5线性定常系统的综合(刘豹加强版)概论
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线性定常系统的综合
(5-17)
15
比较上述两种基本形式的反馈可以看出，输 出反馈中的 HC 与状态反馈中的 K 相当。但由于 m<n ，所以 H 可供选择的自由度远比 K 小，因而 输出反馈只能相当于一种部分状态反馈。只有当 C=I时，HC=K，才能等同于全状态反馈。
因此，在不增加补偿器的条件下，输出反馈 的效果显然不如状态反馈系统好。但输出反馈在 技术实现上的方便性则是其突出优点。
k A BK , B, C
可见，状态反馈阵 K 的引入，并不增加系统 的维数，但可通过 K 的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
10
5.1.2 输出反馈
输出反馈是采用输出矢量 y 构成线性反馈律。 在经典控制理论中主要讨论这种反馈形式。
11
受控系统 0 A, B, C , D
可见引入状态反馈 K=[-1 0] 后，闭环系统保 持能控性不变，却破坏了系统的能观性 。
28
实际上这反映在传递函数上出现了零极点相 消现象。
因为
s 1 0 1 s W0 s csI A b 0 1 2 1 s 1 s 1
23
同理，第三块
A BK 2 B A2 B ABKB BKAB BKBKB
的列矢量可用[B AB A2B]的线性组合表示。 其余各分块类同。 因此 Qck可看作是由 Qc0经初等变换得到的， 而矩阵作初等变换并不改变矩阵的秩。所以Qck与 Qc0 的秩相同，定理得证。
u H Cx Du v HCx HDu v
(5-10)
整理得
u I HD1 HCx v
(5-11)
再把式(5-11)代入(5-7)求得
第5章_线性定常系统的综合
一般控制作用规律常取反馈的形式。
一、综合问题
给定系统状态空间描述：
Ax Bu, x y Cx
x(0) x0
t 0
(1)
A、B、C均为常阵且给定。 再给出所期望的性能指标：
1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小 （或极大）值的一个性能函数。 综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统 运动的行为满足所给出的期望性能指标。
3. 状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实 际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程 实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能 测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解 决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。 4. 状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原 受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能 控性和能观测性。 5. 输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能 构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。 6. 扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出 反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。
故(A BK)B的列向量可由 [B, AB]的列向量的线性 组合来表示。
结论1证明(续)
同理
2 (A BK) B (A BK)(A BK)B (A BK)(AB BKB)
A 2B ABKB BKAB BKBKB
2 故(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B]的列向量的线性组 合表示。 n 1 以此类推(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B A n 1B]的列向量
受控系统为： Ax Bu x y Cx 反馈控制规律 : u Hy v HCx v
一、综合问题
给定系统状态空间描述：
Ax Bu, x y Cx
x(0) x0
t 0
(1)
A、B、C均为常阵且给定。 再给出所期望的性能指标：
1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小 （或极大）值的一个性能函数。 综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统 运动的行为满足所给出的期望性能指标。
3. 状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实 际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程 实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能 测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解 决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。 4. 状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原 受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能 控性和能观测性。 5. 输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能 构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。 6. 扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出 反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。
故(A BK)B的列向量可由 [B, AB]的列向量的线性 组合来表示。
结论1证明(续)
同理
2 (A BK) B (A BK)(A BK)B (A BK)(AB BKB)
A 2B ABKB BKAB BKBKB
2 故(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B]的列向量的线性组 合表示。 n 1 以此类推(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B A n 1B]的列向量
受控系统为： Ax Bu x y Cx 反馈控制规律 : u Hy v HCx v
线性定常系统的综合
经典控制理论和现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式：
经典控制理论中的反馈量：输出量。 现代控制理论中的反馈量：输出量 或 输出量+状态量。
为了利用状态进行反馈，必须用传感器来测量状态变量，但并不是所 有状态变量都物理上可测量，于是提出用状态观测器给出状态估值的问题。
状态反馈设计与状态观测器设计便构成了用状态空间法综合设计系统 的主要内容。
2 反馈结构对系统性能的影响 由于引入反馈，系统状态的系数矩阵发生可变化，对系统的可控性、
可观测性、稳定性、响应特性等均有影响。
⑴ 对系统可控性、可观测性的影响
定理 4-1 对于系统（4-280），状态反馈的引入不改变系统的可控性， 但可能改变系统的可观测性。
证明：设被控系统 S0 的动态方成为： x& = Ax + Bu
⎡ k1 ⎤
K
=
⎢ ⎢
k
2
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢⎥ ⎢⎣k p ⎥⎦
则
( A − BK )bi = Ab i − [b1
b2
...
⎡ k1bi ⎤
b
p
]
⎢ ⎢ ⎢
k 2bi ...
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎥
⎢⎣k pbi ⎥⎦
令 c1i = k1bi , c2i = k2bi , ..., cpi = k pbi
式中cji均为标量。故
4.1 线性定常系统常用反馈结构及其对系统特性的影响
1 两种常用反馈结构 ⑴ 状态反馈 设有n维线性定常系统
x& = Ax + Bu, y = Cx
(4 − 280)
式中，x, u , y 分别为 n 维 、p 维和 q 维向量；A, B, C分别为实数矩阵。
经典控制理论中的反馈量：输出量。 现代控制理论中的反馈量：输出量 或 输出量+状态量。
为了利用状态进行反馈，必须用传感器来测量状态变量，但并不是所 有状态变量都物理上可测量，于是提出用状态观测器给出状态估值的问题。
状态反馈设计与状态观测器设计便构成了用状态空间法综合设计系统 的主要内容。
2 反馈结构对系统性能的影响 由于引入反馈，系统状态的系数矩阵发生可变化，对系统的可控性、
可观测性、稳定性、响应特性等均有影响。
⑴ 对系统可控性、可观测性的影响
定理 4-1 对于系统（4-280），状态反馈的引入不改变系统的可控性， 但可能改变系统的可观测性。
证明：设被控系统 S0 的动态方成为： x& = Ax + Bu
⎡ k1 ⎤
K
=
⎢ ⎢
k
2
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢⎥ ⎢⎣k p ⎥⎦
则
( A − BK )bi = Ab i − [b1
b2
...
⎡ k1bi ⎤
b
p
]
⎢ ⎢ ⎢
k 2bi ...
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎥
⎢⎣k pbi ⎥⎦
令 c1i = k1bi , c2i = k2bi , ..., cpi = k pbi
式中cji均为标量。故
4.1 线性定常系统常用反馈结构及其对系统特性的影响
1 两种常用反馈结构 ⑴ 状态反馈 设有n维线性定常系统
x& = Ax + Bu, y = Cx
(4 − 280)
式中，x, u , y 分别为 n 维 、p 维和 q 维向量；A, B, C分别为实数矩阵。
第五章线性定常系统的综合
2）构成矩阵E，若E为非奇异，则可实现状态反 馈解耦；否则，不能状态反馈解耦；
3）求取矩阵K和L，则u=Lv-Kx就是所需的状态 反馈控制规律。
42
例 给定系统
0 0 0 1 0
x
0
0
1
x
0
0 u
1 2 3 0 1
y
1 0
1 0
0 1
x
试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解 耦后的传递函数矩阵。
15
若已知系统要求配置的极点/特征值为1 2
n
那么希望的特征多项式为
f 1 2 n
则由
n an1n1 a1 a0
I A - bK f
对比系数可得：
kn
a n1
an1, kn1
a n2
an2
k1 a0 a0
即得 k ，那么 k k0 k1 … kn1 kTc1
k3 3 4, k2 k3 2 6, k1 4
k1 4 k2 3 k3 1
引入 k 4 3 1 后，系统的模拟结构图为：
v
u
x3
x3
x2
x2 x1
x1
2
1
1
3
y 10
4
21
2） A 为能控标准型
0 1 0
A
步骤：ⅰ、判断能控性；a0 a1
0
1
an1
ⅱ、系统的特征多项式：
g11(s) g12 (s)
G(s)
g21
(s)
g22 (s)
g1p (s)
g2
p
(s
)
g p1(s) g p2 (s)
g pp (s)
其中gij (s)都是严格真的有理分式(或者为零)。令
3）求取矩阵K和L，则u=Lv-Kx就是所需的状态 反馈控制规律。
42
例 给定系统
0 0 0 1 0
x
0
0
1
x
0
0 u
1 2 3 0 1
y
1 0
1 0
0 1
x
试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解 耦后的传递函数矩阵。
15
若已知系统要求配置的极点/特征值为1 2
n
那么希望的特征多项式为
f 1 2 n
则由
n an1n1 a1 a0
I A - bK f
对比系数可得：
kn
a n1
an1, kn1
a n2
an2
k1 a0 a0
即得 k ，那么 k k0 k1 … kn1 kTc1
k3 3 4, k2 k3 2 6, k1 4
k1 4 k2 3 k3 1
引入 k 4 3 1 后，系统的模拟结构图为：
v
u
x3
x3
x2
x2 x1
x1
2
1
1
3
y 10
4
21
2） A 为能控标准型
0 1 0
A
步骤：ⅰ、判断能控性；a0 a1
0
1
an1
ⅱ、系统的特征多项式：
g11(s) g12 (s)
G(s)
g21
(s)
g22 (s)
g1p (s)
g2
p
(s
)
g p1(s) g p2 (s)
g pp (s)
其中gij (s)都是严格真的有理分式(或者为零)。令
西北工业大学 硕士复试大纲909
题号909
《控制专业综合》
考试大纲
（一）考试内容
1、运动控制系统的一般概念：自动控制的基本方式；对控制系统的基本要求。
2、系统的数学模型：数学模型的建立及线性化；线性系统的传递函数；结构图；信号流图；状态空间表达式。
3、根轨迹法：根轨迹方程；根轨迹绘制；系统性能的分析与估算。
4、频率响应法：频率特性；典型环节和开环系统频率特性；奈奎斯特判据；稳定裕度；闭环频率特性；系统时域指标估算。
5、能控性和能观性：控制系统的能控性及其判据；控制系统的能观性及其判据；对偶原理；能控标准型；能观标准型。
6、线性定常系统的综合：线性定常系统的状态反馈和输出反馈；极点配置。
（二）参考书目
1、《现代控制理论基础》，机械工业出版社，王孝武主编，2002
2、《现代控制理论》，机械工业出版社，刘豹主编，2002
3、《自动控制原理》，国防工业出版社，胡寿松主编，1984。
第5章-线性定常系统的综合2
6
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：
《线性系统综合》PPT课件
用,主要内容为
状态反响与输出反响、 状态观测器，
带观测器的状态反响闭环系统。
2021/5/29
第6章 线性系统综合
概述
系统综合是系统分析的逆问题。 系统分析问题即为对系统构造和参数,以及确定好系统
的外部输入(系统鼓励)下,对系统运动进展定性分析 如能控性、能观性、稳定性等 和定量运动规律分析
如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。 的探讨。
– 以现代技术的观点,这些方法应方便地使用计算机 实现,其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定 性,即在计算过程中可能出现的计算误差是否被不 断放大、传播,还是被抑制在一个小的范围,其影响 逐渐减弱。
2021/5/29
第6章 线性系统综合
• 在综合问题中,不仅存在可综合问题和算法求解问题,还存在 控制系统在工程实现上所涌现的一些理论问题。如:
• 这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到 的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。
• 状态获取问题
• 对状态反响控制系统,要实现已求解的状态反响规律,需要获 取被控系统的状态信息,以构成反响。
• 但对许多实际系统,所考虑的状态变量是描述系统内部信息的 一组变量,可能并不完全能直接测量或以经济的方式测量。
• 这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到 的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。
而系统综合问题为系统系统构造和参数,以及所期望的 系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某 些特征,所需要确定的是那么需要施加于系统的外部 2021/5/29 输入的大第小6章或线性规系统律综合。
– 一般情况下,控制理论开展与控制系统设计的追求目标为解析的反 响控制作用规律(反响控制律)。
– 对复杂的动力学被控系统,在解析反响控制规律难于求解的情形下, 需要求系统的数值反响控制规律或外部输入函数的数值解序列(开 环控制输入)。
状态反响与输出反响、 状态观测器，
带观测器的状态反响闭环系统。
2021/5/29
第6章 线性系统综合
概述
系统综合是系统分析的逆问题。 系统分析问题即为对系统构造和参数,以及确定好系统
的外部输入(系统鼓励)下,对系统运动进展定性分析 如能控性、能观性、稳定性等 和定量运动规律分析
如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。 的探讨。
– 以现代技术的观点,这些方法应方便地使用计算机 实现,其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定 性,即在计算过程中可能出现的计算误差是否被不 断放大、传播,还是被抑制在一个小的范围,其影响 逐渐减弱。
2021/5/29
第6章 线性系统综合
• 在综合问题中,不仅存在可综合问题和算法求解问题,还存在 控制系统在工程实现上所涌现的一些理论问题。如:
• 这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到 的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。
• 状态获取问题
• 对状态反响控制系统,要实现已求解的状态反响规律,需要获 取被控系统的状态信息,以构成反响。
• 但对许多实际系统,所考虑的状态变量是描述系统内部信息的 一组变量,可能并不完全能直接测量或以经济的方式测量。
• 这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到 的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。
而系统综合问题为系统系统构造和参数,以及所期望的 系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某 些特征,所需要确定的是那么需要施加于系统的外部 2021/5/29 输入的大第小6章或线性规系统律综合。
– 一般情况下,控制理论开展与控制系统设计的追求目标为解析的反 响控制作用规律(反响控制律)。
– 对复杂的动力学被控系统,在解析反响控制规律难于求解的情形下, 需要求系统的数值反响控制规律或外部输入函数的数值解序列(开 环控制输入)。
机电工程基础第六章 线性系统的综合
2）D = 0 时，闭环系统 K 的传递函数阵为 GK C[sI ( A BK )]1 B
即 GK G(s)[I K (sI A)1 B]1 状态反馈改变系统的极点，不改变系统的 零点（除非人为制造零极相消）。
第六章 线性定常系统的综合
3）引入状态反馈不改变系统的能控性。但是， 状态反馈可以改变系统的能观测性。
6.2 极点配置
在古典控制理论中，系统的各种动态性能很大 程度上都是由极点在s平面上的位置所决定的。
在现代控制理论中，系统的极点实际上就是状 态方程中的系统矩阵A所对应的特征根。
系统中引入状态反馈之后，矩阵A变成了（A一 BK）。因此，利用改变状态反馈阵K的办法来改 变特征根（极点），称为“极点配置”．
6.1.3 状态反馈与输出反馈的比较
状态反馈
x (A BK)x Bv
y
(C
DK
)x
Dv
输出反馈
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
y
(I
DH
)-1Cx
(I
DH
)-1
Dv
第六章 线性定常系统的综合
通过比较可知，当 D时，0 若令 状态K反 H馈C就等价于输出反馈 。
形式。
水箱PID 控制系统
转台PID 控制系统
第六章 线性定常系统的综合
给定系统
x Ax Bu
y
பைடு நூலகம்
Cx
Du
引入反馈控制律 u v Hy
闭环系统 H 的结构图
闭环系统 H
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
即 GK G(s)[I K (sI A)1 B]1 状态反馈改变系统的极点，不改变系统的 零点（除非人为制造零极相消）。
第六章 线性定常系统的综合
3）引入状态反馈不改变系统的能控性。但是， 状态反馈可以改变系统的能观测性。
6.2 极点配置
在古典控制理论中，系统的各种动态性能很大 程度上都是由极点在s平面上的位置所决定的。
在现代控制理论中，系统的极点实际上就是状 态方程中的系统矩阵A所对应的特征根。
系统中引入状态反馈之后，矩阵A变成了（A一 BK）。因此，利用改变状态反馈阵K的办法来改 变特征根（极点），称为“极点配置”．
6.1.3 状态反馈与输出反馈的比较
状态反馈
x (A BK)x Bv
y
(C
DK
)x
Dv
输出反馈
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
y
(I
DH
)-1Cx
(I
DH
)-1
Dv
第六章 线性定常系统的综合
通过比较可知，当 D时，0 若令 状态K反 H馈C就等价于输出反馈 。
形式。
水箱PID 控制系统
转台PID 控制系统
第六章 线性定常系统的综合
给定系统
x Ax Bu
y
பைடு நூலகம்
Cx
Du
引入反馈控制律 u v Hy
闭环系统 H 的结构图
闭环系统 H
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
5线性定常系统的综合
g0 120
G
g1
103
g 2 210
1） 希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更 负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。
2）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否 则，抗干扰能力降低。
3）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有 较大的变化，从而可能使系统不稳定。
x
2
x3
2. 计算状态反馈矩阵
0 0 10
QCb AbA2b0 10 110
10100990
ranQ kC 3 所以系统能控
计算出状态反馈矩阵 K K 0K 1K 2 4 1 . 2 0 . 1
状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出 T F ）。
0
1
(a0 k0 ) (a1 k1) (an1 kn1)
状态反馈系统特征多项式为
Δ K (s) de sI t([ A b K ) ] sn (a n 1 kn 1)sn 1 (a 1 k 1)s (a 0 k0)
（1） （2）
则有 x A B x ( V K ) ( x A B )x K BV y(CD)K xDV
（3）
5.2.2 输出反馈 采用
uVHy （4）
H 为 rm常数矩阵
x A B ( V x H ) [ A B y ( I D H ) 1 C ] x H [ B B ( I D H ) 1 D ] V H
yCx
（10） （11） （12）
现代控制理论课程教学大纲.
《现代控制理论》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：AU3022、课程名称（中/英文）：现代控制理论（Modern Control System）3、学时/学分：54学时/3学分4、先修课程：自动控制理论5、面向对象：自动化专业本科生，相邻专业研究生6、开课院（系）、教研室：自动化系7、教材、教学参考书：教材：现代控制理论刘豹机械工业出版社2000教学参考书：Linear System Theory and Design Chi-Tsong Chen Oxford university press 1999二、本课程的性质和任务现代控制理论是自动化专业的高年级本科生的必修课程，课程包括了现代控制理论中的基础理论部分，主要内容为线性系统理论基础内容。
课程首先介绍了控制理论的发展概况和应用概况，说明了线性系统的特性，然后深入讲解系统的状态空间描述，状态空间表达式的求解，线性控制系统的能控性和能观性、系统的稳定性和李雅普诺夫方法、线性定常系统的综合，最优控制问题的概述和线性定常二次型最优控制问题。
通过本课程的学习，学生可以掌握线性系统的基本分析和设计方法，为学生学习后继课程、从事工程技术工作、科学研究及开拓性技术工作打下坚实的基础。
三、本课程教学内容和基本要求《现代控制理论》现代控制理论的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)第一章概论(1)控制理论的发展、现代控制理论的特点及举例、线性系统的特点(1)要求：掌握现代控制理论与经典控制理论的不同点和线性系统的特点。
第二章控制系统的状态空间表达式（7）1．状态变量及状态空间表达式、状态空间表达式的模拟结构图（2）2．状态空间表达式的建立（一）（1）3．状态空间表达式的建立（二）（1）4．状态向量的线性变换（1）5．由状态空间表达式求传递函数阵、时变系统和非线性系统的状态空间表达式（2）要求：熟练掌握系统状态空间表达方法的概念、形式，掌握系统状态空间表达式的各种建立方法、掌握系统的线性变换方法、掌握模型转换方法。
现代控制原理__刘豹
ci 通过留数
定理计算
1 xi ( s) u ( s) 令 s i 则： sxi ( s) i xi ( s) u(s)
Y (s) ci xi (s)
i 1
n
机电工程系
由微分方程/传递函数求状态方程 对 sxi (s) i xi (s) u(s) 反变换：
x1 1 x1 u x 2 2 x 2 u ... x n n x n u
Y ( s) s 2 3s 2 Y ( s) Z ( s) 3 系统的传递函数：G( s) 2 U ( s) s 7 s 3 Z ( s) U ( s)
Z (s) 1 3 因此： U ( s) s 7 s 2 3 Y (s) 2 s 3s 2 Z ( s)
机电工程系
习题2
1 x1 (k ) 0 x1 (k 1) 0 矩阵表示： 2 3 x (k ) 1 u 2 x2 (k 1)
对 Y ( z) 2 zp( z) 3 p( z)进行Z反变换得：
由物理模型建立状态空间表达式
R L + uc(t) _
输出
例1.2求图示R-L-C网 络的状态空间表达式
+ u(t)
输入
+ y _
i(t)
_
选x1 i, x2 uc (t )为系统两状态变量， R x1 L 则: x2 1 C x1 y [0 1] x2 1 x 1 1 L x L u (t ) 0 2 0
(假设相应变量的初始条件为0)
拉氏变换：
sx ( s ) Ax( s ) Bu( s ) sx ( s ) Ax( s ) Bu( s ) [ sI A]x( s ) Bu( s ) x( s ) [ sI A]1 Bu( s )
武汉大学自动化专业《现代控制理论》第六章线性定常系统的综合
第六章 线性定常系统的综合
1状态反馈和输出反馈
2极点配置
3状态观测器
4带状态观测器的状态反馈闭环系统的
特点
1
第一节
1 综合的三要素
1）对象——受控系统。
引言
AX Bu,.....X (0) X ,...t 0 X 0 y CX
2）目标——性能指标。性能指标可以有不同的形式。 3）手段——控制输入。通常取反馈控制形式：①状态反馈——将 实现综合目标的控制输入u 取为系统状态X 的一个线性向量函数 u (t ) =－K X(t )+r (t ) ； ②输出反馈——将实现综合目标的控制输 入u 取为系统输出y 的一个线性向量函数u (t ) =－Hy(t )+r (t ) 。
1 4 2 ,..K g 20 lg Gk ( j c )
4 2
13
（4）基本类型性能指标与期望闭环极点组的主导极点间的 关系：由基本类型性能指标查典型二阶系统曲线表，构成一对 共轭复数根，将其作为期望闭环极点组的主导极点。 （5）对 n 维连续线性定常系统，作为综合指标的 n 个期望 闭环极点的确定步骤： ① 根据（4）确定闭环主导极点； ②对其余的(n-2)个期望闭环极点，可在 s 左半平面远离闭环
1 , ,..... 任意给定的期望极点组： 2 n
u Hy r
( A BHC) X Br X 导出的输出反馈闭环系统： ..y CX
（2）反馈功能：状态反馈在功能上优于输出反馈，后叙综合问题 几乎全采用状态反馈。 （3）改善输出反馈达到状态反馈功能的途径：即在反馈系统中单 独或同时引入串联补偿器和并联补偿器（提高反馈系统的阶次）。 （4）反馈实现：输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈则是在 物理上不可构成的，则就反馈的物理实现而言，前者优于后者。 （5）解决状态反馈物理实现的途径：引入附加状态观测器重构状 X 态 后，构成状态反馈（注意，其同样提高了反馈系统的阶次）。 （6）说明：扩展（动态）输出反馈系统和扩展（带状态观测器） 状态反馈系统实质上是等价的，可利用简单关系将其从一种结构转 10 换到另一种结构。
1状态反馈和输出反馈
2极点配置
3状态观测器
4带状态观测器的状态反馈闭环系统的
特点
1
第一节
1 综合的三要素
1）对象——受控系统。
引言
AX Bu,.....X (0) X ,...t 0 X 0 y CX
2）目标——性能指标。性能指标可以有不同的形式。 3）手段——控制输入。通常取反馈控制形式：①状态反馈——将 实现综合目标的控制输入u 取为系统状态X 的一个线性向量函数 u (t ) =－K X(t )+r (t ) ； ②输出反馈——将实现综合目标的控制输 入u 取为系统输出y 的一个线性向量函数u (t ) =－Hy(t )+r (t ) 。
1 4 2 ,..K g 20 lg Gk ( j c )
4 2
13
（4）基本类型性能指标与期望闭环极点组的主导极点间的 关系：由基本类型性能指标查典型二阶系统曲线表，构成一对 共轭复数根，将其作为期望闭环极点组的主导极点。 （5）对 n 维连续线性定常系统，作为综合指标的 n 个期望 闭环极点的确定步骤： ① 根据（4）确定闭环主导极点； ②对其余的(n-2)个期望闭环极点，可在 s 左半平面远离闭环
1 , ,..... 任意给定的期望极点组： 2 n
u Hy r
( A BHC) X Br X 导出的输出反馈闭环系统： ..y CX
（2）反馈功能：状态反馈在功能上优于输出反馈，后叙综合问题 几乎全采用状态反馈。 （3）改善输出反馈达到状态反馈功能的途径：即在反馈系统中单 独或同时引入串联补偿器和并联补偿器（提高反馈系统的阶次）。 （4）反馈实现：输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈则是在 物理上不可构成的，则就反馈的物理实现而言，前者优于后者。 （5）解决状态反馈物理实现的途径：引入附加状态观测器重构状 X 态 后，构成状态反馈（注意，其同样提高了反馈系统的阶次）。 （6）说明：扩展（动态）输出反馈系统和扩展（带状态观测器） 状态反馈系统实质上是等价的，可利用简单关系将其从一种结构转 10 换到另一种结构。
现代控制理论答案 刘豹
第一章 控制系统的状态空间表达式1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
线性定常系统的综合 (2)
输出反馈后，系统阶次不变
输出反馈后，能控性和能观测性保持不变
定理1：状态反馈不改变系统的能控性 证明： 被控系统 (A, B, C)
对矩阵A的所有特征值λi(i=1,…,n)满足等式 PBH算法:
rank i I A, B
采用状态反馈
满秩，可控
不满秩，不可控
闭环系统 (A-BK, B, C)
反馈增益矩阵
Ax Bu x 原系统 y Cx Du ( A BK ) x Bv x 状态反馈闭环系统 y (C DK ) x Dv
1)状态反馈不增加新的状态变量 ; 2)状态反馈对输入矩阵B和直接传输矩阵D无影响； 3)系统的系数矩阵由A变成(A-BK) ； 4)输出矩阵由C变成(C-DK) ； 系统的瞬态性能主要由系数矩阵A决定。 通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系统达到希望的控制 目的。
综合是建立在系统分析的基础上的
综合问题的提出
三要素 被控对象： 状态空间描述（线性定常系统）
Ax Bu x y Cx Du 目标： 即性能指标，如某些特征值、或某种期望形式、 或关于极小（或极大）值的某个性能函数
手段： 控制输入（控制器设计） 所谓综合： 寻找一个控制u，在其作用下系统的运动满足所给 出的期望性能指标 控制常用的形式（手段）： 状态反馈控制 输出反馈控制
状态反馈
( A BK ) x Bv x y Cx (A BHC ) x Bv x y Cx
输出反馈
状态反馈和输出反馈的比较 状态反馈和输出反馈都可改变系统结构属性和性能指标。 反馈功能上：状态反馈要优于输出反馈 令 K=HC 则输出反馈达到的功能，必可找到相应的一个状态反馈来实现 但 HC=K的解H通常不存在
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W0 (s)[I HW0 (s)]1 或 [I W0 (s)H ]1W0 (s)
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
输出反馈特性： H：r×m维；K：r×n维，由于m<n，故H的可供选择 的自由度比K小，所以输出反馈效果不如状态反馈， 但是比较容易实现。
若状态反馈增益矩阵K=HC, 则 Kx Hy ,
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
状态反馈控制律 u KX v
代入原系统方程得闭环系统的状态空间表达式
X AX Bu AX B(KX v) (A BK)X Bv Y CX Du CX D(KX v) (C DK)X Dv
若D＝0，则为 X ( A BK )X Bv
受控系统 0 ( A, B,C, D)
输出反馈结构图如下，
v
u
B
x
x
C
y
A
H
Ｈ 输出反馈增益阵
u HY v H (CX Du) v HCX HDu v
输出反馈控制律
u (I HD)1(HCX v)
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
代入原系统，X AX Bu AX B(I HD)1(HCX v)
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目录 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 5.2 极点配置问题 5.3 系统镇定问题 5.4 系统解耦问题 5.5 状态观测器 5.6 利用状态观测器实现状态反馈
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第五章 线性定常系统的综合
教学目标
1、熟悉状态反馈的基本形式； 2、掌握极点任意配置的条件和方法； 3、掌握系统能镇定条件； 4、掌握解耦的条件和方法； 5、掌握状态观测器存在的条件及其实现； 6、熟悉采用状态观测器的状态反馈系统的特点。
第五章 线性定常系统的综合
5 线性定常系统的综合
控制系统的分析与综合是控制系统研究的两大课题。
前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。
系统的描述
主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、 内部、外部描述)之间的相互转换等；
系统的分析
主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系 统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、 稳定性等)及其与系统的结构、参数和外部作用间的关 系。
一、状态反馈
受控系统
X AX Bu Y CX Du
,通常D＝0，则
X AX Bu Y CX
状态反馈方框图如图所示，
记为 0 ( A, B,C)
D
状态反馈
v u
B x
x
C
y
A
将系统的每一个状态变量乘 以相应的反馈系数，然后 反馈到输入端与参考输入 相加形成控制律。
K
K 状态反馈增益阵
此时，状态反馈就等价于输出反馈。
由此，输出反馈是状态反馈的特殊情况。
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
三、从输出到X 的反馈
结构图， u
B
x
x
C
y
A
G
X AX Bu GY AX Bu G(CX Du) (A GC)X (B GD)u
Y CX Du
[A B(I HD)1 HC]X B(I HD)1v Y CX Du CX D(I HD)1(HCX v)
[C D(I HD)1 HC]X D(I HD)1v
若D＝0，则 X [A BHC]X Bv
Y CX
闭环系统传递函数： Wh (s) C[sI ( A BHC)]1 B 若受控系统传递函数为 W0 (s) C(sI A)1 B 则 Wh (s) ?
Y CX
记为： k ((A BK ), B,C)
闭环传递函数阵为：Wk (s) C[sI ( A BK )]1 B 特性：状态反馈并没有增加系统的维数，通过改变K，可以任
意改变系统特征值，使系统获得所要求的性能。
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
二、输出反馈 输出反馈是利用输出矢量构成线性反馈律。将系统的每 一个输出变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端 与参考输入相加形成控制律。
证明： 利用变换前后能控性矩阵的秩相等来判断。 (A BK)B AB B(KB) 的列向量是B，AB列向量的线性组合。
(A BK)B AB B(KB) AB B[(KB)1T (KB)T2 (KB)Tr ]T AB b1(KB)1+b2(KB)2 br (KB)r
(KB)i 是KB的第i个行向量。 bi 是B的第i个列向量。
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5 线性定常系统的综合
综合与设计问题 是在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础 上，设计控制器，寻找控制规律，以保证系统的各 项性能指标得到满足。
根据综合指标提法不同将综合分为： 常规综合 仅使性能满足某种笼统指标要求；
最优综合 要确保性能指标在某种意义下达到最优。
本章主要讨论常规综合，在时域内讨论线性反馈控 制规律的综合与设计方法。
若D＝0，则 X (A GC)X Bu
Y CX
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
上述3种反馈基本结构共同点：
1）不增加新的状态变量； 2）开环与闭环同维；
3）反馈增益阵是常阵，反馈是线性反馈。
四、动态补偿器
直接引入一个子系统来改善系d , Bd ,Cd ) 0 : (A, B,C) Y
v
－
0 : ( A, B,C) Y
f : (Af , Bf ,Cf )
串联连接
动态补偿特点：
反馈连接
系统的维数等于受控系统与动态补偿器维数之和。
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
五、闭环系统的能控性和能观性
定理1：状态反馈不改变受控系统 0 : (A, 的B,C能) 控性，但不 保证系统的能观性不变。
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第五章 线性定常系统的综合
重点
1、状态反馈的基本形式； 2、极点任意配置的条件和方法； 3、能镇定条件； 4、解耦的条件和方法； 5、状态观测器存在的条件及其实现； 6、利用状态观测器的状态反馈系统的特点。
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
反馈的两种基本形式：状态反馈和输出反馈。
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输出反馈特性： H：r×m维；K：r×n维，由于m<n，故H的可供选择 的自由度比K小，所以输出反馈效果不如状态反馈， 但是比较容易实现。
若状态反馈增益矩阵K=HC, 则 Kx Hy ,
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
状态反馈控制律 u KX v
代入原系统方程得闭环系统的状态空间表达式
X AX Bu AX B(KX v) (A BK)X Bv Y CX Du CX D(KX v) (C DK)X Dv
若D＝0，则为 X ( A BK )X Bv
受控系统 0 ( A, B,C, D)
输出反馈结构图如下，
v
u
B
x
x
C
y
A
H
Ｈ 输出反馈增益阵
u HY v H (CX Du) v HCX HDu v
输出反馈控制律
u (I HD)1(HCX v)
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
代入原系统，X AX Bu AX B(I HD)1(HCX v)
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目录 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 5.2 极点配置问题 5.3 系统镇定问题 5.4 系统解耦问题 5.5 状态观测器 5.6 利用状态观测器实现状态反馈
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教学目标
1、熟悉状态反馈的基本形式； 2、掌握极点任意配置的条件和方法； 3、掌握系统能镇定条件； 4、掌握解耦的条件和方法； 5、掌握状态观测器存在的条件及其实现； 6、熟悉采用状态观测器的状态反馈系统的特点。
第五章 线性定常系统的综合
5 线性定常系统的综合
控制系统的分析与综合是控制系统研究的两大课题。
前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。
系统的描述
主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、 内部、外部描述)之间的相互转换等；
系统的分析
主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系 统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、 稳定性等)及其与系统的结构、参数和外部作用间的关 系。
一、状态反馈
受控系统
X AX Bu Y CX Du
,通常D＝0，则
X AX Bu Y CX
状态反馈方框图如图所示，
记为 0 ( A, B,C)
D
状态反馈
v u
B x
x
C
y
A
将系统的每一个状态变量乘 以相应的反馈系数，然后 反馈到输入端与参考输入 相加形成控制律。
K
K 状态反馈增益阵
此时，状态反馈就等价于输出反馈。
由此，输出反馈是状态反馈的特殊情况。
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5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
三、从输出到X 的反馈
结构图， u
B
x
x
C
y
A
G
X AX Bu GY AX Bu G(CX Du) (A GC)X (B GD)u
Y CX Du
[A B(I HD)1 HC]X B(I HD)1v Y CX Du CX D(I HD)1(HCX v)
[C D(I HD)1 HC]X D(I HD)1v
若D＝0，则 X [A BHC]X Bv
Y CX
闭环系统传递函数： Wh (s) C[sI ( A BHC)]1 B 若受控系统传递函数为 W0 (s) C(sI A)1 B 则 Wh (s) ?
Y CX
记为： k ((A BK ), B,C)
闭环传递函数阵为：Wk (s) C[sI ( A BK )]1 B 特性：状态反馈并没有增加系统的维数，通过改变K，可以任
意改变系统特征值，使系统获得所要求的性能。
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二、输出反馈 输出反馈是利用输出矢量构成线性反馈律。将系统的每 一个输出变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端 与参考输入相加形成控制律。
证明： 利用变换前后能控性矩阵的秩相等来判断。 (A BK)B AB B(KB) 的列向量是B，AB列向量的线性组合。
(A BK)B AB B(KB) AB B[(KB)1T (KB)T2 (KB)Tr ]T AB b1(KB)1+b2(KB)2 br (KB)r
(KB)i 是KB的第i个行向量。 bi 是B的第i个列向量。
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综合与设计问题 是在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础 上，设计控制器，寻找控制规律，以保证系统的各 项性能指标得到满足。
根据综合指标提法不同将综合分为： 常规综合 仅使性能满足某种笼统指标要求；
最优综合 要确保性能指标在某种意义下达到最优。
本章主要讨论常规综合，在时域内讨论线性反馈控 制规律的综合与设计方法。
若D＝0，则 X (A GC)X Bu
Y CX
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上述3种反馈基本结构共同点：
1）不增加新的状态变量； 2）开环与闭环同维；
3）反馈增益阵是常阵，反馈是线性反馈。
四、动态补偿器
直接引入一个子系统来改善系d , Bd ,Cd ) 0 : (A, B,C) Y
v
－
0 : ( A, B,C) Y
f : (Af , Bf ,Cf )
串联连接
动态补偿特点：
反馈连接
系统的维数等于受控系统与动态补偿器维数之和。
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五、闭环系统的能控性和能观性
定理1：状态反馈不改变受控系统 0 : (A, 的B,C能) 控性，但不 保证系统的能观性不变。
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第五章 线性定常系统的综合
重点
1、状态反馈的基本形式； 2、极点任意配置的条件和方法； 3、能镇定条件； 4、解耦的条件和方法； 5、状态观测器存在的条件及其实现； 6、利用状态观测器的状态反馈系统的特点。
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反馈的两种基本形式：状态反馈和输出反馈。