0 0 1
0
0 0 0 1
0 h0 1 h1
2 h2
n1 hn1
反馈后，仍然为能观测标准II型。其输出到状态微分的反馈系 统特征方程为：
(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式： f () det[I (A BK )]
(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
f
* (
)
（
1（)
2
)（
n
)
n
a n1 n1
a1
a0
(4)由 f ( ) f *( ) 确定反馈矩阵K： K [ k1 k2 kn ]
1、闭环极点任意配置的条件
定理5-4：(极点配置定理) 对线性定常系统0 ( A, B,C ) 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意 配置的充要条件是：0 ( A, B,C ) 状态完全能控。
注意：矩阵 A BK 的特征值就是所期望的闭环极点。
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2、极点配置算法 1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3时）
AT CT H T 的特征值和 AT CT HT T A HC一致。
所以，当且仅当 (A, B,C) 状态可观时，A HC 极点可任意配置
定理证明方法2：系统能观测，则化为第二能观测标准型。
0 1 0
1 0 1
能观测标准II型：
A
T 1 o2
ATo2
0
1
0
0
1
2
,
第五章 线性定常系统的综合
1
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
带输出反馈结构的控制系统 带状态反馈结构的控制系统 带状态观测器结构的控制系统 解耦控制系统
2
一、带输出反馈结构的控制系统
1、输出到系统输入端的反馈
将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考
输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
u B x x C y
0
A
g
B
xˆ
Ke
xˆ C yˆ
A
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状态观测器的存在条件：
状态观测器能否起作用的关键：
观测器在任何初始条件下，都能够无误差地重构
原状态。
Lim( x xˆ ) 0
t
存在条件
存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐 近稳定的。
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状态观测器极点配置条件和算法：
由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理： 定理5-6：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，
Y (s)
C(sI
A)1 B
D
U(s)
G22
0
Gmm
7
5.2 带输出反馈系统的综合
一、反馈至输入矩阵B后端的系统
将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。
v
x
B u
x C
y
A
H
原受控系统
0
( A, B,C )
：
x y
Ax Cx
Bu
输出反馈控制规律：u Bv Hy
n1
CA
0
0 1 C
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(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：
f
* (
)
（
1（)
2
)（
n
)
n
a n1 n1
a1
a0
(4)直接写出在第二能观测标准型下观测器的反馈矩阵：
Ke ke1
ke 2
ken T 0 0
a1 a1
n1
n1
T
(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：
D
v
x
u
B
x
C y
A
K
原受控系统
0
( A, B,C )
：
x y
Ax Bu Cx Du
线性反馈规律：u v Kx
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状态反馈闭环系统：
x y
(A (C
BK )x DK )x
Bv Dv
k11 k12 k1n
反馈增益矩阵：K
k21
k22
k2
n
kr
1
kr 2
krn
一、状态观测器的原理和构成 如果 x Ax Bu, y Cx 是状态完全能观测的，那么根据输出y的测 量，可以唯一地确定系统的初始状态 x0 ，而系统任意时刻的状态：
t
所以只要满足一x(定t) 的条(t件)x，0 即0 可(从t 可 )测Bu量( y)d和 u中把t x间0 接重构出来。
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一、全维状态观测器的设计
定理证明：
按照能控性分解：Aˆ
Rc1 ARc
Aˆ 11
0
Aˆ 12 Aˆ 22
Bˆ
Rc1 B
Bˆ 1
0
引入状态反馈后，系统矩阵变为：Aˆ
Bˆ Kˆ
Aˆ 11
Bˆ 1kˆ1
0
Aˆ 12
Bˆ1kˆ2 Aˆ 22 19
闭环系统特征多项式为：
sI ( Aˆ Bˆ Kˆ ) sI1 ( Aˆ11 Bˆ1kˆ1 ) ( Aˆ12 Bˆ1kˆ2 )
状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控 制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现
的模拟动力学系统。
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状态重构： 不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的 可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态 。 状态观测器： 状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态 变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。
(1
ke2 )
A－KeC 0 1
0
(2
ke3 )
0 0 1 (n1 ken)
与输出到状态微分的反馈相似。
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状态观测器的设计步骤： 1、第二能观标准型法（维数较大时，n>3时，适合计算机求解）
(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。
(2)确定将原系统化为第二能观测标准型
该系统是状态完全能控的，通过状态反馈，可任意进行极点配置。
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（2）计算闭环系统的特征多项式
设状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3 ]
0 0 0 1 0 0
f ( ) | I A BK | 0
0
0
0
1
0[k1
k2
k3 ]
0
0
1 5 6 1
1 0
0
1
3
(6
k3
)2
(5
f ( ) I ( A HC ) n (an1 hn1 )n1 (a1 h1 ) (a0 h0 ) 0 由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。
结论：输出到状态微分的反馈不该变系统能观性，不改变系统的 零点。任意配置后，零极点对消可能导致能控性发生变化